Jak odejmować ułamki zwykłe o różnych mianownikach. Dodawanie ułamków zwykłych o liczbach całkowitych i różnych mianownikach

NA ta lekcja Dodawanie i odejmowanie będą omówione ułamki algebraiczne Z różne mianowniki. Wiemy już, jak dodawać i odejmować ułamki zwykłe z różnymi mianownikami. Aby to zrobić, ułamki należy sprowadzić do wspólnego mianownika. Okazuje się, że ułamki algebraiczne podlegają tym samym zasadom. Jednocześnie wiemy już, jak sprowadzić ułamki algebraiczne do wspólnego mianownika. Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach jest jednym z najważniejszych i trudne tematy w klasie 8. W której ten temat pojawi się w wielu tematach kursów algebry, których będziesz się uczyć w przyszłości. W ramach lekcji przestudiujemy zasady dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o różnych mianownikach, a także przeanalizujemy szereg typowych przykładów.

Spójrzmy na najprostszy przykład dla ułamków zwykłych.

Przykład 1. Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie:

Pamiętajmy o zasadzie dodawania ułamków zwykłych. Na początek ułamki należy sprowadzić do wspólnego mianownika. Wspólnym mianownikiem ułamków zwykłych jest najmniejsza wspólna wielokrotność(LCM) oryginalnych mianowników.

Definicja

Najmniejsza liczba naturalna, która dzieli się zarówno przez liczby, jak i .

Aby znaleźć LCM, należy rozłożyć mianowniki na czynniki pierwsze, a następnie wybrać wszystkie czynniki pierwsze, które są uwzględnione w rozwinięciu obu mianowników.

; . Następnie LCM liczb musi zawierać dwie dwójki i dwie trójki: .

Po znalezieniu wspólnego mianownika musisz znaleźć dodatkowy współczynnik dla każdego ułamka (w rzeczywistości podziel wspólny mianownik przez mianownik odpowiedniego ułamka).

Każdy ułamek jest następnie mnożony przez uzyskany dodatkowy współczynnik. Otrzymujemy ułamki zwykłe o tych samych mianownikach, które nauczyliśmy się dodawać i odejmować na poprzednich lekcjach.

Otrzymujemy: .

Odpowiedź:.

Rozważmy teraz dodawanie ułamków algebraicznych o różnych mianownikach. Najpierw przyjrzyjmy się ułamkom, których mianownikami są liczby.

Przykład 2. Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie:

Algorytm rozwiązania jest całkowicie podobny do poprzedniego przykładu. Łatwo jest znaleźć wspólny mianownik tych ułamków: i dodatkowe czynniki dla każdego z nich.

.

Odpowiedź:.

Sformułujmy więc algorytm dodawania i odejmowania ułamków algebraicznych o różnych mianownikach:

1. Znajdź najniższy wspólny mianownik ułamków.

2. Znajdź dodatkowe czynniki dla każdego z ułamków (podzielając wspólny mianownik przez mianownik danego ułamka).

3. Pomnóż liczniki przez odpowiednie dodatkowe współczynniki.

4. Dodawaj lub odejmij ułamki zwykłe, korzystając z zasad dodawania i odejmowania ułamków o podobnych mianownikach.

Rozważmy teraz przykład z ułamkami, których mianownik zawiera wyrażenia literowe.

Przykład 3. Dodaj ułamki: .

Rozwiązanie:

Ponieważ wyrażenia literowe w obu mianownikach są takie same, należy znaleźć wspólny mianownik dla liczb. Ostateczny wspólny mianownik będzie wyglądał następująco: . Zatem rozwiązanie tego przykładu wygląda następująco:.

Odpowiedź:.

Przykład 4. Odejmij ułamki: .

Rozwiązanie:

Jeśli nie możesz „oszukiwać” przy wyborze wspólnego mianownika (nie możesz go rozłożyć na czynniki ani użyć skróconych wzorów na mnożenie), to musisz przyjąć iloczyn mianowników obu ułamków jako wspólny mianownik.

Odpowiedź:.

Ogólnie rzecz biorąc, przy rozwiązywaniu takich przykładów najbardziej trudne zadanie jest znalezienie wspólnego mianownika.

Spójrzmy na bardziej złożony przykład.

Przykład 5. Uproszczać: .

Rozwiązanie:

Znajdując wspólny mianownik, należy najpierw spróbować rozłożyć na czynniki mianowniki pierwotnych ułamków (w celu uproszczenia wspólnego mianownika).

W tym konkretnym przypadku:

Wtedy łatwo jest ustalić wspólny mianownik: .

Określamy dodatkowe czynniki i rozwiązujemy ten przykład:

Odpowiedź:.

Ustalmy teraz zasady dodawania i odejmowania ułamków o różnych mianownikach.

Przykład 6. Uproszczać: .

Rozwiązanie:

Odpowiedź:.

Przykład 7. Uproszczać: .

Rozwiązanie:

.

Odpowiedź:.

Rozważmy teraz przykład, w którym dodawane są nie dwa, ale trzy ułamki (w końcu zasady dodawania i odejmowania dla więcej ułamki pozostają takie same).

Przykład 8. Uproszczać: .

Jedną z najważniejszych nauk, której zastosowanie widać w takich dyscyplinach jak chemia, fizyka, a nawet biologia, jest matematyka. Studiowanie tej nauki pozwala rozwinąć pewne cechy umysłowe i poprawić zdolność koncentracji. Jednym z tematów zasługujących na szczególną uwagę na kursie matematyki jest dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych. Wielu studentom trudno jest się uczyć. Być może nasz artykuł pomoże Ci lepiej zrozumieć ten temat.

Jak odejmować ułamki, których mianowniki są takie same

Ułamki to te same liczby, za pomocą których można wykonywać różne operacje. Ich różnica w stosunku do liczb całkowitych polega na obecności mianownika. Dlatego wykonując operacje na ułamkach, musisz przestudiować niektóre ich cechy i zasady. Najprostszym przypadkiem jest odejmowanie ułamków zwykłych, których mianowniki są reprezentowane przez tę samą liczbę. Wykonanie tej czynności nie będzie trudne, jeśli znasz prostą zasadę:

• Aby odjąć sekundę od jednego ułamka, należy od licznika ułamka zmniejszanego odjąć licznik odejmowanego ułamka. Tę liczbę zapisujemy w liczniku różnicy, a mianownik pozostawiamy bez zmian: k/m - b/m = (k-b)/m.

Przykłady odejmowania ułamków, których mianowniki są takie same

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Od licznika ułamka „7” odejmujemy licznik ułamka „3”, który ma zostać odjęty, otrzymujemy „4”. Zapisujemy tę liczbę w liczniku odpowiedzi, a w mianowniku umieszczamy tę samą liczbę, która była w mianownikach pierwszego i drugiego ułamka - „19”.

Poniższy obrazek pokazuje jeszcze kilka podobnych przykładów.

Rozważmy bardziej złożony przykład, w którym odejmowane są ułamki zwykłe o podobnych mianownikach:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Od licznika ułamka „29” zmniejszamy odejmując kolejno liczniki wszystkich kolejnych ułamków - „3”, „8”, „2”, „7”. W rezultacie otrzymujemy wynik „9”, który zapisujemy w liczniku odpowiedzi, a w mianowniku zapisujemy liczbę znajdującą się w mianownikach wszystkich tych ułamków - „47”.

Dodawanie ułamków o tym samym mianowniku

Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych odbywa się na tej samej zasadzie.

• Aby dodać ułamki, których mianowniki są takie same, należy dodać liczniki. Otrzymana liczba jest licznikiem sumy, a mianownik pozostaje taki sam: k/m + b/m = (k + b)/m.

Zobaczmy jak to wygląda na przykładzie:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Do licznika pierwszego wyrazu ułamka - „1” - dodaj licznik drugiego wyrazu ułamka - „2”. Wynik - „3” - zapisuje się w liczniku sumy, a mianownik pozostaje taki sam, jak obecny w ułamkach - „4”.

Ułamki zwykłe o różnych mianownikach i ich odejmowanie

Rozważaliśmy już operację na ułamkach o tym samym mianowniku. Jak widzimy, wiedząc proste zasady, rozwiązywanie takich przykładów jest dość łatwe. Ale co, jeśli chcesz wykonać operację na ułamkach o różnych mianownikach? Wielu uczniów szkół średnich jest zdezorientowanych takimi przykładami. Ale nawet tutaj, jeśli znasz zasadę rozwiązania, przykłady nie będą już dla ciebie trudne. Tutaj też obowiązuje zasada, bez której rozwiązywanie takich ułamków jest po prostu niemożliwe.

Aby odjąć ułamki o różnych mianownikach, należy je sprowadzić do tego samego najmniejszego mianownika.



Porozmawiamy bardziej szczegółowo o tym, jak to zrobić.

Własność ułamka

Aby sprowadzić kilka ułamków do tego samego mianownika, należy w rozwiązaniu zastosować główną właściwość ułamka: po podzieleniu lub pomnożeniu licznika i mianownika przez ten sam numer otrzymasz ułamek równy podanemu.

Na przykład ułamek 2/3 może mieć mianowniki takie jak „6”, „9”, „12” itp., To znaczy może mieć postać dowolnej liczby będącej wielokrotnością „3”. Po pomnożeniu licznika i mianownika przez „2” otrzymujemy ułamek 4/6. Po pomnożeniu licznika i mianownika ułamka pierwotnego przez „3” otrzymamy 6/9, a jeśli wykonamy podobną operację z liczbą „4”, otrzymamy 8/12. Jedną równość można zapisać następująco:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Jak zamienić wiele ułamków zwykłych na ten sam mianownik

Przyjrzyjmy się, jak sprowadzić wiele ułamków do tego samego mianownika. Weźmy na przykład ułamki pokazane na poniższym obrazku. Najpierw musisz określić, która liczba może stać się mianownikiem dla nich wszystkich. Aby było łatwiej, rozłóżmy istniejące mianowniki na czynniki.

Mianownika ułamka 1/2 i ułamka 2/3 nie można rozłożyć na czynniki. Mianownik 7/9 ma dwa dzielniki 7/9 = 7/(3 x 3), a mianownik ułamka 5/6 = 5/(2 x 3). Teraz musimy określić, które czynniki będą najmniejsze dla wszystkich tych czterech ułamków. Skoro pierwszy ułamek ma w mianowniku liczbę „2”, oznacza to, że musi ona występować we wszystkich mianownikach; w ułamku 7/9 znajdują się dwie trójki, co oznacza, że ​​obie muszą także występować w mianowniku. Biorąc pod uwagę powyższe ustalamy, że mianownik składa się z trzech dzielników: 3, 2, 3 i jest równy 3 x 2 x 3 = 18.



Rozważmy pierwszą frakcję - 1/2. W mianowniku jest „2”, ale nie ma ani jednej cyfry „3”, ale powinny być dwie. Aby to zrobić, mnożymy mianownik przez dwie trójki, ale zgodnie z właściwością ułamka musimy pomnożyć licznik przez dwie trójki:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Te same operacje wykonujemy z pozostałymi ułamkami.

• 2/3 - w mianowniku brakuje jednej trójki i jednej dwójki:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 lub 7/(3 x 3) - w mianowniku brakuje dwójki:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 lub 5/(2 x 3) - w mianowniku brakuje trójki:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Wszystko razem wygląda tak:



Jak odejmować i dodawać ułamki zwykłe o różnych mianownikach

Jak wspomniano powyżej, aby dodać lub odjąć ułamki o różnych mianownikach, należy je sprowadzić do tego samego mianownika, a następnie zastosować zasady odejmowania ułamków o tym samym mianowniku, które zostały już omówione.

Spójrzmy na to jako przykład: 18.04 - 15.03.

Znajdowanie wielokrotności liczb 18 i 15:

• Liczba 18 składa się z 3 x 2 x 3.
• Liczba 15 składa się z 5 x 3.
• Wspólną wielokrotnością będą następujące czynniki: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Po znalezieniu mianownika należy obliczyć współczynnik, który będzie inny dla każdego ułamka, to znaczy liczbę, przez którą konieczne będzie pomnożenie nie tylko mianownika, ale także licznika. Aby to zrobić, podziel znalezioną liczbę (wspólną wielokrotność) przez mianownik ułamka, dla którego należy określić dodatkowe współczynniki.

• 90 podzielone przez 15. Wynikowa liczba „6” będzie mnożnikiem przez 3/15.
• 90 podzielone przez 18. Wynikowa liczba „5” będzie mnożnikiem przez 4/18.

Kolejnym etapem naszego rozwiązania jest sprowadzenie każdego ułamka do mianownika „90”.

Mówiliśmy już o tym, jak to się robi. Zobaczmy jak to jest napisane na przykładzie:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Jeśli ułamki mają małe liczby, możesz ustalić wspólny mianownik, jak w przykładzie pokazanym na obrazku poniżej.



To samo dotyczy osób o różnych mianownikach.

Odejmowanie i posiadanie części całkowitych

Omówiliśmy już szczegółowo odejmowanie ułamków i ich dodawanie. Ale jak odjąć, jeśli ułamek ma cała część? Ponownie zastosujmy kilka zasad:

• Zamień wszystkie ułamki zwykłe zawierające część całkowitą na niewłaściwe. Krótko mówiąc, usuń całą część. Aby to zrobić, pomnóż liczbę części całkowitej przez mianownik ułamka i dodaj uzyskany iloczyn do licznika. Liczba, która pojawi się po tych działaniach, jest licznikiem ułamek niewłaściwy. Mianownik pozostaje niezmieniony.
• Jeśli ułamki mają różne mianowniki, należy je sprowadzić do tego samego mianownika.
• Wykonaj dodawanie lub odejmowanie przy tych samych mianownikach.
• Jeśli otrzymasz ułamek niewłaściwy, wybierz całą część.



Istnieje inny sposób dodawania i odejmowania ułamków całkowitych. Aby to zrobić, akcje są wykonywane osobno z całymi częściami, a akcje z ułamkami osobno, a wyniki są rejestrowane razem.



Podany przykład składa się z ułamków o tym samym mianowniku. W przypadku, gdy mianowniki są różne, należy je doprowadzić do tej samej wartości, a następnie wykonać czynności jak pokazano w przykładzie.

Odejmowanie ułamków od liczb całkowitych

Innym rodzajem akcji z ułamkami jest sytuacja, gdy ułamek należy odjąć od Na pierwszy rzut oka podobny przykład wydaje się trudne do rozwiązania. Jednak tutaj wszystko jest dość proste. Aby go rozwiązać, musisz przekonwertować liczbę całkowitą na ułamek i z tym samym mianownikiem, który jest w odejmowanym ułamku. Następnie wykonujemy odejmowanie podobne do odejmowania o identycznych mianownikach. Na przykładzie wygląda to tak:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Odejmowanie ułamków (ocena 6) przedstawione w tym artykule jest podstawą do rozwiązania większej liczby złożone przykłady, które omawiane są na kolejnych zajęciach. Znajomość tego tematu jest następnie wykorzystywana do rozwiązywania funkcji, pochodnych i tak dalej. Dlatego bardzo ważne jest zrozumienie i zrozumienie operacji na ułamkach omówionych powyżej.

Kolejną czynnością, którą można wykonać na ułamkach zwykłych, jest odejmowanie. W tym materiale przyjrzymy się, jak poprawnie obliczyć różnicę między ułamkami o podobnych i różnych mianownikach, jak odjąć ułamek od liczby naturalnej i odwrotnie. Wszystkie przykłady zostaną zilustrowane problemami. Wyjaśnijmy z góry, że zbadamy tylko przypadki, w których różnica ułamków daje liczbę dodatnią.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Jak znaleźć różnicę między ułamkami o podobnych mianownikach

Zacznijmy od razu od jasnego przykładu: powiedzmy, że mamy jabłko podzielone na osiem części. Zostawmy pięć części na talerzu i weźmy dwie z nich. Działanie to można zapisać w następujący sposób:

W rezultacie pozostały nam 3 ósme, ponieważ 5 - 2 = 3. Okazuje się, że 5 8 - 2 8 = 3 8.

A tym samym prosty przykład Widzieliśmy dokładnie, jak działa zasada odejmowania w przypadku ułamków, których mianowniki są takie same. Sformułujmy to.

Definicja 1

Aby znaleźć różnicę między ułamkami o takich samych mianownikach, należy odjąć licznik drugiego ułamka od licznika jednego i pozostawić mianownik bez zmian. Regułę tę można zapisać jako a b - c b = a - c b.

Będziemy korzystać z tej formuły w przyszłości.

Weźmy konkretne przykłady.

Przykład 1

Odejmij ułamek zwykły 17 15 od ułamka 24 15.

Rozwiązanie

Widzimy, że te ułamki mają te same mianowniki. Wszystko, co musimy zrobić, to odjąć 17 od 24. Dostajemy 7 i dodajemy do tego mianownik, otrzymujemy 7 15.

Nasze obliczenia można zapisać w następujący sposób: 24 15 - 17 15 = 24 - 17 15 = 7 15

W razie potrzeby możesz skrócić ułamek złożony lub wybrać całą część z ułamka niewłaściwego, aby liczenie było wygodniejsze.

Przykład 2

Znajdź różnicę 37 12 - 15 12.

Rozwiązanie

Skorzystajmy ze wzoru opisanego powyżej i obliczmy: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12

Łatwo zauważyć, że licznik i mianownik można podzielić przez 2 (mówiliśmy już o tym wcześniej, badając znaki podzielności). Skracając odpowiedź, otrzymujemy 11 6. Jest to ułamek niewłaściwy, z którego wybierzemy całą część: 11 6 = 1 5 6.

Jak znaleźć różnicę ułamków o różnych mianownikach

Tę operację matematyczną można sprowadzić do tego, co już opisaliśmy powyżej. Aby to zrobić, po prostu redukujemy niezbędne ułamki do tego samego mianownika. Sformułujmy definicję:

Definicja 2

Aby znaleźć różnicę między ułamkami o różnych mianownikach, należy je sprowadzić do tego samego mianownika i znaleźć różnicę między licznikami.

Spójrzmy na przykład, jak to się robi.

Przykład 3

Odejmij ułamek 1 15 od 2 9.

Rozwiązanie

Mianowniki są różne i należy je sprowadzić do najmniejszej wspólnej wartości. W w tym przypadku LCM jest równe 45. Pierwszy ułamek wymaga dodatkowego współczynnika 5, a drugi - 3.

Obliczmy: 2 9 = 2 5 9 5 = 10 45 1 15 = 1 3 15 3 = 3 45

Mamy dwa ułamki o tym samym mianowniku i teraz możemy łatwo znaleźć ich różnicę, korzystając z algorytmu opisanego wcześniej: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45

Krótkie podsumowanie rozwiązania wygląda następująco: 2 9 - 1 15 = 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45.

Nie zaniedbuj zmniejszenia wyniku lub oddzielenia od niego całej części, jeśli to konieczne. W tym przykładzie nie musimy tego robić.

Przykład 4

Znajdź różnicę 19 9 - 7 36.

Rozwiązanie

Skróćmy ułamki wskazane w warunku do najniższego wspólnego mianownika 36 i otrzymajmy odpowiednio 76 9 i 7 36.

Obliczamy odpowiedź: 76 36 - 7 36 = 76 - 7 36 = 69 36

Wynik można zmniejszyć o 3 i uzyskać 23 12. Licznik jest większy od mianownika, co oznacza, że ​​możemy wybrać całą część. Ostateczna odpowiedź to 1 11 12.

Krótkie podsumowanie całego rozwiązania to 19 9 - 7 36 = 1 11 12.

Jak odjąć liczbę naturalną od ułamka zwykłego

Czynność tę można również łatwo sprowadzić do prostego odejmowania ułamków zwykłych. Można to zrobić, przedstawiając liczbę naturalną w postaci ułamka. Pokażmy to na przykładzie.

Przykład 5

Znajdź różnicę 83 21 – 3 .

Rozwiązanie

3 to to samo co 3 1. Następnie możesz to obliczyć w ten sposób: 83 21 - 3 = 20 21.

Jeśli warunek wymaga odjęcia liczby całkowitej od ułamka niewłaściwego, wygodniej jest najpierw oddzielić od niej liczbę całkowitą, zapisując ją jako liczbę mieszaną. Wtedy poprzedni przykład można rozwiązać inaczej.

Z ułamka 83 21, oddzielając całą część, otrzymasz 83 21 = 3 20 21.

Teraz odejmijmy od tego 3: 3 20 21 - 3 = 20 21.

Jak odjąć ułamek od liczby naturalnej

Czynność tę wykonujemy analogicznie do poprzedniej: zapisujemy liczbę naturalną jako ułamek, sprowadzamy obie do jednego mianownika i znajdujemy różnicę. Zilustrujmy to przykładem.

Przykład 6

Znajdź różnicę: 7 - 5 3 .

Rozwiązanie

Zróbmy 7 ułamkiem 7 1. Wykonujemy odejmowanie i przeliczanie ostateczny wynik, oddzielając od niego całą część: 7 - 5 3 = 5 1 3.

Istnieje inny sposób wykonywania obliczeń. Ma pewne zalety, które można wykorzystać w przypadkach, gdy liczniki i mianowniki ułamków w zadaniu są dużymi liczbami.

Definicja 3

Jeśli ułamek, który należy odjąć, jest właściwy, wówczas liczbę naturalną, od której odejmujemy, należy przedstawić jako sumę dwóch liczb, z których jedna jest równa 1. Następnie musisz odjąć żądany ułamek od jedności i uzyskać odpowiedź.

Przykład 7

Oblicz różnicę 1 065 - 13 62.

Rozwiązanie

Ułamek, który należy odjąć, jest właściwy, ponieważ jego licznik jest mniejszy od mianownika. Dlatego musimy odjąć jeden od 1065 i odjąć od niego żądany ułamek: 1065 - 13 62 = (1064 + 1) - 13 62

Teraz musimy znaleźć odpowiedź. Korzystając z właściwości odejmowania, wynikowe wyrażenie można zapisać jako 1064 + 1 - 13 62. Obliczmy różnicę w nawiasach. Aby to zrobić, wyobraźmy sobie jednostkę jako ułamek 1 1.

Okazuje się, że 1 - 13 62 = 1 1 - 13 62 = 62 62 - 13 62 = 49 62.

Przypomnijmy sobie teraz około 1064 i sformułujmy odpowiedź: 1064 49 62.

Używamy stara droga udowodnić, że jest to mniej wygodne. Oto obliczenia, które byśmy wykonali:

1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 62 1 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 1064 4 6

Odpowiedź jest taka sama, ale obliczenia są oczywiście bardziej kłopotliwe.

Rozważaliśmy przypadek, gdy musimy odjąć właściwy ułamek. Jeśli jest niepoprawna, zastępujemy ją liczbą mieszaną i odejmujemy według znanych nam zasad.

Przykład 8

Oblicz różnicę 644 - 73 5.

Rozwiązanie

Drugi ułamek jest ułamkiem niewłaściwym i należy od niego oddzielić całą część.

Teraz obliczamy podobnie jak w poprzednim przykładzie: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

Właściwości odejmowania podczas pracy z ułamkami

Właściwości, które ma odejmowanie liczby naturalne, stosuje się także do przypadków odejmowania ułamków zwykłych. Przyjrzyjmy się, jak z nich korzystać przy rozwiązywaniu przykładów.

Przykład 9

Znajdź różnicę 24 4 - 3 2 - 5 6.

Rozwiązanie

Rozwiązaliśmy już podobne przykłady odejmowania sumy od liczby, więc postępujemy według dobrze znanego algorytmu. Najpierw obliczmy różnicę 25 4 - 3 2, a następnie odejmijmy od niej ostatni ułamek:

25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12

Przekształćmy odpowiedź, oddzielając od niej całą część. Wynik - 3 11 12.

Krótkie podsumowanie całego rozwiązania:

25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12

Jeśli wyrażenie zawiera zarówno ułamki zwykłe, jak i liczby naturalne, podczas obliczeń zaleca się pogrupowanie ich według typu.

Przykład 10

Znajdź różnicę 98 + 17 20 - 5 + 3 5.

Rozwiązanie

Znając podstawowe prawa odejmowania i dodawania, możemy pogrupować liczby w następujący sposób: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5

Dokończmy obliczenia: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Notatka! Zanim napiszesz ostateczną odpowiedź, spójrz, może ci się uda zmniejszyć frakcja, które otrzymałeś.

Odejmowanie ułamków zwykłych o podobnych mianownikach, przykłady:

,

,

Odejmowanie ułamka właściwego od jedności.

Jeśli chcesz odjąć ułamek od jedności, czyli prawidłowy, jednostka jest konwertowana do postaci ułamek niewłaściwy, jego mianownik jest równy mianownikowi odejmowanego ułamka.

Przykład odjęcia ułamka właściwego od jedności:

Mianownik ułamka, który należy odjąć = 7 , czyli przedstawiamy jedynkę jako ułamek niewłaściwy 7/7 i odejmujemy ją zgodnie z zasadą odejmowania ułamków o podobnych mianownikach.

Odejmowanie ułamka właściwego od liczby całkowitej.

Zasady odejmowania ułamków - poprawna liczba całkowita (Liczba naturalna) :

• Podane ułamki zwykłe zawierające część całkowitą zamieniamy na niewłaściwe. Otrzymujemy wyrazy normalne (nie ma znaczenia, czy mają różne mianowniki), które obliczamy według podanych powyżej zasad;
• Następnie obliczamy różnicę między otrzymanymi ułamkami. W rezultacie prawie znajdziemy odpowiedź;
• Wykonujemy transformację odwrotną, czyli pozbywamy się ułamka niewłaściwego - wybieramy całą część ułamka.

Odejmij ułamek właściwy od liczby całkowitej: przedstaw liczbę naturalną jako liczbę mieszaną. Te. Bierzemy jednostkę liczby naturalnej i przekształcamy ją do postaci ułamka niewłaściwego, przy czym mianownik jest taki sam jak ułamka odjętego.

Przykład odejmowania ułamków:

W przykładzie zastąpiliśmy jeden ułamkiem niewłaściwym 7/7 i zamiast 3 pisaliśmy pomieszane numery i od części ułamkowej odjęto ułamek.

Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach.

Lub, ujmując to inaczej, odejmowanie różnych ułamków.

Zasada odejmowania ułamków o różnych mianownikach. Aby odjąć ułamki o różnych mianownikach, konieczne jest najpierw sprowadź te ułamki do najmniejszych wspólnych mianownik (NOZ) i dopiero potem wykonaj odejmowanie jak w przypadku ułamków o tych samych mianownikach.

Wspólnym mianownikiem kilku ułamków jest LCM (najmniejsza wspólna wielokrotność) liczby naturalne będące mianownikami tych ułamków.

Uwaga! Jeśli w ułamku końcowym licznik i mianownik są wspólne mnożniki, to ułamek należy zmniejszyć. Ułamek niewłaściwy najlepiej przedstawić jako ułamek mieszany. Pozostawienie wyniku odejmowania bez zmniejszania ułamka tam, gdzie to możliwe, jest niekompletnym rozwiązaniem przykładu!

Procedura odejmowania ułamków o różnych mianownikach.

• znajdź LCM dla wszystkich mianowników;
• umieść dodatkowe współczynniki dla wszystkich frakcji;
• zwielokrotniać wszystkie liczniki przez dodatkowy współczynnik;
• Powstałe iloczyny zapisujemy do licznika, podpisując wspólny mianownik pod wszystkimi ułamkami;
• odejmij liczniki ułamków, podpisując wspólny mianownik pod różnicą.

W ten sam sposób jest to przeprowadzane dodatek i odejmowanie ułamków zwykłych, jeśli w liczniku znajdują się litery.

Odejmowanie ułamków, przykłady:

Odejmowanie ułamków mieszanych.

Na odejmowanie ułamków mieszanych (liczb) osobno część całkowitą odejmuje się od części całkowitej, a część ułamkową odejmuje się od części ułamkowej.

Pierwsza opcja odejmowania ułamków mieszanych.

Jeśli części ułamkowe ten sam mianowniki i licznik części ułamkowej odejmowania (odejmujemy od niej) ≥ licznik części ułamkowej odejmowania (odejmujemy).

Na przykład:

Druga opcja odejmowania ułamków mieszanych.

Kiedy części ułamkowe różny mianowniki. Na początek sprowadzamy części ułamkowe do wspólnego mianownika, a następnie odejmujemy całą część od całości, a część ułamkową od części ułamkowej.

Na przykład:

Trzecia opcja odejmowania ułamków mieszanych.

Część ułamkowa odejmowania jest mniejsza niż część ułamkowa odejmowania.

Przykład:

Ponieważ Części ułamkowe mają różne mianowniki, co oznacza, że ​​podobnie jak w drugiej opcji, najpierw sprowadzamy ułamki zwykłe do wspólnego mianownika.

Licznik części ułamkowej odejmowania jest mniejszy niż licznik części ułamkowej odejmowania.3 < 14. Oznacza to, że z całej części bierzemy jednostkę i sprowadzamy ją do postaci ułamka niewłaściwego o tym samym mianowniku i liczniku = 18.

W liczniku po prawej stronie zapisujemy sumę liczników, następnie w liczniku po prawej stronie otwieramy nawiasy, czyli wszystko mnożymy i podajemy podobne. Nie otwieramy nawiasów w mianowniku. Zwyczajowo pozostawia się iloczyn w mianownikach. Otrzymujemy: