Jaka liczba pierwsza jest podzielna przez 3. Dzielenie

Znaki podzielności liczb warto znać 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 i inne liczby, aby szybko rozwiązywać problemy dotyczące cyfrowego zapisu liczb. Zamiast dzielić jedną liczbę przez drugą, wystarczy sprawdzić pewną liczbę znaków, na podstawie których można jednoznacznie określić, czy dana liczba jest podzielna przez drugą (czy jest wielokrotnością), czy też nie.

Podstawowe znaki podzielności

Dajmy podstawowe znaki podzielności liczb:

• Test podzielności liczby przez „2” Liczba jest podzielna przez 2, jeśli jest parzysta (ostatnia cyfra to 0, 2, 4, 6 lub 8)
  Przykład: Liczba 1256 jest wielokrotnością 2, ponieważ kończy się na 6. Ale liczby 49603 nie można równomiernie podzielić przez 2, ponieważ kończy się na 3.
• Test podzielności liczby przez „3” Liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 3
  Przykład: Liczba 4761 jest podzielna przez 3, ponieważ suma jej cyfr wynosi 18 i jest podzielna przez 3. Liczba 143 nie jest wielokrotnością 3, ponieważ suma jej cyfr wynosi 8 i nie jest podzielna przez 3.
• Test podzielności liczby przez „4” Liczba jest podzielna przez 4, jeśli jej dwie ostatnie cyfry wynoszą zero lub liczba złożona z dwóch ostatnich cyfr jest podzielna przez 4
  Przykład: Liczba 2344 jest wielokrotnością 4, ponieważ 44/4 = 11. Liczba 3951 nie jest podzielna przez 4, ponieważ 51 nie jest podzielna przez 4.
• Test podzielności liczby przez „5” Liczba jest podzielna przez 5, jeśli jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5
  Przykład: Liczba 5830 jest podzielna przez 5, ponieważ kończy się na 0. Ale liczba 4921 nie jest podzielna przez 5, ponieważ kończy się na 1.
• Test podzielności liczby przez „6” Liczba jest podzielna przez 6, jeśli dzieli się przez 2 i 3.
  Przykład: Liczba 3504 jest wielokrotnością 6, ponieważ kończy się na 4 (podzielna przez 2), a suma cyfr tej liczby wynosi 12 i jest podzielna przez 3 (podzielna przez 3). A liczba 5432 nie jest całkowicie podzielna przez 6, chociaż liczba kończy się na 2 (spełniane jest kryterium podzielności przez 2), jednak suma cyfr jest równa 14 i nie jest całkowicie podzielna przez 3.
• Test podzielności liczby przez „8” Liczba jest podzielna przez 8, jeśli trzy ostatnie cyfry tej liczby wynoszą zero lub liczba złożona z trzech ostatnich cyfr tej liczby jest podzielna przez 8
  Przykład: Liczba 93112 jest podzielna przez 8, ponieważ liczba 112 / 8 = 14. Liczba 9212 nie jest wielokrotnością 8, ponieważ 212 nie jest podzielne przez 8.
• Test podzielności liczby przez „9” Liczba jest podzielna przez 9, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 9
  Przykład: Liczba 2916 jest wielokrotnością 9, ponieważ suma cyfr wynosi 18 i jest podzielna przez 9. Liczba 831 nie jest podzielna przez 9, ponieważ suma cyfr tej liczby wynosi 12 i jest nie jest podzielna przez 9.
• Test podzielności liczby przez „10” Liczba jest podzielna przez 10, jeśli kończy się na 0
  Przykład: Liczba 39590 jest podzielna przez 10, ponieważ kończy się na 0. Liczba 5964 nie jest podzielna przez 10, ponieważ nie kończy się na 0.
• Test podzielności liczby przez „11” Liczba jest podzielna przez 11, jeśli suma cyfr w miejscach nieparzystych jest równa sumie cyfr w miejscach parzystych lub sumy muszą różnić się o 11
  Przykład: Liczba 3762 jest podzielna przez 11, ponieważ 3 + 6 = 7 + 2 = 9. Ale liczba 2374 nie jest podzielna przez 11, ponieważ 2 + 7 = 9 i 3 + 4 = 7.
• Test podzielności liczby przez „25” Liczba jest podzielna przez 25, jeśli kończy się na 00, 25, 50 lub 75
  Przykład: Liczba 4950 jest wielokrotnością 25, ponieważ kończy się na 50. Liczba 4935 nie jest podzielna przez 25, ponieważ kończy się na 35.

Znaki podzielności przez liczbę złożoną

Aby dowiedzieć się, czy dana liczba jest podzielna przez liczbę złożoną, należy uwzględnić tę liczbę złożoną czynniki względnie pierwsze, których znaki podzielności są znane. Liczby względnie pierwsze to liczby, które nie mają wspólnego dzielnika innego niż 1. Na przykład liczba jest podzielna przez 15, jeśli dzieli się przez 3 i 5.

Rozważmy inny przykład dzielnika złożonego: liczba jest podzielna przez 18, jeśli dzieli się przez 2 i 9. W w tym przypadku nie można rozwinąć 18 na 3 i 6, ponieważ nie są one względnie pierwsze, ponieważ mają wspólny dzielnik 3. Zobaczmy to na przykładzie.

Liczba 456 jest podzielna przez 3, ponieważ suma jej cyfr wynosi 15, i jest podzielna przez 6, ponieważ dzieli się zarówno przez 3, jak i 2. Ale jeśli ręcznie podzielisz 456 przez 18, otrzymasz resztę. Jeśli sprawdzisz znaki podzielności przez 2 i 9 dla liczby 456, od razu zobaczysz, że jest ona podzielna przez 2, ale nie jest podzielna przez 9, ponieważ suma cyfr liczby wynosi 15 i nie jest podzielna przez 9.

Istnieją znaki, dzięki którym czasami łatwo jest dowiedzieć się, bez faktycznego dzielenia, czy dana liczba jest podzielna, czy też nie jest podzielna przez inne liczby.

Liczby podzielne przez 2 nazywamy nawet. Liczba zero odnosi się również do liczb parzystych. Wszystkie pozostałe numery są wywoływane dziwne:

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... - parzyste,
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... - nieparzyste.

Znaki podzielności

Test na podzielność przez 2. Liczba jest podzielna przez 2, jeśli jej ostatnia cyfra jest parzysta. Na przykład liczba 4376 jest podzielna przez 2, ponieważ ostatnia cyfra (6) jest parzysta.

Test na podzielność przez 3. Tylko te liczby, których suma cyfr jest podzielna przez 3, są podzielne przez 3. Na przykład liczba 10815 jest podzielna przez 3, ponieważ suma jej cyfr 1 + 0 + 8 + 1 + 5 = 15 jest podzielna przez 3.

Testy na podzielność przez 4. Liczba jest podzielna przez 4, jeśli jej dwie ostatnie cyfry są zerami lub tworzą liczbę podzielną przez 4. Na przykład liczba 244500 jest podzielna przez 4, ponieważ kończy się dwoma zerami. Liczby 14708 i 7524 są podzielne przez 4, ponieważ dwie ostatnie cyfry tych liczb (08 i 24) są podzielne przez 4.

Testy na podzielność przez 5. Liczby kończące się na 0 lub 5 są podzielne przez 5. Na przykład liczba 320 jest podzielna przez 5, ponieważ ostatnią cyfrą jest 0.

Test podzielności przez 6. Liczba jest podzielna przez 6, jeśli dzieli się zarówno przez 2, jak i 3. Na przykład liczba 912 jest podzielna przez 6, ponieważ dzieli się zarówno przez 2, jak i 3.

Testy na podzielność przez 8. Dzielone przez 8 są liczby, których trzy ostatnie cyfry są zerami lub tworzą liczbę podzielną przez 8. Na przykład liczba 27000 jest podzielna przez 8, ponieważ kończy się trzema zerami. Liczba 63128 jest podzielna przez 8, ponieważ trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę (128), która jest podzielna przez 8.

Test podzielności przez 9. Tylko te liczby, których suma cyfr jest podzielna przez 9, są podzielne przez 9. Na przykład liczba 2637 jest podzielna przez 9, ponieważ suma jej cyfr 2 + 6 + 3 + 7 = 18 jest podzielna przez 9.

Znaki podzielności przez 10, 100, 1000 itd. Liczby kończące się jednym zerem, dwoma zerami, trzema zerami itd. są dzielone przez 10, 100, 1000 i tak dalej. Na przykład liczba 3800 jest podzielna przez 10 i 100.

Kontynuacja serii artykułów na temat kryteriów podzielności test podzielności przez 3. W tym artykule najpierw przedstawiono sformułowanie testu na podzielność przez 3 i podano przykłady użycia tego testu, aby dowiedzieć się, które z podanych liczb całkowitych są podzielne przez 3, a które nie. Poniżej znajduje się dowód testu na podzielność przez 3. Rozważane są także podejścia do ustalania podzielności przez 3 liczb podanych jako wartość jakiegoś wyrażenia.

Nawigacja strony.

Test podzielności przez 3, przykłady

Zacznijmy sformułowania testu podzielności przez 3: liczba całkowita jest podzielna przez 3, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez 3, jeśli suma cyfr podany numer nie jest podzielna przez 3, to sama liczba nie jest podzielna przez 3.

Z powyższego sformułowania jasno wynika, że ​​testu podzielności przez 3 nie można zastosować bez możliwości jego wykonania. Ponadto, aby pomyślnie zastosować test podzielności przez 3, musisz wiedzieć, że ze wszystkich liczb 3, 6 i 9 są podzielne przez 3, ale liczby 1, 2, 4, 5, 7 i 8 nie są podzielne przez 3 .

Teraz możemy rozważyć najprostsze przykłady wykorzystania testu podzielności przez 3. Sprawdźmy, czy liczba -42 jest podzielna przez 3. Aby to zrobić, obliczamy sumę cyfr liczby −42, która jest równa 4+2=6. Ponieważ 6 jest podzielne przez 3, zatem na podstawie testu podzielności przez 3 możemy powiedzieć, że liczba -42 jest również podzielna przez 3. Ale dodatnia liczba całkowita 71 nie jest podzielna przez 3, ponieważ suma jej cyfr wynosi 7 + 1 = 8, a 8 nie jest podzielne przez 3.

Czy 0 jest podzielne przez 3? Aby odpowiedzieć na to pytanie, nie będziesz potrzebować własności podzielności przez 3; tutaj musisz pamiętać odpowiednią własność podzielności, która stwierdza, że ​​zero jest podzielne przez dowolną liczbę całkowitą. Zatem 0 jest podzielne przez 3.

W niektórych przypadkach, aby wykazać, że dana liczba jest lub nie jest podzielna przez 3, należy zastosować test podzielności przez 3 kilka razy z rzędu. Podajmy przykład.

Przykład.

Pokaż, że liczba 907 444 812 jest podzielna przez 3.

Rozwiązanie.

Suma cyfr liczby 907 444 812 wynosi 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39. Aby dowiedzieć się, czy liczba 39 jest podzielna przez 3, obliczmy jej sumę cyfr: 3+9=12. Aby dowiedzieć się, czy 12 jest podzielne przez 3, znajdujemy sumę cyfr liczby 12 i mamy 1+2=3. Ponieważ otrzymaliśmy liczbę 3, która jest podzielna przez 3, to na mocy testu podzielności przez 3 liczba 12 jest podzielna przez 3. Dlatego 39 jest podzielne przez 3, ponieważ suma jej cyfr wynosi 12, a 12 jest podzielne przez 3. Wreszcie 907 333 812 jest podzielne przez 3, ponieważ suma jej cyfr wynosi 39, a 39 jest podzielne przez 3.

Aby skonsolidować materiał, przeanalizujemy rozwiązanie na innym przykładzie.

Przykład.

Czy -543,205 jest podzielne przez 3?

Rozwiązanie.

Obliczmy sumę cyfr tej liczby: 5+4+3+2+0+5=19. Z kolei suma cyfr liczby 19 wynosi 1+9=10, a suma cyfr liczby 10 wynosi 1+0=1. Ponieważ otrzymaliśmy liczbę 1, która nie jest podzielna przez 3, z testu podzielności przez 3 wynika, że ​​10 nie jest podzielne przez 3. Dlatego 19 nie jest podzielne przez 3, ponieważ suma jej cyfr wynosi 10, a 10 nie jest podzielne przez 3. Dlatego pierwotna liczba -543,205 nie jest podzielna przez 3, ponieważ suma jej cyfr równa 19 nie jest podzielna przez 3.

Odpowiedź:

NIE.

Warto zauważyć, że bezpośrednie podzielenie danej liczby przez 3 pozwala nam również stwierdzić, czy dana liczba jest podzielna przez 3, czy nie. Chcemy przez to powiedzieć, że nie powinniśmy zaniedbywać dzielenia na rzecz kryterium podzielności przez 3. W ostatni przykład, 543,205 przez 3, upewnilibyśmy się, że 543,205 nie jest podzielne przez 3, z czego moglibyśmy powiedzieć, że -543,205 nie jest podzielne przez 3.

Dowód testu podzielności przez 3

Poniższe przedstawienie liczby a pomoże nam udowodnić test podzielności przez 3. Każdy Liczba naturalna a możemy, po czym pozwala nam to otrzymać reprezentację postaci , gdzie a n, a n−1, ..., a 0 to cyfry od lewej do prawej w zapisie liczby a. Dla jasności podajemy przykład takiej reprezentacji: 528=500+20+8=5·100+2·10+8.

Zapiszmy teraz kilka dość oczywistych równości: 10=9+1=3·3+1, 100=99+1=33·3+1, 1 000=999+1=333·3+1 i tak dalej .

Podstawienie do równości a=a n ·10 n +a n−1 ·10 n−1 +…+a 2 ·10 2 +a 1 ·10+a 0 zamiast 10, 100, 1000 i tak dalej, wyrażenia 3,3+1, 33,3+1, 999+1=333,3+1 i tak dalej, otrzymujemy
.

Pozwalają również na przepisanie powstałej równości w następujący sposób:

Wyrażenie jest sumą cyfr liczby a. Dla zwięzłości i wygody oznaczmy to literą A, czyli akceptujemy. Następnie otrzymamy reprezentację liczby a w postaci, której użyjemy do udowodnienia testu na podzielność przez 3.

Ponadto, aby udowodnić test na podzielność przez 3, potrzebujemy następujących właściwości podzielności:

• Aby liczba całkowita a była podzielna przez liczbę całkowitą b, konieczne i wystarczające jest, aby a była podzielna przez moduł b;
• jeśli w równości a=s+t wszystkie wyrazy z wyjątkiem jednego są podzielne przez jakąś liczbę całkowitą b, to ten jeden wyraz jest także podzielny przez b.

Teraz jesteśmy w pełni przygotowani i możemy przeprowadzić dowód podzielności przez 3 dla wygody formułujemy to kryterium w postaci warunku koniecznego i wystarczającego podzielności przez 3.

Twierdzenie.

Aby liczba całkowita a była podzielna przez 3, konieczne i wystarczające jest, aby suma jej cyfr była podzielna przez 3.

Dowód.

Dla a=0 twierdzenie jest oczywiste.

Jeśli a jest różne od zera, to moduł liczby a jest liczbą naturalną, wtedy reprezentacja jest możliwa, gdzie jest sumą cyfr liczby a.

Ponieważ suma i iloczyn liczb całkowitych jest liczbą całkowitą, to jest to liczba całkowita, to zgodnie z definicją podzielności iloczyn jest podzielny przez 3 dla dowolnego a 0, a 1, ..., n.

Jeżeli suma cyfr liczby a jest podzielna przez 3, to znaczy, że A jest podzielna przez 3, to zgodnie z właściwością podzielności wskazaną przed twierdzeniem, jest ona podzielna przez 3, zatem a jest podzielna przez 3. Zatem wystarczalność została udowodniona.

Jeśli a jest podzielne przez 3, następnie jest podzielne przez 3, wówczas, ze względu na tę samą właściwość podzielności, liczba A jest podzielna przez 3, to znaczy suma cyfr liczby a jest podzielna przez 3. Konieczność została udowodniona.

Inne przypadki podzielności przez 3

Czasami liczby całkowite nie są określone jawnie, ale jako wartość niektórych podana wartość zmienny. Na przykład wartość wyrażenia dla pewnej liczby naturalnej n jest liczbą naturalną. Oczywiste jest, że przy określaniu liczb w ten sposób bezpośrednie dzielenie przez 3 nie pomoże ustalić ich podzielności przez 3, a test podzielności przez 3 nie zawsze można zastosować. Teraz przyjrzymy się kilku sposobom rozwiązania takich problemów.

Istotą tych podejść jest przedstawienie pierwotnego wyrażenia jako iloczynu kilku czynników, a jeśli przynajmniej jeden z czynników jest podzielny przez 3, to dzięki odpowiedniej właściwości podzielności będzie można stwierdzić, że cały iloczyn jest podzielna przez 3.

Czasami takie podejście pozwala na jego wdrożenie. Spójrzmy na przykładowe rozwiązanie.

Przykład.

Czy wartość wyrażenia jest podzielna przez 3 dla dowolnej liczby naturalnej n?

Rozwiązanie.

Równość jest oczywista. Skorzystajmy ze wzoru dwumianu Newtona:

W ostatnim wyrażeniu możemy wyjąć 3 z nawiasów i otrzymamy . Powstały iloczyn dzieli się przez 3, ponieważ zawiera współczynnik 3, a wartość wyrażenia w nawiasach dla naturalnego n oznacza liczbę naturalną. Dlatego jest podzielna przez 3 dla dowolnej liczby naturalnej n.

Odpowiedź:

Tak.

W wielu przypadkach można udowodnić podzielność przez 3. Przyjrzyjmy się jego zastosowaniu przy rozwiązywaniu przykładu.

Przykład.

Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n wartość wyrażenia jest podzielna przez 3.

Rozwiązanie.

Aby to udowodnić, posłużymy się metodą indukcji matematycznej.

Na n=1 wartość wyrażenia wynosi , a 6 dzieli się przez 3.

Załóżmy, że wartość wyrażenia jest podzielna przez 3, gdy n=k, to znaczy jest podzielna przez 3.

Biorąc pod uwagę, że jest podzielna przez 3, pokażemy, że wartość wyrażenia dla n=k+1 jest podzielna przez 3, czyli pokażemy, że podzielna przez 3.

Zacznijmy rozważać temat „Test podzielności przez 3”. Zacznijmy od sformułowania znaku i przedstawienia dowodu twierdzenia. Następnie rozważymy główne podejścia do ustalania podzielności przez 3 liczb, których wartość jest podana przez jakieś wyrażenie. W tej części dokonano analizy rozwiązań głównych typów problemów w oparciu o test podzielności przez 3.

Test podzielności przez 3, przykłady

Test na podzielność przez 3 jest sformułowany w prosty sposób: liczba całkowita będzie podzielna przez 3 bez reszty, jeśli suma jej cyfr będzie podzielna przez 3. Jeśli łączna wartość wszystkich cyfr tworzących liczbę całkowitą nie jest podzielna przez 3, to sama liczba pierwotna nie jest podzielna przez 3. Sumę wszystkich cyfr liczby całkowitej można uzyskać, dodając liczby naturalne.

Przyjrzyjmy się teraz przykładom zastosowania testu podzielności przez 3.

Przykład 1

Czy liczba 42 jest podzielna przez 3?

Rozwiązanie

Aby odpowiedzieć na to pytanie, dodajemy wszystkie liczby tworzące liczbę - 42: 4 + 2 = 6.

Odpowiedź: Zgodnie z testem podzielności, skoro suma cyfr zawartych w liczbie pierwotnej jest podzielna przez trzy, to sama liczba pierwotna jest podzielna przez 3.

Aby odpowiedzieć na pytanie, czy liczba 0 jest podzielna przez 3, potrzebna jest własność podzielności, zgodnie z którą zero jest podzielne przez dowolną liczbę całkowitą. Okazuje się, że zero jest podzielne przez trzy.

Istnieją problemy, dla których konieczne jest kilkukrotne skorzystanie z testu podzielności przez 3.

Przykład 2

Pokaż tę liczbę 907 444 812 podzielna przez 3.

Rozwiązanie

Znajdźmy sumę wszystkich cyfr tworzących pierwotną liczbę: 9 + 0 + 7 + 4 + 4 + 4 + 8 + 1 + 2 = 39 . Teraz musimy ustalić, czy liczba 39 jest podzielna przez 3. Jeszcze raz dodajemy liczby tworzące tę liczbę: 3 + 9 = 12 . Musimy tylko ponownie dodać liczby, aby uzyskać ostateczną odpowiedź: 1 + 2 = 3 . Liczba 3 jest podzielna przez 3

Odpowiedź: oryginalny numer 907 444 812 jest również podzielna przez 3.

Przykład 3

Czy liczba jest podzielna przez 3? − 543 205 ?

Rozwiązanie

Obliczmy sumę cyfr tworzących pierwotną liczbę: 5 + 4 + 3 + 2 + 0 + 5 = 19 . Teraz obliczmy sumę cyfr wynikowej liczby: 1 + 9 = 10 . Aby uzyskać ostateczną odpowiedź, znajdujemy wynik jeszcze jednego dodania: 1 + 0 = 1 .
Odpowiedź: 1 nie jest podzielna przez 3, co oznacza, że ​​pierwotna liczba nie jest podzielna przez 3.

Aby ustalić, czy dana liczba jest podzielna przez 3 bez reszty, możemy ją podzielić przez 3. Jeśli podzielisz liczbę − 543 205 z omówionego powyżej przykładu z kolumną trzech, to w odpowiedzi nie otrzymamy liczby całkowitej. Oznacza to również, że − 543 205 nie można podzielić przez 3 bez reszty.

Dowód testu podzielności przez 3

Tutaj potrzebujemy następujące umiejętności: rozkład liczby na cyfry i zasada mnożenia przez 10, 100 itd. Aby przeprowadzić dowód musimy uzyskać reprezentację liczby a postaci , Gdzie za n , za n - 1 , … , za 0- są to liczby znajdujące się od lewej do prawej w zapisie liczby.

Oto przykład użycia określonej liczby: 528 = 500 + 20 + 8 = 5 100 + 2 10 + 8.

Zapiszmy ciąg równości: 10 = 9 + 1 = 3 3 + 1, 100 = 99 + 1 = 33 3 + 1, 1000 = 999 + 1 = 333 3 + 1 i tak dalej.

Teraz podstawmy te równości zamiast 10, 100 i 1000 do równości podanych wcześniej za = za n 10 n + za n - 1 10 n - 1 + … + za 2 10 2 + za 1 10 + za 0.

W ten sposób doszliśmy do równości:

za = za n 10 n + … + za 2 100 + za 1 10 + za 0 = = za n 33. . . . 3 3 + 1 + … + za 2 33 3 + 1 + za 1 3 3 + 1 + za 0

Zastosujmy teraz właściwości dodawania i właściwości mnożenia liczb naturalnych, aby przepisać wynikową równość w następujący sposób:

za = za n · 33 . . . 3 · 3 + 1 + . . . + + za 2 · 33 · 3 + 1 + za 1 · 3 · 3 + 1 + za 0 = = 3 · 33 . . . 3 za n + za n + . . . + + 3 · 33 · za 2 + za 2 + 3 · 3 · za 1 + za 1 + za 0 = = 3 · 33 . . . 3 za n + . . . + + 3 · 33 · za 2 + 3 · 3 · za 1 + + za n + . . . + za 2 + za 1 + za 0 = = 3 33 . . . 3 · za n + … + 33 · za 2 + 3 · za 1 + + za n + . . . + za 2 + za 1 + za 0

Wyrażenie n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 to suma cyfr pierwotnej liczby a. Wprowadźmy dla niego nową, krótką notację A. Otrzymujemy: A = a n + . . . + za 2 + za 1 + za 0 .

W tym przypadku reprezentacja liczby to a = 3 33. . . 3 za n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A przyjmuje postać, która będzie dla nas wygodna do udowodnienia testu na podzielność przez 3.

Definicja 1

Przypomnijmy sobie teraz następujące własności podzielności:

• warunek konieczny i wystarczający, aby liczba całkowita a była podzielna przez liczbę całkowitą
  ​​​​​​ b , jest warunkiem, według którego moduł liczby a jest dzielony przez moduł liczby b;
• jeśli w równości a = s + t wszystkie wyrazy z wyjątkiem jednego są podzielne przez pewną liczbę całkowitą b, to ten jeden wyraz jest również podzielny przez b.

Położyliśmy podwaliny pod dowód testu podzielności przez 3. Sformułujmy teraz tę cechę w formie twierdzenia i udowodnijmy ją.

Twierdzenie 1

Aby stwierdzić, że liczba całkowita a jest podzielna przez 3, jest dla nas konieczne i wystarczające, aby suma cyfr tworzących zapis liczby a była podzielna przez 3.

Dowód 1

Jeśli przyjmiemy wartość a = 0, to twierdzenie jest oczywiste.

Jeśli weźmiemy liczbę a różną od zera, wówczas moduł liczby a będzie liczbą naturalną. Dzięki temu możemy napisać następującą równość:

za = 3 · 33 . . . 3 za n + . . . + 33 · za 2 + 3 · za 1 + ZA , gdzie A = za n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 - suma cyfr liczby a.

Ponieważ suma i iloczyn liczb całkowitych jest liczbą całkowitą, zatem
33. . . 3 za n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 jest liczbą całkowitą, wówczas z definicji podzielności iloczyn wynosi 3 · 33. . . 3 za n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 jest podzielne przez 3 dla każdego za 0 , za 1 , … , za n.

Jeżeli suma cyfr liczby A podzielony przez 3 , to jest, A podzielony przez 3 , to ze względu na właściwość podzielności wskazaną przed twierdzeniem, a jest dzielone przez 3 , stąd, A podzielony przez 3 . Zatem wystarczalność została udowodniona.

Jeśli A podzielony przez 3 , to a jest również podzielne przez 3 , to ze względu na tę samą właściwość podzielności, liczbę
A podzielony przez 3 , czyli suma cyfr liczby A podzielony przez 3 . Konieczność została udowodniona.

Inne przypadki podzielności przez 3

Liczby całkowite można określić jako wartość jakiegoś wyrażenia zawierającego zmienną, przy określonej wartości tej zmiennej. Zatem dla pewnej liczby naturalnej n wartość wyrażenia 4 n + 3 n - 1 jest liczbą naturalną. W tym przypadku bezpośredni podział przez 3 nie może dać nam odpowiedzi na pytanie, czy liczba jest podzielna przez 3 . Zastosowanie testu podzielności dla 3 może być również trudne. Spójrzmy na przykłady takich problemów i spójrzmy na metody ich rozwiązania.

Aby rozwiązać takie problemy, można zastosować kilka podejść. Istota jednego z nich jest następująca:

• przedstawiamy oryginalne wyrażenie jako iloczyn kilku czynników;
• dowiedzieć się, czy co najmniej jeden z czynników można podzielić przez 3 ;
• Na podstawie własności podzielności wnioskujemy, że cały iloczyn jest podzielny przez 3 .

Przy rozwiązywaniu często trzeba uciekać się do wzoru dwumianu Newtona.

Przykład 4

Czy wartość wyrażenia 4 n + 3 n - 1 jest podzielna przez 3 pod jakimkolwiek naturalnym N?

Rozwiązanie

Zapiszmy równość 4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 . Zastosujmy wzór dwumianu Newtona:

4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 = = (C n 0 3 n + do n 1 3 n - 1 1 +. . . + + do n n - 2 3 2 · 1 n - 2 + do n n - 1 · 3 · 1 n - 1 + do n n · 1 n) + + 3 n - 4 = = 3 n + do n 1 · 3 n - 1 · 1 + . . . + do n n - 2 · 3 2 + n · 3 + 1 + + 3 n - 4 = = 3 n + do n 1 · 3 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 3 2 + 6 n - 3

Teraz to wyjmijmy 3 poza nawiasami: 3 · 3 n - 1 + C n 1 · 3 n - 2 + . . . + do n n - 2 · 3 + 2 n - 1 . Powstały produkt zawiera mnożnik 3 , a wartość wyrażenia w nawiasach dla naturalnego n oznacza liczbę naturalną. To pozwala nam stwierdzić, że wynikowy iloczyn i pierwotne wyrażenie 4 n + 3 n - 1 są podzielone przez 3 .

Odpowiedź: Tak.

Możemy także skorzystać z metody indukcji matematycznej.

Przykład 5

Wykaż metodą indukcji matematycznej, że dla dowolnego naturalnego
n wartość wyrażenia n n 2 + 5 jest dzielona przez 3 .

Rozwiązanie

Znajdźmy wartość wyrażenia n · n 2 + 5 kiedy n=1: 1 · 1 2 + 5 = 6 . 6 jest podzielne przez 3 .

Załóżmy teraz, że wartość wyrażenia n n 2 + 5 w n = k podzielony przez 3 . W rzeczywistości będziemy musieli popracować nad wyrażeniem k k 2 + 5, które, jak się spodziewamy, będzie podzielne przez 3 .

Biorąc pod uwagę, że k k 2 + 5 jest podzielne przez 3 , pokażemy, że wartość wyrażenia n · n 2 + 5 w n = k + 1 podzielony przez 3 , czyli pokażemy, że k + 1 k + 1 2 + 5 jest podzielne przez 3 .

Wykonajmy przekształcenia:

k + 1 k + 1 2 + 5 = = (k + 1) (k 2 + 2 k + 6) = = k (k 2 + 2 k + 6) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5 + 2 k + 1) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + k 2 k + 1 + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k. 2 + 3 k. + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k. 2 + k + 2

Wyrażenie k · (k 2 + 5) jest dzielone przez 3 i wyrażenie 3 k 2 + k + 2 jest dzielone przez 3 , więc ich suma jest dzielona przez 3 .

Udowodniliśmy więc, że wartość wyrażenia n · (n 2 + 5) jest podzielna przez 3 dla dowolnej liczby naturalnej n.

Przyjrzyjmy się teraz podejściu do udowadniania podzielności przez 3 , który opiera się na następującym algorytmie działań:

• pokazujemy, że wartość tego wyrażenia ze zmienną n dla n = 3 m, n = 3 m + 1 i n = 3 m + 2, Gdzie M– dowolna liczba całkowita, podzielna przez 3 ;
• wnioskujemy, że wyrażenie będzie podzielne przez 3 dla dowolnej liczby całkowitej n.

Aby nie odwracać uwagi od drobnych szczegółów, zastosujemy ten algorytm do rozwiązania z poprzedniego przykładu.

Przykład 6

Pokaż, że n · (n 2 + 5) jest podzielne przez 3 dla dowolnej liczby naturalnej n.

Rozwiązanie

Udawajmy, że n = 3 m. Wtedy: n · n 2 + 5 = 3 m · 3 m 2 + 5 = 3 m · 9 m 2 + 5. Produkt, który otrzymaliśmy zawiera mnożnik 3 , dlatego sam produkt jest podzielony na 3 .

Udawajmy, że n = 3 m + 1. Następnie:

n · n 2 + 5 = 3 m · 3 m 2 + 5 = (3 m + 1) · 9 m 2 + 6 m + 6 = = 3 m + 1 · 3 · (2 ​​m 2 + 2 m + 2)

Produkt, który otrzymaliśmy, dzielimy na 3 .

Załóżmy, że n = 3 m + 2. Następnie:

n · n 2 + 5 = 3 m + 1 · 3 m + 2 2 + 5 = 3 m + 2 · 9 m 2 + 12 m + 9 = = 3 m + 2 · 3 · 3 m 2 + 4 m + 3

Ta praca jest również podzielona na 3 .

Odpowiedź: Udowodniliśmy więc, że wyrażenie n n 2 + 5 jest podzielne przez 3 dla dowolnej liczby naturalnej n.

Przykład 7

Czy jest podzielne przez 3 wartość wyrażenia 10 3 n + 10 2 n + 1 dla pewnej liczby naturalnej n.

Rozwiązanie

Udawajmy, że n=1. Otrzymujemy:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 3 + 10 2 + 1 = 1000 + 100 + 1 = 1104

Udawajmy, że n=2. Otrzymujemy:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 6 + 10 4 + 1 = 1000 000 + 10000 + 1 = 1010001

Możemy więc stwierdzić, że dla dowolnego naturalnego n otrzymamy liczby podzielne przez 3. Oznacza to, że 10 3 n + 10 2 n + 1 dla dowolnej liczby naturalnej n jest podzielna przez 3.

Odpowiedź: Tak

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter