Znajdź rodzaj częściowego rozwiązania równania różniczkowego. Równania różniczkowe pierwszego rzędu. Przykłady rozwiązań. Równania różniczkowe ze zmiennymi rozłącznymi

Rozwiązanie równania różniczkowe. Dzięki naszym serwis internetowy Można rozwiązywać równania różniczkowe dowolnego typu i złożoności: niejednorodne, jednorodne, nieliniowe, liniowe pierwszego, drugiego rzędu, ze zmiennymi rozłącznymi lub nierozdzielnymi itp. Otrzymujesz rozwiązanie równań różniczkowych w formie analitycznej wraz ze szczegółowym opisem. Wiele osób jest zainteresowanych: dlaczego konieczne jest rozwiązywanie równań różniczkowych online? Tego typu równania są bardzo powszechne w matematyce i fizyce, gdzie nie da się rozwiązać wielu problemów bez obliczenia równania różniczkowego. Równania różniczkowe są również powszechne w ekonomii, medycynie, biologii, chemii i innych naukach. Rozwiązanie takiego równania online znacznie upraszcza Twoje zadania, daje możliwość lepszego zrozumienia materiału i sprawdzenia się. Zalety rozwiązywania równań różniczkowych online. Nowoczesny serwis matematyczny umożliwia rozwiązywanie równań różniczkowych online o dowolnej złożoności. Jak wiesz, istnieje duża liczba rodzaje równań różniczkowych i każde z nich ma swoje własne metody rozwiązywania. W naszym serwisie możesz znaleźć rozwiązania równań różniczkowych dowolnej kolejności i rodzaju online. Aby uzyskać rozwiązanie, sugerujemy wypełnienie początkowych danych i kliknięcie przycisku „Rozwiązanie”. Błędy w działaniu usługi są wykluczone, dzięki czemu masz 100% pewność, że otrzymałeś poprawną odpowiedź. Rozwiązuj równania różniczkowe za pomocą naszej usługi. Rozwiązuj równania różniczkowe online. Domyślnie w takim równaniu funkcja y jest funkcją zmiennej x. Można jednak także określić własne oznaczenie zmiennej. Na przykład, jeśli w równaniu różniczkowym określisz y(t), nasza usługa automatycznie ustali, że y jest funkcją zmiennej t. Rząd całego równania różniczkowego będzie zależał od maksymalnego rzędu pochodnej funkcji występującej w równaniu. Rozwiązanie takiego równania oznacza znalezienie pożądanej funkcji. Nasz serwis pomoże Ci rozwiązać równania różniczkowe online. Rozwiązanie równania nie wymaga dużego wysiłku z Twojej strony. Wystarczy wpisać lewą i prawą stronę równania w wymagane pola i kliknąć przycisk „Rozwiązanie”. Przy wpisywaniu pochodną funkcji należy oznaczyć apostrofem. W ciągu kilku sekund otrzymasz gotowe szczegółowe rozwiązanie równania różniczkowego. Nasza usługa jest całkowicie bezpłatna. Równania różniczkowe ze zmiennymi rozłącznymi. Jeśli w równaniu różniczkowym po lewej stronie znajduje się wyrażenie zależne od y, a po prawej stronie wyrażenie zależne od x, to takie równanie różniczkowe nazywa się ze zmiennymi rozłącznymi. Lewa strona może zawierać pochodną y, rozwiązanie równań różniczkowych tego typu będzie miało postać funkcji y, wyrażonej całką prawej strony równania. Jeśli po lewej stronie znajduje się różniczka funkcji y, to w tym przypadku obie strony równania są całkowane. Jeżeli zmienne w równaniu różniczkowym nie są rozdzielone, należy je rozdzielić, aby otrzymać rozdzielone równanie różniczkowe. Liniowe równanie różniczkowe. Równanie różniczkowe, którego funkcja i wszystkie jej pochodne są pierwszego stopnia, nazywa się liniowym. Formularz ogólny równania: y’+a1(x)y=f(x). f(x) i a1(x) są funkcje ciągłe od x. Rozwiązywanie równań różniczkowych tego typu sprowadza się do całkowania dwóch równań różniczkowych z rozdzielonymi zmiennymi. Rząd równania różniczkowego. Równanie różniczkowe może być pierwszego, drugiego, n-tego rzędu. Rząd równania różniczkowego określa rząd najwyższej pochodnej, jaką ono zawiera. W naszym serwisie rozwiążesz równania różniczkowe najpierw w Internecie, drugi, trzeci itd. zamówienie. Rozwiązaniem równania będzie dowolna funkcja y=f(x), podstawiając ją do równania otrzymamy tożsamość. Proces znajdowania rozwiązania równania różniczkowego nazywa się całkowaniem. Problem Cauchy’ego. Jeśli oprócz samego równania różniczkowego podano jedno stan oryginalny y(x0)=y0, to nazywa się to problemem Cauchy'ego. Do rozwiązania równania dodaje się wskaźniki y0 i x0 i wyznacza wartość dowolnej stałej C, a następnie wyznacza się konkretne rozwiązanie równania przy tej wartości C. Jest to rozwiązanie problemu Cauchy'ego. Problem Cauchy'ego nazywany jest także problemem z warunkami brzegowymi, co jest bardzo powszechne w fizyce i mechanice. Masz także możliwość ustawienia problemu Cauchy'ego, czyli od wszystkich możliwe rozwiązania równaniu należy wybrać iloraz spełniający podane warunki początkowe.

W niektórych zagadnieniach fizyki nie da się ustalić bezpośredniego związku pomiędzy wielkościami opisującymi proces. Można jednak otrzymać równość zawierającą pochodne badanych funkcji. Tak powstają równania różniczkowe i konieczność ich rozwiązania, aby znaleźć nieznaną funkcję.

Artykuł ten przeznaczony jest dla tych, którzy stają przed problemem rozwiązania równania różniczkowego, w którym nieznana funkcja jest funkcją jednej zmiennej. Teoria jest skonstruowana w ten sposób, że reprezentacja zerowa o równaniach różniczkowych, poradzisz sobie ze swoim zadaniem.

Każdy typ równania różniczkowego jest powiązany z metodą rozwiązania ze szczegółowymi wyjaśnieniami i rozwiązaniami typowych przykładów i problemów. Wystarczy określić rodzaj równania różniczkowego swojego problemu, znaleźć podobny analizowany przykład i przeprowadzić podobne działania.

Aby pomyślnie rozwiązywać równania różniczkowe, będziesz potrzebować także umiejętności znajdowania zbiorów funkcji pierwotnych (całek nieoznaczonych) różne funkcje. W razie potrzeby zalecamy zapoznanie się z sekcją.

Najpierw rozważymy rodzaje równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu, które można rozwiązać ze względu na pochodną, ​​następnie przejdziemy do ODE drugiego rzędu, następnie zatrzymamy się na równaniach wyższego rzędu i zakończymy układami równania różniczkowe.

Przypomnijmy, że jeśli y jest funkcją argumentu x.

Równania różniczkowe pierwszego rzędu.

Najprostsze równania różniczkowe pierwszego rzędu postaci.

Zapiszmy kilka przykładów takiego pilota .

Równania różniczkowe można rozwiązać w odniesieniu do pochodnej, dzieląc obie strony równości przez f(x) . W tym przypadku otrzymamy równanie, które będzie równoważne pierwotnemu dla f(x) ≠ 0. Przykładami takich ODE są .

Jeżeli istnieją wartości argumentu x, przy których jednocześnie znikają funkcje f(x) i g(x), to pojawiają się dodatkowe rozwiązania. Dodatkowe rozwiązania równania podane x to dowolne funkcje zdefiniowane dla tych wartości argumentów. Przykłady takich równań różniczkowych obejmują:

Równania różniczkowe drugiego rzędu.

Liniowe jednorodne równania różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach.

LDE ze stałymi współczynnikami jest bardzo powszechnym typem równania różniczkowego. Ich rozwiązanie nie jest szczególnie trudne. Najpierw znajdują się pierwiastki równania charakterystycznego . Dla różnych p i q możliwe są trzy przypadki: pierwiastki równania charakterystycznego mogą być rzeczywiste i różne, rzeczywiste i zbieżne lub złożone koniugaty. W zależności od wartości pierwiastków równania charakterystycznego jest ono zapisywane wspólna decyzja równanie różniczkowe jako , Lub lub odpowiednio.

Rozważmy na przykład liniowe jednorodne równanie różniczkowe drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami. Pierwiastkami jego równania charakterystycznego są k 1 = -3 i k 2 = 0. Pierwiastki są rzeczywiste i różne, dlatego ogólne rozwiązanie LODE przy stałych współczynnikach ma postać


Liniowe niejednorodne równania różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach.

Szuka się ogólnego rozwiązania LDDE drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami y w postaci sumy rozwiązania ogólnego odpowiedniego LDDE oraz szczególne rozwiązanie pierwotnego niejednorodnego równania, czyli . Poprzedni akapit poświęcony jest znalezieniu ogólnego rozwiązania jednorodnego równania różniczkowego o stałych współczynnikach. Konkretne rozwiązanie określa się albo metodą niepewne współczynniki dla pewnej postaci funkcji f(x) po prawej stronie pierwotnego równania lub metodą zmieniania dowolnych stałych.

Jako przykłady LDDE drugiego rzędu o stałych współczynnikach podajemy


Aby zrozumieć teorię i zapoznać się ze szczegółowymi rozwiązaniami przykładów, oferujemy Państwu na stronie liniowe niejednorodne równania różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach.

Liniowe jednorodne równania różniczkowe (LODE) oraz liniowe niejednorodne równania różniczkowe (LNDE) drugiego rzędu.

Szczególnym przypadkiem równań różniczkowych tego typu są LODE i LDDE o stałych współczynnikach.

Ogólne rozwiązanie LODE na pewnym odcinku jest reprezentowane przez liniową kombinację dwóch liniowo niezależnych rozwiązań cząstkowych y 1 i y 2 tego równania, to znaczy: .

Główna trudność polega właśnie na znalezieniu liniowo niezależnych rozwiązań cząstkowych równania różniczkowego tego typu. Zazwyczaj wybierane są poszczególne rozwiązania spośród następujących układów funkcji liniowo niezależnych:


Jednak nie zawsze konkretne rozwiązania są prezentowane w tej formie.

Przykładem LOD jest .

Rozwiązanie ogólne LDDE szuka się w postaci , gdzie jest rozwiązaniem ogólnym odpowiedniego LDDE i jest rozwiązaniem szczególnym pierwotnego równania różniczkowego. Właśnie rozmawialiśmy o znalezieniu tego, ale można to wyznaczyć za pomocą metody zmieniania dowolnych stałych.

Można podać przykład LNDU .

Równania różniczkowe wyższych rzędów.

Równania różniczkowe umożliwiające redukcję rzędu.

Rząd równania różniczkowego , która nie zawiera żądanej funkcji i jej pochodnych aż do rzędu k-1, można zredukować do n-k zastępując .

W tym przypadku pierwotne równanie różniczkowe zostanie zredukowane do . Po znalezieniu rozwiązania p(x) pozostaje powrócić do zamiany i wyznaczyć nieznaną funkcję y.

Na przykład równanie różniczkowe po zamianie stanie się równaniem z rozłącznymi zmiennymi, a jego kolejność zostanie zmniejszona z trzeciej do pierwszej.

Przypomnijmy sobie zadanie, które stanęło przed nami przy znajdowaniu całek oznaczonych:

lub dy = f(x)dx. Jej rozwiązanie:

i sprowadza się to do obliczenia całki nieoznaczonej. W praktyce zdarza się częściej trudne zadanie: znajdź funkcję y, jeżeli wiadomo, że spełnia relację postaci

Zależność ta dotyczy zmiennej niezależnej X, nieznana funkcja y i jego pochodne według kolejności N włącznie, nazywane są .

Równanie różniczkowe zawiera funkcję pod znakiem pochodnych (lub różniczek) tego czy innego rzędu. Najwyższy porządek nazywa się porządkiem (9.1) .

Równania różniczkowe:

- Pierwsze zamówienie,

Drugie zamówienie

- piąte zamówienie itp.

Funkcję spełniającą dane równanie różniczkowe nazywamy jego rozwiązaniem , lub integralny . Rozwiązanie go oznacza znalezienie wszystkich jego rozwiązań. Jeśli dla wymaganej funkcji y udało nam się otrzymać wzór dający wszystkie rozwiązania, to mówimy, że znaleźliśmy jego rozwiązanie ogólne , lub całka ogólna .

Wspólna decyzja zawiera N dowolne stałe i wygląda

Jeśli zostanie uzyskana relacja, która dotyczy x, y I N dowolne stałe, w formie niedozwolonej w odniesieniu do y -

wówczas taką relację nazywamy całką ogólną równania (9.1).

Problem Cauchy’ego

Każde konkretne rozwiązanie, czyli każda konkretna funkcja, która spełnia dane równanie różniczkowe i nie zależy od dowolnych stałych, nazywa się rozwiązaniem szczególnym , lub całka częściowa. Aby otrzymać rozwiązania szczegółowe (całki) z rozwiązań ogólnych, należy podać stałe konkretne wartości liczbowe.

Wykres konkretnego rozwiązania nazywa się krzywą całkową. Rozwiązanie ogólne, które zawiera wszystkie rozwiązania częściowe, jest rodziną krzywych całkowych. W przypadku równania pierwszego rzędu rodzina ta zależy od jednej dowolnej stałej dla równania N-trzecie zamówienie - od N dowolne stałe.

Problem Cauchy'ego polega na znalezieniu konkretnego rozwiązania równania N-trzecie zamówienie, satysfakcjonujące N warunki początkowe:

za pomocą którego wyznacza się n stałych c 1, c 2,..., c n.

Równania różniczkowe pierwszego rzędu

Dla równania różniczkowego pierwszego rzędu nierozwiązanego ze względu na pochodną ma ono postać

lub względnie dozwolone

Przykład 3.46. Znajdź ogólne rozwiązanie równania

Rozwiązanie. Całkując, otrzymujemy

gdzie C jest dowolną stałą. Jeśli przypiszemy C określone wartości liczbowe, otrzymamy określone rozwiązania, np.

Przykład 3.47. Rozważmy rosnącą ilość pieniędzy zdeponowanych w banku pod warunkiem zgromadzenia 100 r odsetki składane rocznie. Niech Yo będzie początkową kwotą pieniędzy, a Yx – na końcu X lata. Jeżeli odsetki naliczamy raz w roku to otrzymamy

gdzie x = 0, 1, 2, 3,.... Kiedy odsetki są obliczane dwa razy w roku, otrzymujemy

gdzie x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Przy obliczaniu odsetek N raz w roku i jeśli x przyjmuje kolejne wartości 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., wówczas

Wyznacz 1/n = h, wówczas poprzednia równość będzie wyglądać następująco:

Z nieograniczonym powiększeniem N(Na ) w granicy dochodzimy do procesu zwiększania suma pieniędzy z ciągłym naliczaniem odsetek:

Zatem jasne jest, że przy ciągłych zmianach X prawo zmiany podaży pieniądza wyraża się równaniem różniczkowym pierwszego rzędu. Gdzie Y x jest nieznaną funkcją, X- zmienna niezależna, R- stała. Rozwiążmy to równanie, w tym celu przepisujemy je w następujący sposób:

Gdzie , Lub , gdzie P oznacza e C .

Z warunków początkowych Y(0) = Yo znajdujemy P: Yo = Pe o, skąd Yo = P. Zatem rozwiązanie ma postać:

Rozważmy drugi problem ekonomiczny. Modele makroekonomiczne opisywane są także liniowymi równaniami różniczkowymi I rzędu, opisującymi zmiany dochodu lub produkcji Y w funkcji czasu.

Przykład 3.48. Niech dochód narodowy Y rośnie w tempie proporcjonalnym do jego wartości:

i niech deficyt wydatków rządowych będzie wprost proporcjonalny do dochodu Y ze współczynnikiem proporcjonalności Q. Deficyt wydatków prowadzi do wzrostu długu publicznego D:

Warunki początkowe Y = Yo i D = Do przy t = 0. Z pierwszego równania Y= Yoe kt. Podstawiając Y otrzymujemy dD/dt = qYoe kt . Rozwiązanie ogólne ma postać
D = (q/ k) Yoe kt +С, gdzie С = const, które wyznacza się z warunków początkowych. Zastępując warunki początkowe, otrzymujemy Do = (q/ k)Yo + C. Ostatecznie

D = Do +(q/ k)Yo (e kt -1),

pokazuje to, że dług publiczny rośnie w tym samym względnym tempie k tyle samo, co dochód narodowy.

Rozważmy najprostsze równania różniczkowe N rzędu, są to równania postaci

Jego ogólne rozwiązanie można uzyskać za pomocą N razy integracje.

Przykład 3.49. Rozważmy przykład y „”” = cos x.

Rozwiązanie. Integracja, stwierdzamy

Rozwiązanie ogólne ma postać

Liniowe równania różniczkowe

Są one szeroko stosowane w ekonomii, rozważmy rozwiązanie takich równań. Jeżeli (9.1) ma postać:

wtedy nazywa się to liniowym, gdzie рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) są danymi funkcjami. Jeżeli f(x) = 0, to (9.2) nazywa się jednorodnym, w przeciwnym razie nazywa się je niejednorodnym. Ogólne rozwiązanie równania (9.2) jest równe sumie któregokolwiek z jego rozwiązań szczegółowych y(x) oraz ogólne rozwiązanie odpowiadającego mu równania jednorodnego:

Jeżeli współczynniki р o (x), р 1 (x),..., р n (x) są stałe, to (9.2)

(9.4) nazywa się liniowym równaniem różniczkowym ze stałymi współczynnikami rzędu N .

Dla (9.4) ma postać:

Bez utraty ogólności możemy ustawić p o = 1 i zapisać (9.5) w postaci

Będziemy szukać rozwiązania (9.6) w postaci y = e kx, gdzie k jest stałą. Mamy: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Podstawiając otrzymane wyrażenia do (9.6), będziemy mieli:

(9,7) tak równanie algebraiczne, nie wiadomo k, nazywa się to cechą. Równanie charakterystyczne ma stopień N I N korzenie, wśród których mogą być zarówno liczne, jak i złożone. Niech k 1 , k 2 ,..., k n będzie rzeczywiste i odrębne - rozwiązania szczegółowe (9.7) i ogólne

Rozważ liniowe jednorodne równanie różniczkowe drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami:

Jego charakterystyczne równanie ma postać

(9.9)

jego wyróżnik D = p 2 - 4q, w zależności od znaku D możliwe są trzy przypadki.

1. Jeżeli D>0, to pierwiastki k 1 i k 2 (9.9) są rzeczywiste i różne, a rozwiązanie ogólne ma postać:

Rozwiązanie. Równanie charakterystyczne: k 2 + 9 = 0, skąd k = ± 3i, a = 0, b = 3, rozwiązanie ogólne ma postać:

y = C 1 cos 3x + C 2 grzech 3x.

Liniowe równania różniczkowe drugiego rzędu stosuje się podczas badania modelu ekonomicznego typu sieciowego z zapasami towarów, gdzie tempo zmiany ceny P zależy od wielkości zapasów (patrz akapit 10). W przypadku, gdy podaż i popyt są funkcje liniowe ceny tzn

a jest stałą określającą szybkość reakcji, wówczas proces zmiany ceny opisuje równanie różniczkowe:

Dla konkretnego rozwiązania możemy przyjąć stałą

sensowną cenę równowagi. Odchylenie spełnia równanie jednorodne

(9.10)

Równanie charakterystyczne będzie wyglądało następująco:

W przypadku, gdy termin jest pozytywny. Oznaczmy . Pierwiastki równania charakterystycznego k 1,2 = ± i w, dlatego rozwiązanie ogólne (9.10) ma postać:

gdzie C i są dowolnymi stałymi, wyznacza się je na podstawie warunków początkowych. Otrzymaliśmy prawo zmiany ceny w czasie:

Albo zostały już rozwiązane w odniesieniu do pochodnej, albo można je rozwiązać w odniesieniu do pochodnej .

Ogólne rozwiązanie równań różniczkowych typu na przedziale X, który jest dany, można znaleźć, biorąc całkę z obu stron tej równości.

Dostajemy .

Jeśli spojrzymy na właściwości całki nieoznaczonej, znajdziemy pożądane rozwiązanie ogólne:

y = F(x) + C,

Gdzie F(x)- jedna z funkcji pierwotnych k(x) pomiędzy X, A Z- dowolna stała.

Należy pamiętać, że w większości problemów interwał X nie wskazują. Oznacza to, że należy znaleźć rozwiązanie dla każdego. X, dla której i żądaną funkcję y, a oryginalne równanie ma sens.

Jeśli chcesz obliczyć konkretne rozwiązanie równania różniczkowego, które spełnia warunek początkowy y(x 0) = y 0, następnie po obliczeniu całki ogólnej y = F(x) + C, konieczne jest jeszcze określenie wartości stałej C = C 0, używając warunku początkowego. To znaczy stała C = C 0 określone z równania F(x 0) + C = y 0, a pożądane częściowe rozwiązanie równania różniczkowego będzie miało postać:

y = F(x) + C 0.

Spójrzmy na przykład:

Znajdźmy ogólne rozwiązanie równania różniczkowego i sprawdźmy poprawność wyniku. Znajdźmy szczególne rozwiązanie tego równania, które spełniałoby warunek początkowy.

Rozwiązanie:

Po całkowaniu danego równania różniczkowego otrzymujemy:

.

Weźmy tę całkę, stosując metodę całkowania przez części:

To., jest ogólnym rozwiązaniem równania różniczkowego.

Aby mieć pewność, że wynik jest prawidłowy, wykonajmy sprawdzenie. W tym celu znalezione rozwiązanie podstawiamy do podanego równania:

.

To jest, kiedy pierwotne równanie zamienia się w tożsamość:

zatem ogólne rozwiązanie równania różniczkowego zostało wyznaczone poprawnie.

Rozwiązanie, które znaleźliśmy, jest rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego dla każdej rzeczywistej wartości argumentu X.

Pozostaje obliczyć konkretne rozwiązanie ODE, które spełniałoby warunek początkowy. Innymi słowy, konieczne jest obliczenie wartości stałej Z, przy czym równość będzie prawdziwa:

.

.

Potem podmienianie C = 2 w rozwiązanie ogólne ODE otrzymujemy rozwiązanie szczególne równania różniczkowego spełniające warunek początkowy:

.

Równanie różniczkowe zwyczajne można rozwiązać dla pochodnej, dzieląc 2 strony równania przez k(x). Ta transformacja będzie równoważna, jeśli k(x) w żadnym wypadku nie spada do zera X z przedziału całkowania równania różniczkowego X.

Są prawdopodobne sytuacje, gdy dla niektórych wartości argumentu X ∈ X Funkcje k(x) I g(x) jednocześnie stać się zerem. Dla podobnych wartości X ogólnym rozwiązaniem równania różniczkowego jest dowolna funkcja y, co jest w nich zdefiniowane, ponieważ .

Jeśli dla niektórych wartości argumentów X ∈ X warunek jest spełniony, co oznacza, że ​​w tym przypadku ODE nie ma rozwiązań.

Dla wszystkich innych X z interwału X ogólne rozwiązanie równania różniczkowego wyznacza się z przekształconego równania.

Spójrzmy na przykłady:

Przykład 1.

Znajdźmy ogólne rozwiązanie ODE: .

Rozwiązanie.

Z głównych właściwości funkcje elementarne jasne jest, że funkcja naturalny logarytm jest zdefiniowany dla nieujemnych wartości argumentów, więc zakres wyrażenia wynosi ln(x+3) jest przerwa X > -3 . Oznacza to, że dane równanie różniczkowe ma sens X > -3 . W przypadku tych wartości argumentów wyrażenie x+3 nie znika, więc możesz rozwiązać ODE dla pochodnej, dzieląc 2 części przez x + 3.

Dostajemy .

Następnie całkujemy otrzymane równanie różniczkowe rozwiązane względem pochodnej: . Aby wziąć tę całkę, używamy metody podciągnięcia jej pod znak różniczkowy.

The kalkulator internetowy umożliwia rozwiązywanie równań różniczkowych online. Wystarczy wpisać swoje równanie w odpowiednie pole, oznaczając pochodną funkcji poprzez apostrof i kliknąć przycisk „rozwiąż równanie”, a system zaimplementowany w oparciu o popularną witrynę WolframAlpha poda szczegółowe informacje rozwiązanie równania różniczkowego Absolutnie wolny. Można także zdefiniować problem Cauchy'ego, aby z całego zbioru możliwych rozwiązań wybrać iloraz odpowiadający danym warunkom początkowym. Problem Cauchy'ego wpisuje się w osobnym polu.

Równanie różniczkowe

Domyślnie funkcja w równaniu y jest funkcją zmiennej X. Można jednak podać własne oznaczenie zmiennej, jeśli w równaniu napiszemy np. y(t), kalkulator automatycznie to rozpozna y istnieje funkcja ze zmiennej T. Za pomocą kalkulatora jest to możliwe rozwiązywać równania różniczkowe dowolnej złożoności i rodzaju: jednorodne i niejednorodne, liniowe lub nieliniowe, pierwszego lub drugiego rzędu i wyższych, równania ze zmiennymi rozłącznymi i nierozłącznymi itp. Różnica rozwiązań równanie podano w formie analitycznej, ma szczegółowy opis. Równania różniczkowe są bardzo powszechne w fizyce i matematyce. Bez ich obliczenia nie da się rozwiązać wielu problemów (szczególnie w fizyce matematycznej).

Jednym z etapów rozwiązywania równań różniczkowych jest całkowanie funkcji. Jeść standardowe metody rozwiązania równań różniczkowych. Należy sprowadzić równania do postaci z rozłącznymi zmiennymi y i x i oddzielnie całkować rozdzielone funkcje. Aby to zrobić, czasami należy dokonać pewnej wymiany.