Niemożliwy trójkąt. Co musisz wiedzieć o trójkącie Penrose'a? Jak zrobić niemożliwy trójkąt z papierowego schematu

Niemożliwe jest nadal możliwe. Wyraźnym potwierdzeniem tego jest niemożliwy trójkąt Penrose'a. Odkryta w ubiegłym stuleciu, nadal często pojawia się w literaturze naukowej. I niezależnie od tego, jak zaskakujące może to zabrzmieć, możesz nawet zrobić to sam. I wcale nie jest to trudne. Wiele osób, które lubią rysować lub składać origami, potrafi to robić od dawna.

Znaczenie trójkąta Penrose'a

Istnieje kilka nazw tej figury. Niektórzy nazywają to niemożliwym trójkątem, inni po prostu nazywają to tribarem. Ale najczęściej można znaleźć definicję „trójkąta Penrose’a”.

Pod tymi definicjami rozumiemy jedną z głównych liczb niemożliwych. Sądząc po nazwie, w rzeczywistości nie można uzyskać takiej liczby. Jednak w praktyce udowodniono, że nadal można to zrobić. Tyle, że figura przybierze kształt trójkąta, jeśli spojrzysz na nią z pewnego punktu pod odpowiednim kątem. Ze wszystkich innych stron postać jest całkiem realna. Reprezentuje trzy krawędzie sześcianu. Wykonanie takiego projektu jest łatwe.

Historia odkryć

Trójkąt Penrose'a został odkryty w 1934 roku przez szwedzkiego artystę Oscara Reutersvarda. Figurę przedstawiono w formie połączonych ze sobą kostek. Później artystę zaczęto nazywać „ojcem postaci niemożliwych”.

Być może rysunek Reutersvarda pozostałby mało znany. Ale w 1954 roku szwedzki matematyk Roger Penrose napisał artykuł o liczbach niemożliwych. To były drugie narodziny trójkąta. To prawda, że ​​​​naukowiec przedstawił to w bardziej znanej formie. Użył belek, a nie sześcianów. Trzy belki zostały połączone ze sobą pod kątem 90 stopni. Różniło się również tym, że Reutersvard podczas rysowania stosował perspektywę równoległą. Penrose zastosował perspektywę liniową, co jeszcze bardziej utrudniło rysowanie. Taki trójkąt został opublikowany w 1958 roku w jednym z brytyjskich magazynów psychologicznych.

W 1961 roku artysta Maurits Escher (Holandia) stworzył jedną ze swoich najpopularniejszych litografii „Wodospad”. Powstał pod wrażeniem wywołanym artykułem o liczbach niemożliwych.

W latach 80. na szwedzkich państwowych znaczkach pocztowych widniały plemiona i inne niemożliwe postacie. Trwało to kilka lat.

Pod koniec ubiegłego stulecia (a dokładniej w 1999 r.) powstała w Australii aluminiowa rzeźba przedstawiająca niemożliwy trójkąt Penrose'a. Osiągnął wysokość 13 metrów. Podobne rzeźby, tylko mniejsze, można znaleźć w innych krajach.

Niemożliwe w rzeczywistości

Jak można się domyślić, trójkąt Penrose'a nie jest w rzeczywistości trójkątem w zwykłym tego słowa znaczeniu. Reprezentuje trzy boki sześcianu. Ale jeśli spojrzysz pod pewnym kątem, uzyskasz iluzję trójkąta, ponieważ 2 kąty całkowicie pokrywają się na płaszczyźnie. Najbliższy i najdalszy kąt od widza są wizualnie łączone.

Jeśli będziesz ostrożny, możesz się domyślić, że plemię to nic innego jak iluzja. Prawdziwy wygląd postaci można rozpoznać po jej cieniu. Pokazuje, że rogi w rzeczywistości nie są połączone. I oczywiście wszystko staje się jasne, jeśli podniesiesz figurę.

Tworzenie figury własnymi rękami

Trójkąt Penrose'a możesz złożyć samodzielnie. Na przykład z papieru lub tektury. Pomogą w tym diagramy. Wystarczy je wydrukować i skleić ze sobą. W Internecie dostępne są dwa schematy. Jedna z nich jest trochę łatwiejsza, druga trudniejsza, ale za to bardziej popularna. Obydwa pokazane są na zdjęciach.

Trójkąt Penrose będzie ciekawym produktem, który z pewnością przypadnie do gustu gościom. Na pewno nie pozostanie to niezauważone. Pierwszym krokiem w jego tworzeniu jest przygotowanie diagramu. Przenosi się go na papier (tekturę) za pomocą drukarki. A wtedy wszystko jest jeszcze prostsze. Wystarczy wyciąć go na obwodzie. Schemat zawiera już wszystkie niezbędne linie. Wygodniej będzie pracować z grubszym papierem. Jeśli schemat jest drukowany na cienkim papierze, ale chcesz coś grubszego, blankiet po prostu nakłada się na wybrany materiał i wycina wzdłuż konturu. Aby zapobiec przemieszczaniu się diagramu, można go zabezpieczyć spinaczami biurowymi.

Następnie musisz określić linie, wzdłuż których przedmiot będzie się wyginał. Z reguły jest to przedstawione na schemacie linią przerywaną. Zaginamy część. Następnie określamy miejsca, które należy skleić. Są pokryte klejem PVA. Część jest połączona w jedną figurę.

Część można pomalować. Możesz też początkowo użyć kolorowego kartonu.

Pozdrowienia, drodzy czytelnicy bloga. Rustam Zakirov jest w kontakcie i mam dla Was kolejny artykuł, którego tematem jest jak narysować trójkąt Penrose'a. Dziś chcę wam pokazać jak łatwo i prosto narysować niemożliwy trójkąt. Narysujemy dwa rysunki tego trójkąta, jeden będzie zwykły, a drugi będzie prawdziwym rysunkiem 3D. A wszystko to będzie zaskakująco proste. Możesz uzyskać prawdziwy rysunek 3D tego trójkąta. Wątpię, czy zostanie to pokazane gdziekolwiek indziej, więc przeczytaj artykuł do końca i bardzo uważnie.

Do naszych rysunków jak zawsze będziemy potrzebować: kartki papieru, prostych ołówków (najlepiej jednego „średniego”, „drugiego miękkiego”) i kilku kolorowych ołówków lub pisaków.

Jak łatwo narysować dowolne rysunki 3D.

Wyciągnąłem ten niemożliwy trójkąt ze zwykłego zdjęcia, które po prostu znalazłem w Internecie. Tutaj jest.

A potem w ciągu kilku minut z pomocą przekonwertowałem go na 3D . W ten sposób możesz przekonwertować prawie każdy obraz do formatu 3D. Jeśli chcesz uczyć się w ten sam sposób, kliknij tutaj.

I przechodzimy do naszego rysunku.

Narysuj regularny wzór trójkąta.

KROK 1. Tłumaczymy z ekranu monitora.

Aby narysować trójkąt, musisz wykonać następujące czynności. Bierzesz kartkę papieru, opierasz ją o trójkąt na ekranie monitora i po prostu tłumaczysz.

A ponieważ nasz trójkąt wcale nie jest skomplikowany, wystarczy umieścić tylko główne punkty we wszystkich jego rogach.

A potem patrzymy na oryginał i łączymy te punkty za pomocą linijki. Dostałem to tak.

Nasz trójkąt jest gotowy. Możesz to tak zostawić, ale udekorujmy go trochę bardziej. Zrobiłam to za pomocą kolorowych kredek. Po całkowitym ozdobieniu naszego trójkąta, ponownie całkowicie go obrysowujemy prostym miękkim ołówkiem.

W tym momencie nasz zwykły trójkąt Penrose'a jest całkowicie gotowy i przechodzimy do tego samego trójkąta.

Narysuj rysunek 3D trójkąta.

KROK 1. Tłumaczymy.

Postępujemy według tego samego schematu, co w przypadku zwykłego wzoru. Daję Ci gotowy trójkąt, już przetłumaczony na format 3D. Tutaj jest.

A ty to przetłumaczysz. Wszystko robimy tak samo jak w przypadku zwykłego wzoru. Bierzesz kartkę papieru, opierasz ją o ekran monitora, kartka papieru prześwituje i po prostu przenosisz gotowy rysunek 3D na kartkę papieru.

To właśnie mi się przydarzyło.

Rozmiar trójkąta można zwiększyć lub zmniejszyć. Aby to zrobić, wystarczy zmienić skalę monitora. Przytrzymaj klawisz Ctrl i kręć kółkiem myszy.

Można śmiało powiedzieć, że nasz rysunek 3D jest już gotowy. Zajęło mi to jakieś 3 minuty. W zasadzie na tym możemy spokojnie zakończyć, ale udekorujmy jeszcze nasz trójkąt.

Dmitrij Rakow

Nasze oczy nie mogą wiedzieć
natura przedmiotów.
Więc nie zmuszaj ich do tego
złudzenia rozsądku.

Tytus Lukrecjusz Carus

Powszechne wyrażenie „złudzenie optyczne” jest z natury błędne. Oczy nas nie oszukają, gdyż są jedynie pośrednim ogniwem pomiędzy przedmiotem a ludzkim mózgiem. Złudzenie optyczne zwykle pojawia się nie z powodu tego, co widzimy, ale dlatego, że nieświadomie rozumujemy i mimowolnie popełniamy błąd: „umysł może patrzeć na świat oczami, a nie okiem”.

Jedną z najbardziej spektakularnych dziedzin ruchu artystycznego sztuki optycznej (op-artu) jest imp-art (sztuka niemożliwa), polegająca na przedstawianiu figur niemożliwych. Obiekty niemożliwe to rysunki na płaszczyźnie (każda płaszczyzna jest dwuwymiarowa) przedstawiające trójwymiarowe struktury, które nie mogą istnieć w prawdziwym trójwymiarowym świecie. Klasyczną i jedną z najprostszych figur jest trójkąt niemożliwy.

W niemożliwym trójkącie każdy kąt jest sam w sobie możliwy, ale gdy rozważymy go jako całość, pojawia się paradoks. Boki trójkąta skierowane są zarówno w stronę widza, jak i od niego, dlatego jego poszczególne części nie mogą tworzyć prawdziwego, trójwymiarowego obiektu.

Ściśle mówiąc, nasz mózg interpretuje rysunek na płaszczyźnie jako model trójwymiarowy. Świadomość wyznacza „głębokość”, na której znajduje się każdy punkt obrazu. Nasze wyobrażenia o świecie rzeczywistym napotykają sprzeczność, pewną niespójność i musimy przyjąć pewne założenia:

• proste linie 2D są interpretowane jako proste linie 3D;
• Linie równoległe 2D są interpretowane jako linie równoległe 3D;
• kąty ostre i rozwarte są interpretowane w perspektywie jako kąty proste;
• linie zewnętrzne są uważane za granicę formy. Ta zewnętrzna granica jest niezwykle ważna dla skonstruowania pełnego obrazu.

Ludzka świadomość najpierw tworzy ogólny obraz przedmiotu, a następnie bada poszczególne jego części. Każdy kąt jest zgodny z perspektywą przestrzenną, ale po połączeniu tworzą przestrzenny paradoks. Jeśli zamkniesz którykolwiek z rogów trójkąta, niemożność zniknie.

Historia liczb niemożliwych

Na błędy w konstrukcji przestrzennej artyści napotykali już tysiąc lat temu. Ale za pierwszego, który skonstruował i przeanalizował niemożliwe obiekty, uważa się szwedzkiego artystę Oscara Reutersvärda, który w 1934 roku narysował pierwszy niemożliwy trójkąt składający się z dziewięciu sześcianów.

		„Moskwa”, grafika (tusz, ołówek), 50x70 cm, 2003

Niezależnie od Reutersa angielski matematyk i fizyk Roger Penrose na nowo odkrywa niemożliwy trójkąt i w 1958 roku publikuje jego obraz w brytyjskim czasopiśmie psychologicznym. Iluzja wykorzystuje „fałszywą perspektywę”. Czasami tę perspektywę nazywa się chińską, ponieważ podobną metodę rysowania, gdy głębia rysunku jest „niejednoznaczna”, często spotykano w pracach chińskich artystów.

Na rysunku „Trzy ślimaki” małe i duże sześciany nie są zorientowane w normalnym rzucie izometrycznym. Mniejszy sześcian sąsiaduje z większym z przodu i z tyłu, co oznacza, zgodnie z logiką trójwymiarową, że ma takie same wymiary niektórych boków jak większy. Na pierwszy rzut oka rysunek wydaje się być rzeczywistym przedstawieniem ciała stałego, jednak w miarę postępu analizy ujawniają się logiczne sprzeczności tego obiektu.

Rysunek „Trzy ślimaki” kontynuuje tradycję drugiej słynnej niemożliwej figury - niemożliwej kostki (pudełka).

„IQ”, grafika (tusz, ołówek), 50x70 cm, 2001		"W górę i w dół", M.Escher

Kombinację różnych obiektów można odnaleźć także w niezbyt poważnym rysunku „IQ” (iloraz inteligencji). Co ciekawe, niektórzy ludzie nie dostrzegają obiektów niemożliwych, ponieważ ich umysły nie potrafią utożsamiać płaskich obrazów z obiektami trójwymiarowymi.

Donald E. Simanek zasugerował, że zrozumienie paradoksów wizualnych jest jedną z cech charakterystycznych tego rodzaju kreatywności, jaką posiadają najlepsi matematycy, naukowcy i artyści. Wiele prac z obiektami paradoksalnymi można zaliczyć do „intelektualnych gier matematycznych”. Współczesna nauka mówi o 7- lub 26-wymiarowym modelu świata. Taki świat można modelować jedynie za pomocą wzorów matematycznych, człowiek po prostu nie jest w stanie go sobie wyobrazić. Tutaj z pomocą przychodzą liczby niemożliwe. Z filozoficznego punktu widzenia przypominają, że wszelkie zjawiska (w analizie systemowej, nauce, polityce, ekonomii itp.) należy rozpatrywać we wszystkich złożonych i nieoczywistych relacjach.

Różnorodność niemożliwych (i możliwych) obiektów przedstawionych jest na obrazie „Niemożliwy alfabet”.

Trzecią popularną niemożliwą figurą są niesamowite schody stworzone przez Penrose'a. Będziesz stale albo wznosić się (w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara), albo schodzić (zgodnie z ruchem wskazówek zegara). Model Penrose'a stał się podstawą słynnego obrazu M. Eschera „W górę i w dół” („Wznosząc się i opadając”).

Jest jeszcze jedna grupa obiektów, których nie da się zrealizować. Klasyczną figurą jest niemożliwy trójząb, czyli „diabelski widelec”.

Jeśli dokładnie przestudiujesz zdjęcie, zauważysz, że trzy zęby stopniowo zamieniają się w dwa na jednej podstawie, co prowadzi do konfliktu. Porównujemy liczbę zębów powyżej i poniżej i dochodzimy do wniosku, że obiekt jest niemożliwy.

Czy istnieje większa korzyść z niemożliwych rysunków niż gry umysłowe? Niektóre szpitale celowo wieszają zdjęcia niemożliwych obiektów, ponieważ patrzenie na nie może zająć pacjentów na długi czas. Logiczne byłoby wieszanie takich rysunków przy kasach biletowych, komisariatach policji i innych miejscach, gdzie oczekiwanie w kolejce czasami trwa całą wieczność. Rysunki mogłyby pełnić rolę swoistych „chronofagów”, tj. czasopożeracze.

Znany również jako niemożliwy trójkąt I plemię.

Fabuła

Liczba ta stała się powszechnie znana po opublikowaniu w 1958 roku w British Journal of Psychology artykułu o liczbach niemożliwych autorstwa angielskiego matematyka Rogera Penrose’a. W tym artykule niemożliwy trójkąt został przedstawiony w najbardziej ogólnej formie - w postaci trzech belek połączonych ze sobą pod kątem prostym. Pod wpływem tego artykułu holenderski artysta Maurits Escher stworzył jedną ze swoich słynnych litografii „Wodospad”.

Rzeźby

13-metrowa rzeźba niemożliwego trójkąta z aluminium powstała w 1999 roku w Perth (Australia)

Deutsches Technikmuseum Berlin luty 2008 0004.JPG

Ta sama rzeźba przy zmianie punktu widzenia

Inne figury

Chociaż całkiem możliwe jest zbudowanie analogii trójkąta Penrose'a w oparciu o regularne wielokąty, efekt wizualny z nich nie jest tak imponujący. Wraz ze wzrostem liczby boków obiekt wydaje się po prostu wygięty lub skręcony.

Zobacz też

• Trzy króliki (angielski) Trzy zające )

Napisz recenzję o artykule "Trójkąt Penrose'a"

Fragment charakteryzujący Trójkąt Penrose'a

Wyraziwszy wszystko, co mu nakazano, Balashev oświadczył, że cesarz Aleksander pragnie pokoju, ale nie rozpocznie rokowań, chyba że... Tutaj Balashev zawahał się: przypomniał sobie te słowa, których cesarz Aleksander nie napisał w liście, ale które z pewnością nakazał wpisanie Saltykowa do reskryptu i który Balashev nakazał przekazać Napoleonowi. Balashev pamiętał te słowa: „dopóki na ziemi rosyjskiej nie pozostanie ani jeden uzbrojony wróg”, ale powstrzymywało go jakieś złożone uczucie. Nie mógł powiedzieć tych słów, choć bardzo chciał. Zawahał się i powiedział: pod warunkiem, że wojska francuskie wycofają się za Niemen.
Napoleon zauważył zawstydzenie Balasheva, gdy wypowiadał swoje ostatnie słowa; twarz mu drżała, lewa łydka zaczęła rytmicznie drżeć. Nie opuszczając swego miejsca, zaczął mówić głosem wyższym i bardziej pośpiesznym niż poprzednio. Podczas kolejnego przemówienia Balashev niejednokrotnie spuszczając wzrok, mimowolnie obserwował drżenie łydki w lewej nodze Napoleona, które nasilało się w miarę podnoszenia głosu.
„Życzę pokoju nie mniej niż cesarzowi Aleksandrowi” – ​​zaczął. „Czy to nie ja przez osiemnaście miesięcy robiłem wszystko, żeby to osiągnąć?” Czekałem osiemnaście miesięcy na wyjaśnienia. Ale czego się ode mnie wymaga, aby rozpocząć negocjacje? - powiedział marszcząc brwi i wykonując energiczny pytający gest swoją małą, białą i pulchną dłonią.
„Odwrót wojsk za Niemen, proszę pana” – powiedział Balashev.
- Dla Niemna? – powtórzył Napoleon. - Więc teraz chcesz, żeby wycofali się za Niemen - tylko za Niemen? – powtórzył Napoleon, patrząc prosto na Balasheva.
Balashev z szacunkiem pochylił głowę.
Zamiast cztery miesiące temu żądać wycofania się z Numeranii, teraz zażądali wycofania się jedynie za Niemen. Napoleon szybko się odwrócił i zaczął chodzić po pokoju.
– Mówi pan, że żądają ode mnie wycofania się za Niemen w celu rozpoczęcia rokowań; ale dokładnie w ten sam sposób dwa miesiące temu zażądali ode mnie wycofania się za Odrę i Wisłę, a mimo to zgadzacie się na negocjacje.
W milczeniu przeszedł z jednego rogu pokoju do drugiego i ponownie zatrzymał się naprzeciw Balasheva. Jego twarz zdawała się stwardnieć w swoim surowym wyrazie, a lewa noga drżała jeszcze szybciej niż wcześniej. Napoleon znał to drżenie lewej łydki. „La Vibration de mon mollet gauche est un grand Signe chez moi” – powiedział później.