Koło. Podstawowe twierdzenia. Prezentacja na temat geometrii na temat: „Twierdzenia o kątach utworzonych przez dwie linie równoległe i poprzeczną”

Rybałko Paweł

Prezentacja zawiera: 3 twierdzenia z dowodami i 3 zadania mające na celu utrwalenie badanego materiału za pomocą szczegółowych rozwiązań. Prezentacja może przydać się nauczycielowi na lekcji, gdyż pozwoli zaoszczędzić mnóstwo czasu. Można go również wykorzystać jako ogólną ocenę na koniec roku szkolnego.

Pobierać:

Zapowiedź:

Aby korzystać z podglądów prezentacji utwórz dla siebie konto ( konto) Google i zaloguj się: https://accounts.google.com

Podpisy slajdów:

Twierdzenia o kątach utworzonych przez dwie linie równoległe i poprzeczną. Wykonawca: uczeń VII klasy Rybalko Pavel, Mytishchi, 2012

Twierdzenie: Jeżeli dwie równoległe linie przecinają się przez przekątną, to kąty przecinające się są równe. a w A B 1 2  1 =  2 do

Dowód: A B C D M N 1 2 A B C D M N 1 2 K O Niech proste AB i CD będą równoległe, MN jest ich sieczną. Udowodnijmy, że kąty poprzeczne 1 i 2 są sobie równe. Załóżmy, że  1 i  2 nie są równe. Narysujmy prostą K F przez punkt O. Następnie w punkcie O możemy skonstruować  KON , leżącą poprzecznie i równą  2. Ale jeśli  KON =  2, to prosta K F będzie równoległa do CD. Ustaliliśmy, że przez punkt O poprowadzono dwie proste AB i K F, równoległe do prostej CD. Ale tak nie może być. Doszliśmy do sprzeczności, ponieważ założyliśmy, że  1 i  2 nie są równe. Dlatego nasze założenie jest błędne i  1 musi być równe  2, czyli kąty poprzeczne są równe. F

Twierdzenie: Jeśli dwie równoległe linie przecinają się przez przekątną, to odpowiadające im kąty są równe. a w A B 1 2  1 =  2

Dowód: 2 a w A B 3 1 Niech proste równoległe aib przecina sieczna AB, wtedy poprzeczne  1 i  3 będą równe.  2 i  3 są równe pionowo. Z równości  1 =  3 i  2 =  3 wynika, że ​​ 1 =  2. Twierdzenie zostało udowodnione

Twierdzenie: Jeżeli dwie równoległe linie przecinają się przez przekątną, to suma kątów jednostronnych wynosi 180°. a w A B 3 1  1 +  3 = 180°

Dowód: Niech linie równoległe a i b zostaną przecięte sieczną AB, wtedy odpowiadające sobie  1 i  2 będą równe,  2 i  3 sąsiadują ze sobą, zatem  2 +  3 = 180°. Z równości  1 =  2 i  2 +  3 = 180 ° wynika, że ​​ 1 +  3 = 180 °. Twierdzenie zostało udowodnione. 2 a w A B 3 1

Rozwiązanie: 1. Niech X będzie  2, a następnie  1 = (X+70°), ponieważ suma kątów 1 i 2 = 180°, ponieważ sąsiadują ze sobą. Zróbmy równanie: X+ (X+70°) = 180° 2X = 110° X = 55° (kąt 2) 2. Znajdź  1. 55° + 70° = 125° 3.  1 =  3, tj. Do. są pionowe.  3 =  5, ponieważ leżą poprzecznie. 125°  5 =  7, ponieważ są pionowe.  2 =  4, ponieważ są pionowe.  4 =  6, ponieważ leżą poprzecznie. 55°  6 =  8, ponieważ są pionowe. Zadanie nr 1: A B 4 3 5 8 7 2 1 6 Warunek: znajdź wszystkie kąty utworzone przez dwie równoległe linie A i B przecinające się z poprzeczną C, jeśli jeden z kątów jest o 70° większy od drugiego.

Rozwiązanie: 1. Ponieważ  4 = 45°, to  2 = 45°, ponieważ  2 =  4 (jako odpowiedni) 2.  3 sąsiaduje z  4, zatem  3+  4 = 180°, z czego wynika, że ​​ 3= 180° - 45°= 135°. 3.  1 =  3, ponieważ leżą poprzecznie.  1 = 135°. Odpowiedź:  1=135°;  2=45°;  3=135°. Zadanie nr 2: A B 1 Warunek: na rysunku znajdują się proste A II B i C II D,  4=45°. Znajdź kąty 1, 2, 3. 3 2 4

Rozwiązanie: 1.  1=  2, ponieważ są pionowe, co oznacza  2= 45°. 2.  3 sąsiaduje z  2, więc  3+  2=180°, z czego wynika, że ​​ 3= 180° - 45°= 135°. 3.  4 +  3=180°, ponieważ są jednostronne.  4 = 45°. Odpowiedź:  4=45°;  3=135°. Zadanie nr 3: A B 2 Warunek: dwie równoległe proste A i B przecina sieczna C. Znajdź, ile  4 i  3 będzie równe, jeśli  1=45°. 3 4 1

Twierdzenie: Jeżeli dwie równoległe linie przecinają się przez przekątną, to kąty przecinające się są równe. a w A B 1 2 1 = 2 do

Dowód: A B C DM N 1 2 K O Niech proste AB i CD będą równoległe, MN jest ich sieczną. Udowodnijmy, że kąty poprzeczne 1 i 2 są sobie równe. Załóżmy, że 1 i 2 nie są równe. Narysujmy prostą K F przez punkt O. Następnie w punkcie O możemy skonstruować KON leżącą poprzecznie i równą 2. Ale jeśli KON = 2, to prosta K F będzie równoległa do CD. Ustaliliśmy, że przez punkt O poprowadzono dwie proste AB i K F, równoległe do prostej CD. Ale tak nie może być. Doszliśmy do sprzeczności, ponieważ założyliśmy, że 1 i 2 nie są równe. Dlatego nasze założenie jest błędne i 1 musi być równe 2, czyli kąty poprzeczne są równe.

Twierdzenie: Jeśli dwie równoległe linie przecinają się przez przekątną, to odpowiadające im kąty są równe. a w A B 1 2 1 =

Dowód: 2 a w A B 3 1 Niech linie równoległe a i b zostaną przecięte sieczną AB, wówczas poprzeczne 1 i 3 będą równe. 2 i 3 są równe w pionie. Z równości 1 = 3 i 2 = 3 wynika, że ​​1 = 2. Twierdzenie zostało udowodnione

Twierdzenie: Jeżeli dwie równoległe linie przecinają się przez przekątną, to suma kątów jednostronnych wynosi 180°. a w A B 3 1 1 + 3 = 180°

Dowód: Niech linie równoległe aib przetną sieczną AB, wówczas odpowiednie 1 i 2 będą równe, 2 i 3 będą obok siebie, zatem 2 + 3 = 180°. Z równości 1 = 2 i 2 + 3 = 180° wynika, że ​​1 + 3 = 180°. Twierdzenie zostało udowodnione. 2 a w A B

Rozwiązanie: 1. Niech X będzie równe 2, wtedy 1 = (X+70°), gdyż suma kątów 1 i 2 = 180°, ze względu na to, że sąsiadują ze sobą. Zróbmy równanie: X+ (X+70°) = 180° 2 X = 110° X = 55° (Kąt 2) 2. Znajdź 1. 55° + 70° = 125° 3. 1 = 3, ponieważ są pionowy. 3 = 5, ponieważ leżą poprzecznie. 125° 5 = 7, ponieważ są pionowe. 2 = 4, ponieważ są pionowe. 4 = 6, ponieważ leżą poprzecznie. 55° 6 = 8, ponieważ są pionowe. Zadanie nr 1: A B 4 3 5 8 7 21 6 Warunek: znajdź wszystkie kąty utworzone przez dwie równoległe linie A i B przecinające się z poprzeczną C, jeśli jeden z kątów jest o 70° większy od drugiego.

Rozwiązanie: 1. Ponieważ 4 = 45°, to 2 = 45°, ponieważ 2 = 4 (jako odpowiedni) 2. 3 sąsiaduje z 4, zatem 3+ 4 = 180° i z tego wynika, że ​​3 = 180° - 45° = 135°. 3. 1 = 3, ponieważ leżą poprzecznie. 1 = 135°. Odpowiedź: 1=135°; 2=45°; 3=135°. Zadanie nr 2: A B 1 Warunek: na rysunku znajdują się proste A II B i C II D, 4 = 45°. Znajdź kąty 1, 2, 3.

Rozwiązanie: 1. 1= 2, ponieważ są one pionowe, więc 2= 45°. 2. 3 sąsiaduje z 2, więc 3+ 2=180°, z czego wynika, że ​​3= 180° - 45°= 135°. 3. 4 + 3=180°, bo są jednostronne. 4 = 45°. Odpowiedź: 4=45°; 3=135°. Zadanie nr 3: A B 2 Warunek: dwie równoległe proste A i B przecina sieczna C. Znajdź, ile 4 i 3 będzie równe, jeśli 1=45°.

\[(\Large(\text(Kąt środkowy i wpisany)))\]

Definicje

Kąt środkowy to kąt, którego wierzchołek leży w środku okręgu.

Kąt wpisany to kąt, którego wierzchołek leży na okręgu.

Miara stopnia łuku koła jest miarą stopnia kąta środkowego, który go opiera.

Twierdzenie

Stopień miary kąta wpisanego jest równy połowie miary stopnia łuku, na którym jest on oparty.

Dowód

Dowód przeprowadzimy w dwóch etapach: w pierwszej kolejności udowodnimy słuszność twierdzenia dla przypadku, gdy jeden ze boków kąta wpisanego zawiera średnicę. Niech punkt \(B\) będzie wierzchołkiem kąta wpisanego \(ABC\), a \(BC\) będzie średnicą okręgu:

Trójkąt \(AOB\) jest równoramienny, \(AO = OB\) , \(\kąt AOC\) jest zewnętrzny, zatem \(\kąt AOC = \kąt OAB + \kąt ABO = 2\kąt ABC\), Gdzie \(\kąt ABC = 0,5\cdot\kąt AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

Rozważmy teraz dowolny kąt wpisany \(ABC\) . Wyciągnijmy średnicę okręgu \(BD\) z wierzchołka kąta wpisanego. Istnieją dwa możliwe przypadki:

1) średnica przecina kąt na dwa kąty \(\kąt ABD, \kąt CBD\) (dla każdego z nich twierdzenie jest prawdziwe, jak udowodniono powyżej, zatem jest prawdziwe również dla kąta pierwotnego, który jest sumą tych dwa, a zatem równe połowie sumy łuków, na których się opierają, to znaczy równe połowie łuku, na którym się opiera). Ryż. 1.

2) średnica nie przecięła kąta na dwa kąty, wówczas mamy jeszcze dwa nowe kąty wpisane \(\kąt ABD, \kąt CBD\), których bok zawiera średnicę, zatem twierdzenie jest dla nich prawdziwe, to dotyczy to także kąta pierwotnego (który jest równy różnicy tych dwóch kątów, czyli jest równy połowie różnicy łuków, na których one spoczywają, czyli równy połowie łuku, na którym się opiera) . Ryż. 2.

Konsekwencje

1. Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.

2. Kąt wpisany oparty na półokręgu jest kątem prostym.

3. Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

\[(\Large(\text(Styczna do okręgu)))\]

Definicje

Istnieją trzy rodzaje względnych pozycji linii i okręgu:

1) prosta \(a\) przecina okrąg w dwóch punktach. Linię taką nazywa się sieczną. W tym przypadku odległość \(d\) od środka okręgu do linii prostej jest mniejsza niż promień \(R\) okręgu (ryc. 3).

2) prosta \(b\) przecina okrąg w jednym punkcie. Linię taką nazywamy styczną, a ich wspólny punkt \(B\) nazywamy punktem styczności. W tym przypadku \(d=R\) (ryc. 4).

Twierdzenie

1. Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności.

2. Jeżeli prosta przechodzi przez koniec promienia okręgu i jest prostopadła do tego promienia, to jest styczna do okręgu.

Konsekwencja

Odcinki styczne poprowadzone z jednego punktu do okręgu są równe.

Dowód

Narysujmy dwie styczne \(KA\) i \(KB\) do okręgu z punktu \(K\):

Oznacza to, że \(OA\perp KA, OB\perp KB\) są jak promienie. Trójkąty prostokątne\(\trójkąt KAO\) i \(\trójkąt KBO\) mają równe ramię i przeciwprostokątną, zatem \(KA=KB\) .

Konsekwencja

Środek okręgu \(O\) leży na dwusiecznej kąta \(AKB\) utworzonej przez dwie styczne poprowadzone z tego samego punktu \(K\) .

\[(\Large(\text(Twierdzenia dotyczące kątów)))\]

Twierdzenie o kącie między siecznymi

Kąt między dwiema siecznymi narysowanymi z tego samego punktu jest równy połowie różnicy miar stopni większego i mniejszego łuku, który przecinają.

Dowód

Niech \(M\) będzie punktem, z którego zostaną narysowane dwie sieczne, jak pokazano na rysunku:

Pokażmy to \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

\(\kąt DAB\) jest zatem kątem zewnętrznym trójkąta \(MAD\). \(\kąt DAB = \kąt DMB + \kąt MDA\), Gdzie \(\kąt DMB = \kąt DAB - \kąt MDA\), ale kąty \(\kąt DAB\) i \(\kąt MDA\) są wpisane, to \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), co należało udowodnić.

Twierdzenie o kącie pomiędzy przecinającymi się cięciwami

Kąt między dwoma przecinającymi się cięciwami jest równy połowie sumy miar stopni łuków, które przecinają: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

Dowód

\(\kąt BMA = \kąt CMD\) jako pion.

Z trójkąta \(AMD\): \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

Ale \(\kąt AMD = 180^\circ - \kąt CMD\), z czego wnioskujemy, że \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ uśmiechnij się(CD)).\]

Twierdzenie o kącie pomiędzy cięciwą i styczną

Kąt między styczną a cięciwą przechodzącą przez punkt styczności jest równy połowie miary stopnia łuku, na którym opiera się cięciwa.

Dowód

Niech prosta \(a\) dotyka okręgu w punkcie \(A\), \(AB\) jest cięciwą tego okręgu, \(O\) jest jego środkiem. Niech linia zawierająca \(OB\) przecina \(a\) w punkcie \(M\) . Udowodnijmy to \(\kąt BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).

Oznaczmy \(\angle OAB = \alpha\) . Ponieważ \(OA\) i \(OB\) są promieniami, to \(OA = OB\) i \(\kąt OBA = \kąt OAB = \alfa\). Zatem, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

Ponieważ \(OA\) jest promieniem poprowadzonym do punktu stycznego, to \(OA\perp a\), czyli \(\kąt OAM = 90^\circ\), zatem \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

Twierdzenie o łukach opartych na cięciwach równych

Równe cięciwy leżą na równych łukach mniejszych niż półkola.

I odwrotnie: równe łuki są poprzedzone równymi cięciwami.

Dowód

1) Niech \(AB=CD\) . Udowodnijmy, że mniejsze półkola łuku .

Zatem z trzech stron \(\angle AOB=\angle COD\) . Ale ponieważ \(\kąt AOB, \kąt COD\) - kąty środkowe, spoczywające na łukach \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\) zatem odpowiednio \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) Jeśli \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), To \(\trójkąt AOB=\trójkąt COD\) po dwóch stronach \(AO=BO=CO=DO\) i kąt między nimi \(\kąt AOB=\kąt COD\) . Dlatego i \(AB=CD\) .

Twierdzenie

Jeśli promień przecina cięciwę na pół, to jest do niej prostopadły.

Jest też odwrotnie: jeśli promień jest prostopadły do ​​cięciwy, to w punkcie przecięcia przecina ją na pół.

Dowód

1) Niech \(AN=NB\) . Udowodnimy, że \(OQ\perp AB\) .

Rozważmy \(\trójkąt AOB\): jest to równoramienny, ponieważ \(OA=OB\) – promienie okręgu. Ponieważ \(ON\) to środkowa narysowana do podstawy, to jest to także wysokość, zatem \(ON\perp AB\) .

2) Niech \(OQ\perp AB\) . Udowodnimy, że \(AN=NB\) .

Podobnie \(\trójkąt AOB\) to równoramienny, \(ON\) to wysokość, zatem \(ON\) to mediana. Dlatego \(AN=NB\) .

\[(\Large(\text(Twierdzenia dotyczące długości odcinków)))\]

Twierdzenie o iloczynie odcinków cięciwy

Jeżeli dwie cięciwy okręgu przecinają się, to iloczyn odcinków jednego cięciwy jest równy iloczynowi odcinków drugiego cięciwy.

Dowód

Niech akordy \(AB\) i \(CD\) przecinają się w punkcie \(E\) .

Rozważmy trójkąty \(ADE\) i \(CBE\) . W tych trójkątach kąty \(1\) i \(2\) są równe, ponieważ są wpisane i opierają się na tym samym łuku \(BD\), a kąty \(3\) i \(4\) są równe jako pionowe. Trójkąty \(ADE\) i \(CBE\) są podobne (w oparciu o pierwsze kryterium podobieństwa trójkątów).

Następnie \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), skąd \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

Twierdzenie styczne i sieczne

Kwadrat odcinka stycznego jest równy iloczynowi siecznej i jej zewnętrznej części.

Dowód

Niech styczna przechodzi przez punkt \(M\) i dotyka okręgu w punkcie \(A\) . Niech sieczna przechodzi przez punkt \(M\) i przecina okrąg w punktach \(B\) i \(C\) tak, że \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Rozważmy trójkąty \(MBA\) i \(MCA\): \(\angle M\) jest wspólne, \(\kąt BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Zgodnie z twierdzeniem o kącie między styczną i sieczną, \(\kąt BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \kąt BCA\). Zatem trójkąty \(MBA\) i \(MCA\) są podobne pod dwoma kątami.

Z podobieństwa trójkątów \(MBA\) i \(MCA\) mamy: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), co jest równoważne \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Konsekwencja

Iloczyn siecznej wyprowadzonej z punktu \(O\) przez jej część zewnętrzną nie zależy od wyboru siecznej wyprowadzonej z punktu \(O\) .