Operacje na macierzach i ich własności.

Pojęcie wyznacznika drugiego i trzeciego rzędu.Właściwości wyznaczników i ich obliczanie.

3. ogólny opis zadania.

4. Wykonywanie zadań.

5. Przygotowanie sprawozdania z pracy laboratorium.

Słowniczek

Naucz się definicji poniższych warunki:

Wymiar Macierz to zbiór dwóch liczb, składający się z liczby jej wierszy m i liczby kolumn n.

Jeśli m=n, to wywoływana jest macierz kwadrat macierz rzędu n.

Operacje na macierzach: transpozycja macierzy, mnożenie (dzielenie) macierzy przez liczbę, dodawanie i odejmowanie, mnożenie macierzy przez macierz.

Przejście z macierzy A do macierzy A m, której wiersze są kolumnami, a kolumny są wierszami macierzy A, nazywa się transpozycja macierze A.

Przykład: A = , ZA t = .

Do pomnóż macierz przez liczbę, musisz pomnożyć każdy element macierzy przez tę liczbę.

Przykład: 2A= 2· = .

Suma (różnica) macierze A i B tego samego wymiaru nazywane są macierzami C=A B, których elementy są równe gdzie ij = a ij b ij dla wszystkich I I J.

Przykład: A = ; B = . A+B= = .

Praca macierz A m n przez macierz B n k nazywana jest macierzą C m k , której każdy element c ij jest równy sumie iloczynów elementów i-tego rzędu macierzy A przez odpowiedni element j-tej kolumny macierzy B:

c ij = a i1 · b 1j + a i2 ·b 2j +…+ a in ·b nj .

Aby móc pomnożyć macierz przez macierz, muszą tak być uzgodnione do mnożenia, tj Liczba kolumn w pierwszej macierzy powinna być równa Liczba linii w drugiej matrycy.

Przykład: A= i B=.

А·В – niemożliwe, ponieważ nie są spójne.

VA= . = = .

Własności operacji mnożenia macierzy.

1. Jeżeli macierz A ma wymiar mn, a macierz B jest wymiarem n k, to iloczyn A·B istnieje.

Produkt BA może istnieć tylko wtedy, gdy m=k.

2. Mnożenie macierzy nie jest przemienne, tj. A·B nie zawsze jest równe BA·A, nawet jeśli oba iloczyny są zdefiniowane. Jeżeli jednak spełniona jest relacja А·В=В·А, to macierze A i B nazywamy zmienne.

Przykład. Oblicz.

Drobny element jest wyznacznikiem macierzy rzędu, otrzymany poprzez usunięcie wiersza th kolumny.

Dopełnienie algebraiczne element nazywa się.

Twierdzenie Laplace'a o rozwinięciu:

Wyznacznik macierzy kwadratowej jest równy sumie iloczynów elementów dowolnego wiersza (kolumny) przez ich uzupełnienia algebraiczne.

Przykład. Oblicz.

Rozwiązanie. .

Własności wyznaczników n-tego rzędu:

1) Wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie w przypadku zamiany wierszy i kolumn.

2) Jeżeli wyznacznik zawiera wiersz (kolumnę) składający się wyłącznie z zer, to jest równy zero.

3) Przy zmianie układu dwóch wierszy (kolumn) wyznacznik zmienia znak.

4) Wyznacznik mający dwa identyczne wiersze (kolumny) jest równy zero.

5) Wspólny czynnik elementów dowolnego wiersza (kolumny) można wyjąć ze znaku wyznacznika.

6) Jeżeli każdy element pewnego wiersza (kolumny) jest sumą dwóch wyrazów, to wyznacznik jest równy sumie dwóch wyznaczników, w każdym z których wszystkie wiersze (kolumny), z wyjątkiem wymienionego, są takie same w tym wyznaczniku i we wspomnianym wierszu (Kolumna) pierwszego wyznacznika zawiera pierwsze człony, drugie - drugie.

7) Jeżeli dwa wiersze (kolumny) wyznacznika są proporcjonalne, to jest ono równe zero.

8) Wyznacznik nie ulegnie zmianie, jeśli do elementów pewnego wiersza (kolumny) dodane zostaną odpowiednie elementy innego wiersza (kolumny) i pomnożone przez tę samą liczbę.

9) Wyznaczniki macierzy trójkątnej i diagonalnej są równe iloczynowi elementów głównej przekątnej.

Metoda gromadzenia zer do obliczania wyznaczników opiera się na właściwościach wyznaczników.

Przykład. Oblicz.

Rozwiązanie. Odejmij podwójną trzecią część od pierwszego wiersza, a następnie skorzystaj z twierdzenia o rozszerzaniu w pierwszej kolumnie.

~ .

Pytania kontrolne(OK-1, OK-2, OK-11, PK-1) :

1. Co nazywa się wyznacznikiem drugiego rzędu?

2. Jakie są główne właściwości wyznaczników?

3. Co to jest moll elementu?

4. Co nazywa się dopełnieniem algebraicznym elementu wyznacznika?

5. Jak rozwinąć wyznacznik trzeciego rzędu na elementy wiersza (kolumny)?

6. Jaka jest suma iloczynów elementów wiersza (kolumny), wyznacznik uzupełnień algebraicznych odpowiednich elementów innego wiersza (kolumny)?

7. Jaka jest zasada trójkątów?

8. W jaki sposób wyznacza się wyznaczniki wyższych rzędów metodą redukcji rzędów?

10. Która macierz nazywa się kwadratową? Zero? Co to jest macierz wierszowa i macierz kolumnowa?

11. Które macierze nazywamy równymi?

12. Podaj definicje operacji dodawania, mnożenia macierzy, mnożenia macierzy przez liczbę

13. Jakie warunki muszą spełniać rozmiary macierzy podczas dodawania i mnożenia?

14. Jakie są własności operacji algebraicznych: przemienność, łączność, rozdzielność? Które z nich są spełnione dla macierzy podczas dodawania i mnożenia, a które nie?

15. Co to jest macierz odwrotna? Dla jakich macierzy jest to zdefiniowane?

16. Sformułuj twierdzenie o istnieniu i jedyności odwrotna macierz.

17. Sformułuj lemat o transpozycji iloczynu macierzy.

Ogólne zadania praktyczne(OK-1, OK-2, OK-11, PK-1) :

nr 1. Znajdź sumę i różnicę macierzy A i B :

A)

B)

V)

Nr 2. Wykonaj poniższe kroki :

c) Z= -11A+7B-4C+D

Jeśli

Nr 3. Wykonaj poniższe kroki :

V)

Nr 4. Korzystając z czterech metod obliczania wyznacznika macierzy kwadratowej, znajdź wyznaczniki poniższych macierzy :

Nr 5. Znajdź wyznaczniki n-tego rzędu na podstawie elementów kolumny (wiersza) :

A) B)

Numer 6. Znajdź wyznacznik macierzy wykorzystując właściwości wyznaczników:

A) B)

Dany zestaw narzędzi pomoże Ci nauczyć się grać operacje na macierzach: dodawanie (odejmowanie) macierzy, transpozycja macierzy, mnożenie macierzy, znajdowanie macierzy odwrotnej. Cały materiał przedstawiony jest w prostej i przystępnej formie, podano odpowiednie przykłady, dzięki czemu nawet osoba nieprzygotowana może nauczyć się wykonywania działań na macierzach. Do samodzielnego monitorowania i testowania można bezpłatnie pobrać kalkulator matrycowy >>>.

Postaram się zminimalizować obliczenia teoretyczne; w niektórych miejscach możliwe są wyjaśnienia „na palcach” i użycie terminów nienaukowych. Miłośników solidnej teorii proszę nie wdawać się w krytykę, naszym zadaniem jest to naucz się wykonywać operacje na macierzach.

Dla SUPER SZYBKIEGO przygotowania na dany temat (kto się „pali”) dostępny jest intensywny kurs pdf Macierz, wyznacznik i test!

Macierz to prostokątna tabela niektórych elementy. Jak elementy rozważymy liczby, czyli macierze numeryczne. ELEMENT jest terminem. Warto zapamiętać to określenie, będzie ono pojawiać się często, nieprzypadkowo użyłem pogrubionej czcionki, aby je podkreślić.

Przeznaczenie: macierze są zwykle oznaczane wielkimi literami z literami łacińskimi

Przykład: Rozważmy macierz dwa na trzy:

Macierz ta składa się z sześciu elementy:

Wszystkie liczby (elementy) wewnątrz macierzy istnieją samodzielnie, to znaczy nie ma mowy o żadnym odejmowaniu:

To tylko tabela (zestaw) liczb!

My też się zgodzimy nie przestawiaj numery, chyba że w objaśnieniach wskazano inaczej. Każda liczba ma swoją własną lokalizację i nie można jej przetasować!

Macierz, o której mowa, ma dwa wiersze:

i trzy kolumny:

STANDARD: w takim razie mówiąc o rozmiarach macierzy najpierw wskazać liczbę wierszy, a dopiero potem liczbę kolumn. Właśnie podzieliliśmy macierz dwa na trzy.

Jeśli liczba wierszy i kolumn macierzy jest taka sama, wówczas nazywana jest macierz kwadrat, Na przykład: – macierz trzy na trzy.

Jeśli macierz ma jedną kolumnę lub jeden wiersz, wówczas takie macierze również nazywane są wektory.

Tak naprawdę pojęcie macierzy znamy od czasów szkolnych; rozważmy na przykład punkt o współrzędnych „x” i „y”: . Zasadniczo współrzędne punktu są zapisywane w macierzy jeden na dwa. Swoją drogą oto przykład dlaczego kolejność liczb ma znaczenie: i są to dwa zupełnie różne punkty na płaszczyźnie.

Przejdźmy teraz do nauki operacje na macierzach:

1) Akt pierwszy. Usunięcie minusa z macierzy (wprowadzenie minusa do macierzy).

Wróćmy do naszej matrycy . Jak zapewne zauważyłeś, w tej macierzy jest zbyt wiele liczb ujemnych. Jest to bardzo niewygodne z punktu widzenia wykonywania różnych czynności z matrycą, niewygodne jest pisanie tak wielu minusów i po prostu wygląda brzydko w projektowaniu.

Przesuńmy minus poza macierz, zmieniając znak KAŻDEGO elementu macierzy:

Jak rozumiesz, przy zera znak się nie zmienia; zero jest również zerem w Afryce.

Odwrotny przykład: . Wygląda brzydko.

Wprowadźmy minus do macierzy zmieniając znak KAŻDEGO elementu macierzy:

Cóż, wyszło dużo ładniej. I co najważniejsze, ŁATWIEJ będzie wykonywać jakiekolwiek czynności za pomocą matrycy. Ponieważ istnieje taka matematyka znak ludowy: im więcej minusów, tym więcej zamieszania i błędów.

2) Akt drugi. Mnożenie macierzy przez liczbę.

Przykład:

To proste, aby pomnożyć macierz przez liczbę, potrzebujesz każdy element macierzy pomnożony przez podany numer. W w tym przypadku- dla trzech.

Inny użyteczny przykład:

– mnożenie macierzy przez ułamek

Najpierw spójrzmy, co zrobić NIE MA POTRZEBY:

NIE MA KONIECZNOŚCI wpisywania ułamka do macierzy; po pierwsze komplikuje to jedynie dalsze działania z macierzą, a po drugie utrudnia nauczycielowi sprawdzenie rozwiązania (szczególnie jeśli – ostateczna odpowiedź zadania).

A szczególnie, NIE MA POTRZEBY podziel każdy element macierzy przez minus siedem:

Z artykułu Matematyka dla opornych, czyli od czego zacząć, pamiętamy to miejsca dziesiętne w matematyce wyższej starają się ich unikać na wszelkie możliwe sposoby.

Jedyną rzeczą jest raczej W tym przykładzie należy dodać minus do macierzy:

Ale jeśli tylko WSZYSTKO elementy macierzy podzielono przez 7 bez śladu, wówczas możliwe byłoby (i konieczne!) dzielenie.

Przykład:

W tym przypadku możesz POTRZEBOWAĆ pomnóż wszystkie elementy macierzy przez , ponieważ wszystkie liczby macierzy są podzielne przez 2 bez śladu.

Uwaga: w teorii wyższej matematyki koncepcja szkoły„podział” nr. Zamiast mówić „to podzielone przez tamto”, zawsze możesz powiedzieć „to pomnożone przez ułamek”. To znaczy, podział jest szczególny przypadek mnożenie.

3) Akt trzeci. Transpozycja macierzy.

Aby dokonać transpozycji macierzy należy wpisać jej wiersze w kolumny transponowanej macierzy.

Przykład:

Transponuj macierz

Jest tu tylko jedna linijka i zgodnie z regułą należy ją zapisać w kolumnie:

– transponowana macierz.

Transponowana macierz jest zwykle oznaczona indeksem górnym lub liczbą pierwszą w prawym górnym rogu.

Przykład krok po kroku:

Transponuj macierz

Najpierw przepisujemy pierwszy wiersz do pierwszej kolumny:

Następnie przepisujemy drugą linię do drugiej kolumny:

I na koniec przepisujemy trzeci wiersz do trzeciej kolumny:

Gotowy. Z grubsza mówiąc, transpozycja oznacza obrócenie matrycy na bok.

4) Akt czwarty. Suma (różnica) macierzy.

Suma macierzy to prosta operacja.
NIE WSZYSTKIE MATRYCE MOŻNA SKŁADAĆ. Aby wykonać dodawanie (odejmowanie) macierzy konieczne jest, aby były one TEGO SAMEGO ROZMIARU.

Na przykład, jeśli podana jest macierz dwa na dwa, to można ją dodać tylko z macierzą dwa na dwa i żadną inną!

Przykład:

Dodaj macierze I

Aby dodać macierze, należy dodać odpowiadające im elementy:

Dla różnicy macierzy zasada jest podobna, konieczne jest znalezienie różnicy odpowiednich elementów.

Przykład:

Znajdź różnicę macierzy ,

Jak można łatwiej rozwiązać ten przykład, aby się nie pomylić? Wskazane jest pozbycie się niepotrzebnych minusów; w tym celu dodaj minus do macierzy:

Uwaga: w teorii matematyki w szkołach wyższych nie ma pojęcia „odejmowania”. Zamiast mówić „odejmij to od tego”, zawsze możesz powiedzieć „dodaj to do tego”. liczba ujemna" Oznacza to, że odejmowanie jest szczególnym przypadkiem dodawania.

5) Akt piąty. Mnożenie macierzy.

Jakie macierze można pomnożyć?

Aby macierz mogła zostać pomnożona przez macierz, jest to konieczne tak, aby liczba kolumn macierzy była równa liczbie wierszy macierzy.

Przykład:
Czy można pomnożyć macierz przez macierz?

Oznacza to, że dane macierzowe można mnożyć.

Ale jeśli macierze zostaną przestawione, w tym przypadku mnożenie nie będzie już możliwe!

Dlatego mnożenie nie jest możliwe:

Nierzadko spotyka się zadania z podstępem, gdy uczeń jest proszony o pomnożenie macierzy, których pomnożenie jest oczywiście niemożliwe.

Należy zaznaczyć, że w niektórych przypadkach możliwe jest pomnożenie macierzy w obie strony.
Na przykład w przypadku macierzy możliwe jest zarówno mnożenie, jak i mnożenie

Należy pamiętać, że elementami macierzy mogą być nie tylko liczby. Wyobraźmy sobie, że opisujesz książki, które znajdują się na Twojej półce. Niech na Twojej półce będzie porządek, a wszystkie książki w ściśle określonych miejscach. Tabela, która będzie zawierała opis Twojej biblioteki (według półek i kolejności książek na półce), będzie jednocześnie matrycą. Ale taka macierz nie będzie numeryczna. Inny przykład. Zamiast liczb są różne funkcje, zjednoczeni pewną zależnością. Wynikowa tabela będzie również nazywana macierzą. Innymi słowy, macierz to dowolny prostokątny stół składający się z jednorodny elementy. Tutaj i dalej będziemy mówić o macierzach złożonych z liczb.

Zamiast nawiasów do zapisu macierzy stosuje się nawiasy kwadratowe lub proste podwójne linie pionowe

(2.1*)

Definicja 2. Jeśli w wyrażeniu(1) m = n, potem o tym rozmawiają macierz kwadratowa, i jeśli , wtedy och prostokątny.

W zależności od wartości m i n wyróżnia się niektóre specjalne typy macierzy:

Najważniejsza cecha kwadrat matrix to ona wyznacznik Lub wyznacznik, który składa się z elementów macierzy i jest oznaczony

Oczywiście DE =1; .

Definicja 3. Jeśli , potem matryca A zwany niezdegenerowany Lub nie specjalne.

Definicja 4. Jeśli deA = 0 , potem matryca A zwany zdegenerowany Lub specjalny.

Definicja 5. Dwie matryce A I B są nazywane równy i napisz A = B jeśli mają te same wymiary i odpowiadające im elementy są równe, tj..

Na przykład macierze i są równe, ponieważ są one równe pod względem wielkości i każdy element jednej macierzy jest równy odpowiedniemu elementowi drugiej macierzy. Ale macierzy nie można nazwać równymi, chociaż wyznaczniki obu macierzy są równe i rozmiary macierzy są takie same, ale nie wszystkie elementy znajdujące się w tych samych miejscach są równe. Macierze są różne, ponieważ mają inny rozmiar. Pierwsza matryca ma rozmiar 2x3, a druga 3x2. Co prawda liczba elementów jest taka sama - 6, a same elementy to te same 1, 2, 3, 4, 5, 6, ale znajdują się w różnych miejscach w każdej macierzy. Ale macierze są równe, zgodnie z definicją 5.

Definicja 6. Jeśli naprawisz określoną liczbę kolumn macierzy A i taką samą liczbę wierszy, wówczas elementy na przecięciu wskazanych kolumn i wierszy tworzą macierz kwadratową N- rząd, którego wyznacznik zwany drobny k – macierz trzeciego rzędu A.

Przykład. Zapisz trzy molle drugiego rzędu macierzy

>> Matryce

4.1.Macierze. Operacje na macierzach

Macierz prostokątna o rozmiarze mxn jest zbiorem liczb mxn ułożonych w formie prostokątnej tabeli zawierającej m wierszy i n kolumn. Napiszemy to w formularzu

lub w skrócie A = (a i j) (i = ; j = ), liczby a i j nazywane są jego elementami; Pierwszy indeks wskazuje numer wiersza, drugi - numer kolumny. A = (a i j) i B = (b i j) tej samej wielkości nazywamy równymi, jeśli ich elementy stojące w tych samych miejscach są równe parami, czyli A = B, jeśli a i j = b i j.

Macierz składająca się z jednego wiersza lub jednej kolumny nazywana jest odpowiednio wektorem wierszowym lub wektorem kolumnowym. Wektory kolumnowe i wektory wierszowe nazywane są po prostu wektorami.

Macierz składająca się z jednej liczby jest identyfikowana tą liczbą. A o rozmiarze mxn, którego wszystkie elementy są równe zero, nazywamy zerem i oznaczamy przez 0. Elementy o tych samych indeksach nazywane są elementami głównej przekątnej. Jeśli liczba wierszy jest równa liczbie kolumn, czyli m = n, wówczas macierz nazywa się macierzą kwadratową rzędu n. Macierze kwadratowe, w których tylko elementy głównej przekątnej są niezerowe, nazywane są diagonalnymi i zapisuje się je w następujący sposób:

.

Jeżeli wszystkie elementy a i i przekątnej są równe 1, wówczas nazywa się to jednostką i oznacza się ją literą E:

.

Macierz kwadratową nazywamy trójkątną, jeśli wszystkie elementy powyżej (lub poniżej) głównej przekątnej są równe zero. Transpozycja to transformacja, podczas której zamieniane są wiersze i kolumny, zachowując ich numerację. Transpozycja jest oznaczona literą T na górze.

Jeśli zmienimy kolejność wierszy i kolumn w (4.1), otrzymamy

,

który zostanie transponowany względem A. W szczególności podczas transpozycji wektora kolumnowego uzyskuje się wektor wierszowy i odwrotnie.

Iloczyn A i liczby b jest macierzą, której elementy otrzymuje się z odpowiednich elementów A poprzez pomnożenie przez liczbę b: b A = (b a i j).

Suma A = (a i j) i B = (b i j) tej samej wielkości nazywana jest C = (c i j) tej samej wielkości, której elementy określa wzór c i j = a i j + b i j.

Iloczyn AB wyznacza się przy założeniu, że liczba kolumn A jest równa liczbie wierszy B.

Iloczyn AB, gdzie A = (a i j) oraz B = (b j k), gdzie i = , j= , k= , podany w pewnej kolejności AB, nazywany jest C = (c i k), którego elementy wyznaczane są przez następująca zasada:

do ja k = za ja 1 b 1 k + za ja 2 b 2 k +... + za ja m b m k = za ja s b s k . (4.2)

Innymi słowy, element produktu AB definiuje się następująco: element i-ta linia a k-ta kolumna C jest równa sumie produktów elementy i-tego wiersze A do odpowiednich elementów k-tej kolumny B.

Przykład 2.1. Znajdź produkt AB i .

Rozwiązanie. Mamy: A o rozmiarze 2x3, B o rozmiarze 3x3, wtedy istnieje iloczyn AB = C i elementy C są równe

Od 11 = 1×1 +2×2 + 1×3 = 8, od 21 = 3×1 + 1×2 + 0×3 = 5, od 12 = 1×2 + 2×0 + 1×5 = 7 ,

s 22 = 3×2 + 1 × 0 + 0 × 5 = 6, s 13 = 1 × 3 + 2 × 1 + 1 × 4 = 9, s 23 = 3 × 3 + 1 × 1 + 0 × 4 = 10 .

, a produkt BA nie istnieje.

Przykład 2.2. Tabela pokazuje liczbę jednostek produktów wysyłanych dziennie z mleczarni 1 i 2 do sklepów M 1, M 2 i M 3, a dostawa jednostki produktu z każdej mleczarni do magazynu M 1 kosztuje 50 den. jednostek, do magazynu M 2 - 70, a do M 3 - 130 den. jednostki Oblicz dzienne koszty transportu każdej rośliny.

Roślina mleczna

Rozwiązanie. Oznaczmy przez A macierz podaną nam w warunku i przez
B - macierz charakteryzująca koszt dostarczenia jednostki produktu do sklepów, tj.

,

Wtedy macierz kosztów transportu będzie wyglądać następująco:

.

Tak więc pierwszy zakład wydaje dziennie na transport 4750 denarów. jednostek, druga - 3680 jednostek pieniężnych.

Przykład 2.3. Szwalnia produkuje płaszcze zimowe, płaszcze półsezonowe i płaszcze przeciwdeszczowe. Planowaną produkcję na dekadę charakteryzuje wektor X = (10, 15, 23). Stosowane są cztery rodzaje tkanin: T 1, T 2, T 3, T 4. Tabela pokazuje wskaźniki zużycia tkaniny (w metrach) dla każdego produktu. Wektor C = (40, 35, 24, 16) określa koszt metra tkaniny każdego rodzaju, a wektor P = (5, 3, 2, 2) określa koszt transportu metra tkaniny każdego rodzaju.

	Zużycie tkaniny
Płaszcz zimowy
Płaszcz wielosezonowy

1. Ile metrów każdego rodzaju tkaniny będzie potrzebne do wykonania planu?

2. Znajdź koszt tkaniny wydanej na uszycie każdego rodzaju produktu.

3. Określ koszt całego materiału potrzebnego do wykonania planu.

Rozwiązanie. Oznaczmy przez A macierz podaną nam w warunku, tj.

,

następnie, aby znaleźć liczbę metrów materiału potrzebną do wykonania planu, należy pomnożyć wektor X przez macierz A:

Koszt tkaniny wydanej na szycie produktów każdego rodzaju znajdujemy, mnożąc macierz A i wektor C T:

.

Koszt całej tkaniny potrzebnej do wykonania planu zostanie określony według wzoru:

Ostatecznie, biorąc pod uwagę koszty transportu, cała kwota będzie równa kosztowi tkaniny, czyli 9472 den. jednostki plus wartość

X ZA P T =
.

Zatem X A C T + X A P T = 9472 + 1037 = 10509 (jednostki pieniężne).

W tym temacie rozważymy pojęcie macierzy, a także rodzaje macierzy. Ponieważ terminów w tym temacie jest dużo, dodam streszczenie aby ułatwić poruszanie się po materiale.

Definicja macierzy i jej elementu. Notacja.

Matryca to tabela zawierająca $m$ wierszy i $n$ kolumn. Elementami macierzy mogą być obiekty o zupełnie innym charakterze: liczby, zmienne lub np. inne macierze. Na przykład macierz $\left(\begin(array) (cc) 5 i 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ zawiera 3 wiersze i 2 kolumny; jego elementy są liczbami całkowitymi. Macierz $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ zawiera 2 wiersze i 4 kolumny.

Różne sposoby zapisu macierzy: pokaż\ukryj

Macierz można zapisać nie tylko w nawiasach okrągłych, ale także w nawiasach kwadratowych lub podwójnych prostych. Oznacza to, że poniższe wpisy oznaczają tę samą macierz:

$$ \left(\begin(tablica) (cc) 5 i 3 \\ 0 i -87 \\ 8 i 0 \end(tablica) \right);\;\; \left[ \begin(tablica) (cc) 5 i 3 \\ 0 i -87 \\ 8 i 0 \end(tablica) \right]; \;\; \left \Vert \begin(tablica) (cc) 5 i 3 \\ 0 i -87 \\ 8 i 0 \end(tablica) \right \Vert $$

Nazywa się iloczyn $m\razy n$ rozmiar matrycy. Na przykład, jeśli macierz zawiera 5 wierszy i 3 kolumny, to mówimy o macierzy o rozmiarze $5\razy 3$. Macierz $\left(\begin(array)(cc) 5 i 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ ma rozmiar $3 \times 2$.

Zazwyczaj macierze są oznaczane wielkimi literami alfabetu łacińskiego: $A$, $B$, $C$ i tak dalej. Na przykład $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 i 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. Numeracja linii przebiega od góry do dołu; kolumny - od lewej do prawej. Przykładowo pierwszy wiersz macierzy $B$ zawiera elementy 5 i 3, natomiast druga kolumna zawiera elementy 3, -87, 0.

Elementy macierzy są zwykle oznaczane małymi literami. Na przykład elementy macierzy $A$ są oznaczone przez $a_(ij)$. Podwójny indeks $ij$ zawiera informację o położeniu elementu w macierzy. Liczba $i$ to numer wiersza, a liczba $j$ to numer kolumny, na przecięciu której znajduje się element $a_(ij)$. Na przykład na przecięciu drugiego wiersza i piątej kolumny macierzy $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ element $a_(25) = 59 dolarów:

W ten sam sposób na przecięciu pierwszego wiersza i pierwszej kolumny mamy element $a_(11)=51$; na przecięciu trzeciego wiersza i drugiej kolumny - element $a_(32)=-15$ i tak dalej. Zwróć uwagę, że wpis $a_(32)$ brzmi „trzy dwa”, ale nie „trzydzieści dwa”.

Aby skrócić macierz $A$, której rozmiar wynosi $m\times n$, stosuje się zapis $A_(m\times n)$. Możesz napisać to trochę bardziej szczegółowo:

$$ A_(m\razy n)=(a_(ij)) $$

gdzie zapis $(a_(ij))$ oznacza elementy macierzy $A$. W całkowicie rozwiniętej postaci macierz $A_(m\times n)=(a_(ij))$ można zapisać w następujący sposób:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

Wprowadźmy inny termin - równe macierze.

Nazywa się dwie macierze o tym samym rozmiarze $A_(m\times n)=(a_(ij))$ i $B_(m\times n)=(b_(ij))$ równy, jeśli odpowiadające im elementy są równe, tj. $a_(ij)=b_(ij)$ dla wszystkich $i=\overline(1,m)$ i $j=\overline(1,n)$.

Objaśnienie wpisu $i=\overline(1,m)$: show\hide

Zapis „$i=\overline(1,m)$” oznacza, że ​​parametr $i$ zmienia się od 1 do m. Przykładowo zapis $i=\overline(1,5)$ wskazuje, że parametr $i$ przyjmuje wartości 1, 2, 3, 4, 5.

Aby więc macierze były równe, muszą zostać spełnione dwa warunki: zbieżność rozmiarów i równość odpowiednich elementów. Na przykład macierz $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ nie jest równa macierzy $B=\left(\ Begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$, ponieważ macierz $A$ ma rozmiar $3\razy 2$ i macierz $B$ ma rozmiar 2 $\razy 2 $. Ponadto macierz $A$ nie jest równa macierzy $C=\left(\begin(array)(cc) 5 i 3\\98 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ , ponieważ $a_( 21)\neq c_(21)$ (tj. $0\neq 98$). Ale dla macierzy $F=\left(\begin(array)(cc) 5 i 3\\0 & -87\\8 & ​​​​0\end(array)\right)$ możemy spokojnie zapisać $A= F$, ponieważ zarówno rozmiary, jak i odpowiadające im elementy macierzy $A$ i $F$ pokrywają się.

Przykład nr 1

Określ rozmiar macierzy $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \end(array) \right)$. Wskaż, jakie są elementy $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$.

Macierz ta zawiera 5 wierszy i 3 kolumny, więc jej rozmiar wynosi 5 $\razy 3 $. Dla tej macierzy możesz także użyć zapisu $A_(5\times 3)$.

Element $a_(12)$ znajduje się na przecięciu pierwszego wiersza i drugiej kolumny, więc $a_(12)=-2$. Element $a_(33)$ znajduje się na przecięciu trzeciego wiersza i trzeciej kolumny, więc $a_(33)=23$. Element $a_(43)$ znajduje się na przecięciu czwartego wiersza i trzeciej kolumny, więc $a_(43)=-5$.

Odpowiedź: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Rodzaje macierzy w zależności od ich wielkości. Przekątne główne i wtórne. Ślad matrycy.

Niech będzie dana pewna macierz $A_(m\timen)$. Jeżeli $m=1$ (macierz składa się z jednego wiersza) to dana macierz jest wywoływana wiersz-macierzy. Jeżeli $n=1$ (macierz składa się z jednej kolumny) to taką macierz nazywa się kolumna-macierz. Na przykład $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ jest macierzą wierszową, a $\left(\begin(array ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ jest macierzą kolumnową.

Jeśli macierz $A_(m\times n)$ spełnia warunek $m\neq n$ (czyli liczba wierszy nie jest równa liczbie kolumn), to często mówi się, że $A$ jest prostokątem matryca. Na przykład macierz $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ ma rozmiar $2\times 4 $, te. zawiera 2 wiersze i 4 kolumny. Ponieważ liczba wierszy nie jest równa liczbie kolumn, macierz ta jest prostokątna.

Jeżeli macierz $A_(m\times n)$ spełnia warunek $m=n$ (tj. liczba wierszy jest równa liczbie kolumn), to mówimy, że $A$ jest macierzą kwadratową rzędu $ n$. Na przykład $\left(\begin(array) (cc) -1 i -2 \\ 5 i 9 \end(array) \right)$ jest macierzą kwadratową drugiego rzędu; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ jest macierzą kwadratową trzeciego rzędu. W ogólna perspektywa macierz kwadratową $A_(n\times n)$ można zapisać w następujący sposób:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

Mówi się, że elementy $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ są włączone główna przekątna macierze $A_(n\razy n)$. Elementy te nazywane są główne elementy ukośne(lub po prostu elementy ukośne). Elementy $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ są włączone boczna (mniejsza) przekątna; nazywają się boczne elementy ukośne. Na przykład dla macierzy $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( tablica) \right)$ mamy:

Elementy $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ są głównymi elementami przekątnymi; elementy $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ są elementami bocznymi przekątnymi.

Nazywa się sumą głównych elementów przekątnych po którym następuje macierz i jest oznaczony przez $\Tr A$ (lub $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

Na przykład dla macierzy $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 i -9 i 5 i 6 \end(array)\right)$ mamy:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Pojęcie elementów przekątnych jest również stosowane w przypadku macierzy innych niż kwadratowe. Na przykład dla macierzy $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ głównymi elementami przekątnymi będą $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Rodzaje macierzy w zależności od wartości ich elementów.

Jeżeli wszystkie elementy macierzy $A_(m\times n)$ są równe zero, to taką macierz nazywa się zero i jest zwykle oznaczany literą $O$. Na przykład $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 i 0 i 0 \\ 0 i 0 i 0 \\ 0 i 0 i 0 \end(array) \right)$ - macierze zerowe.

Niech macierz $A_(m\timen)$ będzie miała postać:

Następnie nazywa się tę macierz trapezowy. Może nie zawierać wierszy zerowych, ale jeśli takie istnieją, to znajdują się na dole macierzy. W bardziej ogólnej formie macierz trapezową można zapisać w następujący sposób:

Ponownie, końcowe linie zerowe nie są wymagane. Te. Formalnie możemy wyróżnić następujące warunki dla macierzy trapezowej:

1. Wszystkie elementy poniżej głównej przekątnej wynoszą zero.
2. Wszystkie elementy od $a_(11)$ do $a_(rr)$ leżące na głównej przekątnej nie są równe zero: $a_(11)\neq 0, \; a_(22)\neq 0, \ldots, a_(rr)\neq 0$.
3. Albo wszystkie elementy ostatnich wierszy $m-r$ mają wartość zerową, albo $m=r$ (tj. w ogóle nie ma wierszy zerowych).

Przykłady macierzy trapezowych:

Przejdźmy do następnej definicji. Wywołuje się macierz $A_(m\times n)$ wkroczył, jeżeli spełnia następujące warunki:

Na przykład macierze kroków wyglądałyby następująco:

Dla porównania macierz $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 0 & 1\\0 & 0 & 8 & 7\\0 & 0 & 4 & -7\\0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right)$ nie jest rzutem, ponieważ trzeci wiersz ma tę samą część zerową, co drugi wiersz. Oznacza to, że naruszona jest zasada „im niższa linia, tym większa część zerowa”. Dodam, że macierz trapezowa jest szczególnym przypadkiem macierzy schodkowej.

Przejdźmy do następnej definicji. Jeżeli wszystkie elementy macierzy kwadratowej znajdujące się pod główną przekątną są równe zero, wówczas nazywa się taką macierz górna macierz trójkątna. Na przykład $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ to górna macierz trójkątna. Należy zauważyć, że definicja górnej macierzy trójkątnej nie mówi nic o wartościach elementów znajdujących się nad główną przekątną lub na głównej przekątnej. Mogą wynosić zero lub nie – to nie ma znaczenia. Na przykład $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ jest także górną macierzą trójkątną.

Jeżeli wszystkie elementy macierzy kwadratowej znajdujące się powyżej głównej przekątnej są równe zero, wówczas nazywa się taką macierz dolna macierz trójkątna. Na przykład $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - dolna macierz trójkątna. Należy zauważyć, że definicja dolnej macierzy trójkątnej nie mówi nic o wartościach elementów znajdujących się pod lub na głównej przekątnej. Mogą wynosić zero lub nie – to nie ma znaczenia. Na przykład $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ i $\left(\ rozpocząć (tablica) (ccc) 0 i 0 i 0 \\ 0 i 0 i 0\\ 0 i 0 i 0 \end(array) \right)$ są także dolnymi macierzami trójkątnymi.

Nazywa się macierz kwadratową przekątna, jeśli wszystkie elementy tej macierzy nie leżące na głównej przekątnej są równe zero. Przykład: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ koniec(tablica)\right)$. Elementy na głównej przekątnej mogą być dowolne ( równy zeru czy nie) jest nieistotne.

Nazywa się macierzą diagonalną pojedynczy, jeśli wszystkie elementy tej macierzy znajdujące się na głównej przekątnej są równe 1. Na przykład $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - macierz tożsamości czwartego rzędu; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ to macierz tożsamości drugiego rzędu.