Przykłady całkowania funkcji wymiernych (ułamków). Całkowanie funkcji ułamkowo-wymiernej. Metoda niepewnych współczynników

„Matematyk, podobnie jak artysta czy poeta, tworzy wzory. A jeśli jego wzory są trwalsze, to tylko dlatego, że składają się z idei... Wzory matematyka, tak jak wzory artysty czy poety, muszą być piękne; Idee, podobnie jak kolory czy słowa, muszą sobie odpowiadać. Piękno to pierwszy wymóg: na świecie nie ma miejsca na brzydką matematykę».

G.H.Hardy

W pierwszym rozdziale zauważono, że istnieją funkcje pierwotne dość prostych funkcji, których nie można już wyrazić w postaci funkcje elementarne. Pod tym względem te klasy funkcji, o których można trafnie powiedzieć, że ich funkcje pierwotne są funkcjami elementarnymi, nabierają ogromnego znaczenia praktycznego. Ta klasa funkcji obejmuje funkcje racjonalne, reprezentujący stosunek dwóch wielomianów algebraicznych. Wiele problemów prowadzi do całkowania ułamków wymiernych. Dlatego bardzo ważna jest możliwość integracji takich funkcji.

2.1.1. Ułamkowe funkcje wymierne

Ułamek racjonalny(Lub ułamkowa funkcja wymierna) jest relacją dwóch wielomianów algebraicznych:

gdzie i są wielomianami.

Przypomnijmy to wielomian (wielomian, cała funkcja wymierna) Nstopień nazywamy funkcją formy

Gdzie - liczby rzeczywiste. Na przykład,

– wielomian pierwszego stopnia;

– wielomian czwartego stopnia itp.

Nazywa się ułamek wymierny (2.1.1). prawidłowy, jeżeli stopień jest niższy od stopnia, tj. N<M, w przeciwnym razie ułamek nazywany jest zło.

Każdy ułamek niewłaściwy można przedstawić jako sumę wielomianu (całość) i ułamka właściwego (część ułamkowa). Rozdzielenie części całkowitej i ułamkowej ułamka niewłaściwego można wykonać zgodnie z zasadą dzielenia wielomianów „narożnikiem”.

Przykład 2.1.1. Wskaż części całkowite i ułamkowe następujących ułamków wymiernych niewłaściwych:

A) , B) .

Rozwiązanie . a) Stosując algorytm dzielenia „narożnego” otrzymujemy

W ten sposób otrzymujemy

.

b) Tutaj również używamy algorytmu dzielenia „narożnego”:

W rezultacie otrzymujemy

.

Podsumujmy. W ogólnym przypadku całkę nieoznaczoną ułamka wymiernego można przedstawić jako sumę całek wielomianu i właściwego ułamka wymiernego. Znalezienie funkcji pierwotnych wielomianów nie jest trudne. Dlatego w dalszej części będziemy rozważać głównie właściwe ułamki wymierne.

2.1.2. Najprostsze ułamki wymierne i ich całkowanie

Wśród właściwych ułamków wymiernych wyróżnia się cztery typy, które klasyfikuje się jako najprostsze (elementarne) ułamki wymierne:

gdzie jest liczbą całkowitą, , tj. trójmian kwadratowy nie ma prawdziwych korzeni.

Całkowanie ułamków prostych pierwszego i drugiego typu nie nastręcza większych trudności:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Rozważmy teraz całkowanie prostych ułamków trzeciego typu, ale nie będziemy rozważać ułamków czwartego typu.

Zacznijmy od całek postaci

.

Całkę tę zwykle oblicza się, wyodrębniając idealny kwadrat mianownika. Wynikiem jest całka tabelaryczna o następującej postaci

Lub .

Przykład 2.1.2. Znajdź całki:

A) , B) .

Rozwiązanie . a) Wybierz cały kwadrat z trójmianu kwadratowego:

Stąd znajdziemy

b) Izolując cały kwadrat z trójmianu kwadratowego, otrzymujemy:

Zatem,

.

Aby znaleźć całkę

możesz wyodrębnić pochodną mianownika w liczniku i rozwinąć całkę do sumy dwóch całek: pierwszej z nich przez podstawienie sprowadza się do wyglądu

,

i drugi - do omówionego powyżej.

Przykład 2.1.3. Znajdź całki:

.

Rozwiązanie . Zauważ, że . Wyodrębnijmy pochodną mianownika w liczniku:

Pierwszą całkę oblicza się metodą podstawienia :

W drugiej całce wybieramy idealny kwadrat w mianowniku

Wreszcie otrzymujemy

2.1.3. Właściwa racjonalna ekspansja frakcji
dla sumy ułamków prostych

Dowolny ułamek wymierny właściwy można przedstawić w unikalny sposób jako sumę ułamków prostych. Aby to zrobić, mianownik musi zostać rozłożony na czynniki. Z wyższej algebry wiadomo, że każdy wielomian ma rzeczywiste współczynniki

Całkowanie funkcji wymiernych Ułamkowy - funkcja wymierna Najprostsze ułamki wymierne Rozkład ułamka wymiernego na ułamki proste Całkowanie ułamków prostych Ogólna zasada całkowania ułamków wymiernych

wielomian stopnia n. Funkcja ułamkowo - wymierna Funkcja ułamkowo - wymierna to funkcja równa stosunkowi dwóch wielomianów: Ułamek wymierny nazywa się właściwym, jeśli stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika, czyli m< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Ułamek ułamkowy - funkcja wymierna Sprowadź ułamek niewłaściwy do właściwej postaci: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

Najprostsze ułamki wymierne Właściwe ułamki wymierne postaci: Nazywa się je najprostszymi ułamkami wymiernymi typów. topór A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Rozkład ułamka wymiernego na ułamki proste Twierdzenie: Dowolny ułamek wymierny właściwy, którego mianownik jest rozłożony na czynniki: można ponadto przedstawić w unikalny sposób w postaci sumy ułamków prostych: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx)

Rozkład ułamka wymiernego na ułamki proste Wyjaśnijmy sformułowanie twierdzenia na następujących przykładach: Aby znaleźć niepewne współczynniki A, B, C, D..., stosuje się dwie metody: metodę porównywania współczynników i metodę częściowych wartości zmiennej. Przyjrzyjmy się pierwszej metodzie na przykładzie. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x

Rozkład ułamka wymiernego na ułamki proste Przedstaw ułamek jako sumę ułamków prostych: Sprowadźmy najprostsze ułamki do wspólnego mianownika Przyrównaj liczniki ułamka wynikowego i pierwotnego Przyrównaj współczynniki do tych samych potęg x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Całkowanie najprostszych ułamków Znajdźmy całki najprostszych ułamków wymiernych: Przyjrzyjmy się całkowaniu ułamków typu 3 na przykładzie. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Całkowanie ułamków prostychdx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 322 t dtt 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg. C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln

Całkowanie ułamków prostych Całkę tego typu metodą podstawienia: sprowadza się do sumy dwóch całek: Pierwszą całkę obliczamy wprowadzając t pod znak różniczkowy. Całkę drugą obliczamy ze wzoru na powtarzalność: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk at dt N at dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Całkowanie ułamków prostych a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t t C t t tarctg 222)1 (4)1(

Ogólna zasada całkowania ułamków wymiernych. Jeśli ułamek jest niewłaściwy, przedstaw go jako sumę wielomianu i ułamka właściwego. Po rozłożeniu mianownika odpowiedniego ułamka wymiernego przedstaw go jako sumę ułamków prostych o nieokreślonych współczynnikach. Znajdź nieokreślone współczynniki metodą porównywania współczynników lub metodą wartości cząstkowych zmiennej. Całkuj wielomian i otrzymaną sumę ułamków prostych.

Przykład Zapiszmy ułamek we właściwej formie. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 2 2 2 48 52 5 xxx 5105 23 48 2 x x

Przykład Rozłóżmy mianownik ułamka właściwego na czynniki Przedstawmy ułamek jako sumę ułamków prostych Znajdźmy nieokreślone współczynniki metodą wartości cząstkowych zmiennej xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2 )1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

Przykład dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

TEMAT: Całkowanie ułamków wymiernych.

Uwaga! Badając jedną z podstawowych metod całkowania: całkowanie ułamków wymiernych, konieczne jest uwzględnienie wielomianów w dziedzinie zespolonej w celu przeprowadzenia rygorystycznych dowodów. Dlatego jest to konieczne uczyć się wcześniej niektóre właściwości liczb zespolonych i operacje na nich.

Całkowanie prostych ułamków wymiernych.

Jeśli P(z) I Q(z) są wielomianami w dziedzinie zespolonej, to są to ułamki wymierne. Nazywa się to prawidłowy, jeśli stopień P(z) mniejszy stopień Q(z) , I zło, jeśli stopień R nie mniej niż stopień Q.

Dowolny ułamek niewłaściwy można przedstawić w postaci: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

A R(z) – wielomian, którego stopień jest mniejszy od stopnia Q(z).

Całkowanie ułamków wymiernych sprowadza się zatem do całkowania wielomianów, czyli funkcji potęgowych i ułamków właściwych, gdyż jest to ułamek właściwy.

Definicja 5. Najprostsze (lub elementarne) ułamki to następujące rodzaje ułamków:

1) , 2) , 3) , 4) .

Dowiedzmy się, jak się integrują.

3) (uczyłem się wcześniej).

Twierdzenie 5. Każdy ułamek właściwy można przedstawić jako sumę ułamków prostych (bez dowodu).

Wniosek 1. Jeśli jest to właściwy ułamek wymierny, a wśród pierwiastków wielomianu znajdują się tylko proste pierwiastki rzeczywiste, to przy rozkładzie ułamka na sumę prostych ułamków będą tylko proste ułamki pierwszego typu:

Przykład 1.

Wniosek 2. Jeśli jest to właściwy ułamek wymierny, a wśród pierwiastków wielomianu jest tylko wiele pierwiastków rzeczywistych, to przy rozkładzie ułamka na sumę ułamków prostych pozostaną tylko proste ułamki pierwszego i drugiego typu :

Przykład 2.

Wniosek 3. Jeśli jest to właściwy ułamek wymierny, a wśród pierwiastków wielomianu znajdują się tylko proste złożone pierwiastki sprzężone, to przy rozkładzie ułamka na sumę prostych ułamków będą tylko proste ułamki trzeciego typu:

Przykład 3.

Wniosek 4. Jeśli jest to właściwy ułamek wymierny i jeśli wśród pierwiastków wielomianu znajduje się tylko wiele złożonych pierwiastków sprzężonych, to przy rozkładzie ułamka na sumę prostych ułamków będą tylko proste ułamki trzeciego i czwartego typy:

Aby wyznaczyć nieznane współczynniki w danych rozwinięciach, należy postępować w następujący sposób. Lewą i prawą stronę rozwinięcia zawierającego nieznane współczynniki mnoży się przez. Otrzymuje się równość dwóch wielomianów. Z niego otrzymuje się równania dla wymaganych współczynników za pomocą:

1. równość obowiązuje dla dowolnych wartości X (metoda wartości częściowych). W tym przypadku otrzymuje się dowolną liczbę równań, z których dowolne m pozwala znaleźć nieznane współczynniki.

2. współczynniki pokrywają się dla tych samych stopni X (metoda współczynników nieokreślonych). W tym przypadku otrzymuje się układ m - równań z m - niewiadomymi, z których wyznaczane są nieznane współczynniki.

3. metoda łączona.

Przykład 5. Rozwiń ułamek do najprostszych.

Rozwiązanie:

Znajdźmy współczynniki A i B.

Metoda 1 – metoda wartości prywatnej:

Metoda 2 – metoda współczynników nieokreślonych:

Odpowiedź:

Całkowanie ułamków wymiernych.

Twierdzenie 6. Całka nieoznaczona dowolnego ułamka wymiernego w dowolnym przedziale, w którym jego mianownik jest różny od zera, istnieje i jest wyrażana za pomocą funkcji elementarnych, a mianowicie ułamków wymiernych, logarytmów i arcus tangensów.

Dowód.

Wyobraźmy sobie ułamek wymierny w postaci: . W tym przypadku ostatni wyraz jest ułamkiem właściwym i zgodnie z Twierdzeniem 5 można go przedstawić jako kombinację liniową ułamków prostych. Zatem całkowanie ułamka wymiernego sprowadza się do całkowania wielomianu S(X) oraz ułamki proste, których funkcje pierwotne, jak wykazano, mają postać wskazaną w twierdzeniu.

Komentarz. Główną trudnością w tym przypadku jest rozkład mianownika na czynniki, czyli poszukiwanie wszystkich jego pierwiastków.

Przykład 1. Znajdź całkę

Poniżej przedstawiamy szczegółowe rozwiązania trzech przykładów całkowania następujących ułamków wymiernych:
, , .

Przykład 1

Oblicz całkę:
.

Rozwiązanie

Tutaj pod znakiem całki znajduje się funkcja wymierna, ponieważ całka jest ułamkiem wielomianów. Stopień wielomianu mianownika ( 3 ) jest mniejszy niż stopień wielomianu licznika ( 4 ). Dlatego najpierw musisz wybrać całą część ułamka.

1. Wybierzmy całą część ułamka. Podziel x 4 przez x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

Stąd
.

2. Rozłóżmy mianownik ułamka na czynniki. Aby to zrobić, musisz rozwiązać równanie sześcienne:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Podstawmy x = 1 :
.

1 . Podziel przez x - 1 :

Stąd
.
Rozwiązywanie równania kwadratowego.
.
Pierwiastkami równania są: , .
Następnie
.

3. Rozłóżmy ułamek na najprostszą postać.

.

Znaleźliśmy więc:
.
Integrujmy się.

Odpowiedź

Przykład 2

Oblicz całkę:
.

Rozwiązanie

Tutaj licznikiem ułamka jest wielomian stopnia zerowego ( 1 = x 0). Mianownik jest wielomianem trzeciego stopnia. Ponieważ 0 < 3 , to ułamek jest poprawny. Rozbijmy to na ułamki proste.

1. Rozłóżmy mianownik ułamka na czynniki. Aby to zrobić, musisz rozwiązać równanie trzeciego stopnia:
.
Załóżmy, że ma co najmniej jeden cały korzeń. Wtedy jest to dzielnik liczby 3 (członek bez x). Oznacza to, że cały pierwiastek może być jedną z liczb:
1, 3, -1, -3 .
Podstawmy x = 1 :
.

Zatem znaleźliśmy jeden pierwiastek x = 1 . Podziel x 3 + 2 x - 3 na x - 1 :

Więc,
.

Rozwiązanie równania kwadratowego:
X 2 + x + 3 = 0.
Znajdź dyskryminator: D = 1 2 - 4 3 = -11. Ponieważ D< 0 , to równanie nie ma rzeczywistych pierwiastków. W ten sposób otrzymaliśmy faktoryzację mianownika:
.

2.
.
(x - 1)(x 2 + x + 3):
(2.1) .
Podstawmy x = 1 . Wtedy x - 1 = 0 ,
.

Podstawmy (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C;
.

Przyrównajmy (2.1) współczynniki dla x 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. Integrujmy się.
(2.2) .
Aby obliczyć drugą całkę, wyodrębniamy pochodną mianownika w liczniku i redukujemy mianownik do sumy kwadratów.

;
;
.

Oblicz I 2 .


.
Ponieważ równanie x 2 + x + 3 = 0 nie ma rzeczywistych pierwiastków, to x 2 + x + 3 > 0. Dlatego znak modułu można pominąć.

Dostarczamy do (2.2) :
.

Odpowiedź

Przykład 3

Oblicz całkę:
.

Rozwiązanie

Tutaj pod znakiem całki znajduje się ułamek wielomianów. Zatem całka jest funkcją wymierną. Stopień wielomianu w liczniku jest równy 3 . Stopień wielomianu mianownika ułamka jest równy 4 . Ponieważ 3 < 4 , to ułamek jest poprawny. Dlatego można go rozłożyć na ułamki proste. Ale aby to zrobić, musisz rozłożyć mianownik na czynniki.

1. Rozłóżmy mianownik ułamka na czynniki. Aby to zrobić, musisz rozwiązać równanie czwartego stopnia:
.
Załóżmy, że ma co najmniej jeden pełny pierwiastek. Wtedy jest to dzielnik liczby 2 (członek bez x). Oznacza to, że cały pierwiastek może być jedną z liczb:
1, 2, -1, -2 .
Podstawmy x = -1 :
.

Zatem znaleźliśmy jeden pierwiastek x = -1 . Podziel przez x - (-1) = x + 1:


Więc,
.

Teraz musimy rozwiązać równanie trzeciego stopnia:
.
Jeśli założymy, że to równanie ma pierwiastek całkowity, to jest to dzielnik liczby 2 (członek bez x). Oznacza to, że cały pierwiastek może być jedną z liczb:
1, 2, -1, -2 .
Podstawmy x = -1 :
.

Znaleźliśmy więc inny pierwiastek x = -1 . Byłoby możliwe, podobnie jak w poprzednim przypadku, podzielenie wielomianu przez , ale zgrupujemy wyrazy:
.

Ponieważ równanie x 2 + 2 = 0 nie ma rzeczywistych pierwiastków, wówczas otrzymujemy rozkład na czynniki mianownika:
.

2. Rozłóżmy ułamek na najprostszą postać. Szukamy rozwinięcia w postaci:
.
Pozbywamy się mianownika ułamka, mnożymy przez (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Podstawmy x = -1 . Następnie x + 1 = 0 ,
.

Rozróżniajmy (3.1) :

;

.
Podstawmy x = -1 i weź pod uwagę, że x + 1 = 0 :
;
; .

Podstawmy (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

Przyrównajmy (3.1) współczynniki dla x 3 :
;
1 = B + C;
.

Znaleźliśmy więc rozkład na ułamki proste:
.

3. Integrujmy się.


.

Kolokwium z całkowania funkcji, w tym ułamków wymiernych, przydzielane jest studentom I i II roku. Przykłady całek będą interesujące głównie dla matematyków, ekonomistów i statystyków. O te przykłady pytano praca testowa w LNU imienia. I. Frank. Warunki poniższych przykładów to „Znajdź całkę” lub „Oblicz całkę”, więc aby zaoszczędzić miejsce i czas, nie zostały one zapisane.

Przykład 15. Doszliśmy do integracji funkcji ułamkowo-wymiernych. Zajmują szczególne miejsce wśród całek, gdyż wymagają dużo czasu na obliczenia i pomagają nauczycielom sprawdzić wiedzę nie tylko z całkowania. Aby uprościć funkcję pod całką, dodajemy i odejmujemy w liczniku wyrażenie, które pozwoli nam podzielić funkcję pod całką na dwie proste

W rezultacie dość szybko znajdujemy jedną całkę, w drugiej musimy rozwinąć ułamek na sumę ułamków elementarnych

Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika otrzymujemy następujące liczby

Następnie otwórz nawiasy i grupę

Przyrównujemy wartości tych samych potęg „x” po prawej i lewej stronie. W rezultacie dochodzimy do systemu trzech równania liniowe(SLAU) z trzema niewiadomymi.

Sposób rozwiązywania układów równań opisano w innych artykułach na stronie. W ostatecznej wersji otrzymasz następujące rozwiązanie SLAE
A=4; B=-9/2; C=-7/2.
Podstawiamy stałe przy rozwinięciu ułamków do najprostszych i dokonujemy całkowania


Na tym kończy się przykład.

Przykład 16. Ponownie musimy znaleźć całkę ułamkowej funkcji wymiernej. Na początek rozłożymy równanie sześcienne zawarte w mianowniku ułamka na proste czynniki

Następnie rozkładamy ułamek na najprostsze formy

Zbierzmy to razem prawa strona do wspólnego mianownika i otwórz nawiasy w liczniku.


Przyrównujemy współczynniki dla tych samych stopni zmiennej. Wróćmy do SLAE ponownie z trzema niewiadomymi

Zastąpmy wartości A, B, C do rozwinięcia i obliczyć całkę

Pierwsze dwa wyrazy dają logarytm, ostatni również jest łatwy do znalezienia.

Przykład 17. W mianowniku ułamkowej funkcji wymiernej mamy różnicę kostek. Używając skróconych wzorów na mnożenie, rozkładamy to na dwa proste czynniki

Dalsze otrzymane funkcja ułamkowa zapisz kwotę proste ułamki i sprowadzić je do wspólnego mianownika

W liczniku otrzymujemy następujące wyrażenie.

Z niego tworzymy układ równań liniowych do obliczania 3 niewiadomych

A=1/3; B=-1/3; C=1/3.
Podstawiamy A, B, C do wzoru i dokonujemy całkowania. W rezultacie dochodzimy do następującej odpowiedzi:


Tutaj licznik drugiej całki został przekształcony w logarytm, a reszta pod całką daje arcus tangens.
Podobne przykłady W Internecie można znaleźć wiele informacji na temat całkowania ułamków wymiernych. Podobne przykłady znajdziesz w poniższych materiałach.