Pryzmat, którego boczne krawędzie są prostopadłe do podstawy. Prosty pryzmat – Hipermarket Wiedzy

Definicja. Pryzmat jest wielościanem, którego wszystkie wierzchołki znajdują się w dwóch równoległych płaszczyznach i w tych samych dwóch płaszczyznach leżą dwie ściany pryzmatu, które są równymi wielokątami o odpowiednio równoległych bokach, a wszystkie krawędzie, które nie leżą w tych płaszczyznach, są równoległe.

Nazywa się dwie równe twarze podstawy pryzmatu(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Wszystkie pozostałe ściany pryzmatu nazywane są boczne twarze(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Tworzą się wszystkie ściany boczne powierzchnia boczna pryzmatu .

Wszystkie boczne ściany pryzmatu są równoległobokami .

Krawędzie, które nie leżą u podstaw, nazywane są bocznymi krawędziami pryzmatu ( AA 1, BB1, CC 1, DD 1, EE 1).

Przekątna pryzmatu to odcinek, którego końcami są dwa wierzchołki pryzmatu, które nie leżą na tej samej ścianie (AD 1).

Nazywa się długość odcinka łączącego podstawy pryzmatu i prostopadłego do obu podstaw jednocześnie wysokość pryzmatu .

Przeznaczenie:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Najpierw w kolejności przechodzenia zaznaczono wierzchołki jednej podstawy, a następnie w tej samej kolejności wierzchołki drugiej; końce każdej krawędzi bocznej oznaczono tymi samymi literami, oznaczono jedynie wierzchołki leżące w jednej podstawie literami bez indeksu, a w drugiej - z indeksem)

Nazwa pryzmatu związana jest z liczbą kątów na figurze leżącej u jego podstawy, np. na rycinie 1 u podstawy znajduje się pięciokąt, dlatego pryzmat nazywa się pryzmat pięciokątny. Ale ponieważ taki pryzmat ma 7 ścian, to tak siedmiościan(2 ściany - podstawy pryzmatu, 5 ścian - równoległoboki, - jego ściany boczne)

Wśród prostych pryzmatów wyróżnia się widok prywatny: prawidłowe pryzmaty.

Nazywa się prosty pryzmat prawidłowy, jeśli jego podstawy są foremnymi wielokątami.

Równoległościan

Prostokątny równoległościan - prostopadłościan, którego podstawą jest prostokąt.

Właściwości i twierdzenia:

,

gdzie d jest przekątną kwadratu;
a to bok kwadratu.

Pomysł na pryzmat podaje:

• różny konstrukcje architektoniczne;
• Zabawki dla dzieci;
• pudełka do pakowania;
• designerskie przedmioty itp.

Powierzchnia całkowita i boczna pryzmatu

S pełny = strona S + 2S główny,

Gdzie Pełny- powierzchnia całkowita, Strona S-powierzchnia boczna, Baza S- powierzchnia podstawy

Pole powierzchni bocznej prostego pryzmatu jest równe iloczynowi obwodu podstawy i wysokości pryzmatu.

Strona S= P podstawowy * h,

Gdzie Strona S-obszar powierzchni bocznej prostego pryzmatu,

P główny - obwód podstawy prostego graniastosłupa,

h jest wysokością prostego pryzmatu, równą krawędzi bocznej.

Objętość pryzmatu

Objętość pryzmatu jest równa iloczynowi pola podstawy i wysokości.

Ogólne informacje o pryzmacie prostym

Nazywa się powierzchnię boczną pryzmatu (dokładniej pole powierzchni bocznej). suma obszary ścian bocznych. Całkowita powierzchnia pryzmatu jest równa sumie powierzchni bocznej i pól podstaw.

Twierdzenie 19.1. Powierzchnia boczna prostego pryzmatu jest równa iloczynowi obwodu podstawy i wysokości graniastosłupa, czyli długości krawędzi bocznej.

Dowód. Boczne ściany prostego pryzmatu są prostokątami. Podstawami tych prostokątów są boki wielokąta leżącego u podstawy pryzmatu, a wysokości są równe długości krawędzi bocznych. Wynika z tego, że powierzchnia boczna pryzmatu jest równa

S = za 1 l + za 2 l + ... + za n l = pl,

gdzie a 1 i n to długości krawędzi podstawy, p to obwód podstawy pryzmatu, a I to długość krawędzi bocznych. Twierdzenie zostało udowodnione.

Zadanie praktyczne

Problem (22) . Odbywa się to w nachylonym pryzmacie Sekcja, prostopadle do żeber bocznych i przecinającą wszystkie żebra boczne. Znajdź powierzchnię boczną pryzmatu, jeśli obwód przekroju poprzecznego jest równy p, a krawędzie boczne są równe l.

Rozwiązanie. Płaszczyzna narysowanego przekroju dzieli pryzmat na dwie części (ryc. 411). Poddajmy jeden z nich translacji równoległej, łącząc podstawy pryzmatu. W tym przypadku otrzymujemy prosty pryzmat, którego podstawą jest przekrój pierwotnego pryzmatu, a krawędzie boczne są równe l. Pryzmat ten ma taką samą powierzchnię boczną jak pierwotny. Zatem powierzchnia boczna pierwotnego pryzmatu jest równa pl.

Podsumowanie poruszanego tematu

Spróbujmy teraz podsumować poruszany przez nas temat dotyczący pryzmatów i przypomnijmy sobie, jakie właściwości ma pryzmat.

Właściwości pryzmatu

Po pierwsze, pryzmat ma wszystkie podstawy jako równe wielokąty;
Po drugie, w pryzmacie wszystkie jego ściany boczne są równoległobokami;
Po trzecie, w tak różnorodnej figurze jak pryzmat wszystkie krawędzie boczne są równe;

Należy także pamiętać, że wielościany takie jak pryzmaty mogą być proste lub nachylone.

Który pryzmat nazywa się prostym?

Jeżeli boczna krawędź pryzmatu jest prostopadła do płaszczyzny jego podstawy, wówczas taki pryzmat nazywa się prostym.

Nie będzie zbędne przypominanie, że boczne ściany prostego pryzmatu są prostokątami.

Jaki rodzaj pryzmatu nazywa się ukośnym?

Jeżeli jednak boczna krawędź pryzmatu nie jest położona prostopadle do płaszczyzny jego podstawy, to śmiało możemy powiedzieć, że jest to pryzmat nachylony.

Który pryzmat nazywa się prawidłowym?

Jeśli u podstawy prostego graniastosłupa leży wielokąt foremny, to taki pryzmat jest regularny.

Przypomnijmy sobie teraz, jakie właściwości ma pryzmat foremny.

Właściwości pryzmatu foremnego

Po pierwsze, wielokąty foremne zawsze służą jako podstawy foremnego pryzmatu;
Po drugie, jeśli weźmiemy pod uwagę ściany boczne regularnego pryzmatu, są one zawsze równymi prostokątami;
Po trzecie, jeśli porównasz rozmiary bocznych żeber, to w zwykłym pryzmacie są one zawsze równe.
Po czwarte, prawidłowy pryzmat jest zawsze prosty;
Po piąte, jeśli w regularnym pryzmacie ściany boczne mają kształt kwadratów, wówczas taką figurę nazywa się zwykle wielokątem półregularnym.

Przekrój pryzmatu

Spójrzmy teraz na przekrój pryzmatu:

Praca domowa

Spróbujmy teraz utrwalić poznany temat rozwiązując zadania.

Narysujmy nachylony trójkątny pryzmat, odległość między jego krawędziami będzie wynosić: 3 cm, 4 cm i 5 cm, a powierzchnia boczna tego pryzmatu będzie równa 60 cm2. Mając te parametry, znajdź boczną krawędź tego pryzmatu.

Wiesz to figury geometryczne nieustannie otaczają nas nie tylko na lekcjach geometrii, ale także w Życie codzienne Istnieją obiekty przypominające tę lub inną figurę geometryczną.

W każdym domu, szkole czy pracy znajduje się komputer, którego jednostka systemowa ma kształt prostego pryzmatu.

Jeśli podniesiesz prosty ołówek, zobaczysz, że główną częścią ołówka jest pryzmat.

Idąc centralną ulicą miasta, widzimy, że pod naszymi stopami leży płytka w kształcie sześciokątnego graniastosłupa.

A. V. Pogorelov, Geometria dla klas 7-11, Podręcznik dla instytucji edukacyjnych

1. Czworościan ma najmniejszą liczbę krawędzi - 6.

2. Pryzmat ma n ścian. Jaki wielokąt leży u jego podstawy?

(n - 2) - kwadrat.

3. Czy pryzmat jest prosty, jeśli jego dwie sąsiednie ściany boczne są prostopadłe do płaszczyzny podstawy?

Tak to jest.

4. W którym pryzmacie krawędzie boczne są równoległe do jego wysokości?

W prostym pryzmacie.

5. Czy pryzmat jest regularny, jeśli wszystkie jego krawędzie są sobie równe?

Nie, to może nie być bezpośrednie.

6. Czy wysokość jednej ze ścian bocznych nachylonego pryzmatu może być również wysokością pryzmatu?

Tak, jeśli ta ściana jest prostopadła do podstawy.

7. Czy istnieje pryzmat, w którym: a) krawędź boczna jest prostopadła tylko do jednej krawędzi podstawy; b) tylko jedna ściana boczna jest prostopadła do podstawy?

a) tak. b) nie.

8. Regularny trójkątny pryzmat jest podzielony na dwa pryzmaty płaszczyzną przechodzącą przez linie środkowe podstaw. Jaki jest stosunek pól powierzchni bocznych tych pryzmatów?

Z twierdzenia 27 otrzymujemy to powierzchnie boczne stosunek wynosi około 5:3

9. Czy piramida będzie regularna, jeśli jej ściany boczne będą regularnymi trójkątami?

10. Ile ścian prostopadłych do płaszczyzny podstawy może mieć piramida?

11. Czy istnieje czworokątna piramida, której przeciwne ściany są prostopadłe do podstawy?

Nie, w przeciwnym razie przez szczyt piramidy przechodziłyby co najmniej dwie proste linie, prostopadłe do podstaw.

12. Czy wszystkie ściany trójkątnej piramidy mogą być trójkątami prostokątnymi?

Tak (Rysunek 183).

Kurs wideo „Zdobądź piątkę” obejmuje wszystkie tematy niezbędne do pomyślnego zdania jednolitego egzaminu państwowego z matematyki z wynikiem 60–65 punktów. Kompletnie wszystkie zadania 1-13 Profil Ujednolicony egzamin państwowy matematyka. Nadaje się również do zdania podstawowego jednolitego egzaminu państwowego z matematyki. Jeśli chcesz zdać Unified State Exam z 90-100 punktami, musisz rozwiązać część 1 w 30 minut i bez błędów!

Kurs przygotowawczy do Jednolitego Egzaminu Państwowego dla klas 10-11, a także dla nauczycieli. Wszystko, czego potrzebujesz, aby rozwiązać część 1 egzaminu państwowego Unified State Exam z matematyki (pierwsze 12 zadań) i zadanie 13 (trygonometria). A to ponad 70 punktów na egzaminie Unified State Exam i ani 100-punktowy student, ani student nauk humanistycznych nie mogą się bez nich obejść.

Cała niezbędna teoria. Szybkie sposoby rozwiązania, pułapki i tajemnice Unified State Exam. Przeanalizowano wszystkie aktualne zadania części 1 z Banku Zadań FIPI. Kurs w pełni odpowiada wymogom Unified State Exam 2018.

Kurs zawiera 5 dużych tematów, każdy po 2,5 godziny. Każdy temat jest podany od podstaw, prosto i przejrzyście.

Setki zadań z egzaminu Unified State Exam. Zadania tekstowe i teoria prawdopodobieństwa. Proste i łatwe do zapamiętania algorytmy rozwiązywania problemów. Geometria. Teoria, materiał referencyjny, analiza wszystkich typów zadań Unified State Examation. Stereometria. Podstępne rozwiązania, przydatne ściągawki, rozwój wyobraźni przestrzennej. Trygonometria od podstaw do zadania 13. Zrozumienie zamiast wkuwania. Wizualne wyjaśnienie złożone koncepcje. Algebra. Pierwiastki, potęgi i logarytmy, funkcja i pochodna. Podstawa rozwiązania złożone zadania 2 części jednolitego egzaminu państwowego.

Różne pryzmaty różnią się od siebie. Jednocześnie mają ze sobą wiele wspólnego. Aby znaleźć obszar podstawy pryzmatu, musisz zrozumieć, jaki ma on typ.

Ogólna teoria

Pryzmat to dowolny wielościan, którego boki mają kształt równoległoboku. Co więcej, jego podstawą może być dowolny wielościan - od trójkąta do n-gonu. Co więcej, podstawy pryzmatu są zawsze sobie równe. To, co nie dotyczy ścian bocznych, to to, że mogą one znacznie różnić się rozmiarem.

Podczas rozwiązywania problemów napotykany jest nie tylko obszar podstawy pryzmatu. Może to wymagać znajomości powierzchni bocznej, czyli wszystkich ścian, które nie są podstawami. Pełna powierzchnia będzie sumą wszystkich ścian tworzących pryzmat.

Czasami problemy dotyczą wzrostu. Jest prostopadły do ​​podstaw. Przekątna wielościanu to odcinek łączący parami dowolne dwa wierzchołki, które nie należą do tej samej ściany.

Należy zauważyć, że powierzchnia podstawy prostego lub nachylonego pryzmatu nie zależy od kąta między nimi a powierzchniami bocznymi. Jeśli mają te same figury na górnej i dolnej powierzchni, wówczas ich pola będą równe.

Trójkątny pryzmat

Ma u podstawy figurę o trzech wierzchołkach, czyli trójkąt. Jak wiadomo, może być różnie. Jeśli tak, wystarczy pamiętać, że jego powierzchnię wyznacza połowa iloczynu nóg.

Zapis matematyczny wygląda następująco: S = ½ av.

Aby poznać obszar bazy w ogólna perspektywa, przydadzą się wzory: Czapla i ta, w której połowa boku jest podnoszona na narysowaną do niej wysokość.

Pierwszą formułę należy zapisać następująco: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Zapis ten zawiera półobwód (p), czyli sumę trzech boków podzieloną przez dwa.

Po drugie: S = ½ n a * a.

Jeśli chcesz poznać obszar bazy trójkątny pryzmat, który jest regularny, to trójkąt okazuje się równoboczny. Jest na to wzór: S = ¼ a 2 * √3.

Pryzmat czworokątny

Jego podstawą jest dowolny ze znanych czworokątów. Może to być prostokąt lub kwadrat, równoległościan lub romb. W każdym przypadku, aby obliczyć pole podstawy pryzmatu, będziesz potrzebować własnego wzoru.

Jeżeli podstawą jest prostokąt, to jego pole wyznacza się w następujący sposób: S = ab, gdzie a, b to boki prostokąta.

Gdy mówimy o o czworokątnym pryzmacie, wówczas pole podstawy regularnego pryzmatu oblicza się za pomocą wzoru na kwadrat. Ponieważ to on leży u fundamentu. S = a 2.

W przypadku, gdy podstawa jest równoległościanem, potrzebna będzie następująca równość: S = a * n a. Zdarza się, że dany jest bok równoległościanu i jeden z kątów. Następnie, aby obliczyć wysokość, należy skorzystać z dodatkowego wzoru: n a = b * sin A. Ponadto kąt A sąsiaduje z bokiem „b”, a wysokość n jest przeciwna do tego kąta.

Jeśli u podstawy pryzmatu znajduje się romb, to do określenia jego pola potrzebny będzie ten sam wzór, co w przypadku równoległoboku (ponieważ jest to jego szczególny przypadek). Ale możesz też użyć tego: S = ½ d 1 d 2. Tutaj d 1 i d 2 to dwie przekątne rombu.

Regularny pryzmat pięciokątny

Ten przypadek polega na podzieleniu wielokąta na trójkąty, których pola łatwiej jest znaleźć. Chociaż zdarza się, że figury mogą mieć różną liczbę wierzchołków.

Ponieważ podstawą pryzmatu jest pięciokąt foremny, można go podzielić na pięć trójkątów równobocznych. Następnie pole podstawy pryzmatu jest równe polu jednego takiego trójkąta (wzór widać powyżej), pomnożonemu przez pięć.

Regularny sześciokątny pryzmat

Stosując zasadę opisaną dla pryzmatu pięciokątnego, można podzielić sześciokąt podstawy na 6 trójkątów równobocznych. Wzór na powierzchnię podstawy takiego pryzmatu jest podobny do poprzedniego. Tylko należy to pomnożyć przez sześć.

Wzór będzie wyglądał następująco: S = 3/2 a 2 * √3.

Zadania

Nr 1. Biorąc pod uwagę regularną linię prostą, jej przekątna wynosi 22 cm, wysokość wielościanu wynosi 14 cm Oblicz pole podstawy pryzmatu i całą powierzchnię.

Rozwiązanie. Podstawą pryzmatu jest kwadrat, ale jego bok jest nieznany. Jego wartość można znaleźć na podstawie przekątnej kwadratu (x), która jest powiązana z przekątną pryzmatu (d) i jego wysokością (h). x 2 = re 2 - n 2. Z drugiej strony ten odcinek „x” jest przeciwprostokątną trójkąta, którego ramiona są równe bokom kwadratu. Oznacza to, że x 2 = a 2 + a 2. Okazuje się zatem, że a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Zastąp liczbę 22 zamiast d i zamień „n” na jej wartość - 14, okazuje się, że bok kwadratu wynosi 12 cm, teraz tylko znajdź pole podstawy: 12 * 12 = 144 cm 2.

Aby obliczyć pole całej powierzchni, należy dodać dwukrotnie powierzchnię bazową i czterokrotnie zwiększyć powierzchnię boczną. To drugie można łatwo znaleźć korzystając ze wzoru na prostokąt: pomnóż wysokość wielościanu przez bok podstawy. Oznacza to, że 14 i 12 liczba ta będzie równa 168 cm2. Całkowita powierzchnia pryzmatu wynosi 960 cm2.

Odpowiedź. Pole podstawy pryzmatu wynosi 144 cm2. Całkowita powierzchnia wynosi 960 cm 2.

Nr 2. Dane U podstawy znajduje się trójkąt o boku 6 cm, w tym przypadku przekątna ściany bocznej wynosi 10 cm.Oblicz pola: podstawę i powierzchnię boczną.

Rozwiązanie. Ponieważ pryzmat jest regularny, jego podstawą jest trójkąt równoboczny. Dlatego jego powierzchnia wynosi 6 do kwadratu, pomnożona przez ¼ i pierwiastek kwadratowy z 3. Proste obliczenia prowadzą do wyniku: 9√3 cm 2. Jest to obszar jednej podstawy pryzmatu.

Wszystkie ściany boczne są takie same i są prostokątami o bokach 6 i 10 cm. Aby obliczyć ich pola, wystarczy pomnożyć te liczby. Następnie pomnóż je przez trzy, ponieważ pryzmat ma dokładnie tyle ścian bocznych. Następnie powierzchnia bocznej powierzchni rany wynosi 180 cm2.

Odpowiedź. Powierzchnie: podstawa - 9√3 cm 2, powierzchnia boczna pryzmatu - 180 cm 2.