Właściwości pryzmatu prostokątnego. Wszystko, co musisz wiedzieć o pryzmacie (2019)

Definicja. Pryzmat jest wielościanem, którego wszystkie wierzchołki znajdują się w dwóch równoległych płaszczyznach i w tych samych dwóch płaszczyznach leżą dwie ściany pryzmatu, które są równymi wielokątami o odpowiednio równoległych bokach, a wszystkie krawędzie, które nie leżą w tych płaszczyznach, są równoległe.

Nazywa się dwie równe twarze podstawy pryzmatyczne(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Wszystkie pozostałe ściany pryzmatu nazywane są boczne twarze(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Tworzą się wszystkie ściany boczne powierzchnia boczna pryzmatu .

Wszystkie boczne ściany pryzmatu są równoległobokami .

Krawędzie, które nie leżą u podstaw, nazywane są bocznymi krawędziami pryzmatu ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Przekątna pryzmatu to odcinek, którego końcami są dwa wierzchołki pryzmatu, które nie leżą na tej samej ścianie (AD 1).

Nazywa się długość odcinka łączącego podstawy pryzmatu i prostopadłego do obu podstaw jednocześnie wysokość pryzmatu .

Przeznaczenie:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Najpierw w kolejności przechodzenia zaznaczono wierzchołki jednej podstawy, a następnie w tej samej kolejności wierzchołki drugiej; końce każdej krawędzi bocznej oznaczono tymi samymi literami, oznaczono jedynie wierzchołki leżące w jednej podstawie literami bez indeksu, a w drugiej - z indeksem)

Nazwa pryzmatu związana jest z liczbą kątów na figurze leżącej u jego podstawy, np. na rycinie 1 u podstawy znajduje się pięciokąt, dlatego pryzmat nazywa się pryzmat pięciokątny. Ale ponieważ taki pryzmat ma 7 ścian, to tak siedmiościan(2 ściany - podstawy pryzmatu, 5 ścian - równoległoboki, - jego ściany boczne)

Wśród prostych pryzmatów wyróżnia się widok prywatny: prawidłowe pryzmaty.

Nazywa się prosty pryzmat prawidłowy, jeśli jego podstawy są foremnymi wielokątami.

Równoległościan

Prostokątny równoległościan- prostopadłościan, którego podstawa jest prostokątem.

Właściwości i twierdzenia:

,

gdzie d jest przekątną kwadratu;
a to bok kwadratu.

Pomysł na pryzmat podaje:

• różny konstrukcje architektoniczne;
• Zabawki dla dzieci;
• pudełka do pakowania;
• designerskie przedmioty itp.

Powierzchnia całkowita i boczna pryzmatu

S pełny = strona S + 2S główny,

Gdzie Pełny- powierzchnia całkowita, Strona S-powierzchnia boczna, Baza S- powierzchnia podstawy

Pole powierzchni bocznej prostego pryzmatu jest równe iloczynowi obwodu podstawy i wysokości pryzmatu.

Strona S= P podstawowy * h,

Gdzie Strona S-obszar powierzchni bocznej prostego pryzmatu,

P główny - obwód podstawy prostego graniastosłupa,

h jest wysokością prostego pryzmatu, równą krawędzi bocznej.

Objętość pryzmatu

Objętość pryzmatu jest równa iloczynowi pola podstawy i wysokości.

Różne pryzmaty różnią się od siebie. Jednocześnie mają ze sobą wiele wspólnego. Aby znaleźć obszar podstawy pryzmatu, musisz zrozumieć, jaki ma on typ.

Ogólna teoria

Pryzmat to dowolny wielościan, którego boki mają kształt równoległoboku. Co więcej, jego podstawą może być dowolny wielościan - od trójkąta do n-gonu. Co więcej, podstawy pryzmatu są zawsze sobie równe. To, co nie dotyczy ścian bocznych, to to, że mogą one znacznie różnić się rozmiarem.

Podczas rozwiązywania problemów napotykany jest nie tylko obszar podstawy pryzmatu. Może to wymagać znajomości powierzchni bocznej, czyli wszystkich ścian, które nie są podstawami. Pełna powierzchnia będzie sumą wszystkich ścian tworzących pryzmat.

Czasami problemy dotyczą wzrostu. Jest prostopadły do ​​podstaw. Przekątna wielościanu to odcinek łączący parami dowolne dwa wierzchołki, które nie należą do tej samej ściany.

Należy zauważyć, że powierzchnia podstawy prostego lub nachylonego pryzmatu nie zależy od kąta między nimi a powierzchniami bocznymi. Jeśli mają te same figury na górnej i dolnej powierzchni, wówczas ich pola będą równe.

Trójkątny pryzmat

Ma u podstawy figurę o trzech wierzchołkach, czyli trójkąt. Jak wiadomo, może być różnie. Jeśli tak, wystarczy pamiętać, że jego powierzchnię wyznacza połowa iloczynu nóg.

Zapis matematyczny wygląda następująco: S = ½ av.

Aby poznać obszar bazy w ogólna perspektywa, przydadzą się wzory: Czapla i ta, w której połowa boku jest podnoszona na narysowaną do niej wysokość.

Pierwszą formułę należy zapisać następująco: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). W zapisie tym występuje półobwód (p), czyli suma trzech boków podzielona przez dwa.

Po drugie: S = ½ n a * a.

Jeśli chcesz poznać obszar podstawy trójkątnego pryzmatu, który jest regularny, wówczas trójkąt okazuje się równoboczny. Jest na to wzór: S = ¼ a 2 * √3.

Pryzmat czworokątny

Jego podstawą jest dowolny ze znanych czworokątów. Może to być prostokąt lub kwadrat, równoległościan lub romb. W każdym przypadku, aby obliczyć pole podstawy pryzmatu, będziesz potrzebować własnego wzoru.

Jeżeli podstawą jest prostokąt, to jego pole wyznacza się w następujący sposób: S = ab, gdzie a, b to boki prostokąta.

Gdy mówimy o o czworokątnym pryzmacie, wówczas pole podstawy regularnego pryzmatu oblicza się za pomocą wzoru na kwadrat. Ponieważ to on leży u fundamentu. S = 2.

W przypadku, gdy podstawa jest równoległościanem, potrzebna będzie następująca równość: S = a * n a. Zdarza się, że dany jest bok równoległościanu i jeden z kątów. Następnie, aby obliczyć wysokość, należy skorzystać z dodatkowego wzoru: n a = b * sin A. Ponadto kąt A sąsiaduje z bokiem „b”, a wysokość n jest przeciwna do tego kąta.

Jeśli u podstawy pryzmatu znajduje się romb, to do określenia jego pola potrzebny będzie ten sam wzór, co w przypadku równoległoboku (ponieważ jest to jego szczególny przypadek). Ale możesz też użyć tego: S = ½ d 1 d 2. Tutaj d 1 i d 2 to dwie przekątne rombu.

Regularny pryzmat pięciokątny

W tym przypadku wielokąt jest dzielony na trójkąty, których pola łatwiej jest znaleźć. Chociaż zdarza się, że figury mogą mieć różną liczbę wierzchołków.

Ponieważ podstawą pryzmatu jest pięciokąt foremny, można go podzielić na pięć trójkątów równobocznych. Następnie pole podstawy pryzmatu jest równe polu jednego takiego trójkąta (wzór widać powyżej), pomnożonemu przez pięć.

Regularny sześciokątny pryzmat

Korzystając z zasady opisanej dla pryzmatu pięciokątnego, można podzielić sześciokąt podstawy na 6 trójkątów równobocznych. Wzór na powierzchnię podstawy takiego pryzmatu jest podobny do poprzedniego. Tylko należy to pomnożyć przez sześć.

Wzór będzie wyglądał następująco: S = 3/2 a 2 * √3.

Zadania

Nr 1. Biorąc pod uwagę prostą prostą, jej przekątna wynosi 22 cm, wysokość wielościanu wynosi 14 cm. Oblicz pole podstawy pryzmatu i całą powierzchnię.

Rozwiązanie. Podstawą pryzmatu jest kwadrat, ale jego bok jest nieznany. Jego wartość można znaleźć na podstawie przekątnej kwadratu (x), która jest powiązana z przekątną pryzmatu (d) i jego wysokością (h). x 2 = re 2 - n 2. Z drugiej strony ten odcinek „x” jest przeciwprostokątną trójkąta, którego ramiona są równe bokom kwadratu. Oznacza to, że x 2 = a 2 + a 2. Okazuje się zatem, że a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Zastąp liczbę 22 zamiast d i zamień „n” na jej wartość - 14, okazuje się, że bok kwadratu wynosi 12 cm. Teraz wystarczy znaleźć pole podstawy: 12 * 12 = 144 cm 2.

Aby obliczyć pole całej powierzchni, należy dodać dwukrotnie powierzchnię bazową i czterokrotnie zwiększyć powierzchnię boczną. To drugie można łatwo znaleźć korzystając ze wzoru na prostokąt: pomnóż wysokość wielościanu przez bok podstawy. Oznacza to, że 14 i 12 liczba ta będzie równa 168 cm2. Całkowita powierzchnia pryzmatu wynosi 960 cm2.

Odpowiedź. Pole podstawy pryzmatu wynosi 144 cm2. Całkowita powierzchnia wynosi 960 cm 2.

Nr 2. Dane U podstawy znajduje się trójkąt o boku 6 cm. W tym przypadku przekątna ściany bocznej wynosi 10 cm. Oblicz pola: podstawę i powierzchnię boczną.

Rozwiązanie. Ponieważ pryzmat jest regularny, jego podstawą jest trójkąt równoboczny. Dlatego jego powierzchnia wynosi 6 do kwadratu, pomnożona przez ¼ i pierwiastek kwadratowy z 3. Proste obliczenia prowadzą do wyniku: 9√3 cm 2. Jest to obszar jednej podstawy pryzmatu.

Wszystkie ściany boczne są takie same i są prostokątami o bokach 6 i 10 cm. Aby obliczyć ich pola, wystarczy pomnożyć te liczby. Następnie pomnóż je przez trzy, ponieważ pryzmat ma dokładnie tyle ścian bocznych. Następnie powierzchnia bocznej powierzchni rany wynosi 180 cm2.

Odpowiedź. Powierzchnie: podstawa - 9√3 cm 2, powierzchnia boczna pryzmatu - 180 cm 2.

Definicja 1. Powierzchnia pryzmatyczna
Twierdzenie 1. O równoległych odcinkach powierzchni pryzmatycznej
Definicja 2. Przekrój prostopadły powierzchni pryzmatycznej
Definicja 3. Pryzmat
Definicja 4. Wysokość pryzmatu
Definicja 5. Pryzmat prawy
Twierdzenie 2. Pole powierzchni bocznej pryzmatu

Równoległościan:
Definicja 6. Równoległościan
Twierdzenie 3. Na przecięciu przekątnych równoległościanu
Definicja 7. Równoległościan prawy
Definicja 8. Równoległościan prostokątny
Definicja 9. Pomiary równoległościanu
Definicja 10. Kostka
Definicja 11. Romboedr
Twierdzenie 4. O przekątnych prostokątny równoległościan
Twierdzenie 5. Objętość pryzmatu
Twierdzenie 6. Objętość prostopadłościanu
Twierdzenie 7. Objętość równoległościanu prostokątnego

Pryzmat jest wielościanem, którego dwie ściany (podstawy) leżą w równoległych płaszczyznach, a krawędzie nie leżące w tych ścianach są do siebie równoległe.
Nazywa się ściany inne niż podstawy boczny.
Nazywa się boki ścian bocznych i podstaw żebra pryzmowe, nazywane są końce krawędzi wierzchołki pryzmatu. Boczne żebra nazywamy krawędzie, które nie należą do podstaw. Nazywa się połączeniem ścian bocznych powierzchnia boczna pryzmatu, a połączenie wszystkich ścian nazywa się całą powierzchnię pryzmatu. Wysokość pryzmatu nazywana prostopadłą spuszczoną z punktu górnej podstawy do płaszczyzny dolnej podstawy lub długością tej prostopadłej. Pryzmat bezpośredni zwany pryzmatem, którego boczne żebra są prostopadłe do płaszczyzn podstaw. Prawidłowy zwany prostym pryzmatem (ryc. 3), u podstawy którego leży foremny wielokąt.

Oznaczenia:
l - żebro boczne;
P - obwód podstawy;
S o - powierzchnia bazowa;
H - wysokość;
P^ - obwód przekroju prostopadłego;
S b - powierzchnia boczna;
V - objętość;
S p to powierzchnia całkowitej powierzchni pryzmatu.

Definicja 2 . Przekrój prostopadły powierzchni pryzmatycznej to przekrój tej powierzchni przez płaszczyznę prostopadłą do jej krawędzi. Bazując na poprzednim twierdzeniu, wszystkie prostopadłe przekroje tej samej powierzchni pryzmatycznej będą równymi wielokątami.

Definicja 3 . Pryzmat to wielościan ograniczony powierzchnią pryzmatyczną i dwiema płaszczyznami równoległymi do siebie (ale nie równoległymi do krawędzi powierzchni pryzmatycznej)
Nazywa się twarze leżące w tych ostatnich płaszczyznach podstawy pryzmatyczne; twarze należące do powierzchni pryzmatycznej - boczne twarze; krawędzie powierzchni pryzmatycznej - boczne żebra pryzmatu. Na mocy poprzedniego twierdzenia podstawą pryzmatu jest równe wielokąty. Wszystkie boczne ściany pryzmatu - równoległoboki; wszystkie żebra boczne są sobie równe.
Oczywiście, jeśli podana jest podstawa pryzmatu ABCDE oraz jedna z krawędzi AA" pod względem wielkości i kierunku, to można skonstruować pryzmat rysując krawędzie BB", CC", ... równe i równoległe do krawędzi AA" .

Definicja 4 . Wysokość pryzmatu to odległość między płaszczyznami jego podstaw (HH").

Definicja 5 . Pryzmat nazywa się prostym, jeśli jego podstawy są prostopadłymi odcinkami powierzchni pryzmatycznej. W tym przypadku wysokość pryzmatu jest oczywiście jego boczne żebro; boczne krawędzie będą prostokąty.
Pryzmaty można klasyfikować ze względu na liczbę ścian bocznych równą liczbie boków wielokąta stanowiącego jego podstawę. Zatem pryzmaty mogą być trójkątne, czworokątne, pięciokątne itp.

Twierdzenie 2 . Pole powierzchni bocznej pryzmatu jest równe iloczynowi krawędzi bocznej i obwodu przekroju prostopadłego.
Niech ABCDEA"B"C"D"E" będzie danym pryzmatem i abcde jego prostopadłym przekrojem tak, aby odcinki ab,bc,.. były prostopadłe do jego bocznych krawędzi. Powierzchnia ABA"B" jest równoległobokiem, a jej pole jest równy iloczynowi podstawy AA " do wysokości pokrywającej się z ab; powierzchnia twarzy ВСВ „С” jest równa iloczynowi podstawy ВВ” przez wysokość bc itd. W związku z tym powierzchnia boczna (tj. suma pól powierzchni bocznych) jest równa iloczynowi krawędzi bocznej, czyli sumaryczna długość odcinków AA", ВВ", .., dla kwoty ab+bc+cd+de+ea.