Odchylenie standardowe oblicza się jako. Średnie odchylenie liniowe i standardowe

Materiał z Wikipedii - wolnej encyklopedii

Odchylenie standardowe(synonimy: odchylenie standardowe, odchylenie standardowe, odchylenie kwadratowe; terminy pokrewne: odchylenie standardowe, standardowy spread) - w teorii prawdopodobieństwa i statystyce najczęstszym wskaźnikiem rozproszenia wartości zmiennej losowej w stosunku do jej oczekiwań matematycznych. W przypadku ograniczonych tablic próbek wartości zamiast oczekiwań matematycznych używana jest średnia arytmetyczna zbioru próbek.

Podstawowe informacje

Przeciętny odchylenie standardowe mierzone w samych jednostkach miary zmienna losowa i jest stosowany przy obliczaniu błędu standardowego średniej arytmetycznej, przy konstruowaniu przedziałów ufności, przy statystycznym testowaniu hipotez, przy pomiarze liniowej zależności między zmiennymi losowymi. Zdefiniowany jako pierwiastek kwadratowy wariancji zmiennej losowej.

Odchylenie standardowe:

$\backslash sigma=\backslash sqrt(\backslash frac(1)(n)\backslash sum\_(i=1)^n\backslash left(x\_i-\backslash bar(x)\backslash right)^2).$

Odchylenie standardowe(oszacowanie odchylenia standardowego zmiennej losowej X w stosunku do oczekiwań matematycznych opartych na bezstronnym oszacowaniu wariancji) $S$:

$s=\backslash sqrt(\backslash frac(n)(n-1)\backslash sigma^2)=\backslash sqrt(\backslash frac(1)(n-1)\backslash sum\_(i=1)^n\backslash left(x\_i-\backslash bar\; (x)\backslash prawo)^2);$

Reguła trzech sigm

Reguła trzech sigm ($3\backslash sigma$) - prawie wszystkie wartości zmiennej losowej o rozkładzie normalnym leżą w przedziale $\backslash left(\backslash bar(x)-3\backslash sigma;\backslash bar(x)+3\backslash sigma\backslash right)$. Ściślej – z prawdopodobieństwem w przybliżeniu 0,9973 wartość zmiennej losowej o rozkładzie normalnym mieści się w określonym przedziale (pod warunkiem, że wartość $\backslash bar(x)$ prawdziwe, a nie uzyskane w wyniku przetwarzania próbki).

Jeśli prawdziwa wartość $\backslash bar(x)$ jest nieznany, to nie powinieneś go używać $\backslash sigma$, A S. Zatem, zasada trzech sigma zostaje zamieniona na regułę trzech S .

Interpretacja wartości odchylenia standardowego

Większa wartość odchylenia standardowego oznacza większy rozrzut wartości w prezentowanym zbiorze przy średniej wartości zbioru; odpowiednio mniejsza wartość pokazuje, że wartości w zestawie są zgrupowane wokół wartości średniej.

Na przykład mamy trzy zestawy liczb: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) i (6, 6, 8, 8). Dla wszystkich trzech zestawów wartości średnie wynoszą odpowiednio 7, a odchylenia standardowe wynoszą odpowiednio 7, 5 i 1. ostatni zestaw odchylenie standardowe jest małe, ponieważ wartości w zestawie są zgrupowane wokół wartości średniej; pierwszy zestaw ma ich najwięcej bardzo ważne odchylenie standardowe - wartości w zestawie znacznie odbiegają od wartości średniej.

W sensie ogólnym odchylenie standardowe można uznać za miarę niepewności. Na przykład w fizyce odchylenie standardowe służy do określenia błędu serii kolejnych pomiarów pewnej wielkości. Wartość ta jest bardzo istotna dla określenia prawdopodobieństwa badanego zjawiska w porównaniu z wartością przewidywaną przez teorię: jeżeli średnia wartość pomiarów znacznie różni się od wartości przewidywanych przez teorię (duże odchylenie standardowe), wówczas należy ponownie sprawdzić uzyskane wartości lub sposób ich uzyskania.

Praktyczne użycie

W praktyce odchylenie standardowe pozwala oszacować, jak bardzo wartości ze zbioru mogą różnić się od wartości średniej.

Ekonomia i finanse

Odchylenie standardowe stopy zwrotu z portfela $\backslash sigma\; =\backslash sqrt(D[X])$ utożsamiana jest z ryzykiem portfelowym.

Klimat

Załóżmy, że istnieją dwa miasta o tej samej średniej maksymalnej temperaturze dziennej, ale jedno położone jest na wybrzeżu, a drugie na równinie. Wiadomo, że w miastach położonych na wybrzeżu występuje wiele różnych maksymalnych temperatur w ciągu dnia, które są niższe niż w miastach położonych w głębi lądu. Zatem odchylenie standardowe maksymalnych dobowych temperatur dla miasta nadmorskiego będzie mniejsze niż dla drugiego miasta, mimo że średnia wartość tej wartości jest taka sama, co w praktyce oznacza, że ​​prawdopodobieństwo, że maksymalna temperatura powietrza w dowolny dzień w roku będzie wyższy od wartości średniej, wyższy dla miasta położonego w głębi lądu.

Sport

Załóżmy, że istnieje kilka drużyn piłkarskich ocenianych na podstawie pewnego zestawu parametrów, np. liczby strzelonych i straconych bramek, szans na zdobycie bramki itp. Najprawdopodobniej najlepszy zespół w tej grupie będzie miał najlepsze wartości Przez więcej parametry. Im mniejsze odchylenie standardowe zespołu dla każdego z prezentowanych parametrów, tym bardziej przewidywalny jest wynik takiego zespołu; Z kolei dla zespołu o dużym odchyleniu standardowym trudno jest przewidzieć wynik, co z kolei tłumaczy się brakiem równowagi, np. silna obrona, ale ze słabym atakiem.

Stosowanie odchylenia standardowego parametrów drużyn pozwala w mniejszym lub większym stopniu przewidzieć wynik meczu pomiędzy dwoma zespołami, ocenić mocne strony i słabe strony rozkazy, a co za tym idzie wybrane metody walki.

Zobacz też

Napisz recenzję na temat artykułu „Odchylenie średniokwadratowe”

Literatura

• Borovikov W. STATYSTYKA. Sztuka analizy danych na komputerze: Dla profesjonalistów / V. Borovikov. - Petersburgu. : Piotr, 2003. - 688 s. - ISBN 5-272-00078-1..

Wskaźniki statystyczne Opisowy Statystyka Statystyczny wyjście i badanie hipotezy Ogólna ocena Korelacja i regresja Graficzny metody

Fragment charakteryzujący odchylenie standardowe

I szybko otwierając drzwi, zdecydowanymi krokami wyszedł na balkon. Rozmowa nagle ucichła, zdjęto kapelusze i czapki, a oczy wszystkich skierowały się na wychodzącego hrabiego.
- Cześć chłopaki! - powiedział hrabia szybko i głośno. - Dziękuję za przybycie. Wyjdę teraz do ciebie, ale najpierw musimy uporać się ze złoczyńcą. Musimy ukarać złoczyńcę, który zabił Moskwę. Zaczekaj na mnie! „I hrabia równie szybko wrócił do swoich komnat, mocno zatrzaskując drzwi.
Przez tłum przebiegł szmer zadowolenia. „Oznacza to, że będzie kontrolował wszystkich złoczyńców! A ty powiesz po francusku... on da ci cały dystans!” – mówili ludzie, jakby wyrzucając sobie nawzajem brak wiary.
Kilka minut później przez frontowe drzwi pospiesznie wyszedł oficer, zamówił coś, a smoki wstali. Tłum z balkonu z zapałem ruszył w stronę werandy. Wychodząc na ganek gniewnymi, szybkimi krokami, Rostopchin pospiesznie rozejrzał się wokół, jakby kogoś szukał.
- Gdzie on jest? - powiedział hrabia i w tej samej chwili, gdy to mówił, zobaczył zza rogu domu dwóch smoków wychodzących pomiędzy młody człowiek z długą, cienką szyją, z na wpół ogoloną i zarośniętą głową. Ten młody człowiek miał na sobie coś, co kiedyś wyglądało jak dandys, pokryty niebieskim materiałem, wytarty płaszcz z owczej skóry lisa i brudne więźniarskie spodnie z haremu, wepchnięte w nieczyszczone, zniszczone, cienkie buty. Kajdany wisiały ciężko na jego chudych, słabych nogach, utrudniając młodemu człowiekowi niezdecydowane chodzenie.
- A! - powiedział Rastopchin, pośpiesznie odwracając wzrok od młodzieńca w kożuchu z lisa i wskazując na dolny stopień ganku. - Połóż to tutaj! „Młody człowiek brzęcząc kajdanami wszedł ciężko na wskazany stopień, trzymając zaciśnięty w palcu kołnierz kożucha, dwukrotnie obrócił długą szyję i wzdychając, złożył przed sobą chude, niepracujące ręce. brzuch w uległym geście.
Cisza trwała przez kilka sekund, podczas gdy młody człowiek ustawił się na stopniu. Dopiero w tylnych rzędach ludzi stłoczonych w jednym miejscu słychać było jęki, jęki, drżenie i tupot poruszających się stóp.
Rastopchin, czekając, aż zatrzyma się we wskazanym miejscu, zmarszczył brwi i przetarł twarz dłonią.
- Chłopaki! - powiedział Rastopchin metalicznym, dźwięcznym głosem - ten człowiek, Wierieszczagin, to ten sam łotr, przez którego zginęła Moskwa.
Młody mężczyzna w kożuchu z lisa stał w pozie uległej, splatając dłonie na brzuchu i lekko pochylając się. Jego wychudzony, beznadziejny wyraz twarzy, zniekształcony przez ogoloną głowę, był przygnębiony. Na pierwsze słowa hrabiego powoli podniósł głowę i spojrzał na hrabiego, jakby chciał mu coś powiedzieć lub chociaż spotkać jego wzrok. Ale Rastopchin nie patrzył na niego. Na długiej, cienkiej szyi młodzieńca, jak lina, żyła za uchem napięła się i zrobiła się niebieska, a nagle jego twarz stała się czerwona.
Wszystkie oczy były skierowane na niego. Spojrzał na tłum i jakby zachęcony wyrazem, który wyczytał na twarzach ludzi, uśmiechnął się smutno i nieśmiało i ponownie spuszczając głowę, poprawił stopy na stopniu.
„Zdradził swego cara i ojczyznę, oddał się Bonapartemu, on jeden ze wszystkich Rosjan zhańbił imię Rosjanina i Moskwa ginie od niego” – powiedział Rastopchin równym, ostrym głosem; ale nagle szybko spojrzał na Wierieszczagina, który nadal stał w tej samej uległej pozie. Jakby to spojrzenie go eksplodowało, podnosząc rękę, prawie krzyknął, zwracając się do ludzi: „Postępuj z nim swoim sądem!” Daję ci to!
Ludzie milczeli i tylko ściskali się coraz bliżej. Trzymanie się nawzajem, wdychanie tej zakażonej duszności, brak siły na poruszenie się i czekanie na coś nieznanego, niezrozumiałego i strasznego stało się nie do zniesienia. Ludzie stojący w pierwszych rzędach, którzy widzieli i słyszeli wszystko, co działo się przed nimi, wszyscy z przerażająco szeroko otwartymi oczami i otwartymi ustami, wytężając wszystkie siły, powstrzymywali ucisk na plecach tych, którzy byli za nimi.
- Bij go!.. Niech zdrajca umrze i nie hańbi imienia Rosjanina! - krzyknął Rastopchin. - Rubin! Zamawiam! - Słysząc nie słowa, ale wściekłe dźwięki głosu Rastopchina, tłum jęknął i ruszył do przodu, ale znów się zatrzymał.
„Hrabia!...” zawołał nieśmiały, a zarazem teatralny głos Wierieszczagina wśród znów zapadłej chwilowej ciszy. „Hrabio, jeden bóg jest nad nami…” – powiedział Wierieszczagin, podnosząc głowę, i znowu gruba żyła na jego cienkiej szyi wypełniła się krwią, a kolor szybko pojawił się i zniknął z jego twarzy. Nie dokończył tego, co chciał powiedzieć.
- Posiekaj go! Rozkazuję!.. – krzyknął Rastopchin, blednąc nagle zupełnie jak Wierieszczagin.
- Szable wychodzą! - krzyknął oficer do smoków, sam dobywając szabli.
Kolejna, jeszcze silniejsza fala, przetoczyła się przez ludzi i docierając do pierwszych rzędów, fala ta poruszyła pierwsze rzędy, zataczając się, i zaprowadziła ich na same stopnie ganku. Obok Wierieszczagina stał wysoki facet ze skamieniałym wyrazem twarzy i zatrzymaną podniesioną ręką.
- Rubin! - Prawie oficer szepnął do smoków, a jeden z żołnierzy nagle, z twarzą wykrzywioną ze złości, uderzył Wierieszczagina w głowę tępym pałaszem.
"A!" - Vereshchagin krzyknął krótko i ze zdziwienia, rozglądając się ze strachem i jakby nie rozumiejąc, dlaczego mu to zrobiono. Ten sam jęk zaskoczenia i przerażenia przebiegł przez tłum.
"O mój Boże!" – rozległ się czyjś smutny okrzyk.
Ale po okrzyku zaskoczenia, który wymknął się Wiereszchaginowi, krzyknął żałośnie z bólu i ten krzyk go zniszczył. Bariera ta rozciągnęła się do granic możliwości ludzkie uczucie, który wciąż trzymał tłum, przedarł się natychmiast. Zbrodnia została rozpoczęta, należało ją dokończyć. Żałosny jęk wyrzutu został zagłuszony przez groźny i wściekły ryk tłumu. Podobnie jak ostatnia siódma fala, rozbijająca statki, ta ostatnia fala niepowstrzymana podniosła się z tylnych szeregów, dotarła do przednich, powaliła je i połknęła wszystko. Dragon, który uderzył, chciał powtórzyć cios. Wierieszczagin z okrzykiem przerażenia, zasłaniając się rękami, rzucił się na lud. Wysoki facet, na którego wpadł, chwycił rękami za chudą szyję Wiereszchagina i z dzikim krzykiem upadli pod nogi ryczącego tłumu.
Niektórzy bili i szarpali Vereshchagina, inni byli wysocy i mali. A krzyki zmiażdżonych ludzi i tych, którzy próbowali ratować wysokiego mężczyznę, tylko wzbudziły wściekłość tłumu. Dragoni przez długi czas nie mogli uwolnić zakrwawionego, pobitego na śmierć pracownika fabryki. I przez długi czas, pomimo całego gorączkowego pośpiechu, z jakim tłum próbował dokończyć rozpoczęte dzieło, ci, którzy bili, dusili i szarpali Wierieszczagina, nie mogli go zabić; lecz tłum napierał na nich ze wszystkich stron, z nimi w środku, jak jedna masa, kołysząc się z boku na bok i nie dając im możliwości ani dobicia, ani rzucenia.

Do obliczenia prostej średniej geometrycznej stosuje się wzór:

Ważone geometrycznie

Do wyznaczenia ważonej średniej geometrycznej stosuje się wzór:

Średnie średnice kół, rur i średnie boki kwadratów określa się za pomocą średniego kwadratu.

Wartości średnie kwadratowe służą do obliczenia niektórych wskaźników, na przykład współczynnika zmienności, który charakteryzuje rytm produkcji. Tutaj odchylenie standardowe od planowanej wielkości produkcji na dany okres wyznacza się za pomocą następującego wzoru:

Wartości te trafnie charakteryzują zmianę wskaźników ekonomicznych w stosunku do ich wartości bazowej, przyjętej w jej wartości średniej.

Kwadratowe proste

Średnią kwadratową oblicza się ze wzoru:

Ważone kwadratowo

Średni ważony kwadrat jest równy:

22. Bezwzględne wskaźniki zmienności obejmują:

zakres zmienności

średnie odchylenie liniowe

dyspersja

odchylenie standardowe

Zakres zmienności (r)

Zakres zmienności- jest różnicą między maksymalną i minimalną wartością atrybutu

Pokazuje granice, w jakich zmienia się wartość cechy w badanej populacji.

Doświadczenie zawodowe pięciu wnioskodawców w poprzedniej pracy wynosi: 2,3,4,7 i 9 lat. Rozwiązanie: zakres zmienności = 9 - 2 = 7 lat.

Dla uogólnionego opisu różnic wartości atrybutów średnie wskaźniki zmienności oblicza się w oparciu o uwzględnienie odchyleń od średniej arytmetycznej. Różnicę przyjmuje się jako odchylenie od średniej.

W takim przypadku, aby uniknąć schodzenia sumy odchyleń wariantów cechy od średniej do zera (zerowa właściwość średniej), należy albo zignorować znaki odchylenia, czyli przyjąć tę sumę modulo , lub podnieś wartości odchyleń do kwadratu

Średnie odchylenie liniowe i kwadratowe

Średnie odchylenie liniowe jest średnią arytmetyczną bezwzględnych odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej.

Średnie odchylenie liniowe jest proste:

Doświadczenie zawodowe pięciu wnioskodawców w poprzedniej pracy wynosi: 2,3,4,7 i 9 lat.

W naszym przykładzie: lata;

Odpowiedź: 2,4 roku.

Średnie ważone odchylenie liniowe dotyczy danych zgrupowanych:

Średnie odchylenie liniowe ze względu na swoją konwencjonalność jest stosowane w praktyce stosunkowo rzadko (w szczególności do charakteryzowania realizacji zobowiązań umownych w zakresie jednorodności dostaw; w analizie jakości produktu z uwzględnieniem cech technologicznych produkcji).

Odchylenie standardowe

Najdoskonalszą cechą zmienności jest odchylenie średniokwadratowe, które nazywa się standardem (lub odchyleniem standardowym). Odchylenie standardowe() równa się pierwiastek kwadratowy od średniego kwadratu odchyleń poszczególnych wartości cechy do średniej arytmetycznej:

Odchylenie standardowe jest proste:

Do danych grupowanych stosuje się ważone odchylenie standardowe:

Pomiędzy pierwiastkiem średnim kwadratowym a średnimi odchyleniami liniowymi w warunkach rozkładu normalnego zachodzi następujący stosunek: ~ 1,25.

Odchylenie standardowe, będące główną bezwzględną miarą zmienności, wykorzystywane jest do wyznaczania wartości rzędnych krzywej rozkładu normalnego, do obliczeń związanych z organizacją obserwacji próbek i ustalaniem dokładności charakterystyki próbki, a także do oceny granice zmienności cechy w populacji jednorodnej.

Warto zauważyć, że to obliczenie wariancji ma wadę – okazuje się być stronnicze, tj. jego matematyczne oczekiwanie nie jest równe prawdziwej wartości wariancji. Przeczytaj więcej na ten temat. Jednocześnie nie wszystko jest takie złe. W miarę zwiększania się wielkości próby, wciąż zbliża się ona do teoretycznego odpowiednika, tj. jest asymptotycznie nieobciążony. Dlatego podczas pracy z duże rozmiary próbki, możesz skorzystać z powyższego wzoru.

Przydatne jest przełożenie języka znaków na język słów. Okazuje się, że wariancja jest średnim kwadratem odchyleń. Oznacza to, że najpierw obliczana jest wartość średnia, następnie obliczana jest różnica między każdą wartością pierwotną i średnią, podnoszona do kwadratu, dodawana, a następnie dzielona przez liczbę wartości w populacji. Różnica między wartością indywidualną a średnią odzwierciedla miarę odchylenia. Podnosi się go do kwadratu, aby wszystkie odchylenia stały się wyłącznie liczbami dodatnimi i aby podczas ich sumowania uniknąć wzajemnego niszczenia odchyleń dodatnich i ujemnych. Następnie, biorąc pod uwagę kwadraty odchyleń, po prostu obliczamy średnią arytmetyczną. Średnia - kwadrat - odchylenia. Odchylenia są podnoszone do kwadratu i obliczana jest średnia. Rozwiązanie kryje się w zaledwie trzech słowach.

Jednak w czysta forma, takie jak średnia arytmetyczna lub wskaźnik wariancji, nie jest używany. Jest to raczej wskaźnik pomocniczy i pośredni, niezbędny przy innych rodzajach analiz statystycznych. Nie ma nawet normalnej jednostki miary. Sądząc po wzorze, jest to kwadrat jednostki miary oryginalnych danych. Bez butelki, jak mówią, nie da się tego rozgryźć.

(moduł 111)

Aby przywrócić wariancję rzeczywistości, to znaczy wykorzystać ją do bardziej przyziemnych celów, wyodrębnia się z niej pierwiastek kwadratowy. Okazuje się, że tzw odchylenie standardowe (RMS). Istnieją nazwy „odchylenie standardowe” lub „sigma” (od nazwy greckiej litery). Formuła odchylenie standardowe ma postać:

Aby uzyskać ten wskaźnik dla próbki, należy skorzystać ze wzoru:

Podobnie jak w przypadku wariancji, istnieje nieco inna opcja obliczeń. Ale w miarę wzrostu próbki różnica znika.

Odchylenie standardowe oczywiście charakteryzuje również miarę rozproszenia danych, ale teraz (w przeciwieństwie do rozproszenia) można je porównać z danymi oryginalnymi, ponieważ mają one te same jednostki miary (wynika to ze wzoru obliczeniowego). Ale ten wskaźnik w czystej postaci nie jest zbyt pouczający, ponieważ zawiera zbyt wiele obliczeń pośrednich, które są mylące (odchylenie, kwadrat, suma, średnia, pierwiastek). Jednak możliwa jest już bezpośrednia praca z odchyleniem standardowym, ponieważ właściwości ten wskaźnik dobrze zbadane i znane. Na przykład jest to reguła trzech sigm, który stwierdza, że ​​dane mają 997 wartości z 1000 w granicach ±3 sigma średniej arytmetycznej. Odchylenie standardowe, jako miara niepewności, jest również wykorzystywane w wielu obliczeniach statystycznych. Za jego pomocą określa się stopień dokładności różnych szacunków i prognoz. Jeśli wariancja jest bardzo duża, to odchylenie standardowe również będzie duże, a co za tym idzie, prognoza będzie niedokładna, co będzie wyrażone np. w bardzo szerokich przedziałach ufności.

Współczynnik zmienności

Odchylenie standardowe daje bezwzględne oszacowanie miary dyspersji. Dlatego, aby zrozumieć, jak duży jest rozrzut w stosunku do samych wartości (tj. Niezależnie od ich skali), wymagany jest wskaźnik względny. Ten wskaźnik nazywa się Współczynnik zmienności i oblicza się według następującego wzoru:

Współczynnik zmienności mierzony jest w procentach (jeśli jest pomnożony przez 100%). Za pomocą tego wskaźnika można porównać różnorodne zjawiska, niezależnie od ich skali i jednostek miary. Ten fakt i sprawia, że ​​współczynnik zmienności jest tak popularny.

W statystyce przyjmuje się, że jeśli wartość współczynnika zmienności jest mniejsza niż 33%, to populację uważa się za jednorodną; jeśli jest większa niż 33%, to jest niejednorodna. Trudno mi tu cokolwiek komentować. Nie wiem, kto to zdefiniował i dlaczego, ale uważa się to za aksjomat.

Czuję, że daję się ponieść suchej teorii i muszę wnieść coś wizualnego i przenośnego. Z drugiej strony wszystkie wskaźniki zmienności opisują w przybliżeniu to samo, tyle że są obliczane inaczej. Trudno zatem pochwalić się różnorodnością przykładów. Różnić się mogą jedynie wartości wskaźników, ale nie ich istota. Porównajmy więc, jak różnią się wartości różnych wskaźników zmienności dla tego samego zestawu danych. Weźmy przykład obliczenia średniego odchylenia liniowego (od ). Oto dane źródłowe:

I harmonogram, który będzie Ci przypominał.

Korzystając z tych danych, obliczamy różne wskaźniki zmienności.

Wartość średnia jest zwykłą średnią arytmetyczną.

Zakres zmienności to różnica między wartością maksymalną i minimalną:

Średnie odchylenie liniowe oblicza się ze wzoru:

Odchylenie standardowe:

Podsumujmy obliczenia w tabeli.

Jak widać, podaje się średnią liniową i odchylenie standardowe podobne znaczenia stopień zmienności danych. Wariancja jest sigma kwadratowa, więc zawsze będzie to liczba stosunkowo duża, co w istocie nic nie znaczy. Zakres zmienności to różnica między wartościami ekstremalnymi i może mówić głośno.

Podsumujmy niektóre wyniki.

Zmienność wskaźnika odzwierciedla zmienność procesu lub zjawiska. Jego stopień można mierzyć za pomocą kilku wskaźników.

1. Zakres zmienności – różnica pomiędzy maksimum i minimum. Odzwierciedla zakres możliwych wartości.
2. Średnie odchylenie liniowe – odzwierciedla średnią bezwzględnych (modulo) odchyleń wszystkich wartości analizowanej populacji od ich średni rozmiar.
3. Rozrzut – średni kwadrat odchyleń.
4. Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem dyspersji (średnim kwadratem odchyleń).
5. Współczynnik zmienności jest najbardziej uniwersalnym wskaźnikiem, odzwierciedlającym stopień rozproszenia wartości, niezależnie od ich skali i jednostek miary. Współczynnik zmienności mierzony jest w procentach i można go wykorzystać do porównania zmienności różnych procesów i zjawisk.

Zatem w analizie statystycznej istnieje system wskaźników odzwierciedlających jednorodność zjawisk i stabilność procesów. Często wskaźniki zmienności nie mają niezależnego znaczenia i są używane Dalsza analiza dane (obliczanie przedziałów ufności

Odchylenie standardowe to jeden z tych terminów statystycznych w świecie korporacji, który dodaje wiarygodności osobom, którym uda się dobrze je zaprezentować w rozmowie lub prezentacji, pozostawiając jednocześnie niejasne zamieszanie dla tych, którzy nie wiedzą, co to jest, ale są zbyt zawstydzeni, aby zapytać. Tak naprawdę większość menedżerów nie rozumie koncepcji odchylenia standardowego i jeśli jesteś jednym z nich, czas przestać żyć w kłamstwie. W dzisiejszym artykule opowiem Ci, jak ta niedoceniana miara statystyczna może pomóc Ci lepiej zrozumieć dane, z którymi pracujesz.

Co mierzy odchylenie standardowe?

Wyobraź sobie, że jesteś właścicielem dwóch sklepów. Aby uniknąć strat, ważna jest jasna kontrola stanu zapasów. Próbując dowiedzieć się, który menedżer lepiej zarządza zapasami, decydujesz się przeanalizować ostatnie sześć tygodni zapasów. Średni tygodniowy koszt zapasów dla obu sklepów jest w przybliżeniu taki sam i wynosi około 32 jednostek konwencjonalnych. Na pierwszy rzut oka średni odpływ pokazuje, że obaj menedżerowie radzą sobie podobnie.

Ale jeśli przyjrzysz się bliżej działalności drugiego sklepu, przekonasz się, że chociaż średnia wartość jest prawidłowa, zmienność zapasów jest bardzo duża (od 10 do 58 USD). Można zatem stwierdzić, że średnia nie zawsze poprawnie ocenia dane. Tutaj właśnie pojawia się odchylenie standardowe.

Odchylenie standardowe pokazuje, jak wartości rozkładają się w stosunku do średniej w naszym . Innymi słowy, możesz zrozumieć, jak duża jest różnica w odpływie z tygodnia na tydzień.

W naszym przykładzie użyliśmy Funkcja Excela ODCHYLENIE STANDARDOWE, aby obliczyć odchylenie standardowe wraz ze średnią.

W przypadku pierwszego menedżera odchylenie standardowe wyniosło 2. Oznacza to, że każda wartość w próbie odbiega średnio o 2 od średniej. Czy to jest dobre? Spójrzmy na pytanie z innej strony - odchylenie standardowe równe 0 mówi nam, że każda wartość w próbie jest równa jej średniej (w naszym przypadku 32,2). Zatem odchylenie standardowe wynoszące 2 niewiele różni się od 0, co wskazuje, że większość wartości jest bliska średniej. Im odchylenie standardowe jest bliższe 0, tym bardziej wiarygodna jest średnia. Co więcej, odchylenie standardowe bliskie 0 wskazuje na niewielką zmienność danych. Oznacza to, że wartość odpływu z odchyleniem standardowym wynoszącym 2 wskazuje na niesamowitą spójność pierwszego menedżera.

W przypadku drugiego sklepu odchylenie standardowe wyniosło 18,9. Oznacza to, że koszt spływu średnio odbiega o 18,9 od średniej wartości z tygodnia na tydzień. Szalony rozkład! Im odchylenie standardowe jest bardziej od 0, tym mniej dokładna jest średnia. W naszym przypadku liczba 18,9 oznacza, że ​​średniej wartości (32,8 USD tygodniowo) po prostu nie można ufać. Mówi nam również, że tygodniowy odpływ jest bardzo zmienny.

Tak w skrócie wygląda koncepcja odchylenia standardowego. Chociaż nie zapewnia wglądu w inne ważne pomiary statystyczne (tryb, mediana...), w rzeczywistości odchylenie standardowe odgrywa kluczową rolę w większości obliczeń statystycznych. Zrozumienie zasad odchylenia standardowego rzuci światło na wiele procesów biznesowych.

Jak obliczyć odchylenie standardowe?

Teraz wiemy, co mówi liczba odchylenia standardowego. Zastanówmy się, jak to obliczyć.

Przyjrzyjmy się zbiorowi danych od 10 do 70 w przyrostach co 10. Jak widać, obliczyłem już dla nich wartość odchylenia standardowego za pomocą funkcji STANDARDEV w komórce H2 (na pomarańczowo).

Poniżej znajdują się kroki, jakie wykonuje Excel, aby dotrzeć do wersji 21.6.

Należy pamiętać, że wszystkie obliczenia są wizualizowane w celu lepszego zrozumienia. W rzeczywistości w programie Excel obliczenia odbywają się natychmiast, pozostawiając wszystkie kroki za kulisami.

Najpierw Excel znajduje średnią próbki. W naszym przypadku średnia okazała się wynosić 40, co w kolejnym kroku jest odejmowane od wartości każdej próbki. Każda uzyskana różnica jest podnoszona do kwadratu i sumowana. Otrzymaliśmy sumę równą 2800, którą należy podzielić przez liczbę elementów próbki minus 1. Ponieważ mamy 7 elementów, okazuje się, że musimy podzielić 2800 przez 6. Z otrzymanego wyniku znajdujemy pierwiastek kwadratowy, to liczba będzie odchyleniem standardowym.

Dla tych, którzy nie do końca rozumieją zasadę obliczania odchylenia standardowego za pomocą wizualizacji, podaję matematyczną interpretację znalezienia tej wartości.

Funkcje do obliczania odchylenia standardowego w programie Excel

W programie Excel dostępnych jest kilka typów formuł na odchylenie standardowe. Wszystko, co musisz zrobić, to wpisać =STDEV i sam się przekonasz.

Warto zauważyć, że funkcje STDEV.V i STDEV.G (pierwsza i druga funkcja na liście) duplikują odpowiednio funkcje STDEV i STDEV (piąta i szósta funkcja na liście), które zostały zachowane ze względu na zgodność z wcześniejszymi wersje Excela.

Generalnie różnica w zakończeniach funkcji .B i .G wskazuje na zasadę obliczania odchylenia standardowego próbki lub populacja. Wyjaśniłem już różnicę między tymi dwiema tablicami w poprzednim.

Cechą szczególną funkcji STANDARDEV i STANDDREV (trzecia i czwarta funkcja na liście) jest to, że przy obliczaniu odchylenia standardowego tablicy brane są pod uwagę wartości logiczne i tekstowe. Tekst i prawdziwe wartości logiczne to 1, a fałszywe wartości logiczne to 0. Nie wyobrażam sobie sytuacji, w której potrzebowałbym tych dwóch funkcji, więc myślę, że można je zignorować.

Oczekiwanie i wariancja

Zmierzmy zmienną losową N razy, na przykład mierzymy prędkość wiatru dziesięć razy i chcemy znaleźć wartość średnią. Jak wartość średnia jest powiązana z funkcją rozkładu?

Rzućmy kostką duża liczba raz. Liczba punktów, które pojawią się na kostkach przy każdym rzucie, jest zmienną losową i może przyjmować dowolną wartość naturalną od 1 do 6. Średnia arytmetyczna upuszczonych punktów obliczona dla wszystkich rzutów kostką jest również zmienną losową, ale w przypadku dużych N zmierza do bardzo konkretnej liczby – oczekiwania matematycznego Mx. W w tym przypadku Mx = 3,5.

Jak uzyskałeś tę wartość? Wpuść N testy, po zdobyciu 1 punktu, po zdobyciu 2 punktów i tak dalej. Wtedy, kiedy N→ ∞ liczba wyników, w których wyrzucono jeden punkt, Podobnie, Stąd

Model 4.5. Kostka do gry

Załóżmy teraz, że znamy prawo rozkładu zmiennej losowej X, czyli wiemy, że zmienna losowa X może przyjmować wartości X 1 , X 2 , ..., x k z prawdopodobieństwami P 1 , P 2 , ..., p.k.

Wartość oczekiwana Mx zmienna losowa X równa się:

Odpowiedź. 2,8.

Oczekiwanie matematyczne nie zawsze jest rozsądnym oszacowaniem jakiejś zmiennej losowej. Tak więc, aby oszacować średnią wynagrodzenie rozsądniej jest posługiwać się pojęciem mediany, czyli takiej wartości, aby liczba osób otrzymujących wynagrodzenie niższe od mediany i wyższe pokrywała się.

Mediana zmienna losowa jest liczbą X 1/2 to tak P (X < X 1/2) = 1/2.

Inaczej mówiąc, prawdopodobieństwo P 1, że zmienna losowa X będzie mniejszy X 1/2 i prawdopodobieństwo P 2, że zmienna losowa X będzie większa X 1/2 są identyczne i równe 1/2. Mediana nie jest określona jednoznacznie dla wszystkich rozkładów.

Wróćmy do zmiennej losowej X, które mogą przyjmować wartości X 1 , X 2 , ..., x k z prawdopodobieństwami P 1 , P 2 , ..., p.k.

Zmienność zmienna losowa XŚrednia wartość kwadratu odchylenia zmiennej losowej od jej oczekiwań matematycznych nazywana jest:

Przykład 2

Zgodnie z warunkami z poprzedniego przykładu oblicz wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej X.

Odpowiedź. 0,16, 0,4.

Model 4.6. Strzelanie do celu

Przykład 3

Znajdź rozkład prawdopodobieństwa liczby punktów uzyskanych w pierwszym rzucie kostką, medianę, oczekiwanie matematyczne, wariancję i odchylenie standardowe.

Każda krawędź ma takie samo prawdopodobieństwo wypadnięcia, więc rozkład będzie wyglądał następująco:

Odchylenie standardowe Można zauważyć, że odchylenie wartości od wartości średniej jest bardzo duże.

Właściwości oczekiwań matematycznych:

• Matematyczne oczekiwanie sumy niezależnych zmiennych losowych jest równe ich sumie oczekiwania matematyczne:

Przykład 4

Znajdź matematyczne oczekiwanie sumy i iloczynu punktów wyrzuconych na dwóch kostkach.

W przykładzie 3 odkryliśmy to dla jednej kostki M (X) = 3,5. A więc dla dwóch kostek

Właściwości dyspersji:

• Wariancja sumy niezależnych zmiennych losowych jest równa sumie wariancji:

Dx + y = Dx + Dy.

Pozwól na N rzuca się na wyrzucone kości y zwrotnica. Następnie

Wynik ten dotyczy nie tylko rzutów kostką. W wielu przypadkach decyduje o dokładności pomiaru oczekiwań matematycznych w sposób empiryczny. Można to zauważyć wraz ze wzrostem liczby pomiarów N rozrzut wartości wokół średniej, czyli odchylenia standardowego, maleje proporcjonalnie

Wariancja zmiennej losowej jest powiązana z matematycznym oczekiwaniem kwadratu tej zmiennej losowej następującą zależnością:

Znajdźmy matematyczne oczekiwania obu stron tej równości. A-przeorat,

Oczekiwanie matematyczne prawej strony równości, zgodnie z właściwością oczekiwań matematycznych, jest równe

Odchylenie standardowe

Odchylenie standardowe równy pierwiastkowi kwadratowemu wariancji:
Przy wyznaczaniu odchylenia standardowego dla wystarczająco dużej populacji badanej (n > 30) stosuje się następujące wzory:

Powiązana informacja.