Trywialne rozwiązanie macierzowe. Jednorodne układy równań

Przykład 1. Znajdować wspólna decyzja i jakiś podstawowy system rozwiązań dla systemu

Rozwiązanie znaleźć za pomocą kalkulatora. Algorytm rozwiązania jest taki sam jak dla układów liniowych równań niejednorodnych.
Działając tylko z wierszami, znajdujemy rząd macierzy, podstawowe drobne; Deklarujemy niewiadome zależne i wolne oraz znajdujemy rozwiązanie ogólne.

Pierwsza i druga linia są proporcjonalne, przekreślmy jedną z nich:

.
Zmienne zależne – x 2, x 3, x 5, dowolne – x 1, x 4. Z pierwszego równania 10x 5 = 0 znajdujemy zatem x 5 = 0
; .
Ogólne rozwiązanie to:

Znajdujemy podstawowy system rozwiązań, który składa się z (n-r) rozwiązań. Zatem w naszym przypadku n=5, r=3 podstawowy układ rozwiązań składa się z dwóch rozwiązań, a rozwiązania te muszą być liniowo niezależne. Aby wiersze były liniowo niezależne konieczne i wystarczające jest, aby rząd macierzy złożonej z elementów wierszy był równy liczbie wierszy, czyli 2. Wystarczy podać niewiadome wolne x 1 i x 4 wartości z wierszy wyznacznika drugiego rzędu, niezerowe i oblicz x 2 , x 3 , x 5 . Najprostszym niezerowym wyznacznikiem jest .
Zatem pierwszym rozwiązaniem jest: , drugi - .
Te dwie decyzje stanowią podstawowy system decyzyjny. Zauważ, że system podstawowy nie jest unikalny (możesz utworzyć dowolną liczbę niezerowych wyznaczników).

Przykład 2. Znaleźć rozwiązanie ogólne i podstawowy układ rozwiązań układu
Rozwiązanie.



,
wynika z tego, że rząd macierzy wynosi 3 i jest równy liczbie niewiadomych. Oznacza to, że układ nie ma wolnych niewiadomych i dlatego posiada rozwiązanie unikalne – trywialne.

Ćwiczenia . Przeglądaj i rozwiązuj system równania liniowe.
Przykład 4

Ćwiczenia . Znajdź rozwiązania ogólne i szczegółowe każdego układu.
Rozwiązanie. Zapiszmy główną macierz układu:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Zredukujmy macierz do widok trójkątny. Będziemy pracować tylko z wierszami, gdyż pomnożenie wiersza macierzy przez liczbę różną od zera i dodanie go do innego wiersza dla układu oznacza pomnożenie równania przez tę samą liczbę i dodanie go przez inne równanie, co nie zmienia rozwiązania układu system.
Pomnóż drugą linię przez (-5). Dodajmy drugą linię do pierwszej:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

Pomnóżmy drugą linię przez (6). Pomnóż trzecią linię przez (-1). Dodajmy trzecią linię do drugiej:
Znajdźmy rząd macierzy.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Wyróżniony małoletni ma najwyższy porządek(możliwych drugorzędnych) i jest niezerowe (jest równe iloczynowi elementów na odwrotnej przekątnej), dlatego rang(A) = 2.
Ten drobny element jest podstawowy. Zawiera współczynniki dla niewiadomych x 1 , x 2 , co oznacza, że ​​niewiadome x 1 , x 2 są zależne (podstawowe), a x 3 , x 4 , x 5 są wolne.
Przekształćmy macierz, pozostawiając po lewej stronie tylko podstawę mollową.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x 2	x 4	x 3	x 5

Układ o współczynnikach tej macierzy jest równoważny układowi pierwotnemu i ma postać:
22x 2 = 14x 4 - x 3 - 24x 5
6x 1 + 2x 2 = - 2x 4 - 11x 3 - 6x 5
Stosując metodę eliminacji niewiadomych, znajdujemy nietrywialne rozwiązanie:
Otrzymaliśmy relacje wyrażające zmienne zależne x 1 , x 2 poprzez wolne x 3 , x 4 , x 5 , czyli znaleźliśmy wspólna decyzja:
x 2 = 0,64x 4 - 0,0455x 3 - 1,09x 5
x 1 = - 0,55x 4 - 1,82x 3 - 0,64x 5
Znajdujemy podstawowy system rozwiązań, który składa się z (n-r) rozwiązań.
Zatem w naszym przypadku n=5, r=2 podstawowy układ rozwiązań składa się z 3 rozwiązań, a rozwiązania te muszą być liniowo niezależne.
Aby wiersze były liniowo niezależne konieczne i wystarczające jest, aby stopień macierzy złożonej z elementów wierszowych był równy liczbie wierszy, czyli 3.
Wystarczy podać niewiadomym x 3 , x 4 , x 5 wartości z linii wyznacznika trzeciego rzędu, niezerowe i obliczyć x 1 , x 2 .
Najprostszym niezerowym wyznacznikiem jest macierz tożsamości.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Zadanie . Znajdź podstawowy zbiór rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych.

System M równania liniowe c N zwane niewiadomymi układ liniowy jednorodny równania, jeśli wszystkie wolne wyrazy są równe zeru. Taki system wygląda następująco:

Gdzie i ij (ja = 1, 2, …, M; J = 1, 2, …, N) - podane liczby; x ja- nieznany.

Układ liniowych równań jednorodnych jest zawsze spójny, ponieważ R(A) = R(). Zawsze ma co najmniej zero ( trywialny) rozwiązanie (0; 0; …; 0).

Zastanówmy się, w jakich warunkach układy jednorodne mają niezerowe rozwiązania.

Twierdzenie 1. Układ liniowych równań jednorodnych ma rozwiązania niezerowe wtedy i tylko wtedy, gdy rząd jego głównej macierzy wynosi R mniej niewiadomych N, tj. R < N.

□ 1). Niech układ liniowych równań jednorodnych ma rozwiązanie niezerowe. Ponieważ ranga nie może przekraczać rozmiaru macierzy, to oczywiście R ≤ N. Pozwalać R = N. Następnie jeden z mniejszych rozmiarów n n różny od zera. Dlatego odpowiedni układ równań liniowych ma unikalne rozwiązanie: . Oznacza to, że nie ma innych rozwiązań niż trywialne. Jeśli więc istnieje nietrywialne rozwiązanie, to tak R < N.

2). Pozwalać R < N. Wtedy układ jednorodny, będąc spójnym, jest niepewny. Oznacza to, że ma nieskończoną liczbę rozwiązań, tj. ma niezerowe rozwiązania. ■

Rozważmy system jednorodny N równania liniowe c N nieznany:

(2)

Twierdzenie 2. System jednorodny N równania liniowe c N niewiadoma (2) ma niezerowe rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy jest jej wyznacznikiem równy zeru: = 0.

□ Jeśli układ (2) ma rozwiązanie niezerowe, to = 0. Ponieważ gdy system ma tylko jedno rozwiązanie zerowe. Jeśli = 0, to ranga R główna macierz układu jest mniejsza niż liczba niewiadomych, tj. R < N. A zatem układ ma nieskończoną liczbę rozwiązań, tj. ma niezerowe rozwiązania. ■

Oznaczmy rozwiązanie układu (1) X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x rz = k n jako sznurek .

Rozwiązania układu liniowych równań jednorodnych mają następujące właściwości:

1. Jeśli linia jest rozwiązaniem układu (1), to prosta jest rozwiązaniem układu (1).

2. Jeśli linie I - rozwiązania układu (1), to dla dowolnych wartości Z 1 i Z 2 ich kombinacja liniowa jest również rozwiązaniem układu (1).

Ważność tych właściwości można zweryfikować poprzez bezpośrednie podstawienie ich do równań układu.

Z sformułowanych własności wynika, że ​​każda liniowa kombinacja rozwiązań układu liniowych równań jednorodnych jest również rozwiązaniem tego układu.

Układ rozwiązań liniowo niezależnych mi 1 , mi 2 , …, e r zwany fundamentalny, jeśli każde rozwiązanie układu (1) jest kombinacją liniową tych rozwiązań mi 1 , mi 2 , …, e r.

Twierdzenie 3. Jeśli ranga R macierze współczynników dla zmiennych układu liniowych równań jednorodnych (1) są mniejsze od liczby zmiennych N, to każdy podstawowy system rozwiązań układu (1) składa się z nr – r decyzje.

Dlatego wspólna decyzja układ liniowych równań jednorodnych (1) ma postać:

Gdzie mi 1 , mi 2 , …, e r– dowolny podstawowy system rozwiązań układu (9), Z 1 , Z 2 , …, ze str– liczby dowolne, R = nr – r.

Twierdzenie 4. Ogólne rozwiązanie układu M równania liniowe c N niewiadome są równe sumie rozwiązania ogólnego odpowiedniego układu równań liniowych jednorodnych (1) i dowolnego rozwiązania szczególnego tego układu (1).

Przykład. Rozwiąż system

Rozwiązanie. Dla tego systemu M = N= 3. Wyznacznik

zgodnie z Twierdzeniem 2, system ma tylko trywialne rozwiązanie: X = y = z = 0.

Przykład. 1) Znajdź rozwiązania ogólne i szczegółowe układu

2) Znajdź podstawowy system rozwiązań.

Rozwiązanie. 1) Dla tego systemu M = N= 3. Wyznacznik

zgodnie z Twierdzeniem 2, system ma rozwiązania niezerowe.

Ponieważ w układzie istnieje tylko jedno niezależne równanie

X + y – 4z = 0,

wtedy z tego wyrazimy X =4z- y. Skąd otrzymujemy nieskończoną liczbę rozwiązań: (4 z- y, y, z) – jest to ogólne rozwiązanie układu.

Na z= 1, y= -1, otrzymujemy jedno konkretne rozwiązanie: (5, -1, 1). Układanie z= 3, y= 2, otrzymujemy drugie szczególne rozwiązanie: (10, 2, 3) itd.

2) W rozwiązaniu ogólnym (4 z- y, y, z) zmienne y I z są wolne i zmienna X– od nich zależny. Aby znaleźć podstawowy układ rozwiązań, przypiszmy wartości zmiennym wolnym: najpierw y = 1, z= 0, zatem y = 0, z= 1. Otrzymujemy rozwiązania cząstkowe (-1, 1, 0), (4, 0, 1), które tworzą podstawowy układ rozwiązań.

Ilustracje:

Ryż. 1 Klasyfikacja układów równań liniowych

Ryż. 2 Badanie układów równań liniowych

Prezentacje:

· Rozwiązanie Metoda SLAE_matrix

· Rozwiązanie metody SLAE_Cramer

· Rozwiązanie Metoda SLAE_Gaussa

· Pakiety do rozwiązywania problemów matematycznych Mathematica, MathCad: poszukiwanie rozwiązań analitycznych i numerycznych układów równań liniowych

Pytania kontrolne:

1. Zdefiniuj równanie liniowe

2. Jak to wygląda? M równania liniowe z N nieznany?

3. Co nazywa się rozwiązywaniem układów równań liniowych?

4. Jakie systemy nazywamy równoważnymi?

5. Który system nazywa się niekompatybilnym?

6. Jaki system nazywa się stawem?

7. Który układ nazywamy określonym?

8. Który system nazywa się nieokreślonym

9. Wymieniać przekształcenia elementarne układów równań liniowych

10. Wymień elementarne przekształcenia macierzy

11. Formułować twierdzenie o zastosowaniu przekształceń elementarnych do układu równań liniowych

12. Jakie układy można rozwiązać metodą macierzową?

13. Jakie układy można rozwiązać metodą Cramera?

14. Jakie układy można rozwiązać metodą Gaussa?

15. Wymień 3 możliwe przypadki, które pojawiają się przy rozwiązywaniu układów równań liniowych metodą Gaussa

16. Opisać metodę macierzową rozwiązywania układów równań liniowych

17. Opisać metodę Cramera rozwiązywania układów równań liniowych

18. Opisać metodę Gaussa rozwiązywania układów równań liniowych

19. Jakie systemy można rozwiązać odwrotna macierz?

20. Wymień 3 możliwe przypadki, które pojawiają się przy rozwiązywaniu układów równań liniowych metodą Cramera

Literatura:

1. Matematyka wyższa dla ekonomistów: Podręcznik dla uniwersytetów / N.Sh. Kremer, BA Putko, I.M. Trishin, M.N. Friedman. wyd. N.Sh. Kremera. – M.: JEDNOŚĆ, 2005. – 471 s.

2. Kurs ogólny Matematyka wyższa dla ekonomistów: Podręcznik. / wyd. W I. Ermakowa. –M.: INFRA-M, 2006. – 655 s.

3. Zbiór problemów matematyki wyższej dla ekonomistów: Instruktaż/ Pod redakcją V.I. Ermakowa. M.: INFRA-M, 2006. – 574 s.

4. Gmurman V. E. Przewodnik po rozwiązywaniu problemów w teorii prawdopodobieństwa i statystyce magmowej. - M.: Szkoła Podyplomowa, 2005. – 400 s.

5. Gmurmana. V.E. Teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. - M.: Szkoła Wyższa, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Matematyka wyższa w ćwiczeniach i problemach. Część 1, 2. – M.: Onyks XXI wieku: Pokój i edukacja, 2005. – 304 s. Część 1; – 416 s. Część 2.

7. Matematyka w ekonomii: Podręcznik: W 2 częściach / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. – M.: Finanse i Statystyka, 2006.

8. Shipachev V.S. Matematyka wyższa: Podręcznik dla studentów. uczelnie - M.: Szkoła Wyższa, 2007. - 479 s.

Powiązana informacja.

Pozwalać M 0 – zbiór rozwiązań jednorodnego układu (4) równań liniowych.

Definicja 6.12. Wektory Z 1 ,Z 2 , …, ze str, które są rozwiązaniami jednorodnego układu równań liniowych, nazywane są podstawowy zbiór rozwiązań(w skrócie FNR), jeśli

1) wektory Z 1 ,Z 2 , …, ze str liniowo niezależne (tj. żadnego z nich nie można wyrazić w kategoriach pozostałych);

2) każde inne rozwiązanie jednorodnego układu równań liniowych można wyrazić w postaci rozwiązań Z 1 ,Z 2 , …, ze str.

Zauważ, że jeśli Z 1 ,Z 2 , …, ze str– dowolne f.n.r., następnie wyrażenie k 1× Z 1 + k 2× Z 2 + … + k s× ze str możesz opisać cały zestaw M 0 rozwiązań układu (4), tak to się nazywa ogólny widok rozwiązania systemowego (4).

Twierdzenie 6.6. Każdy nieokreślony jednorodny układ równań liniowych ma podstawowy zbiór rozwiązań.

Metoda znajdowania zestaw podstawowy rozwiązania przedstawia się następująco:

Znajdź ogólne rozwiązanie jednorodnego układu równań liniowych;

Zbudować ( N – R) rozwiązania cząstkowe tego układu, przy czym wartości wolnych niewiadomych muszą tworzyć macierz tożsamości;

Wypisać forma ogólna rozwiązania zawarte w M 0 .

Przykład 6.5. Znajdź podstawowy zbiór rozwiązań następującego układu:

Rozwiązanie. Znajdźmy ogólne rozwiązanie tego systemu.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ W tym układzie jest pięć niewiadomych ( N= 5), z czego są dwie główne niewiadome ( R= 2), istnieją trzy wolne niewiadome ( N – R), czyli podstawowy zbiór rozwiązań zawiera trzy wektory rozwiązań. Zbudujmy je. Mamy X 1 i X 3 – główne niewiadome, X 2 , X 4 , X 5 – wolne niewiadome

Wartości wolnych niewiadomych X 2 , X 4 , X 5 tworzą macierz tożsamości mi trzecie zamówienie. Mam te wektory Z 1 ,Z 2 , Z 3 formularz f.n.r. tego systemu. Wtedy będzie zbiór rozwiązań tego jednorodnego układu M 0 = {k 1× Z 1 + k 2× Z 2 + k 3× Z 3 , k 1 , k 2 , k 3 O R).

Znajdźmy teraz warunki istnienia niezerowych rozwiązań jednorodnego układu równań liniowych, czyli innymi słowy warunki istnienia podstawowego zbioru rozwiązań.

Jednorodny układ równań liniowych ma rozwiązania niezerowe, to znaczy nie jest pewne, czy

1) stopień macierzy głównej układu jest mniejszy od liczby niewiadomych;

2) w jednorodnym układzie równań liniowych liczba równań jest mniejsza niż liczba niewiadomych;

3) jeżeli w jednorodnym układzie równań liniowych liczba równań jest równa liczbie niewiadomych, a wyznacznik macierzy głównej jest równy zero (tj. | A| = 0).

Przykład 6.6. Przy jakiej wartości parametru A jednorodny układ równań liniowych ma niezerowe rozwiązania?

Rozwiązanie. Skomponujmy główną macierz tego układu i znajdźmy jej wyznacznik: = = 1×(–1) 1+1 × = – A– 4. Wyznacznik tej macierzy jest równy zeru w A = –4.

Odpowiedź: –4.

7. Arytmetyka N-wymiarowa przestrzeń wektorowa

Podstawowe koncepcje

W poprzednich rozdziałach zetknęliśmy się już z koncepcją zbioru liczb rzeczywistych ułożonych w określonej kolejności. Jest to macierz wierszowa (lub macierz kolumnowa) i rozwiązanie układu równań liniowych N nieznany. Informacje te można podsumować.

Definicja 7.1. N-wymiarowy wektor arytmetyczny zwany uporządkowanym zbiorem N liczby rzeczywiste.

Oznacza A= (za 1 , za 2 , …, za N), gdzie IО R, I = 1, 2, …, N– ogólny widok wektora. Numer N zwany wymiar wektory i liczby a I nazywają się jego współrzędne.

Na przykład: A= (1, –8, 7, 4, ) – wektor pięciowymiarowy.

Wszystko gotowe N wektory wymiarowe są zwykle oznaczane jako Rn.

Definicja 7.2. Dwa wektory A= (za 1 , za 2 , …, za N) I B= (b 1 , b 2 , …, b N) tego samego wymiaru równy wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające im współrzędne są równe, tj. a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a N= b N.

Definicja 7.3.Kwota dwa N-wektory wymiarowe A= (za 1 , za 2 , …, za N) I B= (b 1 , b 2 , …, b N) nazywa się wektorem A + B= (za 1 + b 1, za 2 + b 2, …, za N+b N).

Definicja 7.4. Praca prawdziwy numer k do wektora A= (za 1 , za 2 , …, za N) nazywa się wektorem k× A = (k×a 1, k×a 2 , …, k×a N)

Definicja 7.5. Wektor O= (0, 0, …, 0) jest wywoływane zero(Lub wektor zerowy).

Łatwo sprawdzić, że akcje (operacje) dodawania wektorów i mnożenia ich przez liczbę rzeczywistą mają następujące właściwości: „ A, B, C Î Rn, " k, l O R:

1) A + B = B + A;

2) A + (B+ C) = (A + B) + C;

3) A + O = A;

4) A+ (–A) = O;

5) 1× A = A, 1 О R;

6) k×( l× A) = l×( k× A) = (l× k)× A;

7) (k + l)× A = k× A + l× A;

8) k×( A + B) = k× A + k× B.

Definicja 7.6. Pęczek Rn z operacjami dodawania wektorów i mnożenia ich przez podaną na nim liczbę rzeczywistą arytmetyczna n-wymiarowa przestrzeń wektorowa.

Nazywa się układ równań liniowych, w którym wszystkie wolne wyrazy są równe zeru jednorodny :

Każdy jednorodny system jest zawsze spójny, ponieważ zawsze tak było zero (trywialny ) rozwiązanie. Powstaje pytanie, w jakich warunkach jednorodny układ będzie miał nietrywialne rozwiązanie.

Twierdzenie 5.2.Układ jednorodny ma nietrywialne rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzystej macierzy jest mniejszy niż liczba jej niewiadomych.

Konsekwencja. Kwadratowy układ jednorodny ma nietrywialne rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik macierzy głównej układu nie jest równy zero.

Przykład 5.6. Określ wartości parametru l, przy których układ ma rozwiązania nietrywialne i znajdź te rozwiązania:

Rozwiązanie. Układ ten będzie miał nietrywialne rozwiązanie, gdy wyznacznik macierzy głównej będzie równy zeru:

Zatem system jest nietrywialny, gdy l=3 lub l=2. Dla l=3 stopień macierzy głównej układu wynosi 1. Następnie pozostaje jedno równanie i przyjmujemy to y=A I z=B, otrzymujemy x=b-a, tj.

Dla l=2 stopień macierzy głównej układu wynosi 2. Następnie wybierając mollę jako podstawę:

otrzymujemy uproszczony system

Stąd to znajdujemy x=z/4, y=z/2. Wierzyć z=4A, otrzymujemy

Zbiór wszystkich rozwiązań układu jednorodnego ma bardzo istotne znaczenie właściwość liniowa : jeśli kolumny X 1 i X 2 - rozwiązania układu jednorodnego AX = 0, następnie dowolna ich kombinacja liniowa A X 1 + b X 2 będzie również rozwiązaniem dla tego systemu. Rzeczywiście, od TOPÓR 1 = 0 I TOPÓR 2 = 0 , To A(A X 1 + b X 2) = a TOPÓR 1 + b TOPÓR 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Dzięki tej właściwości, jeśli układ liniowy ma więcej niż jedno rozwiązanie, to będzie nieskończona liczba tych rozwiązań.

Kolumny liniowo niezależne mi 1 , mi 2 , Ek, które są rozwiązaniami układu jednorodnego, nazywane są podstawowy system rozwiązań jednorodny układ równań liniowych, jeżeli rozwiązanie ogólne tego układu można zapisać jako kombinację liniową tych kolumn:

Jeśli jednorodny system ma N zmiennych, a ranga macierzy głównej układu jest równa R, To k = nr-r.

Przykład 5.7. Znajdź podstawowy układ rozwiązań następującego układu równań liniowych:

Rozwiązanie. Znajdźmy rangę macierzy głównej układu:

Zatem zbiór rozwiązań tego układu równań tworzy liniową podprzestrzeń wymiaru nr-r= 5 - 2 = 3. Jako podstawę wybierzmy moll

.

Następnie pozostawiając jedynie równania podstawowe (reszta będzie kombinacją liniową tych równań) i zmienne podstawowe (resztę, tzw. zmienne swobodne, przesuwamy w prawo), otrzymujemy uproszczony układ równań:

Wierzyć X 3 = A, X 4 = B, X 5 = C, znaleźliśmy

, .

Wierzyć A= 1, b = do= 0, otrzymujemy pierwsze rozwiązanie podstawowe; wierząc B= 1, a = do= 0, otrzymujemy drugie rozwiązanie podstawowe; wierząc C= 1, a = b= 0, otrzymujemy trzecie rozwiązanie podstawowe. W rezultacie przyjmiemy postać normalnego podstawowego układu rozwiązań

Korzystając z układu podstawowego, ogólne rozwiązanie układu jednorodnego można zapisać jako

X = aE 1 + Być 2 + CE 3. A

Zwróćmy uwagę na pewne własności rozwiązań niejednorodnego układu równań liniowych AX=B i ich związek z odpowiednim jednorodnym układem równań AX = 0.

Ogólne rozwiązanie układu heterogenicznegojest równa sumie rozwiązania ogólnego odpowiedniego układu jednorodnego AX = 0 i dowolnego rozwiązania szczegółowego układu niejednorodnego. Rzeczywiście, niech Y 0 jest dowolnym rozwiązaniem szczególnym układu niejednorodnego, tj. AY 0 = B, I Y- rozwiązanie ogólne układu heterogenicznego, tj. AY=B. Odejmując jedną równość od drugiej, otrzymujemy
A(Y-Y 0) = 0, tj. Y-Y 0 jest rozwiązaniem ogólnym odpowiedniego układu jednorodnego TOPÓR=0. Stąd, Y-Y 0 = X, Lub T=T 0 + X. co było do okazania

Niech układ niejednorodny będzie miał postać AX = B 1 + B 2 . Wtedy ogólne rozwiązanie takiego układu można zapisać jako X = X 1 + X 2 , gdzie AX 1 = B 1 i AX 2 = B 2. Właściwość ta wyraża uniwersalną właściwość wszelkich układów liniowych w ogóle (algebraicznych, różniczkowych, funkcjonalnych itp.). W fizyce ta właściwość nazywa się zasada superpozycji, w elektrotechnice i radiu - zasada superpozycji. Na przykład w teorii liniowych obwodów elektrycznych prąd w dowolnym obwodzie można otrzymać jako sumę algebraiczną prądów powodowanych przez każde źródło energii z osobna.

Metoda Gaussa ma wiele wad: nie można stwierdzić, czy system jest spójny, czy nie, dopóki nie zostaną przeprowadzone wszystkie niezbędne przekształcenia w metodzie Gaussa; Metoda Gaussa nie jest odpowiednia dla układów ze współczynnikami literowymi.

Rozważmy inne metody rozwiązywania układów równań liniowych. Metody te wykorzystują koncepcję rangi macierzy i sprowadzają rozwiązanie dowolnego układu spójnego do rozwiązania układu, do którego ma zastosowanie reguła Cramera.

Przykład 1. Znajdź rozwiązanie ogólne poniższego układu równań liniowych, korzystając z podstawowego układu rozwiązań zredukowanego układu jednorodnego i rozwiązania szczególnego układu niejednorodnego.

1. Tworzenie macierzy A i rozbudowana matryca systemu (1)

2. Poznaj system (1) dla wspólnoty. Aby to zrobić, znajdujemy szeregi macierzy A i https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif"width="17" height="26 src=">). Jeśli się okaże, że to system (1) niekompatybilny. Jeśli to dostaniemy , to ten układ jest spójny i rozwiążemy go. (Badanie zgodności opiera się na twierdzeniu Kroneckera-Capelliego).

A. Znaleźliśmy rA.

Znaleźć rA, będziemy rozważać kolejno niezerowe minory pierwszego, drugiego itd. rzędu macierzy A i otaczających ich nieletnich.

M1=1≠0 (bierzemy 1 z lewego górnego rogu macierzy A).

Graniczymy M1 drugi wiersz i druga kolumna tej macierzy. . Kontynuujemy granicę M1 druga linia i trzecia kolumna..gif" szerokość="37" wysokość="20 src=">. Teraz graniczymy z niezerowym mollem M2′ drugie zamówienie.

Mamy: (ponieważ pierwsze dwie kolumny są takie same)

(ponieważ druga i trzecia linia są proporcjonalne).

Widzimy to rA=2, a jest podstawą małej macierzy A.

B. Znaleźliśmy.

Dość podstawowy drobiazg M2′ matryce A obramuj kolumną wolnych terminów i wszystkimi wierszami (mamy tylko ostatni wiersz).

. Wynika, że M3′′ pozostaje podstawowym mollem macierzy https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" szerokość="168 wysokość=75" wysokość="75"> (2)

Ponieważ M2′- podstawa mała macierzy A systemy (2) , to ten system jest równoważny systemowi (3) , składający się z dwóch pierwszych równań układu (2) (Do M2′ znajduje się w dwóch pierwszych wierszach macierzy A).

(3)

Od podstawowego drobnego https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" szerokość="153" wysokość="51"> (4)

W tym układzie istnieją dwie wolne niewiadome ( x2 I x4 ). Dlatego FSR systemy (4) składa się z dwóch rozwiązań. Aby je znaleźć, przypisujemy wolne niewiadome w (4) najpierw wartości x2=1 , x4=0 , i wtedy - x2=0 , x4=1 .

Na x2=1 , x4=0 otrzymujemy:

.

Ten system już to zrobił Jedyną rzeczą rozwiązanie (można je znaleźć korzystając z reguły Cramera lub dowolnej innej metody). Odejmując pierwsze od drugiego równania, otrzymujemy:

Jej rozwiązaniem będzie x1= -1 , x3=0 . Biorąc pod uwagę wartości x2 I x4 , które daliśmy, otrzymujemy jako pierwsi rozwiązanie podstawowe systemy (2) : .

Teraz wierzymy (4) x2=0 , x4=1 . Otrzymujemy:

.

Rozwiązujemy ten układ korzystając z twierdzenia Cramera:

.

Otrzymujemy drugie rozwiązanie podstawowe układu (2) : .

Rozwiązania β1 , β2 i makijaż FSR systemy (2) . Wtedy będzie jego ogólne rozwiązanie

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Tutaj C1 , C2 – dowolne stałe.

4. Znajdźmy takiego prywatny rozwiązanie system heterogeniczny(1) . Jak w ust 3 zamiast systemu (1) Rozważmy równoważny system (5) , składający się z dwóch pierwszych równań układu (1) .

(5)

Przesuwamy wolne niewiadome na prawą stronę x2 I x4.

(6)

Dajmy wolne niewiadome x2 I x4 dowolne wartości, np. x2=2 , x4=1 i włóż je (6) . Weźmy system

Układ ten ma unikalne rozwiązanie (ponieważ jego wyznacznik M2′0). Rozwiązując to (wykorzystując twierdzenie Cramera lub metodę Gaussa) otrzymujemy x1=3 , x3=3 . Biorąc pod uwagę wartości wolnych niewiadomych x2 I x4 , otrzymujemy szczególne rozwiązanie układu niejednorodnego(1)α1=(3,2,3,1).

5. Teraz pozostaje tylko to zapisać rozwiązanie ogólne α układu niejednorodnego(1) : jest równa sumie rozwiązanie prywatne ten system i ogólne rozwiązanie jego zredukowanego układu jednorodnego (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(-С1+5С2, С1, 4С2, С2).

To znaczy: (7)

6. Badanie. Aby sprawdzić, czy poprawnie rozwiązałeś system (1) , potrzebujemy ogólnego rozwiązania (7) zastąpić w (1) . Jeśli każde równanie zamienia się w tożsamość ( C1 I C2 muszą zostać zniszczone), wówczas rozwiązanie zostanie znalezione prawidłowo.

Zastąpimy (7) na przykład tylko ostatnie równanie układu (1) (X1 + X2 + X3 ‑9 X4 =‑1) .

Otrzymujemy: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Gdzie –1=–1. Mamy tożsamość. Robimy to ze wszystkimi innymi równaniami układu (1) .

Komentarz. Sprawdzanie jest zazwyczaj dość kłopotliwe. Można zalecić następującą „częściową kontrolę”: w ogólnym rozwiązaniu układu (1) przypisz pewne wartości dowolnym stałym i podstaw wynikowe rozwiązanie częściowe tylko do odrzuconych równań (tj. do równań z (1) , które nie zostały uwzględnione (5) ). Jeśli uda się ustalić tożsamość bardziej prawdopodobne, rozwiązanie systemowe (1) znalezione poprawnie (jednak takie sprawdzenie nie daje pełnej gwarancji poprawności!). Na przykład, jeśli w (7) umieścić C2=- 1 , C1=1, wtedy otrzymujemy: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Podstawiając do ostatniego równania układu (1) mamy: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , tj. –1=–1. Mamy tożsamość.

Przykład 2. Znajdź rozwiązanie ogólne układu równań liniowych (1) , wyrażając podstawowe niewiadome w postaci wolnych.

Rozwiązanie. Jak w Przykład 1, układaj macierze A i https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif"width="156" height="50"> tych macierzy. Teraz zostawiamy tylko te równania układu (1) , których współczynniki zawarte są w tym mollu podstawowym (czyli mamy dwa pierwsze równania) i rozważamy złożony z nich układ, równoważny układowi (1).

Przeniesiemy wolne niewiadome na prawą stronę tych równań.

system (9) Rozwiązujemy metodą Gaussa, uznając prawe strony za wyrazy swobodne.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" szerokość="202 wysokość=106" wysokość="106">

Opcja 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" szerokość="192" wysokość="106 src=">

Opcja 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" szerokość="172" wysokość="80">

Opcja 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" szerokość="179 wysokość=106" wysokość="106">

Opcja 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" szerokość="195" wysokość="106">