Wszystkie równania płaszczyzny, które zostaną omówione w kolejnych akapitach, można otrzymać z ogólnego równania płaszczyzny, a także sprowadzić do ogólnego równania płaszczyzny. Zatem, gdy mówią o równaniu płaszczyzny, mają na myśli ogólne równanie płaszczyzny, chyba że zaznaczono inaczej.

Równanie płaszczyzny w odcinkach.

Zobacz równanie płaszczyzny , gdzie a, b i c są niezerowymi liczbami rzeczywistymi równanie płaszczyzny w odcinkach.

Nazwa ta nie jest przypadkowa. Wartości bezwzględne liczb a, b i c są równe długościom odcinków, które płaszczyzna odcina odpowiednio na osiach współrzędnych Ox, Oy i Oz, licząc od początku. Znak liczb a, b i c wskazuje, w jakim kierunku (dodatnim lub ujemnym) należy wykreślić segmenty na osiach współrzędnych.

Przykładowo skonstruujmy płaszczyznę w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz, zdefiniowanym przez równanie płaszczyzny w odcinkach . Aby to zrobić, zaznacz punkt oddalony o 5 jednostek od początku układu współrzędnych w kierunku ujemnym osi odciętych, 4 jednostki w kierunku ujemnym osi rzędnych i 4 jednostki w kierunku dodatnim osi zastosowania. Pozostaje tylko połączyć te punkty liniami prostymi. Płaszczyzną powstałego trójkąta jest płaszczyzna odpowiadająca równaniu płaszczyzny w odcinkach formy .

Aby uzyskać pełniejsze informacje, zapoznaj się z artykułem Równanie płaszczyzny w odcinkach, pokazuje on redukcję równania płaszczyzny w odcinkach do ogólnego równania płaszczyzny, znajdziesz tam również szczegółowe rozwiązania typowych przykładów i problemów.

Równanie płaszczyzny normalnej.

Nazywa się ogólne równanie płaskie postaci równanie płaszczyzny normalnej, Jeśli równy jeden, tzn. , I .

Często można zobaczyć, że równanie normalne płaszczyzny jest zapisane jako . Oto cosinusy kierunku wektora normalnego danej płaszczyzny o jednostkowej długości, to znaczy, a p jest liczbą nieujemną równą odległości od początku do płaszczyzny.

Równanie normalne płaszczyzny w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz definiuje płaszczyznę oddaloną od początku o odległość p w kierunku dodatnim wektora normalnego tej płaszczyzny . Jeśli p=0, to płaszczyzna przechodzi przez początek układu współrzędnych.

Podajmy przykład równania płaszczyzny normalnej.

Niech płaszczyzna będzie określona w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz za pomocą ogólnego równania płaszczyzny postaci . To ogólne równanie płaszczyzny jest równaniem normalnym płaszczyzny. Rzeczywiście, wektor normalny tej płaszczyzny to ma długość równą jedności, ponieważ .

Równanie płaszczyzny w postaci normalnej pozwala znaleźć odległość punktu od płaszczyzny.

Zalecamy bardziej szczegółowe zrozumienie tego typu równań płaskich, przyjrzenie się szczegółowym rozwiązaniom typowych przykładów i problemów, a także nauczenie się, jak sprowadzić ogólne równanie płaskie do postaci normalnej. Możesz to zrobić, odwołując się do artykułu.

Bibliografia.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometria. Podręcznik dla klas 10-11 szkoły średniej.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Wyższa matematyka. Tom pierwszy: Elementy algebry liniowej i geometrii analitycznej.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometria analityczna.

WYKŁAD 6-7. Elementy geometrii analitycznej.

Powierzchnie i ich równania.

Przykład 1.

Kula .

Przykład 2.

F(x,y,z)=0(*),

Ten - równanie powierzchni

Przykłady:

x 2 + y 2 – z 2 = 0 (stożek)

Samolot.

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt prostopadle do zadanego wektora.

Rozważmy samolot w przestrzeni. Niech M 0 (x 0, y 0, z 0) będzie danym punktem płaszczyzny P oraz wektorem prostopadłym do płaszczyzny ( wektor normalny samolot).

(1) – równanie wektorowe płaszczyzny.

W formie współrzędnych:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0 (2)

Otrzymaliśmy równanie płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt.

Ogólne równanie płaszczyzny.

Otwórzmy nawiasy w (2): Ax + By + Cz + (-Ax 0 – By 0 – Cz 0) = 0 lub

Topór + By + Cz + D = 0 (3)

Wynikowe równanie płaszczyzny liniowy, tj. Równanie pierwszego stopnia ze względu na współrzędne x, y, z. Dlatego samolot jest powierzchnia pierwszego rzędu .

Oświadczenie: Każde równanie liniowe względem x, y, z definiuje płaszczyznę.

Dowolny samolot m.b. jest dane równaniem (3), które nazywa się ogólne równanie płaszczyzny.

Szczególne przypadki równania ogólnego.

a) D=0: Ax + By + Cz = 0. Ponieważ współrzędne punktu O(0, 0, 0) spełniają to równanie, wówczas określona przez nie płaszczyzna przechodzi przez początek układu współrzędnych.

b) С=0: Ax + By + D = 0. W tym przypadku wektor normalny płaszczyzny , zatem płaszczyzna określona równaniem jest równoległa do osi OZ.

c) C=D=0: Ax + By = 0. Płaszczyzna jest równoległa do osi OZ (ponieważ C=0) i przechodzi przez początek współrzędnych (ponieważ D=0). Oznacza to, że przechodzi przez oś OZ.

d) B=C=0: Ax + D = 0 lub . Wektor, tj. I . W rezultacie płaszczyzna jest równoległa do osi OY i OZ, tj. jest równoległa do płaszczyzny YOZ i przechodzi przez punkt .

Rozważcie sami przypadki: B=0, B=D=0, A=0, A=D=0, A=C=0, A=B=0/

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy dane punkty.

Ponieważ wszystkie cztery punkty należą do płaszczyzny, wówczas wektory te są współpłaszczyznowe, tj. ich iloczyn mieszany jest równy zero:

Otrzymaliśmy równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty w formie wektorowej.

W formie współrzędnych:

(7)

Jeśli rozwiniemy wyznacznik, otrzymamy równanie płaszczyzny w postaci:

Topór + By + Cz + D = 0.

Przykład. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty M 1 (1,-1,0);

M 2 (-2,3,1) i M 3 (0,0,1).

, (x - 1) 3 - (y + 1)(-2) + z 1 = 0;

3x + 2y + z – 1 = 0.

Równanie płaszczyzny w odcinkach

Podajmy ogólne równanie płaszczyzny: Ax + By + Cz + D = 0 i D ≠ 0, tj. płaszczyzna nie przechodzi przez początek układu współrzędnych. Podziel obie strony przez –D: i oznaczają: ; ; . Następnie

dostał równanie płaszczyzny w odcinkach .

gdzie a, b, c są wartościami odcinków odciętych przez płaszczyznę na osiach współrzędnych.

Przykład 1. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty A(3, 0, 0);

B(0, 2, 0) i C(0, 0, -3).

a=3; b=2; c=-3, czyli 2x + 3y - 2z – 6 = 0.

Przykład 2. Znajdź wartości odcinków odciętych przez płaszczyznę

4x – y – 3z – 12 = 0 na osiach współrzędnych.

4x – y – 3z = 12 a=3, b=-12, c=-4.

Równanie płaszczyzny normalnej.

Niech będzie dana pewna płaszczyzna Q. Z początku współrzędnych narysuj prostopadłą OP do płaszczyzny. Niech |OP|=p i wektor : . Weźmy bieżący punkt M(x, y, z) płaszczyzny i obliczmy iloczyn skalarny wektorów i : .

Jeśli rzutujemy punkt M na kierunek , to dotrzemy do punktu P.T.O., otrzymamy równanie

(9).

Wyznaczanie linii w przestrzeni.

Linię L w przestrzeni można zdefiniować jako przecięcie dwóch powierzchni. Niech punkt M(x, y, z) leżący na prostej L należy zarówno do powierzchni P1, jak i do powierzchni P2. Wówczas współrzędne tego punktu muszą spełniać równania obu powierzchni. Dlatego pod równanie prostej L w przestrzeni zrozumieć zbiór dwóch równań, z których każde jest równaniem odpowiedniej powierzchni:

Linia L zawiera te i tylko te punkty, których współrzędne spełniają oba równania z (*). Później przyjrzymy się innym sposobom definiowania linii w przestrzeni.

Garść samolotów.

Banda samolotów– zbiór wszystkich płaszczyzn przechodzących przez daną linię prostą – oś belki.

Aby zdefiniować wiązkę płaszczyzn wystarczy określić jej oś. Niech równanie tej prostej będzie podane w postaci ogólnej:

.

Napisz równanie belki- oznacza ułożenie równania, z którego pod dodatkowym warunkiem można otrzymać równanie dowolnej płaszczyzny belki, z wyjątkiem b.m. jeden. Pomnóżmy równanie II przez l i dodajmy do równania I:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + re 1 + l(A 2 x + B 2 y + C 2 z + re 2) = 0 (1) lub

(A 1 + lA 2)x + (B 1 + lB 2)y + (C 1 + lC 2)z + (D 1 + lD 2) = 0 (2).

l – parametr – liczba, która może przyjmować wartości rzeczywiste. Dla dowolnej wybranej wartości l równania (1) i (2) mają charakter liniowy, tj. są to równania pewnej płaszczyzny.

1. Pokażemy ciże ta płaszczyzna przechodzi przez oś belki L. Wybierz dowolny punkt M 0 (x 0, y 0, z 0) L. W rezultacie M 0 P 1 i M 0 P 2. Oznacza:

W konsekwencji płaszczyzna opisana równaniem (1) lub (2) należy do belki.

2. Można też udowodnić coś przeciwnego: dowolna płaszczyzna przechodząca przez prostą L jest opisana równaniem (1) przy odpowiednim doborze parametru l.

Przykład 1. Zapisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez linię przecięcia płaszczyzn x + y + 5z – 1 = 0 i 2x + 3y – z + 2 = 0 i przez punkt M(3, 2, 1).

Zapisujemy równanie belki: x + y + 5z – 1 + l(2x + 3y – z + 2) = 0. Aby znaleźć l, bierzemy pod uwagę, że M R:

Dowolną powierzchnię w przestrzeni można uznać za zbiór punktów, który ma jakąś właściwość wspólną dla wszystkich punktów.

Przykład 1.

Kula – zbiór punktów w jednakowej odległości od danego punktu C (środek). C(x 0, y 0, z 0). Z definicji |CM|=R lub lub . Równanie to obowiązuje dla wszystkich punktów kuli i tylko dla nich. Jeśli x 0 = 0, y 0 = 0, z 0 = 0, to .

W podobny sposób można utworzyć równanie dla dowolnej powierzchni, jeśli wybrany zostanie układ współrzędnych.

Przykład 2. x=0 – równanie płaszczyzny YOZ.

Wyrażając geometryczną definicję powierzchni za pomocą współrzędnych jej aktualnego punktu i zbierając wszystkie wyrazy w jedną część, otrzymujemy równość postaci

F(x,y,z)=0(*),

Ten - równanie powierzchni , jeśli współrzędne wszystkich punktów na powierzchni spełniają tę równość, ale współrzędne punktów nie leżących na powierzchni nie.

Zatem każda powierzchnia w wybranym układzie współrzędnych ma swoje własne równanie. Jednak nie każde równanie postaci (*) odpowiada powierzchni w rozumieniu definicji.

Przykłady:

2x – y + z – 3 = 0 (płaszczyzna)

x 2 + y 2 – z 2 = 0 (stożek)

x 2 + y 2 +3 = 0 – współrzędne żadnego punktu nie spełniają.

x 2 + y 2 + z 2 =0 – jedyny punkt (0,0,0).

x 2 = 3y 2 = 0 – linia prosta (oś OZ).

Metoda graficzna. Płaszczyzna współrzędnych (x;y)

Równania z parametrem powodują poważne trudności logiczne. Każde takie równanie jest zasadniczo krótką wersją rodziny równań. Oczywiste jest, że nie da się zapisać każdego równania z nieskończonej rodziny, niemniej jednak każde z nich należy rozwiązać. Najłatwiej to zrobić, używając graficznej reprezentacji zależności zmiennej od parametru.

Na płaszczyźnie funkcja definiuje rodzinę krzywych w zależności od parametru. Będzie nas interesować, jaką transformację płaszczyzny można zastosować, aby przejść do innych krzywych rodziny (patrz , , , , , , ).

Transfer równoległy

Przykład. Dla każdej wartości parametru określ liczbę rozwiązań równania.

Rozwiązanie. Zbudujmy wykres funkcji.

Rozważmy. Jest to linia prosta równoległa do osi OX.

Odpowiedź. Jeśli, to nie ma rozwiązań;

jeśli, to 3 rozwiązania;

jeśli, to 2 rozwiązania;

jeśli, 4 rozwiązania.

Zakręt

Należy od razu zauważyć, że wybór rodziny krzywych nie jest monotonny (w przeciwieństwie do samych problemów), a raczej jest taki sam: we wszystkich zadaniach - linie proste. Ponadto środek obrotu należy do linii prostej.

Przykład. Dla jakich wartości parametru równanie ma unikalne rozwiązanie?

Rozwiązanie. Rozważmy funkcję i. Wykresem drugiej funkcji jest półkole ze środkiem w punkcie o współrzędnych i promieniu =1 (rys. 2).

Łuk AB.

Wszystkie półproste przechodzące pomiędzy OA i OB przecinają się w jednym punkcie, a OB i OM (styczna) również przecinają się w jednym punkcie. Współczynniki kątowe OA i OB są odpowiednio równe. Nachylenie stycznej jest równe. Łatwo znaleźć w systemie

Zatem rodziny proste mają tylko jeden punkt wspólny z łukiem w punkcie.

Odpowiedź. .

Przykład. W jakich warunkach równanie ma rozwiązanie?

Rozwiązanie. Rozważmy funkcję. Badając go pod kątem monotoniczności, dowiadujemy się, że rośnie on w interwale i maleje w miarę upływu czasu. Punkt - jest punktem maksymalnym.

Funkcja to rodzina prostych przechodzących przez punkt. Spójrzmy na rysunek 2. Wykresem funkcji jest łuk AB. Linie proste znajdujące się pomiędzy prostymi OA i OB spełniają warunki zadania. Współczynnik nachylenia prostej OA jest liczbą, a OB wynosi .

Odpowiedź. Gdy równanie ma 1 rozwiązanie;

dla innych wartości parametru nie ma rozwiązań.

Homotelia. Kompresja do prostej

Przykład. Znajdź wszystkie wartości parametru, dla których równanie ma dokładnie 8 rozwiązań.

Rozwiązanie. Mamy. Rozważmy funkcję. Pierwsza z nich określa rodzinę półokręgów ze środkiem w punkcie o współrzędnych, druga rodzinę prostych równoległych do osi odciętych.

Liczba pierwiastków będzie odpowiadać liczbie 8, to znaczy, gdy promień półkola będzie coraz większy. Zauważ, że istnieje.

Odpowiedź. Lub.

Metoda graficzna. Płaszczyzna współrzędnych (x;a)

Ogólnie równania, zawierające parametr, nie mają żadnego jasnego, metodycznie zaprojektowanego systemu rozwiązań. Trzeba szukać pewnych wartości parametrów dotykiem, przeszukując, rozwiązując dużą liczbę równań pośrednich. Takie podejście nie zawsze zapewnia sukces w znalezieniu wszystkich wartości parametrów, dla których równanie nie ma rozwiązań lub ma jedno, dwa lub więcej rozwiązań. Często niektóre wartości parametrów zostają utracone lub pojawiają się dodatkowe wartości. Aby to zrobić, konieczne jest przeprowadzenie specjalnego badania, które może być dość trudne.

Rozważmy metodę, która upraszcza pracę rozwiązywania równań z parametrem. Metoda jest następująca

1. Z równania ze zmienną X i parametr A Wyraźmy parametr jako funkcję X: .

2. W płaszczyźnie współrzędnych X O A zbuduj wykres funkcji.

3. Rozważ linie proste i wybierz te odstępy osi O A, na którym linie te spełniają następujące warunki: a) nie przecinają wykresu funkcji, b) przecinają wykres funkcji w jednym punkcie, c) w dwóch punktach, d) w trzech punktach, i tak dalej.

4. Jeśli zadaniem jest znalezienie wartości X, następnie wyrażamy X Poprzez A dla każdego ze znalezionych przedziałów wartości A osobno.

Pogląd parametru jako zmiennej równej znajduje odzwierciedlenie w metodach graficznych. W ten sposób pojawia się płaszczyzna współrzędnych. Wydawałoby się, że taki nieistotny szczegół, jak odrzucenie tradycyjnego oznaczenia płaszczyzny współrzędnych literami X I y definiuje jedną z najskuteczniejszych metod rozwiązywania problemów z parametrami.

Opisana metoda jest bardzo przejrzysta. Ponadto znajdują w nim zastosowanie prawie wszystkie podstawowe pojęcia kursu algebry i zasady analizy. Dotyczy to całego zestawu wiedzy związanej z badaniem funkcji: stosowania pochodnej do wyznaczania ekstremów, znajdowania granicy funkcji, asymptot itp.. d. (patrz , , ).

Przykład. Przy jakich wartościach parametrów czy równanie ma dwa pierwiastki?

Rozwiązanie. Przejdźmy do równoważnego systemu

Wykres pokazuje, że równanie ma 2 pierwiastki.

Odpowiedź. Gdy równanie ma dwa pierwiastki.

Przykład. Znajdź zbiór wszystkich liczb, dla których równanie ma tylko dwa różne pierwiastki.

Rozwiązanie. Zapiszmy to równanie w następującej postaci:

Teraz ważne jest, aby tego nie przegapić i - pierwiastki pierwotnego równania tylko pod warunkiem. Zwróćmy uwagę na fakt, że wygodniej jest skonstruować wykres na płaszczyźnie współrzędnych. Na rysunku 5 pożądany wykres jest sumą linii ciągłych. Tutaj odpowiedzią jest „czytanie” pionowymi liniami.

Odpowiedź. W, lub, lub.

Aby otrzymać ogólne równanie płaszczyzny, przeanalizujmy płaszczyznę przechodzącą przez dany punkt.

Niech będą trzy osie współrzędnych znane nam już w przestrzeni - Wół, Oj I Oz. Przytrzymaj kartkę papieru tak, aby pozostała płaska. Płaszczyzną będzie sam arkusz i jego kontynuacja we wszystkich kierunkach.

Pozwalać P dowolną płaszczyznę w przestrzeni. Każdy wektor prostopadły do ​​niego nazywa się wektor normalny do tego samolotu. Oczywiście mówimy o wektorze niezerowym.

Jeśli znany jest jakikolwiek punkt na płaszczyźnie P i jakiś wektor normalny, wówczas przez te dwa warunki płaszczyzna w przestrzeni jest całkowicie zdefiniowana(przez dany punkt można poprowadzić pojedynczą płaszczyznę prostopadłą do zadanego wektora). Ogólne równanie płaszczyzny będzie wyglądało następująco:

Zatem warunki definiujące równanie płaszczyzny to: Aby zdobyć siebie równanie płaszczyzny, mając powyższą formę, wsiądź do samolotu P arbitralny punkt M ze zmiennymi współrzędnymi X, y, z. Punkt ten należy do płaszczyzny tylko wtedy, gdy wektor prostopadle do wektora(ryc. 1). W tym celu, zgodnie z warunkiem prostopadłości wektorów, konieczne i wystarczające jest, aby iloczyn skalarny tych wektorów był równy zeru, czyli

Wektor jest określony przez warunek. Współrzędne wektora znajdujemy za pomocą wzoru :

.

Teraz korzystając ze wzoru na iloczyn skalarny wektorów , wyrażamy iloczyn skalarny w postaci współrzędnych:

Od tego momentu M(x; y; z) jest wybierany dowolnie na płaszczyźnie, to ostatnie równanie spełniają współrzędne dowolnego punktu leżącego na płaszczyźnie P. Za punkt N, a nie leżące na danej płaszczyźnie, tj. równość (1) zostaje naruszona.

Przykład 1. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt i prostopadłej do wektora.

Rozwiązanie. Skorzystajmy ze wzoru (1) i spójrzmy na to jeszcze raz:

W tym wzorze liczby A , B I C współrzędne wektorów i liczby X0 , y0 I z0 - współrzędne punktu.

Obliczenia są bardzo proste: podstawiamy te liczby do wzoru i otrzymujemy

Mnożymy wszystko, co należy pomnożyć i dodajemy tylko liczby (które nie mają liter). Wynik:

.

Wymagane równanie płaszczyzny w tym przykładzie okazało się wyrażone ogólnym równaniem pierwszego stopnia w odniesieniu do zmiennych współrzędnych x, y, z dowolny punkt płaszczyzny.

Zatem równanie postaci

zwany ogólne równanie płaszczyzny .

Przykład 2. Skonstruuj w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych płaszczyznę określoną równaniem .

Rozwiązanie. Aby zbudować płaszczyznę, trzeba i wystarczy znać trzy dowolne jej punkty, które nie leżą na tej samej prostej, np. punkty przecięcia płaszczyzny z osiami współrzędnych.

Jak znaleźć te punkty? Aby znaleźć punkt przecięcia z osią Oz, musisz zastąpić zera X i Y w równaniu podanym w opisie problemu: X = y= 0 . Dlatego otrzymujemy z= 6. Zatem dana płaszczyzna przecina oś Oz w tym punkcie A(0; 0; 6) .

W ten sam sposób znajdujemy punkt przecięcia płaszczyzny z osią Oj. Na X = z= 0 otrzymujemy y= −3, czyli punkt B(0; −3; 0) .

I wreszcie znajdujemy punkt przecięcia naszej płaszczyzny z osią Wół. Na y = z= 0 otrzymujemy X= 2, czyli punkt C(2; 0; 0) . Na podstawie trzech punktów uzyskanych w naszym rozwiązaniu A(0; 0; 6) , B(0; -3; 0) i C(2; 0; 0) skonstruuj daną płaszczyznę.

Rozważmy teraz szczególne przypadki ogólnego równania płaszczyzny. Są to przypadki, gdy pewne współczynniki równania (2) stają się zerowe.

1. Kiedy D= 0 równanie definiuje płaszczyznę przechodzącą przez początek, ponieważ współrzędne punktu 0 (0; 0; 0) spełniają to równanie.

2. Kiedy A= 0 równanie definiuje płaszczyznę równoległą do osi Wół, ponieważ wektor normalny tej płaszczyzny jest prostopadły do ​​osi Wół(jego rzut na oś Wół równe zeru). Podobnie kiedy B= 0 samolot równolegle do osi Oj, i kiedy C= 0 samolot równolegle do osi Oz.

3. Kiedy A=D= Równanie 0 definiuje płaszczyznę przechodzącą przez oś Wół, ponieważ jest równoległy do ​​osi Wół (A=D= 0). Podobnie płaszczyzna przechodzi przez oś Oj i płaszczyzna przechodząca przez oś Oz.

4. Kiedy A=B= Równanie 0 definiuje płaszczyznę równoległą do płaszczyzny współrzędnych xOj, ponieważ jest równoległy do ​​osi Wół (A= 0) i Oj (B= 0). Podobnie płaszczyzna jest równoległa do płaszczyzny yOz, a płaszczyzna jest płaszczyzną xOz.

5. Kiedy A=B=D= 0 równanie (lub z = 0) definiuje płaszczyznę współrzędnych xOj, ponieważ jest równoległy do ​​płaszczyzny xOj (A=B= 0) i przechodzi przez początek ( D= 0). Podobnie, Równ. y = 0 w przestrzeni definiuje płaszczyznę współrzędnych xOz i równanie x = 0 - płaszczyzna współrzędnych yOz.

Przykład 3. Utwórz równanie płaszczyzny P, przechodząc przez oś Oj i okres.

Rozwiązanie. Zatem samolot przechodzi przez oś Oj. Dlatego w jej równaniu y= 0 i to równanie ma postać . Aby wyznaczyć współczynniki A I C skorzystajmy z faktu, że punkt należy do płaszczyzny P .

Dlatego wśród jego współrzędnych znajdują się takie, które można podstawić do równania płaszczyzny, które już wyprowadziliśmy (). Spójrzmy jeszcze raz na współrzędne punktu:

M0 (2; −4; 3) .

Pomiędzy nimi X = 2 , z= 3 . Podstawiamy je do równania ogólnego i otrzymujemy równanie dla naszego konkretnego przypadku:

2A + 3C = 0 .

Zostaw 2 A po lewej stronie równania przesuń się o 3 C w prawą stronę i mamy

A = −1,5C .

Zastępowanie znalezionej wartości A do równania, otrzymujemy

Lub .

Jest to równanie wymagane w przykładowym warunku.

Rozwiąż samodzielnie zadanie równania płaszczyzny, a następnie spójrz na rozwiązanie

Przykład 4. Zdefiniuj płaszczyznę (lub płaszczyzny, jeśli jest więcej niż jedna) w odniesieniu do osi współrzędnych lub płaszczyzn współrzędnych, jeśli płaszczyzna(y) jest dana równaniem.

Rozwiązania typowych problemów pojawiających się podczas testów znajdują się w podręczniku „Zagadnienia na płaszczyźnie: równoległość, prostopadłość, przecięcie trzech płaszczyzn w jednym punkcie”.

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty

Jak już wspomniano, warunkiem koniecznym i wystarczającym zbudowania płaszczyzny, oprócz jednego punktu i wektora normalnego, są także trzy punkty, które nie leżą na tej samej prostej.

Niech zostaną dane trzy różne punkty , i , nie leżące na tej samej prostej. Ponieważ wskazane trzy punkty nie leżą na tej samej prostej, wektory nie są współliniowe, a zatem dowolny punkt na płaszczyźnie leży w tej samej płaszczyźnie z punktami, i wtedy i tylko wtedy, gdy wektory , i współpłaszczyznowe, tj. wtedy i tylko kiedy mieszany produkt tych wektorów równa się zeru.

Używając wyrażenia na iloczyn mieszany we współrzędnych, otrzymujemy równanie płaszczyzny

(3)

Po ujawnieniu wyznacznika równanie to staje się równaniem postaci (2), tj. ogólne równanie płaszczyzny.

Przykład 5. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy dane punkty, które nie leżą na tej samej prostej:

i określić szczególny przypadek ogólnego równania linii, jeśli taki występuje.

Rozwiązanie. Zgodnie ze wzorem (3) mamy:

Równanie płaszczyzny normalnej. Odległość punktu od płaszczyzny

Równanie normalne płaszczyzny to jej równanie zapisane w postaci

Równanie każdego stopnia pierwszego stopnia względem współrzędnych x, y, z

Topór + By + Cz +D = 0 (3.1)

definiuje płaszczyznę i odwrotnie: dowolną płaszczyznę można przedstawić za pomocą równania (3.1), które nazywa się równanie płaszczyzny.

Wektor N Nazywa się (A, B, C) prostopadłym do płaszczyzny wektor normalny samolot. W równaniu (3.1) współczynniki A, B, C nie są jednocześnie równe 0.

Szczególne przypadki równania (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - płaszczyzna przechodzi przez początek układu współrzędnych.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - płaszczyzna jest równoległa do osi Oz.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - płaszczyzna przechodzi przez oś Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - płaszczyzna jest równoległa do płaszczyzny Oyz.

Równania płaszczyzn współrzędnych: x = 0, y = 0, z = 0.

Można określić linię prostą w przestrzeni:

1) jako linia przecięcia dwóch płaszczyzn, tj. układ równań:

ZA 1 x + b 1 y + do 1 z + re 1 = 0, ZA 2 x + b 2 y + do 2 z + re 2 = 0; (3.2)

2) przez jego dwa punkty M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), to przechodząca przez nie linia prosta jest dana równaniami:

= ; (3.3)

3) należący do niego punkt M 1 (x 1, y 1, z 1) oraz wektor A(m, n, p), współliniowy z nim. Następnie linię prostą wyznaczają równania:

. (3.4)

Równania (3.4) są wywoływane równania kanoniczne prostej.

Wektor A zwany wektor kierunku prosty.

Parametryczne otrzymujemy przyrównując każdą z zależności (3.4) do parametru t:

x = x 1 + mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + rt. (3,5)

Układ rozwiązywania (3.2) jako układ równań liniowych z niewiadomymi X I y, dochodzimy do równań prostej in projekcje lub dane równania prostej:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

Z równań (3.6) możemy przejść do równań kanonicznych, znajdując z z każdego równania i przyrównując otrzymane wartości:

.

Z równań ogólnych (3.2) możemy przejść do równań kanonicznych w inny sposób, jeśli znajdziemy dowolny punkt tej prostej i jej linii kierującej N= [N 1 , N 2], gdzie N 1 (A 1, B 1, C 1) i N 2 (A 2 , B 2 , C 2 ) - wektory normalne danych płaszczyzn. Jeśli jeden z mianowników m, rz Lub R w równaniach (3.4) okazuje się równy zero, wówczas licznik odpowiedniego ułamka należy ustawić na zero, tj. system

jest równoważny systemowi ; taka linia prosta jest prostopadła do osi Wołu.

System jest równoważne systemowi x = x 1, y = y 1; linia prosta jest równoległa do osi Oz.

Przykład 1.15. Napisz równanie płaszczyzny, wiedząc, że punkt A(1,-1,3) jest podstawą prostopadłej poprowadzonej od początku układu współrzędnych do tej płaszczyzny.

Rozwiązanie. Zgodnie z warunkami problemu, wektor OA(1,-1,3) jest wektorem normalnym płaszczyzny, wówczas jego równanie można zapisać jako
x-y+3z+D=0. Podstawiając współrzędne punktu A(1,-1,3) należącego do płaszczyzny, otrzymujemy D: 1-(-1)+3×3+D = 0, D = -11. Zatem x-y+3z-11=0.

Przykład 1.16. Napisz równanie na płaszczyznę przechodzącą przez oś Oz i tworzącą z płaszczyzną kąt 60° 2x+y-z-7=0.

Rozwiązanie. Płaszczyzna przechodząca przez oś Oz jest dana równaniem Ax+By=0, gdzie A i B nie znikają jednocześnie. Niech B nie
równa się 0, A/Bx+y=0. Skorzystaj ze wzoru cosinusa na kąt między dwiema płaszczyznami

.

Rozwiązując równanie kwadratowe 3m 2 + 8m - 3 = 0, znajdujemy jego pierwiastki
m 1 = 1/3, m 2 = -3, skąd otrzymujemy dwie płaszczyzny 1/3x+y = 0 i -3x+y = 0.

Przykład 1.17. Ułóż równania kanoniczne prostej:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Rozwiązanie. Równania kanoniczne prostej mają postać:

Gdzie m, n, s- współrzędne wektora kierującego linii prostej, x 1 , y 1 , z 1- współrzędne dowolnego punktu należącego do linii. Linię prostą definiuje się jako linię przecięcia dwóch płaszczyzn. Aby znaleźć punkt należący do prostej, ustala się jedną ze współrzędnych (najłatwiej jest ustawić np. x=0) i powstały układ rozwiązuje się jako układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Zatem niech x=0, następnie y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, skąd y=-1, z=1. Znaleziono współrzędne punktu M(x 1, y 1, z 1) należącego do tej prostej: M (0,-1,1). Znając wektory normalne pierwotnych płaszczyzn, łatwo jest znaleźć wektor kierunkowy linii prostej N 1 (5,1,1) i N 2 (2,3,-2). Następnie

Równania kanoniczne prostej mają postać: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

Przykład 1.18. W belce wyznaczonej przez płaszczyzny 2x-y+5z-3=0 i x+y+2z+1=0 znajdź dwie prostopadłe płaszczyzny, z których jedna przechodzi przez punkt M(1,0,1).

Rozwiązanie. Równanie belki wyznaczonej przez te płaszczyzny ma postać u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0, gdzie u i v nie znikają jednocześnie. Przepiszmy równanie belki w następujący sposób:

(2u +v)x + (- u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0.

Aby wybrać płaszczyznę z belki przechodzącej przez punkt M, podstawiamy współrzędne punktu M do równania belki. Otrzymujemy:

(2u+v)×1 + (-u + v) ×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0 lub v = - u.

Następnie znajdujemy równanie płaszczyzny zawierającej M, podstawiając v = - u do równania belki:

u(2x-y +5z - 3) - u (x + y +2z +1) = 0.

Ponieważ ty ¹0 (w przeciwnym razie v=0, co jest sprzeczne z definicją belki), wówczas mamy równanie płaszczyzny x-2y+3z-4=0. Druga płaszczyzna należąca do belki musi być do niej prostopadła. Zapiszmy warunek ortogonalności płaszczyzn:

(2u+ v) ×1 + (v - u) ×(-2) + (5u +2v)×3 = 0 lub v = - 19/5u.

Oznacza to, że równanie drugiej płaszczyzny ma postać:

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 lub 9x +24y + 13z + 34 = 0.