Lekcja „Twierdzenia o kątach utworzonych przez dwie równoległe linie i poprzeczną”. Materiał z matematyki „twierdzenia o kątach utworzonych przez akordy, styczne i sieczne”

Lekcja wideo na temat twierdzeń o kątach między dwiema równoległymi prostymi i ich przekrojami zawiera materiał przedstawiający cechy strukturalne twierdzenia, przykłady tworzenia i dowodu twierdzeń odwrotnych oraz wnioski z nich. Celem tej lekcji wideo jest pogłębienie pojęcia twierdzenia, rozłożenie go na składowe, rozważenie koncepcji twierdzenia odwrotnego, rozwinięcie umiejętności konstruowania twierdzenia odwrotnego do danego twierdzenia, konsekwencji z twierdzenia oraz rozwinąć umiejętność udowadniania twierdzeń.

Forma lekcji wideo pozwala z powodzeniem położyć nacisk podczas demonstracji materiału, ułatwiając zrozumienie i zapamiętanie materiału. Temat tej lekcji wideo jest złożony i ważny, dlatego korzystanie z pomocy wizualnych jest nie tylko wskazane, ale także pożądane. Daje szansę na podniesienie jakości nauczania. Animowane efekty wzbogacają prezentację materiał edukacyjny, przybliżają proces uczenia się do tradycyjnego, a wykorzystanie wideo uwalnia nauczyciela do pogłębienia pracy indywidualnej.

Lekcja wideo rozpoczyna się od ogłoszenia jej tematu. Na początku lekcji rozważany jest rozkład twierdzenia na jego składowe w celu lepszego zrozumienia jego struktury i możliwości dalszych badań. Na ekranie pokazany jest diagram pokazujący, że twierdzenie składa się z warunków i wniosków. Pojęcie warunku i wniosku opisano na przykładzie znaku prostych równoległych, zwracając uwagę, że część twierdzenia jest warunkiem twierdzenia, a wniosek wnioskiem.

Pogłębiając zdobytą wiedzę na temat budowy twierdzenia, studenci otrzymują pojęcie twierdzenia odwrotnego do danego. Powstaje w wyniku zamiany - warunek staje się wnioskiem, wniosek - warunkiem. Aby rozwinąć wśród uczniów umiejętność konstruowania twierdzeń odwrotnych do danych oraz umiejętność ich udowadniania, rozważane są twierdzenia, odwróć tematy, które zostały omówione w lekcji 25 na temat znaków linii równoległych.

Na ekranie zostanie wyświetlone twierdzenie odwrotne do pierwszego twierdzenia, które opisuje znak prostych równoległych. Zamieniając warunek i wniosek, otrzymujemy stwierdzenie, że jeśli dowolne równoległe linie zostaną przecięte przez poprzeczną, to powstałe w tym przypadku kąty poprzeczne będą równe. Dowód pokazano na rysunku, który przedstawia proste a, b oraz przekątną przechodzącą przez te proste w punktach M i N. Na obrazku zaznaczono kąty poprzeczne ∠1 i ∠2. Należy udowodnić ich równość. Po pierwsze, dowód zakłada, że ​​kąty te nie są równe. W tym celu przez punkt M poprowadzono pewną prostą P. Konstruuje się kąt `∠PMN, który leży w poprzek kąta ∠2 względem MN. Kąty `∠PMN i ∠2 są konstrukcyjnie równe, zatem MP║b. Wniosek - przez b poprowadzono dwie linie równoległe do punktu. Jest to jednak niemożliwe, ponieważ nie odpowiada aksjomatowi linii równoległych. Przyjęte założenie okazuje się błędne, co potwierdza słuszność pierwotnego stwierdzenia. Twierdzenie zostało udowodnione.

Następnie zwraca się uwagę uczniów na metodę dowodu, jaką zastosowano w toku rozumowania. Dowód, w którym dowodzone twierdzenie uważa się za fałszywe, nazywa się dowodem przez sprzeczność w geometrii. Metodę tę często stosuje się do dowodzenia różnych twierdzeń geometrycznych. W w tym przypadku, zakładając nierówność kątów krzyżujących się, w toku rozumowania pojawiła się sprzeczność, która zaprzecza zasadności takiej sprzeczności.

Przypomina się uczniom, że podobną metodę stosowano już wcześniej w dowodach. Przykładem tego jest dowód twierdzenia z lekcji 12, że dwie proste prostopadłe do trzeciej nie przecinają się, a także dowód wniosków z lekcji 28 z aksjomatu prostych równoległych.

Inny możliwy do udowodnienia wniosek stwierdza, że ​​linia jest prostopadła do obu równoległych linii, jeśli jest prostopadła do jednej z nich. Rysunek przedstawia proste a i b oraz prostą c prostopadłą do nich. Prostopadłość prostej c do prostej oznacza, że ​​utworzony z nią kąt jest równy 90°. Równoległość aib i ich przecięcie z linią c oznacza, że ​​linia c przecina b. Kąt ∠2 utworzony z prostą b jest poprzeczny do kąta ∠1. A ponieważ zgodnie z warunkiem linie są równoległe, wówczas kąty te są równe. Odpowiednio kąt ∠2 będzie również równy 90°. Oznacza to, że linia c jest prostopadła do linii b. Rozważane twierdzenie zostało udowodnione.

Następnie udowodnimy twierdzenie odwrotne do drugiego kryterium dla prostych równoległych. Twierdzenie odwrotne stwierdza, że ​​jeśli dwie linie proste są równoległe, to odpowiadające im kąty utworzone będą równe. Dowód rozpoczyna się od konstrukcji siecznej c i prostych równoległych aib. Kąty utworzone w tym przypadku zaznaczono na rysunku. Istnieje para odpowiednich kątów zwana ∠1 i ∠2, a także oznaczony kąt ∠3, który leży poprzecznie do kąta ∠1. Równoległość aib oznacza równość ∠3=∠1 leżącą w poprzek. Biorąc pod uwagę, że ∠3, ∠2 są pionowe, są one również równe. Konsekwencją takich równości jest stwierdzenie, że ∠1=∠2. Rozważane twierdzenie zostało udowodnione.

Ostatni, który można udowodnić ta lekcja twierdzenie jest odwrotnością ostatniego kryterium dla prostych równoległych. Jego tekst stwierdza, że ​​jeśli poprzeczna przechodzi przez linie równoległe, suma utworzonych jednostronnych kątów wynosi 180°. Postęp dowodu pokazano na rysunku, który przedstawia proste a i b przecinające sieczną c. Należy wykazać, że suma kątów jednostronnych będzie wynosić 180°, czyli ∠4+∠1 = 180°. Z równoległości prostych aib wynika równość odpowiednich kątów ∠1 i ∠2. Sąsiedztwo kątów ∠4, ∠2 oznacza, że ​​sumują się one do 180°. W tym przypadku kąty ∠1= ∠2 - co oznacza, że ​​∠1 dodane do kąta ∠4 będzie wynosić 180°. Twierdzenie zostało udowodnione.

Aby lepiej zrozumieć sposób tworzenia i udowadniania twierdzeń odwrotnych, należy osobno zauważyć, że jeśli twierdzenie zostanie udowodnione i prawdziwe, nie oznacza to, że twierdzenie odwrotne również będzie prawdziwe. Aby to zrozumieć, podano prosty przykład. Istnieje twierdzenie, że wszystkie kąty pionowe są równe. Twierdzenie odwrotne brzmi tak, jakby wszystkie równe kąty były pionowe, co nie jest prawdą. W końcu możesz skonstruować dwa równe kąty, które nie są pionowe. Można to zobaczyć na pokazanym zdjęciu.

Lekcja wideo „Twierdzenia o kątach utworzonych przez dwie równoległe linie i poprzeczną”. pomoc wizualna, które może być wykorzystane przez nauczyciela na lekcji geometrii, a także może z powodzeniem sformułować ideę twierdzeń odwrotnych i wniosków, a także ich dowód w samokształcenie materiałów, które będą przydatne w nauczaniu na odległość.

Twierdzenie: Jeżeli dwie równoległe linie przecinają się przez przekątną, to kąty przecinające się są równe. oraz w A B = 2 s

Dowód: A B CD M N 1 2 A B CD M N 1 2 K O Niech proste AB i CD będą równoległe, a MN ich sieczna. Udowodnijmy, że kąty poprzeczne 1 i 2 są sobie równe. Załóżmy, że 1 i 2 nie są równe. Narysujmy prostą KF przechodzącą przez punkt O. Wtedy w punkcie O można skonstruować KON leżący poprzecznie i równy 2. Jeżeli jednak KON = 2, to prosta KF będzie równoległa do CD. Ustaliliśmy, że przez punkt O poprowadzono dwie proste AB i KF, równoległe do prostej CD. Ale tak nie może być. Doszliśmy do sprzeczności, ponieważ założyliśmy, że 1 i 2 nie są równe. Dlatego nasze założenie jest błędne i 1 musi być równe 2, czyli kąty poprzeczne są równe. F

Twierdzenie: Jeśli dwie równoległe linie przecinają się przez przekątną, to odpowiadające im kąty są równe. i w A B = 2

Twierdzenie: Jeżeli dwie równoległe linie przecinają się przez przekątną, to suma kątów jednostronnych wynosi 180°. oraz w A B = 180°

Dowód: Niech linie równoległe a i b zostaną przecięte sieczną AB, wtedy odpowiadające sobie 1 i 2 będą równe, 2 i 3 będą obok siebie, zatem = 180°. Z równości 1 = 2 i = 180° wynika, że ​​= 180°. Twierdzenie zostało udowodnione. 2 a w A B 3 1

Rozwiązanie: 1. Niech X będzie równe 2, wtedy 1 = (X+70°), ponieważ suma kątów 1 i 2 = 180°, ponieważ sąsiadują ze sobą. Zróbmy równanie: X+ (X+70°) = 180° 2X = 110° X = 55° (Kąt 2) 2. Znajdź 1. 55° + 70° = 125° 3. 1 = 3, ponieważ są pionowe. 3 = 5, ponieważ leżą poprzecznie. 125° 5 = 7, ponieważ są pionowe. 2 = 4, ponieważ są pionowe. 4 = 6, ponieważ leżą poprzecznie. 55° 6 = 8, ponieważ są pionowe. Zadanie 1: A B Warunek: Znajdź wszystkie kąty utworzone przez dwie równoległe linie A i B przecinające się z poprzeczną C, jeśli jeden z kątów jest o 70° większy od drugiego.

Rozwiązanie: 1. 1= 2, ponieważ są pionowe, co oznacza, że ​​2= 45° sąsiaduje z 2, zatem 3+ 2=180° i z tego wynika, że ​​3= 180° - 45°= 135° = 180°, ponieważ są jednostronne. 4 = 45°. Odpowiedź: 4=45°; 3=135°. Zadanie 3: A B 2 Warunek: dwie równoległe linie A i B przecina sieczna C. Znajdź, ile 4 i 3 będzie równe, jeśli 1=45°

Twierdzenia o utworzonych kątach

Geometria, rozdział III, klasa 7

Do podręcznika L.S. Atanasyana

nauczyciel matematyki najwyższej kategorii

Miejska placówka oświatowa „Podstawowa szkoła średnia Upshinskaya”

Rejon Orsza Republiki Mari El

Odwrotność tego twierdzenia

Twierdzenie: W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe .

Twierdzenie: Jeśli trójkąt jest równoramienny, to jego kąty przy podstawie są równe .

Warunek twierdzenia (podany): trójkąt - równoramienny

Wniosek z twierdzenia (udowodnić): kąty przy podstawie są równe

Warunek twierdzenia : kąty przy podstawie są równe

Wniosek z twierdzenia : trójkąt - równoramienny

NOWE OŚWIADCZENIE

Odwracać

twierdzenie

Jeśli trójkąt ma dwa kąty

są równe, to jest to równoramienny .

Odwrotność tego twierdzenia

Czy zawsze jest odwrotnie?

Twierdzenie

Twierdzenie odwrotne

Jeżeli suma dwóch kątów wynosi 180 0 , to kąty sąsiadują ze sobą

Suma sąsiednich kątów

równa 180 0 .

Jeżeli kąty są równe,

wtedy są pionowe

Kąty pionowe są równe

Jeżeli w trójkącie dwusieczna poprowadzona do jednego z jego boków jest jednocześnie środkową poprowadzoną do tego boku, to ten trójkąt jest równoramienny

W trójkącie równoramiennym dwusieczna narysowana do podstawy to środkowa i wysokość

Jeśli w trójkącie dwusieczna poprowadzona do jednego z jego boków jest jednocześnie wysokością poprowadzoną do tego boku, to ten trójkąt jest równoramienny

mi Jeśli trójkąt jest równoramienny, to dwusieczna poprowadzona do podstawy , jest zarówno medianą, jak i wysokością

Kąty utworzone przez dwie równoległe linie i poprzeczną

Czy zawsze jest odwrotnie?

Twierdzenie

Twierdzenie odwrotne

Jeśli dwa równoległe linie są wówczas przecinane przez sieczną skrzyżowane kąty są równe

kąty poprzeczne równy To linie są równoległe .

Ale to jest sprzeczne aksjomat równoległości , to nasze założenie jest błędne

Z METODY

NAPRZECIWKO

Przyjmujemy założenie przeciwne do tego, co należy udowodnić

Rozumując, dochodzimy do sprzeczności z dobrze znanym aksjomatem lub twierdzeniem

Dochodzimy do wniosku, że nasze założenie jest błędne, a twierdzenie poprawne

Ale to jest sprzeczne aksjomat równoległości

Dlatego nasze założenie jest błędne

Jeśli dwie równoległe linie przecinają się przez przekątną, to kąty przecinające się są równe

WNIOSEK Z TWIERDZENIA

Jeżeli prosta jest prostopadła do jednej z dwóch równoległych linii, to jest także prostopadła do drugiej

Powstały kąty

dwie linie równoległe i poprzeczną

Twierdzenie

Twierdzenie odwrotne

Jeśli na przecięciu dwóch linii prostych sieczna odpowiednie kąty są równe , To linie są równoległe .

Jeśli dwa równoległe linie są wówczas przecinane przez sieczną odpowiednie kąty są równe

Powstały kąty

dwie linie równoległe i poprzeczną

Twierdzenie

Twierdzenie odwrotne

Jeśli na przecięciu dwóch linii prostych sieczna 0 , To linie są równoległe .

Jeśli dwa równoległe linie są wówczas przecinane przez sieczną suma kątów jednostronnych wynosi 180 0

Linie aib są równoległe.

Znajdź kąt 2.

Linie aib są równoległe.

Znajdź nieznane kąty

Linie aib są równoległe.

Znajdź nieznane kąty

Znajdź nieznane kąty

Znajdź nieznane kąty

Znajdź nieznane kąty

Linie aib są równoległe. Znajdź nieznane kąty, jeśli suma dwóch przecinających się kątów wynosi 100 0 .

Linie aib są równoległe. Znajdź nieznane kąty, jeśli suma dwóch odpowiednich kątów wynosi 260 0 .

Linie aib są równoległe. Znajdź nieznane kąty, jeśli różnica między dwoma kątami jednostronnymi wynosi 50 0 .

\[(\Large(\text(Kąt środkowy i wpisany)))\]

Definicje

Kąt środkowy to kąt, którego wierzchołek leży w środku okręgu.

Kąt wpisany to kąt, którego wierzchołek leży na okręgu.

Miara stopnia łuku koła jest miarą stopnia kąta środkowego, który go opiera.

Twierdzenie

Stopień miary kąta wpisanego jest równy połowie miary stopnia łuku, na którym jest on oparty.

Dowód

Dowód przeprowadzimy w dwóch etapach: w pierwszej kolejności udowodnimy słuszność twierdzenia dla przypadku, gdy jeden ze boków kąta wpisanego ma średnicę. Niech punkt \(B\) będzie wierzchołkiem kąta wpisanego \(ABC\), a \(BC\) będzie średnicą okręgu:

Trójkąt \(AOB\) jest równoramienny, \(AO = OB\) , \(\kąt AOC\) jest zewnętrzny, zatem \(\kąt AOC = \kąt OAB + \kąt ABO = 2\kąt ABC\), Gdzie \(\kąt ABC = 0,5\cdot\kąt AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

Rozważmy teraz dowolny kąt wpisany \(ABC\) . Wyciągnijmy średnicę okręgu \(BD\) z wierzchołka kąta wpisanego. Istnieją dwa możliwe przypadki:

1) średnica przecina kąt na dwa kąty \(\kąt ABD, \kąt CBD\) (dla każdego z nich twierdzenie jest prawdziwe, jak udowodniono powyżej, zatem jest prawdziwe również dla kąta pierwotnego, który jest sumą tych dwa, a zatem równe połowie sumy łuków, na których się opierają, to znaczy równe połowie łuku, na którym się opiera). Ryż. 1.

2) średnica nie przecięła kąta na dwa kąty, wówczas mamy jeszcze dwa nowe kąty wpisane \(\kąt ABD, \kąt CBD\), których bok zawiera średnicę, zatem twierdzenie jest dla nich prawdziwe, to dotyczy to także kąta pierwotnego (który jest równy różnicy tych dwóch kątów, czyli jest równy połowie różnicy łuków, na których one spoczywają, czyli równy połowie łuku, na którym się opiera) . Ryż. 2.

Konsekwencje

1. Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.

2. Kąt wpisany oparty na półokręgu jest kątem prostym.

3. Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

\[(\Large(\text(Styczna do okręgu)))\]

Definicje

Istnieją trzy rodzaje względnych pozycji linii i okręgu:

1) prosta \(a\) przecina okrąg w dwóch punktach. Linię taką nazywa się sieczną. W tym przypadku odległość \(d\) od środka okręgu do linii prostej jest mniejsza niż promień \(R\) okręgu (ryc. 3).

2) prosta \(b\) przecina okrąg w jednym punkcie. Linię taką nazywamy styczną, a ich wspólny punkt \(B\) nazywamy punktem styczności. W tym przypadku \(d=R\) (ryc. 4).

Twierdzenie

1. Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności.

2. Jeżeli prosta przechodzi przez koniec promienia okręgu i jest prostopadła do tego promienia, to jest styczna do okręgu.

Konsekwencja

Odcinki styczne poprowadzone z jednego punktu do okręgu są równe.

Dowód

Narysujmy dwie styczne \(KA\) i \(KB\) do okręgu z punktu \(K\):

Oznacza to, że \(OA\perp KA, OB\perp KB\) są jak promienie. Trójkąty prostokątne\(\trójkąt KAO\) i \(\trójkąt KBO\) mają równe ramię i przeciwprostokątną, zatem \(KA=KB\) .

Konsekwencja

Środek okręgu \(O\) leży na dwusiecznej kąta \(AKB\) utworzonej przez dwie styczne poprowadzone z tego samego punktu \(K\) .

\[(\Large(\text(Twierdzenia dotyczące kątów)))\]

Twierdzenie o kącie między siecznymi

Kąt między dwiema siecznymi narysowanymi z tego samego punktu jest równy połowie różnicy miar stopni większego i mniejszego łuku, który przecinają.

Dowód

Niech \(M\) będzie punktem, z którego zostaną narysowane dwie sieczne, jak pokazano na rysunku:

Pokażmy to \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

\(\kąt DAB\) jest zatem kątem zewnętrznym trójkąta \(MAD\). \(\kąt DAB = \kąt DMB + \kąt MDA\), Gdzie \(\kąt DMB = \kąt DAB - \kąt MDA\), ale kąty \(\kąt DAB\) i \(\kąt MDA\) są wpisane, to \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), co należało udowodnić.

Twierdzenie o kącie pomiędzy przecinającymi się cięciwami

Kąt między dwoma przecinającymi się cięciwami jest równy połowie sumy miar stopni łuków, które przecinają: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

Dowód

\(\kąt BMA = \kąt CMD\) jako pion.

Z trójkąta \(AMD\): \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

Ale \(\kąt AMD = 180^\circ - \kąt CMD\), z czego wnioskujemy, że \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ uśmiechnij się(CD)).\]

Twierdzenie o kącie pomiędzy cięciwą i styczną

Kąt między styczną a cięciwą przechodzącą przez punkt styczności jest równy połowie miary stopnia łuku, na którym opiera się cięciwa.

Dowód

Niech prosta \(a\) dotyka okręgu w punkcie \(A\), \(AB\) jest cięciwą tego okręgu, \(O\) jest jego środkiem. Niech linia zawierająca \(OB\) przecina \(a\) w punkcie \(M\) . Udowodnijmy to \(\kąt BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).

Oznaczmy \(\angle OAB = \alpha\) . Ponieważ \(OA\) i \(OB\) są promieniami, to \(OA = OB\) i \(\kąt OBA = \kąt OAB = \alfa\). Zatem, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

Ponieważ \(OA\) jest promieniem poprowadzonym do punktu stycznego, to \(OA\perp a\), czyli \(\kąt OAM = 90^\circ\), zatem \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

Twierdzenie o łukach opartych na cięciwach równych

Równe cięciwy leżą na równych łukach mniejszych niż półkola.

I odwrotnie: równe łuki są poprzedzone równymi cięciwami.

Dowód

1) Niech \(AB=CD\) . Udowodnijmy, że mniejsze półkola łuku .

Zatem z trzech stron \(\angle AOB=\angle COD\) . Ale ponieważ \(\kąt AOB, \kąt COD\) - kąty środkowe, spoczywające na łukach \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\) zatem odpowiednio \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) Jeśli \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), To \(\trójkąt AOB=\trójkąt COD\) po dwóch stronach \(AO=BO=CO=DO\) i kąt między nimi \(\kąt AOB=\kąt COD\) . Dlatego i \(AB=CD\) .

Twierdzenie

Jeśli promień przecina cięciwę na pół, to jest do niej prostopadły.

Jest też odwrotnie: jeśli promień jest prostopadły do ​​cięciwy, to w punkcie przecięcia przecina ją na pół.

Dowód

1) Niech \(AN=NB\) . Udowodnimy, że \(OQ\perp AB\) .

Rozważmy \(\trójkąt AOB\): jest to równoramienny, ponieważ \(OA=OB\) – promienie okręgu. Ponieważ \(ON\) to środkowa narysowana do podstawy, to jest to także wysokość, zatem \(ON\perp AB\) .

2) Niech \(OQ\perp AB\) . Udowodnimy, że \(AN=NB\) .

Podobnie \(\trójkąt AOB\) to równoramienny, \(ON\) to wysokość, zatem \(ON\) to mediana. Dlatego \(AN=NB\) .

\[(\Large(\text(Twierdzenia dotyczące długości odcinków)))\]

Twierdzenie o iloczynie odcinków cięciwy

Jeżeli dwie cięciwy okręgu przecinają się, to iloczyn odcinków jednego cięciwy jest równy iloczynowi odcinków drugiego cięciwy.

Dowód

Niech akordy \(AB\) i \(CD\) przecinają się w punkcie \(E\) .

Rozważmy trójkąty \(ADE\) i \(CBE\) . W tych trójkątach kąty \(1\) i \(2\) są równe, ponieważ są wpisane i opierają się na tym samym łuku \(BD\), a kąty \(3\) i \(4\) są równe jako pionowe. Trójkąty \(ADE\) i \(CBE\) są podobne (w oparciu o pierwsze kryterium podobieństwa trójkątów).

Następnie \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), skąd \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

Twierdzenie styczne i sieczne

Kwadrat odcinka stycznego jest równy iloczynowi siecznej i jej zewnętrznej części.

Dowód

Niech styczna przechodzi przez punkt \(M\) i dotyka okręgu w punkcie \(A\) . Niech sieczna przechodzi przez punkt \(M\) i przecina okrąg w punktach \(B\) i \(C\) tak, że \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Rozważmy trójkąty \(MBA\) i \(MCA\): \(\angle M\) jest wspólne, \(\kąt BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Zgodnie z twierdzeniem o kącie między styczną i sieczną, \(\kąt BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \kąt BCA\). Zatem trójkąty \(MBA\) i \(MCA\) są podobne pod dwoma kątami.

Z podobieństwa trójkątów \(MBA\) i \(MCA\) mamy: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), co jest równoważne \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Konsekwencja

Iloczyn siecznej wyprowadzonej z punktu \(O\) przez jej część zewnętrzną nie zależy od wyboru siecznej wyprowadzonej z punktu \(O\) .