Разложение комплексной функции в ряд тейлора. Ряд маклорена и разложение некоторых функций
Если функция f(x) имеет на некотором интервале, содержащем точку а , производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора:
где r n – так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа:
, где число x заключено между х и а .
Если для некоторого значения х r n ®0 при n ®¥, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора :
Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х , если:
1) она имеет производные всех порядков;
2) построенный ряд сходится в этой точке.
При а =0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена :
Пример 1 f(x)= 2 x .
Решение . Найдем значения функции и ее производных при х =0
f(x) = 2 x , f(0) = 2 0 =1;
f¢(x) = 2 x ln2, f¢(0) = 2 0 ln2= ln2;
f¢¢(x) = 2 x ln 2 2, f¢¢(0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
f (n) (x) = 2 x ln n 2, f (n) (0) = 2 0 ln n 2= ln n 2.
Подставляя полученные значения производных в формулу ряда Тейлора, получим:
Радиус сходимости этого ряда равен бесконечности, поэтому данное разложение справедливо для -¥
- Игра угадай кто я: примеры для взрослых Угадай кто распечатать
- «22 июня – скорбь - память - история
- Церковь во имя смоленской иконы божией матери на васильевском острове Фото церкви Смоленской иконы Божьей Матери
- Панорама Битва за Броды (1944)
- Храм спаса преображения в богородском
- Вкусные рецепты приготовления замороженной брокколи
- Как приготовить домашнюю колбасу и где купить череву
- Видеть во сне мертвых мышей что означает
- Лучшие рецепты для сушки яблок на зиму в домашних условиях, какие фрукты выбрать
- Вкусная и полезная закуска - квашеные яблоки
- Драники в горшочках с мясом и сметаной
- Закуп и откуп в магии Закуп в магии
- Обработка сложных событий с помощью цепочек Выстраивать по цепочке образы событий
- Возбудимость нервной системы
- Виды и строение мышц человека
- Причины возникновения зевоты у людей и способы избавления
- Значение и роль жирорастворимых витаминов для организма человека Жирорастворимые витамины их роль
- Хлористый калий (хлорид калия)
- В моче появляется кровь после занятий бегом
- Интерактивные методы обучения на уроках в начальной школе