Kabla ya kutoa dhana ya bidhaa ya vector, hebu tugeuke kwenye swali la mwelekeo wa tatu zilizoagizwa za vectors a →, b →, c → katika nafasi ya tatu-dimensional.

Kuanza, hebu tuweke kando vekta a → , b → , c → kutoka kwa hatua moja. Mwelekeo wa mara tatu a → , b → , c → inaweza kuwa kulia au kushoto, kulingana na mwelekeo wa vector c → yenyewe. Aina ya mara tatu a → , b → , c → itajulikana kutoka kwa mwelekeo ambao zamu fupi zaidi hufanywa kutoka kwa vekta a → hadi b → kutoka mwisho wa vekta c → .

Ikiwa zamu fupi zaidi inafanywa kinyume cha saa, basi tatu ya vekta a → , b → , c → inaitwa. haki, ikiwa ni mwendo wa saa - kushoto.

Ifuatayo, chukua vekta mbili zisizo za collinear a → na b →. Hebu basi tupange vidhibiti A B → = a → na A C → = b → kutoka kwa uhakika A. Wacha tujenge vekta A D → = c →, ambayo ni sawa kwa A B → na A C → wakati huo huo. Kwa hiyo, wakati wa kujenga vector yenyewe A D → = c →, tunaweza kufanya hivyo kwa njia mbili, kutoa mwelekeo mmoja au kinyume chake (angalia mchoro).

Mara tatu ya vekta zilizoagizwa a → , b → , c → inaweza kuwa, kama tulivyogundua, kulia au kushoto kulingana na mwelekeo wa vekta.

Kutoka hapo juu tunaweza kuanzisha ufafanuzi wa bidhaa ya vector. Ufafanuzi huu unatolewa kwa vectors mbili zilizofafanuliwa katika mfumo wa kuratibu wa mstatili wa nafasi tatu-dimensional.

Ufafanuzi 1

Bidhaa ya vekta ya vekta mbili a → na b → tutaita vekta kama hiyo iliyofafanuliwa katika mfumo wa kuratibu wa mstatili wa nafasi ya pande tatu kama vile:

• ikiwa vekta a → na b → ni collinear, itakuwa sifuri;
• itakuwa perpendicular kwa wote vector a → ​​ na vector b → i.e. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• urefu wake umedhamiriwa na fomula: c → = a → · b → · dhambi ∠ a → , b → ;
• mara tatu ya vekta a → , b → , c → ina mwelekeo sawa na mfumo uliotolewa wa kuratibu.

Bidhaa ya vekta ya vekta a → na b → ina nukuu ifuatayo: a → × b →.

Kuratibu za bidhaa ya vector

Kwa kuwa vector yoyote ina kuratibu fulani katika mfumo wa kuratibu, tunaweza kuanzisha ufafanuzi wa pili wa bidhaa ya vector, ambayo itatuwezesha kupata kuratibu zake kwa kutumia kuratibu zilizotolewa za vectors.

Ufafanuzi 2

Katika mfumo wa kuratibu wa mstatili wa nafasi tatu-dimensional bidhaa ya vekta ya vekta mbili a → = (a x ; a y ; a z) na b → = (b x ; b y ; b z) inaitwa vector c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , ambapo i → , j → , k → ni vectors za kuratibu.

Bidhaa ya vekta inaweza kuwakilishwa kama kibainishi cha mpangilio wa mraba wa mpangilio wa tatu, ambapo safu ya kwanza ina vekta i → , j → , k → , safu ya pili ina viwianishi vya vekta a → , na safu ya tatu. ina viwianishi vya vekta b → katika mfumo fulani wa kuratibu wa mstatili, hiki ndicho kibainishi cha matrix inaonekana kama hii: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Kupanua kibainishi hiki katika vipengele vya safu ya kwanza, tunapata usawa: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j y → b = y → b = b = y → b = y b → b = y → b = y b → b = y → b = y → → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Mali ya bidhaa ya msalaba

Inajulikana kuwa bidhaa ya vekta katika kuratibu inawakilishwa kama kibainishi cha matriki c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , kisha kwa msingi. sifa za kiamua matrix zifuatazo zinaonyeshwa Tabia ya bidhaa ya vector:

1. anticommutativity a → × b → = - b → × a →;
2. usambazaji a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → au a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. ushirika λ a → × b → = λ a → × b → au → × (λ b →) = λ a → × b →, ambapo λ ni nambari halisi ya kiholela.

Tabia hizi zina uthibitisho rahisi.

Kwa mfano, tunaweza kuthibitisha mali ya anticommutative ya bidhaa ya vekta.

Uthibitisho wa anticommutativity

Kwa ufafanuzi, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z na b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Na ikiwa safu mbili za matrix zimebadilishwa, basi thamani ya kiashiria cha matrix inapaswa kubadilika hadi kinyume, kwa hivyo, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a z - b → × a → , ambayo na inathibitisha kuwa bidhaa ya vector ni anticommutative.

Bidhaa ya Vector - mifano na suluhisho

Katika hali nyingi, kuna aina tatu za matatizo.

Katika matatizo ya aina ya kwanza, urefu wa vectors mbili na angle kati yao kawaida hutolewa, na unahitaji kupata urefu wa bidhaa ya vector. Katika hali hii, tumia fomula ifuatayo c → = a → · b → · dhambi ∠ a → , b → .

Mfano 1

Tafuta urefu wa bidhaa ya vekta ya vekta a → na b →, ikiwa unajua a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Suluhisho

Kwa kuamua urefu wa bidhaa ya vekta ya vekta a → na b →, tunatatua tatizo hili: a → × b → = a → · b → · dhambi ∠ a → , b → = 3 · 5 · dhambi π 4 = 15 2 2 .

Jibu: 15 2 2 .

Matatizo ya aina ya pili yana uhusiano na kuratibu za vectors, ndani yao bidhaa ya vector, urefu wake, nk. hutafutwa kupitia kuratibu zinazojulikana za vekta zilizopewa a → = (a x; a y; a z) Na b → = (b x ; b y ; b z) .

Kwa aina hii ya shida, unaweza kutatua chaguzi nyingi za kazi. Kwa mfano, sio kuratibu za vekta a → na b → zinaweza kutajwa, lakini upanuzi wao katika vekta za kuratibu za fomu. b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → na c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, au vekta a → na b → inaweza kubainishwa na kuratibu za kuanza kwao. na pointi za mwisho.

Fikiria mifano ifuatayo.

Mfano 2

Katika mfumo wa kuratibu wa mstatili, vectors mbili hutolewa: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Pata bidhaa zao za msalaba.

Suluhisho

Kwa ufafanuzi wa pili, tunapata bidhaa ya vekta ya vekta mbili katika kuratibu zilizotolewa: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Ikiwa tunaandika bidhaa ya vekta kupitia kiashiria cha tumbo, basi suluhisho la mfano huu linaonekana kama hii: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Jibu: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Mfano 3

Pata urefu wa bidhaa ya vekta ya vekta i → - j → na i → + j → + k →, ambapo i →, j →, k → ni vekta za kitengo cha mfumo wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili.

Suluhisho

Kwanza, hebu tupate kuratibu za bidhaa fulani ya vector i → - j → × i → + j → + k → katika mfumo fulani wa kuratibu wa mstatili.

Inajulikana kuwa vekta i → - j → na i → + j → + k → zina kuratibu (1; - 1; 0) na (1; 1; 1), kwa mtiririko huo. Wacha tupate urefu wa bidhaa ya vekta kwa kutumia kiashiria cha tumbo, basi tunayo i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Kwa hiyo, bidhaa ya vector i → - j → × i → + j → + k → ina kuratibu (- 1; - 1; 2) katika mfumo uliotolewa wa kuratibu.

Tunapata urefu wa bidhaa ya vekta kwa kutumia fomula (tazama sehemu ya kutafuta urefu wa vekta): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Jibu: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Mfano 4

Katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili, kuratibu za pointi tatu A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) hutolewa. Tafuta vekta yenye mwelekeo wa A B → na A C → kwa wakati mmoja.

Suluhisho

Vekta A B → na A C → zina viwianishi vifuatavyo (- 1 ; 2 ; 2) na (0 ; 4 ; 1) mtawalia. Baada ya kupata bidhaa ya vekta ya vekta A B → na A C →, ni dhahiri kwamba ni vector perpendicular kwa ufafanuzi kwa wote A B → na A C →, yaani, ni suluhisho la tatizo letu. Hebu tupate A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Jibu: - 6 i → + j → - 4 k → . - moja ya vectors perpendicular.

Matatizo ya aina ya tatu yanalenga kutumia mali ya bidhaa ya vector ya vectors. Baada ya kuomba, tutapata suluhisho la shida iliyopewa.

Mfano 5

Vekta a → na b → ni za pembendiko na urefu wake ni 3 na 4, mtawalia. Tafuta urefu wa bidhaa ya vekta 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Suluhisho

Kwa sifa ya usambazaji wa bidhaa ya vekta, tunaweza kuandika 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Kwa mali ya ushirika, tunachukua mgawo wa nambari kutoka kwa ishara ya bidhaa za vekta katika usemi wa mwisho: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Bidhaa za vekta a → × a → na b → × b → ni sawa na 0, kwani a → × a → = a → · a → · dhambi 0 = 0 na b → × b → = b → · b → · dhambi 0 = 0, kisha 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Kutoka kwa anticommutativity ya bidhaa ya vector ifuatavyo - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Kutumia mali ya bidhaa ya vector, tunapata usawa 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → a → × b → .

Kwa hali, vekta a → na b → ni za pembeni, yaani, pembe kati yao ni sawa na π 2. Sasa kilichobaki ni kubadilisha maadili yaliyopatikana katika fomula zinazofaa: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · dhambi (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · dhambi π 2 = 60 .

Jibu: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Urefu wa bidhaa ya vekta ya vekta kwa ufafanuzi ni sawa na → × b → = a → · b → · dhambi ∠ a → , b → . Kwa kuwa inajulikana tayari (kutoka kwa kozi ya shule) kwamba eneo la pembetatu ni sawa na nusu ya bidhaa ya urefu wa pande zake mbili ikizidishwa na sine ya pembe kati ya pande hizi. Kwa hivyo, urefu wa bidhaa ya vekta ni sawa na eneo la parallelogram - pembetatu iliyoongezwa mara mbili, ambayo ni bidhaa ya pande katika mfumo wa vekta a → na b →, iliyowekwa kutoka kwa sehemu moja, na sine ya. pembe kati yao dhambi ∠ a →, b →.

Hii ni maana ya kijiometri ya bidhaa ya vector.

Maana ya kimwili ya bidhaa ya vector

Katika mechanics, moja ya matawi ya fizikia, shukrani kwa bidhaa ya vector, unaweza kuamua wakati wa nguvu kuhusiana na hatua katika nafasi.

Ufafanuzi 3

Kufikia wakati wa nguvu F → kutumika kwa uhakika B, kuhusiana na uhakika A, tutaelewa bidhaa zifuatazo za vekta A B → × F →.

Ukiona hitilafu katika maandishi, tafadhali yaangazie na ubonyeze Ctrl+Enter

Katika somo hili tutaangalia shughuli mbili zaidi na vekta: bidhaa ya vector ya vekta Na bidhaa mchanganyiko wa vekta (kiungo cha haraka kwa wale wanaohitaji). Ni sawa, wakati mwingine hutokea kwamba kwa furaha kamili, kwa kuongeza bidhaa ya scalar ya vekta, zaidi na zaidi zinahitajika. Huu ni uraibu wa vekta. Inaweza kuonekana kuwa tunaingia kwenye msitu wa jiometri ya uchanganuzi. Hii si sahihi. Katika sehemu hii ya hisabati ya juu kwa ujumla kuna kuni kidogo, isipokuwa labda ya kutosha kwa Pinocchio. Kwa kweli, nyenzo ni ya kawaida sana na rahisi - vigumu ngumu zaidi kuliko sawa bidhaa ya scalar, hata kutakuwa na kazi chache za kawaida. Jambo kuu katika jiometri ya uchambuzi, kwani wengi watakuwa na hakika au tayari wameshawishika, SI KUFANYA MAKOSA KATIKA MAhesabu. Rudia kama spell na utafurahi =)

Ikiwa vekta zinang'aa mahali pengine mbali, kama umeme kwenye upeo wa macho, haijalishi, anza na somo. Vectors kwa dummies kurejesha au kupata tena maarifa ya kimsingi kuhusu vidhibiti. Wasomaji walioandaliwa zaidi wanaweza kufahamiana na habari kwa kuchagua; Nilijaribu kukusanya mkusanyiko kamili wa mifano ambayo mara nyingi hupatikana katika kazi ya vitendo

Ni nini kitakufanya uwe na furaha mara moja? Nilipokuwa mdogo, niliweza kuchezea mipira miwili na hata mitatu. Ilifanya kazi vizuri. Sasa hautalazimika kubishana hata kidogo, kwani tutazingatia vekta za anga pekee, na vekta za gorofa zilizo na kuratibu mbili zitaachwa. Kwa nini? Hivi ndivyo vitendo hivi vilizaliwa - vector na bidhaa mchanganyiko wa vectors hufafanuliwa na kufanya kazi katika nafasi tatu-dimensional. Tayari ni rahisi!

Operesheni hii, kama bidhaa ya scalar, inahusisha vekta mbili. Hebu hizi ziwe barua zisizoharibika.

Kitendo chenyewe iliyoonyeshwa na kwa njia ifuatayo:. Kuna chaguzi zingine, lakini nimezoea kuashiria bidhaa ya vekta ya veta kwa njia hii, kwenye mabano ya mraba na msalaba.

Na mara moja swali: ikiwa ndani bidhaa ya scalar ya vekta vectors mbili zinahusika, na hapa vectors mbili pia huongezeka, basi tofauti ni nini? Tofauti dhahiri ni, kwanza kabisa, katika MATOKEO:

Matokeo ya bidhaa ya scalar ya vekta ni NUMBER:

Matokeo ya bidhaa ya msalaba wa vekta ni VECTOR:, yaani, tunazidisha vectors na kupata vector tena. Klabu iliyofungwa. Kwa kweli, hapa ndipo jina la operesheni linatoka. Katika fasihi tofauti za elimu, majina yanaweza pia kutofautiana;

Ufafanuzi wa bidhaa ya msalaba

Kwanza kutakuwa na ufafanuzi na picha, kisha maoni.

Ufafanuzi: Bidhaa ya Vector yasiyo ya collinear vekta, kuchukuliwa kwa utaratibu huu, inayoitwa VETOR, urefu ambayo ni nambari sawa na eneo la parallelogram, iliyojengwa kwenye vectors hizi; vekta orthogonal kwa vekta, na inaelekezwa ili msingi uwe na mwelekeo sahihi:

Hebu tuchambue ufafanuzi, kuna mambo mengi ya kuvutia hapa!

Kwa hivyo, mambo muhimu yafuatayo yanaweza kusisitizwa:

1) Vekta za asili, zilizoonyeshwa na mishale nyekundu, kwa ufafanuzi sio colinear. Itakuwa sahihi kuzingatia kesi ya vectors collinear baadaye kidogo.

2) Vectors huchukuliwa kwa utaratibu uliowekwa madhubuti: – "a" inazidishwa na "kuwa", na sio "kuwa" na "a". Matokeo ya kuzidisha vector ni VECTOR, ambayo imeonyeshwa kwa bluu. Ikiwa vectors huongezeka kwa utaratibu wa reverse, tunapata vector sawa kwa urefu na kinyume katika mwelekeo (raspberry rangi). Hiyo ni, usawa ni kweli .

3) Sasa hebu tufahamiane na maana ya kijiometri ya bidhaa ya vector. Hili ni jambo muhimu sana! UREFU wa vekta ya bluu (na, kwa hiyo, vector nyekundu) ni nambari sawa na ENEO la parallelogram iliyojengwa kwenye vectors. Katika takwimu, parallelogram hii ni kivuli nyeusi.

Kumbuka : mchoro ni mchoro, na, kwa kawaida, urefu wa kawaida wa bidhaa ya vector sio sawa na eneo la parallelogram.

Wacha tukumbuke moja ya fomula za kijiometri: Eneo la parallelogram ni sawa na bidhaa ya pande za karibu na sine ya pembe kati yao.. Kwa hivyo, kulingana na hapo juu, formula ya kuhesabu LENGTH ya bidhaa ya vekta ni halali:

Ninasisitiza kwamba formula ni kuhusu UREFU wa vector, na si kuhusu vector yenyewe. Nini maana ya vitendo? Na maana ni kwamba katika matatizo ya jiometri ya uchambuzi, eneo la parallelogram mara nyingi hupatikana kupitia dhana ya bidhaa ya vector:

Wacha tupate fomula ya pili muhimu. Ulalo wa parallelogram (mstari wa nukta nyekundu) huigawanya katika pembetatu mbili sawa. Kwa hivyo, eneo la pembetatu iliyojengwa kwenye veta (kivuli nyekundu) inaweza kupatikana kwa kutumia formula:

4) Ukweli muhimu sawa ni kwamba vekta ni orthogonal kwa vekta, yaani . Bila shaka, vector iliyoelekezwa kinyume (mshale wa raspberry) pia ni orthogonal kwa vectors asili.

5) Vector inaelekezwa ili msingi Ina haki mwelekeo. Katika somo kuhusu mpito kwa msingi mpya Nilizungumza kwa undani wa kutosha mwelekeo wa ndege, na sasa tutajua mwelekeo wa nafasi ni nini. Nitaelezea kwenye vidole vyako mkono wa kulia. Kuchanganya kiakili kidole cha kwanza na vector na kidole cha kati na vekta. Kidole cha pete na kidole kidogo bonyeza kwenye kiganja chako. Matokeo yake kidole gumba- bidhaa ya vekta itaangalia juu. Huu ni msingi unaoelekezwa kwa haki (ni hii kwenye takwimu). Sasa badilisha vekta ( index na vidole vya kati) katika sehemu zingine, kama matokeo, kidole gumba kitageuka, na bidhaa ya vekta tayari itatazama chini. Huu pia ni msingi wenye mwelekeo sahihi. Unaweza kuwa na swali: ni msingi gani umeacha mwelekeo? "Wape" vidole sawa mkono wa kushoto vekta, na upate msingi wa kushoto na mwelekeo wa kushoto wa nafasi (katika kesi hii, kidole gumba kitakuwa kwenye mwelekeo wa vekta ya chini). Kwa kusema kwa mfano, besi hizi "zinazunguka" au kuelekeza nafasi katika mwelekeo tofauti. Na wazo hili halipaswi kuzingatiwa kuwa jambo la mbali au la kufikirika - kwa mfano, mwelekeo wa nafasi hubadilishwa na kioo cha kawaida, na ikiwa "utavuta kitu kilichoonyeshwa kutoka kwenye glasi", basi kwa ujumla haitawezekana kuichanganya na "asili". Kwa njia, shikilia vidole vitatu hadi kioo na uchanganue tafakari ;-)

...ni vizuri jinsi gani unaijua sasa kulia na kushoto misingi, kwa sababu kauli za baadhi ya wahadhiri kuhusu mabadiliko ya mwelekeo zinatisha =)

Bidhaa za msalaba za vekta za collinear

Ufafanuzi umejadiliwa kwa undani, inabakia kuonekana kinachotokea wakati vectors ni collinear. Ikiwa vectors ni collinear, basi wanaweza kuwekwa kwenye mstari mmoja wa moja kwa moja na parallelogram yetu pia "inaongeza" kwenye mstari mmoja wa moja kwa moja. Eneo la kama vile wanahisabati wanasema, kuzorota parallelogram ni sawa na sifuri. Vile vile hufuata kutoka kwa formula - sine ya sifuri au digrii 180 ni sawa na sifuri, ambayo inamaanisha eneo ni sifuri.

Kwa hivyo, ikiwa, basi Na . Tafadhali kumbuka kuwa bidhaa ya vector yenyewe ni sawa na vector sifuri, lakini katika mazoezi hii mara nyingi hupuuzwa na imeandikwa kuwa pia ni sawa na sifuri.

Kesi maalum ni bidhaa ya msalaba wa vekta yenyewe:

Kutumia bidhaa ya vekta, unaweza kuangalia collinearity ya vekta tatu-dimensional, na sisi pia kuchambua tatizo hili, miongoni mwa wengine.

Ili kutatua mifano ya vitendo unaweza kuhitaji meza ya trigonometric kupata maadili ya sines kutoka kwake.

Kweli, wacha tuwashe moto:

Mfano 1

a) Tafuta urefu wa bidhaa ya vekta ya vekta ikiwa

b) Tafuta eneo la parallelogram iliyojengwa kwenye vekta ikiwa

Suluhisho: Hapana, hii sio typo, nilifanya kwa makusudi data ya awali katika vifungu sawa. Kwa sababu muundo wa suluhisho utakuwa tofauti!

a) Kulingana na hali, unahitaji kupata urefu vector (bidhaa ya msalaba). Kulingana na formula inayolingana:

Jibu:

Kwa kuwa swali lilikuwa juu ya urefu, tunaonyesha mwelekeo katika jibu - vitengo.

b) Kulingana na hali, unahitaji kupata mraba parallelogram iliyojengwa kwenye vekta. Eneo la parallelogram hii ni nambari sawa na urefu wa bidhaa ya vekta:

Jibu:

Tafadhali kumbuka kuwa jibu halizungumzi kuhusu bidhaa ya vekta kabisa; eneo la takwimu, ipasavyo, mwelekeo ni vitengo vya mraba.

Sisi daima tunaangalia NINI tunachohitaji kupata kulingana na hali, na, kwa kuzingatia hili, tunaunda wazi jibu. Inaweza kuonekana kuwa halisi, lakini kuna walimu wengi halisi miongoni mwao, na mgawo huo una nafasi nzuri ya kurejeshwa kwa marekebisho. Ingawa hii sio mzozo wa mbali sana - ikiwa jibu sio sahihi, basi mtu hupata maoni kwamba mtu huyo haelewi mambo rahisi na/au haelewi kiini cha kazi hiyo. Hatua hii lazima iwekwe chini ya udhibiti wakati wa kutatua tatizo lolote katika hisabati ya juu, na katika masomo mengine pia.

Barua kubwa "en" ilienda wapi? Kimsingi, inaweza kuunganishwa zaidi na suluhisho, lakini ili kufupisha kiingilio, sikufanya hivi. Natumai kila mtu anaelewa hilo na ni sifa ya kitu kimoja.

Mfano maarufu wa suluhisho la DIY:

Mfano 2

Pata eneo la pembetatu iliyojengwa kwenye veta ikiwa

Njia ya kupata eneo la pembetatu kupitia bidhaa ya vekta imetolewa katika maoni kwa ufafanuzi. Suluhu na jibu ni mwisho wa somo.

Kwa mazoezi, kazi hiyo ni ya kawaida sana;

Ili kutatua shida zingine tutahitaji:

Mali ya bidhaa ya vector ya vekta

Tayari tumezingatia baadhi ya mali ya bidhaa ya vector, hata hivyo, nitawajumuisha katika orodha hii.

Kwa vekta za kiholela na nambari ya kiholela, sifa zifuatazo ni kweli:

1) Katika vyanzo vingine vya habari, kipengee hiki kawaida hakijaangaziwa katika mali, lakini ni muhimu sana kwa maneno ya vitendo. Basi iwe hivyo.

2) - mali pia inajadiliwa hapo juu, wakati mwingine inaitwa anticommutativity. Kwa maneno mengine, mpangilio wa vekta ni muhimu.

3) - ushirika au ushirika sheria za bidhaa za vekta. Mara kwa mara inaweza kuhamishwa kwa urahisi nje ya bidhaa ya vekta. Kweli, wanapaswa kufanya nini huko?

4) - usambazaji au kusambaza sheria za bidhaa za vekta. Hakuna shida na kufungua mabano pia.

Ili kuonyesha, hebu tuangalie mfano mfupi:

Mfano 3

Tafuta kama

Suluhisho: Hali hiyo inahitaji tena kutafuta urefu wa bidhaa ya vekta. Wacha tuchore picha yetu ndogo:

(1) Kulingana na sheria za ushirika, tunachukua viambatisho nje ya wigo wa bidhaa ya vekta.

(2) Tunasonga mara kwa mara nje ya moduli, na moduli "hula" ishara ya minus. Urefu hauwezi kuwa mbaya.

(3) Mengine ni wazi.

Jibu:

Ni wakati wa kuongeza kuni zaidi kwenye moto:

Mfano 4

Kuhesabu eneo la pembetatu iliyojengwa kwenye vekta ikiwa

Suluhisho: Tafuta eneo la pembetatu kwa kutumia fomula . Kinachovutia ni kwamba vekta “tse” na “de” zenyewe zinawasilishwa kama hesabu za vekta. Algorithm hapa ni ya kawaida na inakumbusha kwa kiasi fulani mifano No. 3 na 4 ya somo Bidhaa ya dot ya vekta. Kwa uwazi, tutagawanya suluhisho katika hatua tatu:

1) Katika hatua ya kwanza, tunaelezea bidhaa ya vekta kupitia bidhaa ya vekta, kwa kweli, wacha tuonyeshe vekta kwa suala la vekta. Bado hakuna neno juu ya urefu!

(1) Badilisha maneno ya vekta.

(2) Kwa kutumia sheria za usambazaji, tunafungua mabano kulingana na kanuni ya kuzidisha polynomials.

(3) Kwa kutumia sheria shirikishi, tunasogeza viunga vyote zaidi ya bidhaa za vekta. Kwa uzoefu mdogo, hatua ya 2 na 3 inaweza kufanywa wakati huo huo.

(4) Masharti ya kwanza na ya mwisho ni sawa na sifuri (vekta sifuri) kwa sababu ya mali nzuri. Katika muhula wa pili tunatumia mali ya anticommutativity ya bidhaa ya vector:

(5) Tunawasilisha maneno sawa.

Kama matokeo, vekta iliibuka kuonyeshwa kupitia vekta, ambayo ndio ilihitajika kupatikana:

2) Katika hatua ya pili, tunapata urefu wa bidhaa ya vector tunayohitaji. Kitendo hiki ni sawa na Mfano wa 3:

3) Tafuta eneo la pembetatu inayohitajika:

Hatua za 2-3 za suluhisho zingeweza kuandikwa kwa mstari mmoja.

Jibu:

Shida inayozingatiwa ni ya kawaida katika majaribio, hapa kuna mfano wa kulitatua mwenyewe:

Mfano 5

Tafuta kama

Suluhu fupi na jibu mwishoni mwa somo. Hebu tuone jinsi ulivyokuwa makini wakati wa kusoma mifano iliyotangulia ;-)

Bidhaa ya msalaba ya vekta katika kuratibu

, iliyobainishwa katika misingi ya kawaida, iliyoonyeshwa na fomula:

Njia ni rahisi sana: kwenye mstari wa juu wa kiashiria tunaandika vekta za kuratibu, katika mstari wa pili na wa tatu "tunaweka" kuratibu za veta, na tunaweka. kwa utaratibu madhubuti- kwanza kuratibu za vector "ve", kisha kuratibu za vector "double-ve". Ikiwa vekta zinahitaji kuzidishwa kwa mpangilio tofauti, basi safu zinapaswa kubadilishwa:

Mfano 10

Angalia ikiwa vekta za nafasi zifuatazo ni collinear:
A)
b)

Suluhisho: Cheki inategemea mojawapo ya kauli katika somo hili: ikiwa vekta ni collinear, basi bidhaa zao za vekta ni sawa na sifuri (vekta sifuri): .

a) Tafuta bidhaa ya vekta:

Kwa hivyo, vekta sio collinear.

b) Tafuta bidhaa ya vekta:

Jibu: a) sio colinear, b)

Hapa, labda, ni taarifa zote za msingi kuhusu bidhaa ya vector ya vectors.

Sehemu hii haitakuwa kubwa sana, kwa kuwa kuna matatizo machache ambapo bidhaa iliyochanganywa ya vectors hutumiwa. Kwa kweli, kila kitu kitategemea ufafanuzi, maana ya kijiometri na kanuni kadhaa za kufanya kazi.

Bidhaa iliyochanganywa ya vekta ni bidhaa ya vekta tatu:

Kwa hivyo walijipanga kama treni na hawawezi kungoja kutambuliwa.

Kwanza, tena, ufafanuzi na picha:

Ufafanuzi: Kazi iliyochanganywa yasiyo ya coplanar vekta, kuchukuliwa kwa utaratibu huu, kuitwa sauti ya parallelepiped, iliyojengwa kwenye vectors hizi, yenye vifaa vya "+" ikiwa msingi ni sahihi, na ishara "-" ikiwa msingi umesalia.

Hebu tufanye kuchora. Mistari isiyoonekana kwetu imechorwa kwa mistari yenye vitone:

Wacha tuzame kwenye ufafanuzi:

2) Vectors huchukuliwa kwa utaratibu fulani, yaani, upangaji upya wa vekta katika bidhaa, kama unavyoweza kudhani, haifanyiki bila matokeo.

3) Kabla ya kutoa maoni juu ya maana ya kijiometri, nitagundua ukweli dhahiri: bidhaa iliyochanganywa ya vekta ni NUMBER:. Katika fasihi ya elimu, muundo unaweza kuwa tofauti kidogo;

A-kipaumbele bidhaa iliyochanganywa ni kiasi cha parallelepiped, iliyojengwa kwenye vectors (takwimu inatolewa na vectors nyekundu na mistari nyeusi). Hiyo ni, nambari ni sawa na kiasi cha parallelepiped iliyotolewa.

Kumbuka : Mchoro ni wa kimkakati.

4) Hebu tusiwe na wasiwasi tena juu ya dhana ya mwelekeo wa msingi na nafasi. Maana ya sehemu ya mwisho ni kwamba ishara ya minus inaweza kuongezwa kwa kiasi. Kwa maneno rahisi, bidhaa iliyochanganywa inaweza kuwa mbaya:.

Moja kwa moja kutoka kwa ufafanuzi hufuata fomula ya kuhesabu kiasi cha parallelepiped iliyojengwa kwenye vekta.

Katika makala hii tutaangalia kwa karibu dhana ya bidhaa ya msalaba wa vectors mbili. Tutatoa ufafanuzi unaohitajika, andika formula ya kupata kuratibu za bidhaa ya vekta, orodha na kuhalalisha mali zake. Baada ya hayo, tutakaa juu ya maana ya kijiometri ya bidhaa ya vector ya vectors mbili na kuzingatia ufumbuzi wa mifano mbalimbali ya kawaida.

Urambazaji wa ukurasa.

Ufafanuzi wa bidhaa ya msalaba.

Kabla ya kufafanua bidhaa ya vekta, hebu tuelewe mwelekeo wa vekta tatu zilizoamriwa katika nafasi ya pande tatu.

Wacha tupange veta kutoka kwa hatua moja. Kulingana na mwelekeo wa vector, tatu zinaweza kuwa kulia au kushoto. Wacha tuangalie kutoka mwisho wa vekta jinsi njia fupi zaidi kutoka kwa vekta hadi . Ikiwa mzunguko mfupi zaidi hutokea kinyume na saa, basi mara tatu ya vectors inaitwa haki, vinginevyo - kushoto.

Sasa hebu tuchukue vekta mbili zisizo za collinear na . Wacha tupange viboreshaji na kutoka kwa uhakika A. Wacha tutengeneze vector perpendicular kwa zote mbili na na . Kwa wazi, wakati wa kujenga vekta, tunaweza kufanya mambo mawili, tukipa mwelekeo mmoja au kinyume chake (tazama mchoro).

Kulingana na mwelekeo wa vector, triplet iliyoagizwa ya vectors inaweza kuwa mkono wa kulia au wa kushoto.

Hii inatuleta karibu na ufafanuzi wa bidhaa ya vekta. Inatolewa kwa vectors mbili zilizofafanuliwa katika mfumo wa kuratibu wa mstatili wa nafasi tatu-dimensional.

Ufafanuzi.

Bidhaa ya msalaba ya vectors mbili na, iliyobainishwa katika mfumo wa kuratibu wa mstatili wa nafasi ya pande tatu, inaitwa vekta ambayo

Bidhaa ya msalaba ya vekta na inaonyeshwa kama .

Kuratibu za bidhaa ya vector.

Sasa tutatoa ufafanuzi wa pili wa bidhaa ya vector, ambayo inakuwezesha kupata kuratibu zake kutoka kwa kuratibu za vectors zilizopewa na.

Ufafanuzi.

Katika mfumo wa kuratibu wa mstatili wa nafasi tatu-dimensional bidhaa ya vector ya vekta mbili Na ni vekta , ziko wapi vekta za kuratibu.

Ufafanuzi huu unatupa bidhaa ya msalaba katika fomu ya kuratibu.

Ni rahisi kuwakilisha bidhaa ya vekta kama kiashiria cha matrix ya mraba ya mpangilio wa tatu, safu ya kwanza ambayo ni vekta, safu ya pili ina kuratibu za vekta, na ya tatu ina kuratibu za vekta kwa njia fulani. mfumo wa kuratibu wa mstatili:

Ikiwa tunapanua kiashiria hiki katika vipengele vya safu ya kwanza, tunapata usawa kutoka kwa ufafanuzi wa bidhaa ya vekta katika kuratibu (ikiwa ni lazima, rejelea makala):

Ikumbukwe kwamba fomu ya kuratibu ya bidhaa ya vector inalingana kikamilifu na ufafanuzi uliotolewa katika aya ya kwanza ya makala hii. Kwa kuongezea, fasili hizi mbili za bidhaa mtambuka ni sawa. Unaweza kuona uthibitisho wa ukweli huu katika kitabu kilichoorodheshwa mwishoni mwa makala.

Tabia za bidhaa za vector.

Kwa kuwa bidhaa ya vekta katika kuratibu inaweza kuwakilishwa kama kibainishi cha matrix, yafuatayo yanaweza kuhesabiwa haki kwa urahisi kwa msingi. mali ya bidhaa msalaba:

Kwa mfano, hebu tuthibitishe mali ya anticommutative ya bidhaa ya vekta.

A-kipaumbele Na . Tunajua kuwa thamani ya kiambishi cha matrix inabadilishwa ikiwa safu mbili zimebadilishwa, kwa hivyo, , ambayo inathibitisha mali ya anticommutative ya bidhaa ya vector.

Bidhaa ya Vector - mifano na suluhisho.

Kuna hasa aina tatu za matatizo.

Katika matatizo ya aina ya kwanza, urefu wa vectors mbili na angle kati yao hutolewa, na unahitaji kupata urefu wa bidhaa ya vector. Katika kesi hii, formula hutumiwa .

Mfano.

Tafuta urefu wa bidhaa ya vekta ya vekta na , ikiwa inajulikana .

Suluhisho.

Tunajua kutoka kwa ufafanuzi kwamba urefu wa bidhaa ya vekta ya vekta na ni sawa na bidhaa ya urefu wa vekta na kwa sine ya pembe kati yao, kwa hivyo, .

Jibu:

.

Shida za aina ya pili zinahusiana na kuratibu za vekta, ambayo bidhaa ya vekta, urefu wake au kitu kingine chochote hutafutwa kupitia kuratibu za vekta zilizopewa. Na .

Kuna chaguzi nyingi tofauti zinazowezekana hapa. Kwa mfano, sio kuratibu za vekta na zinaweza kutajwa, lakini upanuzi wao katika vekta za kuratibu za fomu. na , au vekta na inaweza kubainishwa na kuratibu za sehemu zao za kuanzia na za mwisho.

Wacha tuangalie mifano ya kawaida.

Mfano.

Vectors mbili hutolewa katika mfumo wa kuratibu wa mstatili . Pata bidhaa zao za msalaba.

Suluhisho.

Kulingana na ufafanuzi wa pili, bidhaa ya vekta ya vekta mbili katika kuratibu imeandikwa kama:

Tungefikia matokeo sawa ikiwa bidhaa ya vekta ingeandikwa kulingana na kiashiria

Jibu:

.

Mfano.

Pata urefu wa bidhaa ya vekta ya vekta na , wapi vekta za kitengo cha mfumo wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili.

Suluhisho.

Kwanza tunapata kuratibu za bidhaa ya vector katika mfumo fulani wa kuratibu wa mstatili.

Kwa kuwa vekta na zina kuratibu na, mtawaliwa (ikiwa ni lazima, angalia viwianishi vya vifungu vya vekta katika mfumo wa kuratibu wa mstatili), basi kwa ufafanuzi wa pili wa bidhaa ya vekta tunayo.

Hiyo ni, bidhaa ya vector ina kuratibu katika mfumo fulani wa kuratibu.

Tunapata urefu wa bidhaa ya vekta kama mzizi wa mraba wa jumla ya miraba ya kuratibu zake (tulipata fomula hii kwa urefu wa vekta katika sehemu ya kutafuta urefu wa vekta):

Jibu:

.

Mfano.

Katika mfumo wa kuratibu wa Cartesian wa mstatili, kuratibu za pointi tatu hutolewa. Tafuta vekta ambayo ni ya kawaida na kwa wakati mmoja.

Suluhisho.

Vekta na kuwa na kuratibu na, kwa mtiririko huo (tazama makala kutafuta kuratibu za vekta kupitia kuratibu za pointi). Ikiwa tunapata bidhaa ya vector ya vectors na, basi kwa ufafanuzi ni vector perpendicular kwa wote kwa na kwa, yaani, ni suluhisho kwa tatizo letu. Tumtafute

Jibu:

- moja ya vectors perpendicular.

Katika matatizo ya aina ya tatu, ujuzi wa kutumia mali ya bidhaa ya vector ya vectors hujaribiwa. Baada ya kutumia mali, fomula zinazolingana zinatumika.

Mfano.

Vectors na ni perpendicular na urefu wao ni 3 na 4, kwa mtiririko huo. Pata urefu wa bidhaa ya msalaba .

Suluhisho.

Kwa mali ya usambazaji wa bidhaa ya vector, tunaweza kuandika

Kwa sababu ya sifa ya mseto, tunachukua mgawo wa nambari kutoka kwa ishara ya bidhaa za vekta katika usemi wa mwisho:

bidhaa vector na ni sawa na sifuri, tangu Na , Kisha.

Kwa kuwa bidhaa ya vector ni anticommutative, basi.

Kwa hiyo, kwa kutumia mali ya bidhaa ya vector, tulifika kwa usawa .

Kwa hali, vectors na ni perpendicular, yaani, angle kati yao ni sawa na. Hiyo ni, tuna data zote ili kupata urefu unaohitajika

Jibu:

.

Maana ya kijiometri ya bidhaa ya vekta.

Kwa ufafanuzi, urefu wa bidhaa ya vector ya vectors ni . Na kutoka kwa kozi ya jiometri ya shule ya upili tunajua kuwa eneo la pembetatu ni sawa na nusu ya bidhaa ya urefu wa pande mbili za pembetatu na sine ya pembe kati yao. Kwa hivyo, urefu wa bidhaa ya vekta ni sawa na mara mbili ya eneo la pembetatu ambayo pande zake ni vekta na , ikiwa zimepangwa kutoka kwa hatua moja. Kwa maneno mengine, urefu wa bidhaa ya vekta ya vekta na ni sawa na eneo la parallelogram yenye pande na pembe kati yao sawa na . Hii ndiyo maana ya kijiometri ya bidhaa ya vector.

BIDHAA ILIYOCHANGANYIWA YA VETA VITATU NA MALI ZAKE

Kazi iliyochanganywa vekta tatu inaitwa nambari sawa na . Imeteuliwa . Hapa vekta mbili za kwanza zinazidishwa kwa njia ya vekta na kisha vekta inayosababishwa inazidishwa kwa kasi na vekta ya tatu. Kwa wazi, bidhaa kama hiyo ni nambari fulani.

Hebu fikiria mali ya bidhaa mchanganyiko.

1. Maana ya kijiometri kazi mchanganyiko. Bidhaa iliyochanganywa ya vekta 3, hadi ishara, ni sawa na kiasi cha parallelepiped iliyojengwa kwenye veta hizi, kama kwenye kingo, i.e. .

   Hivyo, na .

   

   Ushahidi. Hebu tuweke kando vectors kutoka asili ya kawaida na kujenga parallelepiped juu yao. Wacha tuonyeshe na tukumbuke kuwa. Kwa ufafanuzi wa bidhaa ya scalar

   Kwa kuchukulia hivyo na kuashiria kwa h pata urefu wa parallelepiped.

   Hivyo, lini

   Ikiwa, basi hivyo. Kwa hivyo,.

   Kuchanganya kesi hizi zote mbili, tunapata au .

   Kutoka kwa uthibitisho wa mali hii, hasa, inafuata kwamba ikiwa mara tatu ya vectors ni mkono wa kulia, basi bidhaa iliyochanganywa ni , na ikiwa ni mkono wa kushoto, basi.

2. Kwa vekta yoyote , , usawa ni kweli

   Uthibitisho wa mali hii unafuata kutoka kwa Mali 1. Hakika, ni rahisi kuonyesha kwamba na. Zaidi ya hayo, ishara "+" na "-" zinachukuliwa wakati huo huo, kwa sababu pembe kati ya vekta na na na ni ya papo hapo na butu.

3. Sababu zozote mbili zinapopangwa upya, ishara ya bidhaa iliyochanganywa hubadilika.

   Hakika, ikiwa tunazingatia bidhaa iliyochanganywa, basi, kwa mfano, au

4. Bidhaa iliyochanganywa ikiwa na tu ikiwa moja ya sababu ni sawa na sifuri au vekta ni coplanar.

   Ushahidi.

   Kwa hivyo, hali ya lazima na ya kutosha kwa coplanarity ya vector 3 ni kwamba bidhaa zao mchanganyiko ni sawa na sifuri. Kwa kuongeza, inafuata kwamba vekta tatu huunda msingi katika nafasi ikiwa.

   Ikiwa veta hutolewa kwa fomu ya kuratibu, basi inaweza kuonyeshwa kuwa bidhaa zao zilizochanganywa zinapatikana na formula:

   .

   Kwa hivyo, bidhaa iliyochanganywa ni sawa na kiashiria cha mpangilio wa tatu, ambayo ina kuratibu za vector ya kwanza kwenye mstari wa kwanza, kuratibu za vector ya pili kwenye mstari wa pili, na kuratibu za vector ya tatu kwenye mstari wa tatu.

   Mifano.

JIOMETRI YA UCHAMBUZI KATIKA NAFASI

Mlinganyo F(x, y, z)= 0 inafafanua katika nafasi Oksiz uso fulani, i.e. locus ya kijiometri ya pointi ambazo kuratibu zake x, y, z kukidhi equation hii. Equation hii inaitwa equation ya uso, na x, y, z- kuratibu za sasa.

Hata hivyo, mara nyingi uso haujainishwa na equation, lakini kama seti ya pointi katika nafasi ambayo ina mali moja au nyingine. Katika kesi hiyo, ni muhimu kupata equation ya uso kulingana na mali zake za kijiometri.

NDEGE.

VETA YA NDEGE YA KAWAIDA.

EQUATION YA NDEGE INAYOPITIA HATUA ULIYOPEWA

Wacha tuzingatie ndege ya kiholela σ kwenye nafasi. Msimamo wake umedhamiriwa kwa kubainisha vector perpendicular kwa ndege hii na baadhi ya uhakika fasta M0(x 0, y 0, z 0), amelala kwenye ndege ya σ.

Vector perpendicular kwa ndege σ inaitwa kawaida vector ya ndege hii. Acha vekta iwe na kuratibu.

Wacha tupate equation ya ndege σ kupita katika hatua hii M0 na kuwa na vector ya kawaida. Ili kufanya hivyo, chukua hatua ya kiholela kwenye ndege σ M(x, y, z) na fikiria vekta.

Kwa hatua yoyote MО σ ni vector Kwa hiyo, bidhaa zao za scalar ni sawa na sifuri. Usawa huu ni hali ya uhakika MО σ. Ni halali kwa pointi zote za ndege hii na inakiukwa mara tu uhakika M itakuwa nje ya ndege ya σ.

Ikiwa tunaashiria alama na vekta ya radius M, - vekta ya radius ya uhakika M0, basi equation inaweza kuandikwa kwa fomu

Equation hii inaitwa vekta equation ya ndege. Hebu tuandike kwa fomu ya kuratibu. Tangu wakati huo

Kwa hivyo, tumepata equation ya ndege inayopitia hatua hii. Kwa hivyo, ili kuunda equation ya ndege, unahitaji kujua kuratibu za vector ya kawaida na kuratibu za hatua fulani iliyolala kwenye ndege.

Kumbuka kuwa mlinganyo wa ndege ni mlinganyo wa shahada ya 1 kuhusiana na kuratibu za sasa. x, y Na z.

Mifano.

EQUATION YA JUMLA YA NDEGE

Inaweza kuonyeshwa kuwa mlingano wowote wa shahada ya kwanza kwa heshima na kuratibu za Cartesian x, y, z inawakilisha equation ya ndege fulani. Equation hii imeandikwa kama:

Ax+By+Cz+D=0

na inaitwa mlingano wa jumla ndege, na kuratibu A, B, C hapa ni kuratibu za vector ya kawaida ya ndege.

Wacha tuzingatie kesi maalum za equation ya jumla. Wacha tujue jinsi ndege iko karibu na mfumo wa kuratibu ikiwa mgawo mmoja au zaidi wa equation inakuwa sifuri.

A ni urefu wa sehemu iliyokatwa na ndege kwenye mhimili Ng'ombe. Vile vile, inaweza kuonyeshwa hivyo b Na c- urefu wa sehemu zilizokatwa na ndege inayozingatiwa kwenye shoka Oy Na Oz.

Ni rahisi kutumia equation ya ndege katika sehemu kuunda ndege.

7.1. Ufafanuzi wa bidhaa ya msalaba

Vekta tatu zisizo za coplanar a, b na c, zilizochukuliwa kwa utaratibu ulioonyeshwa, huunda pembetatu ya mkono wa kulia ikiwa, kutoka mwisho wa vector ya tatu c, zamu fupi kutoka kwa vector ya kwanza hadi ya pili b inaonekana. kuwa kinyume na saa, na pembetatu ya mkono wa kushoto ikiwa ni sawa na saa (ona Mchoro 16).

Bidhaa ya vekta a na vekta b inaitwa vekta c, ambayo:

1. Perpendicular kwa vekta a na b, yaani c ^ a na c ^ b;

2. Ina urefu wa nambari sawa na eneo la parallelogram iliyojengwa kwenye vekta a nab kama kwa pande (tazama Mchoro 17), i.e.

3. Vekta a, b na c huunda sehemu tatu za mkono wa kulia.

Bidhaa mtambuka inaashiria x b au [a,b]. Mahusiano yafuatayo kati ya vekta za kitengo ninafuata moja kwa moja kutoka kwa ufafanuzi wa bidhaa ya vekta, j Na k(ona Mchoro 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Hebu tuthibitishe, kwa mfano, hilo mimi xj =k.

1) k ^ i, k ^ j ;

2) |k |=1, lakini | mimi x j| = | mimi | | J | dhambi(90°)=1;

3) vekta i, j na k tengeneza mara tatu ya kulia (tazama Mchoro 16).

7.2. Mali ya bidhaa ya msalaba

1. Wakati wa kupanga upya mambo, bidhaa ya vector hubadilisha ishara, i.e. na xb =(b xa) (ona Mchoro 19).

Vekta a xb na b xa ni collinear, zina moduli sawa (eneo la parallelogram bado halijabadilika), lakini zimeelekezwa kinyume (mara tatu a, b, xb na a, b, b x a ya mwelekeo tofauti). Hiyo ni axb = -(b xa).

2. Bidhaa ya vekta ina mali ya kuchanganya kwa heshima na kipengele cha scalar, yaani l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).

Hebu l>0. Vekta l (a xb) ni ya kawaida kwa vekta a na b. Vekta ( l a) x b pia ni perpendicular kwa vectors a na b(vekta a, l lakini lala kwenye ndege moja). Hii ina maana kwamba vectors l(a xb) na ( l a) x b colinear. Ni dhahiri kwamba mwelekeo wao unafanana. Wana urefu sawa:

Ndiyo maana l(xb)= l ya xb. Inathibitishwa kwa njia sawa kwa l<0.

3. Vekta mbili zisizo za sifuri a na b ni collinear ikiwa na ikiwa tu bidhaa zao za vekta ni sawa na vekta sifuri, yaani a ||b<=>na xb =0.

Hasa, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Bidhaa ya vekta ina sifa ya usambazaji:

(a+b) xc = a xc + b xs.

Tutakubali bila uthibitisho.

7.3. Kuelezea bidhaa msalaba katika suala la kuratibu

Tutatumia jedwali la bidhaa msalaba za vekta i, j na k:.

ikiwa mwelekeo wa njia fupi kutoka kwa vector ya kwanza hadi ya pili inafanana na mwelekeo wa mshale, basi bidhaa ni sawa na vector ya tatu, ikiwa haipatikani, vector ya tatu inachukuliwa na ishara ya minus.

Acha vekta mbili a =a x i +a y itolewe j+a z k na b =b x i+b y j+b z k. Wacha tupate bidhaa ya vekta ya vekta hizi kwa kuzizidisha kama polynomials (kulingana na mali ya bidhaa ya vekta):

Fomula inayosababishwa inaweza kuandikwa kwa ufupi zaidi:

kwa kuwa upande wa kulia wa usawa (7.1) unalingana na upanuzi wa kiashiria cha mpangilio wa tatu kulingana na vipengele vya safu ya kwanza ya Usawa (7.2) ni rahisi kukumbuka.

7.4. Baadhi ya matumizi ya bidhaa mtambuka

Kuanzisha collinearity ya vekta

Kupata eneo la parallelogram na pembetatu

Kulingana na ufafanuzi wa bidhaa ya vector ya vectors A na b | xb | =| a | * |b |sin g, yaani S jozi = |a x b |. Na, kwa hiyo, D S =1/2|a x b |.

Uamuzi wa wakati wa nguvu kuhusu hatua

Wacha nguvu itumike katika hatua A F =AB acha iende KUHUSU- hatua fulani katika nafasi (tazama Mchoro 20).

Inajulikana kutoka kwa fizikia kwamba wakati wa nguvu F kuhusiana na uhakika KUHUSU inayoitwa vekta M, ambayo hupitia hatua KUHUSU Na:

1) perpendicular kwa ndege kupita pointi O, A, B;

2) nambari sawa na bidhaa ya nguvu kwa mkono

3) huunda utatu wa kulia na vekta OA na A B.

Kwa hivyo, M = OA x F.

Inatafuta kasi ya mzunguko wa mstari

Kasi v uhakika M wa mwili mgumu unaozunguka kwa kasi ya angular w karibu na mhimili uliowekwa, imedhamiriwa na formula ya Euler v = w xr, ambapo r = OM, ambapo O ni hatua fulani ya kudumu ya mhimili (ona Mchoro 21).