ஒரு திசையன் தயாரிப்பு பற்றிய கருத்தை வழங்குவதற்கு முன், முப்பரிமாண இடத்தில் a →, b →, c → திசையன்களின் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மூன்று திசையன்களின் நோக்குநிலை பற்றிய கேள்விக்கு திரும்புவோம்.

தொடங்குவதற்கு, திசையன்களை a → , b → , c → ஒரு புள்ளியில் இருந்து ஒதுக்கி வைப்போம். டிரிபிள் a → , b → , c → திசையன் c → இன் திசையைப் பொறுத்து வலது அல்லது இடமாக இருக்கலாம். டிரிபிள் a → , b → , c → வகையானது, திசையன் c → இன் முடிவில் இருந்து திசையன் a → லிருந்து b → வரை எந்த திசையில் மிகக் குறுகிய திருப்பம் ஏற்படுகிறது என்பதிலிருந்து தீர்மானிக்கப்படும்.

குறுகிய திருப்பமானது எதிரெதிர் திசையில் மேற்கொள்ளப்பட்டால், மூன்று திசையன்கள் a → , b → , c → எனப்படும் சரி, கடிகார திசையில் இருந்தால் - விட்டு.

அடுத்து, a → மற்றும் b → ஆகிய இரண்டு கோலினியர் அல்லாத திசையன்களை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். A B → = a → மற்றும் A C → = b → ஆகிய திசையன்களை A புள்ளியில் இருந்து திட்டமிடுவோம். ஒரு திசையன் A D → = c → ஐ உருவாக்குவோம், இது A B → மற்றும் A C → இரண்டிற்கும் ஒரே நேரத்தில் செங்குத்தாக இருக்கும். இவ்வாறு, திசையன் A D → = c → கட்டமைக்கும் போது, ​​நாம் இரண்டு விஷயங்களைச் செய்யலாம், அதற்கு ஒரு திசை அல்லது எதிர் திசையைக் கொடுக்கலாம் (விளக்கத்தைப் பார்க்கவும்).

வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மூன்று திசையன்கள் a → , b → , c → என்பது திசையன் திசையைப் பொறுத்து நாம் கண்டறிந்தபடி வலது அல்லது இடமாக இருக்கலாம்.

மேலே இருந்து நாம் ஒரு திசையன் தயாரிப்பு வரையறையை அறிமுகப்படுத்தலாம். முப்பரிமாண இடத்தின் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் வரையறுக்கப்பட்ட இரண்டு திசையன்களுக்கு இந்த வரையறை கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

வரையறை 1

a → மற்றும் b → ஆகிய இரண்டு திசையன்களின் திசையன் தயாரிப்பு முப்பரிமாண இடத்தின் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் வரையறுக்கப்பட்ட அத்தகைய திசையன் என்று அழைப்போம்:

• திசையன்கள் a → மற்றும் b → கோலினியர் என்றால், அது பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்;
• இது திசையன் a → மற்றும் திசையன் b → இரண்டிற்கும் செங்குத்தாக இருக்கும், அதாவது. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• அதன் நீளம் சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• திசையன்களின் மும்மடங்கு a → , b → , c → ஆகியவை கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் அதே நோக்குநிலையைக் கொண்டுள்ளன.

a → மற்றும் b → ஆகிய திசையன்களின் திசையன் தயாரிப்பு பின்வரும் குறிப்பைக் கொண்டுள்ளது: a → × b →.

திசையன் உற்பத்தியின் ஒருங்கிணைப்புகள்

எந்த திசையன் ஆய அமைப்பில் சில ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டிருப்பதால், திசையன் தயாரிப்பின் இரண்டாவது வரையறையை நாம் அறிமுகப்படுத்தலாம், இது திசையன்களின் கொடுக்கப்பட்ட ஆயங்களைப் பயன்படுத்தி அதன் ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறிய அனுமதிக்கும்.

வரையறை 2

முப்பரிமாண இடத்தின் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் இரண்டு திசையன்களின் திசையன் தயாரிப்பு a → = (a x ; a y ; a z) மற்றும் b → = (b x ; b y ; b z) வெக்டார் c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , i → , k

திசையன் தயாரிப்பு மூன்றாம் வரிசை சதுர மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பவராகக் குறிப்பிடப்படலாம், அங்கு முதல் வரிசையில் திசையன் திசையன்கள் உள்ளன i → , j → , k → , இரண்டாவது வரிசையில் திசையன் a → மற்றும் மூன்றாவது வரிசையின் ஆயத்தொலைவுகள் உள்ளன. கொடுக்கப்பட்ட செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், திசையன் b → இன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது, இது மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் இது போன்றது: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b

இந்த தீர்மானத்தை முதல் வரிசையின் உறுப்புகளாக விரித்து, நாம் சமத்துவத்தைப் பெறுகிறோம்: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · ix → b z · ix → b b y · k → = = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

ஒரு குறுக்கு தயாரிப்பு பண்புகள்

ஆயத்தொலைவுகளில் உள்ள திசையன் உற்பத்தியானது அணி c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , பின்னர் அதன் அடிப்படையில் குறிப்பிடப்படுகிறது. மேட்ரிக்ஸ் தீர்மானியின் பண்புகள்பின்வருபவை காட்டப்படும் திசையன் உற்பத்தியின் பண்புகள்:

1. எதிர்மாற்றம் a → × b → = - b → × a → ;
2. விநியோகம் a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → அல்லது a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. அசோசியேட்டிவிட்டி λ a → × b → = λ a → × b → அல்லது a → × (λ b →) = λ a → × b →, இதில் λ என்பது தன்னிச்சையான உண்மையான எண்.

இந்த பண்புகள் எளிய சான்றுகள் உள்ளன.

உதாரணமாக, ஒரு திசையன் தயாரிப்பின் ஆண்டிகம்யூடேட்டிவ் பண்பை நாம் நிரூபிக்க முடியும்.

ஆண்டிகம்யூடாட்டிவிட்டிக்கான சான்று

வரையறையின்படி, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z மற்றும் b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. மேட்ரிக்ஸின் இரண்டு வரிசைகள் மாற்றப்பட்டால், மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பவரின் மதிப்பு எதிர்மாறாக மாற வேண்டும், எனவே, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b ax = - i → j → k z - b → × a → , இது மற்றும் வெக்டார் தயாரிப்பு ஆண்டிகம்யூடேட்டிவ் என்பதை நிரூபிக்கிறது.

திசையன் தயாரிப்பு - எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் தீர்வுகள்

பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், மூன்று வகையான சிக்கல்கள் உள்ளன.

முதல் வகை சிக்கல்களில், இரண்டு திசையன்களின் நீளம் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் பொதுவாக கொடுக்கப்படுகின்றன, மேலும் நீங்கள் திசையன் உற்பத்தியின் நீளத்தைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இந்த வழக்கில், பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும் c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

எடுத்துக்காட்டு 1

உங்களுக்கு a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4 தெரிந்தால், a → மற்றும் b → திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியின் நீளத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

a → மற்றும் b → திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியின் நீளத்தை தீர்மானிப்பதன் மூலம், இந்த சிக்கலை தீர்க்கிறோம்: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

பதில்: 15 2 2 .

இரண்டாவது வகையின் சிக்கல்கள் திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளுடன் தொடர்பைக் கொண்டுள்ளன, அவற்றில் திசையன் தயாரிப்பு, அதன் நீளம் போன்றவை. கொடுக்கப்பட்ட திசையன்களின் அறியப்பட்ட ஆயத்தொலைவுகள் மூலம் தேடப்படுகின்றன a → = (a x; a y; a z) மற்றும் b → = (b x ; b y ; b z) .

இந்த வகை சிக்கலுக்கு, நீங்கள் பல பணி விருப்பங்களை தீர்க்க முடியும். எடுத்துக்காட்டாக, a → மற்றும் b → திசையன்களின் ஆயங்களை குறிப்பிட முடியாது, ஆனால் வடிவத்தின் ஒருங்கிணைப்பு திசையன்களாக அவற்றின் விரிவாக்கங்கள் b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → மற்றும் c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, அல்லது திசையன்கள் a → மற்றும் b களின் ஒருங்கிணைக்கப்படும் மற்றும் இறுதி புள்ளிகள்.

பின்வரும் உதாரணங்களைக் கவனியுங்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 2

ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், இரண்டு திசையன்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). அவர்களின் குறுக்கு தயாரிப்பு கண்டுபிடிக்க.

தீர்வு

இரண்டாவது வரையறையின்படி, கொடுக்கப்பட்ட ஆயங்களில் இரண்டு திசையன்களின் வெக்டார் உற்பத்தியைக் காண்கிறோம்: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் மூலம் திசையன் தயாரிப்பை எழுதினால், இந்த எடுத்துக்காட்டின் தீர்வு இப்படி இருக்கும்: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 -1 - 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

பதில்: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

எடுத்துக்காட்டு 3

i → - j → மற்றும் i → + j → + k → ஆகிய திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியின் நீளத்தைக் கண்டறியவும், இதில் i →, j →, k → ஆகியவை செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் அலகு திசையன்களாகும்.

தீர்வு

முதலில், கொடுக்கப்பட்ட செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் கொடுக்கப்பட்ட திசையன் தயாரிப்பு i → - j → × i → + j → + k → ஆயத்தொகுப்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்.

திசையன்கள் i → - j → மற்றும் i → + j → + k → ஆகியவை முறையே (1; - 1; 0) மற்றும் (1; 1; 1) ஆயங்களைக் கொண்டிருப்பதாக அறியப்படுகிறது. மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பாளரைப் பயன்படுத்தி திசையன் தயாரிப்பின் நீளத்தைக் கண்டுபிடிப்போம், பின்னர் நாம் i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - ஜே → + 2 கே → .

எனவே, திசையன் தயாரிப்பு i → - j → × i → + j → + k → கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் ஆய (- 1 ; - 1 ; 2) உள்ளது.

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி திசையன் உற்பத்தியின் நீளத்தைக் காண்கிறோம் (வெக்டரின் நீளத்தைக் கண்டறிவதற்கான பகுதியைப் பார்க்கவும்): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

பதில்: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

எடுத்துக்காட்டு 4

ஒரு செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) ஆகிய மூன்று புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. ஒரே நேரத்தில் A B → மற்றும் A C → க்கு செங்குத்தாக சில திசையன்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

திசையன்கள் A B → மற்றும் A C → ஆகியவை முறையே பின்வரும் ஆய (- 1 ; 2 ; 2) மற்றும் (0 ; 4 ; 1) உள்ளன. A B → மற்றும் A C → ஆகிய திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியைக் கண்டறிந்த பிறகு, இது A B → மற்றும் A C → இரண்டிற்கும் ஒரு செங்குத்து திசையன் என்பது தெளிவாகிறது, அதாவது, இது எங்கள் பிரச்சனைக்கு ஒரு தீர்வாகும். அதைக் கண்டுபிடிப்போம் A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

பதில்: - 6 i → + j → - 4 k → . - செங்குத்து திசையன்களில் ஒன்று.

மூன்றாவது வகையின் சிக்கல்கள் திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துவதில் கவனம் செலுத்துகின்றன. விண்ணப்பித்த பிறகு, கொடுக்கப்பட்ட சிக்கலுக்கு ஒரு தீர்வைப் பெறுவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 5

திசையன்கள் a → மற்றும் b → செங்குத்தாக உள்ளன மற்றும் அவற்றின் நீளம் முறையே 3 மற்றும் 4 ஆகும். திசையன் உற்பத்தியின் நீளம் 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

தீர்வு

ஒரு திசையன் தயாரிப்பின் விநியோகப் பண்பு மூலம், நாம் 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 என்று எழுதலாம். a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

அசோசியேட்டிவிட்டியின் சொத்தின் மூலம், கடைசி வெளிப்பாட்டில் உள்ள வெக்டார் தயாரிப்புகளின் அடையாளத்திலிருந்து எண் குணகங்களை எடுத்துக்கொள்கிறோம்: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

திசையன் தயாரிப்புகள் a → × a → மற்றும் b → × b → 0 க்கு சமம், ஏனெனில் a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 மற்றும் b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, பின்னர் 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b →. × a → .

திசையன் உற்பத்தியின் ஆன்டிகம்யூடாட்டிவிட்டியில் இருந்து இது பின்வருமாறு - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

திசையன் உற்பத்தியின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, சமத்துவம் 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

நிபந்தனையின்படி, a → மற்றும் b → திசையன்கள் செங்குத்தாக உள்ளன, அதாவது அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் π 2 க்கு சமம். இப்போது எஞ்சியுள்ள மதிப்புகளை பொருத்தமான சூத்திரங்களில் மாற்றுவதுதான்: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

பதில்: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

வரையறையின்படி திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியின் நீளம் a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு அதன் இரு பக்கங்களின் நீளத்தின் பாதிப் பெருக்கத்திற்கு சமம் என்பது ஏற்கனவே அறியப்பட்டிருப்பதால், இந்தப் பக்கங்களுக்கிடையே உள்ள கோணத்தின் சைனால் பெருக்கப்படுகிறது. இதன் விளைவாக, திசையன் உற்பத்தியின் நீளம் இணையான வரைபடத்தின் பரப்பளவிற்கு சமமாக இருக்கும் - இரட்டிப்பான முக்கோணம், அதாவது திசையன்கள் வடிவில் பக்கங்களின் தயாரிப்பு a → மற்றும் b →, ஒரு புள்ளியில் இருந்து, சைன் மூலம் அமைக்கப்பட்டுள்ளது அவற்றுக்கிடையே உள்ள கோணம் பாவம் ∠ a →, b →.

இது திசையன் தயாரிப்பின் வடிவியல் பொருள்.

திசையன் தயாரிப்பின் இயற்பியல் பொருள்

இயக்கவியலில், இயற்பியலின் கிளைகளில் ஒன்று, திசையன் தயாரிப்புக்கு நன்றி, விண்வெளியில் ஒரு புள்ளியுடன் தொடர்புடைய ஒரு சக்தியின் தருணத்தை நீங்கள் தீர்மானிக்க முடியும்.

வரையறை 3

புள்ளி B க்கு F → பயன்படுத்தப்படும் விசையின் தருணத்தில், A புள்ளியுடன் ஒப்பிடுகையில், பின்வரும் திசையன் தயாரிப்பு A B → × F → ஐப் புரிந்துகொள்வோம்.

உரையில் பிழையைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்

இந்த பாடத்தில் திசையன்களுடன் மேலும் இரண்டு செயல்பாடுகளைப் பார்ப்போம்: திசையன்களின் திசையன் தயாரிப்புமற்றும் திசையன்களின் கலப்பு தயாரிப்பு (தேவைப்படுபவர்களுக்கு உடனடி இணைப்பு). அது பரவாயில்லை, சில சமயங்களில் முழுமையான மகிழ்ச்சிக்காக, கூடுதலாக நடக்கும் திசையன்களின் அளவிடல் தயாரிப்பு, மேலும் மேலும் தேவை. இது வெக்டர் போதை. நாம் பகுப்பாய்வு வடிவவியலின் காட்டுக்குள் வருகிறோம் என்று தோன்றலாம். இது தவறு. உயர் கணிதத்தின் இந்தப் பிரிவில், பினோச்சியோவுக்குப் போதுமானதைத் தவிர, பொதுவாக சிறிய மரம் உள்ளது. உண்மையில், பொருள் மிகவும் பொதுவானது மற்றும் எளிமையானது - அதே விட மிகவும் சிக்கலானது அளவிடல் தயாரிப்பு, குறைவான வழக்கமான பணிகள் கூட இருக்கும். பகுப்பாய்வு வடிவவியலில் முக்கிய விஷயம், பலர் நம்புவார்கள் அல்லது ஏற்கனவே நம்பியிருப்பார்கள், கணக்கீடுகளில் தவறுகளைச் செய்யக்கூடாது. ஒரு மந்திரம் போல மீண்டும் செய்யவும், நீங்கள் மகிழ்ச்சியாக இருப்பீர்கள் =)

அடிவானத்தில் மின்னலைப் போல, திசையன்கள் எங்காவது தொலைவில் பிரகாசித்தால், அது ஒரு பொருட்டல்ல, பாடத்துடன் தொடங்குங்கள் டம்மிகளுக்கான திசையன்கள்திசையன்களைப் பற்றிய அடிப்படை அறிவை மீட்டெடுக்க அல்லது மீட்டெடுக்க. மேலும் தயார்படுத்தப்பட்ட வாசகர்கள் தகவலைத் தேர்ந்தெடுத்து அறிந்துகொள்ளலாம்; நடைமுறை வேலைகளில் அடிக்கடி காணப்படும் எடுத்துக்காட்டுகளின் முழுமையான தொகுப்பை சேகரிக்க முயற்சித்தேன்.

உடனடியாக உங்களுக்கு மகிழ்ச்சியைத் தருவது எது? நான் சிறுவனாக இருந்தபோது, ​​இரண்டு மற்றும் மூன்று பந்துகளை கூட என்னால் ஏமாற்ற முடியும். அது நன்றாக வேலை செய்தது. நாங்கள் பரிசீலிப்போம் என்பதால் இப்போது நீங்கள் ஏமாற்று வித்தை செய்ய வேண்டியதில்லை இடஞ்சார்ந்த திசையன்கள் மட்டுமே, மற்றும் இரண்டு ஆயங்களைக் கொண்ட தட்டையான திசையன்கள் வெளியேறும். ஏன்? இந்த செயல்கள் இப்படித்தான் பிறந்தன - திசையன்களின் திசையன் மற்றும் கலப்பு தயாரிப்பு வரையறுக்கப்பட்டு முப்பரிமாண இடத்தில் வேலை செய்கிறது. இது ஏற்கனவே எளிதானது!

ஸ்கேலர் தயாரிப்பு போலவே இந்த செயல்பாடும் அடங்கும் இரண்டு திசையன்கள். இவை அழியாத எழுத்துக்களாக இருக்கட்டும்.

செயல் தானே மூலம் குறிக்கப்படுகிறதுபின்வரும் வழியில்: . வேறு விருப்பங்கள் உள்ளன, ஆனால் திசையன்களின் திசையன் தயாரிப்பை சதுர அடைப்புக்குறிக்குள் குறுக்குவெட்டுடன் குறிக்கப் பழகிவிட்டேன்.

மற்றும் உடனே கேள்வி: உள்ளே இருந்தால் திசையன்களின் அளவிடல் தயாரிப்புஇரண்டு திசையன்கள் ஈடுபட்டுள்ளன, மேலும் இங்கே இரண்டு திசையன்களும் பெருக்கப்படுகின்றன என்ன வேறுபாடு உள்ளது? வெளிப்படையான வேறுபாடு என்னவென்றால், முதலில், விளைவாக:

திசையன்களின் அளவிடல் பெருக்கத்தின் முடிவு NUMBER:

திசையன்களின் குறுக்கு உற்பத்தியின் விளைவு VECTOR ஆகும்: , அதாவது, நாம் திசையன்களைப் பெருக்கி மீண்டும் ஒரு திசையன் பெறுகிறோம். மூடப்பட்ட கிளப். உண்மையில், அறுவை சிகிச்சையின் பெயர் எங்கிருந்து வந்தது. வெவ்வேறு கல்வி இலக்கியங்களில், பதவிகளும் மாறுபடலாம்; நான் கடிதத்தைப் பயன்படுத்துவேன்.

குறுக்கு தயாரிப்பு வரையறை

முதலில் ஒரு படத்துடன் ஒரு வரையறை இருக்கும், பின்னர் கருத்துகள்.

வரையறை: திசையன் தயாரிப்பு கோலினியர் அல்லாததிசையன்கள், இந்த வரிசையில் எடுக்கப்பட்டது, VECTOR எனப்படும், நீளம்இது எண்ணிக்கையில் உள்ளது இணையான வரைபடத்தின் பகுதிக்கு சமம், இந்த திசையன்களில் கட்டப்பட்டது; திசையன் திசையன்களுக்கு ஆர்த்தோகனல், மற்றும் அடிப்படை சரியான நோக்குநிலையைக் கொண்டிருக்கும் வகையில் இயக்கப்படுகிறது:

வரையறையை துண்டு துண்டாக உடைப்போம், இங்கே நிறைய சுவாரஸ்யமான விஷயங்கள் உள்ளன!

எனவே, பின்வரும் குறிப்பிடத்தக்க புள்ளிகளை முன்னிலைப்படுத்தலாம்:

1) சிவப்பு அம்புகளால் குறிக்கப்பட்ட அசல் திசையன்கள், வரையறையின்படி கோலினியர் அல்ல. கோலினியர் திசையன்களின் விஷயத்தை சிறிது நேரம் கழித்து கருத்தில் கொள்வது பொருத்தமானதாக இருக்கும்.

2) திசையன்கள் எடுக்கப்படுகின்றன கண்டிப்பாக வரையறுக்கப்பட்ட வரிசையில்: – "a" என்பது "be" ஆல் பெருக்கப்படுகிறது, "a" உடன் "இருக்க" இல்லை. திசையன் பெருக்கத்தின் முடிவு VECTOR என்பது நீல நிறத்தில் குறிக்கப்படும். திசையன்கள் தலைகீழ் வரிசையில் பெருக்கப்பட்டால், நாம் ஒரு திசையன் நீளம் மற்றும் எதிர் திசையில் (ராஸ்பெர்ரி நிறம்) சமமாக பெறுகிறோம். அதாவது சமத்துவம் என்பது உண்மை .

3) இப்போது திசையன் தயாரிப்பின் வடிவியல் பொருளைப் பற்றி அறிந்து கொள்வோம். இது ஒரு மிக முக்கியமான புள்ளி! நீல திசையனின் நீளம் (மற்றும், அதனால், கருஞ்சிவப்பு திசையன்) திசையன்களில் கட்டப்பட்ட இணையான வரைபடத்தின் பகுதிக்கு எண்ணியல் ரீதியாக சமம். படத்தில், இந்த இணையான வரைபடம் கருப்பு நிறத்தில் உள்ளது.

குறிப்பு : வரைதல் திட்டவட்டமானது, மற்றும், இயற்கையாகவே, திசையன் உற்பத்தியின் பெயரளவு நீளம் இணையான வரைபடத்தின் பரப்பளவிற்கு சமமாக இருக்காது.

வடிவியல் சூத்திரங்களில் ஒன்றை நினைவு கூர்வோம்: ஒரு இணையான வரைபடத்தின் பரப்பளவு அருகிலுள்ள பக்கங்களின் பெருக்கத்திற்கும் அவற்றுக்கிடையே உள்ள கோணத்தின் சைனுக்கும் சமம். எனவே, மேற்கூறியவற்றின் அடிப்படையில், திசையன் தயாரிப்பின் நீளத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரம் செல்லுபடியாகும்:

சூத்திரம் திசையன் நீளத்தைப் பற்றியது, திசையன் பற்றியது அல்ல என்பதை நான் வலியுறுத்துகிறேன். நடைமுறை அர்த்தம் என்ன? மேலும் இதன் பொருள் என்னவென்றால், பகுப்பாய்வு வடிவவியலின் சிக்கல்களில், ஒரு இணையான வரைபடத்தின் பரப்பளவு பெரும்பாலும் திசையன் தயாரிப்பு என்ற கருத்து மூலம் காணப்படுகிறது:

இரண்டாவது முக்கியமான சூத்திரத்தைப் பெறுவோம். ஒரு இணையான வரைபடத்தின் மூலைவிட்டமானது (சிவப்பு புள்ளியிடப்பட்ட கோடு) அதை இரண்டு சமமான முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கிறது. எனவே, திசையன்களில் (சிவப்பு நிழல்) கட்டப்பட்ட முக்கோணத்தின் பகுதியை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி காணலாம்:

4) ஒரு சமமான முக்கியமான உண்மை என்னவென்றால், திசையன் திசையன்களுக்கு ஆர்த்தோகனல் ஆகும், அதாவது . நிச்சயமாக, எதிர் திசையன் (ராஸ்பெர்ரி அம்பு) அசல் திசையன்களுக்கு ஆர்த்தோகனல் ஆகும்.

5) திசையன் அவ்வாறு இயக்கப்படுகிறது அடிப்படையில்அது உள்ளது சரிநோக்குநிலை. பற்றி பாடத்தில் ஒரு புதிய அடிப்படைக்கு மாற்றம்பற்றி போதுமான விவரமாகப் பேசினேன் விமான நோக்குநிலை, இப்போது விண்வெளி நோக்குநிலை என்றால் என்ன என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். உங்கள் விரல்களில் விளக்குகிறேன் வலது கை. மனதளவில் இணைக்கவும் ஆள்காட்டி விரல்திசையன் மற்றும் நடு விரல்வெக்டருடன். மோதிர விரல் மற்றும் சிறிய விரல்அதை உங்கள் உள்ளங்கையில் அழுத்தவும். அதன் விளைவாக கட்டைவிரல்- திசையன் தயாரிப்பு மேலே பார்க்கும். இது ஒரு வலது-சார்ந்த அடிப்படையாகும் (இது படத்தில் உள்ளது). இப்போது திசையன்களை மாற்றவும் ( ஆள்காட்டி மற்றும் நடுத்தர விரல்கள்) சில இடங்களில், இதன் விளைவாக கட்டைவிரல் சுழலும், மற்றும் திசையன் தயாரிப்பு ஏற்கனவே கீழே இருக்கும். இதுவும் வலதுசாரி அடிப்படையாகும். உங்களுக்கு ஒரு கேள்வி இருக்கலாம்: எந்த அடிப்படையில் இடது நோக்குநிலை உள்ளது? அதே விரல்களுக்கு "ஒதுக்க" இடது கைதிசையன்கள், மற்றும் இடத்தின் இடது அடிப்படை மற்றும் இடது நோக்குநிலையைப் பெறுங்கள் (இந்த வழக்கில், கட்டைவிரல் கீழ் திசையன் திசையில் அமைந்திருக்கும்). அடையாளப்பூர்வமாகச் சொன்னால், இந்த அடிப்படைகள் வெவ்வேறு திசைகளில் "திருப்பம்" அல்லது ஓரியண்ட் விண்வெளி. இந்த கருத்தை தொலைதூர அல்லது சுருக்கமாக கருதக்கூடாது - எடுத்துக்காட்டாக, இடத்தின் நோக்குநிலை மிகவும் சாதாரண கண்ணாடியால் மாற்றப்படுகிறது, மேலும் நீங்கள் "பார்க்கும் கண்ணாடியிலிருந்து பிரதிபலித்த பொருளை வெளியே இழுத்தால்", பொது வழக்கில் அது அதை "அசல்" உடன் இணைக்க முடியாது. மூலம், கண்ணாடியில் மூன்று விரல்களைப் பிடித்து, பிரதிபலிப்பைப் பகுப்பாய்வு செய்யுங்கள் ;-)

...இப்போது நீங்கள் அறிந்திருப்பது எவ்வளவு நல்லது வலது மற்றும் இடது சார்ந்தஅடிப்படைகள், ஏனெனில் நோக்குநிலை மாற்றம் பற்றிய சில விரிவுரையாளர்களின் அறிக்கைகள் பயமாக உள்ளன =)

கோலினியர் திசையன்களின் குறுக்கு தயாரிப்பு

வரையறை விரிவாக விவாதிக்கப்பட்டது, திசையன்கள் கோலினியர்களாக இருக்கும்போது என்ன நடக்கும் என்பதைக் கண்டறிய இது உள்ளது. திசையன்கள் கோலினியர் என்றால், அவை ஒரு நேர் கோட்டில் வைக்கப்படலாம், மேலும் எங்கள் இணையான வரைபடமும் ஒரு நேர் கோட்டில் "மடிக்கிறது". அத்தகைய பகுதி, கணிதவியலாளர்கள் சொல்வது போல், சீரழியும்இணையான வரைபடம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். சூத்திரத்தில் இருந்து இது பின்வருமாறு - பூஜ்ஜியத்தின் சைன் அல்லது 180 டிகிரி பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், அதாவது பரப்பளவு பூஜ்யம்

எனவே, என்றால், பின்னர் மற்றும் . திசையன் தயாரிப்பு பூஜ்ஜிய வெக்டருக்கு சமம் என்பதை நினைவில் கொள்க, ஆனால் நடைமுறையில் இது பெரும்பாலும் புறக்கணிக்கப்படுகிறது, மேலும் இது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்று எழுதப்பட்டுள்ளது.

ஒரு சிறப்பு வழக்கு என்பது ஒரு திசையனின் குறுக்கு தயாரிப்பு ஆகும்:

திசையன் தயாரிப்பைப் பயன்படுத்தி, முப்பரிமாண திசையன்களின் கோலினரிட்டியை நீங்கள் சரிபார்க்கலாம், மேலும் இந்த சிக்கலை நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

நடைமுறை எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்க்க, உங்களுக்குத் தேவைப்படலாம் முக்கோணவியல் அட்டவணைஅதிலிருந்து சைன்களின் மதிப்புகளைக் கண்டறிய.

சரி, தீ மூட்டுவோம்:

எடுத்துக்காட்டு 1

a) என்றால் திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியின் நீளத்தைக் கண்டறியவும்

b) திசையன்கள் மீது கட்டப்பட்ட இணையான வரைபடத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்

தீர்வு: இல்லை, இது எழுத்துப்பிழை அல்ல, நான் வேண்டுமென்றே உட்பிரிவுகளில் உள்ள ஆரம்ப தரவை அப்படியே செய்தேன். ஏனெனில் தீர்வுகளின் வடிவமைப்பு வித்தியாசமாக இருக்கும்!

அ) நிபந்தனையின் படி, நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் நீளம்திசையன் (குறுக்கு தயாரிப்பு). தொடர்புடைய சூத்திரத்தின் படி:

பதில்:

நீளம் பற்றி உங்களிடம் கேட்கப்பட்டால், பதிலில் பரிமாணத்தை குறிப்பிடுகிறோம் - அலகுகள்.

b) நிபந்தனையின் படி, நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் சதுரம்திசையன்களில் கட்டப்பட்ட இணையான வரைபடம். இந்த இணையான வரைபடத்தின் பரப்பளவு திசையன் உற்பத்தியின் நீளத்திற்கு எண்ணியல் ரீதியாக சமம்:

பதில்:

பதில் திசையன் தயாரிப்பு பற்றி பேசவில்லை என்பதை நினைவில் கொள்க; எங்களிடம் கேட்கப்பட்டது உருவத்தின் பகுதி, அதன்படி, பரிமாணம் சதுர அலகுகள்.

நிபந்தனைக்கு ஏற்ப நாம் எதைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்பதை நாங்கள் எப்போதும் பார்க்கிறோம், இதன் அடிப்படையில், நாங்கள் உருவாக்குகிறோம் தெளிவானதுபதில். இது இலக்கியம் போல் தோன்றலாம், ஆனால் ஆசிரியர்களிடையே ஏராளமான இலக்கியவாதிகள் உள்ளனர், மேலும் பணியை மறுபரிசீலனைக்காக திருப்பி அனுப்ப நல்ல வாய்ப்பு உள்ளது. இது குறிப்பாக வெகுதூர வினாடி அல்ல என்றாலும் - பதில் தவறாக இருந்தால், அந்த நபர் எளிய விஷயங்களைப் புரிந்து கொள்ளவில்லை மற்றும்/அல்லது பணியின் சாராம்சத்தைப் புரிந்து கொள்ளவில்லை என்ற எண்ணத்தை ஒருவர் பெறுகிறார். உயர் கணிதம் மற்றும் பிற பாடங்களில் ஏதேனும் சிக்கலை தீர்க்கும் போது இந்த புள்ளி எப்போதும் கட்டுப்பாட்டில் வைக்கப்பட வேண்டும்.

"en" என்ற பெரிய எழுத்து எங்கே போனது? கொள்கையளவில், இது தீர்வுடன் கூடுதலாக இணைக்கப்பட்டிருக்கலாம், ஆனால் நுழைவைக் குறைக்க, நான் இதைச் செய்யவில்லை. எல்லோரும் அதைப் புரிந்துகொள்வார்கள் என்று நம்புகிறேன், மேலும் இதுவே ஒரு பதவியாகும்.

DIY தீர்வுக்கான பிரபலமான எடுத்துக்காட்டு:

எடுத்துக்காட்டு 2

திசையன்கள் மீது கட்டப்பட்ட ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கண்டறியவும்

திசையன் தயாரிப்பு மூலம் ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதியைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம் வரையறைக்கான கருத்துகளில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. தீர்வு மற்றும் பதில் பாடத்தின் முடிவில் உள்ளது.

நடைமுறையில், பணி மிகவும் பொதுவானது; முக்கோணங்கள் பொதுவாக உங்களைத் துன்புறுத்தலாம்.

பிற சிக்கல்களைத் தீர்க்க, எங்களுக்கு இது தேவைப்படும்:

திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியின் பண்புகள்

திசையன் தயாரிப்பின் சில பண்புகளை நாங்கள் ஏற்கனவே பரிசீலித்துள்ளோம், இருப்பினும், அவற்றை இந்த பட்டியலில் சேர்ப்பேன்.

தன்னிச்சையான திசையன்கள் மற்றும் தன்னிச்சையான எண்ணுக்கு, பின்வரும் பண்புகள் உண்மையாக இருக்கும்:

1) பிற தகவல் ஆதாரங்களில், இந்த உருப்படி பொதுவாக பண்புகளில் முன்னிலைப்படுத்தப்படுவதில்லை, ஆனால் நடைமுறை அடிப்படையில் இது மிகவும் முக்கியமானது. அதனால் இருக்கட்டும்.

2) - சொத்து மேலே விவாதிக்கப்பட்டது, சில நேரங்களில் அது அழைக்கப்படுகிறது மாறுதல் எதிர்ப்பு. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், திசையன்களின் வரிசை முக்கியமானது.

3) - துணை அல்லது துணைதிசையன் தயாரிப்பு சட்டங்கள். திசையன் தயாரிப்புக்கு வெளியே மாறிலிகளை எளிதாக நகர்த்த முடியும். உண்மையில், அவர்கள் அங்கு என்ன செய்ய வேண்டும்?

4) - விநியோகம் அல்லது விநியோகிக்கக்கூடியதிசையன் தயாரிப்பு சட்டங்கள். அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்பதில் எந்தப் பிரச்சினையும் இல்லை.

நிரூபிக்க, ஒரு சிறிய உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

எடுத்துக்காட்டு 3

இருந்தால் கண்டுபிடிக்கவும்

தீர்வு:நிபந்தனைக்கு மீண்டும் திசையன் தயாரிப்பின் நீளத்தைக் கண்டறிய வேண்டும். எங்கள் மினியேச்சரை வரைவோம்:

(1) துணைச் சட்டங்களின்படி, திசையன் உற்பத்தியின் எல்லைக்கு வெளியே மாறிலிகளை எடுத்துக்கொள்கிறோம்.

(2) நாம் தொகுதிக்கு வெளியே மாறிலியை நகர்த்துகிறோம், மேலும் தொகுதி மைனஸ் அடையாளத்தை "சாப்பிடுகிறது". நீளம் எதிர்மறையாக இருக்க முடியாது.

(3) மீதமுள்ளவை தெளிவாக உள்ளன.

பதில்:

நெருப்பில் அதிக விறகு சேர்க்க வேண்டிய நேரம் இது:

எடுத்துக்காட்டு 4

திசையன்கள் மீது கட்டப்பட்ட ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடவும்

தீர்வு: சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி முக்கோணத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும் . கேட்ச் என்னவென்றால், "tse" மற்றும் "de" ஆகிய திசையன்கள் திசையன்களின் கூட்டுத்தொகையாக வழங்கப்படுகின்றன. இங்குள்ள அல்காரிதம் நிலையானது மற்றும் பாடத்தின் எடுத்துக்காட்டு எண். 3 மற்றும் 4ஐ ஓரளவு நினைவூட்டுகிறது. திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு. தெளிவுக்காக, தீர்வை மூன்று நிலைகளாகப் பிரிப்போம்:

1) முதல் கட்டத்தில், திசையன் தயாரிப்பு மூலம் திசையன் தயாரிப்பை வெளிப்படுத்துகிறோம், உண்மையில், ஒரு திசையன் அடிப்படையில் ஒரு திசையனை வெளிப்படுத்துவோம். நீளம் பற்றி இன்னும் வார்த்தை இல்லை!

(1) திசையன்களின் வெளிப்பாடுகளை மாற்றவும்.

(2) பகிர்ந்தளிப்புச் சட்டங்களைப் பயன்படுத்தி, பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கல் விதியின்படி அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கிறோம்.

(3) துணைச் சட்டங்களைப் பயன்படுத்தி, திசையன் தயாரிப்புகளுக்கு அப்பால் அனைத்து மாறிலிகளையும் நகர்த்துகிறோம். ஒரு சிறிய அனுபவத்துடன், 2 மற்றும் 3 படிகளை ஒரே நேரத்தில் செய்ய முடியும்.

(4) நல்ல பண்பு காரணமாக முதல் மற்றும் கடைசி சொற்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு (பூஜ்ஜிய திசையன்) சமம். இரண்டாவது வார்த்தையில், வெக்டார் தயாரிப்பின் ஆண்டிகம்யூடாட்டிவிட்டியின் பண்பைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

(5) இதே போன்ற விதிமுறைகளை நாங்கள் முன்வைக்கிறோம்.

இதன் விளைவாக, திசையன் ஒரு திசையன் மூலம் வெளிப்படுத்தப்பட்டது, இது அடைய வேண்டியது:

2) இரண்டாவது கட்டத்தில், நமக்குத் தேவையான திசையன் தயாரிப்பின் நீளத்தைக் கண்டுபிடிப்போம். இந்த நடவடிக்கை எடுத்துக்காட்டு 3க்கு ஒத்ததாகும்:

3) தேவையான முக்கோணத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்:

தீர்வின் 2-3 நிலைகளை ஒரே வரியில் எழுதியிருக்கலாம்.

பதில்:

சோதனைகளில் கருதப்படும் சிக்கல் மிகவும் பொதுவானது, அதை நீங்களே தீர்ப்பதற்கான ஒரு எடுத்துக்காட்டு இங்கே:

எடுத்துக்காட்டு 5

இருந்தால் கண்டுபிடிக்கவும்

பாடத்தின் முடிவில் ஒரு சிறிய தீர்வு மற்றும் பதில். முந்தைய உதாரணங்களைப் படிக்கும்போது நீங்கள் எவ்வளவு கவனத்துடன் இருந்தீர்கள் என்று பார்ப்போம் ;-)

ஆயத்தொலைவுகளில் திசையன்களின் குறுக்கு தயாரிப்பு

, ஆர்த்தோநார்மல் அடிப்படையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது, சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

சூத்திரம் மிகவும் எளிமையானது: தீர்மானிப்பாளரின் மேல் வரியில் நாம் ஒருங்கிணைப்பு திசையன்களை எழுதுகிறோம், இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது வரிகளில் திசையன்களின் ஆயங்களை "வைக்கிறோம்", நாங்கள் வைக்கிறோம் கடுமையான வரிசையில்- முதலில் "ve" திசையனின் ஆயத்தொலைவுகள், பின்னர் "இரட்டை-ve" திசையனின் ஆயத்தொலைவுகள். திசையன்களை வேறு வரிசையில் பெருக்க வேண்டும் என்றால், வரிசைகள் மாற்றப்பட வேண்டும்:

எடுத்துக்காட்டு 10

பின்வரும் விண்வெளி திசையன்கள் கோலினியர் உள்ளதா என்பதைச் சரிபார்க்கவும்:
A)
b)

தீர்வு: காசோலையானது இந்தப் பாடத்தில் உள்ள அறிக்கைகளில் ஒன்றை அடிப்படையாகக் கொண்டது: திசையன்கள் கோலினியர் என்றால், அவற்றின் திசையன் தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் (பூஜ்ஜிய திசையன்): .

அ) திசையன் தயாரிப்பைக் கண்டறியவும்:

இதனால், திசையன்கள் கோலினியர் அல்ல.

b) திசையன் தயாரிப்பைக் கண்டறியவும்:

பதில்: அ) கோலினியர் அல்ல, ஆ)

இங்கே, ஒருவேளை, திசையன்களின் திசையன் தயாரிப்பு பற்றிய அனைத்து அடிப்படை தகவல்களும் இருக்கலாம்.

வெக்டார்களின் கலப்புப் பொருளைப் பயன்படுத்துவதில் சில சிக்கல்கள் இருப்பதால், இந்தப் பிரிவு மிகப் பெரியதாக இருக்காது. உண்மையில், எல்லாம் வரையறை, வடிவியல் பொருள் மற்றும் இரண்டு வேலை சூத்திரங்களைப் பொறுத்தது.

திசையன்களின் கலப்புப் பொருள் மூன்று திசையன்களின் பெருக்கமாகும்:

எனவே அவர்கள் ஒரு ரயில் போல வரிசையாக நிற்கிறார்கள் மற்றும் அடையாளம் காண காத்திருக்க முடியாது.

முதலில், மீண்டும், ஒரு வரையறை மற்றும் ஒரு படம்:

வரையறை: கலப்பு வேலை அல்லாத கோப்ளனார்திசையன்கள், இந்த வரிசையில் எடுக்கப்பட்டது, அழைக்கப்பட்டது இணை குழாய் தொகுதி, இந்த வெக்டார்களில் கட்டப்பட்டது, அடிப்படை சரியாக இருந்தால் “+” அடையாளமும், அடிப்படை இடதுபுறமாக இருந்தால் “–” அடையாளமும் இருக்கும்.

வரைவோம். நமக்குப் புலப்படாத கோடுகள் புள்ளியிடப்பட்ட கோடுகளால் வரையப்பட்டுள்ளன:

வரையறைக்குள் நுழைவோம்:

2) திசையன்கள் எடுக்கப்படுகின்றன ஒரு குறிப்பிட்ட வரிசையில், அதாவது, தயாரிப்பில் உள்ள திசையன்களின் மறுசீரமைப்பு, நீங்கள் யூகித்தபடி, விளைவுகள் இல்லாமல் நிகழாது.

3) வடிவியல் அர்த்தத்தைப் பற்றி கருத்துத் தெரிவிக்கும் முன், நான் ஒரு தெளிவான உண்மையைக் குறிப்பிடுகிறேன்: திசையன்களின் கலப்புப் பலன் ஒரு NUMBER ஆகும்: . கல்வி இலக்கியத்தில், வடிவமைப்பு சற்று வித்தியாசமாக இருக்கலாம்; நான் ஒரு கலவையான தயாரிப்பைக் குறிக்கப் பழகிவிட்டேன், மற்றும் கணக்கீடுகளின் முடிவை "pe" என்ற எழுத்தின் மூலம் குறிக்கிறேன்.

A-priory கலப்பு தயாரிப்பு என்பது இணை குழாய்களின் அளவு, திசையன்கள் மீது கட்டப்பட்டது (சிவப்பு திசையன்கள் மற்றும் கருப்பு கோடுகளால் உருவம் வரையப்பட்டுள்ளது). அதாவது, கொடுக்கப்பட்ட பேரலலெபிப்டின் தொகுதிக்கு எண் சமம்.

குறிப்பு : வரைதல் திட்டவட்டமானது.

4) அடிப்படை மற்றும் இடத்தின் நோக்குநிலை பற்றிய கருத்து பற்றி மீண்டும் கவலைப்பட வேண்டாம். இறுதிப் பகுதியின் பொருள் என்னவென்றால், தொகுதியில் ஒரு கழித்தல் குறியைச் சேர்க்கலாம். எளிமையான வார்த்தைகளில், ஒரு கலப்பு தயாரிப்பு எதிர்மறையாக இருக்கலாம்: .

வரையறையிலிருந்து நேரடியாக திசையன்களில் கட்டப்பட்ட ஒரு இணை குழாய்களின் அளவைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரம் பின்வருமாறு.

இந்த கட்டுரையில் இரண்டு திசையன்களின் குறுக்கு உற்பத்தியின் கருத்தை நாம் கூர்ந்து கவனிப்போம். தேவையான வரையறைகளை வழங்குவோம், ஒரு திசையன் தயாரிப்பின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரத்தை எழுதுவோம், அதன் பண்புகளை பட்டியலிட்டு நியாயப்படுத்துவோம். இதற்குப் பிறகு, இரண்டு திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியின் வடிவியல் அர்த்தத்தில் நாம் வாழ்வோம் மற்றும் பல்வேறு பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகளுக்கான தீர்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

குறுக்கு தயாரிப்பு வரையறை.

திசையன் தயாரிப்பை வரையறுக்கும் முன், முப்பரிமாண இடத்தில் வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மூன்று திசையன்களின் நோக்குநிலையைப் புரிந்துகொள்வோம்.

ஒரு புள்ளியில் இருந்து திசையன்களை வரைவோம். திசையன் திசையை பொறுத்து, மூன்று வலது அல்லது இடது இருக்க முடியும். வெக்டரில் இருந்து க்கு மிகக் குறுகிய திருப்பம் எப்படி என்பதை திசையன் முடிவில் இருந்து பார்ப்போம். குறுகிய சுழற்சி எதிரெதிர் திசையில் நடந்தால், மூன்று திசையன்கள் அழைக்கப்படுகிறது சரி, இல்லையெனில் - விட்டு.

இப்போது இரண்டு கோலினியர் அல்லாத திசையன்களை எடுத்துக் கொள்வோம். திசையன்கள் மற்றும் புள்ளி A இலிருந்து வரைவோம். மற்றும் மற்றும் இரண்டிற்கும் செங்குத்தாக சில திசையன்களை உருவாக்குவோம். வெளிப்படையாக, ஒரு வெக்டரை உருவாக்கும்போது, ​​நாம் இரண்டு விஷயங்களைச் செய்யலாம், அதற்கு ஒரு திசை அல்லது எதிர் திசையைக் கொடுக்கலாம் (விளக்கத்தைப் பார்க்கவும்).

திசையன் திசையைப் பொறுத்து, வரிசைப்படுத்தப்பட்ட மூன்று திசையன்கள் வலது கை அல்லது இடது கையாக இருக்கலாம்.

இது ஒரு திசையன் தயாரிப்பின் வரையறைக்கு நம்மை நெருங்குகிறது. இது முப்பரிமாண இடத்தின் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் வரையறுக்கப்பட்ட இரண்டு திசையன்களுக்கு வழங்கப்படுகிறது.

வரையறை.

இரண்டு திசையன்களின் குறுக்கு தயாரிப்புமற்றும் , முப்பரிமாண இடத்தின் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது, இது திசையன் என்று அழைக்கப்படுகிறது

திசையன்களின் குறுக்கு தயாரிப்பு மற்றும் என குறிக்கப்படுகிறது.

திசையன் உற்பத்தியின் ஒருங்கிணைப்புகள்.

இப்போது நாம் ஒரு திசையன் தயாரிப்பின் இரண்டாவது வரையறையை வழங்குவோம், இது கொடுக்கப்பட்ட திசையன்களின் ஆயத்தொகுப்புகளிலிருந்து அதன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கிறது.

வரையறை.

முப்பரிமாண இடத்தின் செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் இரண்டு திசையன்களின் திசையன் தயாரிப்பு மற்றும் ஒரு திசையன் , ஒருங்கிணைப்பு திசையன்கள் எங்கே.

இந்த வரையறை குறுக்கு தயாரிப்புகளை ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில் வழங்குகிறது.

திசையன் உற்பத்தியை மூன்றாம் வரிசை சதுர மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பவராகக் குறிப்பிடுவது வசதியானது, இதில் முதல் வரிசை திசையன்கள், இரண்டாவது வரிசையில் திசையன் ஆயத்தொலைவுகள் மற்றும் மூன்றாவது கொடுக்கப்பட்ட திசையனின் ஒருங்கிணைப்புகள் உள்ளன. செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு:

இந்த தீர்மானத்தை முதல் வரிசையின் உறுப்புகளாக விரிவுபடுத்தினால், திசையன் தயாரிப்பின் வரையறையிலிருந்து ஆயத்தொகுப்புகளில் சமத்துவத்தைப் பெறுகிறோம் (தேவைப்பட்டால், கட்டுரையைப் பார்க்கவும்):

திசையன் தயாரிப்பின் ஒருங்கிணைப்பு வடிவம் இந்த கட்டுரையின் முதல் பத்தியில் கொடுக்கப்பட்ட வரையறையுடன் முழுமையாக ஒத்துப்போகிறது என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். மேலும், குறுக்கு தயாரிப்பின் இந்த இரண்டு வரையறைகளும் சமமானவை. கட்டுரையின் முடிவில் பட்டியலிடப்பட்டுள்ள புத்தகத்தில் இந்த உண்மைக்கான ஆதாரத்தை நீங்கள் காணலாம்.

திசையன் உற்பத்தியின் பண்புகள்.

ஆயத்தொலைவுகளில் உள்ள வெக்டார் தயாரிப்பு மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பவராகக் குறிப்பிடப்படுவதால், பின்வருவனவற்றை அடிப்படையாக எளிதாக நியாயப்படுத்தலாம் குறுக்கு தயாரிப்பு பண்புகள்:

உதாரணமாக, ஒரு திசையன் தயாரிப்பின் ஆண்டிகம்யூடேட்டிவ் பண்பை நிரூபிப்போம்.

A-priory மற்றும் . இரண்டு வரிசைகள் மாற்றப்பட்டால், மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பவரின் மதிப்பு தலைகீழாக மாறும் என்பதை நாங்கள் அறிவோம், எனவே, , இது திசையன் தயாரிப்பின் ஆண்டிகம்யூடேட்டிவ் பண்பை நிரூபிக்கிறது.

திசையன் தயாரிப்பு - எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் தீர்வுகள்.

முக்கியமாக மூன்று வகையான பிரச்சனைகள் உள்ளன.

முதல் வகையின் சிக்கல்களில், இரண்டு திசையன்களின் நீளமும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணமும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, மேலும் நீங்கள் திசையன் உற்பத்தியின் நீளத்தைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இந்த வழக்கில், சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது .

உதாரணமாக.

திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியின் நீளத்தைக் கண்டறியவும் மற்றும் தெரிந்தால் .

தீர்வு.

திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியின் நீளம் மற்றும் திசையன்களின் நீளங்களின் பெருக்கத்திற்கு சமம் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தின் சைன் மூலம், வரையறையிலிருந்து நாம் அறிவோம். .

பதில்:

.

இரண்டாவது வகையின் சிக்கல்கள் திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளுடன் தொடர்புடையவை, இதில் திசையன் தயாரிப்பு, அதன் நீளம் அல்லது வேறு ஏதேனும் கொடுக்கப்பட்ட திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகள் மூலம் தேடப்படுகிறது. மற்றும் .

இங்கே பல்வேறு விருப்பங்கள் சாத்தியமாகும். எடுத்துக்காட்டாக, திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகளை குறிப்பிட முடியாது, ஆனால் வடிவத்தின் ஒருங்கிணைப்பு திசையன்களாக அவற்றின் விரிவாக்கங்கள் மற்றும் , அல்லது திசையன்கள் மற்றும் அவற்றின் தொடக்க மற்றும் இறுதி புள்ளிகளின் ஆயத்தொகுப்புகளால் குறிப்பிடப்படலாம்.

வழக்கமான உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.

உதாரணமாக.

ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் இரண்டு திசையன்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன . அவர்களின் குறுக்கு தயாரிப்பு கண்டுபிடிக்க.

தீர்வு.

இரண்டாவது வரையறையின்படி, ஆயத்தொகுதிகளில் உள்ள இரண்டு திசையன்களின் திசையன் தயாரிப்பு இவ்வாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:

திசையன் உற்பத்தியை தீர்மானிப்பதன் அடிப்படையில் எழுதப்பட்டிருந்தால் நாம் அதே முடிவை அடைந்திருப்போம்

பதில்:

.

உதாரணமாக.

திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியின் நீளத்தைக் கண்டறியவும் மற்றும் செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் அலகு திசையன்கள் எங்கே.

தீர்வு.

முதலில் வெக்டார் தயாரிப்பின் ஆயத்தொலைவுகளைக் காண்கிறோம் கொடுக்கப்பட்ட செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில்.

திசையன்கள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் முறையே இருப்பதால் (தேவைப்பட்டால், ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உள்ள திசையன் கட்டுரை ஆயங்களை பார்க்கவும்), பின்னர் ஒரு திசையன் தயாரிப்பின் இரண்டாவது வரையறையின்படி நம்மிடம் உள்ளது

அதாவது, திசையன் தயாரிப்பு கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் ஆயங்களைக் கொண்டுள்ளது.

ஒரு திசையன் உற்பத்தியின் நீளத்தை அதன் ஆயங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையின் வர்க்க மூலமாகக் காண்கிறோம் (வெக்டரின் நீளத்தைக் கண்டறியும் பிரிவில் ஒரு திசையனின் நீளத்திற்கான இந்த சூத்திரத்தைப் பெற்றோம்):

பதில்:

.

உதாரணமாக.

ஒரு செவ்வக கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், மூன்று புள்ளிகளின் ஆயத்தொகுப்புகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. செங்குத்தாக மற்றும் அதே நேரத்தில் சில திசையன்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

திசையன்கள் மற்றும் ஆயத்தொலைவுகள் உள்ளன மற்றும் முறையே (புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகள் மூலம் திசையன்களின் ஆயங்களைக் கண்டறியும் கட்டுரையைப் பார்க்கவும்). வெக்டார்களின் வெக்டார் ப்ராடக்டை நாம் கண்டறிந்தால் மற்றும் , வரையறையின்படி அது இரண்டுக்கும் செங்குத்தாக இருக்கும் திசையன் ஆகும், அதாவது இது நமது பிரச்சனைக்கு ஒரு தீர்வாகும். அவரைக் கண்டுபிடிப்போம்

பதில்:

- செங்குத்து திசையன்களில் ஒன்று.

மூன்றாவது வகை சிக்கல்களில், திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துவதற்கான திறன் சோதிக்கப்படுகிறது. பண்புகளைப் பயன்படுத்திய பிறகு, தொடர்புடைய சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

உதாரணமாக.

திசையன்கள் மற்றும் செங்குத்தாக உள்ளன மற்றும் அவற்றின் நீளம் முறையே 3 மற்றும் 4 ஆகும். குறுக்கு உற்பத்தியின் நீளத்தைக் கண்டறியவும் .

தீர்வு.

ஒரு திசையன் தயாரிப்பின் விநியோக பண்பு மூலம், நாம் எழுதலாம்

கூட்டுப் பண்பு காரணமாக, கடைசி வெளிப்பாட்டில் வெக்டார் தயாரிப்புகளின் அடையாளத்திலிருந்து எண் குணகங்களை எடுக்கிறோம்:

வெக்டார் தயாரிப்புகள் மற்றும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், என்பதால் மற்றும் , பிறகு .

திசையன் தயாரிப்பு ஆண்டிகம்யூடேட்டிவ் என்பதால், பிறகு .

எனவே, திசையன் தயாரிப்பின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் சமத்துவத்திற்கு வந்தோம் .

நிபந்தனையின்படி, திசையன்கள் மற்றும் செங்குத்தாக உள்ளன, அதாவது, அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் சமமாக இருக்கும். அதாவது, தேவையான நீளத்தைக் கண்டறிய எங்களிடம் எல்லா தரவுகளும் உள்ளன

பதில்:

.

திசையன் தயாரிப்பின் வடிவியல் பொருள்.

வரையறையின்படி, திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியின் நீளம் . ஒரு உயர்நிலைப் பள்ளி வடிவியல் பாடத்தில் இருந்து, முக்கோணத்தின் பரப்பளவு முக்கோணத்தின் இரு பக்கங்களின் நீளம் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தின் சைனின் பாதிப் பெருக்கத்திற்கு சமம் என்பதை நாம் அறிவோம். இதன் விளைவாக, திசையன் உற்பத்தியின் நீளம் ஒரு முக்கோணத்தின் இருமடங்கு பரப்பளவிற்கு சமமாக இருக்கும், அதன் பக்கங்கள் திசையன்கள் மற்றும் அவை ஒரு புள்ளியில் இருந்து திட்டமிடப்பட்டால். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியின் நீளம் மற்றும் பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு இணையான வரைபடத்தின் பரப்பளவு மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் சமமாக இருக்கும். இது திசையன் தயாரிப்பின் வடிவியல் பொருள்.

மூன்று திசையன்கள் மற்றும் அதன் பண்புகளின் கலவையான தயாரிப்பு

கலப்பு வேலைமூன்று திசையன்கள் சமமான எண் எனப்படும். நியமிக்கப்பட்டது . இங்கே முதல் இரண்டு திசையன்கள் திசையன்களாகப் பெருக்கப்படுகின்றன, அதன் விளைவாக வரும் திசையன் மூன்றாவது திசையன் மூலம் அளவிடப்படுகிறது. வெளிப்படையாக, அத்தகைய தயாரிப்பு ஒரு குறிப்பிட்ட எண்.

ஒரு கலப்பு பொருளின் பண்புகளை கருத்தில் கொள்வோம்.

1. வடிவியல் பொருள்கலப்பு வேலை. 3 திசையன்களின் கலப்பு தயாரிப்பு, ஒரு அடையாளம் வரை, இந்த திசையன்களில் கட்டப்பட்ட இணையான குழாய்களின் தொகுதிக்கு சமம், விளிம்புகளில் உள்ளது, அதாவது. .

   இவ்வாறு, மற்றும் .

   

   ஆதாரம். பொதுவான தோற்றத்தில் இருந்து திசையன்களை ஒதுக்கி வைத்து, அவற்றின் மீது ஒரு இணையான பைப்பை உருவாக்குவோம். என்று குறிப்போம் . ஸ்கேலர் தயாரிப்பு வரையறையின்படி

   என்று அனுமானித்து குறிப்பது ம parallelepiped உயரம் கண்டுபிடிக்க.

   எனவே, எப்போது

   என்றால், அப்படி. எனவே, .

   இந்த இரண்டு நிகழ்வுகளையும் இணைத்து, நாம் பெறுகிறோம் அல்லது .

   இந்த சொத்தின் ஆதாரத்திலிருந்து, குறிப்பாக, மூன்று திசையன்கள் வலது கை என்றால், கலப்பு தயாரிப்பு , மற்றும் அது இடது கை என்றால், பின்னர்.

2. எந்த திசையன்களுக்கும் , சமத்துவம் உண்மை

   இந்த சொத்தின் ஆதாரம் சொத்து 1 இலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. உண்மையில், அதைக் காண்பிப்பது எளிது மற்றும் . மேலும், "+" மற்றும் "-" அறிகுறிகள் ஒரே நேரத்தில் எடுக்கப்படுகின்றன, ஏனெனில் திசையன்கள் மற்றும் மற்றும் மற்றும் மற்றும் இடையே உள்ள கோணங்கள் கடுமையான மற்றும் மழுங்கியவை.

3. ஏதேனும் இரண்டு காரணிகள் மறுசீரமைக்கப்படும் போது, ​​கலப்பு தயாரிப்பு அடையாளத்தை மாற்றுகிறது.

   உண்மையில், நாம் ஒரு கலப்பு தயாரிப்பைக் கருத்தில் கொண்டால், எடுத்துக்காட்டாக, அல்லது

4. காரணிகளில் ஒன்று பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் அல்லது திசையன்கள் கோப்லனராக இருந்தால் மட்டுமே கலப்பு தயாரிப்பு.

   ஆதாரம்.

   எனவே, 3 திசையன்களின் கோப்லானாரிட்டிக்கு தேவையான மற்றும் போதுமான நிபந்தனை என்னவென்றால், அவற்றின் கலப்பு தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். கூடுதலாக, மூன்று திசையன்கள் விண்வெளியில் ஒரு அடிப்படையை உருவாக்குகின்றன என்றால் .

   திசையன்கள் ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில் கொடுக்கப்பட்டால், அவற்றின் கலவையான தயாரிப்பு சூத்திரத்தால் கண்டறியப்படுகிறது என்பதைக் காட்டலாம்:

   .

   எனவே, கலப்பு தயாரிப்பு மூன்றாம் வரிசை தீர்மானிப்பிற்கு சமம், இது முதல் வரியில் முதல் திசையனின் ஆயத்தொலைவுகள், இரண்டாவது வரியில் இரண்டாவது திசையனின் ஆயத்தொலைவுகள் மற்றும் மூன்றாவது வரிசையில் மூன்றாவது திசையனின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது.

   எடுத்துக்காட்டுகள்.

விண்வெளியில் பகுப்பாய்வு வடிவியல்

சமன்பாடு F(x, y, z)= 0 விண்வெளியில் வரையறுக்கிறது ஆக்ஸிஸ்சில மேற்பரப்பு, அதாவது. ஆய புள்ளிகளின் இருப்பிடம் x, y, zஇந்த சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்தவும். இந்த சமன்பாடு மேற்பரப்பு சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, மற்றும் x, y, z- தற்போதைய ஒருங்கிணைப்புகள்.

இருப்பினும், பெரும்பாலும் மேற்பரப்பு ஒரு சமன்பாட்டால் குறிப்பிடப்படவில்லை, ஆனால் ஒன்று அல்லது மற்றொரு சொத்து கொண்டிருக்கும் விண்வெளியில் புள்ளிகளின் தொகுப்பாக உள்ளது. இந்த வழக்கில், அதன் வடிவியல் பண்புகளின் அடிப்படையில் மேற்பரப்பின் சமன்பாட்டைக் கண்டறிவது அவசியம்.

விமானம்.

சாதாரண விமான திசையன்.

கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியின் வழியாக செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாடு

விண்வெளியில் ஒரு தன்னிச்சையான விமானத்தை σ கருதுவோம். இந்த விமானத்திற்கு செங்குத்தாக ஒரு திசையன் மற்றும் சில நிலையான புள்ளியைக் குறிப்பிடுவதன் மூலம் அதன் நிலை தீர்மானிக்கப்படுகிறது. M0(x 0, y 0, z 0), σ விமானத்தில் பொய்.

σ விமானத்திற்கு செங்குத்தாக இருக்கும் திசையன் அழைக்கப்படுகிறது சாதாரணஇந்த விமானத்தின் திசையன். திசையன் ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டிருக்கட்டும்.

இந்தப் புள்ளியைக் கடந்து செல்லும் விமானம் σ சமன்பாட்டைப் பெறுவோம் M0மற்றும் ஒரு சாதாரண திசையன் உள்ளது. இதைச் செய்ய, σ விமானத்தில் தன்னிச்சையான புள்ளியை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள் M(x, y, z)மற்றும் திசையன் கருதுகின்றனர்.

எந்த புள்ளிக்கும் எம்О σ என்பது ஒரு திசையன்.எனவே, அவற்றின் அளவிடல் தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். இந்த சமத்துவம்தான் அந்த நிபந்தனை எம்ஓ σ. இந்த விமானத்தின் அனைத்து புள்ளிகளுக்கும் இது செல்லுபடியாகும் மற்றும் புள்ளியில் விரைவில் மீறப்படுகிறது எம்σ விமானத்திற்கு வெளியே இருக்கும்.

நாம் புள்ளிகளை ஆரம் திசையன் மூலம் குறிக்கிறோம் என்றால் எம், – புள்ளியின் ஆரம் திசையன் M0, பின்னர் சமன்பாட்டை வடிவத்தில் எழுதலாம்

இந்த சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது திசையன்விமான சமன்பாடு. அதை ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில் எழுதுவோம். அன்றிலிருந்து

எனவே, இந்த புள்ளியைக் கடந்து செல்லும் விமானத்தின் சமன்பாட்டைப் பெற்றுள்ளோம். எனவே, ஒரு விமானத்தின் சமன்பாட்டை உருவாக்க, நீங்கள் சாதாரண வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகள் மற்றும் விமானத்தில் இருக்கும் சில புள்ளிகளின் ஆயங்களை அறிந்து கொள்ள வேண்டும்.

விமானத்தின் சமன்பாடு தற்போதைய ஆயங்களை பொறுத்து 1 வது பட்டத்தின் சமன்பாடு என்பதை நினைவில் கொள்க x, yமற்றும் z.

எடுத்துக்காட்டுகள்.

விமானத்தின் பொதுவான சமன்பாடு

கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொலைவுகளைப் பொறுத்தமட்டில் எந்த முதல் நிலைச் சமன்பாடும் இருப்பதைக் காட்டலாம் x, y, zஒரு குறிப்பிட்ட விமானத்தின் சமன்பாட்டைக் குறிக்கிறது. இந்த சமன்பாடு இவ்வாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:

Ax+By+Cz+D=0

மற்றும் அழைக்கப்படுகிறது பொது சமன்பாடுவிமானம் மற்றும் ஆயத்தொலைவுகள் ஏ, பி, சிவிமானத்தின் சாதாரண வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகள் இங்கே உள்ளன.

பொதுவான சமன்பாட்டின் சிறப்பு நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம். சமன்பாட்டின் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட குணகங்கள் பூஜ்ஜியமாக மாறினால், ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புடன் தொடர்புடைய விமானம் எவ்வாறு அமைந்துள்ளது என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்.

A என்பது அச்சில் உள்ள விமானத்தால் துண்டிக்கப்பட்ட பிரிவின் நீளம் எருது. அதுபோலவே அதைக் காட்டலாம் பிமற்றும் c- அச்சுகளில் பரிசீலிக்கப்படும் விமானத்தால் துண்டிக்கப்பட்ட பகுதிகளின் நீளம் ஓமற்றும் ஓஸ்.

விமானங்களை நிர்மாணிக்க பிரிவுகளில் ஒரு விமானத்தின் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்துவது வசதியானது.

7.1. குறுக்கு தயாரிப்பு வரையறை

மூன்று கோப்லனர் அல்லாத திசையன்கள் a, b மற்றும் c, சுட்டிக்காட்டப்பட்ட வரிசையில் எடுக்கப்பட்டால், மூன்றாவது திசையன் c இன் முடிவில் இருந்து, முதல் திசையன் a இலிருந்து இரண்டாவது திசையன் b க்கு மிகக் குறுகிய திருப்பம் காணப்பட்டால், வலது கை மும்மடங்காக அமைகிறது. எதிரெதிர் திசையில் இருக்கவும், கடிகார திசையில் இருந்தால் இடது கை மும்மடங்கு (படம். 16 ஐப் பார்க்கவும்).

திசையன் a மற்றும் திசையன் b ஆகியவற்றின் திசையன் தயாரிப்பு திசையன் c என்று அழைக்கப்படுகிறது, இது:

1. திசையன்கள் a மற்றும் b க்கு செங்குத்தாக, அதாவது c ^ a மற்றும் c ^ பி ;

2. திசையன்கள் a மற்றும் ஆகியவற்றில் கட்டப்பட்ட ஒரு இணையான வரைபடத்தின் பரப்பளவிற்கு சமமான நீளம் உள்ளதுபிபக்கங்களிலும் (படம் 17 ஐப் பார்க்கவும்), அதாவது.

3. திசையன்கள் a, b மற்றும் c ஆகியவை வலது கை மும்மடங்காக அமைகின்றன.

குறுக்கு தயாரிப்பு ஒரு x b அல்லது [a,b] எனக் குறிக்கப்படுகிறது. யூனிட் வெக்டார்களுக்கு இடையேயான பின்வரும் உறவுகளை வெக்டார் தயாரிப்பின் வரையறையிலிருந்து நான் நேரடியாகப் பின்பற்றுகிறேன், ஜேமற்றும் கே(படம் 18 ஐப் பார்க்கவும்):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
உதாரணமாக, அதை நிரூபிப்போம் i xj =k.

1) கே ^ ஐ, கே ^ ஜே ;

2) |k |=1, ஆனால் | i x j| = |நான் | |ஜே | பாவம்(90°)=1;

3) திசையன்கள் i, j மற்றும் கேவலது மும்மடங்கை உருவாக்கவும் (படம் 16 ஐப் பார்க்கவும்).

7.2 ஒரு குறுக்கு தயாரிப்பு பண்புகள்

1. காரணிகளை மறுசீரமைக்கும்போது, ​​திசையன் தயாரிப்பு மாற்றங்களின் அடையாளத்தை மாற்றுகிறது, அதாவது. மற்றும் xb =(b xa) (படம் 19 ஐப் பார்க்கவும்).

திசையன்கள் a xb மற்றும் b xa ஆகியவை கோலினியர், ஒரே மாதிரியான தொகுதிகளைக் கொண்டுள்ளன (இணையான வரைபடத்தின் பரப்பளவு மாறாமல் உள்ளது), ஆனால் எதிர் திசையில் (டிரிபிள்ஸ் a, b, a xb மற்றும் a, b, b x a எதிர் நோக்குநிலை). அது axb = -(b xa).

2. வெக்டார் தயாரிப்பு, அளவிடும் காரணியைப் பொறுத்து ஒரு கூட்டுப் பண்பு கொண்டது, அதாவது l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).

l >0 என்று விடுங்கள். திசையன் l (a xb) திசையன்கள் a மற்றும் b க்கு செங்குத்தாக உள்ளது. வெக்டர் ( எல் a)x பி a மற்றும் திசையன்களுக்கு செங்குத்தாக உள்ளது பி(திசையன்கள் a, எல்ஆனால் அதே விமானத்தில் கிடக்க). இது திசையன்கள் என்று பொருள் எல்(a xb) மற்றும் ( எல் a)x பிகோலினியர். அவர்களின் திசைகள் ஒத்துப்போகின்றன என்பது வெளிப்படையானது. அவை ஒரே நீளத்தைக் கொண்டுள்ளன:

அதனால் தான் எல்(a xb)= எல்ஒரு எக்ஸ்பி. இது அதே வழியில் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது எல்<0.

3. இரண்டு பூஜ்ஜியமற்ற திசையன்கள் a மற்றும் பிஅவற்றின் வெக்டார் தயாரிப்பு பூஜ்ஜிய வெக்டருக்குச் சமமாக இருந்தால் மட்டுமே கோலினியர் ஆகும், அதாவது a ||b<=>மற்றும் xb =0.

குறிப்பாக, i *i =j *j =k *k =0 .

4. திசையன் தயாரிப்பு விநியோக பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது:

(a+b) xc = a xc + பி xs.

ஆதாரம் இல்லாமல் ஏற்றுக்கொள்வோம்.

7.3 ஆயங்களின் அடிப்படையில் குறுக்கு உற்பத்தியை வெளிப்படுத்துதல்

திசையன்களின் குறுக்கு தயாரிப்பு அட்டவணையைப் பயன்படுத்துவோம் i, ஜேமற்றும் கே:

முதல் திசையன் முதல் இரண்டாவது வரையிலான குறுகிய பாதையின் திசையானது அம்புக்குறியின் திசையுடன் இணைந்தால், தயாரிப்பு மூன்றாவது திசையனுக்கு சமமாக இருக்கும்; அது ஒத்துப்போகவில்லை என்றால், மூன்றாவது திசையன் கழித்தல் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்படுகிறது.

இரண்டு திசையன்கள் a =a x i +a y கொடுக்கலாம் ஜே+a z கேமற்றும் b =b x நான்+பி ஒய் ஜே+b z கே. இந்த வெக்டார்களின் வெக்டார் உற்பத்தியை பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகப் பெருக்குவதன் மூலம் (திசையன் உற்பத்தியின் பண்புகளின்படி) கண்டுபிடிப்போம்:

இதன் விளைவாக வரும் சூத்திரத்தை இன்னும் சுருக்கமாக எழுதலாம்:

சமத்துவத்தின் வலது பக்கம் (7.1) முதல் வரிசையின் உறுப்புகளின் அடிப்படையில் மூன்றாம் வரிசை நிர்ணயியின் விரிவாக்கத்திற்கு ஒத்திருப்பதால், சமத்துவம் (7.2) நினைவில் கொள்வது எளிது.

7.4 குறுக்கு தயாரிப்பு சில பயன்பாடுகள்

திசையன்களின் இணைத்தன்மையை நிறுவுதல்

ஒரு இணையான வரைபடம் மற்றும் ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதியைக் கண்டறிதல்

திசையன்களின் திசையன் உற்பத்தியின் வரையறையின்படி ஏமற்றும் பி |a xb | =|அ | * |b |sin g, அதாவது S ஜோடிகள் = |a x b |. எனவே, D S =1/2|a x b |.

ஒரு புள்ளியைப் பற்றிய சக்தியின் தருணத்தை தீர்மானித்தல்

A புள்ளியில் ஒரு சக்தியைப் பயன்படுத்துவோம் F =ABஅதை விடு பற்றி- விண்வெளியில் சில புள்ளிகள் (படம் 20 ஐப் பார்க்கவும்).

என்பது இயற்பியல் மூலம் அறியப்படுகிறது சக்தியின் தருணம் எஃப் புள்ளியுடன் தொடர்புடையது பற்றிதிசையன் என்று அழைக்கப்படுகிறது எம்,புள்ளி வழியாக செல்கிறது பற்றிமற்றும்:

1) புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் விமானத்திற்கு செங்குத்தாக ஓ, ஏ, பி;

2) ஒரு கைக்கு விசையின் உற்பத்திக்கு எண்ணியல் சமம்

3) OA மற்றும் A B ஆகிய திசையன்களுடன் வலது மும்மடங்கை உருவாக்குகிறது.

எனவே, M = OA x F.

நேரியல் சுழற்சி வேகத்தைக் கண்டறிதல்

வேகம் vகோண வேகத்துடன் சுழலும் ஒரு திடமான உடலின் புள்ளி M டபிள்யூஒரு நிலையான அச்சைச் சுற்றி, யூலரின் சூத்திரம் v =w xr மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, இங்கு r =OM, இங்கு O என்பது அச்சின் சில நிலையான புள்ளியாகும் (படம் 21 ஐப் பார்க்கவும்).