சொற்பொழிவு: திசையன் ஒருங்கிணைப்புகள்; திசையன்களின் அளவிடல் தயாரிப்பு; திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணம்

திசையன் ஒருங்கிணைப்புகள்

எனவே, முன்பு குறிப்பிட்டபடி, திசையன் என்பது அதன் சொந்த தொடக்கத்தையும் முடிவையும் கொண்ட ஒரு இயக்கப்பட்ட பிரிவு. தொடக்கமும் முடிவும் சில புள்ளிகளால் குறிக்கப்பட்டால், அவை விமானத்திலோ அல்லது விண்வெளியிலோ அவற்றின் சொந்த ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளன.

ஒவ்வொரு புள்ளிக்கும் அதன் சொந்த ஆயங்கள் இருந்தால், முழு வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகளையும் நாம் பெறலாம்.

எங்களிடம் ஒரு திசையன் இருப்பதாக வைத்துக்கொள்வோம், அதன் ஆரம்பம் மற்றும் முடிவில் பின்வரும் பெயர்கள் மற்றும் ஆயங்கள் உள்ளன: A(A x ; Ay) மற்றும் B(B x ; By)

கொடுக்கப்பட்ட வெக்டரின் ஆயத்தொலைவுகளைப் பெற, திசையன் முடிவின் ஆயத்தொலைவுகளிலிருந்து தொடக்கத்தின் தொடர்புடைய ஆயத்தொலைவுகளைக் கழிக்க வேண்டியது அவசியம்:

விண்வெளியில் ஒரு வெக்டரின் ஆயங்களைத் தீர்மானிக்க, பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:

திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு

ஸ்கேலர் தயாரிப்பின் கருத்தை வரையறுக்க இரண்டு வழிகள் உள்ளன:

• வடிவியல் முறை. அதன் படி, அளவிடுதல் தயாரிப்பு இந்த தொகுதிகளின் மதிப்புகள் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தின் கொசைன் ஆகியவற்றின் தயாரிப்புக்கு சமம்.

• இயற்கணித பொருள். இயற்கணிதத்தின் பார்வையில், இரண்டு திசையன்களின் அளவிடல் தயாரிப்பு என்பது தொடர்புடைய திசையன்களின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையின் விளைவாக பெறப்படும் ஒரு குறிப்பிட்ட அளவு ஆகும்.

திசையன்கள் விண்வெளியில் கொடுக்கப்பட்டால், நீங்கள் இதேபோன்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்:

பண்புகள்:

• ஒரே மாதிரியான இரண்டு வெக்டார்களை அளவுகோலாகப் பெருக்கினால், அவற்றின் ஸ்கேலர் தயாரிப்பு எதிர்மறையாக இருக்காது:

• ஒரே மாதிரியான இரண்டு வெக்டார்களின் ஸ்கேலர் தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக மாறினால், இந்த திசையன்கள் பூஜ்ஜியமாகக் கருதப்படுகின்றன:

• ஒரு குறிப்பிட்ட திசையன் தன்னால் பெருக்கப்பட்டால், அளவிடல் தயாரிப்பு அதன் மாடுலஸின் சதுரத்திற்கு சமமாக இருக்கும்:

• ஸ்கேலர் தயாரிப்பு ஒரு தகவல்தொடர்பு பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது, திசையன்கள் மறுசீரமைக்கப்பட்டால் அளவிடுதல் தயாரிப்பு மாறாது:

• வெக்டார்கள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக இருந்தால் மட்டுமே பூஜ்ஜியம் அல்லாத திசையன்களின் ஸ்கேலர் தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்:

• திசையன்களின் ஒரு அளவிடல் தயாரிப்புக்கு, திசையன்களில் ஒன்றை எண்ணால் பெருக்கும்போது பரிமாற்ற விதி செல்லுபடியாகும்:

• ஒரு அளவிடுதல் தயாரிப்புடன், நீங்கள் பெருக்கத்தின் பகிர்மான சொத்தையும் பயன்படுத்தலாம்:

திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணம்

வரையறை 1

திசையன்களின் அளவிடல் தயாரிப்பு என்பது இந்த திசையன்களின் டைன்களின் பெருக்கத்திற்கும் அவற்றுக்கிடையே உள்ள கோணத்தின் கொசைனுக்கும் சமமான எண்ணாகும்.

a → மற்றும் b → திசையன்களின் பெருக்கத்திற்கான குறியீடானது a → , b → வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. அதை சூத்திரமாக மாற்றுவோம்:

a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ . a → மற்றும் b → ஆகியவை திசையன்களின் நீளத்தைக் குறிக்கின்றன, a → , b → ^ - கொடுக்கப்பட்ட திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் பதவி. குறைந்தபட்சம் ஒரு திசையன் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், அதாவது, 0 இன் மதிப்பு இருந்தால், முடிவு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும், a → , b → = 0

ஒரு திசையனைத் தானே பெருக்கும்போது, ​​அதன் நீளத்தின் சதுரத்தைப் பெறுகிறோம்:

a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

வரையறை 2

ஒரு வெக்டரின் ஸ்கேலார் பெருக்கல் தானாகவே அளவிடல் சதுரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:

a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → என்பது n p b → a → என்ற எண் திட்டம் என்பதை காட்டுகிறது b → மீது , n p a → a → - b → இன் ப்ராஜெக்ஷன் முறையே a →.

இரண்டு திசையன்களுக்கான தயாரிப்பின் வரையறையை உருவாக்குவோம்:

a → by b → என்ற இரண்டு திசையன்களின் ஸ்கேலர் தயாரிப்பு முறையே a → திசையின் மூலம் b → திட்டத்தால் திசையன் a → நீளத்தின் பெருக்கல் அல்லது a → ப்ராஜெக்ஷன் மூலம் b → நீளத்தின் பலன் என அழைக்கப்படுகிறது.

ஆயத்தொகுப்புகளில் புள்ளி தயாரிப்பு

கொடுக்கப்பட்ட விமானம் அல்லது விண்வெளியில் உள்ள திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகள் மூலம் அளவிடல் தயாரிப்பு கணக்கிடப்படலாம்.

முப்பரிமாண இடைவெளியில் ஒரு விமானத்தில் உள்ள இரண்டு திசையன்களின் அளவிடல் தயாரிப்பு a → மற்றும் b → கொடுக்கப்பட்ட திசையன்களின் ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

கார்ட்டீசியன் அமைப்பில் உள்ள விமானத்தில் கொடுக்கப்பட்ட திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியைக் கணக்கிடும்போது a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) பயன்படுத்தவும்:

a → , b → = a x b x + a y b y ,

முப்பரிமாண இடைவெளிக்கு வெளிப்பாடு பொருந்தும்:

a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z.

உண்மையில், இது ஸ்கேலர் தயாரிப்பின் மூன்றாவது வரையறையாகும்.

நிரூபிப்போம்.

ஆதாரம் 1

அதை நிரூபிக்க, a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y திசையன்களுக்கு a → = (a x , a y) , b → = (b x, b y) கார்ட்டீசியன் அமைப்பில்.

திசையன்களை ஒதுக்கி வைக்க வேண்டும்

O A → = a → = a x, a y மற்றும் O B → = b → = b x, b y.

பின்னர் A B → திசையன் நீளம் A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) க்கு சமமாக இருக்கும்.

O A B முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள்.

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B) என்பது கொசைன் தேற்றத்தின் அடிப்படையில் சரியானது.

நிபந்தனையின்படி, O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ என்பது தெளிவாகிறது, அதாவது திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான சூத்திரத்தை வித்தியாசமாக எழுதுகிறோம்.

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · a → · b → · cos (a → , b → ^) .

பின்னர் முதல் வரையறையில் இருந்து பி → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · (a → , b →) , அதாவது (a → , b →) = 1 2 · (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .

திசையன்களின் நீளத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம்:
a → , b → = 1 2 · ((a 2 x + a y 2) 2 + (b 2 x + b y 2) 2 - ((b x - a x) 2 + (b y - a y) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (b x - a x) 2 - (b y - a y) 2) = = a x b x + a y b y

சமத்துவத்தை நிரூபிப்போம்:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

- முறையே முப்பரிமாண இடத்தின் திசையன்களுக்கு.

ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்ட திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியானது, ஒரு திசையனின் ஸ்கேலார் சதுரம் முறையே விண்வெளியிலும் விமானத்திலும் உள்ள அதன் ஆயங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் என்று கூறுகிறது. a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) மற்றும் (a → , a →) = a x 2 + a y 2 .

புள்ளி தயாரிப்பு மற்றும் அதன் பண்புகள்

a →, b →, மற்றும் c → ஆகியவற்றுக்குப் பொருந்தும் புள்ளி தயாரிப்பின் பண்புகள் உள்ளன:

1. பரிமாற்றம் (a → , b →) = (b → , a →) ;
2. விநியோகம் (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , c →) ;
3. கூட்டுச் சொத்து (λ · a → , b →) = λ · (a → , b →), (a → , λ · b →) = λ · (a → , b →), λ - எந்த எண்;
4. ஸ்கேலார் சதுரம் எப்போதும் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருக்கும் (a → , a →) ≥ 0, அங்கு (a → , a →) = 0 வழக்கில் a → பூஜ்ஜியம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

விமானத்தில் ஸ்கேலர் உற்பத்தியின் வரையறை மற்றும் உண்மையான எண்களின் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கத்தின் பண்புகள் ஆகியவற்றின் காரணமாக பண்புகள் விளக்கக்கூடியவை.

பரிமாற்ற சொத்தை நிரூபிக்கவும் (a → , b →) = (b → , a →) . வரையறையிலிருந்து நாம் (a → , b →) = a y · b y + a y · b y மற்றும் (b → , a →) = b x · a x + b y · a y .

பரிமாற்றத் தன்மையின் பண்புகளின்படி, a x · b x = b x · a x மற்றும் a y · b y = b y · a y என்பது உண்மை, அதாவது a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .

அது (a → , b →) = (b → , a →) . கே.இ.டி.

எந்த எண்களுக்கும் விநியோகம் செல்லுபடியாகும்:

(a (1) → + a (2) → + . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)

மற்றும் (a → , b (1) → + b (2) → +. . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)) ,

எனவே எங்களிடம் உள்ளது

(a (1) → + a (2) → + . . + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)

எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் தீர்வுகளுடன் புள்ளி தயாரிப்பு

இந்த வகையான எந்தவொரு பிரச்சனையும் அளவிடுதல் தயாரிப்பு தொடர்பான பண்புகள் மற்றும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கப்படுகிறது:

1. (a → , b →) = a → · b → · cos (a → , b → ^) ;
2. (a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
3. (a → , b →) = a x · b x + a y · b y அல்லது (a → , b →) = a x · b x + a y · b y + a z · b z ;
4. (a → , a →) = a → 2 .

சில உதாரண தீர்வுகளைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 2

a → இன் நீளம் 3, b → இன் நீளம் 7. கோணத்தில் 60 டிகிரி இருந்தால் புள்ளித் தயாரிப்பைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

நிபந்தனையின்படி, எங்களிடம் எல்லா தரவும் உள்ளது, எனவே அதை சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடுகிறோம்:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

பதில்: (a → , b →) = 21 2 .

எடுத்துக்காட்டு 3

கொடுக்கப்பட்ட திசையன்கள் a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) . ஸ்கேலர் தயாரிப்பு என்றால் என்ன?

தீர்வு

சிக்கல் அறிக்கையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளதால், ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தை இந்த எடுத்துக்காட்டு கருதுகிறது:

(a → , b →) = a x · b x + a y · b y + a z · b z = = 1 · 0 + (- 1) · 2 + (2 + 3) · (2 ​​+ 3) = = 0 - 2 + (2 - 9) = - 9

பதில்: (a → , b →) = - 9

எடுத்துக்காட்டு 4

A B → மற்றும் A C → இன் அளவிடல் உற்பத்தியைக் கண்டறியவும். A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) புள்ளிகள் ஒருங்கிணைப்புத் தளத்தில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

தீர்வு

தொடங்குவதற்கு, திசையன்களின் ஆயத்தொகுப்புகள் கணக்கிடப்படுகின்றன, ஏனெனில் நிபந்தனையின்படி புள்ளிகளின் ஆயத்தொகுப்புகள் கொடுக்கப்படுகின்றன:

A B → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) A C → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)

ஆயங்களைப் பயன்படுத்தி சூத்திரத்தில் மாற்றியமைத்து, நாங்கள் பெறுகிறோம்:

(A B →, A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28.

பதில்: (A B → , A C →) = 28 .

எடுத்துக்காட்டு 5

திசையன்கள் a → = 7 · m → + 3 · n → மற்றும் b → = 5 · m → + 8 · n → கொடுக்கப்பட்டால், அவற்றின் உற்பத்தியைக் கண்டறியவும். m → சமம் 3 மற்றும் n → சமம் 2 அலகுகள், அவை செங்குத்தாக இருக்கும்.

தீர்வு

(a → , b →) = (7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) . விநியோக சொத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாங்கள் பெறுகிறோம்:

(7 மீ → + 3 n →, 5 மீ → + 8 n →) = = (7 மீ →, 5 மீ →) + (7 மீ →, 8 n →) + (3 n → , 5 மீ →) + ( 3 n → , 8 n →)

உற்பத்தியின் அடையாளத்திலிருந்து குணகத்தை எடுத்து, பெறுகிறோம்:

(7 மீ → , 5 மீ →) + (7 மீ →, 8 n →) + (3 n →, 5 மீ →) + (3 n →, 8 n →) = = 7 · 5 · (m → , m →) + 7 · 8 · (m → , n →) + 3 · 5 · (n → , m →) + 3 · 8 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (n → , m →) + 24 · (n → , n →)

பரிமாற்றத்தின் சொத்தின் மூலம் நாம் மாற்றுகிறோம்:

35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (n → , m →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n ) + 24 · (n → , n →)

இதன் விளைவாக நாம் பெறுகிறோம்:

(a → , b →) = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →).

இப்போது நிபந்தனையால் குறிப்பிடப்பட்ட கோணத்துடன் அளவிடுதல் தயாரிப்புக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

(a → , b →) = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · m → 2 + 71 · m → n → · cos (m → , n → ^) + 24 · n → 2 = 35 · 3 2 + 71 · 3 · 2 · cos π 2 + 24 · 2 2 = 411 .

பதில்: (a → , b →) = 411

ஒரு எண்ணியல் திட்டம் இருந்தால்.

எடுத்துக்காட்டு 6

a → மற்றும் b → இன் அளவிடல் பெருக்கத்தைக் கண்டறியவும். திசையன் a → ஒரு → = (9, 3, - 3), ப்ரொஜெக்ஷன் b → ஆயத்தொகுதிகளுடன் (- 3, - 1, 1) ஒருங்கிணைக்கிறது.

தீர்வு

நிபந்தனையின்படி, திசையன்கள் a → மற்றும் ப்ராஜெக்ஷன் b → ஆகியவை எதிர்மாறாக இயக்கப்படுகின்றன, ஏனெனில் a → = - 1 3 · n p a → b → → , அதாவது ப்ராஜெக்ஷன் b → நீளம் n p a → b → → , மற்றும் உடன் “ -" அடையாளம்:

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11 ,

சூத்திரத்தில் மாற்றுவதன் மூலம், வெளிப்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

(a → , b →) = a → · n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 · (- 11) = - 33 .

பதில்: (a → , b →) = - 33 .

அறியப்பட்ட அளவிடல் தயாரிப்பில் உள்ள சிக்கல்கள், அங்கு ஒரு திசையன் அல்லது எண் கணிப்பு நீளத்தைக் கண்டறிய வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 7

கொடுக்கப்பட்ட அளவிடல் தயாரிப்புக்கு λ என்ன மதிப்பு எடுக்க வேண்டும் a → = (1, 0, λ + 1) மற்றும் b → = (λ, 1, λ) -1 க்கு சமமாக இருக்கும்.

தீர்வு

ஆய தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம் என்பது சூத்திரத்திலிருந்து தெளிவாகிறது:

(a → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ .

எங்களிடம் (a → , b →) = - 1 உள்ளது.

λ கண்டுபிடிக்க, நாம் சமன்பாட்டை கணக்கிடுகிறோம்:

λ 2 + 2 · λ = - 1, எனவே λ = - 1.

பதில்: λ = - 1.

ஸ்கேலர் தயாரிப்பின் இயற்பியல் பொருள்

டாட் தயாரிப்பின் பயன்பாட்டை இயக்கவியல் கருதுகிறது.

A ஒரு நிலையான விசையுடன் F → ஒரு புள்ளி M முதல் N வரை நகரும் உடலுடன் பணிபுரியும் போது, ​​F → மற்றும் M N → திசையன்களின் நீளங்களின் உற்பத்தியை அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தின் கொசைனுடன் காணலாம், அதாவது வேலை சமமாக இருக்கும். விசை மற்றும் இடப்பெயர்ச்சி திசையன்களின் தயாரிப்புக்கு:

A = (F → , M N →) .

எடுத்துக்காட்டு 8

5 Ntons க்கு சமமான சக்தியின் செல்வாக்கின் கீழ் 3 மீட்டர் மூலம் ஒரு பொருள் புள்ளியின் இயக்கம் அச்சுடன் தொடர்புடைய 45 டிகிரி கோணத்தில் இயக்கப்படுகிறது. கண்டுபிடி ஏ.

தீர்வு

வேலை என்பது விசை திசையன் மற்றும் இடப்பெயர்ச்சியின் விளைபொருளாக இருப்பதால், F → = 5, S → = 3, (F →, S → ^) = 45 ° என்ற நிபந்தனையின் அடிப்படையில், நாம் A = (F →, S ஐப் பெறுகிறோம். →) = F → · S → · cos (F → , S → ^) = 5 · 3 · cos (45 °) = 15 2 2 .

பதில்: A = 15 2 2 .

எடுத்துக்காட்டு 9

ஒரு பொருள் புள்ளி, M (2, - 1, - 3) இலிருந்து N (5, 3 λ - 2, 4) க்கு F → = (3, 1, 2) விசையின் கீழ் 13 J க்கு சமமாக வேலை செய்தது. கணக்கிடவும் இயக்கத்தின் நீளம்.

தீர்வு

கொடுக்கப்பட்ட திசையன் ஒருங்கிணைப்புகளுக்கு M N → M N → = (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3, 3 λ - 1, 7) .

திசையன்கள் F → = (3, 1, 2) மற்றும் M N → = (3, 3 λ - 1, 7) உடன் வேலையைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, A = (F ⇒, M N →) = 3 3 + 1 ( 3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3 λ.

நிபந்தனையின்படி, A = 13 J, அதாவது 22 + 3 λ = 13 என்று கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இது λ = - 3 ஐ குறிக்கிறது, அதாவது M N → = (3, 3 λ - 1, 7) = (3, - 10, 7).

M N → இயக்கத்தின் நீளத்தைக் கண்டறிய, சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும் மற்றும் மதிப்புகளை மாற்றவும்:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158.

பதில்: 158.

உரையில் பிழையைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்

நீங்களே தீர்க்க வேண்டிய சிக்கல்களும் இருக்கும், அதற்கான பதில்களை நீங்கள் பார்க்கலாம்.

சிக்கலில் திசையன்களின் நீளம் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் இரண்டும் "வெள்ளித் தட்டில்" வழங்கப்பட்டால், சிக்கலின் நிலை மற்றும் அதன் தீர்வு இப்படி இருக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 1.திசையன்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. திசையன்களின் நீளம் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் பின்வரும் மதிப்புகளால் குறிப்பிடப்பட்டால் அவற்றின் அளவிடல் உற்பத்தியைக் கண்டறியவும்:

மற்றொரு வரையறையும் செல்லுபடியாகும், இது வரையறை 1 க்கு முற்றிலும் சமமானதாகும்.

வரையறை 2. திசையன்களின் அளவிடல் தயாரிப்பு என்பது இந்த திசையன்களில் ஒன்றின் நீளத்தின் பெருக்கத்திற்கு சமமான ஒரு எண் (ஸ்கேலார்) மற்றும் இந்த திசையன்களில் முதல் திசையினால் தீர்மானிக்கப்படும் அச்சில் மற்றொரு திசையனைத் திட்டமிடுகிறது. வரையறை 2 இன் படி சூத்திரம்:

அடுத்த முக்கியமான கோட்பாட்டு புள்ளிக்குப் பிறகு இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சிக்கலைத் தீர்ப்போம்.

ஆயத்தொலைவுகளின் அடிப்படையில் திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியின் வரையறை

பெருக்கப்படும் திசையன்களுக்கு அவற்றின் ஆயத்தொலைவுகள் கொடுக்கப்பட்டால் அதே எண்ணைப் பெறலாம்.

வரையறை 3.திசையன்களின் புள்ளிப் பெருக்கல் என்பது அவற்றின் தொடர்புடைய ஆயங்களின் ஜோடிவரிசை தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமான எண்ணாகும்.

மேற்பரப்பில்

இரண்டு திசையன்கள் மற்றும் விமானத்தில் அவற்றின் இரண்டால் வரையறுக்கப்பட்டால் கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஆயங்கள்

இந்த வெக்டார்களின் அளவிடல் தயாரிப்பு அவற்றின் தொடர்புடைய ஆயங்களின் ஜோடிவரிசை தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

.

எடுத்துக்காட்டு 2.வெக்டருக்கு இணையான அச்சில் வெக்டரின் ப்ரொஜெக்ஷனின் எண் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. திசையன்களின் ஆயத்தொகுப்புகளின் ஜோடிவரிசை தயாரிப்புகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம் அவற்றின் அளவிடல் உற்பத்தியைக் கண்டறிகிறோம்:

இப்போது நாம் விளைந்த அளவிடல் உற்பத்தியை திசையனின் நீளம் மற்றும் திசையனுக்கு இணையான அச்சில் (சூத்திரத்தின் படி) திசையன் முன்கணிப்பு ஆகியவற்றின் தயாரிப்புக்கு சமன் செய்ய வேண்டும்.

திசையனின் நீளத்தை அதன் ஆயங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையின் வர்க்க மூலமாகக் காண்கிறோம்:

.

நாங்கள் ஒரு சமன்பாட்டை உருவாக்கி அதை தீர்க்கிறோம்:

பதில். தேவையான எண் மதிப்பு கழித்தல் 8 ஆகும்.

விண்வெளியில்

இரண்டு திசையன்கள் மற்றும் விண்வெளியில் அவற்றின் மூன்று கார்ட்டீசியன் செவ்வக ஒருங்கிணைப்புகளால் வரையறுக்கப்பட்டால்

,

பின்னர் இந்த வெக்டார்களின் ஸ்கேலார் தயாரிப்பு அவற்றின் தொடர்புடைய ஆயங்களின் ஜோடிவரிசை தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும், ஏற்கனவே மூன்று ஆயங்கள் மட்டுமே உள்ளன:

.

அளவிடப்பட்ட தயாரிப்பின் பண்புகளை பகுப்பாய்வு செய்த பிறகு, கருதப்படும் முறையைப் பயன்படுத்தி அளவிடுதல் தயாரிப்பைக் கண்டறியும் பணி. ஏனெனில் சிக்கலில் பெருக்கப்பட்ட திசையன்கள் எந்த கோணத்தில் உருவாகின்றன என்பதை நீங்கள் தீர்மானிக்க வேண்டும்.

திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியின் பண்புகள்

இயற்கணித பண்புகள்

1. (பரிமாற்ற சொத்து: பெருக்கப்படும் திசையன்களின் இடங்களை மாற்றியமைப்பது அவற்றின் அளவிடல் உற்பத்தியின் மதிப்பை மாற்றாது).

2. (ஒரு எண் காரணியைப் பொறுத்து துணை சொத்து: ஒரு குறிப்பிட்ட காரணியால் பெருக்கப்படும் ஒரு திசையன் மற்றும் மற்றொரு திசையன் இந்த வெக்டார்களின் அளவிடல் பெருக்கத்திற்கு சமமாக அதே காரணியால் பெருக்கப்படுகிறது).

3. (திசையன்களின் கூட்டுத்தொகையுடன் தொடர்புடைய விநியோக சொத்து: மூன்றாவது திசையன் மூலம் இரண்டு திசையன்களின் கூட்டுத்தொகையின் அளவிடல் உற்பத்தியானது, மூன்றாவது திசையன் மூலம் முதல் திசையன் மற்றும் மூன்றாவது திசையன் மூலம் இரண்டாவது வெக்டரின் அளவிடல் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்).

4. (பூஜ்ஜியத்தை விட பெரிய திசையன் ஸ்கேலர் சதுரம்), பூஜ்ஜியமற்ற திசையன் என்றால், மற்றும் , பூஜ்ஜிய திசையன் என்றால்.

வடிவியல் பண்புகள்

ஆய்வின் கீழ் உள்ள செயல்பாட்டின் வரையறைகளில், இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கருத்தை நாங்கள் ஏற்கனவே தொட்டுள்ளோம். இந்த கருத்தை தெளிவுபடுத்த வேண்டிய நேரம் இது.

மேலே உள்ள படத்தில் நீங்கள் இரண்டு திசையன்களைக் காணலாம், அவை பொதுவான தோற்றத்திற்கு கொண்டு வரப்படுகின்றன. நீங்கள் கவனம் செலுத்த வேண்டிய முதல் விஷயம் என்னவென்றால், இந்த திசையன்களுக்கு இடையில் இரண்டு கோணங்கள் உள்ளன - φ 1 மற்றும் φ 2 . திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியின் வரையறைகள் மற்றும் பண்புகளில் இந்தக் கோணங்களில் எது தோன்றும்? கருதப்படும் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 2 ஆகும் π எனவே இந்த கோணங்களின் கோசைன்கள் சமமாக இருக்கும். ஒரு புள்ளி தயாரிப்பின் வரையறையானது கோணத்தின் கோசைனை மட்டுமே உள்ளடக்கியது, அதன் வெளிப்பாட்டின் மதிப்பு அல்ல. ஆனால் பண்புகள் ஒரு கோணத்தை மட்டுமே கருதுகின்றன. மேலும் இது தாண்டாத இரண்டு கோணங்களில் ஒன்றாகும் π , அதாவது 180 டிகிரி. படத்தில் இந்த கோணம் குறிக்கப்பட்டுள்ளது φ 1 .

1. இரண்டு திசையன்கள் அழைக்கப்படுகின்றன ஆர்த்தோகனல் மற்றும் இந்த திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் நேராக உள்ளது (90 டிகிரி அல்லது π /2), என்றால் இந்த திசையன்களின் அளவிடல் தயாரிப்பு பூஜ்ஜியமாகும் :

.

திசையன் இயற்கணிதத்தில் ஆர்த்தோகனாலிட்டி என்பது இரண்டு திசையன்களின் செங்குத்தாக உள்ளது.

2. பூஜ்யம் அல்லாத இரண்டு திசையன்கள் உருவாக்கப்படுகின்றன கூர்மையான மூலையில் (0 முதல் 90 டிகிரி வரை, அல்லது, இது ஒன்றுதான் - குறைவாக π புள்ளி தயாரிப்பு நேர்மறை .

3. இரண்டு பூஜ்ஜியமற்ற திசையன்கள் உருவாக்கப்படுகின்றன மழுங்கிய கோணம் (90 முதல் 180 டிகிரி வரை, அல்லது, அதே என்ன - மேலும் π /2) இருந்தால் மற்றும் இருந்தால் மட்டுமே புள்ளி தயாரிப்பு எதிர்மறையானது .

எடுத்துக்காட்டு 3.ஆயத்தொலைவுகள் திசையன்களால் வழங்கப்படுகின்றன:

.

கொடுக்கப்பட்ட திசையன்களின் அனைத்து ஜோடிகளின் அளவிடல் தயாரிப்புகளைக் கணக்கிடுங்கள். இந்த ஜோடி திசையன்கள் எந்த கோணத்தில் (கடுமையான, வலது, மழுங்கிய) உருவாகின்றன?

தீர்வு. தொடர்புடைய ஆயங்களின் தயாரிப்புகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம் கணக்கிடுவோம்.

எங்களுக்கு எதிர்மறை எண் கிடைத்தது, எனவே திசையன்கள் ஒரு மழுங்கிய கோணத்தை உருவாக்குகின்றன.

எங்களுக்கு நேர்மறை எண் கிடைத்தது, எனவே திசையன்கள் கடுமையான கோணத்தை உருவாக்குகின்றன.

எங்களுக்கு பூஜ்ஜியம் கிடைத்தது, எனவே திசையன்கள் ஒரு சரியான கோணத்தை உருவாக்குகின்றன.

எங்களுக்கு நேர்மறை எண் கிடைத்தது, எனவே திசையன்கள் கடுமையான கோணத்தை உருவாக்குகின்றன.

.

எங்களுக்கு நேர்மறை எண் கிடைத்தது, எனவே திசையன்கள் கடுமையான கோணத்தை உருவாக்குகின்றன.

சுய பரிசோதனைக்கு நீங்கள் பயன்படுத்தலாம் ஆன்லைன் கால்குலேட்டர் திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தின் கொசைன் .

எடுத்துக்காட்டு 4.இரண்டு திசையன்களின் நீளமும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணமும் கொடுக்கப்பட்டால்:

.

திசையன்கள் மற்றும் செங்குத்தாக (செங்குத்தாக) எந்த எண்ணின் மதிப்பில் உள்ளன என்பதைத் தீர்மானிக்கவும்.

தீர்வு. பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் பெருக்குவதற்கான விதியைப் பயன்படுத்தி திசையன்களைப் பெருக்குவோம்:

இப்போது ஒவ்வொரு வார்த்தையையும் கணக்கிடுவோம்:

.

ஒரு சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம் (தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்), ஒத்த சொற்களைச் சேர்த்து சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்:

பதில்: எங்களுக்கு மதிப்பு கிடைத்தது λ = 1.8, இதில் திசையன்கள் ஆர்த்தோகனல்.

எடுத்துக்காட்டு 5.திசையன் என்பதை நிரூபிக்கவும் திசையன்களுக்கு ஆர்த்தோகனல் (செங்குத்தாக).

தீர்வு. ஆர்த்தோகனாலிட்டியை சரிபார்க்க, திசையன்கள் மற்றும் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகப் பெருக்குகிறோம், அதற்குப் பதிலாக சிக்கல் அறிக்கையில் கொடுக்கப்பட்ட வெளிப்பாட்டிற்குப் பதிலாக:

.

இதைச் செய்ய, நீங்கள் முதல் பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒவ்வொரு காலத்தையும் (காலம்) இரண்டாவதாக ஒவ்வொரு காலத்திலும் பெருக்க வேண்டும் மற்றும் அதன் விளைவாக வரும் தயாரிப்புகளைச் சேர்க்க வேண்டும்:

.

இதன் விளைவாக, பின்னம் குறைக்கப்படுகிறது. பின்வரும் முடிவு பெறப்படுகிறது:

முடிவு: பெருக்கத்தின் விளைவாக நாம் பூஜ்ஜியத்தைப் பெற்றோம், எனவே, திசையன்களின் ஆர்த்தோகனாலிட்டி (செங்குத்தாக) நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

பிரச்சனையை நீங்களே தீர்த்து கொள்ளுங்கள், பிறகு தீர்வைப் பாருங்கள்

எடுத்துக்காட்டு 6.திசையன்களின் நீளம் மற்றும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் இந்த திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணம் π /4. எந்த மதிப்பில் தீர்மானிக்கவும் μ திசையன்கள் மற்றும் பரஸ்பர செங்குத்தாக உள்ளன.

சுய பரிசோதனைக்கு நீங்கள் பயன்படுத்தலாம் ஆன்லைன் கால்குலேட்டர் திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தின் கொசைன் .

திசையன்களின் புள்ளிப் பெருக்கத்தின் மேட்ரிக்ஸ் பிரதிநிதித்துவம் மற்றும் n-பரிமாண வெக்டார்களின் உற்பத்தி

சில நேரங்களில் மெட்ரிக்குகளின் வடிவத்தில் இரண்டு பெருக்கப்பட்ட திசையன்களைக் குறிப்பிடுவது தெளிவுக்கு சாதகமானது. பின்னர் முதல் திசையன் ஒரு வரிசை அணியாகவும், இரண்டாவது - ஒரு நெடுவரிசை அணியாகவும் குறிப்பிடப்படுகிறது:

அப்போது வெக்டார்களின் ஸ்கேலர் தயாரிப்பு இருக்கும் இந்த மெட்ரிக்குகளின் தயாரிப்பு :

முடிவு நாம் ஏற்கனவே பரிசீலித்த முறையால் பெறப்பட்டதைப் போன்றது. எங்களுக்கு ஒரு ஒற்றை எண் கிடைத்தது, மேலும் ஒரு நெடுவரிசை மேட்ரிக்ஸின் வரிசை மேட்ரிக்ஸின் பலனும் ஒரு ஒற்றை எண்ணாகும்.

சுருக்க n-பரிமாண வெக்டார்களின் உற்பத்தியை அணி வடிவத்தில் குறிப்பிடுவது வசதியானது. இவ்வாறு, இரண்டு நான்கு பரிமாண வெக்டார்களின் பலன் ஒரு வரிசை மேட்ரிக்ஸின் விளைபொருளாக இருக்கும். ஐந்து உறுப்புகள் மற்றும் பலவற்றைக் கொண்ட ஒரு நிரல் அணி.

எடுத்துக்காட்டு 7.ஜோடி வெக்டார்களின் ஸ்கேலர் தயாரிப்புகளைக் கண்டறியவும்

,

மேட்ரிக்ஸ் பிரதிநிதித்துவத்தைப் பயன்படுத்துதல்.

தீர்வு. முதல் ஜோடி திசையன்கள். முதல் திசையனை வரிசை அணியாகவும், இரண்டாவது நெடுவரிசை அணியாகவும் குறிப்பிடுகிறோம். இந்த வெக்டார்களின் ஸ்கேலர் உற்பத்தியை வரிசை அணி மற்றும் நெடுவரிசை மேட்ரிக்ஸின் பலனாகக் காண்கிறோம்:

நாங்கள் இதேபோல் இரண்டாவது ஜோடியைப் பிரதிநிதித்துவப்படுத்துகிறோம் மற்றும் கண்டுபிடிப்போம்:

நீங்கள் பார்க்கிறபடி, எடுத்துக்காட்டு 2 இல் இருந்து அதே ஜோடிகளுக்கு ஒரே மாதிரியான முடிவுகள் இருந்தன.

இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம்

இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைன் சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல் மிகவும் அழகாகவும் சுருக்கமாகவும் உள்ளது.

திசையன்களின் புள்ளி உற்பத்தியை வெளிப்படுத்த

(1)

ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில், அலகு திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியை முதலில் கண்டுபிடிப்போம். வரையறையின்படி ஒரு திசையனின் அளவிடல் தயாரிப்பு:

மேலே உள்ள சூத்திரத்தில் எழுதப்பட்டதன் பொருள்: ஒரு திசையன் தன்னுடன் இருக்கும் ஸ்கேலர் தயாரிப்பு அதன் நீளத்தின் சதுரத்திற்கு சமம். பூஜ்ஜியத்தின் கொசைன் ஒன்றுக்கு சமம், எனவே ஒவ்வொரு அலகின் சதுரமும் ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும்:

திசையன்கள் என்பதால்

ஜோடிவரிசை செங்குத்தாக இருக்கும், பின்னர் அலகு திசையன்களின் ஜோடிவரிசை தயாரிப்புகள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்:

இப்போது திசையன் பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் பெருக்கத்தைச் செய்வோம்:

யூனிட் வெக்டார்களின் தொடர்புடைய ஸ்கேலர் தயாரிப்புகளின் மதிப்புகளை சமத்துவத்தின் வலது பக்கத்தில் மாற்றுகிறோம்:

இரண்டு திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கோசைனுக்கான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 8.மூன்று புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன ஏ(1;1;1), பி(2;2;1), சி(2;1;2).

கோணத்தைக் கண்டுபிடி.

தீர்வு. திசையன்களின் ஆயங்களை கண்டறிதல்:

,

.

கொசைன் கோண சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி நாம் பெறுகிறோம்:

எனவே, .

சுய பரிசோதனைக்கு நீங்கள் பயன்படுத்தலாம் ஆன்லைன் கால்குலேட்டர் திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தின் கொசைன் .

எடுத்துக்காட்டு 9.இரண்டு திசையன்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன

அவற்றுக்கிடையேயான தொகை, வேறுபாடு, நீளம், புள்ளி தயாரிப்பு மற்றும் கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

2. வேறுபாடு

திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு

திசையன்களை நாங்கள் தொடர்ந்து கையாளுகிறோம். முதல் பாடத்தில் டம்மிகளுக்கான திசையன்கள்வெக்டரின் கருத்து, திசையன்களுடனான செயல்கள், திசையன் ஒருங்கிணைப்புகள் மற்றும் திசையன்களின் எளிய சிக்கல்களைப் பார்த்தோம். நீங்கள் தேடுபொறியிலிருந்து முதன்முறையாக இந்தப் பக்கத்திற்கு வந்திருந்தால், மேலே உள்ள அறிமுகக் கட்டுரையைப் படிக்க நான் கடுமையாக பரிந்துரைக்கிறேன், ஏனெனில் நான் பயன்படுத்தும் விதிமுறைகள் மற்றும் குறிப்புகளை நீங்கள் நன்கு அறிந்திருக்க வேண்டும், திசையன்கள் பற்றிய அடிப்படை அறிவு மற்றும் அடிப்படை பிரச்சனைகளை தீர்க்க முடியும். இந்த பாடம் தலைப்பின் தர்க்கரீதியான தொடர்ச்சியாகும், மேலும் அதில் திசையன்களின் அளவிடுதல் தயாரிப்பைப் பயன்படுத்தும் வழக்கமான பணிகளை விரிவாக பகுப்பாய்வு செய்வேன். இது ஒரு மிக முக்கியமான செயல்பாடு.. எடுத்துக்காட்டுகளைத் தவிர்க்க முயற்சிக்கவும்; அவை பயனுள்ள போனஸுடன் வருகின்றன - பயிற்சியானது நீங்கள் உள்ளடக்கிய பொருளை ஒருங்கிணைக்கவும் பகுப்பாய்வு வடிவவியலில் பொதுவான சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் சிறந்து விளங்கவும் உதவும்.

திசையன்களின் கூட்டல், ஒரு வெக்டரை எண்ணால் பெருக்குதல்.... கணிதவியலாளர்கள் வேறு எதையும் கொண்டு வரவில்லை என்று நினைப்பது அப்பாவியாக இருக்கும். ஏற்கனவே விவாதிக்கப்பட்ட செயல்களுக்கு கூடுதலாக, திசையன்களுடன் பல செயல்பாடுகள் உள்ளன, அதாவது: திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு, திசையன்களின் திசையன் தயாரிப்புமற்றும் திசையன்களின் கலப்பு தயாரிப்பு. திசையன்களின் ஸ்கேலர் தயாரிப்பு பள்ளியிலிருந்து நமக்கு நன்கு தெரிந்ததே; மற்ற இரண்டு தயாரிப்புகளும் பாரம்பரியமாக உயர் கணிதத்தின் போக்கைச் சேர்ந்தவை. தலைப்புகள் எளிமையானவை, பல சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறை நேரடியானது மற்றும் புரிந்துகொள்ளக்கூடியது. அந்த ஒரு விஷயம். ஒரு கண்ணியமான தகவல் உள்ளது, எனவே எல்லாவற்றையும் ஒரே நேரத்தில் மாஸ்டர் மற்றும் தீர்க்க முயற்சிப்பது விரும்பத்தகாதது. டம்மிகளுக்கு இது குறிப்பாக உண்மை; என்னை நம்புங்கள், ஆசிரியர் கணிதத்திலிருந்து சிக்கடிலோவைப் போல உணர விரும்பவில்லை. சரி, கணிதத்தில் இருந்து அல்ல, நிச்சயமாக, ஒன்று =) மேலும் தயார்படுத்தப்பட்ட மாணவர்கள் பொருட்களைத் தேர்ந்தெடுத்துப் பயன்படுத்தலாம், ஒரு குறிப்பிட்ட அர்த்தத்தில், காணாமல் போன அறிவை "பெறலாம்", உங்களுக்காக நான் ஒரு பாதிப்பில்லாத கவுண்ட் டிராகுலாவாக இருப்பேன் =)

இறுதியாக கதவைத் திறந்து இரண்டு திசையன்கள் ஒன்றையொன்று சந்திக்கும் போது என்ன நடக்கிறது என்பதை ஆர்வத்துடன் பார்ப்போம்...

திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியின் வரையறை.
அளவிடும் பொருளின் பண்புகள். வழக்கமான பணிகள்

ஒரு புள்ளி தயாரிப்பு கருத்து

முதலில் பற்றி திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணம். திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணம் என்ன என்பதை அனைவரும் உள்ளுணர்வாக புரிந்துகொள்வார்கள் என்று நான் நினைக்கிறேன், ஆனால் இன்னும் கொஞ்சம் விரிவாக. இலவச பூஜ்ஜியமற்ற திசையன்கள் மற்றும் . நீங்கள் இந்த திசையன்களை ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளியில் இருந்து சதி செய்தால், பலர் ஏற்கனவே மனதளவில் கற்பனை செய்த ஒரு படத்தைப் பெறுவீர்கள்:

நான் ஒப்புக்கொள்கிறேன், இங்கே நான் நிலைமையை புரிந்து கொள்ளும் மட்டத்தில் மட்டுமே விவரித்தேன். திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கடுமையான வரையறை உங்களுக்குத் தேவைப்பட்டால், பாடப்புத்தகத்தைப் பார்க்கவும்; நடைமுறை சிக்கல்களுக்கு, கொள்கையளவில், எங்களுக்கு இது தேவையில்லை. இங்கும் இங்கும் அவற்றின் குறைந்த நடைமுறை முக்கியத்துவம் காரணமாக இடங்களில் பூஜ்ஜிய திசையன்களை புறக்கணிப்பேன். சில அடுத்தடுத்த அறிக்கைகளின் தத்துவார்த்த முழுமையின்மைக்காக என்னைக் குறை கூறக்கூடிய மேம்பட்ட தள பார்வையாளர்களுக்காக நான் குறிப்பாக முன்பதிவு செய்துள்ளேன்.

0 முதல் 180 டிகிரி வரை (0 முதல் ரேடியன்கள் வரை) மதிப்புகளை எடுக்கலாம். பகுப்பாய்வு ரீதியாக, இந்த உண்மை இரட்டை சமத்துவமின்மை வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது: அல்லது (ரேடியன்களில்).

இலக்கியத்தில், கோணக் குறியீடு பெரும்பாலும் தவிர்க்கப்பட்டு எளிமையாக எழுதப்படுகிறது.

வரையறை:இரண்டு திசையன்களின் அளவுகோல் பெருக்கமானது, இந்த திசையன்களின் நீளங்களின் பெருக்கத்திற்கும் அவற்றுக்கிடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைனுக்கும் சமமான NUMBER ஆகும்:

இப்போது இது மிகவும் கடுமையான வரையறை.

அத்தியாவசிய தகவல்களில் நாங்கள் கவனம் செலுத்துகிறோம்:

பதவி:அளவிடுதல் தயாரிப்பு அல்லது எளிமையாகக் குறிக்கப்படுகிறது.

செயல்பாட்டின் முடிவு NUMBER ஆகும்: திசையன் வெக்டரால் பெருக்கப்படுகிறது, இதன் விளைவாக ஒரு எண். உண்மையில், திசையன்களின் நீளம் எண்களாக இருந்தால், ஒரு கோணத்தின் கொசைன் ஒரு எண்ணாக இருந்தால், அதன் தயாரிப்பு ஒரு எண்ணாகவும் இருக்கும்.

இரண்டு சூடான எடுத்துக்காட்டுகள்:

எடுத்துக்காட்டு 1

தீர்வு:நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் . இந்த வழக்கில்:

பதில்:

கொசைன் மதிப்புகளைக் காணலாம் முக்கோணவியல் அட்டவணை. அதை அச்சிட பரிந்துரைக்கிறேன் - இது கோபுரத்தின் கிட்டத்தட்ட அனைத்து பிரிவுகளிலும் தேவைப்படும் மற்றும் பல முறை தேவைப்படும்.

முற்றிலும் கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், அளவிடுதல் தயாரிப்பு பரிமாணமற்றது, அதாவது, இதன் விளைவாக, இந்த விஷயத்தில், ஒரு எண் மட்டுமே. இயற்பியல் சிக்கல்களின் பார்வையில், ஒரு அளவிடுதல் தயாரிப்பு எப்போதும் ஒரு குறிப்பிட்ட உடல் பொருளைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது, அதன் விளைவாக ஒன்று அல்லது மற்றொரு இயற்பியல் அலகு குறிக்கப்பட வேண்டும். ஒரு சக்தியின் வேலையைக் கணக்கிடுவதற்கான ஒரு நியமன உதாரணம் எந்த பாடப்புத்தகத்திலும் காணலாம் (சூத்திரம் சரியாக ஒரு அளவிடல் தயாரிப்பு). ஒரு சக்தியின் வேலை ஜூல்ஸில் அளவிடப்படுகிறது, எனவே, பதில் மிகவும் குறிப்பாக எழுதப்படும், எடுத்துக்காட்டாக, .

எடுத்துக்காட்டு 2

இருந்தால் கண்டுபிடிக்கவும் , மற்றும் திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணம் சமமாக இருக்கும்.

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு, பதில் பாடத்தின் முடிவில் உள்ளது.

திசையன்களுக்கும் புள்ளி தயாரிப்பு மதிப்புக்கும் இடையே உள்ள கோணம்

எடுத்துக்காட்டு 1 இல் அளவிடல் தயாரிப்பு நேர்மறையாக மாறியது, எடுத்துக்காட்டு 2 இல் அது எதிர்மறையாக மாறியது. ஸ்கேலர் தயாரிப்பின் அடையாளம் எதைப் பொறுத்தது என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். எங்கள் சூத்திரத்தைப் பார்ப்போம்: . பூஜ்ஜியமற்ற திசையன்களின் நீளம் எப்போதும் நேர்மறையாக இருக்கும்: , எனவே குறியானது கொசைனின் மதிப்பை மட்டுமே சார்ந்திருக்கும்.

குறிப்பு: கீழே உள்ள தகவலை நன்கு புரிந்து கொள்ள, கையேட்டில் உள்ள கொசைன் வரைபடத்தைப் படிப்பது நல்லது செயல்பாட்டு வரைபடங்கள் மற்றும் பண்புகள். பிரிவில் கொசைன் எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதைப் பார்க்கவும்.

ஏற்கனவே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் மாறுபடலாம் , மற்றும் பின்வரும் வழக்குகள் சாத்தியமாகும்:

1) என்றால் மூலையில்திசையன்களுக்கு இடையில் காரமான: (0 முதல் 90 டிகிரி வரை), பின்னர் , மற்றும் புள்ளி தயாரிப்பு நேர்மறையாக இருக்கும் இணைந்து இயக்கினார், பின்னர் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் பூஜ்ஜியமாகக் கருதப்படுகிறது, மேலும் அளவிடுதல் தயாரிப்பு நேர்மறையாக இருக்கும். இருந்து , சூத்திரம் எளிதாக்குகிறது: .

2) என்றால் மூலையில்திசையன்களுக்கு இடையில் மழுங்கிய: (90 முதல் 180 டிகிரி வரை), பின்னர் , மற்றும் அதற்கேற்ப, புள்ளி தயாரிப்பு எதிர்மறையானது: . சிறப்பு வழக்கு: திசையன்கள் என்றால் எதிர் திசைகள், பின்னர் அவர்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் கருதப்படுகிறது விரிவடைந்தது: (180 டிகிரி). ஸ்கேலர் தயாரிப்பும் எதிர்மறையானது, என்பதால்

எதிர் அறிக்கைகளும் உண்மைதான்:

1) என்றால், இந்த திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணம் கடுமையானது. மாற்றாக, திசையன்கள் இணை திசையில் உள்ளன.

2) என்றால், இந்த திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணம் மழுங்கலாக உள்ளது. மாற்றாக, திசையன்கள் எதிர் திசைகளில் உள்ளன.

ஆனால் மூன்றாவது வழக்கு குறிப்பாக ஆர்வமாக உள்ளது:

3) என்றால் மூலையில்திசையன்களுக்கு இடையில் நேராக: (90 டிகிரி), பின்னர் அளவிடல் தயாரிப்பு பூஜ்ஜியமாகும்: . உரையாடலும் உண்மைதான்: என்றால் , பிறகு . அறிக்கையை சுருக்கமாக பின்வருமாறு உருவாக்கலாம்: திசையன்கள் ஆர்த்தோகனலாக இருந்தால் மட்டுமே இரண்டு திசையன்களின் அளவிடல் தயாரிப்பு பூஜ்ஜியமாகும். குறுகிய கணிதக் குறிப்பு:

! குறிப்பு : மீண்டும் சொல்கிறேன் கணித தர்க்கத்தின் அடிப்படைகள்: இரட்டை பக்க தர்க்க விளைவு ஐகான் பொதுவாக "இருந்தால் மட்டும் இருந்தால்", "இருந்தால் மட்டும் இருந்தால்" என்று படிக்கப்படும். நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அம்புகள் இரு திசைகளிலும் இயக்கப்படுகின்றன - "இதிலிருந்து இது பின்வருமாறு, மற்றும் நேர்மாறாக - அதிலிருந்து இதைப் பின்தொடர்கிறது." ஒருவழிப் பின்தொடர் ஐகானில் இருந்து என்ன வித்தியாசம்? ஐகான் கூறுகிறது அது மட்டும், "இதிலிருந்து இதைப் பின்தொடர்கிறது", மற்றும் எதிர் உண்மை என்பது உண்மையல்ல. எடுத்துக்காட்டாக: , ஆனால் ஒவ்வொரு மிருகமும் ஒரு சிறுத்தை அல்ல, எனவே இந்த விஷயத்தில் நீங்கள் ஐகானைப் பயன்படுத்த முடியாது. அதே நேரத்தில், ஐகானுக்கு பதிலாக முடியும்ஒரு பக்க ஐகானைப் பயன்படுத்தவும். எடுத்துக்காட்டாக, சிக்கலைத் தீர்க்கும் போது, ​​திசையன்கள் ஆர்த்தோகனல் என்று நாங்கள் முடிவு செய்தோம்: - அத்தகைய நுழைவு சரியாக இருக்கும், மேலும் அதை விட மிகவும் பொருத்தமானது .

மூன்றாவது வழக்கு மிகவும் நடைமுறை முக்கியத்துவம் வாய்ந்தது, இது திசையன்கள் ஆர்த்தோகனா இல்லையா என்பதை சரிபார்க்க உங்களை அனுமதிக்கிறது. பாடத்தின் இரண்டாவது பிரிவில் இந்த சிக்கலை தீர்ப்போம்.

புள்ளி தயாரிப்பின் பண்புகள்

இரண்டு திசையன்கள் போது நிலைமைக்கு திரும்புவோம் இணைந்து இயக்கினார். இந்த வழக்கில், அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் பூஜ்ஜியமாகும், மற்றும் அளவிடுதல் தயாரிப்பு சூத்திரம் வடிவத்தை எடுக்கும்: .

ஒரு திசையன் தானே பெருக்கினால் என்ன நடக்கும்? திசையன் தன்னுடன் சீரமைக்கப்பட்டுள்ளது என்பது தெளிவாகிறது, எனவே மேலே உள்ள எளிமைப்படுத்தப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

எண் அழைக்கப்படுகிறது ஸ்கேலர் சதுரம்திசையன், மற்றும் என குறிக்கப்படுகிறது.

இதனால், ஒரு திசையனின் அளவிடல் சதுரம் கொடுக்கப்பட்ட திசையனின் நீளத்தின் சதுரத்திற்கு சமம்:

இந்த சமத்துவத்திலிருந்து திசையன் நீளத்தைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தைப் பெறலாம்:

இதுவரை இது தெளிவாகத் தெரியவில்லை, ஆனால் பாடத்தின் நோக்கங்கள் எல்லாவற்றையும் அதன் இடத்தில் வைக்கும். பிரச்சினைகளை தீர்க்க நமக்கும் தேவை புள்ளி தயாரிப்பு பண்புகள்.

தன்னிச்சையான திசையன்கள் மற்றும் எந்த எண்ணுக்கும், பின்வரும் பண்புகள் உண்மையாக இருக்கும்:

1) - பரிமாற்றம் அல்லது மாற்றத்தக்கஅளவிடுதல் தயாரிப்பு சட்டம்.

2) - விநியோகம் அல்லது விநியோகிக்கக்கூடியஅளவிடுதல் தயாரிப்பு சட்டம். வெறுமனே, நீங்கள் அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கலாம்.

3) - துணை அல்லது துணைஅளவிடுதல் தயாரிப்பு சட்டம். மாறிலியை அளவிடல் உற்பத்தியில் இருந்து பெறலாம்.

பெரும்பாலும், அனைத்து வகையான பண்புகளும் (நிரூபிக்கப்பட வேண்டியவை!) மாணவர்களால் தேவையற்ற குப்பைகளாக உணரப்படுகின்றன, அவை பரீட்சைக்குப் பிறகு உடனடியாக மனப்பாடம் செய்து பாதுகாப்பாக மறக்கப்பட வேண்டும். இங்கே முக்கியமானது என்னவென்றால், காரணிகளை மறுசீரமைப்பது தயாரிப்பை மாற்றாது என்பதை முதல் வகுப்பிலிருந்தே அனைவருக்கும் ஏற்கனவே தெரியும்: . உயர் கணிதத்தில் இதுபோன்ற அணுகுமுறையால் விஷயங்களைக் குழப்புவது எளிது என்பதை நான் உங்களுக்கு எச்சரிக்க வேண்டும். எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, பரிமாற்ற சொத்து உண்மை இல்லை இயற்கணித மெட்ரிக்குகள். அதுவும் உண்மை இல்லை திசையன்களின் திசையன் தயாரிப்பு. எனவே, குறைந்தபட்சம், என்ன செய்ய முடியும் மற்றும் என்ன செய்ய முடியாது என்பதைப் புரிந்துகொள்வதற்காக, உயர் கணிதப் பாடத்தில் நீங்கள் காணும் எந்தவொரு பண்புகளையும் ஆராய்வது நல்லது.

எடுத்துக்காட்டு 3

.

தீர்வு:முதலில், திசையன் மூலம் நிலைமையை தெளிவுபடுத்துவோம். எப்படியும் இது என்ன? திசையன்களின் கூட்டுத்தொகை நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட திசையன் ஆகும், இது குறிக்கப்படுகிறது. திசையன்களுடன் செயல்களின் வடிவியல் விளக்கத்தை கட்டுரையில் காணலாம் டம்மிகளுக்கான திசையன்கள். ஒரு திசையன் கொண்ட அதே வோக்கோசு என்பது திசையன்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் .

எனவே, நிபந்தனையின் படி, அளவிடுதல் தயாரிப்பு கண்டுபிடிக்க வேண்டும். கோட்பாட்டில், நீங்கள் வேலை செய்யும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும் , ஆனால் பிரச்சனை என்னவென்றால், திசையன்களின் நீளம் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் நமக்குத் தெரியாது. ஆனால் நிலை திசையன்களுக்கு ஒத்த அளவுருக்களை வழங்குகிறது, எனவே நாங்கள் வேறு வழியில் செல்வோம்:

(1) திசையன்களின் வெளிப்பாடுகளை மாற்றவும்.

(2) பல்லுறுப்புக்கோவைகளைப் பெருக்குவதற்கான விதியின்படி அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கிறோம்; ஒரு மோசமான நாக்கு முறுக்கு கட்டுரையில் காணலாம் சிக்கலான எண்கள்அல்லது ஒரு பகுதி-பகுத்தறிவு செயல்பாட்டை ஒருங்கிணைத்தல். நான் மீண்டும் சொல்ல மாட்டேன் =) மூலம், அளவிடுதல் தயாரிப்பின் விநியோக சொத்து அடைப்புக்குறிகளை திறக்க அனுமதிக்கிறது. எங்களுக்கு உரிமை உள்ளது.

(3) முதல் மற்றும் கடைசி சொற்களில், திசையன்களின் ஸ்கேலர் சதுரங்களை சுருக்கமாக எழுதுகிறோம்: . இரண்டாவது டெர்மில், ஸ்கேலர் தயாரிப்பின் மாற்றியமைப்பைப் பயன்படுத்துகிறோம்: .

(4) இதே போன்ற விதிமுறைகளை நாங்கள் முன்வைக்கிறோம்: .

(5) முதல் வார்த்தையில் நாம் ஸ்கேலார் சதுர சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம், இது நீண்ட காலத்திற்கு முன்பு குறிப்பிடப்படவில்லை. கடைசி காலத்தில், அதன்படி, அதே விஷயம் செயல்படுகிறது: . நிலையான சூத்திரத்தின்படி இரண்டாவது காலத்தை விரிவுபடுத்துகிறோம் .

(6) இந்த நிபந்தனைகளை மாற்றவும் , மற்றும் கவனமாக இறுதி கணக்கீடுகளை மேற்கொள்ளவும்.

பதில்:

ஸ்கேலர் உற்பத்தியின் எதிர்மறை மதிப்பு, திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் மழுங்கியது என்ற உண்மையைக் கூறுகிறது.

பிரச்சனை பொதுவானது, அதை நீங்களே தீர்ப்பதற்கான ஒரு எடுத்துக்காட்டு இங்கே:

எடுத்துக்காட்டு 4

திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியைக் கண்டுபிடி, அது தெரிந்தால் .

இப்போது மற்றொரு பொதுவான பணி, வெக்டரின் நீளத்திற்கான புதிய சூத்திரத்திற்கு மட்டுமே. இங்கே குறிப்பீடு கொஞ்சம் ஒன்றுடன் ஒன்று இருக்கும், எனவே தெளிவுக்காக நான் அதை வேறு கடிதத்துடன் மீண்டும் எழுதுகிறேன்:

எடுத்துக்காட்டு 5

என்றால் திசையன் நீளத்தைக் கண்டறியவும் .

தீர்வுபின்வருமாறு இருக்கும்:

(1) வெக்டருக்கான வெளிப்பாட்டை நாங்கள் வழங்குகிறோம்.

(2) நாம் நீள சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்: , மற்றும் முழு வெளிப்பாடு ve திசையன் "ve" ஆக செயல்படுகிறது.

(3) தொகையின் வர்க்கத்திற்கு பள்ளி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம். இது ஒரு ஆர்வமான முறையில் இங்கே எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதைக் கவனியுங்கள்: - உண்மையில், இது வித்தியாசத்தின் சதுரம், உண்மையில், அது அப்படித்தான். விரும்புபவர்கள் திசையன்களை மறுசீரமைக்கலாம்: - விதிமுறைகளின் மறுசீரமைப்பு வரை இதேதான் நடக்கும்.

(4) பின்வருபவை முந்தைய இரண்டு சிக்கல்களிலிருந்து ஏற்கனவே நன்கு தெரிந்தவை.

பதில்:

நாங்கள் நீளத்தைப் பற்றி பேசுவதால், பரிமாணத்தைக் குறிக்க மறக்காதீர்கள் - “அலகுகள்”.

எடுத்துக்காட்டு 6

என்றால் திசையன் நீளத்தைக் கண்டறியவும் .

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. பாடத்தின் முடிவில் முழு தீர்வு மற்றும் பதில்.

டாட் தயாரிப்பிலிருந்து பயனுள்ள விஷயங்களைத் தொடர்ந்து கசக்கி விடுகிறோம். மீண்டும் நமது சூத்திரத்தைப் பார்ப்போம் . விகிதாச்சார விதியைப் பயன்படுத்தி, திசையன்களின் நீளத்தை இடது பக்கத்தின் வகுப்பிற்கு மீட்டமைக்கிறோம்:

பகுதிகளை மாற்றுவோம்:

இந்த சூத்திரத்தின் பொருள் என்ன? இரண்டு திசையன்களின் நீளம் மற்றும் அவற்றின் அளவிடுதல் தயாரிப்பு தெரிந்தால், இந்த திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைனையும், அதன் விளைவாக, கோணத்தையும் கணக்கிடலாம்.

புள்ளி தயாரிப்பு என்பது எண்ணா? எண். திசையன் நீளம் எண்களா? எண்கள். இதன் பொருள் ஒரு பின்னமும் ஒரு எண். மேலும் கோணத்தின் கொசைன் தெரிந்தால்: , பின்னர் தலைகீழ் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தி கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்பது எளிது: .

எடுத்துக்காட்டு 7

திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டுபிடி, அது தெரிந்தால்.

தீர்வு:நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

கணக்கீடுகளின் இறுதி கட்டத்தில், ஒரு தொழில்நுட்ப நுட்பம் பயன்படுத்தப்பட்டது - வகுப்பில் பகுத்தறிவற்ற தன்மையை நீக்குகிறது. பகுத்தறிவின்மையை அகற்ற, நான் எண் மற்றும் வகுப்பை பெருக்கினேன்.

அப்படியென்றால் , அந்த:

தலைகீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகள் மூலம் காணலாம் முக்கோணவியல் அட்டவணை. இது அரிதாக நடக்கும் என்றாலும். பகுப்பாய்வு வடிவவியலின் சிக்கல்களில், பெரும்பாலும் சில விகாரமான கரடிகள் , மற்றும் கோணத்தின் மதிப்பை தோராயமாக ஒரு கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி கண்டறிய வேண்டும். உண்மையில், இதுபோன்ற ஒரு படத்தை ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட முறை பார்ப்போம்.

பதில்:

மீண்டும், பரிமாணங்களைக் குறிக்க மறக்காதீர்கள் - ரேடியன்கள் மற்றும் டிகிரி. தனிப்பட்ட முறையில், வெளிப்படையாக "எல்லா கேள்விகளையும் தீர்க்க", நான் இரண்டையும் குறிப்பிட விரும்புகிறேன் (நிபந்தனை, நிச்சயமாக, ரேடியன்களில் அல்லது டிகிரிகளில் மட்டுமே பதிலை வழங்க வேண்டும் என்றால்).

இப்போது நீங்கள் மிகவும் சிக்கலான பணியை சுயாதீனமாக சமாளிக்க முடியும்:

எடுத்துக்காட்டு 7*

திசையன்களின் நீளம் மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்.

பல படிகள் இருப்பதால் பணி மிகவும் கடினம் அல்ல.
தீர்வு வழிமுறையைப் பார்ப்போம்:

1) நிபந்தனையின் படி, நீங்கள் திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறிய வேண்டும், எனவே நீங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும் .

2) அளவிடுதல் தயாரிப்பைக் கண்டறியவும் (எடுத்துக்காட்டு எண். 3, 4 ஐப் பார்க்கவும்).

3) திசையன் நீளம் மற்றும் திசையன் நீளம் (எடுத்துக்காட்டு எண். 5, 6 ஐப் பார்க்கவும்).

4) தீர்வின் முடிவு எடுத்துக்காட்டு எண். 7 உடன் ஒத்துப்போகிறது - எண் எங்களுக்குத் தெரியும் , அதாவது கோணத்தைக் கண்டுபிடிப்பது எளிது:

பாடத்தின் முடிவில் ஒரு சிறிய தீர்வு மற்றும் பதில்.

பாடத்தின் இரண்டாவது பகுதி அதே அளவிடுதல் தயாரிப்புக்கு அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது. ஒருங்கிணைப்புகள். இது முதல் பகுதியை விட எளிதாக இருக்கும்.

திசையன்களின் புள்ளி தயாரிப்பு,
ஆர்த்தோநார்மல் அடிப்படையில் ஆயத்தொகுப்புகளால் கொடுக்கப்பட்டது

பதில்:

ஆயங்களைக் கையாள்வது மிகவும் இனிமையானது என்று சொல்லத் தேவையில்லை.

எடுத்துக்காட்டு 14

திசையன்களின் அளவிடல் உற்பத்தியைக் கண்டறியவும் மற்றும் என்றால்

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. இங்கே நீங்கள் செயல்பாட்டின் துணைத்தன்மையைப் பயன்படுத்தலாம், அதாவது எண்ண வேண்டாம் , ஆனால் உடனடியாக ஸ்கேலர் தயாரிப்புக்கு வெளியே மும்மடங்கு எடுத்து, அதை கடைசியாக பெருக்கவும். தீர்வு மற்றும் பதில் பாடத்தின் முடிவில் உள்ளது.

பிரிவின் முடிவில், ஒரு திசையன் நீளத்தை கணக்கிடுவதற்கான ஒரு ஆத்திரமூட்டும் உதாரணம்:

எடுத்துக்காட்டு 15

திசையன்களின் நீளத்தைக் கண்டறியவும் , என்றால்

தீர்வு:முந்தைய பிரிவின் முறை தன்னை மீண்டும் பரிந்துரைக்கிறது: ஆனால் மற்றொரு வழி உள்ளது:

வெக்டரைக் கண்டுபிடிப்போம்:

மற்றும் அற்பமான சூத்திரத்தின்படி அதன் நீளம் :

புள்ளி தயாரிப்பு இங்கே பொருந்தாது!

ஒரு திசையன் நீளத்தை கணக்கிடும் போது இது பயனுள்ளதாக இல்லை:
நிறுத்து. திசையன் நீளத்தின் வெளிப்படையான சொத்தை நாம் பயன்படுத்திக் கொள்ள வேண்டாமா? திசையன் நீளம் பற்றி நீங்கள் என்ன சொல்ல முடியும்? இந்த திசையன் வெக்டரை விட 5 மடங்கு நீளமானது. திசை எதிர், ஆனால் இது ஒரு பொருட்டல்ல, ஏனென்றால் நாங்கள் நீளத்தைப் பற்றி பேசுகிறோம். வெளிப்படையாக, திசையன் நீளம் தயாரிப்புக்கு சமம் தொகுதிஒரு திசையன் நீளத்திற்கு எண்கள்:
- மாடுலஸ் அடையாளம் எண்ணின் சாத்தியமான மைனஸை "சாப்பிடுகிறது".

இதனால்:

பதில்:

ஆயத்தொலைவுகளால் குறிப்பிடப்படும் திசையன்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைனுக்கான சூத்திரம்

திசையன்களின் ஆயத்தொலைவுகள் மூலம் திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கோசைனுக்கான முன்னர் பெறப்பட்ட சூத்திரத்தை வெளிப்படுத்த இப்போது முழுமையான தகவல் உள்ளது:

விமான திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கோசைன்மற்றும், ஆர்த்தோநார்மல் அடிப்படையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது, சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:
.

விண்வெளி திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தின் கொசைன், ஒரு ஆர்த்தோநார்மல் அடிப்படையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது, சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

எடுத்துக்காட்டு 16

ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று முனைகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. கண்டுபிடி (உச்சி கோணம்).

தீர்வு:நிபந்தனைகளின்படி, வரைதல் தேவையில்லை, ஆனால் இன்னும்:

தேவையான கோணம் பச்சை வில் மூலம் குறிக்கப்பட்டுள்ளது. ஒரு கோணத்தின் பள்ளி பதவியை உடனடியாக நினைவில் கொள்வோம்: - சிறப்பு கவனம் சராசரிகடிதம் - இது நமக்குத் தேவையான கோணத்தின் உச்சி. சுருக்கமாக, நீங்கள் எளிமையாகவும் எழுதலாம்.

வரைபடத்திலிருந்து, முக்கோணத்தின் கோணம் திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்துடன் ஒத்துப்போகிறது மற்றும் வேறுவிதமாகக் கூறினால்: .

பகுப்பாய்வை மனரீதியாக எவ்வாறு செய்வது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வது நல்லது.

திசையன்களைக் கண்டுபிடிப்போம்:

ஸ்கேலர் தயாரிப்பைக் கணக்கிடுவோம்:

மற்றும் திசையன்களின் நீளம்:

கோணத்தின் கோசைன்:

டம்மிகளுக்கு நான் பரிந்துரைக்கும் பணியை முடிப்பதற்கான வரிசை இதுதான். மிகவும் மேம்பட்ட வாசகர்கள் கணக்கீடுகளை "ஒரு வரியில்" எழுதலாம்:

"மோசமான" கொசைன் மதிப்புக்கான உதாரணம் இங்கே. இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பு இறுதியானது அல்ல, எனவே வகுப்பில் உள்ள பகுத்தறிவற்ற தன்மையை அகற்றுவதில் சிறிதும் இல்லை.

கோணத்தையே கண்டுபிடிப்போம்:

நீங்கள் வரைபடத்தைப் பார்த்தால், முடிவு மிகவும் நம்பத்தகுந்ததாக இருக்கும். சரிபார்க்க, கோணத்தை ஒரு புரோட்ராக்டருடன் அளவிடலாம். மானிட்டர் அட்டையை சேதப்படுத்த வேண்டாம் =)

பதில்:

பதிலில் நாம் அதை மறந்துவிட மாட்டோம் ஒரு முக்கோணத்தின் கோணம் பற்றி கேட்டார்(மற்றும் திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தைப் பற்றி அல்ல), சரியான பதிலைக் குறிப்பிட மறக்காதீர்கள்: மற்றும் கோணத்தின் தோராயமான மதிப்பு: , கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தி கண்டுபிடிக்கப்பட்டது.

செயல்முறையை அனுபவித்தவர்கள் கோணங்களைக் கணக்கிடலாம் மற்றும் நியமன சமத்துவத்தின் செல்லுபடியை சரிபார்க்கலாம்

எடுத்துக்காட்டு 17

ஒரு முக்கோணம் அதன் முனைகளின் ஆயத்தொலைவுகளால் விண்வெளியில் வரையறுக்கப்படுகிறது. பக்கங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தைக் கண்டறியவும்

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. பாடத்தின் முடிவில் முழு தீர்வு மற்றும் பதில்

ஒரு சிறிய இறுதிப் பகுதி கணிப்புகளுக்கு அர்ப்பணிக்கப்படும், இதில் ஒரு அளவிடுதல் தயாரிப்பும் அடங்கும்:

ஒரு திசையன் மீது ஒரு திசையன் ப்ரொஜெக்ஷன். ஒரு திசையன் ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகள் மீது ப்ராஜெக்ஷன்.
வெக்டரின் திசை கோசைன்கள்

திசையன்களைக் கருத்தில் கொள்ளுங்கள் மற்றும்:

திசையன் மீது வெக்டரை முன்னிறுத்துவோம்; இதைச் செய்ய, திசையனின் ஆரம்பம் மற்றும் முடிவில் இருந்து நாம் தவிர்க்கிறோம் செங்குத்தாகதிசையன் வரை (பச்சை புள்ளியிடப்பட்ட கோடுகள்). ஒளியின் கதிர்கள் திசையன் மீது செங்குத்தாக விழும் என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள். பின்னர் பிரிவு (சிவப்பு கோடு) திசையனின் "நிழலாக" இருக்கும். இந்த வழக்கில், திசையன் மீது திசையன் ப்ரொஜெக்ஷன் பிரிவின் நீளம் ஆகும். அதாவது, PROJECTION என்பது ஒரு எண்.

இந்த NUMBER பின்வருமாறு குறிக்கப்படுகிறது: , “பெரிய திசையன்” என்பது திசையனைக் குறிக்கிறது எந்ததிட்டம், "சிறிய சப்ஸ்கிரிப்ட் வெக்டர்" என்பது வெக்டரைக் குறிக்கிறது ஆன்திட்டமிடப்பட்டவை.

பதிவே இவ்வாறு கூறுகிறது: "வெக்டார் "a" இன் திசையன் "be" மீது புரொஜெக்ஷன்."

திசையன் "be" "மிகவும் குறுகியதாக" இருந்தால் என்ன நடக்கும்? திசையன் "இரு" கொண்ட ஒரு நேர் கோட்டை வரைகிறோம். மற்றும் திசையன் "a" ஏற்கனவே கணிக்கப்படும் திசையன் திசையில் "இரு", எளிமையாக - திசையன் "இரு" கொண்டிருக்கும் நேர் கோட்டிற்கு. முப்பதாவது இராச்சியத்தில் திசையன் “a” ஒத்திவைக்கப்பட்டால் இதேதான் நடக்கும் - அது இன்னும் எளிதாக திசையன் “இரு” உள்ள நேர்கோட்டில் திட்டமிடப்படும்.

கோணம் என்றால்திசையன்களுக்கு இடையில் காரமான(படத்தில் உள்ளதைப் போல), பின்னர்

திசையன்கள் என்றால் ஆர்த்தோகனல், பின்னர் (திட்டமானது ஒரு புள்ளியாகும், அதன் பரிமாணங்கள் பூஜ்ஜியமாகக் கருதப்படுகின்றன).

கோணம் என்றால்திசையன்களுக்கு இடையில் மழுங்கிய(படத்தில், திசையன் அம்புக்குறியை மனரீதியாக மறுசீரமைக்கவும்), பின்னர் (அதே நீளம், ஆனால் கழித்தல் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்டது).

இந்த திசையன்களை ஒரு புள்ளியில் இருந்து திட்டமிடுவோம்:

வெளிப்படையாக, ஒரு திசையன் நகரும் போது, ​​அதன் கணிப்பு மாறாது

குறுக்கு தயாரிப்பு மற்றும் புள்ளி தயாரிப்பு ஆகியவை திசையன்களுக்கு இடையிலான கோணத்தைக் கணக்கிடுவதை எளிதாக்குகின்றன. $\overline(a)$ மற்றும் $\overline(b)$ ஆகிய இரண்டு வெக்டர்களை கொடுக்கலாம், அவற்றுக்கிடையே உள்ள ஓரியண்டட் கோணம் $\varphi$க்கு சமம். $x = (\overline(a),\overline(b))$ மற்றும் $y = [\overline(a),\overline(b)]$ மதிப்புகளை கணக்கிடுவோம். பிறகு $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$, இதில் $r=|\overline(a)|\cdot|\overline(b)|$, மற்றும் $\varphi$ விரும்பிய கோணம், அதாவது, புள்ளி $(x, y)$ ஆனது $\varphi$ க்கு சமமான துருவ கோணத்தைக் கொண்டுள்ளது, எனவே $\varphi$ ஐ atan2(y, x) எனக் காணலாம்.

ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு

குறுக்கு தயாரிப்பு இரண்டு திசையன் நீளங்களின் தயாரிப்பு மற்றும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்தின் கொசைன் ஆகியவற்றைக் கொண்டிருப்பதால், குறுக்கு தயாரிப்பு முக்கோண ABCயின் பரப்பளவைக் கணக்கிட பயன்படுத்தப்படலாம்:

$ S_(ABC) = \frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AC)]| $.

ஒரு கோட்டிற்கு ஒரு புள்ளியைச் சேர்ந்தது

ஒரு புள்ளி $P$ மற்றும் ஒரு வரி $AB$ (இரண்டு புள்ளிகளால் கொடுக்கப்பட்ட $A$ மற்றும் $B$) கொடுக்கப்பட வேண்டும். ஒரு புள்ளி $AB$ வரிக்கு உரியதா என்பதைச் சரிபார்க்க வேண்டியது அவசியம்.

$AP$ மற்றும் $AB$ ஆகிய திசையன்கள் கோலினியர்களாக இருந்தால் மட்டுமே $AB$ வரிக்கு ஒரு புள்ளி சொந்தமானது, அதாவது $ [ \overline(AP), \overline(AB)]=0 $.

ஒரு கதிர்க்கு ஒரு புள்ளியைச் சேர்ந்தது

ஒரு புள்ளி $P$ மற்றும் ஒரு கதிர் $AB$ கொடுக்கப்பட வேண்டும் (இரண்டு புள்ளிகளால் வரையறுக்கப்படுகிறது - கதிரின் ஆரம்பம் $A$ மற்றும் ரே $B$ மீது ஒரு புள்ளி). ஒரு புள்ளியானது $AB$ கதிர்க்குச் சொந்தமானதா என்பதைச் சரிபார்க்க வேண்டியது அவசியம்.

$P$ என்பது $AB$ என்ற நேர் கோட்டிற்குச் சொந்தமானது என்ற நிபந்தனைக்கு, கூடுதல் நிபந்தனையைச் சேர்க்க வேண்டியது அவசியம் - $AP$ மற்றும் $AB$ ஆகிய திசையன்கள் இணை திசையில் உள்ளன, அதாவது அவை கோலினியர் மற்றும் அவற்றின் அளவிடல் தயாரிப்பு எதிர்மறை அல்லாத, அதாவது $(\overline(AB), \overline(AP ))\ge 0$.

ஒரு பிரிவுக்கு ஒரு புள்ளியைச் சேர்ந்தது

ஒரு புள்ளி $P$ மற்றும் ஒரு பிரிவு $AB$ கொடுக்கப்பட வேண்டும். ஒரு புள்ளி $AB$ பிரிவைச் சேர்ந்ததா என்பதைச் சரிபார்க்க வேண்டியது அவசியம்.

இந்த நிலையில், புள்ளியானது கதிர் $AB$ மற்றும் ரே $BA$ ஆகிய இரண்டையும் சேர்ந்ததாக இருக்க வேண்டும், எனவே பின்வரும் நிபந்தனைகள் சரிபார்க்கப்பட வேண்டும்:

$[\overline(AP), \overline(AB)]=0$,

$(\overline(AB), \overline(AP))\ge 0$,

$(\overline(BA), \overline(BP))\ge 0$.

புள்ளியிலிருந்து வரிக்கு தூரம்

ஒரு புள்ளி $P$ மற்றும் ஒரு வரி $AB$ (இரண்டு புள்ளிகளால் கொடுக்கப்பட்ட $A$ மற்றும் $B$) கொடுக்கப்பட வேண்டும். $AB$ வரியின் புள்ளியிலிருந்து தூரத்தைக் கண்டறிவது அவசியம்.

ABP முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள். ஒருபுறம், அதன் பரப்பளவு $S_(ABP)=\frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AP) ]|$.

மறுபுறம், அதன் பரப்பளவு $S_(ABP)= \frac(1)(2)h |AB|$ க்கு சமம், இங்கு $h$ என்பது $P$ புள்ளியில் இருந்து குறைக்கப்பட்ட உயரம், அதாவது தூரம் $P$ இலிருந்து $ AB$ வரை. எங்கே $h=|[\overline(AB),\overline(AP)]|/|AB|$.

புள்ளியிலிருந்து கற்றைக்கு தூரம்

ஒரு புள்ளி $P$ மற்றும் ஒரு கதிர் $AB$ கொடுக்கப்பட வேண்டும் (இரண்டு புள்ளிகளால் வரையறுக்கப்படுகிறது - கதிரின் ஆரம்பம் $A$ மற்றும் ரே $B$ மீது ஒரு புள்ளி). ஒரு புள்ளியில் இருந்து ஒரு கதிர் வரையிலான தூரத்தைக் கண்டறிவது அவசியம், அதாவது, கதிரின் எந்தப் புள்ளிக்கும் $P$ புள்ளியிலிருந்து மிகக் குறுகிய பிரிவின் நீளம்.

இந்த தூரம் நீளம் $AP$ அல்லது புள்ளி $P$ இலிருந்து $AB$ வரையிலான தூரத்திற்குச் சமம். எந்த நிகழ்வுகள் நடைபெறுகின்றன என்பதை கதிர் மற்றும் புள்ளியின் ஒப்பீட்டு நிலை மூலம் எளிதாக தீர்மானிக்க முடியும். PAB கோணம் கடுமையானதாக இருந்தால், அதாவது $(\overline(AB),\overline(AP)) > 0$ எனில், பதில் $P$ புள்ளியிலிருந்து $AB$ வரையிலான நேர்கோட்டுக்கான தூரமாக இருக்கும், இல்லையெனில் பதில் $AB$ பிரிவின் நீளமாக இருக்கும்.

புள்ளியிலிருந்து பிரிவுக்கான தூரம்

ஒரு புள்ளி $P$ மற்றும் ஒரு பிரிவு $AB$ கொடுக்கப்பட வேண்டும். $P$ இலிருந்து $AB$ பிரிவிற்கான தூரத்தைக் கண்டறிவது அவசியம்.

$P$ இலிருந்து $AB$ என்ற வரியில் செங்குத்தாகக் கீழே விழுந்தால், $AB$ பிரிவில், நிபந்தனைகளால் சரிபார்க்கப்படும்

$(\overline(AP), \overline(AB))\ge 0$,

$(\overline(BP), \overline(BA))\ge 0$,

பின்னர் பதில் புள்ளி $P$ இலிருந்து வரி $AB$ வரை இருக்கும். இல்லையெனில் தூரம் $\min(AP, BP)$க்கு சமமாக இருக்கும்.