İrrasyonel sayılar kümesi genellikle büyük harfle gösterilir ben (\displaystyle \mathbb (I)) gölgeleme olmadan cesur bir tarzda. Böylece: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \ters eğik çizgi \mathbb (Q)) yani irrasyonel sayılar kümesi reel ve rasyonel sayılar kümeleri arasındaki farktır.

İrrasyonel sayıların, daha kesin olarak, birim uzunluktaki bir bölümle ölçülemeyen bölümlerin varlığı, eski matematikçiler tarafından zaten biliniyordu: örneğin, bir karenin köşegeninin ve kenarının orantısızlığını biliyorlardı ki bu da karenin irrasyonelliğine eşdeğerdir. numara.

Ansiklopedik YouTube

• 1 / 5

  Mantıksız olanlar:

  İrrasyonelliğin kanıt örnekleri

  2'nin kökü

  Tam tersini varsayalım: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) rasyonel, yani kesir olarak temsil edilir m n (\ displaystyle (\ frac (m) (n))), Nerede m (\displaystyle m) bir tamsayıdır ve n (\displaystyle n)- doğal sayı.

  Sözde eşitliğin karesini alalım:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Rightarrow m^(2)=2n^(2)).

  Hikaye

  Antik Çağ

  İrrasyonel sayılar kavramı, Manava'nın (M.Ö. 750 - MÖ 690) 2 ve 61 gibi bazı doğal sayıların kareköklerinin açıkça ifade edilemeyeceğini bulmasıyla M.Ö. 7. yüzyılda Hintli matematikçiler tarafından dolaylı olarak benimsenmiştir. [ ] .

  İrrasyonel sayıların varlığının ilk kanıtı genellikle bir Pisagorcu olan Metapontuslu Hippasus'a (MÖ 500 civarı) atfedilir. Pisagorcular zamanında, herhangi bir parçada tamsayı sayısını içeren, yeterince küçük ve bölünmez tek bir uzunluk biriminin olduğuna inanılıyordu. ] .

  Hippasus'un hangi sayının irrasyonel olduğunu kanıtladığına dair kesin bir veri yoktur. Efsaneye göre bunu pentagramın kenarlarının uzunluklarını inceleyerek buldu. Bu nedenle bunun altın oran olduğunu varsaymak mantıklıdır. ] .

  Yunan matematikçiler bu orantısız miktarlar adını verdiler özür dilerim(anlatılamaz), ancak efsanelere göre Hippasus'a gereken saygıyı göstermediler. Hippasus'un bu keşfi bir deniz yolculuğu sırasında yaptığı ve diğer Pisagorcular tarafından "evrendeki tüm varlıkların tam sayılara ve bunların oranlarına indirgenebileceği doktrinini reddeden bir evren unsuru yarattığı için" denize atıldığına dair bir efsane vardır. Hippasus'un keşfi Pisagor matematiği için ciddi bir sorun teşkil etti ve sayıların ve geometrik nesnelerin bir ve ayrılamaz olduğu yönündeki temel varsayımı yok etti.

  Sayıları, özellikle de doğal sayıları anlamak, en eski matematik "becerilerinden" biridir. Pek çok uygarlık, hatta modern uygarlıklar, doğayı tanımlamadaki büyük önemi nedeniyle sayılara bazı mistik özellikler atfetmiştir. Modern bilim ve matematik bu "sihirli" özellikleri doğrulamasa da sayılar teorisinin önemi yadsınamaz.

  Tarihsel olarak, önce çeşitli doğal sayılar ortaya çıktı, ardından oldukça hızlı bir şekilde bunlara kesirler ve pozitif irrasyonel sayılar eklendi. Gerçek sayılar kümesinin bu alt kümelerinden sonra sıfır ve negatif sayılar tanıtıldı. Son küme olan karmaşık sayılar kümesi ancak modern bilimin gelişmesiyle ortaya çıktı.

  Modern matematikte sayılar, buna oldukça yakın olmasına rağmen, tarihsel sıraya göre tanıtılmamaktadır.

  Doğal sayılar $\mathbb(N)$

  Doğal sayılar kümesi genellikle $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ olarak gösterilir ve genellikle $\mathbb(N)_0$'ı belirtmek için sıfırla doldurulur.

  $\mathbb(N)$, herhangi bir $a,b,c\in \mathbb(N)$ için aşağıdaki özelliklerle toplama (+) ve çarpma ($\cdot$) işlemlerini tanımlar:

  1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ $\mathbb(N)$ kümesi toplama ve çarpma işlemleri altında kapalıdır
  2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ değişme
  3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ ilişkisellik
  4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ dağılımı
  5. $a\cdot 1=a$ çarpma işlemi için nötr bir elementtir

  $\mathbb(N)$ kümesi çarpma için nötr bir öğe içerdiğinden, toplama için içermediğinden, bu kümeye sıfır eklemek, toplama için nötr bir öğe içermesini sağlar.

  Bu iki işleme ek olarak “küçüktür” ilişkileri ($

  1. $a b$ trikotomi
  2. eğer $a\leq b$ ve $b\leq a$ ise, o zaman $a=b$ antisimetri
  3. eğer $a\leq b$ ve $b\leq c$ ise, o zaman $a\leq c$ geçişlidir
  4. eğer $a\leq b$ ise $a+c\leq b+c$
  5. eğer $a\leq b$ ise $a\cdot c\leq b\cdot c$

  Tamsayılar $\mathbb(Z)$

  Tam sayılara örnekler:
  $1, -20, -100, 30, -40, 120...$

  $a$ ve $b$'nin bilinen doğal sayılar olduğu ve $x$'ın bilinmeyen bir doğal sayı olduğu $a+x=b$ denklemini çözmek, yeni bir işlemin (çıkarma(-)) kullanılmasını gerektirir. Bu denklemi sağlayan bir $x$ doğal sayısı varsa, o zaman $x=b-a$ olur. Bununla birlikte, bu özel denklemin mutlaka $\mathbb(N)$ kümesinde bir çözümü olması gerekmez, dolayısıyla pratik hususlar, doğal sayılar kümesinin böyle bir denklemin çözümlerini içerecek şekilde genişletilmesini gerektirir. Bu, bir tamsayı kümesinin tanıtılmasına yol açar: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

  $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$ olduğundan, daha önce tanıtılan $+$ ve $\cdot$ işlemlerinin ve $ 1 ilişkilerinin olduğunu varsaymak mantıklıdır. $0+a=a+0=a$ ilave için nötr bir unsur var
  2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ $a$'ın tersi olan $-a$ sayısı var
  

  Özellik 5.:
  5. eğer $0\leq a$ ve $0\leq b$ ise, o zaman $0\leq a\cdot b$

  $\mathbb(Z)$ kümesi de çıkarma işlemi altında kapatılır, yani $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

  Rasyonel sayılar $\mathbb(Q)$

  Rasyonel sayılara örnekler:
  $\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

  Şimdi $a\cdot x=b$ formundaki denklemleri düşünün; burada $a$ ve $b$ bilinen tamsayılardır ve $x$ bilinmeyendir. Çözümün mümkün olabilmesi için bölme işleminin ($:$) tanıtılması gerekir ve çözüm $x=b:a$ formunu alır, yani $x=\frac(b)(a)$ . Yine $x$'ın her zaman $\mathbb(Z)$'a ait olmaması sorunu ortaya çıkıyor, dolayısıyla tamsayılar kümesinin genişletilmesi gerekiyor. Bu, $\frac(p)(q)$ öğelerini içeren $\mathbb(Q)$ rasyonel sayılar kümesini tanıtır; burada $p\in \mathbb(Z)$ ve $q\in \mathbb(N)$. $\mathbb(Z)$ kümesi, her elemanın $q=1$ olduğu bir alt kümedir, dolayısıyla $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ ve toplama ve çarpma işlemleri şuna göre bu kümeye uzanır: $\mathbb(Q)$ kümesinde yukarıdaki tüm özellikleri koruyan aşağıdaki kurallar:
  $\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
  $\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

  Bölünme şu şekilde tanıtılmıştır:
  $\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

  $\mathbb(Q)$ kümesinde, $a\cdot x=b$ denkleminin her $a\neq 0$ için benzersiz bir çözümü vardır (sıfıra bölme tanımsızdır). Bu, $\frac(1)(a)$ veya $a^(-1)$ ters öğesinin olduğu anlamına gelir:
  $(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$

  $\mathbb(Q)$ kümesinin sırası aşağıdaki şekilde genişletilebilir:
  $\frac(p_1)(q_1)

  $\mathbb(Q)$ kümesinin önemli bir özelliği vardır: Herhangi iki rasyonel sayı arasında sonsuz sayıda başka rasyonel sayı vardır, bu nedenle, doğal sayılar ve tam sayılar kümelerinden farklı olarak iki bitişik rasyonel sayı yoktur.

  İrrasyonel sayılar $\mathbb(I)$

  İrrasyonel sayılara örnekler:
  $\sqrt(2) \yaklaşık 1,41422135...$
  $\pi\yaklaşık 3,1415926535...$

  Herhangi iki rasyonel sayı arasında sonsuz sayıda başka rasyonel sayı bulunduğundan, rasyonel sayılar kümesinin o kadar yoğun olduğu ve onu daha da genişletmeye gerek olmadığı sonucuna hatalı bir şekilde varmak kolaydır. Pisagor bile kendi zamanında böyle bir hata yapmıştı. Ancak çağdaşları, rasyonel sayılar kümesinde $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) denkleminin çözümlerini incelerken bu sonucu zaten çürüttüler. Böyle bir denklemi çözmek için karekök kavramını tanıtmak gerekir ve ardından bu denklemin çözümü $x=\sqrt(2)$ biçiminde olur. $a$'ın bilinen bir rasyonel sayı ve $x$'ın bilinmeyen bir sayı olduğu $x^2=a$ gibi bir denklemin rasyonel sayılar kümesinde her zaman bir çözümü yoktur ve yine denklemin genişletilmesi ihtiyacı ortaya çıkar. ayarlamak. İrrasyonel sayılar kümesi ortaya çıkar ve $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... gibi sayılar bu kümeye aittir.

  Gerçek sayılar $\mathbb(R)$

  Rasyonel ve irrasyonel sayılar kümesinin birleşimi reel sayılar kümesidir. $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$ olduğundan, tanıtılan aritmetik işlemlerin ve ilişkilerin yeni kümede özelliklerini koruduğunu varsaymak yine mantıklı olacaktır. Bunun resmi kanıtı çok zordur, bu nedenle aritmetik işlemlerin yukarıda belirtilen özellikleri ve gerçel sayılar kümesindeki ilişkiler aksiyomlar olarak tanıtılmıştır. Cebirde böyle bir nesneye alan denir, dolayısıyla gerçek sayılar kümesinin sıralı alan olduğu söylenir.

  Gerçel sayılar kümesinin tanımının tamamlanması için, $\mathbb(Q)$ ve $\mathbb(R)$ kümelerini ayıran ek bir aksiyomun tanıtılması gerekir. $S$'nin gerçek sayılar kümesinin boş olmayan bir alt kümesi olduğunu varsayalım. Bir $b\in \mathbb(R)$ öğesine, eğer $\forall x\in S$ $x\leq b$ tutarsa, $S$ kümesinin üst sınırı denir. O zaman $S$ kümesinin yukarıda sınırlı olduğunu söyleriz. $S$ kümesinin en küçük üst sınırına üst sınır adı verilir ve $\sup S$ ile gösterilir. Alt sınır, alttan sınırlı küme ve infinum $\inf S$ kavramları da benzer şekilde tanıtılmıştır. Şimdi eksik aksiyom şu şekilde formüle edilir:

  Reel sayılar kümesinin boş olmayan ve üst sınırı olan herhangi bir alt kümesinin bir üstünlüğü vardır.
  Yukarıdaki şekilde tanımlanan reel sayılar alanının tek olduğu da kanıtlanabilir.

  Karmaşık sayılar$\mathbb(C)$

  Karmaşık sayılara örnekler:
  $(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
  $1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ burada $i = \sqrt(-1)$ veya $i^2 = -1$

  Karmaşık sayılar kümesi, tüm sıralı gerçek sayı çiftlerini temsil eder, yani üzerinde işlemlerin yapıldığı $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$ Toplama ve çarpma şu şekilde tanımlanır:
  $(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
  $(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

  Karmaşık sayıları yazmanın çeşitli biçimleri vardır; bunlardan en yaygın olanı $z=a+ib$'dir; burada $(a,b)$ bir çift gerçek sayıdır ve $i=(0,1)$ sayısıdır. sanal birim denir.

  $i^2=-1$ olduğunu göstermek kolaydır. $\mathbb(R)$ kümesini $\mathbb(C)$ kümesine genişletmek, negatif sayıların karekökünü belirlememize olanak tanır; karmaşık sayılar kümesinin tanıtılmasının nedeni de budur. $\mathbb(C)$ kümesinin bir alt kümesinin $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$ tarafından verildiğini göstermek de kolaydır, gerçek sayılara ilişkin tüm aksiyomları karşılar, dolayısıyla $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$ veya $R\subset\mathbb(C)$.

  Toplama ve çarpma işlemlerine göre $\mathbb(C)$ kümesinin cebirsel yapısı aşağıdaki özelliklere sahiptir:
  1. Toplama ve çarpmanın değişmezliği
  2. Toplama ve çarpmanın ilişkilendirilebilirliği
  3. $0+i0$ - ekleme için nötr öğe
  4. $1+i0$ - çarpma için nötr eleman
  5. Çarpma toplamaya göre dağıtıcıdır
  6. Hem toplamanın hem de çarpmanın tek bir tersi vardır.

  Kesir a/n onu indirgenemez olarak değerlendireceğiz (sonuçta, indirgenebilir bir kesir her zaman indirgenemez bir forma indirgenebilir). Eşitliğin her iki tarafının karesini alırsak, şunu elde ederiz: M^2=2N^2. Buradan m^2 sonucunu çıkarıyoruz ve bundan sonra sayı M- eşit. onlar. M = 2k. Bu yüzden M^2 = 4k^2 ve dolayısıyla 4 k^2 =2N^2 veya 2 k^2 = N^2. Ama sonra ortaya çıktı ki N aynı zamanda çift sayıdır, ancak kesir olduğundan bu olamaz a/n indirgenemez. Bir çelişki ortaya çıkıyor. Geriye şu sonuca varmak kalıyor: varsayımımız yanlıştır ve rasyonel sayı a/n√2'ye eşit olan mevcut değil.”

  Hepsi onların kanıtı.

  Antik Yunanlıların kanıtlarının eleştirel bir değerlendirmesi

  
  Ancak…. Antik Yunanlıların bu kanıtına biraz eleştirel bir gözle bakalım. Ve eğer basit matematikte daha dikkatli olursanız, içinde aşağıdakileri görebilirsiniz:

  1) Yunanlıların benimsediği rasyonel sayılarda a/n sayılar M Ve N- bütün, ama bilinmiyor(ister onlar eşit, onlar olsun garip). Ve öyle! Ve aralarında bir şekilde herhangi bir bağımlılık kurmak için amaçlarını doğru bir şekilde belirlemek gerekir;

  2) Eskiler bu sayının M– hatta o zaman kabul ettikleri eşitlikte M = 2k onlar (kasıtlı olarak ya da bilgisizlikten!) sayıyı tam olarak "doğru" şekilde karakterize etmediler " k " Ama işte numara k- Bu tüm(BÜTÜN!) ve oldukça ünlü Bulunan şeyi oldukça net bir şekilde tanımlayan bir sayı eşit sayı M. Ve bu şekilde olma kurmak sayılar " k"Eskiler gelecekte bunu başaramadılar" kullanmak" ve numara M ;

  3) Ve eşitlik 2'den ne zaman k^2 = N^2 eskiler bu sayıyı aldı N^2 çifttir ve aynı zamanda N– hatta o zaman bunu yapmak zorunda kalacaklardı acele etme" ile ilgili sonuçla ortaya çıkan çelişki", ancak maksimumdan emin olmak daha iyidir kesinlik onlar tarafından kabul edildi" seçenek» sayılar « N ».

  Bunu nasıl yapabildiler? Evet, basit!
  Bakın: elde ettikleri eşitlikten 2 k^2 = N^2 aşağıdaki eşitlik kolaylıkla elde edilebilir k√2 = N. Ve burada kınanacak bir şey yok - sonuçta eşitlikten yararlandılar a/n=√2 buna uygun başka bir eşitliktir M^2=2N^2! Ve kimse onlara karşı çıkmadı!

  Ama yeni eşitlikte k√2 = N bariz TAM TAMLAR için k Ve N bundan belli ki Her zaman √2 sayısını al - akılcı . Her zaman! Çünkü sayılar içeriyor k Ve N- ünlü BÜTÜN olanlar!

  Ama böylece onların eşitliğinden 2 k^2 = N^2 ve sonuç olarak, k√2 = N√2 sayısını al – mantıksız (bunun gibi" dilek"eski Yunanlılar!), o zaman içlerinde olması gerekir, en azından , sayı " k» formda bütün değil (!!!) sayılar. Ve bu tam olarak eski Yunanlıların sahip olmadığı şeydi!

  Dolayısıyla SONUÇ: 2400 yıl önce eski Yunanlılar tarafından yapılan √2 sayısının irrasyonelliğine ilişkin yukarıdaki kanıt, açıkçası, yanlış ve matematiksel olarak yanlış, kaba bir şekilde söylememek gerekirse - bu sadece sahte .

  Yukarıda gösterilen küçük F-6 broşüründe (yukarıdaki fotoğrafa bakınız), 2015 yılında Krasnodar'da (Rusya) toplam 15.000 kopya tirajla piyasaya sürülmüştür. (belli ki bir sponsorluk yatırımıyla) √2 sayısının irrasyonelliğine dair yeni, matematik açısından son derece doğru ve son derece doğru bir kanıt veriliyor, ki bu zor olmasaydı uzun zaman önce gerçekleşebilirdi " Öğretmen Tarihin eski eserlerinin incelenmesine n".

  Bu özellik diferansiyel denklemlerin çözümünde önemli bir rol oynar. Yani örneğin diferansiyel denklemin tek çözümü

  

  bir fonksiyondur

  

  Nerede C- keyfi sabit.

  • 1. Sayı e irrasyonel ve hatta aşkın. Üstünlüğü ancak 1873'te Charles Hermite tarafından kanıtlandı. Öyle varsayılıyor e normal bir sayıdır, yani gösteriminde farklı rakamların görünme olasılığı aynıdır.
  • 2. Sayı e hesaplanabilir (ve dolayısıyla aritmetik) bir sayıdır.

  Euler formülü, özellikle

  

  5. sözde "Poisson integrali" veya "Gauss integrali"

  

  8. Katalan Temsilciliği:

  

  9. Çalışmanın sunumu:

  

  10. Bell sayıları aracılığıyla:

  

  11. Bir sayının irrasyonelliğinin ölçüsü e 2'ye eşittir (irrasyonel sayılar için mümkün olan en küçük değerdir).

  Mantıksızlığın kanıtı

  Diyelim ki

  burada a ve b doğal sayılardır. Bu eşitlik dikkate alındığında ve seri açılımı dikkate alındığında:

  

  aşağıdaki eşitliği elde ederiz:

  

  Bu toplamı, biri serinin terimlerinin toplamı olan iki terimin toplamı olarak düşünelim. N 0'dan A ikincisi ise serinin diğer tüm terimlerinin toplamıdır:

  

  Şimdi ilk toplamı eşitliğin sol tarafına taşıyalım:

  

  Ortaya çıkan eşitliğin her iki tarafını da ile çarpalım. Aldık

  Şimdi elde edilen ifadeyi sadeleştirelim:

  

  Ortaya çıkan eşitliğin sol tarafını ele alalım. Sayının bir tam sayı olduğu açıktır. Bir sayı aynı zamanda bir tam sayıdır, çünkü (bundan formdaki tüm sayıların tam sayı olduğu sonucu çıkar). Dolayısıyla elde edilen eşitliğin sol tarafı bir tam sayıdır.

  Şimdi sağ tarafa geçelim. Bu miktar şu şekle sahiptir:

  
  

  Leibniz'in kriterine göre bu seri yakınsaktır ve toplamı S ilk terim ile ilk iki terimin toplamı (işaretli) arasına alınmış bir gerçek sayıdır, yani

  Bu sayıların her ikisi de 0 ile 1 arasındadır. Bu nedenle, yani. - Eşitliğin sağ tarafı tam sayı olamaz. Bir çelişkiyle karşı karşıyayız: Bir tam sayı, tam sayı olmayan bir sayıya eşit olamaz. Bu çelişki şunu kanıtlıyor ki sayı e rasyonel değildir ve dolayısıyla irrasyoneldir.

  İrrasyonel bir sayının tanımı

  İrrasyonel sayılar, ondalık gösterimde sonsuz periyodik olmayan ondalık kesirleri temsil eden sayılardır.

  
  
  

  Yani örneğin doğal sayıların karekökü alınarak elde edilen sayılar irrasyoneldir ve doğal sayıların kareleri değildir. Ancak irrasyonel sayıların tümü karekök alınarak elde edilmez, çünkü bölme yoluyla elde edilen pi sayısı da irrasyoneldir ve bunu bir doğal sayının karekökünü çıkarmaya çalışarak elde etmeniz pek mümkün değildir.

  İrrasyonel sayıların özellikleri

  Sonsuz ondalık sayılar olarak yazılan sayıların aksine, yalnızca irrasyonel sayılar periyodik olmayan sonsuz ondalık sayılar olarak yazılır.
  Negatif olmayan iki irrasyonel sayının toplamı rasyonel bir sayı olabilir.
  İrrasyonel sayılar, alt sınıfta en büyük sayının olmadığı, üst sınıfta ise daha küçük sayının bulunmadığı rasyonel sayılar kümesindeki Dedekind kesimlerini tanımlar.
  Herhangi bir gerçek aşkın sayı irrasyoneldir.
  Tüm irrasyonel sayılar ya cebirseldir ya da aşkındır.
  Bir doğru üzerindeki irrasyonel sayılar kümesi yoğun bir şekilde yerleştirilmiştir ve bu sayılardan herhangi ikisinin arasında mutlaka irrasyonel bir sayı olacaktır.
  İrrasyonel sayılar kümesi sonsuzdur, sayılamaz ve 2. kategoriye ait bir kümedir.
  Rasyonel sayılarda 0'a bölme dışında herhangi bir aritmetik işlem yapıldığında sonuç rasyonel sayı olacaktır.
  İrrasyonel bir sayıya rasyonel bir sayı eklendiğinde sonuç her zaman irrasyonel bir sayı olur.
  İrrasyonel sayıları topladığımızda rasyonel bir sayı elde edebiliriz.
  İrrasyonel sayılar kümesi çift değildir.
  

  Sayılar irrasyonel değildir

  Bazen bir sayının irrasyonel olup olmadığı sorusuna cevap vermek, özellikle sayının ondalık kesir biçiminde veya sayısal bir ifade, kök veya logaritma biçiminde olduğu durumlarda oldukça zordur.

  Bu nedenle hangi sayıların irrasyonel olmadığını bilmek gereksiz olmayacaktır. İrrasyonel sayıların tanımını takip edersek, rasyonel sayıların irrasyonel olamayacağını zaten biliyoruz.

  İrrasyonel sayılar:

  Öncelikle tüm doğal sayılar;
  İkincisi tamsayılar;
  Üçüncüsü, sıradan kesirler;
  Dördüncüsü, çeşitli karışık sayılar;
  Beşincisi, bunlar sonsuz periyodik ondalık kesirlerdir.
  

  Yukarıdakilerin hepsine ek olarak, bir irrasyonel sayı, +, -, , : gibi aritmetik işlemlerin işaretleriyle gerçekleştirilen rasyonel sayıların herhangi bir birleşimi olamaz, çünkü bu durumda iki rasyonel sayının sonucu da olacaktır. rasyonel bir sayı.

  Şimdi hangi sayıların irrasyonel olduğunu görelim:

  
  
  

  Bu gizemli matematik olgusunun hayranlarının Pi hakkında giderek daha fazla bilgi aradığı ve onun gizemini çözmeye çalıştığı bir hayran kulübünün varlığını biliyor musunuz? Bu kulübe, virgülden sonraki belli sayıdaki Pi sayısını ezbere bilen herkes üye olabilir;

  Almanya'da UNESCO'nun koruması altında, Pi oranları sayesinde hesaplayabileceğiniz Castadel Monte sarayının bulunduğunu biliyor muydunuz? Kral II. Frederick tüm sarayı bu sayıya adadı.

  Babil Kulesi'nin yapımında Pi sayısını kullanmaya çalıştıkları ortaya çıktı. Ancak ne yazık ki bu, projenin çökmesine yol açtı, çünkü o zamanlar Pi'nin değerinin kesin olarak hesaplanması yeterince araştırılmamıştı.

  Şarkıcı Kate Bush, yeni diskine ünlü 3, 141… sayı dizisinden yüz yirmi dört sayının duyulduğu “Pi” adlı bir şarkı kaydetti.