Genel dinamik denkleminin formülasyonu. Analitik dinamikler. Dinamiğin temel denklemi

Mekanik problemlerinde genellikle dikkate alınan tüm bağlantı türlerinin (pürüzsüz bir yüzey, ideal bir diş, menteşeler, baskı yatağı, kör conta) ideal olduğunu göstermek kolaydır. Bağlantıların kusurlu olması genellikle kayma veya yuvarlanma sürtünmesinin varlığından kaynaklanır. Bu durumda, bağlantı reaksiyonunun idealliğin ihlal edildiği kısmı resmi olarak aktif kuvvetler kategorisine aktarılır ve koşulda belirtilir veya problemde tanımlanır. Gelecekte, tam da bu tür mekanik sistemleri, yani ideal bağlantıları olan veya açıklanan tekniği kullanarak ideal kategorisine aktarılabilecek bağlantıları olan sistemleri ele alacağız. Bu tür sistemler için, Newton'un II yasasını, kuvvetlerin etkisinin bağımsızlığı ilkesini (daha kesin olarak paralelkenar kuralı), bağlardan kurtulma ilkesini ve birleştiren bir aksiyom biçimine sahip bir konumu formüle etmek mantıklıdır. bağların idealliği ilkesi. Bu pozisyon mekanik literatüründe farklı şekilde adlandırılır - d'Alembert-Lagrange prensibi, mekaniğin genel varyasyonel denklemi, dinamiğin genel denklemi vb. Bu prensibin teorik mekaniğin diğer hüküm ve teoremlerinin türetilmesi için uygulanması önemli bir kazanç sağlar ve tarafımızdan sürekli olarak kullanılacaktır.

Bir mekanik sistemin her noktası, belirli bir mekanik sistemin diğer noktaları ve gövdeleriyle, kendisine ait olmayan nokta ve gövdelerle, ayrıca iç ve dış bağlantılarla etkileşime girebilir. Belirtilen bağların etki eden tüm reaksiyon kuvvetlerini birleştirelim. Ben MC noktası, paralelkenar kuralına göre tek kuvvette, bunları çiftler halinde topluyor. Aynısını aktif kuvvetlerle yapalım, kuvvet elde edelim. Newton'un 2. yasasını kullanarak sistemdeki noktaların hareket denklemlerini yazıyoruz

, i=1,2,…,N. (5.1)

Bağların ideallik koşulunu uygulamak için bu denklemleri bağların reaksiyonlarına göre çözmek ve elde edilen ifadeleri (4.8)'de değiştirmek gerekir. Bu verir

.

Bu prensibin daha uygun bir formülasyonu için parantez içindeki terimleri değiştirelim. Boyut

kuvvet boyutuna sahip olan, mekanikte buna geleneksel olarak denir D'Alembert'in bir noktanın eylemsizlik kuvveti ya da sadece nokta atalet kuvveti. Daha sonra

İdeal tutma bağlantılarına sahip bir mekanik sistemin hareketi sırasında zamanın her anında, aktif kuvvetlerin ve atalet kuvvetlerinin sanal işinin toplamı sıfıra eşittir

veya (5.2)

Genelleştirilmiş kuvvetler . Sistem noktalarının yarıçap vektörleri için genelleştirilmiş koordinatlar ve zaman cinsinden açık veya örtülü olarak verilen bir ifade olsun. T

, Ben=1,2,…,N. (5.3)

Zamanın sabit olduğunu varsayarak, birkaç değişkenli bir fonksiyonun diferansiyelini almayı içeren eş zamanlı değişim işlemini ifade (7.1)'e uygulayalım. Aldık

Bu ifadeyi sanal iş formülünde yerine koyalım Ben-th aktif kuvvet ve bu işleri sistemin her noktasında toplar. Aldık

.

Bu ifadedeki terimleri yeniden düzenlersek ve toplamanın sırasını değiştirirsek, şunu elde ederiz:

Burada , k=1,2,…,s(5.6)

ve var k sayısı ile genelleştirilmiş koordinata karşılık gelen genelleştirilmiş kuvvet. Böylece, genelleştirilmiş kuvvetşu şekilde tanımlanabilir

Sistemin sanal işleminin ifadesinde genelleştirilmiş koordinatın değişiminden önceki katsayı.

(5.5) ve (5.6) ifadelerinden genelleştirilmiş kuvvetleri hesaplamanın iki yolu elde edilebilir. Biri - doğrudan tanım gereği, ikincisi - formül (5.6)'ya göre, eğer kuvvetlerin projeksiyonları ve uygulama noktalarının koordinatlarının genelleştirilmiş olanlara (5.4) analitik bağımlılıkları verilirse. Gelecekte genelleştirilmiş kuvvetlerin nasıl hesaplanacağını daha ayrıntılı olarak ele alacağız. Acil amaçlar için (5.6) ifadesi ve bu tanım bizim için yeterlidir. Genelleştirilmiş kuvvetin, alışılagelmişin aksine, skaler bir büyüklük olduğunu ve yalnızca (5.3) ifadesinin formdaki sanal kuvvet işi ifadesine benzemesi nedeniyle bu şekilde adlandırıldığını vurguluyoruz.

Bu formülün sağ tarafından genelleştirilmiş kuvvetlerden, sistem kuvvetlerinin genelleştirilmiş koordinatlara izdüşümleri olarak bahsetmenin anlamlı olacağı açıktır.

Tam olarak aynı şekilde, genelleştirilmiş eylemsizlik kuvvetinin ifadesini, aktif kuvvet yerine (7.4)'teki eylemsizlik kuvvetini koyarak yazabiliriz.

, k=1,2,…,s. (5.7)

Genelleştirilmiş koordinatlarda mekaniğin genel denklemi. (5.5)'e dayanarak, mekanik sistemin aktif kuvvetlerinin ve atalet kuvvetlerinin sanal işinin ifadesini yazıyoruz ve (5.2)'ye göre sıfıra eşitliyoruz.

genelleştirilmiş koordinatların değişimlerinin bağımsızlığı nedeniyle durum birbirinden holonomik sistemler, gerekir S denklemler

veya Newton'un II yasasını (3.10) anımsatan başka bir biçimde

Bu denklemler holonomik kısıtlamalara sahip mekanik bir sistemin dinamik davranışını tanımlayan denklemlerdir. Hareket denklemlerini türetmek için doğrudan kullanılabilirler. Buradaki temel zorluk, formül (5.7) kullanılarak belirlenebilen azaltılmış atalet kuvvetleri için ifadeler elde etmektir. Gelecekte, (5.6)-(5.8) denklemlerine dayalı oldukça geniş bir mekanik sistem sınıfı için hareket denklemlerinin oluşturulmasını otomatikleştirmek amacıyla bilgisayar cebir algoritmalarının nasıl oluşturulabileceği gösterilecektir. Bununla birlikte, hareket denklemlerinin "manuel" türetilmesi için, genelleştirilmiş atalet kuvvetlerinin (5.7) cismin kinetik enerjisi aracılığıyla ifade edilmesiyle (5.8)'den elde edilen ikinci türden Lagrange denklemlerinin kullanılması daha çok tercih edilir. sistem.

Ders 6. İkinci türden Lagrange denklemleri.

Sayılı terimi bulalım Ben(5.3) ifadesini kullanarak (5.7)’nin sağ tarafında.

.

Burada iki Lagrange kimliği kullanılıyor

, .

Toplamadan sonra genelleştirilmiş atalet kuvvetini elde ederiz

.

Buradaki değer hız nerede Ben-inci noktada mekanik sistemin kinetik enerjisinin olduğu açıktır.

Sonunda elde ettik

, k=1,2,...,s, (6.1)

Nerede S- serbestlik derecesi sayısı, - kinetik enerji, - belirli bir mekanik sistemin seri numarası ile genelleştirilmiş koordinat, genelleştirilmiş hız ve genelleştirilmiş aktif kuvvet.

Hareket denklemlerini (6.1) formunda derlemek, bir dizi resmi eylemin gerçekleştirilmesine indirgenir

· genelleştirilmiş koordinatları seçin - herhangi bir zamanda sistemin konumunu benzersiz şekilde belirleyen herhangi bir geometrik veya fiziksel nitelikteki parametreler;

· sistemin kinetik enerjisinin ifadesini, atalet parametreleri (noktaların ve cisimlerin kütlesi, cisimlerin atalet momentleri) ve genelleştirilmiş koordinatlar ve hızlar aracılığıyla sistemdeki noktaların ve cisimlerin kinetik enerjilerinin toplamı şeklinde yazın ;

· (6.1)'in sol tarafında yer alan kinetik enerjinin türevleri için ifadeler elde edin;

· Her genelleştirilmiş koordinatı değiştirirken sistem kuvvetlerinin sanal işinin ifadesini yazın; karşılık gelen genelleştirilmiş koordinatın değişiminden önceki katsayılar, bu genelleştirilmiş koordinata karşılık gelen genelleştirilmiş kuvvetin formülünü verir.

Elde edilen ikinci tür Lagrange denklemlerini pratikte uygulamak için, sistemin sanal işini ve kinetik enerjisini hesaplamak için çalışma formülleri elde etmek gerekir; bu da mekanik sistemlerin ve cisimlerin atalet özelliklerinin anlaşılmasını gerektirir.

Genelleştirilmiş kuvvetlerin hesaplanması. Genelleştirilmiş kuvvetleri hesaplamanın üç yolu vardır.

İlk yol sanal işin ifadesinde genelleştirilmiş koordinatların değişimleri için katsayıların doğrudan hesaplanmasını içerir. Burada genelleştirilmiş koordinatların tümünü aynı anda değil, teker teker değiştirmek daha uygundur. Sistemin sanal yer değiştirmesi üzerindeki çalışmaya ilişkin bir ifade, yalnızca bir genelleştirilmiş koordinatın değişimine karşılık gelen, örneğin sayı ile yazılır. k- mekanik sistemin cisimlerine ve noktalarına uygulanan aktif kuvvetlerin sanal işinin cebirsel toplamı olarak . Daha sonra, ortak faktörü - genelleştirilmiş koordinatın değişimini - parantezlerden çıkararak, genelleştirilmiş kuvvet için bir ifade elde ederiz.

Birkaç serbestlik derecesine sahip bir sistem için, böyle bir işlemin genelleştirilmiş koordinatların sayısı kadar tekrarlanması gerekir.

İkinci yol açıkça belirtilen tip (5.3) bağımlılıklarına dayanmaktadır. Daha sonra genelleştirilmiş kuvvetler (5.6) ifadesiyle belirlenir.

, k=1,2,…,s.

Üçüncü yol noktalarının koordinatlarının bir fonksiyonu olarak sistemin potansiyel enerjisi bilgisine dayanır. İfadeleri (5.3) yerine koyarak, potansiyel enerjinin genelleştirilmiş koordinatlara bağımlılığını elde ederiz ve sanal iş şöyle olur:

Aynı varyasyonlara ait katsayıları karşılaştırarak şunu buluruz:

Mümkünse, genelleştirilmiş koordinatlardan sistemin potansiyel enerjisinin bir fonksiyonunu hemen oluşturmanın daha iyi olduğu açıktır. .

İkinci türden Lagrange denklemlerinin derlenmesine bir örnek. Eğik bir düzlem üzerinde bir açı yaparak silindirler boyunca hareket eden bir kirişin ivmesini bulun a= yatay düzlemde 30 0 (Şek. 6.1). Kereste ağırlığı kilogram silindirik makaraların kütleleri aynıdır ve kilogram. Her silindirin yuvarlanma sürtünme katsayısı M ve yarıçap santimetre.

Çözüm. Bir kiriş ve iki makaradan oluşan mekanik sistem bir serbestlik derecesine sahiptir. Işının eğik düzlem boyunca hareketini genelleştirilmiş koordinat olarak seçelim. Daha sonra değişimi (kirişin eğimli düzlem boyunca aşağıya doğru sanal hareketi) ile gösterilecektir.

Silindirlerin kinetik enerjilerinin aynı olduğunu dikkate alarak sistemin kinetik enerjisini bulalım.

İşte aşamalı olarak hareket eden bir ışının kinetik enerjisi:

.

Sert bir cismin düzlemsel paralel hareketi formülünü kullanarak bulduğumuz silindirlerin kinetik enerjisi

,

burada silindirlerin kütle merkezlerinin hızı, silindirlerin açısal yuvarlanma hızı, silindirin kendi merkezine göre atalet momenti, burada silindirin yarıçapı vardır. .

Genelleştirilmiş koordinatın değişiminden önceki katsayı olarak genelleştirilmiş kuvveti nerede buluruz?

. (6.3)

(8.2) ve (8.3)'ü denklem (5.1)'de yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

m/sn 2 . (6.4)

Böylece ışın 4,95 m/s2'lik bir ivmeyle düzgün bir şekilde aşağıya doğru hareket edecektir.

Notlar.Şekil 1'de gösterilen sanal hareketin yönü değiştirildiğinde elde edilen sonucun işaretinin yorumlanmasında genellikle bazı zorluklara neden olur. 6.1 noktalı okla. Sistemin hareket yönü çoğu zaman önceden bilinmez. Bu durumda, sanal hareketin gerçek harekete bağlı olması gerekmediğinden, "rastgele" değişiklik yapabiliriz, dolayısıyla onu herhangi bir yere yönlendirme hakkımız vardır. Diyelim ki önceki problemde noktalı ok boyunca sanal hareket verdik. Bu durumda denklemlerin (6.2) sol tarafı değişmez ve sağ taraf hesaplanırken (6.3)'te yerçekimi işinde “-”, yuvarlanma işinde ise “+” işareti görünecektir. sürtünme. Sonuç olarak, “-” işareti sonuç - kirişin hızlanması (6.4) formülüne girecektir. Bu elbette ışının yavaş hareket ettiğini göstermez. Aslında sanal iş yoluyla genelleştirilmiş kuvveti hesaplarken, aslında sistem kuvvetlerinin sanal hareket yönüne izdüşümlerini yazıyoruz. Bu nedenle formül (6.4) ile verilen sonuç, kirişin genelleştirilmiş ivme vektörünün bu yöne izdüşümü olarak yorumlanmalıdır. Böylece kirişin 4,95'lik sabit bir ivmeyle aşağıya doğru hareket edeceği sonucuna varıyoruz. m/sn 2 .

Sürtünme kuvvetleri mevcutsa, bunların gerçek hareket yönüne uygun olarak yönlendirilmesi gerekir. Koordinatlardaki değişiklik her zaman gerçek hareketle ilişkilendirilemez. Bu durumda, kiriş noktalı ok boyunca sanal olarak hareket ettirildiğinde ele alınan örnekte olduğu gibi, sürtünme kuvvetlerinin sanal işi için “+” işaretli ifadeler görünebilir. Resmi açıdan bakıldığında bu durum kafa karıştırıcı olmamalıdır, çünkü sanal, A geçerli değil iş. Diğer bir husus da çoğu zaman sorunu tam olarak çözmeden noktaların gerçek hareketlerinin yönünü ve dolayısıyla sürtünme kuvvetlerinin yönünü bilmiyoruz. Bu durumda bu kuvvetlerin yönüne ilişkin farklı varsayımlarda bulunarak çeşitli problemleri çözmek gerekebilir. Ve mantıksal olarak haklı bir karara varmamız gerekiyor. Bazen sürtünme kuvvetlerinin izdüşümlerinin işaretlerini analitik olarak hesaba katmak ve bunları karşılık gelen cisimlerin ve noktaların hızlarının cebirsel değerleriyle birleştirmek mümkündür.

D'Alembert ilkesine göre aşağıdaki eşitlikler geçerlidir:

aktif kuvvet nerede; – bağlantıların reaksiyonu; – noktanın atalet kuvveti (Şekil 3.36).

İlişkilerin her birini (3.45) noktanın olası yer değiştirmesi ile skaler olarak çarparak ve sistemin tüm noktaları üzerinden toplayarak şunu elde ederiz:

(3.46)

Eşitlik (3.46), herhangi bir kısıtlamaya sahip mekanik bir sistem için genel bir dinamik denklemidir. Bağlantılar idealse, o zaman ve (3.46) ifadesi şu şekillerden birini alır:

Dinamiğin genel denklemi (birleşik d'Alembert-Lagrange ilkesi).İdeal bağlantılara sahip bir sistemin hareketinin herhangi bir anında, sistemin olası herhangi bir hareketinde, sistemdeki noktaların tüm aktif kuvvetlerinin ve atalet kuvvetlerinin temel işlerinin toplamı sıfıra eşittir.

Genelleştirilmiş koordinatlar

Sistem şunlardan oluşsun N puan ve konumu 3 ile belirlenir N sistem noktalarının koordinatları (Şekil 3.37). sisteme dayatılan ben

holonomik iki yönlü bağlantılar, denklemleri S=1,2,…,ben.

Yani 3 N koordinatlar bağlantılı ben denklemler ve bağımsız koordinatlar N=3N-ben.

Gibi N bağımsız koordinatlar, herhangi bir bağımsız parametreyi seçebilirsiniz

Sistemin konumunu benzersiz olarak belirleyen bağımsız parametrelere denir. sistemin genelleştirilmiş koordinatları.

Pirinç. 3.37

Genel olarak bunlar sistemdeki noktaların Kartezyen koordinatlarının fonksiyonlarıdır:

Kartezyen koordinatları genelleştirilmiş koordinatlar cinsinden ifade edebilirsiniz:

Sistemin her noktasının yarıçap vektörü için elde ederiz

Eğer bağlantılar durağansa, o zaman zaman açıkça (3.47)'ye girmeyecektir. Holonomik bağlantılar için bir noktanın olası hareketinin vektörü şu şekilde ifade edilebilir:

Bağlantılar holonomik ise, bağımsız olası hareketlerin (veya varyasyonların) sayısı, bağımsız genelleştirilmiş koordinatların sayısıyla çakışır. Buradan, holonomik bir sistemin serbestlik derecesi sayısı, bu sistemin bağımsız genelleştirilmiş koordinatlarının sayısına eşittir, yani. N=3N-l.

Holonomik olmayan sistemler için genel durumda bağımsız değişimlerin sayısı (olası yer değiştirmeler) genelleştirilmiş koordinatların sayısından daha azdır. Bu nedenle holonomik olmayan bir sistemin serbestlik derecesi sayısı, bağımsız olası yer değiştirmelerin sayısına eşit olup, sistemin genelleştirilmiş koordinatlarının sayısından da azdır.

Genelleştirilmiş koordinatların zamana göre türevlerine genelleştirilmiş hızlar adı verilir ve şöyle gösterilir:

Genelleştirilmiş kuvvetler

Pirinç. 3.38

Genelleştirilmiş kuvvetlerin tanımı. Holonomik bir sistem düşünün N maddi noktalar, sahip N serbestlik derecesi ve bir kuvvetler sisteminin etkisi altında (Şekil 3.38). Sistemin konumu belirlenir N genelleştirilmiş koordinatlar onlar.

Olası hareketin vektörü –

(3.48)

Sistemin olası yer değiştirmesi üzerine sisteme etkiyen kuvvetlerin temel işlerinin toplamını hesaplayalım:

(3.49)

(3.48)'i (3.49)'a koyarsak ve toplama sırasını değiştirirsek, şunu elde ederiz:

(3.50)

Skaler miktar genelleştirilmiş koordinat q i ile ilgili genelleştirilmiş kuvvet denir.

Genelleştirilmiş kuvvetin boyutu. Formül (3.50)'den genelleştirilmiş kuvvetin boyutunu elde ederiz [ Q]=[A]/[Q] Genelleştirilmiş koordinat uzunluk boyutuna sahipse, genelleştirilmiş kuvvet kuvvet boyutuna [N] sahip olur, ancak genelleştirilmiş koordinat bir açı ise (boyut – 1), genelleştirilmiş kuvvet kuvvet momenti boyutuna sahiptir [ N×m].

Genelleştirilmiş kuvvetlerin hesaplanması. 1. Genelleştirilmiş kuvvet, onu belirleyen formül kullanılarak hesaplanabilir:

Nerede F kx,Fyx,F kz– Koordinat eksenleri üzerindeki kuvvet projeksiyonları; xk,y yx,z k– kuvvet uygulama noktasının koordinatları

2. Genelleştirilmiş kuvvetler, temel iş (3.50) ifadesindeki genelleştirilmiş koordinatların karşılık gelen değişimlerinin katsayılarıdır:

3. Sisteme yalnızca bir genel koordinatın değişeceği olası bir hareket bildirilirse qj o zaman (3.52)'den elimizde

Dizin ki Payda, iş toplamının yalnızca koordinatın değiştiği (değiştiği) olası bir hareket üzerinden hesaplandığı belirtilir. ki.

4. Potansiyel kuvvetler için:

(3.53)

kuvvet fonksiyonu nerede.

Eşitlikler (3.53) hesaba katıldığında (3.51) ifadesinden şu sonuç çıkar:

Böylece,

sistemin potansiyel enerjisi nerede.

3.5.6. Genelleştirilmiş kuvvetlerde genel dinamiğin denklemi.
Güç dengesi koşulları

Genel dinamik denklemi (3.50)

(3.48)'e göre olası hareket vektörü şuna eşittir:

Bu ifade dikkate alındığında dinamiğin genel denklemi şu şekilde olur:

Toplamanın sırasını değiştirerek dönüştürelim

(3.54)

Burada – genelleştirilmiş koordinata karşılık gelen aktif kuvvetlerin genelleştirilmiş kuvveti ki; – genelleştirilmiş koordinata karşılık gelen genelleştirilmiş eylemsizlik kuvveti ki.Sonra denklem (3.54) şu formu alır

Genelleştirilmiş koordinatların artışları keyfi ve birbirinden bağımsızdır. Bu nedenle, son denklemdeki katsayıların sıfıra eşit olması gerekir:

(3.55)

Bu denklemler dinamiğin genel denklemine eşdeğerdir.

Mekanik bir sisteme etki eden kuvvetler sıfıra eşitse; Mekanik bir sistem düz bir çizgide düzgün bir şekilde hareket ediyorsa veya dinlenme durumunu koruyorsa, noktalarının atalet kuvvetleri sıfıra eşittir. Sonuç olarak, sistemin genel eylemsizlik kuvvetleri sıfıra eşittir , daha sonra denklemler (3.55) formunu alır

(3.56)

Eşitlikler (3.56), genelleştirilmiş kuvvetlerde kuvvetlerin denge koşullarını ifade eder.

Korunumlu kuvvetler durumunda

Sonuç olarak, muhafazakar bir kuvvetler sisteminin denge koşulları şu şekildedir:

Herhangi bir bağlantısı olan bir sistemin genel dinamiği denklemi (birleşik D'Alembert-Lagrange ilkesi) veya mekaniğin genel denklemi):

sistemin inci noktasına uygulanan aktif kuvvet nerede; – bağlantıların reaksiyon gücü; – nokta atalet kuvveti; – olası hareket.

Sistemin dengede olması durumunda, sistemin noktalarına ait tüm atalet kuvvetleri ortadan kalktığında, olası yer değiştirmeler ilkesine dönüşür. Genellikle koşulun sağlandığı ideal bağlantılara sahip sistemler için kullanılır.

Bu durumda (229) şu formlardan birini alır:

,

,

. (230)

Böylece, Dinamiğin genel denklemine göre, ideal bağlantılara sahip bir sistemin herhangi bir hareketi anında, sistemdeki noktaların tüm aktif kuvvetlerinin ve atalet kuvvetlerinin temel işlerinin toplamı, sistemin izin verilen herhangi bir olası hareketinde sıfıra eşittir. bağlantılar tarafından.

Dinamiğin genel denklemine başka eşdeğer formlar da verilebilir. Vektörlerin skaler çarpımı genişletilerek şu şekilde ifade edilebilir:

sistemin inci noktasının koordinatları nerede? Koordinat eksenleri üzerindeki atalet kuvvetlerinin izdüşümlerinin, bu eksenler üzerindeki ivme izdüşümleri aracılığıyla ilişkilerle ifade edildiği dikkate alındığında

,

dinamiğin genel denklemi şu şekilde verilebilir:

Bu formda denir Analitik formda genel dinamik denklemi.

Genel dinamik denklemini kullanırken, sistemin atalet kuvvetlerinin olası yer değiştirmeler üzerindeki temel çalışmasını hesaplayabilmek gerekir. Bunu yapmak için, sıradan kuvvetler için elde edilen temel iş için ilgili formülleri uygulayın. Bunların katı bir cismin belirli hareket durumlarında eylemsizlik kuvvetlerine uygulanmasını ele alalım.

İleri hareket sırasında. Bu durumda cismin üç serbestlik derecesi vardır ve uygulanan kısıtlamalar nedeniyle yalnızca öteleme hareketi gerçekleştirebilir. Bağlantılara izin veren vücudun olası hareketleri de ötelemedir.

Öteleme hareketi sırasındaki eylemsizlik kuvvetleri bileşkeye indirgenir . Bir cismin olası öteleme hareketi üzerindeki eylemsizlik kuvvetlerinin temel çalışmalarının toplamı için şunu elde ederiz:

Vücudun tüm noktalarının öteleme olası yer değiştirmesi aynı olduğundan, kütle merkezinin ve vücudun herhangi bir noktasının olası yer değiştirmesi nerededir: ivmeler de aynıdır, yani.

Katı bir cisim sabit bir eksen etrafında döndüğünde. Bu durumda vücudun bir serbestlik derecesi vardır. Sabit bir eksen etrafında dönebilir. Üst üste bindirilmiş bağlantıların izin verdiği olası hareket aynı zamanda gövdenin sabit bir eksen etrafında temel bir açıyla dönmesidir.

Dönme ekseni üzerinde bir noktaya indirgenen atalet kuvvetleri ana vektöre ve ana momente indirgenir. Atalet kuvvetlerinin ana vektörü sabit bir noktaya uygulanır ve olası yer değiştirme üzerindeki temel işi sıfırdır. Atalet kuvvetlerinin ana momenti için, sıfır olmayan temel iş yalnızca dönme eksenine izdüşümü ile gerçekleştirilecektir. Dolayısıyla, söz konusu olası yer değiştirme üzerindeki atalet kuvvetlerinin işinin toplamı için şunu elde ederiz:

,

açı, açısal ivmenin yay oku yönünde bildirilirse.

Düz hareket halinde. Bu durumda rijit gövdeye uygulanan kısıtlamalar yalnızca mümkün olan düzlemsel harekete izin verir. Genel durumda, kütle merkezini seçtiğimiz bir direk ile birlikte olası bir öteleme hareketinden ve kütle merkezinden geçen ve paralel düzleme dik olan eksen etrafında temel bir açı boyunca bir dönüşten oluşur. vücut düzlemsel hareket gerçekleştirebilir.

giriiş

Kinematik, en basit mekanik hareket türlerinin tanımlanmasıyla ilgilenir. Bu durumda cismin diğer cisimlere göre konumunun değişmesine neden olan nedenlere değinilmedi ve belirli bir problemin çözümünde kolaylık sağlaması açısından referans sistemi seçildi. Dinamikte öncelikle bazı cisimlerin diğer cisimlere göre hareket etmeye başlamasının nedenleri ve ivmenin ortaya çıkmasına neden olan faktörler ilgi çekicidir. Bununla birlikte, mekanikteki yasalar, kesin olarak konuşursak, farklı referans sistemlerinde farklı biçimlere sahiptir. Kanunların ve kalıpların referans sisteminin seçimine bağlı olmadığı bu tür referans sistemlerinin olduğu tespit edilmiştir. Bu tür referans sistemlerine denir eylemsizlik sistemleri(ISO). Bu referans sistemlerinde ivmenin büyüklüğü yalnızca etki eden kuvvetlere bağlıdır ve referans sisteminin seçimine bağlı değildir. Eylemsiz referans çerçevesi güneş merkezli referans çerçevesi Kökeni Güneş'in merkezinde olan. Atalet sistemine göre düzgün bir şekilde doğrusal olarak hareket eden referans sistemleri de ataletlidir ve atalet sistemine göre ivmeyle hareket eden referans sistemleri de atalettir. eylemsiz. Bu nedenlerden dolayı, dünyanın yüzeyi, kesin olarak söylemek gerekirse, eylemsiz olmayan bir referans çerçevesidir. Birçok problemde, Dünya ile ilişkili referans çerçevesi, iyi derecede bir doğrulukla eylemsiz olarak kabul edilebilir.

Ataletli ve eylemsiz olmayan dinamiklerde temel yasalar

Referans sistemleri

Bir cismin düzgün doğrusal hareket durumunu sürdürme veya ISO'da hareketsiz olma yeteneğine denir. vücudun eylemsizliği. Vücut eylemsizliğinin ölçüsü ağırlık. Kütle, SI sisteminde kilogram (kg) cinsinden ölçülen skaler bir miktardır. Etkileşimin ölçüsü, adı verilen bir niceliktir. zorla. Kuvvet, SI sisteminde Newton (N) cinsinden ölçülen vektörel bir niceliktir.

Newton'un birinci yasası. Atalet referans sistemlerinde, bir nokta düz bir çizgide düzgün bir şekilde hareket eder veya üzerine etki eden tüm kuvvetlerin toplamı sıfıra eşitse hareketsizdir, yani:

Belirli bir noktaya etki eden kuvvetler nerede?

Newton'un ikinci yasası. Atalet sistemlerinde, bir cisim, kendisine etki eden tüm kuvvetlerin toplamı sıfıra eşit değilse ve cismin kütlesi ile ivmesinin çarpımı bu kuvvetlerin toplamına eşitse ivme ile hareket eder, yani:

Newton'un üçüncü yasası. Cisimlerin birbirlerine etki ettiği kuvvetler eşit büyüklükte ve zıt yöndedir, yani: .

Etkileşim ölçüsü olarak kuvvetler her zaman çiftler halinde doğar.

Newton yasalarını kullanarak çoğu sorunu başarıyla çözmek için belirli bir eylem sırasına (bir tür algoritma) uymak gerekir.

Algoritmanın ana noktaları.

1. Sorunun durumunu analiz edin ve söz konusu bedenin hangi organlarla etkileşime girdiğini öğrenin. Buna dayanarak, söz konusu cisme etki eden kuvvetlerin miktarını belirleyin. Vücuda etki eden kuvvetlerin sayısının eşit olduğunu varsayalım. Daha sonra vücuda etki eden tüm kuvvetlerin çizileceği şematik olarak doğru bir çizim yapın.

2. Problemin durumunu kullanarak, söz konusu cismin ivme yönünü belirleyin ve ivme vektörünü şekilde gösterin.

3. Newton’un ikinci yasasını vektör biçiminde yazın, yani:

Nerede vücuda etki eden kuvvetler.

4. Bir eylemsiz referans sistemi seçin. Şekilde OX ekseni ivme vektörü boyunca yönlendirilen, OY ve OZ eksenleri OX eksenine dik olan dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sistemi çizin.

5. Vektör eşitliklerinin temel özelliğini kullanarak, vektörlerin koordinat eksenlerine izdüşümü için Newton’un ikinci yasasını yazın, yani:

6. Bir problemde kuvvet ve ivmenin yanı sıra koordinatların ve hızın da belirlenmesi gerekiyorsa, Newton'un ikinci yasasına ek olarak kinematik hareket denklemlerinin kullanılması da gerekir. Bir denklem sistemi yazdıktan sonra bu problemde denklem sayısının bilinmeyen sayısına eşit olmasına dikkat etmek gerekir.

Eylemsiz çerçeveye göre bir hızla öteleme hareket eden bir eksen etrafında sabit bir açısal hızla dönen, eylemsiz olmayan bir referans çerçevesi düşünelim. Bu durumda, eylemsiz çerçevedeki () bir noktanın ivmesi, eylemsiz çerçevedeki () ivmeyle aşağıdaki ilişkiyle ilişkilidir:

eylemsiz olmayan sistemin eylemsiz sisteme göre ivmesi nerede, eylemsiz olmayan sistemdeki bir noktanın doğrusal hızı. Son ilişkiden ivme yerine eşitlik (1) yerine koyarsak şu ifadeyi elde ederiz:

Bu orana denir Eylemsiz olmayan bir referans çerçevesinde Newton'un ikinci yasası.

Atalet kuvvetleri. Aşağıdaki gösterimi tanıtalım:

1. – ileri atalet kuvveti;

2. – Coriolis kuvveti;

3 – atalet merkezkaç kuvveti.

Problemlerde, ataletin öteleme kuvveti, eylemsiz bir referans çerçevesinin () öteleme hareketinin ivmesi ile vektöre karşı gösterilmektedir; ataletin merkezkaç kuvveti, yarıçap () boyunca dönme merkezinden temsil edilmektedir; Coriolis kuvvetinin yönü kuralla belirlenir burgu vektörlerin çapraz çarpımı için.

Kesin olarak konuşursak, eylemsizlik kuvvetleri tam anlamıyla kuvvet değildir, çünkü Newton'un üçüncü yasası onlar için geçerli değil; eşleştirilmiş değiller.

Güçler

Evrensel yerçekimi kuvveti. Evrensel yerçekimi kuvveti, cisimler ile kütleler arasındaki etkileşim sürecinde ortaya çıkar ve aşağıdaki ilişkiden hesaplanır:

. (4)

Orantılılık katsayısı denir yerçekimi sabiti. SI sistemindeki değeri şuna eşittir: .

Tepkinin gücü. Reaksiyon kuvvetleri, bir cisim uzaydaki konumunu sınırlayan çeşitli yapılarla etkileşime girdiğinde ortaya çıkar. Örneğin, bir ip üzerinde asılı duran bir cismin üzerine genellikle kuvvet adı verilen bir tepki kuvveti etki eder. tansiyon. İpliğin gerilim kuvveti her zaman iplik boyunca yönlendirilir. Değerini hesaplamanın bir formülü yok. Genellikle değeri Newton'un birinci veya ikinci yasasından bulunur. Reaksiyon kuvvetleri aynı zamanda pürüzsüz bir yüzey üzerindeki bir parçacık üzerine etki eden kuvvetleri de içerir. Onu aradılar normal reaksiyon kuvveti, belirtmek. Tepki kuvveti her zaman söz konusu yüzeye dik olarak yönlendirilir. Cismin yan tarafından düzgün bir yüzeye etki eden kuvvete denir. normal basınç kuvveti(). Newton'un üçüncü yasasına göre reaksiyon kuvveti, normal basınç kuvvetine eşit büyüklüktedir, ancak bu kuvvetlerin vektörleri ters yöndedir.

Elastik kuvvet. Cisimler deforme olursa cisimlerde elastik kuvvetler ortaya çıkar; vücudun şekli veya hacmi değişirse. Deformasyon durduğunda elastik kuvvetler ortadan kalkar. Her ne kadar cisimlerin deformasyonu sırasında elastik kuvvetler ortaya çıksa da deformasyonun her zaman elastik kuvvetlerin ortaya çıkmasına yol açmadığına dikkat edilmelidir. Dış etkinin sona ermesinden sonra şeklini geri kazanabilen cisimlerde elastik kuvvetler ortaya çıkar. Bu tür cisimlere ve bunlara karşılık gelen deformasyonlara denir. elastik. Plastik deformasyonda, dış etkinin kesilmesinden sonra değişiklikler tamamen kaybolmaz. Elastik kuvvetlerin tezahürünün çarpıcı bir örneği, deformasyona maruz kalan yaylarda ortaya çıkan kuvvetler olabilir. Deforme olmuş cisimlerde meydana gelen elastik deformasyonlar için elastik kuvvet her zaman deformasyonun büyüklüğüyle orantılıdır, yani:

, (5)

yayın esneklik katsayısı (veya sertliği), yayın deformasyon vektörü nerede.

Bu açıklamaya denir Hooke yasası.

Sürtünme kuvveti. Bir cisim diğerinin yüzeyi boyunca hareket ettiğinde, bu hareketi engelleyen kuvvetler ortaya çıkar. Bu tür kuvvetlere genellikle denir kayma sürtünme kuvvetleri. Statik sürtünme kuvvetinin büyüklüğü uygulanan dış kuvvete bağlı olarak değişebilir. Dış kuvvetin belirli bir değerinde statik sürtünme kuvveti maksimum değerine ulaşır. Bundan sonra vücut kaymaya başlar. Kayma sürtünme kuvvetinin, cismin yüzey üzerindeki normal basınç kuvvetiyle doğru orantılı olduğu deneysel olarak tespit edilmiştir. Newton'un üçüncü yasasına göre, bir cismin bir yüzeye uyguladığı normal basınç kuvveti her zaman yüzeyin kendisinin hareket eden bir cisme uyguladığı tepki kuvvetine eşittir. Bunu dikkate alarak, kayma sürtünme kuvvetinin büyüklüğünü hesaplamaya yönelik formül şu şekildedir:

, (6)

reaksiyon kuvvetinin büyüklüğü nerede; kayan sürtünme katsayısı. Hareketli bir cisme etki eden kayma sürtünme kuvveti, temas eden yüzeyler boyunca her zaman hızına karşı yönlendirilir.

Direnişin gücü. Cisimler sıvı ve gaz içinde hareket ettiğinde sürtünme kuvvetleri de ortaya çıkar, ancak bunlar kuru sürtünme kuvvetlerinden önemli ölçüde farklıdır. Bu kuvvetlere denir viskoz sürtünme kuvvetleri, veya direnç kuvvetleri. Viskoz sürtünme kuvvetleri yalnızca cisimlerin göreceli hareketi sırasında ortaya çıkar. Direnç kuvvetleri birçok faktöre bağlıdır: cisimlerin boyutuna ve şekline, ortamın özelliklerine (yoğunluk, viskozite), bağıl hareket hızına. Düşük hızlarda sürükleme kuvveti, cismin ortama göre hızıyla doğru orantılıdır, yani:

. (7)

Yüksek hızlarda sürükleme kuvveti, cismin ortama göre hızının karesiyle orantılıdır, yani:

, (8)

bazı orantı katsayıları nerede denir? direnç katsayıları.

Dinamiğin temel denklemi

Maddi bir noktanın dinamiğinin temel denklemi, Newton'un ikinci yasasının matematiksel ifadesinden başka bir şey değildir:

. (9)

Eylemsiz bir referans çerçevesinde, tüm kuvvetlerin toplamı yalnızca etkileşimlerin ölçüsü olan kuvvetleri içerir; eylemsiz çerçevelerde kuvvetlerin toplamı eylemsizlik kuvvetlerini içerir.

Matematiksel açıdan bakıldığında bağıntı (9), bir noktanın vektör biçimindeki hareketinin diferansiyel denklemidir. Çözümü, maddi bir noktanın dinamiğinin ana sorunudur.

Problem çözme örnekleri

Görev No.1. Bir kağıdın üzerine bir bardak yerleştirilir. Cam ile kağıt tabakası arasındaki sürtünme katsayısı 0,3 ise, levhayı camın altından çıkarmak için hangi ivmeyle hareket ettirilmelidir?

Bir kağıda uygulanan kuvvetin etkisiyle camın kağıtla birlikte hareket ettiğini varsayalım. Kütleli bir cama etki eden kuvvetleri ayrı ayrı gösterelim. Aşağıdaki cisimler cama etki eder: Yer çekimi kuvvetine sahip Dünya, reaksiyon kuvvetine sahip bir kağıt yaprağı, camın hareket hızı boyunca yönlendirilen sürtünme kuvvetine sahip bir kağıt yaprağı. Camın hareketi eşit şekilde hızlandırılır, bu nedenle ivme vektörü camın hareket hızı boyunca yönlendirilir.

Şekilde camın ivme vektörünü gösterelim. Cama etki eden kuvvetler için Newton'un ikinci yasasını vektör biçiminde yazalım:

.

OX eksenini camın ivme vektörü boyunca ve OY eksenini ¾ dikey olarak yukarı doğru yönlendirelim. Bu koordinat eksenlerine izdüşümlerde Newton'un ikinci yasasını yazalım ve aşağıdaki denklemleri elde edelim:

(1.1)

Kağıt yaprağına etki eden kuvvet arttıkça, kağıt yaprağının cama uyguladığı sürtünme kuvvetinin büyüklüğü de artar. Kuvvetin belirli bir değerinde sürtünme kuvvetinin büyüklüğü, kayma sürtünme kuvvetine eşit büyüklükte maksimum değerine ulaşır. Bu andan itibaren cam, kağıdın yüzeyine göre kaymaya başlar. Sürtünme kuvvetinin sınır değeri cama etki eden reaksiyon kuvveti ile aşağıdaki şekilde ilişkilidir:

Eşitlik (1.2)'den tepki kuvvetinin büyüklüğünü ifade ediyoruz ve sonra onu son bağıntıya yerleştiriyoruz; Ortaya çıkan ilişkiden sürtünme kuvvetinin büyüklüğünü bulup eşitliğe (1.1) koyarsak, camın maksimum ivmesini belirlemek için bir ifade elde ederiz:

Büyüklüklerin sayısal değerlerini son eşitliğe değiştirerek camın maksimum ivmesinin değerini buluruz:

.

Camın ortaya çıkan hızlanma değeri, bir kağıt yaprağının camın altından "çıkarılabileceği" minimum ivmeye eşittir.

Cevap: .

Vücuda etki eden tüm kuvvetleri tasvir edelim. Dış kuvvete ek olarak, cismin üzerine yer çekimi kuvveti, yatay bir yüzey ile tepki kuvveti ve cismin hızına karşı yönlendirilen sürtünme kuvveti de cisme etki eder. Vücut düzgün bir ivmeyle hareket eder ve bu nedenle ivme vektörü hareket hızı boyunca yönlendirilir. Şekildeki vektörü gösterelim. Koordinat sistemini şekildeki gibi seçiyoruz. Newton'un ikinci yasasını vektör biçiminde yazıyoruz:

.

Vektör eşitliklerinin ana özelliğini kullanarak, son vektör eşitliğinde yer alan vektörlerin izdüşümleri için denklemler yazıyoruz:

Kayma sürtünme kuvvetinin ilişkisini yazıyoruz

Eşitlik (2.2)'den reaksiyon kuvvetinin büyüklüğünü buluyoruz

Ortaya çıkan ifadeden reaksiyon kuvvetinin büyüklüğü yerine eşitliği (2.3) yerine koyarsak, ifadeyi elde ederiz.

Sürtünme kuvveti için elde edilen ifadeyi eşitlik (2.1) ile değiştirirsek, cismin ivmesini hesaplamak için bir formül elde ederiz:

Son formülde SI sistemindeki sayısal verileri yerine koyalım ve yükün ivmesinin büyüklüğünü bulalım:

Cevap: .

Kuvvetin minimum büyüklüğü için, duran bloğa etki eden sürtünme kuvvetinin yönünü belirliyoruz. Kuvvetin, cismin hareketsiz kalması için yeterli olan minimum kuvvetten daha az olduğunu hayal edelim. Bu durumda cisim aşağıya doğru hareket edecek ve ona uygulanan sürtünme kuvveti dikey olarak yukarıya doğru yönlendirilecektir. Vücudu durdurmak için uygulanan kuvvetin büyüklüğünü arttırmanız gerekir. Ayrıca bu cisme Dünya tarafından dikey olarak aşağıya doğru yönlendirilen bir yerçekimi kuvvetinin yanı sıra yatay olarak sola yönlendirilen bir tepki kuvveti ile bir duvar etki etmektedir. Vücuda etki eden tüm kuvvetleri şekilde gösterelim. Eksenleri şekilde gösterildiği gibi yönlendirilecek dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sistemini ele alalım. Duran bir cisim için Newton'un birinci yasasını vektör biçiminde yazıyoruz:

.

Bulunan vektör eşitliği için, vektörlerin koordinat eksenlerindeki izdüşümlerinin eşitliklerini yazıyoruz, aşağıdaki denklemleri elde ediyoruz:

Dış kuvvetin minimum değerinde, statik sürtünme kuvvetinin büyüklüğü kayma sürtünme kuvvetinin büyüklüğüne eşit bir maksimum değere ulaşır:

Eşitlik (3.1)'den reaksiyon kuvvetinin büyüklüğünü buluruz ve bunu eşitlik (3.3)'e koyarsak sürtünme kuvveti için aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

.

Eşitlikteki (3.2) sürtünme kuvveti yerine bu ilişkinin sağ tarafını koyalım ve uygulanan kuvvetin büyüklüğünü hesaplamak için bir formül elde edelim:

Son formülden kuvvetin büyüklüğünü buluyoruz:

.

Cevap: .

Havada dikey olarak aşağı doğru hareket eden bir topa etki eden tüm kuvvetleri gösterelim. Yer çekimi kuvvetiyle, hava ise direnç kuvvetiyle etki eder. Şekilde dikkate alınan kuvvetleri tasvir edelim. Zamanın ilk anında, topun hızı ve direnç kuvveti de sıfır olduğundan, tüm kuvvetlerin bileşkesi maksimum bir değere sahiptir. Bu anda topun maksimum ivmesi eşittir. Top hareket ettikçe hızı artar ve buna bağlı olarak hava direnci artar. Zamanın bir noktasında direnç kuvveti yer çekimi kuvvetine eşit bir değere ulaşır. Bu noktadan itibaren top düzgün bir şekilde hareket eder. Topun düzgün hareketi için Newton'un birinci yasasını vektör biçiminde yazalım:

.

OY eksenini dikey olarak aşağıya doğru yönlendirelim. Bu vektör eşitliği için vektörlerin OY eksenine izdüşümlerinin eşitliğini yazalım:

. (4.1)

Direnç kuvveti topun kesit alanına ve hızının büyüklüğüne aşağıdaki şekilde bağlıdır:

, (4.2)

direnç katsayısı adı verilen orantı katsayısı nerede.

Eşitliklerden (4.1) ve (4.2) aşağıdaki ilişki aşağıdaki gibidir:

. (4.3)

Topun kütlesini yoğunluğu ve hacmiyle, hacmini de topun yarıçapıyla ifade edelim:

. (4.4)

Bu ifadeden kütleyi bulup eşitliği (4.3) yerine koyarsak, aşağıdaki eşitliği elde ederiz:

. (4.5)

Topun kesit alanını yarıçapı cinsinden ifade ediyoruz:

İlişki (4.6) dikkate alındığında eşitlik (4.5) aşağıdaki formu alacaktır:

.

İlk topun yarıçapını şöyle gösterelim; ikinci topun yarıçapı olarak. Birinci ve ikinci topun kararlı hareket hızlarının formüllerini yazalım:

Elde edilen eşitliklerden hız oranını buluyoruz:

.

Problemin koşullarına göre topların yarıçaplarının oranı ikiye eşittir. Bu koşulu kullanarak hız oranını buluruz:

.

Cevap: .

Eğik bir düzlem boyunca yukarıya doğru hareket eden bir cisim, dış cisimler tarafından etkilenmektedir: a) Yer çekiminin dikey olarak aşağıya doğru yönlendirildiği Dünya; b) eğimli düzleme dik olarak yönlendirilmiş bir reaksiyon kuvvetine sahip eğimli bir düzlem; c) vücudun hareketine karşı yönlendirilen sürtünme kuvvetine sahip eğimli bir düzlem; d) eğik düzlem boyunca yukarı doğru yönlendirilmiş bir kuvvete sahip bir dış gövde. Bu kuvvetlerin etkisi altında, vücut eğimli düzlemde eşit şekilde hızlandırılmış olarak hareket eder ve bu nedenle ivme vektörü, vücudun hareketi boyunca yönlendirilir. İvme vektörünü şekilde gösterelim. Newton'un ikinci yasasını vektör biçiminde yazalım:

.

OX ekseni cismin ivmesi boyunca yönlendirilen ve OY ekseni eğik düzleme dik olan dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sistemi seçelim. Bu koordinat eksenlerine izdüşümlerde Newton'un ikinci yasasını yazalım ve aşağıdaki denklemleri elde edelim:

Kayma sürtünme kuvveti reaksiyon kuvvetiyle aşağıdaki ilişkiyle ilişkilidir:

Eşitlik (5.2)'den reaksiyon kuvvetinin büyüklüğünü buluruz ve bunu eşitliğe (5.3) koyarsak sürtünme kuvveti için aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

. (5.4)

Sürtünme kuvveti yerine eşitliğin (5.4) sağ tarafını eşitliğe (5.1) koyarsak, gerekli kuvvetin büyüklüğünü hesaplamak için aşağıdaki denklemi elde ederiz:

Kuvvetin büyüklüğünü hesaplayalım:

Cevap: .

Cisimlere ve bloğa etki eden tüm kuvvetleri gösterelim. Bir bloğun üzerine atılan bir iplikle birbirine bağlanan cisimlerin hareket sürecini ele alalım. İplik ağırlıksızdır ve uzamaz, bu nedenle ipliğin herhangi bir bölümündeki gerilim kuvvetinin büyüklüğü aynı olacaktır; Ve .

Cisimlerin herhangi bir zaman dilimindeki yer değiştirmeleri aynı olacaktır ve dolayısıyla zamanın herhangi bir anında bu cisimlerin hız ve ivme değerleri aynı olacaktır. Bloğun sürtünme olmadan dönmesi ve ağırlıksız olması gerçeğinden, bloğun her iki tarafındaki ipliğin gerilme kuvvetinin aynı olacağı sonucu çıkar, yani: .

Bu, birinci ve ikinci gövdelere etki eden ipliğin gerilim kuvvetlerinin eşitliği anlamına gelir; . Birinci ve ikinci cisimlerin ivme vektörlerini şekilde gösterelim. İki OX eksenini tasvir edelim. Birinci ekseni birinci cismin ivme vektörü boyunca, ikincisini ise ikinci cismin ivme vektörü boyunca yönlendirelim. Bu koordinat eksenlerine izdüşüm halindeki her cisim için Newton'un ikinci yasasını yazalım:

Bunu dikkate alırsak ve ilk denklemden ifade edersek, ikinci denklemde yerine koyarsak, şunu elde ederiz:

Son eşitlikten ivme değerini buluyoruz:

.

Eşitlik (1)'den çekme kuvvetinin büyüklüğünü buluruz:

Cevap: , .

Küçük halka kendi çevresi etrafında dönerken ona iki kuvvet etki eder: dikey olarak aşağıya doğru yönlendirilen yerçekimi kuvveti ve halkanın merkezine doğru yönlendirilen tepki kuvveti. Bu kuvvetleri şekilde gösterelim ve ayrıca halkanın yörüngesini de gösterelim. Halkanın merkezcil ivme vektörü yörünge düzleminde bulunur ve dönme eksenine doğru yönlendirilir. Şekilde tasvir edelim. Dönen bir halka için Newton'un ikinci yasasını vektör biçiminde yazalım:

.

OX ekseni merkezcil ivme boyunca yönlendirilecek ve OY ekseni dönme ekseni boyunca dikey olarak yukarı doğru yönlendirilecek dikdörtgen bir koordinat sistemi seçelim. Newton'un ikinci yasasını bu koordinat eksenlerine izdüşümlerle yazalım:

Eşitlik (7.2)'den reaksiyon kuvvetinin büyüklüğünü buluruz ve bunu eşitlik (7.1)'de yerine koyarsak, aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

. (7.3)

Merkezcil ivme, dönme hızıyla aşağıdaki şekilde ilişkilidir: , küçük halkanın dönme yarıçapı nerede. Son eşitliğin sağ tarafını formül (7.3) yerine koyarsak aşağıdaki ilişkiyi elde ederiz:

. (7.4)

Şekilden alfa açısının tanjantının değerini buluyoruz . Bu ifade dikkate alındığında eşitlik (7.4) şu şekilde olacaktır:

Son denklemden gerekli yüksekliği buluyoruz:

Cevap: .

Diskle birlikte dönen bir cisme üç kuvvet etki eder: yerçekimi, reaksiyon kuvveti ve dönme eksenine doğru yönlendirilen sürtünme kuvveti. Şekildeki tüm kuvvetleri gösterelim. Bu şekilde merkezcil ivme vektörünün yönünü gösterelim. Newton'un ikinci yasasını vektör biçiminde yazıyoruz:

.

Şekilde gösterildiği gibi dikdörtgen bir Kartezyen koordinat sistemi seçelim. Newton'un ikinci yasasını koordinat eksenleri üzerindeki izdüşümlere yazalım:

; (8.1)

. (8.2)

Merkezcil ivme ilişkisini yazalım:

. (8.3)

Merkezcil ivme yerine eşitliğin (8.3) sağ tarafını eşitliğe (8.1) koyarsak, şunu elde ederiz:

. (8.4)

Eşitlik (8.4)'ten sürtünme kuvvetinin büyüklüğünün dönme yarıçapı ile doğru orantılı olduğu açıktır, bu nedenle dönme yarıçapı arttıkça statik sürtünme kuvveti artar ve belirli bir değerde statik sürtünme kuvveti a'ya ulaşır. maksimum değer kayma sürtünme kuvvetine () eşittir.

Eşitliği (8.2) hesaba katarak maksimum statik sürtünme kuvveti için ifadeler elde ederiz:

.

Ortaya çıkan eşitliğin sağ tarafını sürtünme kuvveti yerine eşitlik (4) ile değiştirerek aşağıdaki ilişkiyi elde ederiz:

Bu denklemden dönme yarıçapının sınırlayıcı değerini buluyoruz:

Cevap: .

Bir düşüşün uçuşu sırasında ona iki kuvvet etki eder: yerçekimi ve sürükleme kuvveti. Şekildeki tüm kuvvetleri gösterelim. Kökeni Dünya yüzeyinde yer alacak olan dikey olarak yönlendirilmiş bir OY ekseni seçelim. Dinamiğin temel denklemini yazalım:

.

Eşitliği OY eksenine yansıttığımızda aşağıdaki ilişkiye sahip olacağız:

Son eşitliğin her iki tarafını da ile bölüp aynı anda her iki tarafı da ile çarparsak, bunu dikkate alarak şu ifadeyi elde ederiz:

Bu ifadenin her iki tarafını da şuna bölelim: şu ilişkiyi elde ederiz:

.

İkinci ilişkiyi entegre ediyoruz ve hızın zamana bağımlılığını elde ediyoruz: .

Sabiti başlangıç ​​koşullarından buluyoruz ( ), hızın zamana istenen bağımlılığını elde ederiz:

.

Maksimum hızı durumdan belirliyoruz :

.

Cevap: ; .

Diske etki eden kuvvetleri şekilde gösterelim. Newton'un ikinci yasasını OX, OY ve OZ eksenlerindeki izdüşümlere yazalım

Çünkü , daha sonra yıkayıcının hareketinin tüm yörüngesi için formül, OZ eşitliği dikkate alınarak şu forma dönüşen sürtünme kuvveti için geçerlidir:

Bu ilişki dikkate alındığında OX ekseni için eşitlik şu şekilde olacaktır:

Newton'un ikinci yasasını, söz konusu noktada diskin yörüngesine olan teğet üzerine yansıtırız ve şu ilişkiyi elde ederiz:

teğetsel ivmenin büyüklüğü nerede. Son eşitliklerin sağ taraflarını karşılaştırırsak şu sonuca varırız:

ve'den bu yana, önceki ilişkiyi hesaba katarsak, eşitliği elde ederiz; bunun entegrasyonu, entegrasyon sabitinin nerede olduğu ifadesine yol açar. Son ifadede yerine koyalım hızın açıya bağımlılığını elde ederiz:

Sabiti başlangıç ​​koşullarından belirleyelim (ne zaman . ). Bunu dikkate alarak nihai bağımlılığı yazıyoruz

.

Minimum hız değerine, hız vektörü OX eksenine paralel yönlendiğinde ve değeri eşit olduğunda ulaşılır.

Dinamik:
Analitik mekanik
§ 47. Genel dinamik denklemi

Çözümlerle ilgili sorunlar

47.1 M kütleli üç kütlenin her biri, sabit bir A bloğundan atılan uzamaz bir ip ile birbirine bağlanmıştır. İki kütle düzgün bir yatay düzlem üzerinde uzanır ve üçüncü kütle dikey olarak asılıdır. ab bölümünde sistemin ivmesini ve ipliğin gerginliğini belirleyin. İpliğin ve bloğun kütlesini ihmal edin.
ÇÖZÜM

47.2 Yükler hareket ettiğinde A bloğunun sabit bir eksen etrafında döndüğünü varsayarak, bloğun kütlesini hesaba katarak önceki problemi çözün. Katı homojen bir diskin bir bloğunun kütlesi 2M'dir.
ÇÖZÜM

47.3 İki kütle M1 ve M2, şekilde gösterildiği gibi r1 ve r2 yarıçaplı tamburlara sarılan ve ortak bir eksen üzerine monte edilen iki esnek, uzamayan iplik üzerinde asılıdır; Yükler yer çekimi etkisi altında hareket eder. Tamburların kütlelerini ve dişlerin kütlesini ihmal ederek açısal ivmesini ε belirleyin.
ÇÖZÜM

47.4 Önceki problem göz önüne alındığında, aşağıdaki verilerle tamburların kütlelerini dikkate alarak açısal ivmeyi ε ve dişlerin T1 ve T2 gerilimini belirleyin: M1=20 kg, M2=34 kg, r1=5 cm, r2=10cm; varil ağırlıkları: küçük 4 kg ve büyük 8 kg. Tamburların kütlelerinin dış yüzeylerine eşit olarak dağıldığı kabul edilir.
ÇÖZÜM

47.5 Aşağıdaki ağırlıklar şekilde gösterilen blok sistemine asılmaktadır: M1 kütlesi 10 kg ve M2 kütlesi 8 kg. Blokların kütlelerini ihmal ederek M2 yükünün ivmesini w2 ve ipliğin gerilimini belirleyin.
ÇÖZÜM

47.6 Bir asansörün alt makarasına (C) bir tork M uygulanıyor. Karşı ağırlığın (B) kütlesi M2'ye ve r yarıçaplı ve kütleli C ve D makaralarına eşitse, M1 kütleli bir A yükünün ivmesini belirleyin. M3'ün her biri homojen silindirlerdir. Kayışın kütlesini ihmal edin.
ÇÖZÜM

47.7 Yarıçapı r olan yükleri hareket ettiren bir mekanizmanın ırgat mili, AB koluna uygulanan sabit bir M torku ile tahrik edilir. Yükün yatay düzlemdeki kayma sürtünme katsayısı f'ye eşitse, m kütleli C yükünün ivmesini belirleyin. Halatın ve ırgat kütlesini ihmal edin.
ÇÖZÜM

47.8 Dönme eksenine göre eylemsizlik momenti J'ye eşit olan bir ırgat kütlesini hesaba katarak önceki problemi çözün.
ÇÖZÜM

47.9 M1 kütleli bir A yükü, yatayla α açısı yapan eğimli bir düz düzlem boyunca alçalarak, M2 kütleli ve r yarıçaplı tambur B'nin uzamayan bir diş boyunca dönmesine neden olur. Tamburun düzgün yuvarlak bir silindir olduğunu düşünürsek, tamburun açısal ivmesini belirleyin. Sabit blok C'nin ve ipliğin kütlesini ihmal edin.
ÇÖZÜM

47.10 Bir kişi, arabaya yatay bir F kuvveti uygulayarak bir arabayı itiyor. Eğer arabanın kütlesi M1 ise, M2 dört tekerleğin her birinin kütlesi, r ise tekerleklerin yarıçapıdır. fк yuvarlanma sürtünme katsayısıdır. Tekerlekler, raylar üzerinde kaymadan yuvarlanan katı yuvarlak diskler olarak kabul edilir.
ÇÖZÜM

47.11 Eğik bir düzlem boyunca kaymadan aşağı doğru yuvarlanan M1 kütleli A makarası, B bloğunun üzerine atılan uzamaz bir iplik vasıtasıyla M2 kütleli C yükünü kaldırmaktadır. Bu durumda B bloğu kendi düzlemine dik olan sabit bir O ekseni etrafında dönmektedir. A silindiri ve B bloğu aynı kütle ve yarıçapa sahip homojen yuvarlak disklerdir. Eğik bir düzlem yatayla α açısı yapar. Silindir ekseninin ivmesini belirleyin. İpliğin kütlesini ihmal edin.
ÇÖZÜM

47.12 Kütlesi M1 olan bir B yükü, kütlesi M2 ve yarıçapı r olan silindirik bir silindiri, silindirin etrafına sarılmış bir iplik kullanarak harekete geçirir. Silindir kaymadan yuvarlanıyorsa ve yuvarlanma sürtünme katsayısı fк'a eşitse, B yükünün ivmesini belirleyin. D bloğunun kütlesini ihmal edin.
ÇÖZÜM

47.13 M1 kütleli DE çubuğu, her biri M2 kütleli üç A, B ve C silindiri üzerinde durmaktadır. Çubuğa yatay olarak sağa doğru bir F kuvveti uygulanarak çubuğun ve silindirlerin hareket etmesine neden olur. Çubuk ile silindirler arasında ve silindirler ile yatay düzlem arasında kayma yoktur. DE çubuğunun ivmesini bulun. Silindirler homojen yuvarlak silindirler olarak kabul edilir.
ÇÖZÜM

47.14 Her birinin kütlesi 4 kg olan katı homojen disklerden oluşan blokların kütlesini hesaba katarak, problem 47.5'te ele alınan M2 yükünün ivmesini belirleyin.
ÇÖZÜM

47.15 M1 kütleli A yükü, sabit bir D bloğundan atılan ve B makarasına sarılan uzatılamaz bir iplik vasıtasıyla aşağıya doğru düşerek, C şaftının yatay bir ray boyunca kaymadan yuvarlanmasına neden olur. R yarıçaplı kasnak B, r yarıçaplı C şaftına sağlam bir şekilde monte edilmiştir; toplam kütleleri M2'ye eşittir ve şeklin düzlemine dik O eksenine göre dönme yarıçapı ρ'ye eşittir. A yükünün ivmesini bulun. İpin ve bloğun kütlesini ihmal edin.
ÇÖZÜM

47.16 Bir merkezkaç regülatör dikey bir eksen etrafında sabit bir ω açısal hızıyla dönmektedir. OA ve OB kollarının dikeyden sapma açısını belirleyin; yalnızca her bir bilyanın M kütlesini ve C bağlantısının M1 kütlesini hesaba katarak tüm çubukların aynı uzunluğa sahip olduğunu belirleyin;
ÇÖZÜM

47.17 Bir merkezkaç regülatör sabit bir ω açısal hızıyla dönmektedir. M1 kütle kuplajı α = 0'da deforme olmayan bir durumda olan ve üst uçta sabitlenmiş bir yay tarafından aşağı doğru bastırılırsa, regülatörün açısal hızı ile çubukların düşeyden sapma açısı α arasındaki ilişkiyi bulun. regülatörün eksenine; topların kütleleri M2'ye eşittir, çubukların uzunluğu l'ye eşittir, çubukların süspansiyon eksenleri regülatör ekseninden a mesafesinde ayrılır; Çubukların ve yayların kütlelerini ihmal ediniz. Yay sabiti c'dir.
ÇÖZÜM

47.18 Bir merkezkaç yaylı regülatör, her biri M kütleli iki kütle A ve B'den oluşur; bunlar, regülatör miline tutturulmuş M1 kütleli düz bir yatay bağlantı çubuğu C üzerine monte edilmiş, l uzunluğunda çubuklar ve kütleleri dönme eksenine doğru bastıran yaylardan oluşur; çubuk menteşelerinin iş mili ekseninden mesafesi e'ye eşittir; c yay sertliği katsayısı. α0 açısında ise, α açılma açısında kontrolörün açısal hızını belirleyin; burada α0ÇÖZÜM

47.19 Regülatörde, O milinin ucu etrafında regülatör düzleminde dönebilen ve O mili ile değişken bir φ açısı oluşturabilen, uzunluğu 2l olan iki eşit kollu kolun uçlarına eşit kütleli M1 dört ağırlık yerleştirilmiştir. iş mili ekseni. O iş milinin ucundan OA=a uzaklıkta bulunan A noktasında, a uzunluğundaki AB ve AC kolları eksenel olarak mile bağlanır; B ve C noktalarında ise BD ve CD uzunluğundaki çubuklarla eklemlenir. a, taşıma kaplini D. B ve C noktalarında ağırlık taşıyan kollar boyunca kayan sürgüler bulunmaktadır. Kaplinin kütlesi M2'dir. Kontrolör sabit bir ω açısal hızıyla döner. Kontrolörün denge konumunda açı ile açısal hız ω arasındaki ilişkiyi bulun.