Ar ilerleme formülleri. Bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı

Cebir okurken ortaokul(9. sınıf) biri önemli konular geometrik ve aritmetik ilerlemeleri içeren sayı dizilerinin incelenmesidir. Bu yazıda aritmetik ilerlemeye ve çözümlü örneklere bakacağız.

Aritmetik ilerleme nedir?

Bunu anlamak için hem söz konusu ilerlemeyi tanımlamak hem de daha sonra problemlerin çözümünde kullanılacak temel formülleri sağlamak gerekir.

Bazı cebirsel ilerlemelerde 1. terimin 6'ya, 7. terimin ise 18'e eşit olduğu bilinmektedir. Farkı bulup bu diziyi 7. terime geri döndürmek gerekir.

Bilinmeyen terimi belirlemek için şu formülü kullanalım: a n = (n - 1) * d + a 1 . Koşuldan bilinen verileri, yani a 1 ve a 7 sayılarını yerine koyalım: 18 = 6 + 6 * d. Bu ifadeden farkı kolayca hesaplayabilirsiniz: d = (18 - 6) /6 = 2. Böylece problemin ilk kısmını cevaplamış olduk.

Diziyi 7. terime geri döndürmek için cebirsel ilerlemenin tanımını kullanmalısınız, yani a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d vb. Sonuç olarak tüm diziyi geri yükleriz: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Örnek No. 3: bir ilerlemenin hazırlanması

Hadi bunu daha da karmaşık hale getirelim daha güçlü durum görevler. Şimdi aritmetik ilerlemenin nasıl bulunacağı sorusunu cevaplamamız gerekiyor. Şu örneği verebiliriz: İki sayı veriliyor örneğin - 4 ve 5. Bunların arasına üç terim daha yerleştirilecek şekilde cebirsel bir ilerleme oluşturmak gerekiyor.

Bu sorunu çözmeye başlamadan önce, verilen sayıların gelecekteki ilerlemede nasıl bir yer tutacağını anlamalısınız. Aralarında üç terim daha olacağı için a 1 = -4 ve a 5 = 5 olur. Bunu belirledikten sonra bir öncekine benzer probleme geçiyoruz. Yine formülü kullandığımız n'inci terim için şunu elde ederiz: a 5 = a 1 + 4 * d. Başlangıç: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Burada elde ettiğimiz şey farkın tam sayı değeri değil, rasyonel sayı dolayısıyla cebirsel ilerlemenin formülleri aynı kalır.

Şimdi bulunan farkı 1'e ekleyelim ve ilerlemenin eksik terimlerini geri yükleyelim. Şunu elde ederiz: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, bunlar çakışıyor Sorunun koşulları ile.

Örnek No. 4: ilerlemenin ilk dönemi

Örnekler vermeye devam edelim aritmetik ilerleme bir çözümle. Önceki problemlerin hepsinde cebirsel ilerlemenin ilk sayısı biliniyordu. Şimdi farklı türde bir problem düşünelim: a 15 = 50 ve a 43 = 37 olmak üzere iki sayı verilsin. Bu dizinin hangi sayıyla başladığını bulmak gerekiyor.

Şu ana kadar kullanılan formüller a 1 ve d'nin bilgisini varsaymaktadır. Problem ifadesinde bu sayılar hakkında hiçbir şey bilinmemektedir. Bununla birlikte, hakkında bilgi bulunan her terim için ifadeleri yazacağız: a 15 = a 1 + 14 * d ve a 43 = a 1 + 42 * d. 2 bilinmeyen miktarın (a 1 ve d) olduğu iki denklem aldık. Bu, problemin bir doğrusal denklem sisteminin çözümüne indirgendiği anlamına gelir.

Bu sistemi çözmenin en kolay yolu, her denklemde 1'i ifade etmek ve ardından elde edilen ifadeleri karşılaştırmaktır. Birinci denklem: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; ikinci denklem: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Bu ifadeleri eşitleyerek şunu elde ederiz: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, dolayısıyla fark d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (yalnızca 3 ondalık basamak verilmiştir).

D'yi bildiğinize göre, 1 için yukarıdaki 2 ifadeden herhangi birini kullanabilirsiniz. Örneğin ilk olarak: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Elde edilen sonuçtan şüpheniz varsa kontrol edebilirsiniz, örneğin durumda belirtilen ilerlemenin 43. dönemini belirleyebilirsiniz. Şunu elde ederiz: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Küçük hata, hesaplamalarda binde birine yuvarlamanın kullanılmasından kaynaklanmaktadır.

Örnek No. 5: miktar

Şimdi aritmetik ilerlemenin toplamının çözümlerini içeren birkaç örneğe bakalım.

Verilmesine izin ver sayısal ilerleme aşağıdaki biçimdedir: 1, 2, 3, 4, ...,. Bu sayıların 100'ünün toplamı nasıl hesaplanır?

Bilgisayar teknolojisinin gelişmesi sayesinde bu sorunu çözmek, yani tüm sayıları sırayla eklemek mümkündür; kişi Enter tuşuna bastığı anda bilgisayarın yapacağı bunu yapar. Ancak sunulan sayı serisinin cebirsel bir ilerleme olduğuna ve farkının 1'e eşit olduğuna dikkat ederseniz sorun zihinsel olarak çözülebilir. Toplam formülünü uygulayarak şunu elde ederiz: S n = n * ( a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Bu problemin "Gaussian" olarak adlandırılması ilginçtir çünkü XVIII'in başı yüzyılda ünlü Alman, henüz 10 yaşında olmasına rağmen bu soruyu birkaç saniye içinde kafasında çözmeyi başarmıştı. Çocuk cebirsel ilerlemenin toplamının formülünü bilmiyordu ama dizinin sonundaki sayıları çiftler halinde toplarsanız her zaman aynı sonucu elde ettiğinizi fark etti: 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... ve bu toplamlar tam olarak 50 (100/2) olacağından doğru cevabı almak için 50'yi 101 ile çarpmak yeterlidir.

Örnek No. 6: n'den m'ye kadar terimlerin toplamı

Aritmetik ilerlemenin toplamının bir başka tipik örneği şudur: 3, 7, 11, 15, ... gibi bir sayı dizisi verildiğinde, 8'den 14'e kadar olan terimlerin toplamının neye eşit olacağını bulmanız gerekir. .

Sorun iki şekilde çözülür. Bunlardan ilki, 8'den 14'e kadar bilinmeyen terimleri bulmayı ve ardından bunları sırayla toplamayı içerir. Terim sayısı az olduğundan bu yöntem pek emek yoğun değildir. Bununla birlikte, bu sorunun daha evrensel olan ikinci bir yöntemle çözülmesi önerilmektedir.

Buradaki fikir, n > m'nin tamsayı olduğu m ve n terimleri arasındaki cebirsel ilerlemenin toplamı için bir formül elde etmektir. Her iki durumda da toplam için iki ifade yazıyoruz:

1. S m = m * (bir m + bir 1) / 2.
2. S n = n * (bir n + bir 1) / 2.

n > m olduğundan 2. toplamın birinciyi içerdiği açıktır. Son sonuç, bu toplamlar arasındaki farkı alıp buna a m terimini eklersek (farkın alınması durumunda S n toplamından çıkarılır), probleme gerekli cevabı elde edeceğimiz anlamına gelir. Elimizde: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Bu ifadede a n ve a m formüllerini yerine koymak gerekir. O zaman şunu elde ederiz: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Ortaya çıkan formül biraz hantaldır, ancak S mn toplamı yalnızca n, m, a 1 ve d'ye bağlıdır. Bizim durumumuzda a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Bu sayıları yerine koyarsak şunu elde ederiz: S mn = 301.

Yukarıdaki çözümlerden de görülebileceği gibi, tüm problemler n'inci terimin ifadesi ve ilk terimler kümesinin toplamı formülü bilgisine dayanmaktadır. Bu sorunlardan herhangi birini çözmeye başlamadan önce, durumu dikkatlice okumanız, neyi bulmanız gerektiğini net bir şekilde anlamanız ve ancak bundan sonra çözüme devam etmeniz önerilir.

Başka bir ipucu da basitlik için çabalamaktır, yani bir soruyu karmaşık matematiksel hesaplamalar kullanmadan cevaplayabiliyorsanız, o zaman tam da bunu yapmanız gerekir, çünkü bu durumda hata yapma olasılığı daha azdır. Örneğin, 6 numaralı çözümle aritmetik ilerleme örneğinde, S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m formülünde durabiliriz ve genel sorunu ayrı alt görevlere bölün (V bu durumdaönce a n ve a m) terimlerini bulun.

Elde edilen sonuç hakkında şüpheleriniz varsa, verilen bazı örneklerde yapıldığı gibi kontrol etmeniz önerilir. Aritmetik ilerlemeyi nasıl bulacağımızı öğrendik. Bunu anlarsanız, o kadar da zor değil.

Veya aritmetik, özellikleri bir okul cebir dersinde incelenen bir tür sıralı sayısal dizidir. Bu makalede, bir aritmetik ilerlemenin toplamının nasıl bulunacağı sorusu ayrıntılı olarak tartışılmaktadır.

Bu nasıl bir ilerleme?

Soruna geçmeden önce (bir aritmetik ilerlemenin toplamı nasıl bulunur), neden bahsettiğimizi anlamakta fayda var.

Önceki her sayıya bir değer eklenerek (çıkarılarak) elde edilen herhangi bir gerçek sayı dizisine cebirsel (aritmetik) ilerleme denir. Bu tanım matematik diline çevrildiğinde şu şekli alır:

Burada i, a i satırının elemanının seri numarasıdır. Böylece, yalnızca bir başlangıç ​​​​numarasını bilerek tüm seriyi kolayca geri yükleyebilirsiniz. Formüldeki d parametresine ilerleme farkı denir.

Söz konusu sayı serisi için aşağıdaki eşitliğin geçerli olduğu kolaylıkla gösterilebilir:

a n = a 1 + d * (n - 1).

Yani n'inci elemanın değerini sırasıyla bulmak için d farkını ilk eleman a'ya 1 n-1 kez eklemelisiniz.

Aritmetik ilerlemenin toplamı nedir: formül

Belirtilen miktara ilişkin formülü vermeden önce basit bir hususu dikkate almakta fayda vardır. özel durum. İlerleme veriliyor doğal sayılar 1'den 10'a kadar toplamlarını bulmanız gerekir. İlerlemede (10) az sayıda terim olduğundan, sorunu doğrudan çözmek, yani tüm unsurları sırayla toplamak mümkündür.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Göz önünde bulundurmaya değer bir şey ilginç şey: her terim bir sonrakinden aynı d = 1 değeri kadar farklı olduğundan, birincinin onuncuyla, ikincinin dokuzuncuyla vb. ikili toplamı aynı sonucu verecektir. Gerçekten mi:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Gördüğünüz gibi bu toplamlardan sadece 5 adet var, yani serinin eleman sayısından tam iki kat daha az. Daha sonra toplam sayısını (5) her toplamın sonucuyla (11) çarparak ilk örnekte elde edilen sonuca ulaşacaksınız.

Bu argümanları genelleştirirsek aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz:

S n = n * (bir 1 + bir n) / 2.

Bu ifade, bir satırdaki tüm elemanların toplamının hiç de gerekli olmadığını, ilk a 1 ve sonuncu a n'nin değerini ve toplam n terim sayısını bilmenin yeterli olduğunu göstermektedir.

Belirli bir soruna çözüm ararken bu eşitliği ilk düşünenin Gauss olduğuna inanılıyor. okul öğretmeni görev: ilk 100 tam sayıyı toplayın.

m'den n'ye kadar elemanların toplamı: formül

Önceki paragrafta verilen formül, bir aritmetik ilerlemenin (ilk öğeler) toplamının nasıl bulunacağı sorusuna yanıt verir, ancak çoğu zaman problemlerde ilerlemenin ortasında bir sayı dizisinin toplanması gerekir. Bu nasıl yapılır?

Bu soruyu cevaplamanın en kolay yolu şu örneği ele almaktır: m'den n'ye kadar terimlerin toplamını bulmamız gereksin. Sorunu çözmek için, ilerlemenin m'den n'ye kadar verilen bölümünü yeni bir sayı dizisi biçiminde sunmalısınız. Bu görünümde m'inci terim a m ilk olacak ve bir n, n-(m-1) olarak numaralandırılacaktır. Bu durumda, toplam için standart formülün uygulanmasıyla aşağıdaki ifade elde edilecektir:

S m n = (n - m + 1) * (bir m + bir n) / 2.

Formül kullanma örneği

Aritmetik ilerlemenin toplamını nasıl bulacağınızı bildiğinizden, yukarıdaki formülleri kullanmanın basit bir örneğini düşünmeye değer.

Aşağıda sayısal bir dizi bulunmaktadır, 5'inciden başlayıp 12'nci ile biten terimlerinin toplamını bulmalısınız:

Verilen sayılar d farkının 3'e eşit olduğunu göstermektedir. n'inci eleman ifadesini kullanarak ilerlemenin 5. ve 12. terimlerinin değerlerini bulabilirsiniz. Görünüşe göre:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Söz konusu cebirsel ilerlemenin sonundaki sayıların değerlerini bilmek ve seride hangi sayıları işgal ettiklerini bilmek, önceki paragrafta elde edilen toplamın formülünü kullanabilirsiniz. Ortaya çıkacak:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Bu değerin farklı şekilde elde edilebileceğini belirtmekte fayda var: ilk önce ilk 12 elemanın toplamını şu şekilde bulun: standart formül, ardından aynı formülü kullanarak ilk 4 öğenin toplamını hesaplayın, ardından ikinciyi ilk toplamdan çıkarın.

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Aritmetik ilerleme, her sayının bir öncekinden aynı miktarda daha büyük (veya daha az) olduğu bir sayı dizisidir.

Bu konu çoğu zaman karmaşık ve anlaşılmaz görünmektedir. Harf endeksleri n'inci terim ilerlemeler, ilerleme farklılıkları - bunların hepsi bir şekilde kafa karıştırıcı, evet... Aritmetik ilerlemenin anlamını çözelim ve her şey hemen daha iyi hale gelecektir.)

Aritmetik ilerleme kavramı.

Aritmetik ilerleme çok basit ve açık bir kavramdır. Herhangi bir şüpheniz var mı? Boşuna.) Kendiniz görün.

Bitmemiş bir sayı dizisi yazacağım:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Bu seriyi uzatabilir misiniz? Beşten sonra hangi sayılar gelecek? Herkes... uh... kısacası herkes bundan sonra 6, 7, 8, 9 vb. sayıların geleceğini anlayacak.

Görevi karmaşıklaştıralım. Size bitmemiş bir sayı dizisi veriyorum:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Deseni yakalayabilecek, seriyi genişletebilecek ve isim verebileceksiniz. yedinci satır numarası?

Bu sayının 20 olduğunu fark ettiyseniz tebrikler! Sadece hissetmedin önemli noktalar aritmetik ilerleme, ama aynı zamanda bunları iş hayatında da başarıyla kullandı! Eğer çözemediyseniz okumaya devam edin.

Şimdi duyumlardaki önemli noktaları matematiğe çevirelim.)

İlk önemli nokta.

Aritmetik ilerleme sayı dizileriyle ilgilidir. Bu ilk başta kafa karıştırıcıdır. Denklem çözmeye, grafik çizmeye falan alışığız... Ama burada seriyi genişletiyoruz, serinin numarasını buluyoruz...

Önemli değil. Sadece ilerlemeler matematiğin yeni bir dalıyla ilk tanışmadır. Bu bölüme "Seriler" adı verilir ve özellikle sayı ve ifade dizileriyle çalışır. Buna alışın.)

İkinci önemli nokta.

Aritmetik ilerlemede her sayı bir öncekinden farklıdır aynı miktarda.

İlk örnekte bu fark birdir. Hangi sayıyı alırsanız alın, bir öncekinin bir fazlasıdır. İkincisinde - üç. Herhangi bir sayı bir öncekinden üç fazladır. Aslında bize kalıbı kavrama ve sonraki sayıları hesaplama fırsatını veren de bu andır.

Üçüncü önemli nokta.

Bu an çok çarpıcı değil evet... Ama çok ama çok önemli. İşte: Her ilerleme numarası yerindedir. Birinci sayı var, yedinci var, kırk beşinci var vs. Bunları rastgele karıştırırsanız desen kaybolur. Aritmetik ilerleme de ortadan kalkacaktır. Geriye sadece bir dizi sayı kaldı.

Bütün mesele bu.

Tabii ki yeni konu yeni terimler ve tanımlar ortaya çıkıyor. Onları bilmeniz gerekiyor. Aksi takdirde görevi anlayamazsınız. Örneğin, şöyle bir şeye karar vermeniz gerekecek:

a 2 = 5, d = -2,5 ise, aritmetik ilerlemenin ilk altı terimini (a n) yazın.

İlham verici mi?) Mektuplar, bazı dizinler... Ve bu arada, görev daha kolay olamazdı. Sadece terimlerin ve tanımların anlamını anlamanız gerekir. Şimdi bu konuya hakim olacağız ve göreve döneceğiz.

Terimler ve tanımlar.

Aritmetik ilerleme her sayının bir öncekinden farklı olduğu bir sayı dizisidir aynı miktarda.

Bu miktara denir . Bu konsepte daha detaylı bakalım.

Aritmetik ilerleme farkı.

Aritmetik ilerleme farkı herhangi bir ilerleme sayısının ne kadar olduğu Dahaönceki.

Bir önemli nokta. Lütfen söze dikkat edin "Daha". Matematiksel olarak bu, her ilerleme sayısının ekleyerekönceki sayıya aritmetik ilerleme farkı.

Hesaplamak için diyelim ki ikinci serinin numaraları, yapmanız gereken Birinci sayı eklemek aritmetik ilerlemenin tam da farkı. Hesaplama için beşinci- fark gerekli eklemekİle dördüncü, peki vb.

Aritmetik ilerleme farkı Belki pozitif, o zaman serideki her sayının gerçek olduğu ortaya çıkacak öncekinden daha fazla. Bu ilerlemeye denir artan.Örneğin:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Burada her sayı elde edilir ekleyerek pozitif sayı, bir öncekine +5.

Fark olabilir negatif, o zaman serideki her sayı öncekinden daha az. Bu ilerlemeye denir (buna inanmayacaksınız!) azalıyor.

Örneğin:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Burada her sayı da elde edilir ekleyerek bir öncekine, ama zaten negatif sayı, -5.

Bu arada, ilerlemeyle çalışırken, ister artıyor ister azalıyor olsun, doğasını hemen belirlemek çok faydalıdır. Bu, karar vermenize, hatalarınızı tespit etmenize ve çok geç olmadan bunları düzeltmenize çok yardımcı olur.

Aritmetik ilerleme farkı genellikle harfle gösterilir D.

Nasıl bulunur? D? Çok basit. Serideki herhangi bir sayıdan çıkarma yapmak gerekir öncesi sayı. Çıkar. Bu arada çıkarma sonucuna "fark" denir.)

Örneğin şunu tanımlayalım: D aritmetik ilerlemeyi artırmak için:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Dizide istediğimiz herhangi bir sayıyı alıyoruz örneğin 11. Ondan çıkarıyoruz önceki numara onlar. 8:

Bu doğru cevaptır. Bu aritmetik ilerleme için fark üçtür.

Alabilirsin herhangi bir ilerleme numarası,Çünkü belirli bir ilerleme için D-hep aynı. En azından sıranın başında bir yerde, en azından ortada, en azından herhangi bir yerde. Yalnızca ilk sayıyı alamazsınız. Basitçe çünkü ilk sayı önceki yok.)

Bu arada bunu bilerek d=3 Bu ilerlemenin yedinci sayısını bulmak çok basittir. Beşinci sayıya 3 ekleyelim - altıncıyı elde ederiz, 17 olur. Altıncı sayıya üç ekleyelim, yedinci sayıyı - yirmiyi elde ederiz.

Hadi tanımlayalım D azalan aritmetik ilerleme için:

8; 3; -2; -7; -12; .....

İşaretler ne olursa olsun, belirlemeniz gerektiğini size hatırlatırım. D herhangi bir numaradan lazım öncekini götür. Herhangi bir ilerleme numarasını seçin, örneğin -7. Önceki numarası -2'dir. Daha sonra:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Aritmetik ilerlemenin farkı herhangi bir sayı olabilir: tam sayı, kesirli, irrasyonel, herhangi bir sayı.

Diğer terimler ve tanımlar.

Dizideki her sayıya denir aritmetik ilerlemenin üyesi.

İlerlemenin her üyesi kendi numarası vardır. Rakamlar hiçbir hile olmaksızın kesinlikle sıralıdır. Birinci, ikinci, üçüncü, dördüncü vb. Örneğin, 2, 5, 8, 11, 14, ... diziliminde ilk terim iki, ikinci terim beş, dördüncü terim onbir, yani anlıyor musunuz...) Lütfen açıkça anlayın - sayıların kendisi kesinlikle herhangi bir şey olabilir, bütün, kesirli, negatif, her ne olursa olsun, ama sayıların numaralandırılması- kesinlikle sırayla!

bir ilerleme nasıl yazılır genel görünüm? Soru yok! Bir dizideki her sayı bir harf olarak yazılır. Aritmetik ilerlemeyi belirtmek için genellikle harf kullanılır A. Üye numarası sağ altta bir indeksle gösterilir. Terimleri virgülle (veya noktalı virgülle) ayırarak şu şekilde yazarız:

bir 1, bir 2, bir 3, bir 4, bir 5, .....

1- bu ilk sayı, 3- üçüncü vb. Süslü bir şey yok. Bu seriyi kısaca şu şekilde yazabiliriz: (BİR).

İlerlemeler oluyor sonlu ve sonsuz.

Nihai ilerleme var sınırlı miktarüyeler. Beş, otuz sekiz, her neyse. Ama bu sonlu bir sayı.

Sonsuz ilerleme - tahmin edebileceğiniz gibi sonsuz sayıda üyeye sahiptir.)

Son ilerlemeyi bunun gibi bir seri aracılığıyla, tüm terimleri ve sonunda bir noktayı yazabilirsiniz:

1, 2, 3, 4, 5.

Veya çok sayıda üye varsa şöyle:

bir 1, bir 2,... bir 14, bir 15.

Kısa girişte ayrıca üye sayısını da belirtmeniz gerekecektir. Örneğin (yirmi üye için), şöyle:

(bir n), n = 20

Bu dersteki örneklerde olduğu gibi, satırın sonundaki üç nokta ile sonsuz bir ilerleme fark edilebilir.

Artık görevleri çözebilirsiniz. Görevler basit, yalnızca aritmetik ilerlemenin anlamını anlamaya yönelik.

Aritmetik ilerlemeyle ilgili görev örnekleri.

Yukarıda verilen göreve ayrıntılı olarak bakalım:

1. a 2 = 5, d = -2,5 ise, aritmetik ilerlemenin ilk altı terimini (a n) yazın.

Görevi şuraya aktarıyoruz: açık dil. Sonsuz bir aritmetik ilerleme verilmiştir. Bu ilerlemenin ikinci sayısı biliniyor: 2 = 5.İlerleme farkı biliniyor: d = -2,5. Bu ilerlemenin birinci, üçüncü, dördüncü, beşinci ve altıncı terimlerini bulmamız gerekiyor.

Netlik sağlamak için sorunun koşullarına göre bir dizi yazacağım. İkinci terimin beş olduğu ilk altı terim:

1, 5, 3, 4, 5, 6,...

3 = bir 2 + D

İfadede yerine koyma bir 2 = 5 Ve d = -2,5. Eksileri unutma!

3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Üçüncü dönem çıktı ikiden az. Her şey mantıklı. Sayı öncekinden büyükse negatif değer, bu da sayının kendisinin öncekinden daha az olacağı anlamına gelir. İlerleme azalıyor. Tamam, dikkate alalım.) Serimizin dördüncü dönemini sayıyoruz:

4 = 3 + D

4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

5 = 4 + D

5=0+(-2,5)= - 2,5

6 = 5 + D

6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Böylece üçüncüden altıncıya kadar olan terimler hesaplandı. Sonuç aşağıdaki seridir:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Geriye ilk terimi bulmak kalıyor 1 iyi bilinen ikinciye göre. Bu, diğer yönde, sola doğru bir adımdır.) Yani, aritmetik ilerlemenin farkı D eklenmemelidir bir 2, A götürmek:

1 = bir 2 - D

1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

İşte bu. Ödev cevabı:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Bu arada, bu görevi çözdüğümüzü belirtmek isterim. tekrarlayan yol. Bu korkunç kelime yalnızca ilerlemenin bir üyesinin aranması anlamına gelir önceki (bitişik) numaraya göre. Aşağıda ilerlemeyle çalışmanın diğer yollarına bakacağız.

Bu basit görevden önemli bir sonuç çıkarılabilir.

Hatırlamak:

Bir aritmetik ilerlemenin en az bir terimini ve farkını biliyorsak, bu ilerlemenin herhangi bir terimini bulabiliriz.

Hatırlıyor musun? Bu basit sonuç çoğu sorunu çözmenize olanak sağlar okul kursu bu konu hakkında. Tüm görevler etrafında döner üç ana parametreler: Bir aritmetik ilerlemenin üyesi, bir ilerlemenin farkı, ilerlemenin bir üyesinin sayısı. Tüm.

Elbette önceki cebirlerin tümü iptal edilmez.) Eşitsizlikler, denklemler ve diğer şeyler ilerlemeye bağlıdır. Ancak ilerlemenin kendisine göre- her şey üç parametre etrafında dönüyor.

Örnek olarak bu konuyla ilgili bazı popüler görevlere bakalım.

2. n=5, d = 0,4 ve a 1 = 3,6 ise sonlu aritmetik ilerlemeyi bir seri olarak yazın.

Burada her şey basit. Her şey zaten verildi. Bir aritmetik dizinin üyelerinin nasıl sayıldığını hatırlamanız, saymanız ve yazmanız gerekir. Görev koşullarındaki kelimeleri kaçırmamanız tavsiye edilir: “final” ve “ n=5". Yüzün tamamen morarıncaya kadar saymamak için.) Bu ilerlemede yalnızca 5 (beş) üye var:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

4 = 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

5 = 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Cevabı yazmaya devam ediyor:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Başka bir görev:

3. 7 sayısının aritmetik ilerlemenin (a n) bir üyesi olup olmayacağını belirleyin: a 1 = 4,1; d = 1,2.

Hımm... Kim bilir? Bir şey nasıl belirlenir?

Nasıl-nasıl... İlerlemeyi bir seri halinde yazın ve orada yedi olup olmayacağını görün! Biz sayıyoruz:

a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

4 = 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Şimdi sadece yedi kişi olduğumuz açıkça görülüyor içinden geçti 6,5 ile 7,7 arasında! Yedi, sayı dizimize girmedi ve bu nedenle yedi, verilen ilerlemenin bir üyesi olmayacak.

Cevap: hayır.

İşte buna dayalı bir sorun gerçek seçenek- GIA:

4. Aritmetik ilerlemenin birkaç ardışık terimi yazılır:

...; 15; X; 9; 6; ...

İşte sonu ve başlangıcı olmayan yazılmış bir seri. Üye sayısı yok, fark yok D. Önemli değil. Sorunu çözmek için aritmetik ilerlemenin anlamını anlamak yeterlidir. Hadi bakalım ve neyin mümkün olduğunu görelim bilmek bu seriden mi? Üç ana parametre nedir?

Üye numaraları? Burada tek bir numara yok.

Ama üç sayı var ve - dikkat! - kelime "tutarlı" durumda. Bu, sayıların boşluksuz, kesinlikle sıralı olduğu anlamına gelir. Bu sırada iki tane mi var? komşu bilinen sayılar? Evet, yaptım! Bunlar 9 ve 6'dır. Dolayısıyla aritmetik ilerlemenin farkını hesaplayabiliriz! Altıdan çıkar öncesi sayı, yani dokuz:

Geriye sadece önemsiz şeyler kaldı. X'in bir önceki sayısı hangi sayı olacak? On beş. Bu, X'in basit toplama işlemiyle kolayca bulunabileceği anlamına gelir. Aritmetik ilerlemenin farkını 15'e ekleyin:

İşte bu. Cevap: x=12

Aşağıdaki sorunları kendimiz çözüyoruz. Not: Bu problemler formüllere dayalı değildir. Sırf aritmetik ilerlemenin anlamını anlamak için.) Sadece bir dizi rakam ve harf yazıyoruz, bakıp anlıyoruz.

5. a 5 = -3 ise aritmetik ilerlemenin ilk pozitif terimini bulun; d = 1.1.

6. 5,5 sayısının aritmetik ilerlemenin (an n) bir üyesi olduğu bilinmektedir; burada a 1 = 1,6; d = 1,3. Bu terimin n sayısını belirleyin.

7. Aritmetik ilerlemede a 2 = 4 olduğu bilinmektedir; 5 = 15,1. 3'ü bulun.

8. Aritmetik ilerlemenin birkaç ardışık terimi yazılmıştır:

...; 15.6; X; 3.4; ...

İlerlemenin x harfiyle gösterilen terimini bulun.

9. Tren, hızını dakikada 30 metre artırarak istasyondan hareket etmeye başladı. Beş dakika sonra trenin hızı ne olacak? Cevabınızı km/saat cinsinden verin.

10. Aritmetik ilerlemede a 2 = 5 olduğu bilinmektedir; a 6 = -5. 1'i bul.

Cevaplar (karışıklık içinde): 7.7; 7.5; 9.5; 9; 0,3; 4.

Her şey yolunda gitti mi? İnanılmaz! Daha fazlası için aritmetik ilerlemede ustalaşabilirsiniz yüksek seviye, aşağıdaki derslerde.

Her şey yolunda gitmedi mi? Sorun değil. Özel Bölüm 555'te tüm bu sorunlar parça parça açıklanmıştır.) Ve elbette basit bir pratik teknik, bu tür görevlerin çözümünü bir bakışta açıkça, net bir şekilde vurgulayan!

Bu arada, tren bulmacasında insanların sıklıkla karşılaştığı iki sorun var. Biri tamamen ilerleme açısından, ikincisi ise matematik ve fizikteki herhangi bir problem için geneldir. Bu, boyutların birinden diğerine çevrilmesidir. Bu sorunların nasıl çözülmesi gerektiğini gösteriyor.

Bu derste aritmetik ilerlemenin temel anlamına ve ana parametrelerine baktık. Bu, bu konudaki hemen hemen tüm sorunları çözmek için yeterlidir. Eklemek D sayılara seri yaz her şey çözülecek.

Parmak çözümü, bu dersteki örneklerde olduğu gibi, sıranın çok kısa parçaları için işe yarar. Seri uzunsa hesaplamalar daha karmaşık hale gelir. Örneğin, değiştirdiğiniz sorudaki 9. problemde "beş dakika" Açık "otuz beş dakika" sorun önemli ölçüde daha da kötüleşecektir.)

Ayrıca özünde basit ancak hesaplamalar açısından saçma olan görevler de vardır, örneğin:

Aritmetik ilerleme (a n) verilmiştir. a 1 =3 ve d=1/6 ise 121'i bulun.

Peki 1/6'yı defalarca mı toplayacağız? Kendini öldürebilirsin!?

Yapabilirsin.) Bilmiyorsan basit formül, bu tür görevleri bir dakika içinde çözmenize olanak tanır. Bu formül bir sonraki derste olacak. Ve bu sorun orada çözüldü. Bir dakika içinde.)

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

I. V. Yakovlev | Matematik materyalleri | MathUs.ru

Aritmetik ilerleme

Aritmetik ilerleme özel bir dizi türüdür. Bu nedenle, aritmetik (ve ardından geometrik) ilerlemeyi tanımlamadan önce, önemli sayı dizisi kavramını kısaca tartışmamız gerekiyor.

Alt sıra

Ekranında belirli sayıların birbiri ardına görüntülendiği bir cihaz düşünün. 2 diyelim; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Bu sayı kümesi tam olarak bir dizi örneğidir.

Tanım. Sayı dizisi, her sayıya benzersiz bir sayının atanabileceği (yani tek bir doğal sayıyla ilişkili)1 bir sayı kümesidir. n numaralı sayıya denir n'inci terim diziler.

Yani yukarıdaki örnekte ilk sayı 2'dir, bu dizinin ilk üyesidir ve a1 ile gösterilebilir; beş rakamı 6 rakamına sahiptir, dizinin beşinci terimidir ve a5 ile gösterilebilir. Genel olarak bir dizinin n'inci terimi an (veya bn, cn, vb.) ile gösterilir.

Dizinin n'inci teriminin bir formülle belirlenebildiği durum çok uygun bir durumdur. Örneğin, an = 2n 3 formülü şu diziyi belirtir: 1; 1; 3; 5; 7; : : : an = (1)n formülü şu sırayı belirtir: 1; 1; 1; 1; : : :

Her sayı kümesi bir dizi değildir. Dolayısıyla bir parça bir dizi değildir; yeniden numaralandırılamayacak kadar çok sayıda sayı içeriyor. Tüm reel sayıların R kümesi de bir dizi değildir. Bu gerçekler matematiksel analiz sırasında kanıtlanmıştır.

Aritmetik ilerleme: temel tanımlar

Artık aritmetik ilerlemeyi tanımlamaya hazırız.

Tanım. Aritmetik ilerleme, her terimin (ikinciden başlayarak) önceki terimin ve bazı sabit sayıların (aritmetik ilerlemenin farkı olarak adlandırılır) toplamına eşit olduğu bir dizidir.

Örneğin dizi 2; 5; 8; 11; : : : ilk terimi 2 ve farkı 3 olan bir aritmetik ilerlemedir. Sıra 7; 2; 3; 8; : : : ilk terimi 7 ve farkı 5 olan bir aritmetik ilerlemedir. Sıra 3; 3; 3; : : : farkı sıfıra eşit olan bir aritmetik ilerlemedir.

Eşdeğer tanım: an+1 an farkı sabit bir değerse (n'den bağımsız) bir an dizisine aritmetik ilerleme denir.

Aritmetik ilerlemeye farkı pozitifse artan, farkı negatifse azalan denir.

1 Ama burada daha kısa bir tanım var: Bir dizi, doğal sayılar kümesinde tanımlanan bir fonksiyondur. Örneğin, gerçek sayılar dizisi bir f: N fonksiyonudur! R.

Varsayılan olarak dizilerin sonsuz olduğu, yani sonsuz sayıda sayı içerdiği kabul edilir. Ancak hiç kimse bizi sonlu dizileri dikkate alma zahmetine sokmuyor; aslında herhangi bir sonlu sayı kümesine sonlu bir dizi denilebilir. Örneğin bitiş sırası 1'dir; 2; 3; 4; 5 beş sayıdan oluşur.

Aritmetik ilerlemenin n'inci terimi için formül

Aritmetik ilerlemenin tamamen iki sayıyla belirlendiğini anlamak kolaydır: ilk terim ve fark. Bu nedenle şu soru ortaya çıkıyor: İlk terimi ve farkı bilerek, aritmetik ilerlemenin keyfi bir terimini nasıl buluruz?

Bir aritmetik ilerlemenin n'inci terimi için gerekli formülü elde etmek zor değildir. izin ver

farkla aritmetik ilerleme d. Sahibiz:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :):
Özellikle şunu yazıyoruz:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
ve şimdi a'nın formülünün şu olduğu ortaya çıkıyor:
an = a1 + (n 1)d:

Problem 1. Aritmetik ilerleme 2'de; 5; 8; 11; : : : n'inci terimin formülünü bulun ve yüzüncü terimi hesaplayın.

Çözüm. Formül (1)'e göre elimizde:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Aritmetik ilerlemenin özelliği ve işareti

Aritmetik ilerlemenin özelliği. Aritmetik ilerlemede ve herhangi biri için

Başka bir deyişle, bir aritmetik ilerlemenin her üyesi (ikincisinden başlayarak) komşu üyelerinin aritmetik ortalamasıdır.

	Kanıt. Sahibiz:
	bir n 1+ bir n+1		(ve d) + (an + d)

gerekli olan da buydu.

Daha genel anlamda, aritmetik ilerleme an eşitliği sağlar

a n = a n k+ a n+k

herhangi bir n > 2 ve herhangi bir doğal k için< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Formül (2)'nin, dizinin aritmetik bir ilerleme olması için yalnızca gerekli değil, aynı zamanda yeterli bir koşul olarak hizmet ettiği ortaya çıktı.

Aritmetik ilerleme işareti. Eşitlik (2) tüm n > 2 için geçerliyse, an dizisi bir aritmetik ilerlemedir.

Kanıt. Formül (2)'yi şu şekilde yeniden yazalım:

a na n 1= a n+1a n:

Buradan an+1 an farkının n'ye bağlı olmadığını görebiliriz ve bu tam olarak an dizisinin aritmetik bir ilerleme olduğu anlamına gelir.

Aritmetik ilerlemenin özelliği ve işareti tek bir ifade biçiminde formüle edilebilir; Kolaylık sağlamak için bunu üç sayı için yapacağız (bu, problemlerde sıklıkla karşılaşılan bir durumdur).

Aritmetik ilerlemenin karakterizasyonu. Üç a, b, c sayısı ancak ve ancak 2b = a + c ise bir aritmetik ilerleme oluşturur.

Problem 2. (MSU, İktisat Fakültesi, 2007) Belirtilen sıraya göre 8x, 3x2 ve 4 numaralı üç sayı azalan bir aritmetik dizi oluşturuyor. X'i bulun ve bu ilerlemenin farkını belirtin.

Çözüm. Aritmetik ilerlemenin özelliği gereği elimizde:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:

Eğer x = 1 ise 6 farkla 8, 2, 4'lük azalan bir ilerleme elde ederiz. Eğer x = 5 ise 40, 22, 4'lük artan bir ilerleme elde ederiz; bu durum uygun değildir.

Cevap: x = 1, fark 6'dır.

Bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı

Efsaneye göre bir gün öğretmen çocuklara 1'den 100'e kadar olan sayıların toplamını bulmalarını söyler ve sessizce oturup gazete okur. Ancak birkaç dakika içinde bir çocuk sorunu çözdüğünü söyledi. Bu kişi, daha sonra tarihteki en büyük matematikçilerden biri olacak olan 9 yaşındaki Carl Friedrich Gauss'du.

Küçük Gauss'un fikri şuydu. İzin vermek

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Bu tutarı tersten yazalım:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

ve şu iki formülü ekleyin:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Parantez içindeki her terim 101'e eşittir ve toplamda 100 tane terim vardır.

2S = 101 100 = 10100;

Toplam formülünü türetmek için bu fikri kullanırız

S = a1 + a2 + : : : + an + an n n: (3)

Eğer n'inci terim an = a1 + (n 1)d'nin formülünü yerine koyarsak, formül (3)'ün faydalı bir modifikasyonu elde edilir:

		2a1 + (n 1)d

Problem 3. 13'e bölünebilen tüm üç basamaklı pozitif sayıların toplamını bulun.

Çözüm. Üç basamaklı sayılar 13'ün katları, birinci terim (104) ve fark (13) ile bir aritmetik ilerleme oluşturur; Bu ilerlemenin n'inci terimi şu şekildedir:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

İlerlememizin kaç terim içerdiğini bulalım. Bunu yapmak için eşitsizliği çözelim:

bir 6 999; 91 + 13n 6 999;

n6 90813 = 691113; numara 6 69:

Yani ilerlememizde 69 üye var. Formül (4)'ü kullanarak gerekli miktarı buluruz:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Ne asıl nokta formüller?

Bu formül bulmanızı sağlar herhangi NUMARASIYLA " N" .

Elbette ilk terimi de bilmeniz gerekir. 1 ve ilerleme farkı D, bu parametreler olmadan belirli bir ilerlemeyi yazamazsınız.

Bu formülü ezberlemek (veya not etmek) yeterli değildir. Bunun özünü anlamanız ve formülü çeşitli problemlere uygulamanız gerekir. Ve ayrıca doğru zamanda unutmamak gerekir, evet...) Nasıl unutma- Bilmiyorum. Ancak nasıl hatırlanır Gerekirse size mutlaka tavsiyede bulunacağım. Dersi sonuna kadar tamamlayanlar için.)

Şimdi aritmetik ilerlemenin n'inci teriminin formülüne bakalım.

Genel olarak formül nedir? Bu arada okumadıysanız bir göz atın. Orada her şey basit. Ne olduğunu anlamaya devam ediyor n'inci dönem.

İlerleme genel olarak bir sayı dizisi olarak yazılabilir:

bir 1, bir 2, bir 3, bir 4, bir 5, .....

1- aritmetik ilerlemenin ilk terimini belirtir, 3- üçüncü üye, 4- dördüncü vb. Beşinci dönemle ilgileniyorsak diyelim ki çalışıyoruz. 5, eğer yüz yirminci - s 120.

Genel hatlarıyla nasıl tanımlayabiliriz? herhangi aritmetik ilerleme terimi, herhangi sayı? Çok basit! Bunun gibi:

BİR

işte bu Bir aritmetik ilerlemenin n'inci terimi. N harfi tüm üye numaralarını aynı anda gizler: 1, 2, 3, 4 vb.

Peki böyle bir kayıt bize ne veriyor? Düşünün, sayı yerine mektup yazdılar...

Bu gösterim bize aritmetik ilerlemeyle çalışmak için güçlü bir araç sağlar. Gösterimi kullanma BİR, hızlı bir şekilde bulabiliriz herhangiüye herhangi aritmetik ilerleme. Ve bir sürü başka ilerleme problemini çözün. Daha fazlasını kendiniz göreceksiniz.

Aritmetik ilerlemenin n'inci terimi formülünde:

a n = a 1 + (n-1)d

1- aritmetik ilerlemenin ilk terimi;

N- üye numarası.

Formül, herhangi bir ilerlemenin temel parametrelerini birbirine bağlar: BİR ; bir 1; D Ve N. Tüm ilerleme sorunları bu parametreler etrafında döner.

N'inci terim formülü aynı zamanda belirli bir ilerlemeyi yazmak için de kullanılabilir. Örneğin problem, ilerlemenin koşul tarafından belirtildiğini söyleyebilir:

a n = 5 + (n-1) 2.

Böyle bir sorun çıkmaz sokak olabilir... Ne bir seri ne de bir fark vardır... Ama durumu formülle karşılaştırınca bu gidişatın ne olduğunu anlamak kolaydır. a 1 =5 ve d=2.

Hatta daha da kötüsü olabilir!) Aynı koşulu alırsak: a n = 5 + (n-1) 2, Evet, parantezleri açıp benzerlerini getirir misiniz? Yeni bir formül elde ediyoruz:

bir n = 3 + 2n.

Bu Sadece genel değil, belirli bir ilerleme için. İşte tuzak burada gizleniyor. Bazıları ilk terimin üç olduğunu düşünüyor. Gerçekte ilk terim beş olmasına rağmen... Biraz daha düşük, böyle değiştirilmiş bir formülle çalışacağız.

İlerleme problemlerinde başka bir gösterim daha var - bir n+1. Bu, tahmin ettiğiniz gibi ilerlemenin “n artı birinci” terimidir. Anlamı basit ve zararsızdır.) Bu, sayısı n sayısından bir büyük olan dizinin bir üyesidir. Örneğin, eğer bir problemde alırsak BİR o zaman beşinci dönem bir n+1 altıncı üye olacak. Ve benzeri.

Çoğu zaman atama bir n+1 yineleme formüllerinde bulunur. Bundan korkma korkunç kelime!) Bu sadece aritmetik ilerlemenin bir üyesini ifade etmenin bir yoludur bir önceki aracılığıyla. Tekrarlanan bir formül kullanılarak bize bu biçimde bir aritmetik ilerleme verildiğini varsayalım:

bir n+1 = bir n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11

Dördüncüden üçüncüye, beşinciden dördüncüye vb. Mesela yirminci terimi hemen nasıl sayabiliriz? 20? Ama mümkün değil!) 19. dönemi bulana kadar 20. dönemi sayamayız. işte bu temel fark n'inci terimin formülünden tekrarlanan formül. Tekrarlanan işler yalnızca aracılığıyla öncesi terim ve n'inci terimin formülü Birinci ve izin verir hemen herhangi bir üyeyi numarasına göre bulun. Tüm sayı dizisini sırayla hesaplamadan.

Aritmetik ilerlemede tekrarlanan bir formülü düzenli bir formüle dönüştürmek kolaydır. Ardışık bir çift terimi sayın, farkı hesaplayın D, gerekirse ilk terimi bulun 1, formülü her zamanki haliyle yazın ve onunla çalışın. Bu tür görevlere Devlet Bilimler Akademisi'nde sıklıkla rastlanmaktadır.

Bir aritmetik ilerlemenin n'inci terimi için formülün uygulanması.

Öncelikle formülün doğrudan uygulamasına bakalım. Önceki dersin sonunda bir sorun vardı:

Aritmetik ilerleme (a n) verilmiştir. a 1 =3 ve d=1/6 ise 121'i bulun.

Bu problem herhangi bir formül olmadan, sadece aritmetik ilerlemenin anlamına dayanarak çözülebilir. Ekle ve ekle... Bir veya iki saat.)

Ve formüle göre çözüm bir dakikadan az sürecek. Zamanlamasını ayarlayabilirsiniz.) Hadi karar verelim.

Koşullar formülün kullanılmasına ilişkin tüm verileri sağlar: a 1 =3, d=1/6. Neyin eşit olduğunu bulmaya devam ediyor N. Soru yok! bulmamız lazım 121. O halde şunu yazıyoruz:

Lütfen dikkat edin! Bir indeks yerine N belirli bir sayı ortaya çıktı: 121. Bu oldukça mantıklı.) Aritmetik ilerlemenin üyesiyle ilgileniyoruz yüz yirmi bir numara. Bu bizim olacak N. anlamı bu N= 121'i formülde parantez içinde değiştireceğiz. Tüm sayıları formülde yerine koyarız ve hesaplarız:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

İşte bu. Beş yüz onuncu terimi ve bin üçüncü terimi de aynı hızla bulabiliriz. Onun yerine koyduk N" harfinin yanındaki dizinde istenilen sayı A" ve parantez içinde sayıyoruz.

Size şu noktayı hatırlatmama izin verin: bu formül bulmanızı sağlar herhangi aritmetik ilerleme terimi NUMARASIYLA " N" .

Sorunu daha kurnaz bir şekilde çözelim. Aşağıdaki sorunla karşılaşalım:

a 17 =-2 ise, aritmetik ilerlemenin ilk terimini (a n) bulun; d=-0,5.

Herhangi bir zorlukla karşılaşırsanız size ilk adımı anlatacağım. Aritmetik ilerlemenin n'inci teriminin formülünü yazın! Evet, evet. Ellerinizle doğrudan not defterinize yazın:

a n = a 1 + (n-1)d

Ve şimdi formülün harflerine baktığımızda hangi verilere sahip olduğumuzu ve neyin eksik olduğunu anlıyoruz? Mevcut d=-0,5, on yedinci bir üye var... Öyle mi? Eğer böyle düşünürsen sorunu çözemezsin, evet...

Hala bir numaramız var N! Durumda 17 =-2 gizlenmiş iki parametre. Bu hem on yedinci terimin değeri (-2) hem de sayısıdır (17). Onlar. n=17. Bu "önemsiz şey" çoğu zaman kafanın yanından geçer ve o olmadan ("önemsiz" olmadan, kafa değil!) sorun çözülemez. Yine de... ve kafasız da.)

Artık verilerimizi aptalca bir şekilde formüle koyabiliriz:

a 17 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Ah evet, 17-2 olduğunu biliyoruz. Tamam, yerine koyalım:

-2 = a 1 + (17-1)·(-0,5)

Temelde hepsi bu. Geriye formülden aritmetik ilerlemenin ilk terimini ifade etmek ve hesaplamak kalıyor. Cevap şöyle olacaktır: 1 = 6.

Bir formül yazmak ve bilinen verileri basitçe yerine koymaktan oluşan bu teknik, basit görevlerde çok yardımcı olur. Elbette bir değişkeni formülden ifade edebilmeniz gerekiyor ama ne yapmalısınız? Bu beceri olmadan matematik hiç çalışılmayabilir...

Bir başka popüler bulmaca:

a 1 =2 ise, aritmetik ilerlemenin (a n) farkını bulun; 15 =12.

Ne yapıyoruz? Şaşıracaksınız, formülü yazıyoruz!)

a n = a 1 + (n-1)d

Bildiklerimizi düşünelim: a 1 =2; a 15 =12; ve (özellikle vurgulayacağım!) n=15. Bunu formülde değiştirmekten çekinmeyin:

12=2 + (15-1)d

Aritmetik yapıyoruz.)

12=2 + 14d

D=10/14 = 5/7

Bu doğru cevaptır.

Yani, görevler bir n, bir 1 Ve D karar verilmiş. Geriye kalan tek şey numarayı nasıl bulacağınızı öğrenmek:

99 sayısı aritmetik ilerlemenin (an) bir üyesidir; burada a 1 =12; d=3. Bu üyenin numarasını bulun.

Bildiğimiz miktarları n'inci terimin formülüne koyarız:

a n = 12 + (n-1) 3

İlk bakışta burada bilinmeyen iki büyüklük var: bir n ve n. Ancak BİR- bu bir sayı ile ilerlemenin bir üyesidir N...Ve ilerlemenin bu üyesini tanıyoruz! 99. Numarasını bilmiyoruz. N, Yani bulmanız gereken şey bu sayıdır. 99 ilerlemesinin terimini formülde değiştiririz:

99 = 12 + (n-1)3

Formülden ifade ediyoruz N, düşünüyoruz. Cevabını alıyoruz: n=30.

Şimdi de aynı konuyla ilgili bir problem ama daha yaratıcı):

117 sayısının aritmetik ilerlemenin (a n) bir üyesi olup olmadığını belirleyin:

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Formülü tekrar yazalım. Ne, hiç parametre yok mu? Hım... Neden gözler veriliyor bize?) İlerlemenin ilk dönemini görüyor muyuz? Görüyoruz. Bu -3.6. Güvenle yazabilirsiniz: 1 = -3,6. Fark D Diziden anlayabilir misiniz? Aritmetik ilerlemenin farkının ne olduğunu biliyorsanız bunu yapmak kolaydır:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Yani en basit şeyi yaptık. Bilinmeyen numarayla uğraşmaya devam ediyor N ve anlaşılmaz sayı olan 117. Bir önceki problemde en azından verilen ilerlemenin terimi olduğu biliniyordu. Ama burada onu bile bilmiyoruz... Ne yapmalı!? Peki ne yapmalı, ne yapmalı... Aç yaratıcılık!)

Biz sanmak sonuçta 117 bizim ilerleyişimizin bir üyesi. Bilinmeyen bir numarayla N. Ve tıpkı önceki problemde olduğu gibi bu sayıyı bulmaya çalışalım. Onlar. formülü yazıyoruz (evet, evet!) ve sayılarımızı değiştiriyoruz:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Yine formülden ifade ediyoruzN, sayarız ve şunu elde ederiz:

Hata! Sayı ortaya çıktı kesirli! Yüz bir buçuk. Ve ilerlemelerdeki kesirli sayılar olmaz. Hangi sonuca varabiliriz? Evet! 117 numara değil ilerlememizin bir üyesi. Yüz birinci terim ile yüz ikinci terim arasında bir yerdedir. Sayı doğal çıkarsa, yani. pozitif bir tam sayı ise sayı, bulunan sayı ile ilerlemenin bir üyesi olacaktır. Ve bizim durumumuzda sorunun cevabı şöyle olacaktır: HAYIR.

GIA'nın gerçek versiyonunu temel alan bir görev:

Aritmetik ilerleme şu koşulla verilir:

a n = -4 + 6,8n

İlerlemenin birinci ve onuncu terimlerini bulun.

Burada ilerleme alışılmadık bir şekilde ayarlanıyor. Bir çeşit formül... Olur.) Ancak bu formül (yukarıda yazdığım gibi) - ayrıca bir aritmetik ilerlemenin n'inci teriminin formülü! O da izin veriyor ilerlemenin herhangi bir üyesini numarasına göre bulun.

İlk üyeyi arıyoruz. Düşünen kişi. ilk terimin eksi dört olması büyük bir yanılgıdır!) Çünkü problemdeki formül değiştirildi. Aritmetik ilerlemenin ilk terimi gizlenmiş. Sorun değil, şimdi bulacağız.)

Daha önceki problemlerde olduğu gibi yerine n=1 bu formüle:

a 1 = -4 + 6,8 1 = 2,8

Burada! İlk terim -4 değil 2,8!

Onuncu terimi de aynı şekilde arıyoruz:

a 10 = -4 + 6,8 10 = 64

İşte bu.

Ve şimdi bu satırları okuyanlar için vaat edilen bonus.)

Diyelim ki, Devlet Sınavı veya Birleşik Devlet Sınavı'nın zor bir savaş durumunda, aritmetik ilerlemenin n'inci dönemi için yararlı formülü unuttunuz. Bir şey hatırlıyorum ama bir şekilde emin olamıyorum... Veya N orada veya n+1 veya n-1... Nasıl olunur?

Sakinlik! Bu formülün türetilmesi kolaydır. Çok katı bir şekilde değil ama güven için ve doğru karar kesinlikle yeterli!) Bir sonuca varmak için aritmetik ilerlemenin temel anlamını hatırlamak ve birkaç dakikalık zamanınız olması yeterlidir. Sadece bir resim çizmeniz yeterli. Netlik için.

Bir sayı doğrusu çizin ve ilkini işaretleyin. ikinci, üçüncü vb. üyeler. Ve farkı not ediyoruz Düyeler arasında. Bunun gibi:

Resme bakıyoruz ve düşünüyoruz: İkinci terim neye eşittir? Saniye bir D:

A 2 =a 1 + 1 D

Üçüncü terim nedir? Üçüncü terim eşittir ilk terim artı iki D.

A 3 =a 1 + 2 D

Anladın mı? Bazı kelimeleri kalın harflerle vurgulamam boşuna değil. Tamam, bir adım daha).

Dördüncü terim nedir? Dördüncü terim eşittir ilk terim artı üç D.

A 4 =a 1 + 3 D

Boşlukların sayısının, yani. D, Her zaman Aradığınız üye sayısından bir eksik N. Yani sayıya n, boşluk sayısı irade n-1. Bu nedenle formül şu şekilde olacaktır (değişiklikler olmadan!):

a n = a 1 + (n-1)d

Genel olarak görsel resimler matematikteki birçok problemin çözümünde oldukça faydalıdır. Resimleri ihmal etmeyin. Ancak bir resim çizmek zorsa, o zaman... sadece bir formül!) Ek olarak, n'inci terimin formülü, matematiğin tüm güçlü cephaneliğini çözüme - denklemler, eşitsizlikler, sistemler vb. - bağlamanıza olanak tanır. Denkleme resim ekleyemezsiniz...

Bağımsız çözüm için görevler.

Isınmak için:

1. Aritmetik ilerlemede (a n) a 2 =3; a 5 =5,1. 3'ü bulun.

İpucu: Resme göre sorun 20 saniyede çözülebilir... Formüle göre daha zor çıkıyor. Ancak formüle hakim olmak için daha kullanışlıdır.) Bölüm 555'te bu sorun hem resim hem de formül kullanılarak çözülmektedir. Farkı hissedin!)

Ve bu artık bir ısınma değil.)

2. Aritmetik ilerlemede (an) a 85 =19,1; a 236 =49, 3. a 3'ü bulun.

Ne, resim çizmek istemiyor musun?) Elbette! Formüle göre daha iyi, evet...

3. Aritmetik ilerleme şu koşulla verilir:a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Bu ilerlemenin yüz yirmi beşinci terimini bulun.

Bu görevde ilerleme yinelenen bir şekilde belirtilir. Ama yüz yirmi beşinci döneme kadar sayarsak... Herkes böyle bir başarıya sahip değildir.) Ama n'inci dönemin formülü herkesin gücündedir!

4. Aritmetik ilerleme (a n) verildiğinde:

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

İlerlemenin en küçük pozitif teriminin sayısını bulun.

5. Görev 4'ün koşullarına göre ilerlemenin en küçük pozitif ve en büyük negatif terimlerinin toplamını bulun.

6. Artan bir aritmetik ilerlemenin beşinci ve on ikinci terimlerinin çarpımı -2,5, üçüncü ve on birinci terimlerin toplamı sıfırdır. 14'ü bulun.

En kolay iş değil evet...) “Parmak ucu” yöntemi burada işe yaramayacak. Formüller yazmanız ve denklemleri çözmeniz gerekecek.

Cevaplar (karışıklık içinde):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

İşe yaradı mı? Çok hoş!)

Her şey yolunda gitmiyor mu? Olur. Bu arada son görevde ince bir nokta var. Sorunu okurken dikkatli olunması gerekecektir. Ve mantık.

Tüm bu sorunların çözümü Bölüm 555'te ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Dördüncüsü için fantezi unsuru, altıncısı için ince nokta ve n'inci terimin formülünü içeren herhangi bir problemin çözümü için genel yaklaşımlar - her şey anlatılmıştır. Tavsiye ederim.

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.