γ+(90° +γ/2) =180°, yani γ = 60°. Bu durumda akorlar O.A.
1
Ve doğum günü 1
bir dörtgenin çevrel çemberi OA 1
kuzeydoğu 1
eşit çünkü açıları eşit OKA
1
Ve TUZ 1
.
Yazılı daire Δ ABC iç noktalarda yanlarına dokunuyor. Üç çizgiye dokunan ne tür daireler olduğunu bulalım AB, BC Ve SA. Kesişen iki çizgiye teğet bir dairenin merkezi, orijinal çizgiler arasındaki açıları ikiye bölen iki çizgiden birinin üzerinde yer alır. Bu nedenle düz çizgilere teğet olan dairelerin merkezleri AB, BC Ve SA,üçgenin dış veya iç açılarının (veya uzantılarının) açıortayları üzerinde uzanır. Herhangi iki dış açının açıortayının kesişme noktasından bir iç açının açıortayı geçer. Bu ifadenin ispatı, iç açıların açı ortayları için ilgili ifadenin ispatını kelimesi kelimesine tekrarlamaktadır. Sonuç olarak O merkezli 4 daire elde ederiz, HAKKINDA A , Ah Ve HAKKINDA İle
(Şekil 57). Merkezi olan daire HAKKINDA A
yan tarafa dokunuyor Güneş Ve
tarafların devamı AB Ve alternatif akım; bu daireye denir kayıtsız
çevre Δ ABC. Bir üçgenin yazılı dairesinin yarıçapı genellikle r ile gösterilir ve dış dairelerin yarıçapı r ile gösterilir. A ,
G B ve g İle .
Yazılı ve dış çember dairelerin yarıçapları arasında aşağıdaki ilişkiler geçerlidir:
G /
gs =(р-с)/р ve G
G İle =(p - a) (p - b), Nerede R- yarı çevre Δ ABC. Hadi kanıtlayalım. K ve L yazılı olanın teğet noktaları olsun ve çizgiyle daire içine alsın Güneş(Şekil 58). Sağ Üçgenler SUYU Ve CO
C
L
benzerdir, bu nedenle
G /
gs =Tamam/O İle L
=
CK
/
C.L.
..
Daha önce SC = (a+b-c)/2=p-c olduğu kanıtlanmıştı.
Bunu kontrol etmek için kalır C.L.
=
P
.
İzin vermek M Ve R- düz çizgilerle bir dış çemberin teğet noktaları AB Ve AC. Daha sonra
CL= (CL+CP)/ 2 = (CB+BL+CA+AP)/2 = (CB+BM + CA+AM)/2 = R
İlişkiyi kanıtlamak için rr
C
=(P
-
A
)(P
-
B
)
dik üçgenleri düşünün L.O.
C
B
Ve KVO, bunlar benzer çünkü
<OBK
+<
O
C
B.L.
=(<СВА + <АВ
L
)/2=90°.
Araç, L O s /ВL =BK /KO, yani. rr
C
=
K.O.
·
L.O.
C
=
B.K.
·
B.L.
.
Şunu belirtmek gerekir ki VK=(A
+
C
-
B
)/2=
P
-
B
Ve B.L.
=
C.L.
-
C.B.
=
P
-
A
.
İlginç bir özelliğe daha değinelim (zaten yol boyunca kanıtlanmış). Yazılı ve dış çemberin yan tarafa değmesine izin verin AB noktalarda N Ve M(Şekil 58). Daha sonra sabah
=
BN
.
Aslında, BN
=
P
-
B
Ve AM=AR=SR-AS=p - c.
Oranlar rr
C
=(P
- A)(P-V )
Ve R
p=R
İle (P-c) Heron formülünü türetmek için kullanılabilir S
2
=
P
(P
-
A
)(P
-
B
)(P
-
C
),
Nerede S
- üçgenin alanı. Bu oranları çarparak şunu elde ederiz: R
2
P
=(P
-
A
)(P
-
B
)(P
-
C
).
Bunu kontrol etmek için kalır S
=
halkla ilişkiler
.
Bu, Δ kesilerek kolayca yapılabilir. ABC Açık ΔAOB,
ΔBOS Ve ΔSOA.
ORTA KESİŞİM NOKTASI
Bir üçgenin kenarortaylarının bir noktada kesiştiğini kanıtlayalım. Bunun için şu noktayı göz önünde bulundurun M, medyanların kesiştiği yerde AA 1
Ve BB 1
.
Δ'da gerçekleştirelim BB1S orta hat A
1
A
2
,
paralel BB 1
(Şekil 59). Daha sonra A
1
M
:
sabah
=
B
1
A
2
:
AB
1
=
B
1
A
2
:
B
1
C
=
B.A.
1
:VS=1:2, yani medyanların kesişme noktası BB 1
Ve AA 1
ortancayı böler AA 1
1:2 oranında. Benzer şekilde medyanların kesişme noktası SS 1
Ve AA 1
ortancayı böler AA 1
1:2 oranında. Bu nedenle medyanların kesişme noktası AA 1
Ve BB 1
medyanların kesişme noktasıyla çakışıyor AA 1
Ve SS 1
.
Bir üçgenin kenarortaylarının kesişme noktası köşelere bağlıysa, üçgen eşit alanlı üç üçgene bölünecektir. Aslında bunu kanıtlamak yeterlidir R- ortancanın herhangi bir noktası AA 1
V ABC, daha sonra alan ΔAVR Ve ΔACP eşittir. Sonuçta ortancalar AA 1
Ve RA 1
Δ'da ABC ve Δ RVS bunları eşit alanlı üçgenlere bölün.
Tersi ifade de doğrudur: eğer bir noktada R, içeride uzanmak ABC, alan Δ AVR, Δ
HRV Ve ΔSAR o zaman eşittir R- medyanların kesişme noktası. Aslında alanların eşitliğinden ΔAVR Ve ΔHRV A ve C noktalarından düz çizgiye olan mesafeler şu şekildedir: Sanal Gerçeklik eşittir, yani Sanal Gerçeklik segmentin ortasından geçer AC.İçin AR Ve SR kanıt benzerdir.
Kenarortayların üçgeni böldüğü üçgenlerin alanlarının eşitliği, kenarortaylardan oluşan bir üçgenin alanlarının oranını aşağıdaki gibi bulmamızı sağlar. ΔABC,Δ'nın kendisinin S alanına ABC.İzin vermek M- medyanların kesişme noktası Δ ABC; nokta A" simetrik A noktaya göre M(Şek. 60)
Bir yandan bölge ΔA"MS S/3'e eşittir. Öte yandan bu üçgen, her birinin uzunluğu karşılık gelen ortancanın uzunluğunun 2/3'üne eşit olan parçalardan oluşur; dolayısıyla alanı
(2/3) 2'ye eşit s = 4s /9. Buradan, S
=3
S
/4.
Medyanların kesişme noktasının çok önemli bir özelliği, buradan üçgenin köşelerine giden üç vektörün toplamının sıfıra eşit olmasıdır. Öncelikle şunu belirtelim AM=1/3(AB+AC), Nerede M- medyanların kesişme noktası Δ
ABC
.
Aslında eğer
ABA
"İLE- paralelkenar, o halde AA"=AB+AC Ve AM=1/3AA". Bu yüzden MA+MV+MC=1/3(BA+SA+AB + SV + AC + BC) = 0.
Ayrıca sadece medyanların kesişme noktasının bu özelliğe sahip olduğu açıktır, çünkü eğer X
- o zaman başka bir nokta
HA+XB+XC=(XM+MA)+(XM+MV)+(XM+MS)=3ХМ..
Bir üçgenin kenarortaylarının kesişme noktasının bu özelliğini kullanarak aşağıdaki ifadeyi kanıtlayabiliriz: bir üçgenin kenarortaylarının kenarların orta noktalarındaki köşelerle kesişme noktası AB,CD
Ve E.F.
altıgen ABCDEF
üçgenin kenarortaylarının kenarların orta noktalarındaki köşelerle kesişme noktasıyla çakışır güneş,Almanya
Ve F.A.
.
Aslında, şu gerçeğin avantajını kullanmak, örneğin, R- segmentin ortası AB, o zaman herhangi bir nokta için X
eşitlik doğrudur HA+ HB=2ХР, Söz konusu her iki üçgenin kenarortaylarının kesişme noktalarının, onlardan altıgenin köşelerine giden vektörlerin toplamının sıfıra eşit olması özelliğine sahip olduğunu kanıtlamak kolaydır. Dolayısıyla bu noktalar çakışmaktadır.
Medyanların kesişme noktasının, onu üçgenin diğer dikkat çekici noktalarının arka planından keskin bir şekilde ayıran bir özelliği vardır: eğer Δ ABC" bir projeksiyondur ΔABC düzlem üzerinde, ardından medyanların kesişme noktası Δ Bir "B" C"
medyanların kesişme noktasının izdüşümüdür ΔABC aynı düzlemde. Bu, projeksiyon sırasında segmentin ortasının projeksiyonunun ortasına girmesinden kolaylıkla kaynaklanır, bu da üçgenin medyanının projeksiyonunun medyanına girdiği anlamına gelir. Ne açıortay ne de yükseklik bu özelliğe sahiptir.
Bir üçgenin kenarortaylarının kesişme noktasının onun kütle merkezi olduğu, hem üçgenin köşelerinde bulunan eşit kütleli üç malzeme noktasından oluşan bir sistemin kütle merkezi hem de üçgenin kütle merkezi olduğu unutulmamalıdır. belirli bir üçgene benzeyen bir plaka. Herhangi bir noktaya bağlı bir üçgenin denge konumu X
,
ışının olduğu bir konum olacak HM dünyanın merkezine doğru yönlendirilir. Kenarortayların kesişme noktasında mafsallı bir üçgen için herhangi bir konum bir denge konumudur. Ayrıca ortanca kesişme noktası iğne ucuna dayanan bir üçgen de denge konumunda olacaktır.
KESİMLERİN KESİŞİM NOKTASI
Yüksekliklerin Δ olduğunu kanıtlamak için ABC bir noktada kesişiyorsa, “Çevreli Çemberin Merkezi” bölümünün sonunda özetlenen ispat yolunu hatırlayın. Hadi sizi zirvelerden geçirelim A, B Ve İLE karşıt taraflara paralel düz çizgiler; bu çizgiler Δ'yi oluşturur A 1
İÇİNDE 1
İLE 1
(Şek. 61). Yükseklikler Δ ABC kenarlara dik açıortaylardır ΔA
1
B
1
C
1
.
Sonuç olarak, bir noktada kesişirler - çevrel çemberin merkezinde ΔA
1
B
1
C
1
.
Bir üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktasına bazen üçgen denir. ortomerkez.
-
H'nin Δ yüksekliklerinin kesişme noktası olup olmadığını kontrol etmek kolaydır. ABC, O A, B Ve İLE - yükseklik kesişme noktaları Δ VNS, ΔSNA ve Δ ANV sırasıyla.
Şu da açık ki<ABC
+ <
A.H.C.
=
180° çünkü <
B.A.
1
H
= <
M.Ö.
1
H
=90° (A
1
Ve C
1
- yükseklik tabanları). Eğer nokta H
1
düz çizgiye göre H noktasına simetrik klima, sonra bir dörtgen ABCN 1
yazılı. Bu nedenle, çevrelenmiş dairelerin yarıçapları Δ ABC ve Δ AN S eşittir ve bu daireler kenara göre simetriktir klima(Şek. 62). Bunu kanıtlamak artık çok kolay
AN=a|ctg A|, burada a=BC. Aslında,
AH=2R günah<
ACH=2R|çünkü A| =a|ctg A| .
Basitlik açısından şunu varsayalım ΔABC dar açılı ve Δ'yi düşünün A
1
B
1
C
1
,
yüksekliklerinin tabanlarından oluşur. Yazılı dairenin merkezinin Δ olduğu ortaya çıktı A
1
B
1
C
1
Δ yüksekliklerinin kesişme noktasıdır ABC, ve dış çevrelerin merkezleri
ΔA
1
B
1
C
1
Δ'nın köşeleridir ABC(Şekil 63). Puanlar A 1
Ve İÇİNDE 1
CH(köşelerden beri NV 1
S ve AÇIK 1
İLE düz), yani <
HA.
1
B
1
= <
HCB
1
.
Aynı şekilde<HA.
1
C
1
= <
HBC
1
.
Ve o zamandan beri<HCB
1
= =<
HBC
1
O A 1
A - açıortay<İÇİNDE 1
A 1
İLE 1
.
İzin vermek N- yüksekliklerin kesişme noktası AA 1
BB 1
Ve CC
1
üçgen ABC
.
Puanlar A
1
Ve İÇİNDE 1
çapı olan bir daire üzerinde uzanmak AB, Bu yüzden AH.
·
A
1
H
=
B.H.
·
B
1
H
. Aynı şekilde VNB
1
H
=CH ·C 1
N.
Dar bir üçgen için bunun tersi de doğrudur: eğer A 1 noktaları ise, B
1
Ve C
1
yanlara yat VS, SA ve AB dar açılı Δ ABC ve bölümler AA 1
BB 1
Ve SS 1
bir noktada kesişmek R, Ve AR A 1
Р=ВР·В 1
P=CP·S 1
R, O R- yüksekliklerin kesişme noktası. Aslında eşitlikten
AP ·A 1 P =BP ·B 1 P
şu şekildedir: noktalar A, B, A 1
Ve İÇİNDE 1
çapıyla aynı daire üzerinde uzanmak AB, bunun anlamı <
AB
1
B
= <
B.A.
1
A
=γ.
Aynı şekilde <
ACiC
=<
CAiA
=
β
Ve
<СВ
1
B=<ВС
1
C= α
(Şek. 64). Ayrıca açıktır ki α + β= CC
1
A
=
ben
80°, β+γ=180° ve γ + α = 180°. Bu nedenle, α = β=γ=90°.
Bir üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktası çok ilginç başka bir yolla belirlenebilir, ancak bunun için bir vektör ve vektörlerin skaler çarpımı kavramlarına ihtiyacımız var.
İzin vermek HAKKINDA- çevrel çemberin merkezi Δ ABC. Vektör toplamı O bir+ O.B.
+ İşletim Sistemi bir vektör, yani böyle bir nokta var R, Ne VEYA = OA + OB+OS. Görünüşe göre R- yüksekliklerin kesişme noktası Δ ABC!
Örneğin şunu kanıtlayalım: Erişim noktası
dik M.Ö.
.
Açık ki AR=AO+
+op=ao+(oa+ov+os)=ov+os ve tümü= -ov+os.
Bu nedenle vektörlerin skaler çarpımı AR Ve Güneş eşittir İşletim Sistemi 2
- O.B.
2
=
R
2
-
R
2
=0,
yani bu vektörler diktir.
Bir üçgenin diklik merkezinin bu özelliği, bariz ifadelerden çok uzak olan bazı ifadeleri kanıtlamamıza olanak tanır. Örneğin bir dörtgen düşünün ABCD
,
bir daire içine yazılmıştır. İzin vermek Na, Nv, Ns Ve H
D
- ortomerkezler Δ
BCD
, Δ
CDA
, Δ
DAB
ve Δ
ABC
sırasıyla. Daha sonra segmentlerin orta noktaları BİR A , VN, CH İLE ,
D.H.
D
kibrit. Aslında eğer HAKKINDAçemberin merkezidir ve M- segmentin ortası BİR A ,
O OM=1/2(0A + OH A )= =1/2(OA + OB+OS+OD
)
.
Diğer üç parçanın orta noktaları için tamamen aynı ifadeleri elde ederiz.
EULER DIREKT
Harika noktaların en şaşırtıcı özelliğiaçı şu ki, bazılarının birbirine bağlı olmasıbelirli oranlara göre. Örneğin kesişme noktası medyan M,
H yükseklikleri ile çevrelenen dairenin merkezinin kesişme noktasıO özellikleri aynı düz çizgi üzerinde yer alır ve noktaM segmenti böler O
ilişkinin geçerli olması içinOM:MN= 1:2. Bu teorem 1765 yılında Leonhard Euler tarafından kanıtlandı.Yorulmak bilmeyen faaliyetleriyle matematiğin birçok alanını önemli ölçüde geliştirdi ve birçok yeni dalın temellerini attı. 1707'de İsviçre'de doğdu. 20 yaşındayken Euler şunları önerdi:Bernoulli kardeşler St. Petersburg'a gelme daveti aldılarburg, kısa süre önce bir akademinin kurulduğu yer. İÇİNDE1740'ın sonunda Rusya'da Anna Leopol'un iktidara gelmesiyle bağlantılı olarakDovna'da endişe verici bir durum gelişti ve Euler,Berlin. 25 yıl sonra toplam olarak tekrar Rusya'ya döndü.Euler 30 yıldan fazla bir süre St. Petersburg'da yaşadı. Burley'deykenhayır, Euler Rus Akademisi ile yakın temasını sürdürdü veonursal üyesidir. Berlin'den Euler, Lomono ile yazıştıbaykuşlar Yazışmaları şu şekilde başladı. 1747'de Lomonosov profesör, yani akademinin tam üyesi seçildi; İmparatoriçe bu seçimi onayladı. daha sonrasındaLaw'dan şiddetle nefret eden gerici Akademi yetkilisi SchumacherMonosov, onlar hakkında bilgi almayı umarak çalışmalarını Euler'e gönderdi.kötü inceleme. (Euler, Lomonosov'dan yalnızca 4 yaş büyüktü.ancak bilimsel otoritesi o zamanlar zaten çok yüksekti.)Euler incelemesinde şunları yazdı: “Bütün bu çalışmalar sadece iyi değilshi, ama aynı zamanda mükemmel, çünkü fiziksel ve kimyasal şeyleri açıklıyor tamamen bilinmeyen ve en gerekli ve zor konular yorumlar imkansızdıen esprili ve bilgili olanaböyle bir kurucuya sahip ünlü insanlaroldukça emin olduğum bir şeydelillerinin doğruluğu...Her şeyin olmasını dilemek lazımhangi akademiler bu tür icatları gösterebildi?Bay Lomo'nun gösterdiği burunlar."
Kanıta geçelim Euler teoremi. düşünelim Δ
A
1
B
1
C
1
köşeleri olan 
kenarların orta noktaları Δ ABC; izin vermek H
1
ve H - bunların ortomerkezleri (Şekil 65). H 1 noktası merkeze denk geliyor HAKKINDAçevrel daire Δ ABC.Δ olduğunu kanıtlayalım. C
1
H
1
M
=Δ
CHM
.
Gerçekten de medyanların kesişme noktasının özelliği ile İLE 1
M:
CM= 1:2, benzerlik katsayısı Δ A
1
B
1
C
1
ve Δ ABC 2'ye eşittir, yani C
1
H
1
:
CH
=1:2,
Ayrıca,<H
1
C
1
M
=<НСМ (C
1
H
1
||
CH
).
Öyleyse,< C
1
M.H.
1
= < SMN, yani nokta M segmentte yatıyor H
1
H
.
Ayrıca, H
1
M
:
M.H.
=1:2,
benzerlik katsayısı Δ'dan beri C
1
H
1
M
ve Δ SNM 2'ye eşittir.
DOKUZ NOKTALIK DAİRE
1765 yılında Euler, bir üçgenin kenarlarının orta noktaları ile yükseklik tabanlarının aynı çember üzerinde bulunduğunu keşfetti. Üçgenin bu özelliğini de kanıtlayacağız.
Üstten bırakılan yüksekliğin tabanı B 2 olsun İÇİNDE Açık
taraf AC. Puanlar İÇİNDE ve B2 düz çizgiye göre simetriktir A 1
İLE 1
(Şekil 66). Bu nedenle, Δ A
1
İÇİNDE
2
İLE
1
= Δ
A
1
M.Ö.
T
= Δ
A
1
B
1
C
1
,
Bu yüzden <
A
1
B
2
C
1
= <А
1
İÇİNDE 1
İLE 1
,
yani nokta İÇİNDE 2
açıklanan üzerinde yatıyor
daire ΔA
1
İÇİNDE
1
İLE
1
.
Geriye kalan yükseklik tabanları için de ispat benzerdir. „
Daha sonra, aynı daire üzerinde üç noktanın daha bulunduğu keşfedildi - diklik merkezini üçgenin köşelerine bağlayan bölümlerin orta noktaları. işte bu dokuz noktalı daire.
İzin vermek az Ve Kuzeybatı- segmentlerin orta noktaları BİR Ve CH, S 2
- taban yüksekliğinin üstten düşürülmesi İLE Açık AB(Şekil 67). Önce şunu kanıtlayalım A
1
C
1
A
3
C
3
- dikdörtgen. Bu kolayca şu gerçeği takip eder: A 1
Kuzeybatı Ve A
3
C
1
- orta hatlar Δ VSN Ve AVN, A A
1
C
1
Ve A 3
Kuzeybatı- orta hatlar Δ ABC ve Δ ASN. Bu nedenle noktalar A 1
Ve azçapı olan bir daire üzerinde uzanmak İLE 1
Kuzeybatı, ve o zamandan beri az Ve Kuzeybatı noktalardan geçen bir daire üzerinde uzanın A 1,
C
1
ve C2. Bu daire Euler tarafından dikkate alınan daire ile çakışmaktadır (eğer Δ ABC ikizkenar değil). Bir noktaya kadar Vz kanıt benzerdir.
TORRİCELLİ NOKTASI
Rastgele bir dörtgenin içinde ABCD
Köşelere olan uzaklıkları toplamı en küçük değere sahip olan noktayı bulmak kolaydır. Böyle bir nokta bir noktadır HAKKINDA köşegenlerinin kesişimi. Aslında eğer X
- o zaman başka bir nokta AH+HS≥AC=AO+OS Ve BX
+
XD
≥
BD
=
BÖ.
+
Aşırı doz
,
ve eşitsizliklerden en az biri katıdır. Bir üçgen için benzer bir problemi çözmek daha zordur; şimdi onu çözmeye geçeceğiz. Basitlik açısından dar üçgen durumunu ele alacağız.
İzin vermek M- dar açılı Δ'nın içinde bir nokta ABC. Haydi çevirelim ABC nokta ile birlikte M Noktanın etrafında 60° A(Şekil 68). (Daha doğrusu, izin verin B, C Ve M"- noktaların görüntüleri B, C Ve M bir nokta etrafında 60° döndürüldüğünde A.) Daha sonra AM+VM+SM=MM"+B.M.
+
C
"
M
", AM=MM", Bu yüzden ΔAMM olarak"- ikizkenar (AM=AM") Ve<MAM" = 60°. Eşitliğin sağ tarafı kesikli çizginin uzunluğudur VMM'ler"
;
Bu kırık çizgi en küçük olacak
segment ile örtüşüyor Güneş"
.
Bu durumda<.
A.M.B.
=
180° -<AM" = 120° ve<АМС = <sabah
"
C
-
180°-<sabah
"
M
=
120°, yani yanlar AB, BC ve SA noktadan görülebilir M 120° açıyla. Böyle bir nokta M isminde Torricelli noktasıüçgen ABC
.
Ancak dar bir üçgenin içinde her zaman bir noktanın bulunduğunu kanıtlayalım. M, her iki tarafı da 120°'lik bir açıyla görülebilmektedir. Haydi bunu yan tarafa inşa edelim ABüçgen ABC
dışarıdan doğru Δ ABC 1
(Şek. 69). İzin vermek M- çevrel çemberin kesişme noktası ΔABC 1
ve düz SS 1
.
Daha sonra ABC
1
=60° Ve ABC noktadan görülebilir M 120° açıyla. Bu argümanları biraz daha sürdürürsek Torricelli noktasının başka bir tanımını elde edebiliriz. Düzenli üçgenler oluşturalım A 1
Güneş Ve AB 1
İLE ayrıca Silahlı Kuvvetlerin yanında ve AC. M noktasının da doğrunun üzerinde olduğunu kanıtlayalım. AA 1
.
Gerçekten de dönem Mçevrel çember üzerinde yer alır Δ A
1
M.Ö.
,
Bu yüzden<A
1
M.B.
= <
A
1
C.B.
= 60°, bunun anlamı<A 1
MV+<.
B.M.A.
=
180°. Aynı şekilde nokta M düz bir çizgi üzerinde yatıyor BB 1
(Şek. 69).
İçeride Δ ABC kenarları 120° açıyla görülebilen tek bir M noktası vardır, çünkü çevrelenen daireler Δ'dır. ABC
1
, Δ
AB
Ben
C
ve Δ A
1
Güneş birden fazla ortak noktaya sahip olamaz.
Şimdi Torricelli noktasının fiziksel (mekanik) yorumunu verelim. Δ'yı köşelere sabitleyelim ABC halkalar, içlerinden bir ucu bağlı, diğer uçlarına eşit kütleli yükler bağlı üç halat geçiriyoruz (Şekil 70). Eğer x = MA, y = MV,z
=
M.C.
Ve A her ipliğin uzunluğu ise, söz konusu sistemin potansiyel enerjisi m'ye eşittir G
(X
-A)+m G
(sen
-
A
)+
mg
(z
--A). Denge konumunda potansiyel enerji en küçük değere sahiptir, dolayısıyla x+y+z toplamı da en küçük değere sahiptir. Öte yandan denge konumunda noktadaki kuvvetlerin bileşkesi M sıfıra eşittir. Bu kuvvetler mutlak büyüklükte eşittir, dolayısıyla kuvvet vektörleri arasındaki ikili açılar 120°'ye eşittir.
Geriye geniş bir üçgen durumunda işlerin nasıl durduğunu anlatmak kalıyor. Geniş açı 120°'den küçükse önceki tüm argümanlar geçerli kalır. Geniş açı 120°'den büyük veya ona eşitse, o zaman üçgenin bir noktasından köşelerine olan mesafelerin toplamı, bu nokta geniş açının tepe noktası olduğunda en küçük olacaktır.
BROKARD'IN PUANLARI
Brocard noktaları Δ ABC bu tür iç noktalara denir R Ve Q
,
Ne<ABP
= <.
BCP
=<
KAP
Ve<.
QAB
= <.
QBC
= < QCA
(eşkenar üçgen için Brocard noktaları bir noktada birleşir). Bunu herhangi bir Δ içinde kanıtlayalım. ABC bir nokta var R, gerekli özelliğe sahip olmak (bir süre için) Q
kanıt benzerdir). Önce Brocard noktasının tanımını farklı bir biçimde formüle edelim. Açı değerlerini Şekil 71’deki gibi gösterelim.<ARV=180° - a+x-y, eşitlik x=y eşitliğe eşdeğerdir<APB
=180°-<
.
A
.
Buradan, R- Δ noktası ABC, hangi taraftan AB,
Güneş Ve SA 180° açılardan görülebilir -<.
A
,
180°-<B
,
180°-<İLE.
Böyle bir nokta aşağıdaki gibi inşa edilebilir. Hadi üzerine inşa edelim
taraf Güneşüçgen ABC benzer üçgen CA1B
Şekil 72'de gösterildiği gibi. Düz çizginin kesiştiği P noktasının AA1 ve çevrelemek ΔA1BCçok rağbette. Aslında,<BPC
=18
O
° - β
Ve<APB
=
180°-<A
T
P.B.
=
180° -<A
1
C.B.
=
ben
80°- A. Benzer şekilde kenarlarda benzer üçgenler oluşturalım. klima Ve AB(Şek. 73). Çünkü<.
APB
=
180° - A, nokta R aynı zamanda çevrel çember üzerinde de yer alır Δ ABC 1
Buradan,<BPC
1
= <BAC
1
= β, nokta anlamına gelir
R segmentte yatıyor SS 1
.
Segmentte de benzer şekilde yatıyor BB 1
,
yani R - segmentlerin kesişme noktası AA 1
BB 1
Ve SS 1
.
Brocard noktası R aşağıdaki ilginç özelliğe sahiptir. Düz bırak AR, VR Ve SRΔABC çevrel çemberiyle kesişir
A 1, B 1 ve C 1 noktalarında (Şekil 74). O halde Δ ABC = Δ
B
1
İLE 1
A
1
.İÇİNDE Aslında,<.
A
1
B
1
C
1
= <
A
1
B
1
B
+ <
BB 1 C 1 =<A
1
AB
+<В
CC 1 =<A
1
AB
+ +<
A
1
AC
=<.ВАС,
Brocard noktası ΔABC'nin özelliği ile BCC 1 ve A 1 AC açıları eşittir, yani A
1
C
1
=
M.Ö.
.
Kalan kenarların eşitliği Δ ABC ve Δ B 1 C 1 A 1 aynı şekilde kontrol edilir.
İncelediğimiz tüm durumlarda, karşılık gelen doğru üçlülerinin bir noktada kesiştiğinin kanıtı şu şekilde yapılabilir: Ceva'nın teoremi. Bu teoremi formüle edeceğiz.
Teorem. Yanlarda olsun AB, BC Ve SAüçgen ABC
alınan puanlar İLE 1
, A 1
Ve İÇİNDE 1
sırasıyla. Doğrudan AA 1
BB 1
Ve SS 1
bir noktada kesişir ancak ve ancak
AC 1 / C 1 V VA 1 / A 1 C SV 1 / V 1 A = 1.
Teoremin kanıtı L.S. Atanasyan'ın 7-9. Sınıflar için geometri ders kitabında 300. sayfada verilmiştir.
Edebiyat.
1.Atanasyan L.S. Geometri 7-9.- M.: Eğitim, 2000.
2. Kiselev A.P. Temel geometri - M .: Eğitim, 1980.
3. Nikolskaya I.L. Matematikte isteğe bağlı ders. M.: Eğitim, 1991.
4. Genç Bir Matematikçinin Ansiklopedik Sözlüğü.. Comp. A.P.Savin.-.M.: Pedagoji, 1989.
Bir üçgende dört dikkat çekici nokta vardır: kenarortayların kesişme noktası. Açıortayların kesişme noktası, yüksekliklerin kesişme noktası ve dik açıortayların kesişme noktası. Her birine bakalım.
Üçgen kenarortaylarının kesişme noktası
Teorem 1
Bir üçgenin kenarortaylarının kesişme noktasında: Bir üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir ve tepe noktasından başlayarak $2:1$ oranında kesişme noktasına bölünür.
Kanıt.
$ABC$ üçgenini düşünün; burada $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ onun medyanlarıdır. Medyanlar kenarları ikiye böldüğü için. Orta çizgiyi $A_1B_1$ ele alalım (Şekil 1).
Şekil 1. Bir üçgenin kenarortayları
Teorem 1'e göre $AB||A_1B_1$ ve $AB=2A_1B_1$, dolayısıyla $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Bu, $ABM$ ve $A_1B_1M$ üçgenlerinin, üçgenlerin benzerliğine ilişkin ilk kritere göre benzer olduğu anlamına gelir. Daha sonra
Benzer şekilde, kanıtlanmıştır ki
Teorem kanıtlandı.
Üçgen açıortayların kesişme noktası
Teorem 2
Bir üçgenin açıortaylarının kesişme noktasında: Üçgenin açıortayları bir noktada kesişir.
Kanıt.
$AM,\BP,\CK$'nin ortaortayları olduğu $ABC$ üçgenini düşünün. $O$ noktası $AM\ ve\BP$ açıortaylarının kesişme noktası olsun. Bu noktadan üçgenin kenarlarına dikler çizelim (Şekil 2).
Şekil 2. Bir üçgenin açıortayları
Teorem 3
Gelişmemiş bir açının açıortayının her noktası kenarlarından eşit uzaklıktadır.
Teorem 3'e göre şunu elde ederiz: $OX=OZ,\ OX=OY$. Bu nedenle $OY=OZ$. Bu, $O$ noktasının $ACB$ açısının kenarlarından eşit uzaklıkta olduğu ve bu nedenle $CK$ açıortayı üzerinde bulunduğu anlamına gelir.
Teorem kanıtlandı.
Bir üçgenin dik açıortaylarının kesişme noktası
Teorem 4
Üçgenin kenarlarına dik olan açıortaylar bir noktada kesişir.
Kanıt.
$ABC$ üçgeninin dik açıortayları $n,\ m,\ p$ olarak verilsin. $O$ noktası $n\ ve\ m$ dik açıortaylarının kesişme noktası olsun (Şekil 3).
Şekil 3. Bir üçgenin dik açıortayları
Bunu kanıtlamak için aşağıdaki teoreme ihtiyacımız var.
Teorem 5
Bir parçaya dik açıortayın her noktası, parçanın uçlarından eşit uzaklıktadır.
Teorem 3'e göre şunu elde ederiz: $OB=OC,\ OB=OA$. Bu nedenle $OA=OC$. Bu, $O$ noktasının $AC$ doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıkta olduğu ve bu nedenle $p$ dik açıortayında bulunduğu anlamına gelir.
Teorem kanıtlandı.
Üçgen yüksekliklerinin kesişme noktası
Teorem 6
Bir üçgenin yükseklikleri veya uzantıları bir noktada kesişir.
Kanıt.
$ABC$ üçgenini düşünün; burada $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ onun yüksekliğidir. Üçgenin her köşesinden, köşenin karşısındaki kenara paralel bir düz çizgi çizelim. Yeni bir $A_2B_2C_2$ üçgeni elde ediyoruz (Şekil 4).
Şekil 4. Üçgen yükseklikleri
$AC_2BC$ ve $B_2ABC$ ortak kenarlı paralelkenarlar olduğundan, $AC_2=AB_2$, yani $A$ noktası $C_2B_2$ kenarının ortasıdır. Benzer şekilde, $B$ noktasının $C_2A_2$ kenarının orta noktası olduğunu ve $C$ noktasının $A_2B_2$ kenarının orta noktası olduğunu buluruz. Yapıdan şunu elde ederiz: $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Dolayısıyla $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$, $A_2B_2C_2$ üçgeninin dik açıortaylarıdır. O halde Teorem 4'e göre $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ yüksekliklerinin bir noktada kesiştiğini elde ederiz.
Baranova Elena
Bu çalışma, üçgenin dikkat çekici noktalarını, bunların özelliklerini ve dokuz noktalı daire ve Euler düz çizgisi gibi desenlerini inceliyor. Euler düz çizgisinin ve dokuz noktalı dairenin keşfinin tarihsel arka planı verilmektedir. Projemin pratik uygulama yönü önerildi.
İndirmek:
Önizleme:
Sunum önizlemelerini kullanmak için bir Google hesabı oluşturun ve bu hesaba giriş yapın: https://accounts.google.com
Slayt başlıkları:
"ÜÇGENİN HARİKA NOKTALARI." (Uygulamalı ve temel matematik soruları) Elena Baranova 8. sınıf, MKOU “Ortaokul No. 20” Poz. Novoizobilny, Dukhanina Tatyana Vasilievna, matematik öğretmeni, Belediye Eğitim Kurumu "Ortaokul No. 20" Novoizobilny köyü 2013. Belediye devlet eğitim kurumu "Ortaokul No. 20"
Amaç: Üçgeni dikkat çekici noktaları açısından inceleyin, sınıflandırmalarını ve özelliklerini inceleyin. Hedefler: 1. Gerekli literatürü inceleyin 2. Bir üçgenin dikkat çekici noktalarının sınıflandırılmasını inceleyin 3.. Bir üçgenin dikkat çekici noktalarının özelliklerini öğrenin 4. Bir üçgenin dikkat çekici noktalarını oluşturabilme. 5. Dikkat çekici noktaların kapsamını keşfedin. Çalışmanın amacı - matematik bölümü - geometri Çalışmanın konusu - üçgen Uygunluk: üçgen ve dikkat çekici noktalarının özellikleri hakkındaki bilginizi genişletin. Hipotez: üçgen ve doğa arasındaki bağlantı
Dik açıortayların kesişme noktası üçgenin köşelerine eşit uzaklıkta olup çevrel dairenin merkezidir. Köşeleri üçgenin kenarlarının orta noktaları olan ve üçgenin köşeleri dik açıortayların kesişme noktasıyla çakışan bir noktada kesişen üçgenler etrafında çevrelenen daireler.
Açıortayların kesişme noktası Bir üçgenin açıortaylarının kesişme noktası üçgenin kenarlarına eşit uzaklıktadır. OM=OA=OB
Yüksekliklerin kesişme noktası Köşeleri yüksekliklerin tabanları olan bir üçgenin açıortaylarının kesişme noktası, üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktasıyla çakışır.
Kenarortayların kesişme noktası Bir üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir ve bu, her kenarortayı tepe noktasından sayılarak 2:1 oranında böler. Kenarortayların kesişme noktası köşelere bağlıysa, üçgen eşit alanlı üç üçgene bölünecektir. Medyanların kesişme noktasının önemli bir özelliği, başlangıcı medyanların kesişme noktası ve uçları üçgenlerin köşeleri olan vektörlerin toplamının sıfıra eşit olmasıdır M1 N C B A m2 m3 M1 N C B A m2 m3 M1 N C B A m2 m3 M1 N C B A m2 m3
Torricelli noktası Not: Üçgenin tüm açıları 120°'den küçükse Torricelli noktası vardır.
Dokuz noktadan oluşan daire B1, A1, C1 – yükseklik tabanları; A2, B2, C2 – ilgili tarafların orta noktaları; A3, B3, C3, AN, VN ve CH segmentlerinin orta noktalarıdır.
Euler düz çizgisi Medyanların kesişme noktası, yüksekliklerin kesişme noktası, dokuz noktadan oluşan bir dairenin merkezi tek bir düz çizgi üzerinde yer alır ve buna, bu modeli belirleyen matematikçinin onuruna Euler düz çizgisi adı verilir.
Dikkat çekici noktaların keşfinin tarihinden biraz kesit 1765 yılında Euler, bir üçgenin kenarlarının orta noktaları ile yükseklik tabanlarının aynı daire üzerinde bulunduğunu keşfetti. Üçgenin dikkat çekici noktalarının en şaşırtıcı özelliği, bazılarının birbirine belirli bir oranda bağlı olmasıdır. Medyanların (M) kesişme noktası, H yüksekliklerinin kesişme noktası ve çevrelenen daire O'nun merkezi aynı düz çizgi üzerinde yer alır ve M noktası, OH parçasını OM: OH = 1 ilişkisi olacak şekilde böler. : 2 geçerlidir Bu teorem 1765 yılında Leonhard Euler tarafından kanıtlanmıştır.
Geometri ve doğa arasındaki bağlantı. Bu pozisyonda potansiyel enerji en küçük değere sahip olacak ve MA+MB+MC segmentlerinin toplamı en küçük olacak ve Torricelli noktasından başlayan bu segmentlerin üzerinde yer alan vektörlerin toplamı sıfıra eşit olacaktır.
Sonuçlar Yüksekliklerin, kenarortayların, ortaortayların ve dik açıortayların bildiğim harika kesişme noktalarına ek olarak bir üçgenin harika noktaları ve çizgilerinin de olduğunu öğrendim. Bu konuda edindiğim bilgileri eğitim faaliyetlerimde kullanabileceğim, teoremleri belirli problemlere bağımsız olarak uygulayabileceğim ve öğrenilen teoremleri gerçek bir durumda uygulayabileceğim. Matematik öğrenmede üçgenin harika nokta ve çizgilerini kullanmanın etkili olduğuna inanıyorum. Bunları bilmek birçok görevin çözümünü önemli ölçüde hızlandırır. Önerilen materyal hem matematik derslerinde hem de 5-9. sınıflardaki öğrenciler için ders dışı etkinliklerde kullanılabilir.
Önizleme:
Önizlemeyi kullanmak için bir Google hesabı oluşturun ve oturum açın:
Silchenkov Ilya
ders materyalleri, animasyonlu sunum
İndirmek:
Önizleme:
Sunum önizlemelerini kullanmak için bir Google hesabı oluşturun ve bu hesaba giriş yapın: https://accounts.google.com
Slayt başlıkları:
Bir üçgenin orta çizgisi, iki kenarının orta noktalarını birleştiren ve bu kenarın yarısına eşit olan bir segmenttir. Ayrıca teoreme göre bir üçgenin orta çizgisi, kenarlarından birine paraleldir ve o kenarın yarısına eşittir.
Bir doğru iki paralel çizgiden birine dik ise diğerine de diktir
Üçgenin dikkat çekici noktaları
Bir üçgenin dikkate değer noktaları Kenarortayların kesişme noktası (üçgenin ağırlık merkezi); Açıortayların kesişme noktası, yazılı dairenin merkezi; Dik açıortayların kesişme noktası; Yüksekliklerin kesişme noktası (ortomerkez); Euler'in düz çizgisi ve dokuz noktalı çemberi; Gergonne ve Nagel noktaları; Point Fermat-Torricelli;
Medyan kesişme noktası
Bir üçgenin medyanı, üçgenin herhangi bir açısının tepe noktasını karşı tarafın ortasıyla birleştiren bir segmenttir.
I. Bir üçgenin kenarortayları bir noktada kesişir ve bu noktada her kenarortay, tepe noktasından itibaren sayılarak 2:1 oranında bölünür.
Kanıt:
A B C A 1 C 1 B 1 1 2 3 4 0 1. ABC üçgeninin iki ortancası AA 1 ve B B1'in kesişme noktasını O harfiyle gösterelim ve bu üçgenin orta çizgisi A 1 B 1'i çizelim. 2. A 1 B 1 segmenti AB kenarına paraleldir ve 1/2 AB = A 1 B 1 yani AB = 2A1B1 (üçgenin orta çizgisine ilişkin teoreme göre), dolayısıyla 1 = 4 ve 3 = 2 (çünkü bunlar AB ve A 1 B 1 paralel çizgileri ve 1, 4 için BB 1 ve 3, 2 3 için AA 1 ile iç çapraz açılardır. Sonuç olarak, AOB ve A 1 OB 1 üçgenleri iki açıda benzerdir ve bu nedenle bunların kenarlar orantılıdır, yani AO ve A 1 O, BO ve B 1 O, AB ve A 1 B 1 kenarlarının oranları eşittir. Ancak AB = 2A 1 B 1, dolayısıyla AO = 2A 1 O ve BO = 2B 1. O. Böylece, BB 1 ve AA 1 ortancalarının kesişimindeki O noktası, köşeden sayılarak her birini 2:1 oranında böler. Teorem diğer iki ortanca için de benzer şekilde kanıtlanabilir.
Kütle merkezine bazen ağırlık merkezi denir. Bu yüzden medyanların kesişme noktasının üçgenin ağırlık merkezi olduğunu söylüyorlar. Homojen üçgen plakanın kütle merkezi aynı noktada bulunmaktadır. Böyle bir plaka, pimin ucu üçgenin merkezine tam olarak çarpacak şekilde bir pim üzerine yerleştirilirse, plaka dengede olacaktır. Ayrıca medyanların kesişme noktası, medyan üçgeninin yazılı dairesinin merkezidir. Medyanların kesişme noktasının ilginç bir özelliği, kütle merkezinin fiziksel kavramıyla ilişkilidir. Bir üçgenin köşelerine eşit kütleler yerleştirirseniz merkezlerinin tam olarak bu noktaya düşeceği ortaya çıktı.
Açıortay kesişme noktası
Bir üçgenin açıortayı, üçgenin açılarından birinin tepe noktasını karşı tarafta bulunan bir noktaya bağlayan açıortayın bir parçasıdır.
Bir üçgenin açıortayları kenarlarından eşit uzaklıkta bir noktada kesişir.
Kanıt:
C A B A 1 B 1 C 1 0 1. ABC üçgeninin AA 1 ve BB 1 açıortaylarının kesişme noktasını O harfiyle gösterelim. 3. Gelişmemiş bir açının açıortayının her noktasının kenarlarından eşit uzaklıkta olması ve bunun tersinin de geçerli olmasından yararlanalım: açının içinde yer alan ve açının kenarlarından eşit uzaklıkta bulunan her nokta, açıortay üzerinde yer alır. Daha sonra OK=OL ve OK=OM. Bu, OM=OL anlamına gelir, yani O noktası ABC üçgeninin kenarlarından eşit uzaklıktadır ve bu nedenle C açısının CC1 açıortayında yer alır. 4. Sonuç olarak ABC üçgeninin üç açıortayı da O noktasında kesişir. K L M Teorem kanıtlanmıştır. 2.Bu noktadan AB, BC ve CA düz çizgilerine sırasıyla OK, OL ve OM dikmelerini çizin.
Dik açıortayların kesişme noktası
Dik açıortay, belirli bir parçanın ortasından geçen ve ona dik olan bir çizgidir.
Bir üçgenin kenarlarına dik açıortaylar, üçgenin köşelerine eşit uzaklıkta bir noktada kesişir.
Kanıt:
B C A m n 1. ABC üçgeninin AB ve BC kenarlarına m ve n orta dikmelerinin kesişme noktasını O harfiyle gösterelim. O 2. Bir parçaya dik açıortaydaki her noktanın bu parçanın uçlarından eşit uzaklıkta olduğu ve bunun tersinin de geçerli olduğu teoremini kullanarak: parçanın uçlarından eşit uzaklıktaki her nokta ona dik açıortay üzerinde yer alır ve şunu elde ederiz: OB = OA ve OB = OC. 3. Bu nedenle OA = OC, yani O noktası AC doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıkta olduğundan bu parçaya dik açıortay üzerinde yer alır. 4. Sonuç olarak, ABC üçgeninin kenarlarına ait m, n ve p açıortaylarının tümü O noktasında kesişir. Teorem kanıtlanmıştır. R
Yüksekliklerin (veya uzantılarının) kesişme noktası
Bir üçgenin yüksekliği, üçgenin herhangi bir açısının tepe noktasından karşı kenarı içeren düz çizgiye çizilen dikmedir.
Bir üçgenin yükseklikleri veya uzantıları, üçgenin içinde veya dışında olabilen bir noktada kesişir.
Kanıt:
AA 1, BB 1 ve CC 1 doğrularının bir noktada kesiştiğini kanıtlayalım. B A C C2 C1 A1 A2 B 1 B 2 1. ABC üçgeninin her bir köşesinden karşı kenara paralel bir düz çizgi çizin. A 2 B 2 C 2 üçgenini elde ediyoruz. 2. A, B ve C noktaları bu üçgenin kenarlarının orta noktalarıdır. Aslında AB=A 2 C ve AB=CB 2, ABA 2 C ve ABCB 2 paralelkenarlarının karşıt kenarları gibidir, dolayısıyla A 2 C=CB 2. Benzer şekilde C 2 A=AB 2 ve C 2 B=BA 2. Ek olarak, yapıdan da anlaşılacağı üzere CC 1, A 2 B 2'ye diktir, AA 1, B 2 C 2'ye diktir ve BB 1, A 2 C 2'ye diktir (paralel doğrular ve kesantlar teoreminin sonucundan) ). Dolayısıyla, AA 1, BB 1 ve CC 1 çizgileri, A 2 B 2 C 2 üçgeninin kenarlarına dik açıortaylardır. Bu nedenle bir noktada kesişirler. Teorem kanıtlandı.
