Türevin geometrik anlamı. Cebir üzerine sunum "Bir fonksiyonun türevi. Türevin geometrik anlamı" Pratik araştırma çalışması Türevin geometrik anlamı

"Trigonometrik formüller" - Cos x. Çünkü. Bir toplamı Sin (x+y)'ye dönüştürme formülleri. Çift argüman formülleri. Dönüşüm formülleri ürün. miktarında. Toplama formülleri. Trigonometri. Tg. Günah x. Oran f-s arasında. F-ly yarım argüman. Trigonometrik denklemler.

“Eğrisel bir yamuğun alanının hesaplanması” - Eğrisel yamuğun alanları. Alan hesaplama formülleri. Ne tür bir şekle kavisli yamuk denir? Teorinin tekrarı. Kavisli bir yamuğun alanı. Fonksiyonun antiderivatifini bulun. Şekillerden hangisi eğrisel yamuktur. Çözüm. Fonksiyon grafiği şablonları. Sınavlara hazırlanıyoruz. Kavisli bir yamuk olmayan bir şekil.

“Bir fonksiyonun çift mi yoksa tek mi olduğunu belirleyin” - Tek fonksiyonlar. Eşit değil. İşlev. Tek bir fonksiyonun grafiği. Fonksiyon eşit mi? Kolon. Çift fonksiyonun grafiği. Hatta işlevler. Fonksiyon tuhaf. Eksen etrafında simetri. Örnek. Fonksiyon tuhaf mı? Tuhaf değil. Çift ve tek fonksiyonlar.

“Logaritamalar ve özellikleri” - Derecelerin özellikleri. Logaritma tabloları. Logaritmanın özellikleri. Logaritmanın tarihi. Logaritmanın tanımını gözden geçirin. Hesaplamak. Çalışılan materyalin uygulanması. Buna bir bak. Logaritmanın tanımı. Logaritmanın keşfi. Formülün ikinci yarısını bulun.

““Logaritmik eşitsizlikler” 11. sınıf” - Teoremin uygulanması. log26 … log210 log0,36 … log0,310. Tanım. > ,T.K. 6<10 и функция у=log0,3x - убывающая. Повторить свойства логарифмической функции. График какой функции изображен на рисунке? Сравните числа: Логарифмические неравенства. < , Т.К. 6<10 и функция у=log2x - возрастающая. Найдите область определения функции: Если а>1, o zaman loga f(x)>loga g(x)? 0 ise<а<1, то logа f(x)>loga g(x)?.

“Birçok antiderivatif” - Antiderivatif. Fonksiyonlar için bir antiderivatif seçin. Bilgi düzeyinin belirlenmesi. Yeni bir görev türünü çözme. Ön anket. İlerlemeyi kontrol ediyorum. Çıkış kontrolü. Eğitimsel bağımsız çalışma. Entegrasyon kavramı. İlkellerin genel görünümü. Formüller. Değerlendirme sistemi.

, Türevin geometrik anlamı

Ders türü: yeni materyal öğrenmek.

Dersin amacı: Türevin geometrik anlamının ne olduğunu bulmak, fonksiyonun grafiğine teğet denklemini türetmek.

Bilişsel görev: Türevin geometrik anlamı hakkında bir fikir oluşturmak, belirli bir noktada bir fonksiyonun grafiğine teğet için bir denklem çizme yeteneği, teğetin grafiğine açısal katsayısını bulma yeteneği bir fonksiyon, grafiğe teğet ile Ox ekseni arasındaki açı.

Gelişimsel görev: bilimsel metinle çalışma becerilerinin ve yeteneklerinin oluşumuna devam etmek, bilgiyi analiz etme yeteneği, onu sistematikleştirme, değerlendirme ve kullanma yeteneği; mantıksal düşünmenin gelişimi, eğitim materyalinin bilinçli algılanması.

Eğitim görevi: öğrenme sürecine olan ilginin arttırılması ve eğitim materyalinin aktif algılanması, çiftler ve gruplar halinde çalışmak için iletişim becerilerinin geliştirilmesi.

Pratik görev: yaratıcı, analitik, tutarlı ve yapılandırılmış düşünme gibi eleştirel düşünme becerilerini geliştirmek, kendi kendine eğitim becerilerini geliştirmek.

Ders formu: Eleştirel düşünmenin geliştirilmesi için teknolojiyi kullanan probleme dayalı ders (TRKM).

Kullanılan teknoloji: eleştirel düşünmeyi geliştirmeye yönelik teknoloji, işbirliği içinde çalışmaya yönelik teknoloji

Kullanılan teknikler: “Fikir sepeti”, “Kalın ve ince sorular”, doğru ve yanlış ifadeler, INSERT, kümeleme, “Altı düşünme şapkası”.

Ekipman: PowerPoint sunumu, interaktif beyaz tahta, bildiriler (kartlar, metin materyalleri, tablolar), kareli kağıtlar,

Dersler sırasında

Çağrı aşaması:

1. Öğretmenin tanıtımı.

“Bir fonksiyonun türevi” konusunda uzmanlaşmaya çalışıyoruz. Farklılaştırma teknikleri konusunda zaten bilgi ve beceriye sahipsiniz. Peki bir fonksiyonun türevini incelemek neden gereklidir?

“Fikir sepeti.”

Kazanılan bilginin nerede kullanılabileceğini önerin?

Öğrenciler tahtaya yazılan fikirlerini sunarlar. Dersin sonunda önemli ölçüde dallara ayrılabilen bir küme elde ederiz.

Gördüğünüz gibi bu soruya net bir cevabımız yok. Bugün kısmen cevaplamaya çalışacağız. Dersimizin konusu “Türevlerin geometrik anlamı”dır.

Faaliyet motivasyonu.

FIPI web sitesindeki açık görev bankasından, Birleşik Devlet Sınavına hazırlık materyallerinden, "işlev" ve "türev" terimlerini içeren birkaç görev seçtim. Bunlar B8 görevleridir. Masaların üzerinde önünüzde yatıyorlar.

Görev örnekleri B8. Egzersiz yapmak. Şekillerde y = f(x) fonksiyonlarının grafikleri ve apsis x 0 noktasında onlara teğet olan noktalar gösterilmektedir. f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki türevinin değerini bulun.

Bu görevleri çözmenin bir yolunu önerebilir misiniz? (HAYIR)

Bugün bu tür görevleri ve benzerlerini nasıl çözeceğimizi öğreneceğiz.

2. Temel bilgi ve becerilerin güncellenmesi.

Çiftler halinde çalışın "Bir çift yapın." Ek No.1

Önünüzde bir masa var. Fonksiyonlar ve türevleri tablonun hücrelerinde dağınık bir şekilde yazılmıştır. Her fonksiyonun türevini bulun ve hücre sayılarının yazışmalarını yazın.

Çalışma saatleri

• Her öğrenci bağımsız olarak 2 dakika çalışır.
• 2 dakika - çiftler halinde çalışın. Sonuçları tartışın ve cevapları karta yazın.
• 1 dakika – işi kontrol edin.

1. Ne kolaydı ve ne işe yaramadı?
2. Hangi fonksiyonların türevlerini bulmakta zorluk yaşandı?

3. Ders sözlüğüyle çalışın.

Ders sözcükleri: türev; bir noktada türevlenebilir fonksiyon; doğrusal fonksiyon, doğrusal bir fonksiyonun grafiği, bir doğrunun eğimi, grafiğe teğet, dik üçgende bir açının teğeti, açıların teğet değerleri (dar, geniş).

Arkadaşlar, birbirinize en az 4 soru içeren kelimeleri kullanarak sorular sorun. Sorular “evet” ya da “hayır” yanıtını gerektirmemelidir.

Daha sonra her çiftten bir soru ve cevap dinliyoruz; soruların tekrarlanmaması gerekiyor.

Masalarınızda soru içeren kartlarınız var. Hepsi “Buna inanıyor musun…” sözleriyle başlıyor.

Sorunun cevabı ancak “evet” ya da “hayır” olabilir. “Evet” ise, ilk sütundaki sorunun sağına “+” işareti, “hayır” ise “-” işareti koyun. Şüpheniz varsa “?” işareti koyun.

Çiftler halinde çalışın. Çalışma süresi 3 dakika. (Ek No. 2)

Öğrencilerin cevapları dinlendikten sonra tahtadaki özet tablosunun ilk sütunu doldurulur.

İçeriği anlama aşaması (10 dk.).

Öğretmen, çalışmayı tablodaki sorularla özetleyerek öğrencileri, soruları cevaplarken doğru mu yanlış mı yaptığımızı henüz bilmediğimiz fikrine hazırlar.

Grup ödevi. Soruların cevapları, INSERT tekniğini kullanarak §8 s. 84-87'deki metni (veya üzerinde serbestçe el yazısı notlar alabileceğiniz paragraf materyalinin çıkarıldığı önerilen sayfaları) inceleyerek bulunabilir - metnin anlamsal işaretleme yöntemi.

V-zaten biliyordum

– - farklı düşündüm

Anlamadım)

§8 paragrafının metninin tartışılması.

Zaten neyi biliyordunuz, sizin için yeni olan neydi ve neyi anlamadınız?

Tartışma, anlaşılmayan şeyin açıklığa kavuşturulması.

Sorulara grup yanıtları:

F "(x 0)'ın işareti nedir?

Yansıma aşaması. Ön özet.

Dersin başında tartışılan sorulara dönelim ve elde edilen sonuçları tartışalım. Bakalım belki işten sonra fikrimiz değişmiştir.

Gruplar halinde öğrenciler varsayımlarını ders kitabıyla çalışarak elde ettikleri bilgilerle karşılaştırırlar, tabloda değişiklikler yaparlar, düşüncelerini sınıfla paylaşırlar ve her sorunun cevabını tartışırlar.

Çağrı aşaması.

Tartışılan teorik materyalin hangi durumlarda ve hangi görevleri yerine getirirken uygulanabileceğini düşünüyorsunuz?

Beklenen öğrenci cevapları: fonksiyona teğet grafiğinden f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki türevinin değerinin bulunması; fonksiyonun grafiğine x 0 noktasındaki teğet ile Ox ekseni arasındaki açı; bir fonksiyonun grafiğine teğet denkleminin elde edilmesi.

Fonksiyona teğet grafiğini kullanarak f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki türevinin değerini bulmak için algoritmalar üzerinde çalışmaya başlamayı öneriyorum; fonksiyonun grafiğine x 0 noktasındaki teğet ile Ox ekseni arasındaki açı; fonksiyonun grafiğine teğet denkleminin elde edilmesi.

Algoritmalar oluşturun:

1. fonksiyona teğet grafiğine göre f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki türevinin değerinin bulunması;
2. fonksiyonun grafiğine x 0 noktasındaki teğet ile Ox ekseni arasındaki açı;
3. fonksiyonun grafiğine teğet denkleminin elde edilmesi.

İçeriği anlama aşaması.

1) Algoritma derleme üzerinde çalışın.

Herkes işini defterde yapıyor. Daha sonra grupta tartıştıktan sonra bir fikir birliğine varırlar. Çalışmanın tamamlanmasının ardından her gruptan bir temsilci, çalışmalarını savunmak için konuşur.

Fonksiyona teğet grafiğini kullanarak f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki türevinin değerini bulmak için bir algoritma.

Algoritma bulma fonksiyonun grafiğinin x0 noktasındaki teğeti ile Ox ekseni arasındaki açı.

.Bir fonksiyonun grafiğine teğet denklemini elde etmek için algoritma

1) Öğrenilenleri pratikte uygulamaya çalışın. (Ek No. 4)

2) Görevlerin gözden geçirilmesi B8.

Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği ve apsis x 0 noktasında ona teğet olan bir nokta gösterilmektedir. f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki türevinin değerini bulun

Problem 2. Şekil y = f(x) fonksiyonunun grafiğini ve ona apsis x 0 noktasındaki teğetini göstermektedir. f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki türevinin değerini bulun.

Problem 3. Şekil y = f(x) fonksiyonunun grafiğini ve ona apsis x 0 noktasındaki teğetini göstermektedir. f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki türevinin değerini bulun.

Problem 4. Şekil y=f(x) fonksiyonunun grafiğini ve ona apsis x 0 noktasındaki teğetini göstermektedir. f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki türevinin değerini bulun.

Yanıtlar. Problem 1. 2. Problem 2. -1 Problem 3. 0 Problem 4. 0.2 .

Refleks.

Özetleyelim.

• Benlik saygısı

“Kendi kendine test, öz değerlendirme sayfası”

• Bir fonksiyonun türevini incelemek neden gereklidir? (Fonksiyonları, fizik ve kimyadaki çeşitli süreçlerin hızını incelemek için...)

• “Altı Düşünme Şapkası” tekniğini kullanarak zihinsel olarak belli bir renkteki şapkayı takarak dersteki çalışmayı analiz edeceğiz. Şapkaları değiştirmek, en eksiksiz resmi elde etmek için dersi farklı perspektiflerden görmemizi sağlayacaktır.

Beyaz şapka: bilgi (duygusal çağrışımları olmayan belirli yargılar).

Kırmızı şapka: Açıklaması olmayan duygusal yargılar.

Siyah şapka: eleştiri – sorunları ve zorlukları yansıtır.

Sarı şapka: olumlu yargılar.

Yeşil şapka: yaratıcı yargılar, öneriler.

Mavi şapka: Söylenenlerin genelleştirilmesi, felsefi görüş.

Aslında türevin geometrik anlamını kullanarak problem çözmenin sadece yüzeyine değindik. Üstelik çok daha ilginç, çeşitli ve karmaşık görevler bizi bekliyor.

Ev ödevi: § 8 s.84-88, No. 89-92, 94-95 (çift).

Edebiyat

1. Zaire.Bek S.I. Sınıfta eleştirel düşünmenin geliştirilmesi: genel eğitim öğretmenleri için bir el kitabı. kurumlar. – M. Eğitim, 2011. – 223 s.
2. Kolyagin Yu.M. Cebir ve analizin başlangıcı. 11. sınıf: eğitici. genel eğitim için kurumlar: temel ve profil seviyeleri. – M.: Eğitim, 2010.
3. Matematikte açık görev bankası http://mathege.ru/or/ege/Main.html?view=TrainArchive
4. Birleşik Devlet Sınavı/Matematik görevlerinin açık bankası http://www.fipi.ru/os11/xmodules/qprint/afrms.php?proj=

Eleştirel düşünme konusuyla ilgili web siteleri

Eleştirel Düşünme http://www.criticalthinking.org/
http://www.ct-net.net/ru/rwct_tcp_ru

Sunumu resim, tasarım ve slaytlarla görüntülemek için, dosyasını indirin ve PowerPoint'te açın bilgisayarınızda.
Sunum slaytlarının metin içeriği: V.N. Egorova, matematik öğretmeni, KOU “1 Nolu Ortaokul (tam zamanlı ve yarı zamanlı)” Bir türevin tanımı. Bir fonksiyonun türevi okul müfredatındaki zor konulardan biridir. AСВtg A-?tg B -?АВСSözlü çalışma türevi nedir sorusuna her mezun cevap vermeyecektir. Teğet, karşı tarafın bitişik kenara oranıdır.

АСВtg A-?tg В -?47АВСDerece ölçüsünü bulun< В.3Найдите градусную меру < А.Работа устноВычислите tgα, если α = 150°.

Şekilde üç fonksiyonun grafiği gösterilmektedir. Sizce hangisi daha hızlı büyüyor? Sözlü olarak çalışın Kostya, Grisha ve Matvey aynı anda iş buldular. Yıl içinde gelirlerinin nasıl değiştiğini görelim: Kostya'nın geliri altı ayda iki katından fazla arttı. Grisha'nın geliri de arttı ama çok az. Ve Matvey'in geliri sıfıra düştü. Başlangıç ​​koşulları aynıdır ancak fonksiyonun değişim hızı farklıdır. Matvey'e gelince, geliri genellikle sözlü olarak olumsuzdur.

Sezgisel olarak bir fonksiyonun değişim hızını kolayca tahmin ederiz. Peki bunu nasıl yapacağız? Aslında baktığımız şey, bir fonksiyonun grafiğinin ne kadar dik bir şekilde yukarı (veya aşağı) gittiğidir. Başka bir deyişle, x değiştikçe y ne kadar hızlı değişir? Açıkçası, aynı fonksiyon farklı noktalarda daha hızlı veya daha yavaş değişebilir.
Türev, bir fonksiyonun değişim oranıdır.
Türev kavramına yol açan sorunlar1. Bir fonksiyonun değişim hızı ile ilgili problem Belirli bir fonksiyonun grafiği çizilmiştir. Üzerine bir apsis alalım. Bu noktada fonksiyonun grafiğine bir teğet çizelim. Bir fonksiyonun grafiğinin dikliğini tahmin etmek için uygun bir değer, teğet açısının tanjantıdır. Eğim açısı olarak OX ekseninin teğeti ile pozitif yönü arasındaki açıyı alalım. k=tg α∆AMN: ˂ ANM = 90˚, tgα = 𝐴𝑁𝑀𝑁 Türevin geometrik anlamı Özet

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, o noktadaki fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin eğimine eşittir. Türevin geometrik anlamı Bir fonksiyonun türevi, teğet açısının tanjantına eşittir - bu türevin geometrik anlamıdır
SSeyahat süresi tABU=S / t'ye eşittir. Türev2 kavramına yol açan problemler. Hız sorunu
GÖREV. Bazı cisimler (madde noktaları), orijin, ölçü birimi (metre) ve yönün verildiği düz bir çizgi boyunca hareket eder. Hareket kanunu S=s(t) formülüyle verilir; burada t zamandır (saniye cinsinden), s(t) vücudun o anda düz bir çizgi üzerindeki konumu (hareketli bir malzeme noktasının koordinatı) t orijine göre (metre cinsinden). Cismin t anındaki hızını bulun (m/s cinsinden). ÇÖZÜM. T anında cismin MOM=S(t) noktasında olduğunu varsayalım. t argümanına ∆t'lik bir artış verelim ve t + ∆t anındaki durumu ele alalım. Maddi noktanın koordinatı farklılaşacak, cisim şu anda P noktasında olacaktır: OP= s(t+ ∆t) – s(t). Bu, cismin ∆t saniye içinde M noktasından P noktasına hareket ettiği anlamına gelir. Elimizde: MP=OP – OM = s(t+ ∆t) – s(t) bulunur. Ortaya çıkan farka fonksiyonun artışı denir: s(t+ ∆t) – s(t)= ∆s. Yani MP= ∆s (m) O halde zaman periyodundaki ortalama hız: 𝑣av.=∆𝑆∆𝑡 Ortalama hız S(t)S(t + Δt)0МРΔt
Belirli bir x0 noktasındaki y = f(x) fonksiyonunun türevi, argümanın artışının sıfıra yönelmesi koşuluyla, fonksiyonun bu noktadaki artışının argümanın artışına oranının limitidir. atama: 𝑦′𝑥0 veya 𝑓′𝑥0 𝑓′𝑥0=lim∆ 𝑥→0∆𝑦∆𝑥 veya 𝑓′𝑥0=lim∆𝑥→0∆𝑓∆𝑥 TanımÖzet
Anlık hız, ∆t→0 koşuluyla aralıktaki ortalama hızdır, yani: 𝒍𝒊𝒎∆𝒕→𝟎𝒗av.=𝒍𝒊𝒎∆𝒕→𝟎∆𝑺∆𝒕 Anlık hız, x0 ve ∆ x argümanının iki değerine bakıyoruz Burada ∆x argümanın artışıdır. ∆f(x) = f(x0 + ∆x) – f(x0) fonksiyonunun artışını bulalım. Fonksiyonun artışının, fonksiyonun artışına oranını bulalım. ∆𝐟(x)∆x Bu oranın limitini ∆x → 0 lim∆𝑥→0Δ𝑓(𝑥)Δ𝑥=𝑓′(𝑥) noktasında hesaplayalım Türev bulma algoritması (tanım gereği) Türev hesaplama örneği Çözüm Notları

Örnek 2. y = x fonksiyonunun türevini bulun Çözüm: f(x) = x.1 x ve x argümanının iki değerini alın + Δx.2.∆𝑓=𝑓𝑥+∆𝑥−𝑓𝑥=𝑥. +∆𝑥−𝑥=∆𝑥 .3.∆𝑓∆𝑥=∆𝑥∆𝑥=1.4.𝑓′𝑥=lim∆𝑥→0∆𝑓∆𝑥=lim∆𝑥→01=1 Yani, (𝒙) ′ = 1 Türev hesaplama örneği Örnek 3 .y = x2 fonksiyonunun türevini bulunÇözüm: f(x) = x2.1.x ve x + Δx argümanının iki değerini alın.2.∆𝑓=𝑓𝑥 +∆𝑥−𝑓𝑥=(𝑥+∆𝑥)2−𝑥2=𝑥2 +2𝑥∆𝑥+(∆𝑥)2−𝑥2=∆𝑥(2𝑥+∆𝑥).3.∆𝑓(𝑥)∆𝑥= ∆ 𝑥 (2𝑥+∆𝑥) ∆𝑥 = 2𝑥+∆𝑥.4. ∆𝑥→0∆𝑥=2𝑥 Yani, (𝒙 𝟐)′ = 2x Türev hesaplama örneği Örnek 4. y fonksiyonunun türevini bulun =𝒌𝒙+𝒎Çözüm: f(x) = 𝑘𝑥+𝑚.1. x ve x argümanının iki değeri + Δx.2.∆𝑓=𝑓𝑥+∆𝑥−𝑓𝑥=𝑘𝑥+ ∆𝑥+𝑚− 𝑘𝑥−𝑚=𝑘𝑥+𝑘∆𝑥−𝑘𝑥=𝑘 ∆𝑥.3. ∆𝑓(𝑥)∆𝑥=𝑘∆𝑥∆𝑥=𝑘.4 𝑓′𝑥=lim∆𝑥→0 ∆𝑓∆𝑥=lim∆𝑥→0𝑘=𝑘 Yani, (𝒌𝒙+𝒎) ′ = k Türev hesaplama örneği Örnek 5. y = 𝟏𝒙 fonksiyonunun türevini bulun Çözüm: f(x) = 1𝑥.1 x ve x + Δx.2 argümanının iki değerini alın.∆𝑓=𝑓𝑥+∆𝑥 −𝑓𝑥= 1𝑥+∆𝑥−1𝑥=𝑥−𝑥−∆𝑥𝑥(𝑥+∆𝑥)=−∆𝑥𝑥(𝑥+∆ 𝑥).3.∆ 𝑓(𝑥)∆𝑥=−∆ 𝑥𝑥(𝑥+∆ 𝑥):∆𝑥=−∆𝑥𝑥(𝑥+∆𝑥)∆𝑥=−1𝑥(𝑥+∆𝑥) .4.𝑓′𝑥= lim∆𝑥 →0∆𝑓∆𝑥=lim∆𝑥→0−1 𝑥 (𝑥+∆𝑥)=−1lim∆𝑥→01𝑥2+𝑥∆𝑥=−lim∆𝑥→01lim∆𝑥→0𝑥2+lim∆ 𝑥→0𝑥∆𝑥 = - 𝟏𝒙𝟐 Cümleyi bitirin: Bugünkü dersimiz buna adandı. .. Derste şunu öğrendim... Öğrendiğim derste... Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi eşittir... fonksiyonun grafiğine belirli bir noktada çizilen teğet. bir fonksiyonun değiştirilmesi... Benim için zordu... Aferin!
ppt_y

Ekli dosyalar