Parite fonksiyonunun incelenmesi. Çift ve tek fonksiyonlar

Bir y değişkeninin, her bir x değerinin tek bir y değerine karşılık geldiği bir x değişkenine bağımlılığına fonksiyon denir. Gösterim için y=f(x) gösterimini kullanın. Her fonksiyonun monotonluk, eşlik, periyodiklik ve diğerleri gibi bir dizi temel özelliği vardır.

Parite özelliğine daha yakından bakın.

Aşağıdaki iki koşulu karşılasa bile y=f(x) fonksiyonu çağrılır:

2. Fonksiyonun tanım bölgesine ait olan fonksiyonun x noktasındaki değeri, fonksiyonun -x noktasındaki değerine eşit olmalıdır. Yani, herhangi bir x noktası için, fonksiyonun tanım bölgesinden aşağıdaki eşitliğin sağlanması gerekir: f(x) = f(-x).

Çift fonksiyonun grafiği

Çift fonksiyonun grafiğini çizerseniz, Oy eksenine göre simetrik olacaktır.

Örneğin, y=x^2 fonksiyonu çifttir. Hadi kontrol edelim. Tanım alanı sayısal eksenin tamamıdır, yani O noktasına göre simetriktir.

Keyfi bir x=3 alalım. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Dolayısıyla f(x) = f(-x). Böylece her iki koşul da sağlanır, yani fonksiyon çifttir. Aşağıda y=x^2 fonksiyonunun grafiği bulunmaktadır.

Şekil grafiğin Oy eksenine göre simetrik olduğunu göstermektedir.

Tek bir fonksiyonun grafiği

Bir y=f(x) fonksiyonu aşağıdaki iki koşulu karşılıyorsa tek fonksiyon olarak adlandırılır:

1. Belirli bir fonksiyonun tanım bölgesi O noktasına göre simetrik olmalıdır. Yani, eğer bir a noktası fonksiyonun tanım bölgesine aitse, o zaman karşılık gelen -a noktası da tanım alanına ait olmalıdır. verilen fonksiyonun

2. Herhangi bir x noktası için, fonksiyonun tanım bölgesinden aşağıdaki eşitliğin sağlanması gerekir: f(x) = -f(x).

Tek bir fonksiyonun grafiği, koordinatların orijini olan O noktasına göre simetriktir. Örneğin, y=x^3 fonksiyonu tektir. Hadi kontrol edelim. Tanım alanı sayısal eksenin tamamıdır, yani O noktasına göre simetriktir.

Keyfi bir x=2 alalım. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Dolayısıyla f(x) = -f(x). Yani her iki koşul da sağlanıyor, bu da fonksiyonun tek olduğu anlamına geliyor. Aşağıda y=x^3 fonksiyonunun grafiği bulunmaktadır.

Şekil y=x^3 tek fonksiyonunun orijine göre simetrik olduğunu açıkça göstermektedir.

Herhangi biri ve eşitlik için bir fonksiyona çift (tek) denir

.

Çift fonksiyonun grafiği eksene göre simetriktir
.

Tek bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir.

Örnek 6.2. Bir fonksiyonun çift mi yoksa tek mi olduğunu inceleyin

1)
; 2)
; 3)
.

Çözüm.

1) Fonksiyon şu durumlarda tanımlanır:
. Bulacağız
.

Onlar.
. Araç, bu fonksiyon eşit.

2) Fonksiyon şu durumlarda tanımlanır:

Onlar.
. Dolayısıyla bu fonksiyon tuhaftır.

3) fonksiyon için tanımlanmıştır, yani. İçin

,
. Bu nedenle fonksiyon ne çift ne de tektir. Buna genel formun bir fonksiyonu diyelim.

3. Monotonluk fonksiyonunun incelenmesi.

İşlev
bu aralıkta argümanın her daha büyük değeri, fonksiyonun daha büyük (daha küçük) bir değerine karşılık geliyorsa, belirli bir aralıkta artan (azalan) olarak adlandırılır.

Belirli bir aralıkta artan (azalan) fonksiyonlara monoton denir.

Eğer fonksiyon
aralıkta türevlenebilir
ve pozitif (negatif) bir türevi vardır
, ardından fonksiyon
bu aralıkta artar (azalır).

Örnek 6.3. Fonksiyonların monotonluk aralıklarını bulun

1)
; 3)
.

Çözüm.

1) Bu fonksiyon sayı doğrusunun tamamında tanımlanmıştır. Türevini bulalım.

Türev sıfıra eşit ise
Ve
. Tanım alanı, noktalara bölünmüş sayı eksenidir
,
aralıklarla. Her aralıktaki türevin işaretini belirleyelim.

aralıkta
türev negatiftir, fonksiyon bu aralıkta azalır.

aralıkta
türev pozitiftir, dolayısıyla fonksiyon bu aralıkta artar.

2) Bu fonksiyon şu şekilde tanımlanır:
veya

.

Her aralıkta ikinci dereceden üç terimlinin işaretini belirleriz.

Böylece fonksiyonun tanım alanı

Türevini bulalım
,
, Eğer
, yani
, Ancak
. Aralıklardaki türevin işaretini belirleyelim
.

aralıkta
türev negatiftir, dolayısıyla fonksiyon aralıkta azalır
. aralıkta
türev pozitiftir, fonksiyon aralık boyunca artar
.

4. Fonksiyonun ekstremumdaki incelenmesi.

Nokta
fonksiyonun maksimum (minimum) noktası denir
eğer noktanın böyle bir mahallesi varsa bu herkes için
bu mahallede eşitsizlik devam ediyor

.

Bir fonksiyonun maksimum ve minimum noktalarına ekstrem noktalar denir.

Eğer fonksiyon
noktada bir ekstremuma sahipse, bu durumda fonksiyonun bu noktadaki türevi sıfıra eşittir veya mevcut değildir (bir ekstremun varlığı için gerekli bir koşul).

Türevin sıfır olduğu veya bulunmadığı noktalara kritik denir.

5. Bir ekstremumun varlığı için yeterli koşullar.

Kural 1. Kritik noktadan geçiş sırasında (soldan sağa) türev
işareti “+”dan “-”ye değiştirir, ardından noktada işlev
bir maksimumu vardır; “-” ile “+” arasında ise minimum; Eğer
işareti değişmiyorsa ekstremum yoktur.

Kural 2. Gelin bu noktada
bir fonksiyonun birinci türevi
sıfıra eşit
ve ikinci türev mevcuttur ve sıfırdan farklıdır. Eğer
, O – maksimum nokta, eğer
, O – fonksiyonun minimum noktası.

Örnek 6.4 . Maksimum ve minimum işlevleri keşfedin:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Çözüm.

1) Fonksiyon aralıkta tanımlıdır ve süreklidir
.

Türevini bulalım
ve denklemi çöz
, yani
.Buradan
- kritik noktalar.

Aralıklardaki türevin işaretini belirleyelim,
.

Noktalardan geçerken
Ve
türevin işareti “–”den “+”ya değişir, dolayısıyla kural 1'e göre
– minimum puanlar.

Bir noktadan geçerken
türevin işareti “+”dan “-”ye değişir, yani
– maksimum nokta.

,
.

2) Fonksiyon aralıkta tanımlıdır ve süreklidir
. Türevini bulalım
.

Denklemi çözdükten sonra
, bulacağız
Ve
- kritik noktalar. Payda ise
, yani
ise türev mevcut değildir. Bu yüzden,
– üçüncü kritik nokta. Türevin işaretini aralıklarda belirleyelim.

Bu nedenle fonksiyonun bu noktada minimumu vardır.
, puan cinsinden maksimum
Ve
.

3) Bir fonksiyon şu durumda tanımlanmış ve süreklidir:
, yani en
.

Türevini bulalım

.

Kritik noktaları bulalım:

Noktaların mahalleleri
tanım alanına ait değildirler, dolayısıyla uç noktalar değildirler. O halde kritik noktaları inceleyelim
Ve
.

4) Fonksiyon aralıkta tanımlıdır ve süreklidir
. Kural 2'yi kullanalım. Türevi bulun
.

Kritik noktaları bulalım:

İkinci türevi bulalım
ve noktalardaki işaretini belirleyin

noktalarda
fonksiyonun minimumu vardır.

noktalarda
fonksiyonun bir maksimumu vardır.

Gösteriyi Gizle

Bir işlevi belirtme yöntemleri

Fonksiyon şu formülle verilsin: y=2x^(2)-3. Bağımsız değişken x'e herhangi bir değer atayarak, bu formülü kullanarak bağımlı değişken y'nin karşılık gelen değerlerini hesaplayabilirsiniz. Örneğin, eğer x=-0,5 ise, formülü kullanarak, y'nin karşılık gelen değerinin y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5 olduğunu buluruz.

Y=2x^(2)-3 formülündeki x argümanının aldığı herhangi bir değeri alarak, ona karşılık gelen fonksiyonun yalnızca bir değerini hesaplayabilirsiniz. Fonksiyon bir tablo olarak temsil edilebilir:

X	−2	−1	0	1	2	3
sen	−4	−3	−2	−1	0	1

Bu tabloyu kullanarak, −1 argüman değeri için −3 fonksiyon değerinin karşılık geleceğini görebilirsiniz; ve x=2 değeri y=0'a karşılık gelecektir, vb. Tablodaki her bağımsız değişken değerinin yalnızca bir işlev değerine karşılık geldiğini bilmek de önemlidir.

Grafikler kullanılarak daha fazla fonksiyon belirtilebilir. Bir grafik kullanılarak, fonksiyonun hangi değerinin belirli bir x değeriyle ilişkili olduğu belirlenir. Çoğu zaman bu, fonksiyonun yaklaşık değeri olacaktır.

Çift ve tek fonksiyon

İşlev eşit işlev, tanım alanındaki herhangi bir x için f(-x)=f(x) olduğunda. Böyle bir fonksiyon Oy eksenine göre simetrik olacaktır.

İşlev Tek işlev, tanım alanındaki herhangi bir x için f(-x)=-f(x) olduğunda. Böyle bir fonksiyon O(0;0) orijinine göre simetrik olacaktır.

İşlev bile, ne tuhaf ve denir işlev Genel görünüm eksen veya orijin etrafında simetriye sahip olmadığında.

Eşlik için aşağıdaki fonksiyonu inceleyelim:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) orijine göre simetrik bir tanım alanıyla. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Bu, f(x)=3x^(3)-7x^(7) fonksiyonunun tek olduğu anlamına gelir.

Periyodik fonksiyon

Herhangi bir x için f(x+T)=f(x-T)=f(x) eşitliğinin geçerli olduğu tanım kümesindeki y=f(x) fonksiyonuna denir periyodik fonksiyon T \neq 0 periyodu ile.

Bir fonksiyonun grafiğini x ekseninin T uzunluğuna sahip herhangi bir parçası üzerinde tekrarlamak.

Fonksiyonun pozitif olduğu aralıklar, yani f(x) > 0, apsis ekseninin, fonksiyon grafiğinin apsis ekseninin üzerinde yer alan noktalarına karşılık gelen bölümleridir.

f(x) > 0 açık (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Fonksiyonun negatif olduğu aralıklar, yani f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Sınırlı işlev

Aşağıdan sınırlanmış Herhangi bir x \in X için f(x) \geq A eşitsizliğinin geçerli olduğu bir A sayısı olduğunda y=f(x), x \in X fonksiyonunu çağırmak gelenekseldir.

Aşağıdan sınırlanan bir fonksiyon örneği: y=\sqrt(1+x^(2)) çünkü herhangi bir x için y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1.

Yukarıdan sınırlanmış f(x) \neq B eşitsizliğinin herhangi bir x \in X için geçerli olduğu bir B sayısı olduğunda, y=f(x), x \in X fonksiyonu çağrılır.

Aşağıda sınırlandırılmış bir fonksiyon örneği: y=\sqrt(1-x^(2))), x \in [-1;1]çünkü herhangi bir x için y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 \in [-1;1] .

Sınırlı\left | eşitsizliğinin olduğu K > 0 sayısı olduğunda y=f(x), x \in X fonksiyonunu çağırmak gelenekseldir. f(x)\sağ | \neq K herhangi bir x için \in X .

Sınırlı bir fonksiyon örneği: y=\sin x tüm sayı ekseninde sınırlıdır, çünkü \sol | \sin x \sağ | \neq 1.

Artan ve azalan fonksiyon

Söz konusu aralıkta artan bir fonksiyondan şu şekilde bahsetmek gelenekseldir: artan fonksiyon o zaman, daha büyük bir x değeri, y=f(x) fonksiyonunun daha büyük bir değerine karşılık geldiğinde. Buradan, x_(1) > x_(2) ile söz konusu aralıktan x_(1) ve x_(2) bağımsız değişkeninin iki keyfi değeri alınırsa sonuç y(x_(1)) > olacaktır. y(x_(2)).

Söz konusu aralıkta azalan bir fonksiyona denir azalan fonksiyon x'in daha büyük bir değeri, y(x) fonksiyonunun daha küçük bir değerine karşılık geldiğinde. Söz konusu aralıktan, x_(1) ve x_(2) ve x_(1) > x_(2) argümanlarının iki keyfi değeri alındığında, sonuç y(x_(1)) olacaktır.< y(x_{2}) .

Fonksiyon Kökleri F=y(x) fonksiyonunun apsis ekseniyle kesiştiği noktaları çağırmak gelenekseldir (bunlar y(x)=0 denkleminin çözülmesiyle elde edilir).

a) Eğer x > 0 için çift fonksiyon artarsa, x için azalır< 0

b) Bir çift fonksiyon x > 0'da azalıyorsa, x'te artar< 0

c) Tek bir fonksiyon x > 0'da arttığında, x'te de artar< 0

d) Bir tek fonksiyon x > 0 için azalıyorsa, o zaman x için de azalacaktır< 0

Fonksiyonun ekstremum değerleri

Fonksiyonun minimum noktası y=f(x) genellikle komşuluğu başka noktalara sahip olacak (x=x_(0) noktası hariç) bir x=x_(0) noktası olarak adlandırılır ve bunlar için f(x) > f eşitsizliği şu şekilde olur: memnun (x_(0)) . y_(min) - fonksiyonun min noktasında belirlenmesi.

Fonksiyonun maksimum noktası y=f(x) genellikle komşuluğu başka noktalara sahip olacak (x=x_(0) noktası hariç) bir x=x_(0) noktası olarak adlandırılır ve onlar için f(x) eşitsizliği o zaman karşılanır< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Önkoşul

Fermat teoremine göre: f"(x)=0 olduğunda, x_(0) noktasında türevi olabilen f(x) fonksiyonu bu noktada bir ekstrema sahip olacaktır.

Yeterli koşul

1. Türevin işareti artıdan eksiye değiştiğinde, x_(0) minimum nokta olacaktır;
2. x_(0) - yalnızca sabit x_(0) noktasından geçerken türevin işareti eksiden artıya değiştiğinde maksimum nokta olacaktır.

Bir fonksiyonun bir aralıktaki en büyük ve en küçük değeri

Hesaplama adımları:

1. f"(x) türevi aranır;
2. Fonksiyonun durağan ve kritik noktaları bulunarak segmente ait olanlar seçilir;
3. f(x) fonksiyonunun değerleri durağan olarak bulunur ve kritik noktalar ve segmentin uçları. Elde edilen sonuçlardan daha küçük olanı en düşük değer işlevler, ve dahası - en büyük.

İleri geri

Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Bu çalışmayla ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümünü indirin.

Hedefler:

• çift ​​ve tek fonksiyonlar kavramını formüle etmek, fonksiyonları incelerken ve grafikleri oluştururken bu özellikleri belirleme ve kullanma becerisini öğretmek;
• Öğrencilerin yaratıcı aktivitelerini geliştirmek, mantıksal düşünme, karşılaştırma, genelleme yeteneği;
• sıkı çalışmayı ve matematik kültürünü geliştirmek; iletişim becerilerini geliştirmek .

Teçhizat: multimedya kurulumu, interaktif beyaz tahta, bildiriler.

Çalışma biçimleri: arama ve araştırma faaliyetlerinin unsurları ile ön ve grup.

Bilgi kaynakları:

1. Cebir 9. sınıf A.G. Mordkovich. Ders kitabı.
2. Cebir 9. sınıf A.G. Mordkovich. Sorun kitabı.
3. Cebir 9. sınıf. Öğrenci öğrenmesi ve gelişimi için görevler. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

DERSLER SIRASINDA

1. Organizasyon anı

Ders için amaç ve hedeflerin belirlenmesi.

2. Ödev kontrol ediliyor

10.17 (9. sınıf problem kitabı. A.G. Mordkovich).

A) en = F(X), F(X) =

B) F (–2) = –3; F (0) = –1; F(5) = 69;

c) 1.D( F) = [– 2; + ∞)
2.E( F) = [– 3; + ∞)
3. F(X) = 0 X ~ 0,4
4. F(X) >0 en X > 0,4 ; F(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Fonksiyon şu şekilde artar: X € [– 2; + ∞)
6. Fonksiyon aşağıdan sınırlandırılmıştır.
7. en isim = – 3, en naib mevcut değil
8. Fonksiyon süreklidir.

(Bir işlev keşfetme algoritması kullandınız mı?) Slayt.

2.Slayttan size sorulan tabloyu kontrol edelim.

Tabloyu doldurun
	İhtisas	Fonksiyon sıfırları	İşaret sabitliği aralıkları		Grafiğin Oy ile kesişme noktalarının koordinatları
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U Ü (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U Ü (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Bilgiyi güncelleme

– Fonksiyonlar verilmiştir.
– Her fonksiyonun tanım kapsamını belirtin.
– Her bir bağımsız değişken değeri çifti için her işlevin değerini karşılaştırın: 1 ve – 1; 2 ve – 2.
– Tanım alanındaki bu işlevlerden hangisi için eşitlikler geçerlidir? F(– X) = F(X), F(– X) = – F(X)? (elde edilen verileri tabloya girin) Slayt

		F(1) ve F(– 1)	F(2) ve F(– 2)	grafikler	F(– X) = –F(X)	F(– X) = F(X)
1. F(X) =
2. F(X) = X 3
3. F(X) = | X |
4.F(X) = 2X – 3
5. F(X) =	X ≠ 0
6. F(X)=	X > –1		ve tanımlanmadı

4. Yeni materyal

- Uygulamak bu iş Arkadaşlar, fonksiyonun size tanıdık gelmeyen ama diğerlerinden daha az önemli olmayan bir özelliğini daha belirledik - bu, fonksiyonun düzgünlüğü ve tuhaflığıdır. Dersin konusunu yazın: "Çift ve tek fonksiyonlar", görevimiz bir fonksiyonun düzgünlüğünü ve tekliğini belirlemeyi öğrenmek, bu özelliğin fonksiyonların incelenmesinde ve grafiklerin çizilmesinde önemini bulmaktır.
O halde ders kitabındaki tanımları bulalım ve okuyalım (s. 110) . Slayt

Def. 1İşlev en = F (X X kümesinde tanımlanan ), X olarak adlandırılır eşit herhangi bir değer için ise XЄ X yürütülür eşitlik f(–x)= f(x). Örnekler ver.

Def. 2İşlev y = f(x) X kümesinde tanımlanan , denir garip herhangi bir değer için ise X? X f(–х)= –f(х) eşitliği geçerlidir. Örnekler ver.

“Çift” ve “tek” terimlerini nerede karşıladık?
Bu işlevlerden hangisinin çift olacağını düşünüyorsunuz? Neden? Hangileri tuhaf? Neden?
Formun herhangi bir işlevi için en= xn, Nerede N– bir tamsayı olduğunda fonksiyonun tek olduğu iddia edilebilir. N– tek ve fonksiyon çift olduğunda N- eşit.
– İşlevleri görüntüle en= ve en = 2X– 3 ne çift ne de tektir çünkü eşitlikler tatmin edici değil F(– X) = – F(X), F(– X) = F(X)

Bir fonksiyonun çift mi yoksa tek mi olduğunun incelenmesine, bir fonksiyonun eşlik açısından incelenmesi denir. Slayt

Tanım 1 ve 2'de fonksiyonun x ve –x'deki değerlerinden bahsediyorduk, dolayısıyla fonksiyonun aynı zamanda değerde de tanımlandığı varsayılıyor. X ve - X.

Def 3. Bir sayısal küme, x öğelerinin her biri ile birlikte karşıt öğe olan -x'i de içeriyorsa, o zaman küme X simetrik küme denir.

Örnekler:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) simetrik kümelerdir ve , [–5;4] asimetriktir.

– Fonksiyonların bile simetrik bir küme olan bir tanım alanı var mı? Garip olanlar mı?
– Eğer D( F) asimetrik bir küme ise fonksiyon nedir?
– Böylece, eğer fonksiyon en = F(X) – çift veya tek ise tanım alanı D('dir) F) simetrik bir kümedir. Tersi ifade doğru mu: Bir fonksiyonun tanım tanım kümesi simetrik bir küme ise, o zaman çift mi yoksa tek mi?
– Bu, tanım alanının simetrik bir kümesinin varlığının gerekli bir koşul olduğu ancak yeterli olmadığı anlamına gelir.
– Peki parite için bir fonksiyon nasıl incelenir? Bir algoritma oluşturmaya çalışalım.

Slayt

Eşlik fonksiyonunu incelemek için algoritma

1. Fonksiyonun tanım tanım kümesinin simetrik olup olmadığını belirleyin. Değilse, o zaman fonksiyon ne çift ne de tektir. Cevabınız evet ise algoritmanın 2. adımına gidin.

2. için bir ifade yazın F(–X).

3. Karşılaştırın F(–X).Ve F(X):

• Eğer F(–X).= F(X), o zaman fonksiyon çifttir;
• Eğer F(–X).= – F(X), o zaman fonksiyon tektir;
• Eğer F(–X) ≠ F(X) Ve F(–X) ≠ –F(X), bu durumda fonksiyon ne çift ne de tektir.

Örnekler:

Eşlik açısından a) fonksiyonunu inceleyin en= x 5 +; B) en= ; V) en= .

Çözüm.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), simetrik küme.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => fonksiyonu h(x)= x 5 + tek.

b) y =,

en = F(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asimetrik bir kümedir; bu, fonksiyonun ne çift ne de tek olduğu anlamına gelir.

V) F(X) = , y = f(x),

1)D( F) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

seçenek 2

1. Verilen küme simetrik midir: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y = x (5 – x 2). 2. Eşlik fonksiyonunu inceleyin:

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

3. Şek. bir grafik oluşturuldu en = F(X), hepsi için X, koşulu karşılayan X? 0.
Fonksiyonun Grafiği en = F(X), Eğer en = F(X) eşit bir fonksiyondur.

3. Şek. bir grafik oluşturuldu en = F(X), x koşulunu sağlayan tüm x'ler için? 0.
Fonksiyonun Grafiği en = F(X), Eğer en = F(X) tek bir fonksiyondur.

Karşılıklı kontrol açık slayt.

6. Ödev: №11.11, 11.21,11.22;

Parite özelliğinin geometrik anlamının kanıtı.

***(Birleşik Devlet Sınavı seçeneğinin atanması).

1. y = f(x) tek fonksiyonu sayı doğrusunun tamamında tanımlıdır. x değişkeninin negatif olmayan herhangi bir değeri için, bu fonksiyonun değeri, g( fonksiyonunun değeriyle çakışır. X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). h( fonksiyonunun değerini bulun X) = en X = 3.

7. Özetleme

Bunlar size bir dereceye kadar tanıdık geliyordu. Burada ayrıca fonksiyon özellikleri stoğunun kademeli olarak yenileneceği de belirtildi. Bu bölümde iki yeni özellik ele alınacaktır.

Tanım 1.

y = f(x), x є X fonksiyonu, X kümesindeki herhangi bir x değeri için f(-x) = f(x) eşitliği sağlansa bile çağrılır.

Tanım 2.

X kümesindeki herhangi bir x değeri için f(-x) = -f(x) eşitliği sağlanıyorsa, y = f(x), x є X fonksiyonuna tek fonksiyon denir.

y = x 4'ün çift fonksiyon olduğunu kanıtlayın.

Çözüm. Elimizde: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Ama(-x) 4 = x 4. Bu, herhangi bir x için f(-x) = f(x) eşitliğinin geçerli olduğu anlamına gelir; fonksiyon eşittir.

Benzer şekilde y - x 2, y = x 6, y - x 8 fonksiyonlarının çift olduğu kanıtlanabilir.

y = x 3 ~'in tek bir fonksiyon olduğunu kanıtlayın.

Çözüm. Elimizde: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Ama (-x) 3 = -x 3. Bu, herhangi bir x için f(-x) = -f(x) eşitliğinin geçerli olduğu anlamına gelir; fonksiyon tuhaftır.

Benzer şekilde y = x, y = x 5, y = x 7 fonksiyonlarının tek olduğu kanıtlanabilir.

Siz ve ben, matematikteki yeni terimlerin çoğu zaman "dünyevi" bir kökene sahip olduğuna defalarca ikna olduk, yani. bir şekilde açıklanabilirler. Bu durum hem çift hem de tek fonksiyonlarda geçerlidir. Bakınız: y - x 3, y = x 5, y = x 7 tek fonksiyonlardır, y = x 2, y = x 4, y = x 6 ise çift fonksiyonlardır. Ve genel olarak, n'nin bir doğal sayı olduğu y = x" formundaki herhangi bir fonksiyon için (aşağıda bu fonksiyonları özellikle inceleyeceğiz), şu sonuca varabiliriz: eğer n tek bir sayı ise, o zaman y = x" fonksiyonu şu şekildedir: garip; n bir çift sayı ise y = xn fonksiyonu çifttir.

Ayrıca ne çift ne de tek olan fonksiyonlar da vardır. Örneğin y = 2x + 3 fonksiyonu böyledir. Aslında f(1) = 5 ve f(-1) = 1. Dolayısıyla burada da görebildiğiniz gibi f(-x) = özdeşliği de yoktur. f ( x), ne de f(-x) = -f(x) özdeşliği.

Yani bir fonksiyon çift olabilir, tek olabilir veya ikisi de olmayabilir.

Belirli bir fonksiyonun çift mi yoksa tek mi olduğunun incelenmesine genellikle eşlik çalışması denir.

Tanım 1 ve 2'de Hakkında konuşuyoruz fonksiyonun x ve -x noktalarındaki değerleri hakkında. Bu, fonksiyonun hem x noktasında hem de -x noktasında tanımlandığını varsayar. Bu, -x noktasının, x noktasıyla aynı anda fonksiyonun tanım bölgesine ait olduğu anlamına gelir. Eğer bir X sayısal kümesi, her bir x öğesiyle birlikte karşıt öğe olan -x'i de içeriyorsa, X'e simetrik küme denir. Diyelim ki (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) simetrik kümeler, )