Bir sayının logaritmadan nasıl ifade edileceği. Denklemler ve eşitsizlikler. Yeni bir temele geçiş

Bu makalenin odak noktası logaritma. Burada logaritmanın tanımını vereceğiz, kabul edilen gösterimi göstereceğiz, logaritma örnekleri vereceğiz, doğal ve ondalık logaritmalardan bahsedeceğiz. Bundan sonra temel logaritmik özdeşliği ele alacağız.

Sayfada gezinme.

logaritmanın tanımı

Logaritma kavramı bir problemi çözerken ortaya çıkar. belli bir anlamda tersi, üssü bulmanız gerektiğinde bilinen değer derece ve bilinen esas.

Ancak bu kadar önsöz yeter, artık "logaritma nedir" sorusunu yanıtlamanın zamanı geldi? İlgili tanımı verelim.

Tanım.

b'nin a tabanına göre logaritması burada a>0, a≠1 ve b>0, sonuç olarak b'yi elde etmek için a sayısını yükseltmeniz gereken üstür.

Bu aşamada, söylenen "logaritma" kelimesinin hemen iki takip sorusunu gündeme getirmesi gerektiğine dikkat çekiyoruz: "hangi sayı" ve "hangi temelde?" Başka bir deyişle, logaritma yoktur, yalnızca bir sayının bir tabana göre logaritması vardır.

Hemen giriş yapalım logaritma gösterimi: Bir b sayısının a tabanına göre logaritması genellikle log a b olarak gösterilir. B sayısının e tabanına göre logaritmasının ve 10 tabanına göre logaritmasının sırasıyla kendi özel isimleri lnb ve logb vardır, yani log e b değil lnb yazarlar ve log 10 b değil lgb yazarlar.

Şimdi şunu verebiliriz: .
Ve kayıtlar mantıklı değil çünkü birincisinde logaritma işaretinin altında negatif bir sayı, ikincisinde tabanda negatif bir sayı, üçüncüsünde ise logaritma işaretinin altında negatif bir sayı ve bir birim var. taban.

Şimdi konuşalım logaritma okuma kuralları. Log a b, "b'nin a tabanına göre logaritması" olarak okunur. Örneğin, log 2 3, üçün 2 tabanına göre logaritmasıdır ve iki virgül üçte ikinin 2 tabanına göre logaritmasıdır. karekök beş üzerinden. e tabanına göre logaritmaya denir doğal logaritma ve lnb gösterimi "b'nin doğal logaritması" olarak okunur. Örneğin ln7, yedinin doğal logaritması ve bunu pi'nin doğal logaritması olarak okuyacağız. 10 tabanındaki logaritmanın özel bir adı da vardır: ondalık logaritma ve lgb "b'nin ondalık logaritması" olarak okunur. Örneğin, lg1 birin ondalık logaritmasıdır ve lg2,75 iki virgül yedi beş yüzde birinin ondalık logaritmasıdır.

Logaritmanın tanımının verildiği a>0, a≠1 ve b>0 koşulları üzerinde ayrıca durmakta yarar var. Bu kısıtlamaların nereden geldiğini açıklayalım. Yukarıda verilen logaritmanın tanımından doğrudan çıkan, denilen formun eşitliği bunu yapmamıza yardımcı olacaktır.

a≠1 ile başlayalım. Bir üzeri herhangi bir kuvvet bire eşit olduğundan eşitlik yalnızca b=1 olduğunda doğru olabilir, ancak log 1 1 herhangi bir gerçek sayı olabilir. Bu belirsizliği önlemek için a≠1 varsayılmaktadır.

a>0 koşulunun uygunluğunu gerekçelendirelim. Logaritmanın tanımına göre a=0 ile yalnızca b=0 ile mümkün olan bir eşitliğe sahip oluruz. Ancak log 0 0, sıfırdan farklı herhangi bir gerçek sayı olabilir, çünkü sıfırın sıfırdan farklı herhangi bir kuvveti sıfırdır. a≠0 koşulu bu belirsizlikten kaçınmamızı sağlar. Ve ne zaman bir<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Son olarak, b>0 koşulu a>0 eşitsizliğinden kaynaklanır, çünkü a pozitif tabanlı bir kuvvetin değeri her zaman pozitiftir.

Bu noktayı sonuçlandırmak için diyelim ki, logaritmanın belirtilen tanımı, logaritma işaretinin altındaki sayının tabanın belirli bir kuvveti olduğunda logaritmanın değerini hemen belirtmenize olanak tanıyor. Aslında, bir logaritmanın tanımı, eğer b=a p ise, b sayısının a tabanına göre logaritmasının p'ye eşit olduğunu belirtmemize olanak tanır. Yani loga a p =p eşitliği doğrudur. Örneğin, 2 3 =8 olduğunu, ardından log 2 8=3 olduğunu biliyoruz. Makalede bunun hakkında daha fazla konuşacağız.

Bildiğiniz gibi ifadeleri kuvvetlerle çarparken üsleri daima toplanır (a b *a c = a b+c). Bu matematik kanunu Arşimed tarafından türetildi ve daha sonra 8. yüzyılda matematikçi Virasen tamsayı üslerinden oluşan bir tablo oluşturdu. Logaritmanın daha fazla keşfedilmesine hizmet edenler onlardı. Bu işlevin kullanımına ilişkin örnekler, zahmetli çarpma işlemlerini basit toplama yoluyla basitleştirmeniz gereken hemen hemen her yerde bulunabilir. Bu makaleyi okumaya 10 dakikanızı ayırırsanız size logaritmanın ne olduğunu ve onlarla nasıl çalışılacağını açıklayacağız. Basit ve erişilebilir bir dille.

Matematikte tanım

Logaritma aşağıdaki formun bir ifadesidir: log a b=c, yani herhangi bir sayının logaritması negatif sayı(yani herhangi bir pozitif) “b”, “a” tabanına göre “c”nin kuvveti olarak kabul edilir ve sonuçta “b” değerini elde etmek için “a” tabanının yükseltilmesi gerekir. Logaritmayı örneklerle inceleyelim, diyelim ki log 2 8 ifadesi var. Cevap nasıl bulunur? Çok basit, öyle bir güç bulmanız gerekiyor ki 2'den gerekli güce 8 ulaşacaksınız. Kafanızda bazı hesaplamalar yaptıktan sonra 3 sayısını elde ediyoruz! Ve bu doğru çünkü 2 üssü 3 cevabı 8 olarak veriyor.

Logaritma türleri

Birçok öğrenci ve öğrenci için bu konu karmaşık ve anlaşılmaz görünüyor, ancak aslında logaritmalar o kadar da korkutucu değil, asıl önemli olan genel anlamlarını anlamak ve özelliklerini ve bazı kurallarını hatırlamaktır. Üç tane var bireysel türler logaritmik ifadeler:

1. Doğal logaritma ln a, burada taban Euler sayısıdır (e = 2,7).
2. Tabanı 10 olan ondalık a.
3. Herhangi bir b sayısının a>1 tabanına göre logaritması.

Her birine karar verildi standart bir şekilde Logaritmik teoremleri kullanarak basitleştirmeyi, indirgemeyi ve ardından bir logaritmaya indirgemeyi içerir. Almak için doğru değerler logaritmalar, bunları çözerken özelliklerini ve eylem sırasını hatırlamalısınız.

Kurallar ve bazı kısıtlamalar

Matematikte aksiyom olarak kabul edilen, yani tartışmaya konu olmayan ve gerçek olan birçok kural-kısıtlama vardır. Örneğin sayıları sıfıra bölmek mümkün olmadığı gibi negatif sayıların çift kökünü çıkarmak da imkansızdır. Logaritmaların da kendi kuralları vardır; bunları takip ederek uzun ve kapsamlı logaritmik ifadelerle bile çalışmayı kolayca öğrenebilirsiniz:

• "a" tabanı her zaman sıfırdan büyük olmalı ve 1'e eşit olmamalıdır, aksi takdirde ifade anlamını kaybeder, çünkü "1" ve "0" herhangi bir dereceye kadar her zaman değerlerine eşittir;
• a > 0 ise a b >0 ise "c"nin de sıfırdan büyük olması gerektiği ortaya çıkar.

Logaritmalar nasıl çözülür?

Örneğin 10 x = 100 denkleminin cevabını bulma görevi veriliyor. Bu çok kolay, on sayısını artırarak 100'e ulaşacağımız bir kuvvet seçmeniz gerekiyor. Bu elbette 10 2 = 100.

Şimdi bu ifadeyi logaritmik formda gösterelim. Log 10 100 = 2 elde ederiz. Logaritmaları çözerken, belirli bir sayıyı elde etmek için logaritmanın tabanına girmenin gerekli olduğu gücü bulmak için tüm eylemler pratik olarak birleşir.

Bilinmeyen bir derecenin değerini doğru bir şekilde belirlemek için derece tablosuyla nasıl çalışılacağını öğrenmeniz gerekir. Şuna benziyor:

Gördüğünüz gibi, eğer teknik bir aklınız ve çarpım tablosu bilginiz varsa, bazı üsler sezgisel olarak tahmin edilebilir. Ancak daha büyük değerler için güç tablosuna ihtiyacınız olacaktır. Karmaşık matematik konuları hakkında hiçbir şey bilmeyen kişiler tarafından bile kullanılabilir. Sol sütun sayıları içerir (a tabanı), sayıların üst satırı a sayısının yükseltildiği c kuvvetinin değeridir. Kesişme noktasında hücreler cevap olan sayı değerlerini içerir (a c =b). Mesela 10 rakamının olduğu ilk hücreyi alıp karesini alalım, iki hücremizin kesişiminde gösterilen 100 değerini elde ederiz. Her şey o kadar basit ve kolaydır ki en gerçek hümanist bile anlayacaktır!

Denklemler ve eşitsizlikler

Belirli koşullar altında üssün logaritma olduğu ortaya çıktı. Bu nedenle herhangi bir matematiksel sayısal ifade logaritmik eşitlik olarak yazılabilir. Örneğin 3 4 =81, 81'in 3 tabanlı logaritması dörde eşit (log 3 81 = 4) olarak yazılabilir. Negatif kuvvetler için kurallar aynıdır: 2 -5 = 1/32 logaritma olarak yazarsak log 2 (1/32) = -5 elde ederiz. Matematiğin en büyüleyici bölümlerinden biri “logaritmalar” konusudur. Özelliklerini inceledikten hemen sonra aşağıdaki denklem örneklerine ve çözümlerine bakacağız. Şimdi eşitsizliklerin neye benzediğine ve onları denklemlerden nasıl ayıracağımıza bakalım.

Aşağıdaki formun bir ifadesi verilmiştir: log 2 (x-1) > 3 - bu logaritmik bir eşitsizliktir, çünkü bilinmeyen “x” değeri logaritmik işaretin altındadır. Ayrıca ifadede iki nicelik karşılaştırılır: İstenilen sayının iki tabanına göre logaritması üç sayısından büyüktür.

Logaritmik denklemler ve eşitsizlikler arasındaki en önemli fark, logaritmalı denklemlerin (örneğin logaritma 2 x = √9) bir veya daha fazla spesifik cevabı ima etmesidir. sayısal değerler eşitsizliği çözerken hem izin verilen değerlerin aralığı hem de bu fonksiyonun kesme noktaları belirlenir. Sonuç olarak cevap, bir denklemin cevabında olduğu gibi basit bir bireysel sayılar dizisi değil, sürekli bir dizi veya sayı dizisidir.

Logaritmalarla ilgili temel teoremler

Logaritmanın değerlerini bulma gibi ilkel görevleri çözerken özellikleri bilinmeyebilir. Ancak konu logaritmik denklemler veya eşitsizlikler olduğunda öncelikle logaritmanın tüm temel özelliklerini net bir şekilde anlamak ve pratikte uygulamak gerekir. Daha sonra denklem örneklerine bakacağız; önce her özelliğe daha ayrıntılı olarak bakalım.

1. Ana kimlik şuna benzer: a logaB =B. Bu yalnızca a'nın 0'dan büyük olması, bire eşit olmaması ve B'nin sıfırdan büyük olması durumunda geçerlidir.
2. Çarpımın logaritması şu formülle temsil edilebilir: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Bu durumda zorunlu koşul şudur: d, s 1 ve s 2 > 0; a≠1. Bu logaritmik formülün ispatını örneklerle ve çözümle yapabilirsiniz. Log a s 1 = f 1 ve log a s 2 = f 2 olsun, sonra a f1 = s 1, a f2 = s 2 olsun. s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 sonucunu elde ederiz (özellikleri derece ) ve ardından tanım gereği: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, bunun kanıtlanması gerekiyordu.
3. Bölümün logaritması şuna benzer: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Formül biçimindeki teorem şu biçimi alır: log a q b n = n/q log a b.

Bu formüle “logaritma derecesinin özelliği” denir. Sıradan derecelerin özelliklerine benzer ve bu şaşırtıcı değildir çünkü tüm matematik doğal önermelere dayanmaktadır. Kanıta bakalım.

Log a b = t olsun, a t =b olur. Her iki parçayı da m kuvvetine çıkarırsak: a tn = b n ;

ancak a tn = (a q) nt/q = b n olduğundan, log a q b n = (n*t)/t olduğundan, log a q b n = n/q log a b olur. Teorem kanıtlandı.

Sorun ve eşitsizlik örnekleri

Logaritmalarla ilgili en yaygın problem türleri denklem ve eşitsizlik örnekleridir. Neredeyse tüm problem kitaplarında bulunurlar ve aynı zamanda matematik sınavlarının da zorunlu bir parçasıdırlar. Üniversiteye kabul veya geçme için giriş sınavları matematikte bu tür problemlerin nasıl doğru şekilde çözüleceğini bilmeniz gerekir.

Ne yazık ki, logaritmanın bilinmeyen değerini çözmek ve belirlemek için tek bir plan veya şema yoktur, ancak her matematiksel eşitsizliğe veya logaritmik denkleme belirli kurallar uygulanabilir. Her şeyden önce, ifadenin basitleştirilip basitleştirilemeyeceğini veya sonuçlanabileceğini öğrenmelisiniz. genel görünüm. Uzun logaritmik ifadeleri, özelliklerini doğru kullanırsanız basitleştirebilirsiniz. Onları hızlıca tanıyalım.

Karar verirken logaritmik denklemler, ne tür bir logaritmaya sahip olduğumuzu belirlememiz gerekir: örnek bir ifade, doğal bir logaritma veya ondalık bir logaritma içerebilir.

İşte ln100, ln1026 örnekleri. Çözümleri, 10 tabanının sırasıyla 100 ve 1026'ya eşit olacağı gücü belirlemeleri gerektiği gerçeğine dayanıyor. Çözümler için doğal logaritmalar logaritmik kimlikleri veya özelliklerini uygulamanız gerekir. Çeşitli türlerdeki logaritmik problemleri çözme örneklerine bakalım.

Logaritma Formülleri Nasıl Kullanılır: Örnekler ve Çözümlerle

Şimdi logaritmalarla ilgili temel teoremlerin kullanımına ilişkin örneklere bakalım.

1. Bir ürünün logaritmasının özelliği, genişletilmesi gereken görevlerde kullanılabilir. büyük değer b sayılarını daha basit çarpanlara ayırın. Örneğin, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Cevap 9'dur.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - görebileceğiniz gibi, logaritmanın kuvvetinin dördüncü özelliğini kullanarak, görünüşte karmaşık ve çözülemez bir ifadeyi çözmeyi başardık. Tabanı çarpanlara ayırmanız ve ardından üs değerlerini logaritmanın işaretinden çıkarmanız yeterlidir.

Birleşik Devlet Sınavından Ödevler

Logaritmalar sıklıkla bulunur giriş sınavları, özellikle Birleşik Devlet Sınavında (tüm okul mezunları için devlet sınavı) birçok logaritmik problem. Genellikle bu görevler yalnızca A bölümünde mevcut değildir (en kolayı) test bölümü sınav), ancak aynı zamanda C bölümünde (en karmaşık ve hacimli görevler). Sınav, “Doğal logaritmalar” konusunda doğru ve mükemmel bilgi gerektirir.

Sorunlara ilişkin örnekler ve çözümler resmi kaynaklardan alınmıştır. Birleşik Devlet Sınavı seçenekleri. Bu tür görevlerin nasıl çözüldüğünü görelim.

Log 2 (2x-1) = 4 verildiğinde. Çözüm:
ifadeyi biraz basitleştirerek yeniden yazalım log 2 (2x-1) = 2 2, logaritmanın tanımından 2x-1 = 2 4, dolayısıyla 2x = 17 elde ederiz; x = 8,5.

• Çözümün hantal ve kafa karıştırıcı olmaması için tüm logaritmaların aynı tabana indirilmesi en iyisidir.
• Logaritmanın işaretinin altındaki tüm ifadeler pozitif olarak gösterilir, dolayısıyla logaritmanın işaretinin altında olan bir ifadenin tabanı çarpan olarak üssü çıkarıldığında logaritmanın altında kalan ifadenin pozitif olması gerekir.

Bir sayının logaritması N dayalı A üs denir X oluşturmanız gereken A numarayı almak için N

Şartıyla
,
,

Logaritmanın tanımından şu sonuç çıkıyor
, yani
- bu eşitlik temel logaritmik özdeşliktir.

10 tabanına göre logaritmalara ondalık logaritma denir. Yerine
yazmak
.

Tabana göre logaritmalar e doğal olarak adlandırılır ve belirlenir
.

Logaritmanın temel özellikleri.

Herhangi bir tabandaki birin logaritması sıfıra eşit

Ürünün logaritması, faktörlerin logaritmasının toplamına eşittir.

3) Bölümün logaritması logaritmaların farkına eşittir

Faktör
logaritmalardan tabana geçiş modülü denir A tabandaki logaritmalara B .

2-5 özelliklerini kullanarak, karmaşık bir ifadenin logaritmasını logaritmalar üzerinde yapılan basit aritmetik işlemlerin sonucuna indirgemek genellikle mümkündür.

Örneğin,

Bir logaritmanın bu tür dönüşümlerine logaritma denir. Logaritmanın tersi olan dönüşümlere potansiyasyon denir.

Bölüm 2. Yüksek matematiğin unsurları.

1. Sınırlar

Fonksiyonun sınırı
sonlu bir sayıdır A eğer xx 0 önceden belirlenmiş her biri için
öyle bir sayı var ki
en kısa sürede
, O
.

Limiti olan bir fonksiyon ondan sonsuz küçük bir miktarda farklılık gösterir:
, nerede- b.m.v., yani.
.

Örnek. İşlevi düşünün
.

Çabalarken
, işlev sen sıfıra doğru eğilim gösterir:

1.1. Limitlerle ilgili temel teoremler.

Sabit bir değerin limiti bu sabit değere eşittir

.

Sonlu sayıda fonksiyonun toplamının (farkının) limiti, bu fonksiyonların limitlerinin toplamına (farkına) eşittir.

Sonlu sayıda fonksiyonun çarpımının limiti, bu fonksiyonların limitlerinin çarpımına eşittir.

Paydanın limiti sıfır değilse, iki fonksiyonun bölümünün limiti, bu fonksiyonların limitlerinin bölümüne eşittir.

Harika Sınırlar

,
, Nerede

1.2. Limit Hesaplama Örnekleri

Ancak tüm limitler bu kadar kolay hesaplanmıyor. Çoğu zaman, limitin hesaplanması şu türden bir belirsizliğin ortaya çıkarılmasına indirgenir: veya .

.

2. Bir fonksiyonun türevi

Bir fonksiyonumuz olsun
, segmentte sürekli
.

Argüman biraz artış var
. Daha sonra fonksiyon bir artış alacaktır
.

Bağımsız değişken değeri fonksiyon değerine karşılık gelir
.

Bağımsız değişken değeri
fonksiyon değerine karşılık gelir.

Buradan, .

Bu oranın limitini bulalım.
. Eğer bu limit mevcutsa buna verilen fonksiyonun türevi denir.

Tanım 3 Verilen bir fonksiyonun türevi
argümanla argümanın artışı keyfi olarak sıfıra yaklaştığında, bir fonksiyonun artışının argümanın artışına oranının limiti denir.

Bir fonksiyonun türevi
aşağıdaki gibi belirlenebilir:

; ; ; .

Tanım 4Bir fonksiyonun türevini bulma işlemine denir farklılaşma.

2.1. Türevin mekanik anlamı.

Katı bir cismin ya da maddesel bir noktanın doğrusal hareketini ele alalım.

Zamanın bir noktasında izin ver hareket noktası
uzaktaydı başlangıç ​​pozisyonundan
.

Bir süre sonra
mesafe kat etti
. Davranış =- maddi bir noktanın ortalama hızı
. Bunu dikkate alarak bu oranın limitini bulalım.
.

Sonuç olarak, maddi bir noktanın anlık hareket hızının belirlenmesi, yolun zamana göre türevinin bulunmasına indirgenir.

2.2. Türevin geometrik değeri

Grafiksel olarak tanımlanmış bir fonksiyonumuz olsun
.

Pirinç. 1. Türevin geometrik anlamı

Eğer
, sonra işaret et
, noktaya yaklaşarak eğri boyunca hareket edecek
.

Buradan
, yani argümanın belirli bir değeri için türevin değeri Belirli bir noktada tanjantın eksenin pozitif yönü ile oluşturduğu açının tanjantına sayısal olarak eşittir
.

2.3. Temel farklılaşma formülleri tablosu.

Güç fonksiyonu

Üstel fonksiyon

Logaritmik fonksiyon

Trigonometrik fonksiyon

Ters trigonometrik fonksiyon

2.4. Farklılaşma kuralları.

Türevi

Fonksiyonların toplamının (farkının) türevi

İki fonksiyonun çarpımının türevi

İki fonksiyonun bölümünün türevi

2.5. Türevi karmaşık fonksiyon.

Fonksiyon verilsin
şeklinde temsil edilebilecek şekilde

Ve
değişken burada o zaman bir ara argümandır

Karmaşık bir fonksiyonun türevi, verilen fonksiyonun ara argümana göre türevi ile ara argümanın x'e göre türevinin çarpımına eşittir.

Örnek 1.

Örnek 2.

3. Diferansiyel fonksiyon.

Olsun
, belirli bir aralıkta türevlenebilir
ve izin ver en bu fonksiyonun bir türevi var

,

o zaman yazabiliriz

(1),

Nerede - sonsuz küçük bir miktar,

ne zamandan beri

Tüm eşitlik koşullarını (1) ile çarpmak
sahibiz:

Nerede
- b.m.v. daha yüksek sipariş.

Büyüklük
fonksiyonun diferansiyeli denir
ve belirlenmiş

.

3.1. Diferansiyelin geometrik değeri.

Fonksiyon verilsin
.

Şekil 2. Diferansiyelin geometrik anlamı.

.

Açıkçası, fonksiyonun diferansiyeli
belirli bir noktadaki teğetin koordinatındaki artışa eşittir.

3.2. Çeşitli mertebelerden türevler ve diferansiyeller.

eğer varsa
, Daha sonra
birinci türev denir.

Birinci türevin türevine ikinci dereceden türev denir ve şöyle yazılır:
.

Fonksiyonun n'inci dereceden türevi
(n-1)'inci dereceden türev olarak adlandırılır ve şöyle yazılır:

.

Bir fonksiyonun diferansiyelinin diferansiyeline ikinci diferansiyel veya ikinci derece diferansiyel denir.

.

.

3.3 Biyolojik problemlerin farklılaşmayı kullanarak çözülmesi.

Görev 1. Çalışmalar, bir mikroorganizma kolonisinin büyümesinin yasalara uygun olduğunu göstermiştir.
, Nerede N – mikroorganizmaların sayısı (bin olarak), T – zaman (günler).

b) Bu dönemde koloninin nüfusu artacak mı yoksa azalacak mı?

Cevap. Koloninin boyutu artacaktır.

Görev 2. Göldeki su, patojen bakterilerin içeriğini izlemek için periyodik olarak test edilir. Başından sonuna kadar T testten sonraki günler, bakteri konsantrasyonu orana göre belirlenir

.

Gölde ne zaman minimum bakteri konsantrasyonu olacak ve içinde yüzmek mümkün olacak mı?

Çözüm: Bir fonksiyon, türevi sıfır olduğunda maksimum veya minimuma ulaşır.

,

Maksimum veya minimumun 6 gün sonra olacağını belirleyelim. Bunu yapmak için ikinci türevi alalım.

Cevap: 6 gün sonra minimum bakteri konsantrasyonu olacaktır.

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Daha basit bir şekilde açıklayalım. Örneğin, \(\log_(2)(8)\), \(8\) elde etmek için \(2\)'nin yükseltilmesi gereken kuvvete eşittir. Bundan \(\log_(2)(8)=3\) olduğu açıktır.

Argüman ve logaritmanın tabanı

Herhangi bir logaritma aşağıdaki “anatomiye” sahiptir:

Bir logaritmanın argümanı genellikle kendi düzeyinde yazılır ve tabanı, logaritma işaretine daha yakın bir alt simgeyle yazılır. Ve bu girdi şu şekilde okunur: "Yirmi beşin beş tabanına göre logaritması."

Logaritma nasıl hesaplanır?

Logaritmayı hesaplamak için şu soruyu yanıtlamanız gerekir: Tartışmayı elde etmek için taban hangi güce yükseltilmelidir?

Örneğin, logaritmayı hesaplayın: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) \(16\) elde etmek için \(4\) hangi kuvvete yükseltilmelidir? Açıkçası ikincisi. Bu yüzden:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) \(1\) elde etmek için \(\sqrt(5)\) hangi kuvvete yükseltilmelidir? Hangi güç herhangi bir numarayı bir numara yapar? Elbette sıfır!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\) elde etmek için \(\sqrt(7)\) hangi kuvvete yükseltilmelidir? Öncelikle herhangi bir sayının birinci kuvveti kendisine eşittir.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) \(\sqrt(3)\) elde etmek için \(3\) hangi kuvvete yükseltilmelidir? Bunun kesirli bir kuvvet olduğunu biliyoruz, bu da karekökün \(\frac(1)(2)\) kuvveti olduğu anlamına gelir.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Örnek : Logaritmayı hesaplayın \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Çözüm :

Cevap : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Logaritma neden icat edildi?

Bunu anlamak için denklemi çözelim: \(3^(x)=9\). Eşitliğin işe yaraması için \(x\) ile eşleşmeniz yeterli. Elbette \(x=2\).

Şimdi denklemi çözün: \(3^(x)=8\).x neye eşittir? Önemli olan bu.

En akıllıları şunu söyleyecektir: "X ikiden biraz küçüktür." Bu sayı tam olarak nasıl yazılır? Bu soruyu cevaplamak için logaritma icat edildi. Onun sayesinde buradaki cevap \(x=\log_(3)(8)\) şeklinde yazılabilir.

Şunu vurgulamak istiyorum: \(\log_(3)(8)\), mesela herhangi bir logaritma sadece bir sayıdır. Evet, sıradışı görünüyor ama kısa. Çünkü eğer bunu forma yazmak isteseydik ondalık olsaydı şu şekilde görünürdü: \(1.892789260714.....\)

Örnek : \(4^(5x-4)=10\) denklemini çözün

Çözüm :

Cevap : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Ondalık ve doğal logaritmalar

Logaritmanın tanımında belirtildiği gibi tabanı \((a>0, a\neq1)\) dışında herhangi bir pozitif sayı olabilir. Ve tüm olası tabanlar arasında, o kadar sık ​​karşılaşılan iki taban var ki, bunlarla logaritmalar için özel bir kısa notasyon icat edildi:

Doğal logaritma: tabanı Euler sayısı \(e\) (yaklaşık olarak \(2,7182818…\)'ye eşit) olan ve logaritma \(\ln(a)\) olarak yazılan bir logaritma.

Yani, \(\ln(a)\) \(\log_(e)(a)\) ile aynıdır

Ondalık Logaritma: Tabanı 10 olan logaritma \(\lg(a)\) olarak yazılır.

Yani, \(\lg(a)\) \(\log_(10)(a)\) ile aynıdır, burada \(a\) bir sayıdır.

Temel logaritmik kimlik

Logaritmaların birçok özelliği vardır. Bunlardan birine “Temel Logaritmik Kimlik” denir ve şuna benzer:

Bu özellik doğrudan tanımdan kaynaklanmaktadır. Bu formülün tam olarak nasıl ortaya çıktığını görelim.

Logaritmanın tanımına ilişkin kısa bir notasyonu hatırlayalım:

eğer \(a^(b)=c\), o zaman \(\log_(a)(c)=b\)

Yani \(b\), \(\log_(a)(c)\) ile aynıdır. Daha sonra \(a^(b)=c\) formülünde \(b\) yerine \(\log_(a)(c)\) yazabiliriz. Ana logaritmik kimlik olan \(a^(\log_(a)(c))=c\) ortaya çıktı.

Logaritmanın diğer özelliklerini bulabilirsiniz. Onların yardımıyla, doğrudan hesaplanması zor olan ifadelerin değerlerini logaritmalarla basitleştirebilir ve hesaplayabilirsiniz.

Örnek : \(36^(\log_(6)(5))\) ifadesinin değerini bulun

Çözüm :

Cevap : \(25\)

Bir sayı logaritma olarak nasıl yazılır?

Yukarıda belirtildiği gibi, herhangi bir logaritma yalnızca bir sayıdır. Bunun tersi de doğrudur: Herhangi bir sayı logaritma olarak yazılabilir. Örneğin, \(\log_(2)(4)\)'un ikiye eşit olduğunu biliyoruz. O zaman iki yerine \(\log_(2)(4)\) yazabilirsiniz.

Ancak \(\log_(3)(9)\) aynı zamanda \(2\)'ye eşittir, bu da \(2=\log_(3)(9)\) yazabileceğimiz anlamına gelir. Aynı şekilde \(\log_(5)(25)\) ve \(\log_(9)(81)\), vb. ile. Yani ortaya çıkıyor

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Böylece, eğer ihtiyaç duyarsak, ikiyi herhangi bir yerde herhangi bir tabanla logaritma olarak yazabiliriz (bir denklemde, bir ifadede, bir eşitsizlikte bile) - basitçe tabanın karesini argüman olarak yazabiliriz.

Üçlü için de durum aynıdır; \(\log_(2)(8)\), \(\log_(3)(27)\) veya \(\log_(4)() olarak yazılabilir. 64) \)... Burada küpteki tabanı argüman olarak yazıyoruz:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Ve dört ile:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Ve eksi bir ile:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

Ve üçte biriyle:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Herhangi bir \(a\) sayısı \(b\) tabanına sahip bir logaritma olarak temsil edilebilir: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Örnek : İfadenin anlamını bulun \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Çözüm :

Cevap : \(1\)

1. Logaritma işaretinin altında negatif sayılar veya bir sayı olup olmadığını kontrol edin. Bu yöntem formun ifadeleri için geçerlidir log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). Ancak bazı özel durumlar için uygun değildir:

   • Negatif bir sayının logaritması herhangi bir tabanda tanımsızdır (örneğin, günlük ⁡ (− 3) (\displaystyle \log(-3)) veya günlük 4 ⁡ (− 5) (\displaystyle \log _(4)(-5))). Bu durumda "çözüm yok" yazın.
   • Sıfırın herhangi bir tabana göre logaritması da tanımsızdır. Eğer yakalanırsan ln ⁡ (0) (\displaystyle \ln(0)), "çözüm yok" yazın.
   • Birin herhangi bir tabana göre logaritması ( günlük ⁡ (1) (\displaystyle \log(1))) her zaman sıfırdır, çünkü x 0 = 1 (\displaystyle x^(0)=1) tüm değerler için X. Bu logaritma yerine 1 yazın ve aşağıdaki yöntemi kullanmayın.
   • Logaritmaların farklı tabanları varsa, örneğin l Ö g 3 (x) l Ö g 4 (a) (\displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))), ve tam sayılara indirgenmediği için ifadenin değeri manuel olarak bulunamaz.

2. İfadeyi bir logaritmaya dönüştürün.İfade yukarıdakilerden biri değilse özel günler tek bir logaritma olarak temsil edilebilir. Bunun için aşağıdaki formülü kullanın: log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) = log a ⁡ (x) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ log_(a)(x)).

   • Örnek 1: İfadeyi düşünün günlük ⁡ 16 günlük ⁡ 2 (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))).
     Öncelikle yukarıdaki formülü kullanarak ifadeyi tek bir logaritma olarak temsil edelim: günlük ⁡ 16 günlük ⁡ 2 = günlük 2 ⁡ (16) (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))=\log _(2)(16)).
   • Bir logaritmanın "tabanını değiştirmeye" ilişkin bu formül, logaritmanın temel özelliklerinden türetilmiştir.

3. Mümkünse ifadenin değerini manuel olarak değerlendirin. Bulmak için log a ⁡ (x) (\displaystyle \log _(a)(x)), "ifadesini hayal edin A? = x (\displaystyle a^(?)=x)", yani şu soruyu sorun: "Hangi güce yükseltmelisiniz? A almak için X?. Bu soruyu yanıtlamak bir hesap makinesi gerektirebilir, ancak şanslıysanız bunu manuel olarak da bulabilirsiniz.

   • Örnek 1 (devam): Farklı olarak yeniden yazın 2? = 16 (\displaystyle 2^(?)=16). "?" işaretinin yerine hangi sayının gelmesi gerektiğini bulmanız gerekir. Bu deneme yanılma yoluyla yapılabilir:
     2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\displaystyle 2^(2)=2*2=4)
     2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=4*2=8)
     2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\displaystyle 2^(4)=8*2=16)
     Yani aradığımız sayı 4: günlük 2 ⁡ (16) (\displaystyle \log _(2)(16)) = 4 .

4. Cevabınızı basitleştiremiyorsanız logaritmik formda bırakın. Birçok logaritmanın elle hesaplanması çok zordur. Bu durumda doğru bir cevap almak için bir hesap makinesine ihtiyacınız olacaktır. Ancak sınıfta bir problem çözüyorsanız öğretmen büyük ihtimalle logaritmik formdaki cevaptan memnun kalacaktır. Aşağıda tartışılan yöntem daha karmaşık bir örneği çözmek için kullanılır:

   • örnek 2: eşit olan nedir günlük 3 ⁡ (58) günlük 3 ⁡ (7) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))))?
   • Bu ifadeyi bir logaritmaya dönüştürelim: günlük 3 ⁡ (58) günlük 3 ⁡ (7) = günlük 7 ⁡ (58) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7)))=\ log_(7)(58)). Her iki logaritmada ortak olan 3 tabanının kaybolduğuna dikkat edin; bu herhangi bir nedenle doğrudur.
   • Formdaki ifadeyi yeniden yazalım. 7? = 58 (\displaystyle 7^(?)=58) ve değeri bulmaya çalışalım mı?:
     7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\displaystyle 7^(2)=7*7=49)
     7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=49*7=343)
     58 bu iki sayının arasında olduğundan tam sayı olarak ifade edilmez.
   • Cevabı logaritmik biçimde bırakıyoruz: günlük 7 ⁡ (58) (\displaystyle \log _(7)(58)).