Üçgenin dikkat çekici dört noktasını bulun. Bir üçgenin dikkat çekici noktaları - soyut

İlk iki teoremi çok iyi biliyorsunuz, diğer ikisini kanıtlayacağız.

Teorem 1

Bir üçgenin üç açıortayı bir noktada kesişiyor, bu da yazılı dairenin merkezi.

Kanıt

Bir açının açıortayının, açının kenarlarından eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri olduğu gerçeğine dayanır.

Teorem 2

Üçgenin kenarlarına dik olan üç açıortay çevrel çemberin merkezi olan bir noktada kesişir.

Kanıt

Bir doğru parçasının dik açıortayının, bu parçanın uçlarından eşit uzaklıktaki noktaların yeri olduğu gerçeğine dayanmaktadır.

Teorem 3

Üç yükseklik veya üç düzÜçgenin yükseklikleri bir noktada kesişir. Bu noktaya denir ortomerkezüçgen.

Kanıt

ABC üçgeninin köşelerinden karşılıklı kenarlara paralel düz çizgiler çiziyoruz.

Kesişme noktasında 'A_1 B_1 C_1' üçgeni oluşuyor.

Yapı itibariyle "ABA_1C" bir paralelkenardır, yani "BA_1 = AC". Benzer şekilde, 'C_1B = AC', dolayısıyla 'C_1B = AC', 'B' noktasının 'C_1A_1' doğru parçasının ortası olduğu tespit edilmiştir.
Tam olarak aynı şekilde 'C'nin 'B_1A_1'in ortası ve 'A'nın 'B_1 C_1'in ortası olduğu gösterilmiştir.
'BN', 'ABC' üçgeninin yüksekliği olsun, o zaman 'A_1 C_1' doğru parçası için 'BN' düz çizgisi dik açıortaydır. Buradan, 'ABC' üçgeninin yüksekliklerinin üzerinde bulunduğu üç düz çizginin, 'A_1B_1C_1' üçgeninin üç kenarının dik açıortayları olduğu sonucu çıkar; ve bu dikmeler bir noktada kesişir (Teorem 2).
Üçgen dar ise, o zaman yüksekliklerin her biri tepe noktasını ve karşı taraftaki bir noktayı birbirine bağlayan bir segmenttir. Bu durumda, 'B' ve 'N' noktaları 'AM' çizgisinin oluşturduğu farklı yarım düzlemlerde bulunur; bu, 'BN' parçasının 'AM' çizgisiyle kesiştiği, kesişme noktasının 'BN' yüksekliğinde olduğu anlamına gelir. yani üçgenin içinde yer alır.
Bir dik üçgende yüksekliklerin kesiştiği nokta tepe noktasıdır dik açı.

Teorem 4

Bir üçgenin üç medyanı bir noktada kesişir ve tepe noktasından sayılarak "2:1" oranında kesişme noktasına bölünür. Bu noktaya üçgenin ağırlık merkezi (veya kütle merkezi) denir.
Bu teoremin çeşitli kanıtları vardır. Thales teoremine dayanan bir tane sunalım.

Kanıt

'E', 'D' ve 'F', 'ABC' üçgeninin 'AB', 'BC' ve 'AC' kenarlarının orta noktaları olsun.

Ortanca "AD"yi "E" ve "F" noktaları aracılığıyla çizelim paralel'EK' ve 'FL' düz çizgileri vardır. Thales teoremine göre `BK = KD` `(/_ABC`, EK ‖ A D) EK\|AD) ve `DL = LC` `(/_ACB`, AD ‖ F L) AD\| FL). Ancak `BD = DC = a//2`, yani `BK = KD = DL = LC = a//4`. Aynı teoreme göre `BN = NM = MF` `(/_ FBC`, N K ‖ M D ‖ F L) NK\| MD\| FL), yani 'BM = 2MF'.

Bu, ortanca "AD" ile kesiştiği "M" noktasındaki ortanca "BF"nin tepe noktasından sayılarak "2:1" oranına bölündüğü anlamına gelir.

'M' noktasındaki 'AD' medyanının aynı oranda bölündüğünü kanıtlayalım. Gerekçe benzer.

'BF' ve 'CE' medyanlarını dikkate alırsak, bunların 'BF' medyanının '2:1' oranında bölündüğü noktada, yani aynı 'M' noktasında kesiştiklerini de gösterebiliriz. Ve bu noktaya gelindiğinde, 'CE' medyanı da tepe noktasından itibaren sayılarak '2:1' oranına bölünecektir.

giriiş

Çevremizdeki dünyanın nesneleri belirli özelliklerÇeşitli bilimler tarafından incelenenler.

Geometri, matematiğin aşağıdakilerle ilgilenen bir dalıdır: çeşitli rakamlar ve bunların özellikleri, kökleri uzak geçmişe dayanmaktadır.

Elementler'in dördüncü kitabında Öklid şu sorunu çözüyor: "Belirli bir üçgene bir daire çizmek." Çözümden şu sonuç çıkıyor: üç açıortay iç köşelerüçgenler bir noktada kesişir - yazılı dairenin merkezi. Başka bir Öklid probleminin çözümünden, üçgenin kenarlarına orta noktalarında geri getirilen dikmelerin de bir noktada, çevrelenen dairenin merkezinde kesiştiği sonucu çıkar. Elementler, üçgenin üç yüksekliğinin diklik merkezi adı verilen bir noktada kesiştiğini söylemez (Yunanca "orthos" kelimesi "düz", "doğru" anlamına gelir). Ancak bu öneri Arşimet tarafından biliniyordu. Üçgenin dördüncü tekil noktası kenarortayların kesişme noktasıdır. Arşimet, üçgenin ağırlık merkezi (barycenter) olduğunu kanıtladı.

Yukarıdaki dört noktaya özel ilgi gösterildi ve 18. yüzyıldan beri bunlara üçgenin “dikkate değer” veya “özel” noktaları denildi. Bunlar ve diğer noktalarla ilişkili bir üçgenin özelliklerinin incelenmesi, kurucularından biri Leonhard Euler olan yeni bir temel matematik dalının - "üçgen geometrisi" veya "yeni üçgen geometrisi" yaratılmasının başlangıcı oldu.

1765'te Euler, herhangi bir üçgende diklik merkezi, ağırlık merkezi ve çevre merkezinin aynı düz çizgi üzerinde yer aldığını, daha sonra "Euler düz çizgisi" olarak adlandırıldığını kanıtladı. 19. yüzyılın yirmili yıllarında, Fransız matematikçiler J. Poncelet, C. Brianchon ve diğerleri bağımsız olarak şu teoremi oluşturdular: ortancaların tabanları, yüksekliklerin tabanları ve diklik merkezini bir üçgenin köşelerine bağlayan yükseklik bölümlerinin orta noktaları aynı daire üzerinde yatın. Bu daireye “dokuz noktalı daire” veya “Feuerbach dairesi” veya “Euler dairesi” denir. K. Feuerbach, bu dairenin merkezinin Euler düz çizgisi üzerinde bulunduğunu tespit etti.

“Daha önce hiç bu kadar geometrik bir dönemde yaşamadığımızı düşünüyorum. Etraftaki her şey geometridir.” Büyük Fransız mimar Le Corbusier'in 20. yüzyılın başında söylediği bu sözler, zamanımızı çok doğru bir şekilde karakterize ediyor. İçinde yaşadığımız dünya, evlerin ve sokakların, dağların ve tarlaların geometrisi, doğanın ve insanın yaratımlarıyla doludur.

“Üçgenin dikkat çekici noktaları” olarak adlandırılan noktalar ilgimizi çekti.

Bu konuyla ilgili literatürü okuduktan sonra, bir üçgenin dikkat çekici noktalarının tanımlarını ve özelliklerini kendimiz belirledik. Ancak işimiz burada bitmedi ve bu noktaları kendimiz araştırmak istedik.

Bu yüzden hedef verildi iş – bir üçgenin bazı dikkat çekici noktalarını ve çizgilerini incelemek, edinilen bilgiyi problem çözmeye uygulamak. Bu hedefe ulaşma sürecinde aşağıdaki aşamalar ayırt edilebilir:

Seçim ve çalışma eğitim materyali itibaren çeşitli kaynaklar bilgi, edebiyat;

Bir üçgenin dikkat çekici noktalarının ve çizgilerinin temel özelliklerinin incelenmesi;

Bu özelliklerin genelleştirilmesi ve gerekli teoremlerin ispatı;

Bir üçgenin dikkat çekici noktalarını içeren problemlerin çözümü.

BölümBEN. Harika noktalar ve üçgen çizgiler

1.1 Üçgenin kenarlarına dik açıortayların kesişme noktası

Dik açıortay, bir parçanın ortasından ona dik olarak geçen bir çizgidir. Dik açıortayın özelliğini karakterize eden teoremi zaten biliyoruz: Bir parçaya dik açıortayın her noktası, uçlarından eşit uzaklıktadır ve bunun tersi de geçerlidir; eğer bir nokta, parçanın uçlarından eşit uzaklıktaysa, o zaman dik açıortay üzerinde yer alır.

Çokgene yazılı denir tüm köşeleri daireye aitse bir daireye dönüştürün. Çevresi çokgenin çevrelediği daireye denir.

Herhangi bir üçgenin etrafında bir daire tanımlanabilir. Merkezi, dik açıortayların üçgenin kenarlarına kesişme noktasıdır.

O noktası AB ve BC üçgeninin kenarlarına dik açıortayların kesişme noktası olsun.

Çözüm: Dolayısıyla, eğer O noktası üçgenin kenarlarına dik açıortayların kesişme noktası ise, o zaman OA = OC = OB, yani. O noktası ABC üçgeninin tüm köşelerine eşit uzaklıktadır, yani çevrel dairenin merkezidir.

Sonuçlar

sin γ = c/2R = c/sin γ =2R.

Benzer şekilde kanıtlanmıştır A/ sin α =2R, b/ sin β =2R.

Böylece:

Bu özelliğe sinüs teoremi denir.

Matematikte sıklıkla tamamen tanımlanmış nesnelerin olduğu görülür. farklı, aynı olduğu ortaya çıktı.

Örnek. A1, B1, C1 sırasıyla ∆ABC BC, AC, AB kenarlarının orta noktaları olsun. AB1C1, A1B1C, A1BC1 üçgenlerinin etrafında tanımlanan dairelerin bir noktada kesiştiğini gösterin. Ayrıca bu nokta ∆ABC etrafında çevrelenen bir dairenin merkezidir.

Genelleme.∆ABC AC, BC, AC kenarlarında rastgele A 1, B 1, C 1 noktaları alırsak, AB 1 C 1, A 1 B 1 C, A 1 BC 1 üçgenleri etrafında çevrelenen daireler bir noktada kesişir .

1.2 Üçgen açıortayların kesişme noktası

Bunun tersi de doğrudur: Bir nokta, bir açının kenarlarından eşit uzaklıktaysa, açıortay üzerinde bulunur.

Bir köşenin yarısını aynı harflerle işaretlemek faydalıdır:

OAF=OAD= α, OBD=OBE= β, OCE=OCF= γ.

O noktası, A ve B açılarının ortaortaylarının kesişme noktası olsun. A açısının ortaortayı üzerinde bulunan noktanın özelliğine göre, OF=OD=r olsun. B açısının açıortayı üzerinde bulunan noktanın özelliğine göre OE=OD=r olur. Dolayısıyla, OE=OD= OF=r= O noktası ABC üçgeninin tüm kenarlarından eşit uzaklıktadır, yani. O, yazılı dairenin merkezidir. (O noktası tek noktadır).

Çözüm: dolayısıyla, eğer O noktası bir üçgenin açılarının açıortaylarının kesişme noktası ise, o zaman OE=OD= OF=r, yani. O noktası ABC üçgeninin tüm kenarlarına eşit uzaklıkta olup, bu da onun yazılı çemberin merkezi olduğu anlamına gelir. Bir üçgenin açılarının açıortaylarının kesişme noktası O noktası üçgenin dikkat çekici bir noktasıdır.

Sonuçlar:

AOF ve AOD üçgenlerinin hipotenüs ve dar açı boyunca eşitliğinden (Şekil 1) şu sonuç çıkar: A.F. = reklam . OBD ve OBE üçgenlerinin eşitliğinden şu sonuç çıkar: BD = OLMAK , COE ve COF üçgenlerinin eşitliğinden şu sonuç çıkar: İLE F = C.E. . Böylece çembere bir noktadan çizilen teğet parçalar eşittir.

AF=AD= z, BD=BE= sen, CF=CE= X

a=x+y (1), B=x+z (2), c=x+y (3).

+ (2) – (3), o zaman şunu elde ederiz: a+B-с=X+ sen+ X+ z- z- sen = a+B-с= 2X =

x=( B + C -a)/2

Benzer şekilde: (1) + (3) – (2), o zaman şunu elde ederiz: y = (a + c –B)/2.

Benzer şekilde: (2) + (3) – (1), o zaman şunu elde ederiz: z= (bir +B - C)/2.

Bir üçgenin açıortayı, karşı kenarı bitişik kenarlarla orantılı parçalara böler.

1.3 Üçgen kenarortaylarının kesişme noktası (merkez)

Kanıt 1. ABC üçgeninin sırasıyla BC, CA ve AB kenarlarının orta noktaları A1, B1 ve C1 olsun (Şekil 4).

G, iki medyan AA 1 ve BB 1'in kesişme noktası olsun. Önce AG:GA 1 = BG:GB 1 = 2 olduğunu kanıtlayalım.

Bunu yapmak için AG ve BG segmentlerinin P ve Q orta noktalarını alın. Bir üçgenin orta çizgisine ilişkin teoreme göre, B 1 A 1 ve PQ parçaları AB tarafının yarısına eşit ve ona paraleldir. Bu nedenle, A 1 B 1 dörtgeni bir PQ paralelkenardır. Daha sonra PA 1 ve QB 1 köşegenlerinin kesişme noktası G noktası her birini ikiye böler. Bu nedenle, P ve G noktaları AA 1 ortancasını üç eşit parçaya böler ve Q ve G noktaları da BB 1 ortancasını üç eşit parçaya böler. Yani bir üçgenin iki kenarortayının kesişimindeki G noktası, köşeden itibaren her birini 2:1 oranında böler.

Bir üçgenin kenarortaylarının kesişme noktasına denir merkez veya ağırlık merkezi üçgen. Bu isim, homojen üçgen plakanın ağırlık merkezinin bu noktada bulunmasından kaynaklanmaktadır.

1.4 Üçgen yüksekliklerinin kesişme noktası (ortomerkez)

1,5 Torricelli noktası

Yol ABC üçgeni ile verilmiştir. Bu üçgenin Torricelli noktası, bu üçgenin kenarlarının 120° açıyla görülebildiği O noktasıdır; AOB, AOC ve BOC açıları 120°'ye eşittir.

Bir üçgenin tüm açılarının 120°'den küçük olması durumunda Torricelli noktasının var olduğunu kanıtlayalım.

ABC üçgeninin AB tarafında bir ABC" eşkenar üçgeni oluşturuyoruz (Şekil 6, a) ve onun etrafında bir daire tanımlıyoruz. AB doğru parçası bu dairenin 120°'lik bir yayına karşılık geliyor. Sonuç olarak bu yayın A dışındaki noktaları ve B, AB doğru parçasının onlardan 120° açıyla görülebilme özelliğine sahiptir. Benzer şekilde, ABC üçgeninin AC tarafında bir ACB eşkenar üçgeni oluşturacağız (Şekil 6, a) ve onun etrafında bir daire tanımlayacağız. . Karşılık gelen yayın noktaları, A ve C'den farklı olarak, AC parçasının onlardan 120° açıyla görülebilme özelliğine sahiptir. Üçgenin açılarının 120°'den küçük olması durumunda, bu yaylar bir iç O noktasında kesişir. Bu durumda, ∟AOB = 120°, ∟AOC = 120°. Bu nedenle ∟BOC = 120°. Bu nedenle O noktası istenilen noktadır.

Bir üçgenin açılarından birinin, örneğin ABC'nin 120°'ye eşit olması durumunda, dairesel yayların kesişme noktası B noktası olacaktır (Şekil 6, b). Bu durumda Torricelli'nin noktası mevcut değildir, çünkü bu noktadan AB ve BC kenarlarının görülebildiği açılardan bahsetmek imkansızdır.

Bir üçgenin açılarından birinin, örneğin ABC'nin, 120°'den büyük olması durumunda (Şekil 6, c), karşılık gelen daire yayları kesişmez ve Torricelli'nin noktası da mevcut değildir.

Torricelli noktası, Fermat'ın (bunu II. Bölüm'de ele alacağız), verilen üç noktaya olan uzaklıkları toplamı en küçük olan noktayı bulma problemi ile ilişkilidir.

1.6 Dokuz noktalı daire

Aslında A 3 B 2 – orta hat AHC üçgeni ve dolayısıyla A 3 B 2 || CC 1. B 2 A 2, ABC üçgeninin orta çizgisidir ve dolayısıyla B 2 A 2 || AB. CC 1 ┴ AB olduğundan A 3 B 2 A 2 = 90°. Benzer şekilde, A 3 C 2 A 2 = 90°. Bu nedenle A 2, B 2, C 2, A 3 noktaları A 2 A 3 çapında aynı daire üzerinde yer alır. AA 1 ┴BC olduğuna göre A 1 noktası da bu çembere aittir. Böylece A 1 ve A 3 noktaları A2B2C2 üçgeninin çevrel çemberi üzerinde yer alır. Benzer şekilde B 1 ve B 3, C 1 ve C 3 noktalarının da bu çember üzerinde yer aldığı gösterilmiştir. Bu, dokuz noktanın hepsinin aynı daire üzerinde olduğu anlamına gelir.

Bu durumda dokuz noktadan oluşan dairenin merkezi, yüksekliklerin kesişme merkezi ile çevrelenen dairenin merkezi arasında ortada yer alır. Aslında, ABC üçgeninde (Şekil 9), O noktası çevrel çemberin merkezi olsun; G – medyanların kesişme noktası. H yüksekliklerin kesiştiği noktadır. O, G, H noktalarının aynı doğru üzerinde olduğunu ve dokuz nokta N'den oluşan dairenin merkezinin OH parçasını ikiye böldüğünü kanıtlamanız gerekir.

Merkezi G noktasında ve katsayısı -0,5 olan bir homojenlik düşünün. ABC üçgeninin A, B, C köşeleri sırasıyla A 2, B 2, C 2 noktalarına gidecektir. ABC üçgeninin rakımları A 2 B 2 C 2 üçgeninin rakımlarına girecek ve dolayısıyla H noktası O noktasına gidecektir. Dolayısıyla O, G, H noktaları aynı düz çizgi üzerinde yer alacaktır.

OH doğru parçasının N orta noktasının dokuz noktalı çemberin merkezi olduğunu gösterelim. Aslında C 1 C 2 dokuz noktadan oluşan bir çemberin akorudur. Dolayısıyla bu kirişin dik açıortay'ı bir çaptır ve OH ile N'nin ortasında kesişir. Benzer şekilde, B 1 B 2 kirişinin dik açıortay'ı da bir çaptır ve OH ile aynı N noktasında kesişir. Yani N, kirişin merkezidir. dokuz noktalı daire. Q.E.D.

Aslında P, ABC üçgeninin çevrel çemberi üzerinde keyfi bir nokta olsun; D, E, F - P noktasından üçgenin kenarlarına düşen dik çizgilerin tabanları (Şekil 10). D, E, F noktalarının aynı doğru üzerinde olduğunu gösterelim.

AP dairenin merkezinden geçiyorsa, D ve E noktalarının B ve C köşeleriyle çakıştığını unutmayın. Aksi takdirde, ABP veya ACP açılarından biri dar, diğeri geniş olur. Buradan D ve E noktalarının BC doğrusunun karşıt taraflarında yer alacağı ve D, E ve F noktalarının aynı doğru üzerinde olduğunu kanıtlamak için ∟CEF =∟BED olduğunu kontrol etmek yeterlidir.

Çapı CP olan bir çember tanımlayalım. ∟CFP = ∟CEP = 90° olduğuna göre E ve F noktaları bu çember üzerinde yer alır. Bu nedenle, ∟CEF =∟CPF, bir dairenin bir yayının oluşturduğu yazılı açılardır. Sonra, ∟CPF = 90°- ∟PCF = 90°- ∟DBP = ∟BPD. BP çapında bir çember tanımlayalım. ∟BEP = ∟BDP = 90° olduğuna göre F ve D noktaları bu çember üzerinde yer alır. Bu nedenle ∟BPD =∟BED. Bu nedenle, sonunda ∟CEF =∟BED sonucunu elde ederiz. Bu, D, E, F noktalarının aynı doğru üzerinde olduğu anlamına gelir.

BölümIISorun çözme

Bir üçgenin açıortaylarının, kenarortaylarının ve yüksekliklerinin konumuyla ilgili problemlerle başlayalım. Bunları çözmek bir yandan daha önce işlenen konuları hatırlamanıza olanak tanırken, diğer yandan gerekli geometrik kavramları geliştirerek sizi daha fazlasını çözmeye hazırlar. karmaşık görevler.

Görev 1. ABC üçgeninin A ve B açılarında (∟A

Çözüm. CD yükseklik ve CE açıortay olsun, o zaman

∟BCD = 90° - ∟B, ∟BCE = (180° - ∟A - ∟B):2.

Bu nedenle ∟DCE =.

Çözüm. ABC üçgeninin ortaortaylarının kesişme noktası O olsun (Şekil 1). Üçgenin büyük tarafının karşısında olduğu gerçeğini kullanalım daha büyük açı. AB BC ise ∟A

Çözüm. ABC üçgeninin yüksekliklerinin kesişme noktası O olsun (Şekil 2). Eğer AC ∟B ise. BC çapında bir daire F ve G noktalarından geçecektir. İki kirişten küçük olanın, daha küçük yazılı açının dayandığı daire olduğunu göz önünde bulundurarak, CG'yi elde ederiz.

Kanıt. ABC üçgeninin AC ve BC kenarlarında çaplarda olduğu gibi daireler oluşturuyoruz. A 1, B 1, C 1 noktaları bu çemberlere aittir. Bu nedenle, bir dairenin aynı yayına dayalı açılar olarak ∟B 1 C 1 C = ∟B 1 BC. ∟B 1 BC = ∟CAA 1 kenarları birbirine dik olan açılardır. ∟CAA 1 = ∟CC 1 A 1, bir dairenin aynı yayının gördüğü açılardır. Bu nedenle, ∟B 1 C 1 C = ∟CC 1 A 1, yani. CC1, B 1 C 1 A 1 açısının açıortayıdır. Benzer şekilde AA 1 ve BB 1'in B 1 A 1 C 1 ve A 1 B 1 C 1 açılarının ortaortayları olduğu gösterilmiştir.

Köşeleri belirli bir dar üçgenin yüksekliklerinin tabanları olan dikkate alınan üçgen, klasik ekstrem problemlerden birine bir cevap sağlar.

Çözüm. Verilen dar üçgen ABC olsun. Yanlarında A 1 , B 1 , C 1 üçgeninin çevresinin en küçük olacağı A 1 B 1 C 1 noktalarını bulmanız gerekir (Şekil 4).

Önce C 1 noktasını sabitleyelim ve A 1 B 1 C 1 üçgeninin çevresinin en küçük olduğu A 1 ve B 1 noktalarını arayalım (C 1 noktasının belirli bir konumu için).

Bunu yapmak için, D ve E noktalarının AC ve BC düz çizgilerine göre C1 noktasına simetrik olduğunu düşünün. O zaman B 1 C 1 = B 1 D, A 1 C 1 = A 1 E ve dolayısıyla A 1 B 1 C 1 üçgeninin çevresi, DB 1 A 1 E kesikli çizgisinin uzunluğuna eşit olacaktır. B 1, A 1 noktaları DE doğrusu üzerinde yer aldığında bu kesikli çizginin uzunluğunun en küçük olacağı açıktır.

Şimdi C 1 noktasının konumunu değiştireceğiz ve karşılık gelen A 1 B 1 C 1 üçgeninin çevresinin en küçük olduğu konumu arayacağız.

D noktası AC'ye göre C1'e simetrik olduğundan, CD = CC 1 ve ACD = ACC 1 olur. Benzer şekilde CE=CC 1 ve BCE=BCC 1. Bu nedenle CDE üçgeni ikizkenardır. Yan tarafı CC 1'e eşittir. DE tabanı çevreye eşittir P A 1 B 1 C 1 üçgeni. DCE açısı, ABC üçgeninin ACB çift açısına eşittir ve bu nedenle C1 noktasının konumuna bağlı değildir.

Belirli bir tepe açısına sahip bir ikizkenar üçgende, kenar ne kadar küçükse taban da o kadar küçüktür. Bu yüzden en küçük değerçevre P CC 1'in en düşük değeri durumunda elde edilir. Bu değer eğer CC 1 ABC üçgeninin yüksekliği ise alınır. Böylece, AB tarafındaki gerekli C1 noktası, C köşesinden çizilen yüksekliğin tabanıdır.

Öncelikle C1 noktasını değil, A1 veya B1 noktasını sabitleyebileceğimizi ve A1 ve B1'in ABC üçgeninin karşılık gelen yüksekliklerinin tabanları olduğunu elde edebileceğimizi unutmayın.

Bundan, belirli bir ABC dar üçgeninde yazılı olan en küçük çevrenin gerekli üçgeninin, köşeleri ABC üçgeninin yüksekliklerinin tabanları olan bir üçgen olduğu sonucu çıkar.

Çözüm.Üçgenin açıları 120°'den küçükse Steiner probleminde gerekli noktanın Torricelli noktası olduğunu kanıtlayalım.

ABC üçgenini C köşesi etrafında 60° açıyla döndürelim, Şekil 1. 7. A’B’C üçgenini elde ediyoruz. ABC üçgeninde rastgele bir O noktası alalım. Dönerken bir O' noktasına gidecektir. OO'C üçgeni eşkenardır çünkü CO = CO' ve ∟OCO' = 60°, dolayısıyla OC = OO'. Dolayısıyla OA + OB + OC uzunluklarının toplamı, AO + OO' + O'B' kesikli çizgisinin uzunluğuna eşit olacaktır. A, O, O', B' noktaları aynı doğru üzerinde yer alıyorsa bu kesikli çizginin uzunluğunun en küçük değeri alacağı açıktır. Eğer O bir Torricelli noktası ise bu böyledir. Aslında, ∟AOC = 120°, ∟COO" = 60°. Dolayısıyla A, O, O' noktaları aynı düz çizgi üzerinde yer alır. Benzer şekilde, ∟CO'O = 60°, ∟CO"B" = 120°. Dolayısıyla O, O', B' noktaları aynı doğru üzerindedir. Bu, tüm A, O, O', B' noktalarının aynı doğru üzerinde olduğu anlamına gelir.

Çözüm

Üçgenin geometrisi, temel matematiğin diğer bölümleriyle birlikte genel olarak matematiğin güzelliğini hissetmeyi mümkün kılar ve birisi için "büyük bilime" giden yolun başlangıcı olabilir.

Geometri muhteşem bir bilimdir. Tarihi binlerce yıl öncesine dayanır, ancak onunla her karşılaşma (hem öğrenciye hem de öğretmene) heyecan verici yenilikler hediye edebilir ve zenginleştirebilir. küçük keşif, yaratıcılığın inanılmaz neşesi. Aslına bakılırsa, herhangi bir temel geometri problemi özünde bir teoremdir ve çözümü mütevazıdır (ve bazen çok büyüktür). matematiksel zafer.

Tarihsel olarak geometri bir üçgenle başlamıştır, dolayısıyla iki buçuk bin yıldır üçgen geometrinin sembolü olmuştur. Okul geometrisi ancak ilginç ve anlamlı hale gelebilir ve ancak o zaman üçgenin derin ve kapsamlı bir çalışmasını içerdiğinde uygun geometri haline gelebilir. Şaşırtıcı bir şekilde, üçgen, görünürdeki sadeliğine rağmen tükenmez bir çalışma nesnesidir - zamanımızda bile hiç kimse üçgenin tüm özelliklerini incelediğini ve bildiğini söylemeye cesaret edemez.

Bu çalışmada bir üçgenin açıortayları, kenarortayları, dik açıortayları ve yükseklikleri ele alınmış, üçgenin dikkate değer nokta ve doğru sayıları genişletilmiş, teoremler formüle edilmiş ve kanıtlanmıştır. Bu teoremlerin uygulanmasına ilişkin bir takım problemler çözülmüştür.

Sunulan materyal hem temel derslerde hem de seçmeli derslerde, ayrıca merkezi sınavlara ve matematik olimpiyatlarına hazırlıkta kullanılabilir.

Referanslar

Berger M. Geometri iki cilt halinde - M: Mir, 1984.

Kiselyov A.P. Temel geometri. – M.: Eğitim, 1980.

Coxeter G.S., Greitzer S.L. Geometri ile yeni karşılaşmalar. – M.: Nauka, 1978.

Latotin L.A., Chebotaravsky B.D. Matematik 9. – Minsk: Narodnaya Asveta, 2014.

Prasolov V.V. Planimetride sorunlar. – M.: Nauka, 1986. – Bölüm 1.

Scanavi M.I. Çözümlerle ilgili sorunlar. – Rostov-na-Donu: Phoenix, 1998.

Sharygin I.F. Geometri problemleri: Planimetri. – M.: Nauka, 1986.

İlk önce bir açının ortayıyla ilgili teoremi kanıtlayalım.

Teorem

Kanıt

1) BAC açısının açıortayı üzerinde rastgele bir M noktası alın, AB ve AC düz çizgilerine MK ve ML dik çizgileri çizin ve MK = ML olduğunu kanıtlayın (Şekil 224). AM K ve AML dik üçgenlerini düşünün. Hipotenüs ve dar açı bakımından eşittirler (AM ortak hipotenüstür, geleneksel olarak ∠1 = ∠2). Bu nedenle MK = ML'dir.

2) M noktasının BAC açısının içinde olmasına ve AB ve AC kenarlarından eşit uzaklıkta olmasına izin verin. AM ışınının BAC açısının açıortayı olduğunu kanıtlayalım (bkz. Şekil 224). AB ve AC doğrularına MK ve ML dik çizgilerini çizelim. AMK ve AML dik üçgenleri hipotenüs ve kenar bakımından eşittir (AM ortak hipotenüstür, geleneksel olarak MK = ML). Bu nedenle ∠1 = ∠2. Ancak bu, AM ışınının BAC açısının açıortayı olduğu anlamına gelir. Teorem kanıtlandı.




Pirinç. 224

Sonuç 1

Sonuç 2

Aslında, ABC üçgeninin AA 1 ve BB 1 açıortaylarının kesişme noktasını O harfiyle gösterelim ve bu noktadan AB, BC ve CA düz çizgilerine sırasıyla OK, OL ve OM dikmelerini çizelim. (Şek. 225). Kanıtlanmış teoreme göre OK = OM ve OK = OL. Bu nedenle OM = OL, yani O noktası ACB açısının kenarlarından eşit uzaklıktadır ve bu nedenle bu açının CC1 açıortayında yer alır. Sonuç olarak ABC üçgeninin üç açıortayı da O noktasında kesişiyor ve bunun kanıtlanması gerekiyor.




Pirinç. 225

Bir segmente dik açıortayın özellikleri

Bir parçaya dik açıortay, belirli bir parçanın ortasından geçen ve ona dik olan bir çizgidir.




Pirinç. 226

Bir doğru parçasına dik açıortay hakkındaki teoremi kanıtlayalım.

Teorem

Kanıt

Düz çizgi m, AB doğru parçasına dik açıortay olsun, O noktası bu parçanın orta noktası olsun (Şekil 227, a).




Pirinç. 227

1) m düz çizgisi üzerinde keyfi bir M noktası düşünün ve AM = BM olduğunu kanıtlayın. M noktası O noktasıyla çakışıyorsa bu eşitlik doğrudur, çünkü O AB doğru parçasının orta noktasıdır. M ve O farklı noktalar olsun. OAM ve OBM dik üçgenleri iki ayak üzerinde eşittir (OA = OB, OM ortak bacaktır), dolayısıyla AM = VM.

2) AB doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıkta keyfi bir N noktası düşünün ve N noktasının m doğrusu üzerinde bulunduğunu kanıtlayın. Eğer N, AB doğrusu üzerinde bir nokta ise, AB doğru parçasının O orta noktası ile çakışır ve dolayısıyla m doğrusu üzerinde yer alır. N noktası AB çizgisi üzerinde değilse, AN = BN olduğundan ANB üçgeni ikizkenardır (Şekil 227, b). NO segmenti bu üçgenin medyanı ve dolayısıyla yüksekliğidir. Dolayısıyla NO ⊥ AB, dolayısıyla ON ve m çizgileri çakışır, yani N, m doğrusunda bir noktadır. Teorem kanıtlandı.

Sonuç 1

Sonuç 2

Bu ifadeyi kanıtlamak için ABC üçgeninin AB ve BC kenarlarına dik olan m ve n'yi düşünün (Şekil 228). Bu çizgiler bir O noktasında kesişiyor. Aslında bunun tersini varsayarsak, yani m || n ise, m doğrusuna dik olan BA doğrusu, ona paralel n doğrusuna da dik olacaktır ve bu durumda iki BA ve BC doğrusu n doğrusuna dik B noktasından geçecektir ki bu imkansızdır.




Pirinç. 228

Kanıtlanmış teoreme göre OB = OA ve OB = OS. Bu nedenle OA = OC, yani O noktası AC doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıktadır ve bu nedenle bu parçaya dik açıortay p üzerinde yer alır. Sonuç olarak, ABC üçgeninin kenarlarına ait m, n ve p açıortaylarının tümü O noktasında kesişir.

Üçgen Yükseklik Kesişim Teoremi

Üçgenin açıortaylarının bir noktada kesiştiğini, üçgenin kenarlarına dik açıortayların da bir noktada kesiştiğini kanıtladık. Bir üçgenin kenarortaylarının bir noktada kesiştiği daha önce kanıtlanmıştı (bölüm 64). Bir üçgenin yüksekliklerinin de benzer bir özelliğe sahip olduğu ortaya çıktı.

Teorem

Kanıt

Rasgele bir ABC üçgeni düşünelim ve yüksekliklerini içeren AA 1 BB 1 ve CC 1 çizgilerinin bir noktada kesiştiğini kanıtlayalım (Şekil 229).




Pirinç. 229

ABC üçgeninin her bir köşesinden karşı tarafa paralel düz bir çizgi çizelim. A 2 B 2 C 2 üçgenini elde ediyoruz. A, B ve C noktaları bu üçgenin kenarlarının orta noktalarıdır. Aslında, ABA 2 C ve ABCB 2 paralelkenarlarının karşıt kenarları olarak AB = A 2 C ve AB = CB 2, dolayısıyla A 2 C = CB 2. Benzer şekilde C 2 A = AB 2 ve C 2 B = BA 2. Ayrıca yapıdan aşağıdaki gibi CC 1 ⊥ A 2 B 2, AA 1 ⊥ B 2 C 2 ve BB 1 ⊥ A 2 C 2. Dolayısıyla AA 1, BB 1 ve CC 1 çizgileri A 2 B 2 C 2 üçgeninin kenarlarına dik açıortaylardır. Sonuç olarak bir noktada kesişirler. Teorem kanıtlandı.

Dolayısıyla, her üçgenle dört nokta ilişkilendirilir: kenarortayların kesişme noktası, ortaortayların kesişme noktası, kenarlara dik açıortayların kesişme noktası ve rakımların (veya bunların uzantılarının) kesişme noktası. Bu dört noktaya denir Üçgenin dikkat çekici noktaları.

Görevler

674. Gelişmemiş bir O açısının açıortayının M noktasından, bu açının kenarlarına MA ve MB dikleri çizilir. AB ⊥ OM olduğunu kanıtlayın.

675. O açısının kenarları, A noktasında ortak teğetleri olan iki dairenin her birine değiyor. Bu dairelerin merkezlerinin O A düz çizgisi üzerinde bulunduğunu kanıtlayın.

676. A açısının kenarları O merkezi ve r yarıçaplı bir daireye dokunuyor. Bul: a) OA, eğer r = 5 cm ise, ∠A = 60°; b) d, eğer OA = 14 dm ise, ∠A = 90°.

677. ABC üçgeninin B ve C köşelerindeki dış açılarının açıortayları O noktasında kesişir. O noktasının AB, BC, AC doğrularına teğet bir dairenin merkezi olduğunu kanıtlayın.

678. ABC üçgeninin AA 1 ve BB 1 açıortayları M noktasında kesişir. Aşağıdaki durumda ACM ve ВСМ açılarını bulun: a) ∠AMB = 136°; b) ∠AMB = 111°.

679. ABC üçgeninin BC kenarına dik açıortayı AC kenarını D noktasında keser. Bul: a) AD ve CD, eğer BD = 5 cm, Ac = 8,5 cm ise; b) AC, BD = 11,4 cm ise AD = 3,2 cm.

680. ABC üçgeninin AB ve AC kenarlarına dik açıortayları BC kenarının D noktasında kesişiyor. Şunu kanıtlayın: a) D noktası BC kenarının orta noktasıdır; b) ∠A - ∠B + ∠C.

681. ABC ikizkenar üçgeninin AB kenarına dik açıortayı BC kenarını E noktasında kesiyor. AEC üçgeninin çevresi 27 cm ve AB = 18 cm ise AC tabanını bulun.

682. ABC ve ABD ikizkenar üçgenlerinin AB tabanı ortaktır. CD çizgisinin AB doğru parçasının ortasından geçtiğini kanıtlayın.

683. Eğer ABC üçgeninde AB ve AC kenarları eşit değilse, üçgenin AM ortancasının bir yükseklik olmadığını kanıtlayın.

684. ABC ikizkenar üçgeninin AB tabanındaki açıların açıortayları M noktasında kesişiyor. CM çizgisinin AB çizgisine dik olduğunu kanıtlayın.

685. ABC ikizkenar üçgeninin yan kenarlara çizilen AA 1 ve BB 1 yükseklikleri M noktasında kesişir. MC düz çizgisinin AB doğru parçasına dik açıortay olduğunu kanıtlayın.

686. Bu parçaya dik açıortayı oluşturun.

Çözüm

Verilen doğru parçası AB olsun. AB yarıçaplı A ve B noktalarında merkezleri olan iki daire oluşturalım (Şekil 230). Bu daireler M 1 ve M 2 noktasında kesişiyor. AM 1, AM 2, VM 1, VM 2 doğru parçaları bu dairelerin yarıçapları olarak birbirine eşittir.




Pirinç. 230

M 1 M 2 düz bir çizgi çizelim. AB segmentine istenen dik açıortaydır. Aslında, M1 ve M2 noktaları AB doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıkta olduğundan bu parçaya dik açıortay üzerinde uzanırlar. Bu, M 1 M 2 düz çizgisinin AB segmentine dik açıortay olduğu anlamına gelir.

687. Bir a doğrusu ve bu doğrunun bir yanında yer alan iki A ve B noktası veriliyor. A düz çizgisi üzerinde, A noktasından B noktasına eşit uzaklıkta olan M noktasını oluşturun.

688. Bir açı ve bir doğru parçası verilmiştir. Belirli bir açının içinde, kenarlarından eşit uzaklıkta ve belirli bir doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıkta bir nokta oluşturun.

Sorunlara cevaplar

674. Talimat. Öncelikle AOB üçgeninin ikizkenar olduğunu kanıtlayın.

676.a) 10 cm; b) 7√2 dm.

678. a) 46° ve 46°; b) 21° ve 21°.

679. a) AB = 3,5 cm, CD = 5 cm; b) AC = 14,6 cm.

683. Talimat. Çelişki yoluyla ispat yöntemini kullanın.

687. Talimat. Teorem 75'i kullanın.

688. Talimat. İstenilen noktanın, verilen açının açıortayında bulunduğunu dikkate alın.

1 Yani açının kenarlarını içeren doğrulara eşit uzaklıktadır.

© Kugusheva Natalya Lvovna, 2009 Geometri, 8. sınıf ÜÇGEN DÖRT ÖNEMLİ NOKTA

Bir üçgenin kenarortaylarının kesişme noktası Bir üçgenin ortaortaylarının kesişme noktası Bir üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktası Bir üçgenin dik açıortaylarının kesişme noktası

Bir üçgenin ortancası (BD), üçgenin tepe noktasını karşı kenarın orta noktasına birleştiren parçadır. A B C D Medyan

Bir üçgenin kenarortayları bir noktada (üçgenin ağırlık merkezi) kesişir ve tepe noktasından sayılarak 2: 1 oranında bu noktaya bölünür. AM: MA 1 = VM: MV 1 = SM:MS 1 = 2:1. A A 1 B B 1 M C C 1

Bir üçgenin ortaortayı (A D), üçgenin iç açısının ortaorta kısmıdır.

Gelişmemiş bir açının açıortayının her noktası kenarlarından eşit uzaklıktadır. Tersine: Bir açının içinde yer alan ve açının kenarlarından eşit uzaklıkta bulunan her nokta, açıortay üzerinde bulunur. AM B C

Bir üçgenin tüm açıortayları bir noktada kesişir - üçgenin içine yazılan dairenin merkezi. C B 1 M A V A 1 C 1 O Bir dairenin yarıçapı (OM), merkezden (TO) üçgenin kenarına bırakılan dik bir çizgidir.

YÜKSEKLİK Bir üçgenin yüksekliği (C D), üçgenin tepe noktasından karşı kenarı içeren düz çizgiye çizilen dik parçadır. A B C D

Bir üçgenin yükseklikleri (veya uzantıları) bir noktada kesişir. Bir A 1 B B 1 C C 1

ORTA DİK Dik açıortay (DF), üçgenin kenarına dik olan ve onu ikiye bölen çizgidir. AD F B C

A M B m O Bir doğru parçasına dik açıortayın (m) her noktası bu parçanın uçlarından eşit uzaklıktadır. Tersine: Bir doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıktaki her nokta, ona dik olan ortaorta üzerinde yer alır.

Üçgenin kenarlarının tüm dik açıortayları bir noktada kesişir - üçgenin çevrelediği dairenin merkezi. A B C O Çevreleyen dairenin yarıçapı, dairenin merkezinden üçgenin herhangi bir köşesine olan mesafedir (OA). m n p

Öğrenciler için görevler Bir pergel ve cetvel kullanarak geniş bir üçgenin içine çizilmiş bir daire oluşturun. Bunu yapmak için: Bir pergel ve cetvel kullanarak geniş bir üçgenin açıortaylarını oluşturun. Açıortayların kesişme noktası çemberin merkezidir. Çemberin yarıçapını oluşturun: çemberin merkezinden üçgenin kenarına dik. Üçgenin içine yazılan bir daire oluşturun.

2. Bir pergel ve cetvel kullanarak geniş bir üçgeni çevreleyen bir daire çizin. Bunu yapmak için: Geniş üçgenin kenarlarına dik açıortaylar oluşturun. Bu dik doğruların kesişme noktası çevrel dairenin merkezidir. Bir dairenin yarıçapı, merkezden üçgenin herhangi bir köşesine olan mesafedir. Üçgenin etrafında bir daire oluşturun.

İçerik

Giriş…………………………………………………………………………………3

Bölüm 1.

1.1 Üçgen………………………………………………………………………………..4

1.2. Bir üçgenin medyanları

1.4. Bir üçgende yükseklikler

Çözüm

Kullanılmış literatür listesi

Kitapçık

giriiş

Geometri, çeşitli şekiller ve bunların özellikleriyle ilgilenen bir matematik dalıdır. Geometri bir üçgenle başlar. İki buçuk bin yıldır üçgen geometrinin sembolü olmuştur; ama o sadece bir sembol değil, üçgen geometrinin bir atomudur.

Çalışmamda bir üçgenin açıortaylarının, kenarortaylarının ve yüksekliklerinin kesişme noktalarının özelliklerini ele alıp, bunların dikkat çekici özelliklerinden ve üçgenin çizgilerinden bahsedeceğim.

İncelenen bu noktalar arasında okul kursu geometri şunları içerir:

a) açıortayların kesişme noktası (yazılı dairenin merkezi);

b) açıortay diklerinin kesişme noktası (çevrel dairenin merkezi);

c) yüksekliklerin kesişme noktası (ortomerkez);

d) medyanların kesişme noktası (merkez).

Uygunluk: üçgen hakkındaki bilginizi genişletin,onun özellikleriharika noktalar.

Hedef: üçgenin dikkat çekici noktalarına kadar araştırılması,onları incelemekSınıflandırmalar ve özellikler.

Görevler:

1. Keşfedin gerekli literatür

2. Bir üçgenin dikkat çekici noktalarının sınıflandırılmasını inceleyin

3. Dikkat çekici üçgen noktalar oluşturabilecektir.

4. Kitapçığın tasarımı için çalışılan materyali özetleyin.

Proje hipotezi:

Herhangi bir üçgende dikkat çekici noktalar bulma yeteneği, geometrik inşaat problemlerini çözmenize olanak sağlar.

Bölüm 1. Üçgenin dikkat çekici noktaları hakkında tarihi bilgiler

Elementler'in dördüncü kitabında Öklid şu sorunu çözüyor: "Belirli bir üçgene bir daire çizmek." Çözümden, üçgenin iç açılarının üç açıortayının bir noktada - yazılı dairenin merkezinde - kesiştiği sonucu çıkar. Başka bir Öklid probleminin çözümünden, üçgenin kenarlarına orta noktalarında geri getirilen dikmelerin de bir noktada, çevrelenen dairenin merkezinde kesiştiği sonucu çıkar. Elementler, üçgenin üç yüksekliğinin diklik merkezi adı verilen bir noktada kesiştiğini söylemez (Yunanca "orthos" kelimesi "düz", "doğru" anlamına gelir). Ancak bu öneri Arşimet, Pappus ve Proclus tarafından biliniyordu.

Üçgenin dördüncü tekil noktası kenarortayların kesişme noktasıdır. Arşimet, üçgenin ağırlık merkezi (barycenter) olduğunu kanıtladı. Yukarıdaki dört noktaya özel ilgi gösterildi ve 18. yüzyıldan beri bunlara üçgenin “dikkate değer” veya “özel” noktaları denildi.

Bunlar ve diğer noktalarla ilişkili bir üçgenin özelliklerinin incelenmesi, kurucularından biri Leonhard Euler olan yeni bir temel matematik dalının - "üçgen geometrisi" veya "yeni üçgen geometrisi" yaratılmasının başlangıcı oldu. 1765 yılında Euler, herhangi bir üçgende diklik merkezi, ağırlık merkezi ve çevre merkezinin aynı düz çizgi üzerinde yer aldığını, daha sonra "Euler düz çizgisi" olarak adlandırıldığını kanıtladı.

1. Üçgen

Üçgen - Aynı doğru üzerinde yer almayan üç noktadan ve bu noktaları çiftler halinde birleştiren üç parçadan oluşan geometrik şekil. Puanlar -zirveler üçgen, bölümler -taraflar üçgen.

İÇİNDE A, B, C - köşeler

AB, BC, SA - taraflar

Bir C

Her üçgenin kendisiyle ilişkili dört noktası vardır:

Medyanların kesişme noktası;

Açıortayların kesişme noktası;

Yüksekliklerin kesişme noktası.

Dik açıortayların kesişme noktası;

1.2. Bir üçgenin medyanları

Bir üçgenin Medine'si - , köşeyi bağlayan karşı tarafın ortasından (Şekil 1). Medyanın üçgenin kenarını kestiği noktaya medyanın tabanı denir.



Şekil 1. Bir üçgenin kenarortayları

Üçgenin kenarlarının orta noktalarını oluşturalım ve her bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına bağlayan doğru parçaları çizelim. Bu tür bölümlere medyan denir.

Ve yine bu parçaların bir noktada kesiştiğini görüyoruz. Ortaya çıkan medyan bölümlerinin uzunluklarını ölçersek, bir özelliği daha kontrol edebiliriz: Medyanların kesişme noktası, köşe noktalarından itibaren sayılarak tüm medyanları 2:1 oranında böler. Ancak yine de kenarortayların kesiştiği noktada iğnenin ucunda duran üçgen dengededir! Bu özelliğe sahip bir noktaya ağırlık merkezi (barycenter) adı verilir. Merkez eşit kütleler bazen ağırlık merkezi denir. Bu nedenle, bir üçgenin kenarortaylarının özellikleri şu şekilde formüle edilebilir: Bir üçgenin kenarortayları ağırlık merkezinde kesişir ve tepe noktasından sayılarak 2:1 oranında kesişme noktasına bölünür.

1.3. Bir üçgenin açıortayları

Açıortay isminde açının tepe noktasından karşı kenarla kesiştiği noktaya kadar çizilen açının açıortayı. Bir üçgenin üç köşesine karşılık gelen üç açıortayı vardır (Şekil 2).



Şekil 2. Üçgen ortay

Herhangi bir ABC üçgeninde açılarının ortaylarını çiziyoruz. Ve yine, kesin bir yapıyla, üç açıortay da bir D noktasında kesişecektir. D noktası da alışılmadık bir durumdur: üçgenin üç kenarına da eşit uzaklıktadır. Bu, DA 1, DB 1 ve DC1 dik açılarının üçgenin kenarlarına indirilmesiyle doğrulanabilir. Hepsi birbirine eşittir: DA1=DB1=DC1.

Merkezi D noktasında ve yarıçapı DA 1 olan bir daire çizerseniz, üçgenin üç kenarına da dokunacaktır (yani her biriyle yalnızca bir ortak noktaya sahip olacaktır). Böyle bir daireye üçgen içine yazılı denir. Yani bir üçgenin açılarının açıortayları yazılı dairenin merkezinde kesişir.

1.4. Bir üçgende yükseklikler

Üçgenin yüksekliği - , üstten düştü karşı tarafa veya karşı tarafa denk gelen düz bir çizgiye. Üçgenin türüne bağlı olarak yükseklik üçgenin içinde kalabilir (örneğin üçgen), kenarıyla çakışır (olur) üçgen) veya geniş bir üçgende üçgenin dışından geçin (Şekil 3).



Şekil 3. Üçgenlerde yükseklikler

Bir üçgende üç yükseklik oluşturursanız, bunların hepsi bir H noktasında kesişecektir. Bu noktaya diklik merkezi denir. (Şekil 4).

Yapıları kullanarak üçgenin türüne bağlı olarak ortomerkezin farklı konumlandırıldığını kontrol edebilirsiniz:

dar bir üçgen için - içeride;

dikdörtgen olan için - hipotenüs üzerinde;

geniş bir açı için dışarıdadır.



Şekil 4. Üçgenin ortomerkezi

Böylece üçgenin dikkat çekici bir noktasıyla daha tanıştık ve şunu söyleyebiliriz: Üçgenin yükseklikleri diklik merkezinde kesişir.

1.5. Bir üçgenin kenarlarına dik açıortaylar

Bir doğru parçasının dik açıortayı, verilen parçaya dik olan ve onun orta noktasından geçen bir çizgidir.

Rastgele bir ABC üçgeni çizelim ve kenarlarına dik açıortaylar çizelim. İnşaat doğru yapılırsa, tüm dikler bir noktada kesişecektir - O noktası. Bu nokta, üçgenin tüm köşelerinden eşit uzaklıktadır. Yani merkezi O noktasında olan ve üçgenin köşelerinden birinden geçen bir daire çizerseniz, bu daire diğer iki köşesinden de geçecektir.

Bir üçgenin tüm köşelerinden geçen daireye çevresi çevrelenmiş daire denir. Bu nedenle, bir üçgenin belirlenmiş özelliği şu şekilde formüle edilebilir: Üçgenin kenarlarına dik açıortaylar, çevrelenen dairenin merkezinde kesişir (Şekil 5).

Şekil 5. Bir daire içine yazılan üçgen

Bölüm 2. Üçgenin dikkat çekici noktalarının incelenmesi.

Üçgenlerde yükseklik çalışması

Bir üçgenin her üç yüksekliği de bir noktada kesişir. Bu noktaya üçgenin diklik merkezi denir.



Dar bir üçgenin yükseklikleri kesinlikle üçgenin içinde bulunur.

Buna göre yüksekliklerin kesişme noktası da üçgenin içinde yer alır.

Bir dik üçgende iki yükseklik kenarlarla çakışır. (Bunlar köşelerden çizilen yüksekliklerdir keskin köşeler bacaklara).

Hipotenüse çizilen yükseklik üçgenin içindedir.

AC, C köşesinden AB kenarına çizilen yüksekliktir.

AB, B köşesinden AC kenarına çizilen yüksekliktir.

AK, A dik açısının tepe noktasından BC hipotenüsüne kadar çizilen yüksekliktir.

Bir dik üçgenin yükseklikleri dik açının tepe noktasında kesişir (A diklik merkezidir).

Geniş bir üçgende, üçgenin içinde yalnızca bir yükseklik vardır; geniş açının tepe noktasından çizilen yükseklik.

Diğer iki yükseklik üçgenin dışında yer alır ve üçgenin kenarlarının devamına kadar alçalır.

AK, BC kenarına çizilen yüksekliktir.

BF - AC tarafının devamına kadar çizilen yükseklik.

CD, AB kenarının devamına çizilen yüksekliktir.

Geniş açılı bir üçgenin yüksekliklerinin kesişme noktası da üçgenin dışındadır:

H, ABC üçgeninin diklik merkezidir.

Bir üçgende açıortayların incelenmesi

Bir üçgenin açıortayı, üçgenin açısının (ışın) açıortayının üçgenin içindeki kısmıdır.

Bir üçgenin üç açıortayı da bir noktada kesişir.




Açıortayların dar, geniş ve dar açıda kesişme noktası dik üçgenler, üçgenin içine yazılan dairenin merkezidir ve içinde bulunur.

Bir üçgende medyanların incelenmesi

Üçgenin üç köşesi ve üç kenarı olduğundan, köşeyi karşı kenarın ortasıyla birleştiren üç doğru parçası da vardır.




Bu üçgenleri inceledikten sonra herhangi bir üçgende kenarortayların bir noktada kesiştiğini fark ettim. Bu noktaya denir üçgenin ağırlık merkezi.

Bir üçgenin bir kenarına dik açıortayların incelenmesi

Dik açıortay Üçgenin bir kenarının ortasına çizilen dikme üçgendir.





Bir üçgenin üç dik açıortayı bir noktada kesişir ve çevrel çemberin merkezidir.

Dar bir üçgende dik açıortayların kesişme noktası üçgenin içinde yer alır; geniş bir açıyla - üçgenin dışında; dikdörtgen şeklinde - hipotenüsün ortasında.

Çözüm

Bu çalışmamız sırasında geldiğimiz nokta aşağıdaki sonuçlar:

Hedefe ulaşıldı:üçgeni araştırdı ve dikkat çekici noktalarını buldu.

Atanan görevler çözüldü:

1). Gerekli literatürü inceledik;

2). Bir üçgenin dikkat çekici noktalarının sınıflandırılmasını inceledik;

3). Harika üçgen noktalarının nasıl oluşturulacağını öğrendik;

4). Kitapçığın tasarımı için çalışılan materyali özetledik.

Bir üçgenin dikkat çekici noktalarını bulma yeteneğinin inşaat problemlerinin çözümüne yardımcı olduğu hipotezi doğrulandı.

Çalışma, bir üçgenin dikkate değer noktalarının oluşturulmasına yönelik tekniklerin ana hatlarını tutarlı bir şekilde özetlemektedir. tarihsel bilgi Geometrik yapılar hakkında.

Bu çalışmadan elde edilen bilgiler 7. sınıf geometri derslerinde faydalı olabilir. Kitapçık, sunulan konuyla ilgili geometri konusunda bir referans kitabı haline gelebilir.

Referanslar

Ders Kitabı. L.S. Atanasyan “Geometri 7-9. SınıflarMnemosyne, 2015.

Wikipediahttps://ru.wikipedia.org/wiki/Geometry#/media/File:Euclid%27s_postulates.png

Portal Scarlet Yelkenleri

Lider eğitim portalı Rusya http://cendomzn.ucoz.ru/index/0-15157