Daire. Temel teoremler. Konuyla ilgili geometri sunumu: "İki paralel çizgi ve bir enine çizginin oluşturduğu açılarla ilgili teoremler"

Rybalko Pavel

Bu sunum şunları içerir: Üzerinde çalışılan materyali ayrıntılı çözümlerle pekiştirmek için ispatlı 3 teorem ve 3 görev. Sunum, çok zaman kazandıracağından derste öğretmene faydalı olabilir. Ayrıca okul yılı sonunda genel bir değerlendirme olarak da kullanılabilir.

İndirmek:

Önizleme:

Sunum önizlemelerini kullanmak için kendiniz için bir hesap oluşturun ( hesap) Google'a gidin ve giriş yapın: https://accounts.google.com

Slayt başlıkları:

İki paralel doğru ve bir kesenin oluşturduğu açılarla ilgili teoremler. Gerçekleştiren: 7. sınıf öğrencisi Rybalko Pavel, Mytishchi, 2012

Teorem: İki paralel doğru bir çaprazla kesişirse, kesişen açılar eşittir. A'da a B 1 2  1 =  2 c

İspat: A B C D M N 1 2 A B C D M N 1 2 K O AB ve CD doğruları paralel olsun, MN bunların sekantıdır. 1 ve 2 numaralı çapraz açıların birbirine eşit olduğunu kanıtlayalım.  1 ve  2'nin eşit olmadığını varsayalım. O noktasından geçen bir K F düz çizgisi çizelim. O zaman O noktasında çapraz olarak uzanan ve  2'ye eşit olan  KON oluşturabiliriz. Ancak  KON =  2 ise, o zaman K F düz çizgisi CD'ye paralel olacaktır. AB ve KF düz çizgilerinin O noktasından CD düz çizgisine paralel olarak çizildiğini bulduk. Ama bu olamaz.  1 ve  2'nin eşit olmadığını varsaydığımız için bir çelişkiye geldik. Dolayısıyla varsayımımız yanlıştır ve  1,  2'ye eşit olmalıdır, yani çapraz açılar eşittir. F

Teorem: İki paralel doğru bir çaprazla kesişirse karşılık gelen açılar eşittir. A'da a B 1 2  1 =  2

İspat: A'da 2 a B 3 1 Paralel a ve b doğrularının AB kesanı ile kesişmesine izin verin, o zaman çapraz olarak  1 ve  3 eşit olacaktır.  2 ve  3 dikey olarak eşittir.  1 =  3 ve  2 =  3 eşitliklerinden  1 =  2 sonucu çıkar. Teorem kanıtlanmıştır

Teorem: İki paralel doğru bir çaprazla kesişirse tek taraflı açıların toplamı 180° olur. A'da a B 3 1  1 +  3 = 180°

Kanıt: Paralel a ve b doğruları AB keseniyle kesişirse, karşılık gelen  1 ve  2 eşit olacaktır,  2 ve  3 bitişiktir, dolayısıyla  2 +  3 = 180 °.  1 =  2 ve  2 +  3 = 180 ° eşitliklerinden  1 +  3 = 180 ° olduğu sonucu çıkar. Teorem kanıtlandı. 2 a, AB'de 3 1

Çözüm: 1. X  2 olsun, sonra  1 = (X+70°) olsun, çünkü 1 ve 2 açılarının toplamı bitişik olduklarından dolayı = 180°'dir. Bir denklem kuralım: X+ (X+70°) = 180° 2X = 110° X = 55° (Açı 2) 2.  1'i bulun. 55° + 70° = 125° 3.  1 =  3, yani. İle. dikeydirler.  3 =  5, çünkü çapraz yatıyorlar. 125°  5 =  7, çünkü dikeydirler.  2 =  4, çünkü dikeydirler.  4 =  6, çünkü çapraz yatıyorlar. 55°  6 =  8, çünkü dikeydirler. Problem No. 1: A B 4 3 5 8 7 2 1 6 Koşul: Açılardan biri diğerinden 70° büyükse, iki paralel A ve B çizgisi bir C kesisiyle kesiştiğinde oluşan tüm açıları bulun.

Çözüm: 1. Çünkü  4 = 45°, o zaman  2 = 45°, çünkü  2 =  4 (karşılık geldiği gibi) 2.  3,  4'e komşudur, dolayısıyla  3+  4=180° ve bundan  3= çıkar. 180° - 45°= 135°. 3.  1 =  3, çünkü çapraz yatıyorlar.  1 = 135°. Cevap:  1=135°;  2=45°;  3=135°. Problem No. 2: A B 1 Durum: şekilde A II B ve C II D düz çizgileri vardır,  4=45°. 1, 2, 3 açılarını bulun. 3 2 4

Çözüm: 1.  1=  2, çünkü dikeydirler, yani  2= 45°. 2.  3,  2'ye komşudur, yani  3+  2=180° ve bundan  3= 180° - 45°= 135° sonucu çıkar. 3.  4 +  3=180°, çünkü onlar tek taraflıdır.  4 = 45°. Cevap:  4=45°;  3=135°. Problem No. 3: A B 2 Koşul: iki paralel çizgi A ve B bir sekant C ile kesişiyor.  1=45° ise  4 ve  3'ün neye eşit olacağını bulun. 3 4 1

Teorem: İki paralel doğru bir çaprazla kesişirse kesişen açılar eşittir. A'da a B 1 2 1 = 2 c

İspat: A B C DM N 1 2 K O AB ve CD doğruları paralel olsun, MN bunların sekantıdır. 1 ve 2 numaralı çapraz açıların birbirine eşit olduğunu kanıtlayalım. 1 ile 2'nin eşit olmadığını varsayalım. O noktasından geçen bir KF çizgisi çizelim. O zaman O noktasında çapraz olarak uzanan ve 2'ye eşit olan KON'u inşa edebiliriz. Ancak KON = 2 ise, KF düz çizgisi CD'ye paralel olacaktır. O noktasından geçen AB ve KF düz çizgilerinin CD düz çizgisine paralel çizildiğini bulduk. Ama bu olamaz. 1 ile 2'nin eşit olmadığını varsaydığımız için bir çelişkiye vardık. Dolayısıyla varsayımımız yanlıştır ve 1'in 2'ye eşit olması gerekir, yani çapraz açılar eşittir.

Teorem: İki paralel doğru bir çapraz çizgiyle kesişirse karşılık gelen açılar eşittir. A'da a B 1 2 1 =

İspat: A'da 2 a B 3 1 Paralel a ve b doğrularının AB keseniyle kesişmesine izin verin, o zaman çapraz 1 ve 3 eşit olacaktır. 2 ve 3 dikey olarak eşittir. 1 = 3 ve 2 = 3 eşitliklerinden 1 = 2 sonucu çıkar. Teorem kanıtlanmıştır

Teorem: İki paralel doğru bir çaprazla kesişirse tek taraflı açıların toplamı 180° olur. A'da a B 3 1 1 + 3 = 180°

Kanıt: Paralel a ve b çizgileri AB sekantıyla kesişirse, karşılık gelen 1 ve 2 eşit olacak, 2 ve 3 bitişik olacak, dolayısıyla 2 + 3 = 180 ° olacaktır. 1 = 2 ve 2 + 3 = 180° eşitliklerinden 1 + 3 = 180° sonucu çıkar. Teorem kanıtlandı. A B'de 2 a

Çözüm: 1. X 2 olsun, sonra 1 = (X+70°) olsun, çünkü 1 ve 2 açılarının toplamı = 180°, çünkü bunlar bitişiktir. Bir denklem kuralım: X+ (X+70°) = 180° 2 X = 110 ° X = 55° (Açı 2) 2. 1'i bulun. 55° + 70° = 125° 3. 1 = 3, çünkü bunlar dikey. 3 = 5 çünkü çapraz uzanıyorlar. 125° 5 = 7 çünkü dikeydirler. 2 = 4 çünkü dikeydirler. 4 = 6 çünkü çapraz yatıyorlar. 55° 6 = 8 çünkü dikeydirler. Problem No. 1: A B 4 3 5 8 7 21 6 Koşul: Açılardan biri diğerinden 70° büyükse, iki paralel A ve B çizgisi bir C kesisiyle kesiştiğinde oluşan tüm açıları bulun.

Çözüm: 1. 4 = 45° olduğuna göre 2 = 45°, çünkü 2 = 4 (karşılık geldiği gibi) 2. 3, 4'e komşudur, dolayısıyla 3+ 4 = 180° ve bundan 3 = 180° sonucu çıkar. - 45° = 135°. 3. 1 = 3 çünkü çapraz olarak uzanıyorlar. 1 = 135°. Cevap: 1=135°; 2=45°; 3=135°. Problem No. 2: A B 1 Koşul: şekilde A II B ve C II D düz çizgileri vardır, 4 = 45°. 1, 2, 3 açılarını bulun.

Çözüm: 1. 1= 2, dikey oldukları için 2= 45°. 2. 3, 2'ye komşudur, yani 3+ 2=180° ve bundan 3= 180° - 45°= 135° sonucu çıkar. 3. 4 + 3=180° çünkü tek taraflıdırlar. 4 = 45°. Cevap: 4=45°; 3=135°. Problem No. 3: A B 2 Koşul: iki paralel A ve B doğrusu bir C keseniyle kesişiyor. 1=45° ise 4 ve 3'ün neye eşit olacağını bulun.

\[(\Large(\text(Merkez ve yazılı açılar))))\]

Tanımlar

Merkezi açı, köşesi çemberin merkezinde bulunan açıdır.

Yazılı açı, tepe noktası daire üzerinde bulunan açıdır.

Bir daire yayının derece ölçüsü, onu çevreleyen merkez açının derece ölçüsüdür.

Teorem

Yazılı bir açının derece ölçüsü, üzerinde durduğu yayın derece ölçüsünün yarısına eşittir.

Kanıt

İspatı iki aşamada gerçekleştireceğiz: İlk olarak, yazılı açının kenarlarından birinin çap içermesi durumu için ifadenin geçerliliğini ispatlayacağız. \(B\) noktası yazılı açının \(ABC\) tepe noktası ve \(BC\) dairenin çapı olsun:

\(AOB\) üçgeni ikizkenardır, \(AO = OB\) , \(\angle AOC\) dıştır, o halde \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC\), Neresi \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

Şimdi keyfi bir yazılı açı \(ABC\) düşünün. Dairenin çapını \(BD\) yazılı açının tepe noktasından çizelim. İki olası durum vardır:

1) çap, açıyı iki açıya böler \(\angle ABD, \angle CBD\) (teorem yukarıda kanıtlandığı gibi her biri için doğrudur, dolayısıyla bunların toplamı olan orijinal açı için de geçerlidir) ikidir ve dolayısıyla dayandıkları yayların toplamının yarısına, yani dayandığı yayın yarısına eşittir). Pirinç. 1.

2) çap, açıyı iki açıya bölmediyse, kenarları çapı içeren iki yeni yazılı açımız daha var \(\angle ABD, \angle CBD\), bu nedenle teorem onlar için doğrudur, o zaman orijinal açı için de geçerlidir (ki bu iki açının farkına eşittir, yani üzerinde durdukları yayların farkının yarısına, yani dayandığı yayın yarısına eşittir). Pirinç. 2.

Sonuçlar

1. Aynı yayı gören yazılı açılar eşittir.

2. Yarım dairenin çevrelediği yazılı açı dik açıdır.

3. Yazılı açı, aynı yayın gördüğü merkez açının yarısına eşittir.

\[(\Large(\text(Çembere teğet))))\]

Tanımlar

Bir çizginin ve bir dairenin üç tür göreli konumu vardır:

1) \(a\) düz çizgisi daireyi iki noktada kesiyor. Böyle bir çizgiye sekant çizgisi denir. Bu durumda dairenin merkezinden düz çizgiye olan uzaklık \(d\), dairenin yarıçapından \(R\) küçüktür (Şekil 3).

2) düz çizgi \(b\) daireyi bir noktada kesiyor. Böyle bir doğruya teğet doğru denir ve bunların ortak noktası \(B\)'ye teğet noktası denir. Bu durumda \(d=R\) (Şekil 4).

Teorem

1. Bir daireye çizilen teğet, teğet noktasına çizilen yarıçapa diktir.

2. Bir doğru bir dairenin yarıçapının ucundan geçiyorsa ve bu yarıçapa dikse, o zaman daireye teğettir.

Sonuçlar

Bir noktadan çembere çizilen teğet doğru parçaları eşittir.

Kanıt

\(K\) noktasından çembere iki teğet \(KA\) ve \(KB\) çizelim:

Bu, \(OA\perp KA, OB\perp KB\)'nin yarıçaplara benzediği anlamına gelir. Sağ Üçgenler\(\triangle KAO\) ve \(\triangle KBO\) kenar ve hipotenüs açısından eşittir, dolayısıyla \(KA=KB\) .

Sonuçlar

\(O\) dairesinin merkezi, aynı \(K\) noktasından çizilen iki teğetin oluşturduğu \(AKB\) açısının ortaortasında yer alır.

\[(\Large(\text(Açılarla İlgili Teoremler))))\]

Sekantlar arasındaki açıya ilişkin teorem

Aynı noktadan çizilen iki kesant arasındaki açı, kestikleri büyük ve küçük yayların derece ölçülerinin yarı farkına eşittir.

Kanıt

Şekilde gösterildiği gibi iki kesanın çizildiği nokta \(M\) olsun:

Hadi bunu gösterelim \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

\(\angle DAB\) üçgenin dış açısıdır \(MAD\), o zaman \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\), Neresi \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA\) ancak \(\angle DAB\) ve \(\angle MDA\) açıları yazılıdır, o zaman \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\) Kanıtlanması gereken şey buydu.

Kesişen akorlar arasındaki açı ile ilgili teorem

Kesişen iki kiriş arasındaki açı, kestikleri yayların derece ölçülerinin toplamının yarısına eşittir: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

Kanıt

\(\angle BMA = \angle CMD\) dikey olarak.

\(AMD\) üçgeninden: \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

Ancak \(\angle AMD = 180^\circ - \angle CMD\) bundan şu sonuca varıyoruz \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ gülümse\üzerine(CD)).\]

Akor ve teğet arasındaki açıya ilişkin teorem

Teğet ile teğet noktasından geçen kiriş arasındaki açı, kirişin gördüğü yayın derece ölçüsünün yarısına eşittir.

Kanıt

\(a\) düz çizgisinin \(A\) noktasında daireye değmesine izin verin, \(AB\) bu dairenin kirişi, \(O\) onun merkezidir. \(OB\)'yi içeren doğrunun \(a\)'yı \(M\) noktasında kesmesine izin verin. Hadi bunu kanıtlayalım \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).

\(\angle OAB = \alpha\) olarak gösterelim. \(OA\) ve \(OB\) yarıçap olduğundan, \(OA = OB\) ve \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\). Böylece, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

\(OA\) teğet noktaya çizilen yarıçap olduğundan, o zaman \(OA\perp a\), yani \(\angle OAM = 90^\circ\), dolayısıyla, \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

Eşit akorlarla çevrelenen yaylar üzerine teorem

Eşit akorlar, yarım dairelerden daha küçük olan eşit yayları temsil eder.

Ve bunun tersi de geçerlidir: eşit yaylar, eşit akorlarla desteklenir.

Kanıt

1) \(AB=CD\) olsun. Yayın yarım dairelerinin daha küçük olduğunu kanıtlayalım.

Bu nedenle üç tarafta \(\angle AOB=\angle COD\) . Ama çünkü \(\açı AOB, \açı COD\) - merkezi açılar, yaylar üzerinde duran \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\) buna göre, o zaman \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) Eğer \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), O \(\üçgen AOB=\üçgen COD\) iki tarafta \(AO=BO=CO=DO\) ve aralarındaki açı \(\angle AOB=\angle COD\) . Bu nedenle ve \(AB=CD\) .

Teorem

Yarıçap akoru ikiye bölüyorsa, o zaman ona diktir.

Bunun tersi de doğrudur: eğer yarıçap akora dikse, o zaman kesişme noktasında onu ikiye böler.

Kanıt

1) \(AN=NB\) olsun. \(OQ\perp AB\) olduğunu kanıtlayalım.

\(\triangle AOB\) düşünün: ikizkenardır, çünkü \(OA=OB\) – dairenin yarıçapı. Çünkü \(ON\) tabana çizilen ortancadır, bu durumda aynı zamanda yüksekliktir, dolayısıyla \(ON\perp AB\) .

2) \(OQ\perp AB\) olsun. \(AN=NB\) olduğunu kanıtlayalım.

Benzer şekilde, \(\triangle AOB\) ikizkenardır, \(ON\) yüksekliktir, dolayısıyla \(ON\) ortancadır. Bu nedenle, \(AN=NB\) .

\[(\Large(\text(Doğru parçaların uzunluklarıyla ilgili teoremler))))\]

Akor bölümlerinin çarpımı üzerine teorem

Bir dairenin iki kirişi kesişirse, bir akorun bölümlerinin çarpımı diğer akorun bölümlerinin çarpımına eşittir.

Kanıt

\(AB\) ve \(CD\) akorlarının \(E\) noktasında kesişmesine izin verin.

\(ADE\) ve \(CBE\) üçgenlerini düşünün. Bu üçgenlerde, \(1\) ve \(2\) açıları eşittir, çünkü bunlar yazılıdır ve aynı yay üzerinde \(BD\) dururlar ve \(3\) ve \(4\) açıları eşittir dikey olarak. \(ADE\) ve \(CBE\) üçgenleri benzerdir (üçgenlerin benzerliğine ilişkin ilk kritere göre).

Daha sonra \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), buradan \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

Teğet ve sekant teoremi

Bir teğet parçanın karesi, bir sekant ile onun dış kısmının çarpımına eşittir.

Kanıt

Teğetin \(M\) noktasından geçmesine izin verin ve daireye \(A\) noktasında değsin. Kesenin \(M\) noktasından geçmesine ve daireyi \(B\) ve \(C\) noktalarında kesmesine izin verin, böylece \(MB)< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

\(MBA\) ve \(MCA\) üçgenlerini düşünün: \(\angle M\) ortaktır, \(\açı BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Bir teğet ile bir sekant arasındaki açı hakkındaki teoreme göre, \(\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA\). Dolayısıyla \(MBA\) ve \(MCA\) üçgenleri iki açıda benzerdir.

\(MBA\) ve \(MCA\) üçgenlerinin benzerliğinden şunu elde ederiz: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), \(MB\cdot MC = MA^2\) ile eşdeğerdir.

Sonuçlar

\(O\) noktasından dış kısmı tarafından çizilen bir kesenin çarpımı, \(O\) noktasından çizilen kesenin seçimine bağlı değildir.