Sosyo-ekonomik araştırmalarda kullanılan istatistiksel göstergelerin en yaygın biçimi ortalama değer istatistiksel bir popülasyonun bir özelliğinin genelleştirilmiş niceliksel özelliğidir. Ortalama değerler, tüm gözlem serisinin “temsilcileridir”. Çoğu durumda ortalama, başlangıç ​​ortalama oranı (ARR) veya bunun mantıksal formülü aracılığıyla belirlenebilir: . Örneğin ortalamayı hesaplamak için ücretler işletmenin çalışanları, toplam ücret fonunu çalışan sayısına bölmelidir: Ortalamanın başlangıç ​​oranının payı, onun tanımlayıcı göstergesini temsil eder. Ortalama ücretler için böyle bir belirleyici gösterge ücret fonudur. Sosyo-ekonomik analizde kullanılan her gösterge için ortalamayı hesaplamak amacıyla yalnızca tek bir gerçek başlangıç ​​oranı derlenebilir. Daha doğru tahmin yapabilmek için şunu da eklemek gerekir. standart sapma küçük örnekler için (element sayısı 30'dan az olan) paydada kökün altındaki ifade kullanılmamalıdır N, A N- 1.

Ortalama kavramı ve türleri

Ortalama değer- bu, istatistiksel büyüklüklerin değerlerindeki bireysel farklılıkları ortadan kaldıran ve farklı popülasyonları birbiriyle karşılaştırmanıza olanak tanıyan istatistiksel bir popülasyonun genel bir göstergesidir. Var 2 sınıf ortalama değerler: güç ve yapısal. Yapısal ortalamalar şunları içerir: moda Ve medyan , ancak en sık kullanılan güç ortalamalarıçeşitli türleri.

Güç ortalamaları

Güç ortalamaları şunlar olabilir: basit Ve ağırlıklı.

Basit bir ortalama, aşağıdaki genel güç ortalaması formülünü kullanarak (farklı k (m) değerleri için) rastgele sırayla düzenlenmiş iki veya daha fazla gruplanmamış istatistiksel nicelik olduğunda hesaplanır:

Ağırlıklı ortalama, aşağıdaki genel formül kullanılarak gruplandırılmış istatistiklerden hesaplanır:

nerede x - incelenen olgunun ortalama değeri; x i – ortalama karakteristiğin i-inci çeşidi;

f i – i'inci seçeneğin ağırlığı.

X'in bireysel istatistiksel değerlerin değerleri veya gruplama aralıklarının ortası olduğu durumlarda;
m, değeri aşağıdaki güç ortalama türlerini belirleyen bir üstür:
m = -1 harmonik ortalama olduğunda;
m = 0'da geometrik ortalama;
m = 1 aritmetik ortalama ile;
m = 2 ortalamanın karekökü olduğunda;
m = 3'te ortalama kübiktir.

Farklı m üsleri için basit ve ağırlıklı ortalamalar için genel formüller kullanarak, her tür için aşağıda ayrıntılı olarak tartışılacak olan özel formüller elde ederiz.

Aritmetik ortalama

Aritmetik ortalama – başlangıç ​​anı ilk sipariş, matematiksel beklenti değerler rastgele değişkençok sayıda testle;

Aritmetik ortalama, genel formülde m=1 yerine konulmasıyla elde edilen, en sık kullanılan ortalama değerdir. Aritmetik ortalama basit aşağıdaki forma sahiptir:

veya

X, ortalama değerin hesaplanması gereken miktarların değerleridir; N, X değerlerinin toplam sayısıdır (incelenen popülasyondaki birimlerin sayısı).

Örneğin bir öğrenci 4 sınavı geçmiş ve şu notları almıştır: 3, 4, 4 ve 5. Basit aritmetik ortalama formülünü kullanarak ortalama puanı hesaplayalım: (3+4+4+5)/4 = 16/4 = 4. Aritmetik ortalama ağırlıklı aşağıdaki forma sahiptir:

f, miktarların sayısıdır aynı değer X (frekans). >Örneğin bir öğrenci 4 sınavı geçmiş ve şu notları almıştır: 3, 4, 4 ve 5. Ortalama puanı ağırlıklı aritmetik ortalama formülünü kullanarak hesaplayalım: (3*1 + 4*2 + 5*1)/4 = 16/4 = 4 . X değerleri aralık olarak belirtilirse, aralığın üst ve alt sınırlarının yarı toplamı olarak tanımlanan hesaplamalar için X aralıklarının orta noktaları kullanılır. Ve eğer X aralığının bir alt veya üst sınırı yoksa (açık aralık), o zaman onu bulmak için, bitişik X aralığının aralığını (üst ve alt sınır arasındaki fark) kullanın. Örneğin bir işletmede 3 yıla kadar deneyime sahip 10, 3 ila 5 yıl arasında deneyime sahip 20, 5 yıldan fazla deneyime sahip 5 çalışan bulunmaktadır. Daha sonra, hizmet aralıklarının (2, 4 ve 6 yıl) orta noktasını X olarak alarak, ağırlıklı aritmetik ortalama formülünü kullanarak çalışanların ortalama hizmet süresini hesaplıyoruz: (2*10+4*20+6*5)/(10+20+5) = 3,71 yıl.

ORTALAMA işlevi

Bu işlev, bağımsız değişkenlerinin ortalamasını (aritmetik) hesaplar.

ORTALAMA(sayı1; sayı2; ...)

Sayı1, sayı2, ... ortalamanın hesaplandığı 1 ile 30 arasında bağımsız değişkendir.

Bağımsız değişkenler sayılar veya adlar, diziler veya sayı içeren başvurular olmalıdır. Bir dizi veya başvuru olan bağımsız değişken metinler, boole'ler veya boş hücreler içeriyorsa bu tür değerler göz ardı edilir; ancak sıfır değer içeren hücreler sayılır.

ORTALAMA işlevi

Argüman listesinde verilen değerlerin aritmetik ortalamasını hesaplar. Hesaplama, sayılara ek olarak metin ve DOĞRU ve YANLIŞ gibi mantıksal değerleri de içerebilir.

ORTALAMA(değer1, değer2,...)

Değer1, değer2,... 1 ila 30 hücre, hücre aralığı veya ortalamanın hesaplandığı değerlerdir.

Bağımsız değişkenler sayılar, adlar, diziler veya referanslar olmalıdır. Metin içeren diziler ve bağlantılar 0 (sıfır) olarak yorumlanır.

Boş metin ("") 0 (sıfır) olarak yorumlanır. DOĞRU değerini içeren bağımsız değişkenler 1 olarak yorumlanır, YANLIŞ değerini içeren bağımsız değişkenler 0 (sıfır) olarak yorumlanır.

Aritmetik ortalama en sık kullanılır, ancak diğer ortalama türlerinin kullanılmasının gerekli olduğu zamanlar da vardır. Bu tür durumları daha ayrıntılı olarak ele alalım.

Harmonik ortalama

Karşılıklıların ortalama toplamını belirlemek için harmonik ortalama; Harmonik ortalama

kaynak verileri ayrı X değerleri için f frekanslarını içermediğinde ancak bunların Xf çarpımı olarak sunulduğunda kullanılır. Xf=w olarak belirledikten sonra f=w/X'i ifade ederiz ve bu gösterimleri aritmetik ağırlıklı ortalama formülünde değiştirerek harmonik ağırlıklı ortalama formülünü elde ederiz: Bu nedenle, f frekansları bilinmediğinde ve w=Xf bilindiğinde ağırlıklı harmonik ortalama kullanılır. Tüm w = 1'in, yani X'in bireysel değerlerinin bir kez meydana geldiği durumlarda, ortalama harmonik asal formül uygulanır: veya

Örneğin bir araba A noktasından B noktasına 90 km/saat hızla gidip geri 110 km/saat hızla gidiyordu. Ortalama hızı belirlemek için basit ortalama harmonik formülünü uygularız, çünkü örnekte w 1 =w 2 mesafesi verilmiştir (A noktasından B noktasına olan mesafe, B'den A'ya olan mesafeyle aynıdır), bu da şu şekildedir: hız (X) ve zamanın (f) çarpımına eşittir. Ortalama hız = (1+1)/(1/90+1/110) = 99 km/saat.

İşlev SRGARM

Bir veri kümesinin harmonik ortalamasını döndürür.

Harmonik ortalama, karşılıklı sayıların aritmetik ortalamasının tersidir.

SRGARM(sayı1,sayı2, ...)

Sayı1, sayı2, ... ortalamanın hesaplandığı 1 ile 30 arasında bağımsız değişkendir. Noktalı virgülle ayrılmış bağımsız değişkenler yerine bir dizi veya dizi başvurusu kullanabilirsiniz.

Rastgele değişkenlerin ortalama büyüme oranını tahmin etmek için geometrik ortalama, minimum ve maksimum değerlerden eşit uzaklıktaki bir özelliğin değerini bulma;

Sayı1, sayı2, ... ortalamanın hesaplandığı 1 ile 30 arasında bağımsız değişkendir. Noktalı virgülle ayrılmış bağımsız değişkenler yerine bir dizi veya dizi başvurusu kullanabilirsiniz. ortalama bağıl değişimlerin belirlenmesinde kullanılır. Görev, X'in hem maksimum hem de minimum değerlerinden eşit uzaklıkta olacak bir X değeri bulmaksa, geometrik ortalama en doğru ortalama sonucunu verir. Örneğin 2005-2008 yılları arasındaenflasyon endeksi Rusya'da: 2005'te - 1.109; 2006'da - 1.090; 2007'de - 1.119; 2008'de - 1.133. Enflasyon endeksi göreceli bir değişim (dinamik endeks) olduğundan, ortalama değerin geometrik ortalama kullanılarak hesaplanması gerekir: (1.109*1.090*1.119*1.133)^(1/4) = 1.1126, yani 2005 yılından itibaren. 2008 yılına kadar yıllık fiyatlar ortalama %11,26 arttı. Aritmetik ortalama kullanılarak yapılan hatalı bir hesaplama %11,28 oranında yanlış sonuç verecektir.

SRGEOM işlevi

Pozitif sayılar dizisinin veya aralığının geometrik ortalamasını döndürür. Örneğin, değişken oranlı bileşik gelir belirtilirse ortalama büyüme oranını hesaplamak için SRGEOM işlevi kullanılabilir.

SRGEOM (sayı1; sayı2; ...)

Sayı1, sayı2, ... geometrik ortalamanın hesaplandığı 1 ile 30 arasında bağımsız değişkendir.

Noktalı virgülle ayrılmış bağımsız değişkenler yerine bir dizi veya dizi başvurusu kullanabilirsiniz.

Ortalama kare

Ortalama kare – ikinci dereceden başlangıç ​​momenti. Ortalama kare örneğin ortalama sapmaları hesaplarken, X'in başlangıç ​​değerlerinin hem pozitif hem de negatif olabildiği durumlarda kullanılır.

İkinci dereceden ortalamanın ana uygulaması, X değerlerinin değişimini ölçmektir.

Ortalama kübik

İkinci dereceden ortalamanın ana uygulaması, X değerlerinin değişimini ölçmektir. Ortalama kübik üçüncü derecenin başlangıç ​​anıdır.

örneğin BM tarafından önerilen ve hesaplanan, gelişmekte olan ülkeler (TIN-1) ve gelişmiş ülkeler (TIN-2) için yoksulluk endekslerinin hesaplanmasında son derece nadiren kullanılır. Çoğu durumda veriler belirli bir alanın etrafında yoğunlaşır. merkez noktası . Bu nedenle herhangi bir veri kümesini tanımlamak için ortalama değeri belirtmek yeterlidir. Üçünü art arda ele alalım sayısal özellikler

Bir dağılımın ortalamasını tahmin etmek için kullanılanlar: aritmetik ortalama, medyan ve mod.

Aritmetik ortalama (genellikle basitçe ortalama olarak adlandırılır), bir dağılımın ortalamasının en yaygın tahminidir. Gözlenen tüm sayısal değerlerin toplamının sayılarına bölünmesi sonucudur. Sayılardan oluşan bir örnek için X 1, X 2, …, XN, örnek ortalama (ile gösterilir) ) eşittir = (X 1 + X 2 + … + XN) / N, Bu nedenle, f frekansları bilinmediğinde ve w=Xf bilindiğinde ağırlıklı harmonik ortalama kullanılır. Tüm w = 1'in, yani X'in bireysel değerlerinin bir kez meydana geldiği durumlarda, ortalama harmonik asal formül uygulanır:

örnek ortalaması nerede, N- numune büyüklüğü, XBen – i'inci elemanörnekler.

Notu veya formatında indirin, formattaki örnekler

Ortalamayı hesaplamayı düşünün aritmetik değer 15 yatırım fonunun beş yıllık ortalama yıllık getirisi çok yüksek yüksek seviye risk (Şekil 1).

Pirinç. 1. Çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun ortalama yıllık getirisi

Örnek ortalaması şu şekilde hesaplanır:

Bu iyi gelirözellikle banka veya kredi birliği mevduat sahiplerinin aynı dönemde aldıkları %3-4'lük getiriyle karşılaştırıldığında. Getirileri sıraladığımızda sekiz fonun ortalamanın üzerinde, yedi fonun ise ortalamanın altında getiri sağladığını görmek kolay. Aritmetik ortalama denge noktası görevi görür, böylece düşük getirili fonlar yüksek getirili fonları dengeler. Ortalamanın hesaplanmasında numunenin tüm unsurları yer alır. Bir dağılımın ortalamasına ilişkin diğer tahminlerin hiçbiri bu özelliğe sahip değildir.

Aritmetik ortalamayı ne zaman hesaplamanız gerekir? Aritmetik ortalama örnekteki tüm elemanlara bağlı olduğundan uç değerlerin varlığı sonucu önemli ölçüde etkiler. Bu gibi durumlarda aritmetik ortalama, sayısal verilerin anlamını bozabilir. Bu nedenle uç değerler içeren bir veri seti açıklanırken medyanın veya aritmetik ortalamanın ve medyanın belirtilmesi gerekir. Örneğin RS Gelişen Büyüme fonunun getirilerini örneklemden çıkarırsak, 14 fonun örnek ortalaması neredeyse %1 azalarak %5,19'a düşüyor.

Medyan

Medyan, sıralı bir sayı dizisinin orta değerini temsil eder. Dizi tekrarlayan sayılar içermiyorsa, elemanlarının yarısı ortancadan küçük, yarısı da büyük olacaktır. Örnek aşırı değerler içeriyorsa, ortalamayı tahmin etmek için aritmetik ortalama yerine ortancayı kullanmak daha iyidir. Bir örneğin medyanını hesaplamak için önce sıralanması gerekir.

Bu formül belirsizdir. Sonuç, sayının çift veya tek olmasına bağlıdır N:

• Örnek içermiyorsa çift ​​sayı elemanların medyanı (n+1)/2-'inci eleman.
• Örnek çift sayıda öğe içeriyorsa, medyan, örneğin ortadaki iki öğesi arasında yer alır ve bu iki öğe üzerinden hesaplanan aritmetik ortalamaya eşittir.

Çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun getirilerini içeren bir örneğin medyanını hesaplamak için öncelikle ham verileri sıralamanız gerekir (Şekil 2). Daha sonra medyan, numunenin ortadaki elemanının sayısının karşısında olacaktır; 8 numaralı örneğimizde. Excel'in sırasız dizilerle de çalışan özel bir işlevi =MEDIAN() vardır.

Pirinç. 2. Ortalama 15 fon

Dolayısıyla medyan 6,5'tir. Bu, çok yüksek riskli fonların bir yarısının getirisinin 6,5'u geçmediği, diğer yarısının getirisinin ise onu aştığı anlamına geliyor. 6,5'lik medyanın 6,08'lik ortalamadan çok da büyük olmadığını unutmayın.

Örneklemden RS Emerging Growth fonunun getirisini çıkarırsak kalan 14 fonun medyanı %6,2'ye düşüyor, yani aritmetik ortalama kadar anlamlı değil (Şekil 3).

Pirinç. 3. Ortalama 14 fon

Moda

Terim ilk kez 1894'te Pearson tarafından icat edildi. Moda, bir örnekte en sık görülen (en moda olan) sayıdır. Moda, örneğin sürücülerin trafik ışığı sinyaline hareket etmeyi bırakma yönündeki tipik tepkisini çok iyi tanımlıyor. Klasik örnek moda kullanımı - bir ayakkabı partisinin boyutunu veya duvar kağıdının rengini seçmek. Bir dağıtımın birden fazla modu varsa, bu durumda multimodal veya multimodal (iki veya daha fazla "zirveye" sahip) olduğu söylenir. Çok modlu dağıtım şunları sağlar önemli bilgi incelenen değişkenin doğası hakkında. Örneğin, sosyolojik araştırmalarda, eğer bir değişken bir şeye yönelik bir tercihi veya tutumu temsil ediyorsa, o zaman çok modluluk, birden fazla farklı seçeneğin olduğu anlamına gelebilir. farklı görüşler. Çok modluluk aynı zamanda numunenin homojen olmadığının ve gözlemlerin iki veya daha fazla "örtüşen" dağılım tarafından üretilebileceğinin bir göstergesi olarak da hizmet eder. Aritmetik ortalamanın aksine aykırı değerler modu etkilemez. Yatırım fonlarının ortalama yıllık getirisi gibi sürekli dağıtılan rastgele değişkenler için bu mod bazen mevcut olmayabilir (veya hiçbir anlam ifade etmeyebilir). Bu göstergeler çok farklı değerler alabildiğinden tekrarlanan değerler son derece nadirdir.

Çeyrekler

Çeyrekler, büyük sayısal örneklerin özelliklerini açıklarken veri dağılımını değerlendirmek için en sık kullanılan metriklerdir. Medyan, sıralı diziyi ikiye bölerken (dizinin öğelerinin %50'si medyandan küçük ve %50'si büyüktür), çeyrekler sıralı veri kümesini dört parçaya böler. Q 1 , medyan ve Q 3 değerleri sırasıyla 25., 50. ve 75. yüzdelik dilimlerdir. İlk çeyrek Q1, numuneyi iki parçaya bölen bir sayıdır: öğelerin %25'i ilk çeyrekten küçüktür ve %75'i büyüktür.

Üçüncü çeyrek Q3 aynı zamanda numuneyi iki parçaya bölen bir sayıdır: Öğelerin %75'i üçüncü çeyrekten küçüktür ve %25'i büyüktür.

Excel'in 2007'den önceki sürümlerinde çeyrekleri hesaplamak için =QUARTILE(array,part) işlevini kullanın. Excel 2010'dan itibaren iki işlev kullanılmaktadır:

• =QUARTILE.ON(dizi, parça)
• =QUARTILE.HRC(dizi, parça)

Bu iki fonksiyon çok az şey verir farklı anlamlar(Şekil 4). Örneğin, çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun ortalama yıllık getirisini içeren bir örneğin çeyrekleri hesaplanırken, QUARTILE.IN ve QUARTILE.EX için sırasıyla Q 1 = 1,8 veya –0,7. Bu arada, daha önce kullanılan QUARTILE işlevi, modern QUARTILE.ON işlevine karşılık gelir. Yukarıdaki formülleri kullanarak Excel'de çeyrekleri hesaplamak için veri dizisinin sıralanmasına gerek yoktur.

Pirinç. 4. Excel'de çeyrekleri hesaplamak

Tekrar vurgulayalım. Excel, tek değişkenli bir değişken için çeyrekleri hesaplayabilir ayrık seri rastgele bir değişkenin değerlerini içeren. Frekans bazlı bir dağılım için çeyreklerin hesaplanması aşağıdaki bölümde verilmiştir.

Geometrik ortalama

Aritmetik ortalamanın aksine geometrik ortalama, bir değişkenin zaman içindeki değişim derecesini tahmin etmenize olanak tanır. Geometrik ortalama köktür N işten elde edilen derece N miktarlar (Excel'de =SRGEOM işlevi kullanılır):

G= (X 1 * X 2 * … * X n) 1/n

Benzer bir parametre - kâr oranının geometrik ortalama değeri - aşağıdaki formülle belirlenir:

G = [(1 + R 1) * (1 + R 2) * … * (1 + R n)] 1/n – 1,

Nerede R ben– kar oranı Ben zaman dilimi.

Örneğin ilk yatırımın 100.000$ olduğunu varsayalım. İlk yılın sonunda 50.000$'a düşüyor, ikinci yılın sonunda ise başlangıç ​​seviyesi olan 100.000$'a geri dönüyor. -yıllık dönem, başlangıç ​​ve son fon tutarları birbirine eşit olduğundan 0'a eşittir. Ancak yıllık kâr oranlarının aritmetik ortalaması = (–0,5 + 1) / 2 = 0,25 veya %25 olur, çünkü ilk yıldaki kâr oranı R 1 = (50.000 – 100.000) / 100.000 = –0,5 ve ikinci R 2 = (100.000 – 50.000) / 50.000 = 1. Aynı zamanda, kâr oranının iki yıllık geometrik ortalama değeri şuna eşittir: G = [(1–0,5) * (1+1 ) ] 1/2 – 1 = ½ – 1 = 1 – 1 = 0. Dolayısıyla geometrik ortalama, iki yıllık bir süre boyunca yatırım hacmindeki değişimi (daha kesin olarak değişiklik yokluğunu) aritmetikten daha doğru bir şekilde yansıtır. Anlam.

İlginç gerçekler. Birincisi, geometrik ortalama her zaman aynı sayıların aritmetik ortalamasından küçük olacaktır. Alınan tüm sayıların birbirine eşit olduğu durum hariç. İkincisi, özellikleri dikkate alarak dik üçgen ortalamanın neden geometrik olarak adlandırıldığı anlaşılabilir. Hipotenüse indirilen bir dik üçgenin yüksekliği, bacakların hipotenüse izdüşümleri arasındaki ortalama orantılıdır ve her bacak, hipotenüs ile hipotenüse izdüşümü arasındaki ortalama orantılıdır (Şekil 5). Bu, iki (uzunluk) parçanın geometrik ortalamasını oluşturmak için geometrik bir yol sağlar: çap olarak bu iki parçanın toplamı üzerinde bir daire oluşturmanız, ardından bunların daire ile kesişme noktasına bağlantı noktasından yüksekliği geri yüklemeniz gerekir. istenen değeri verecektir:

Pirinç. 5. Geometrik ortalamanın geometrik doğası (Wikipedia'dan şekil)

Sayısal verilerin ikinci önemli özelliği ise varyasyon, veri dağılım derecesini karakterize eder. İki farklı örnek hem ortalama hem de varyans açısından farklı olabilir. Ancak Şekil 2'de gösterildiği gibi. Şekil 6 ve 7'de, iki numune aynı varyasyonlara ancak farklı ortalamalara veya aynı ortalamaya ve tamamen farklı varyasyonlara sahip olabilir. Şekil 2'deki B poligonuna karşılık gelen veriler. Şekil 7'deki gibi, A poligonunun oluşturulduğu verilere göre çok daha az değişiklik olur.

Pirinç. 6. Aynı yayılma ve farklı ortalama değerlere sahip iki simetrik çan şeklindeki dağılım

Pirinç. 7. Aynı ortalama değerlere ve farklı spreadlere sahip iki simetrik çan şeklindeki dağılım

Veri değişimine ilişkin beş tahmin vardır:

• kapsam,
• çeyrekler arası aralık,
• dağılım,
• standart sapma,
• varyasyon katsayısı.

Kapsam

Aralık, numunenin en büyük ve en küçük elemanları arasındaki farktır:

Aralık = XMaksimum – XMin.

Çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun ortalama yıllık getirilerini içeren bir örneklemin aralığı, sıralı dizi kullanılarak hesaplanabilir (bkz. Şekil 4): Aralık = 18,5 – (–6,1) = 24,6. Bu da çok yüksek riskli fonların en yüksek ve en düşük ortalama yıllık getirileri arasındaki farkın %24,6 olduğu anlamına geliyor.

Aralık, verilerin genel yayılımını ölçer. Örnek aralığı, verilerin genel yayılımına ilişkin çok basit bir tahmin olmasına rağmen zayıflığı, verilerin minimum ve maksimum öğeler arasında nasıl dağıldığını tam olarak hesaba katmamasıdır. Bu etki Şekil 2'de açıkça görülmektedir. Şekil 8, aynı aralığa sahip numuneleri göstermektedir. Ölçek B, bir numunenin en az bir uç değer içermesi durumunda numune aralığının, verilerin yayılmasına ilişkin oldukça kesin olmayan bir tahmin olduğunu göstermektedir.

Pirinç. 8. Aynı aralığa sahip üç numunenin karşılaştırılması; üçgen ölçeğin desteğini sembolize eder ve konumu örnek ortalamaya karşılık gelir

Çeyrekler arası aralık

Çeyrekler arası veya ortalama aralık, numunenin üçüncü ve birinci çeyrekleri arasındaki farktır:

Çeyrekler arası aralık = Q 3 – Q 1

Bu değer, aşırı elementlerin etkisini hesaba katmadan elementlerin %50'sinin dağılımını tahmin etmemizi sağlar. Çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun ortalama yıllık getirilerini içeren bir örneklemin çeyrekler arası aralığı Şekil 1'deki veriler kullanılarak hesaplanabilmektedir. 4 (örneğin, QUARTILE.EXC işlevi için): Çeyrekler arası aralık = 9,8 – (–0,7) = 10,5. 9,8 ve -0,7 sayılarıyla sınırlanan aralığa genellikle orta yarı denir.

Q 1 ve Q 3 değerlerinin ve dolayısıyla çeyrekler arası aralığın, aykırı değerlerin varlığına bağlı olmadığına dikkat edilmelidir, çünkü hesaplamaları Q 1'den küçük veya daha büyük herhangi bir değeri hesaba katmaz. Q 3'ten daha. Aykırı değerlerden etkilenmeyen medyan, birinci ve üçüncü çeyrekler ve çeyrekler arası aralık gibi özet ölçümlere sağlam ölçümler denir.

Aralık ve çeyrekler arası aralık sırasıyla bir numunenin genel ve ortalama yayılımına ilişkin tahminler sağlasa da, bu tahminlerin hiçbiri verilerin tam olarak nasıl dağıtıldığını hesaba katmaz. Varyans ve standart sapma bu dezavantajdan yoksundur. Bu göstergeler, verilerin ortalama değer etrafında ne ölçüde dalgalandığını değerlendirmenize olanak tanır. Örnek varyans her bir örnek öğe ile örnek ortalaması arasındaki farkların karelerinden hesaplanan aritmetik ortalamanın bir yaklaşımıdır. Bir X 1, X 2, ... X n örneği için örnek varyansı (S2 sembolüyle gösterilir) aşağıdaki formülle verilir:

Genel olarak numune varyansı, numune öğeleri ile numune ortalaması arasındaki farkların karelerinin toplamının numune boyutundan bir eksiğine eşit bir değere bölünmesiyle elde edilir:

Nerede - aritmetik ortalama, N- numune büyüklüğü, X ben - Ben inci seçim öğesi X. Excel'de sürüm 2007'den önce, örnek varyansını hesaplamak için =VARP() işlevi kullanılıyordu; sürüm 2010'dan bu yana =VARP.V() işlevi kullanılıyor.

Verilerin yayılmasına ilişkin en pratik ve yaygın olarak kabul edilen tahmin şu şekildedir: örnek standart sapma. Bu gösterge S sembolüyle gösterilir ve örnek varyansın kareköküne eşittir:

Excel'de sürüm 2007'den önce standart örnek sapmayı hesaplamak için =STDEV.() işlevi kullanılıyordu; sürüm 2010'dan bu yana =STDEV.V() işlevi kullanılıyor. Bu işlevleri hesaplamak için veri dizisi sırasız olabilir.

Ne örneklem varyansı ne de örneklem standart sapması negatif olamaz. S 2 ve S göstergelerinin sıfır olabileceği tek durum, numunenin tüm elemanlarının birbirine eşit olmasıdır. Bu kesinlikle inanılmaz durum aralık ve çeyrekler arası aralık da sıfırdır.

Sayısal veriler doğası gereği değişkendir. Herhangi bir değişken birçok şey alabilir farklı anlamlar. Örneğin, farklı yatırım fonlarının farklı getiri ve zarar oranları vardır. Sayısal verilerin değişkenliği nedeniyle, yalnızca doğası gereği özet olan ortalama tahminlerini değil, aynı zamanda verilerin yayılmasını karakterize eden varyans tahminlerini de incelemek çok önemlidir.

Dağılım ve standart sapma, verilerin ortalama değer etrafındaki yayılımını değerlendirmenize, başka bir deyişle kaç örnek öğenin ortalamadan küçük, kaçının büyük olduğunu belirlemenize olanak tanır. Dispersiyonun bazı değerli matematiksel özellikleri vardır. Ancak değeri ölçü biriminin karesidir - yüzde kare, dolar kare, inç kare vb. Bu nedenle, dağılımın doğal ölçüsü, ortak gelir birimleri yüzdesi, dolar veya inç cinsinden ifade edilen standart sapmadır.

Standart sapma, örnek öğelerin ortalama değer etrafındaki değişim miktarını tahmin etmenize olanak tanır. Hemen hemen tüm durumlarda, gözlemlenen değerlerin çoğunluğu, ortalamadan artı veya eksi bir standart sapma aralığında yer alır. Sonuç olarak, örnek elemanların aritmetik ortalamasını ve standart örnek sapmasını bilerek, veri yığınının ait olduğu aralığı belirlemek mümkündür.

Çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun getirilerinin standart sapması 6,6'dır (Şekil 9). Bu, fonların büyük kısmının karlılığının ortalama değerden %6,6'dan fazla farklılık göstermediği anlamına gelir (yani, - S= 6,2 – 6,6 = –0,4 ila +S= 12.8). Aslında fonların beş yıllık ortalama yıllık getirisi %53,3 (15 üzerinden 8) bu aralıkta yer alıyor.

Pirinç. 9. Örnek standart sapma

Kareleri alınmış farklar toplanırken, ortalamadan uzak olan örnek öğelere, ortalamaya yakın olan öğelere göre daha fazla ağırlık verildiğini unutmayın. Bu özellik, bir dağılımın ortalamasını tahmin etmek için aritmetik ortalamanın en sık kullanılmasının ana nedenidir.

Değişim katsayısı

Önceki dağılım tahminlerinin aksine, varyasyon katsayısı göreceli bir tahmindir. Orijinal verilerin birimlerinde değil, her zaman yüzde olarak ölçülür. CV simgeleriyle gösterilen varyasyon katsayısı, verilerin ortalama etrafındaki dağılımını ölçer. Değişim katsayısı, standart sapmanın aritmetik ortalamaya bölünmesi ve %100 ile çarpılmasına eşittir:

Nerede S- standart numune sapması, - örnek ortalaması.

Değişim katsayısı, elemanları farklı ölçü birimleriyle ifade edilen iki örneği karşılaştırmanıza olanak tanır. Örneğin, bir posta dağıtım hizmetinin yöneticisi, kamyon filosunu yenilemeyi planlıyor. Paketleri yüklerken dikkate alınması gereken iki tür kısıtlama vardır: her paketin ağırlığı (pound cinsinden) ve hacmi (fit küp cinsinden). 200 torba içeren bir numunede ortalama ağırlığın 26,0 pound, ağırlığın standart sapmasının 3,9 pound, ortalama torba hacminin 8,8 fit küp ve hacmin standart sapmasının 2,2 fit küp olduğunu varsayalım. Paketlerin ağırlık ve hacmindeki farklılıklar nasıl karşılaştırılır?

Ağırlık ve hacim ölçü birimleri birbirinden farklı olduğundan, yöneticinin bu miktarların göreceli yayılımını karşılaştırması gerekir. Ağırlık değişim katsayısı CV W = 3,9 / 26,0 * %100 = %15 ve hacim değişim katsayısı CV V = 2,2 / 8,8 * %100 = %25'tir. Dolayısıyla paketlerin hacmindeki göreceli değişiklik, ağırlıklarındaki göreceli değişiklikten çok daha fazladır.

Dağıtım formu

Bir numunenin üçüncü önemli özelliği dağılımının şeklidir. Bu dağılım simetrik veya asimetrik olabilir. Bir dağılımın şeklini tanımlamak için ortalamasını ve medyanını hesaplamak gerekir. İkisi aynıysa değişkenin simetrik olarak dağıldığı kabul edilir. Bir değişkenin ortalama değeri ortancadan büyükse dağılımı pozitif çarpıklığa sahiptir (Şekil 10). Medyan ortalamadan büyükse değişkenin dağılımı negatif çarpıktır. Ortalama olağandışı yüksek değerlere yükseldiğinde pozitif çarpıklık meydana gelir. Ortalama alışılmadık derecede küçük değerlere düştüğünde negatif çarpıklık ortaya çıkar. Bir değişken her iki yönde de uç değerler almıyorsa simetrik olarak dağılmıştır, böylece değişkenin büyük ve küçük değerleri birbirini iptal eder.

Pirinç. 10. Üç tür dağıtım

A ölçeğinde gösterilen veriler negatif çarpıktır. Bu şekil, alışılmadık derecede küçük değerlerin varlığından kaynaklanan uzun bir kuyruğu ve sola doğru bir eğimi göstermektedir. Bu son derece küçük değerler ortalama değeri sola kaydırarak medyandan daha küçük hale getirir. B ölçeğinde gösterilen veriler simetrik olarak dağıtılmıştır. Dağıtımın sol ve sağ yarıları kendilerine aittir ayna yansımaları. Büyük ve küçük değerler birbirini dengeler ve ortalama ile medyan eşittir. B ölçeğinde gösterilen veriler pozitif olarak çarpıktır. Bu şekil, alışılmadık derecede yüksek değerlerin varlığından kaynaklanan uzun bir kuyruğu ve sağa doğru bir eğimi göstermektedir. Bu çok büyük değerler ortalamayı sağa kaydırarak medyandan daha büyük hale getirir.

Excel'de bir eklenti kullanılarak tanımlayıcı istatistikler elde edilebilir. Analiz paketi. Menüde gezinme Veri → Veri Analizi, açılan pencerede satırı seçin Tanımlayıcı İstatistikler ve tıklayın Tamam. pencerede Tanımlayıcı İstatistikler mutlaka belirtin Giriş aralığı(Şekil 11). Açıklayıcı istatistikleri orijinal verilerle aynı sayfada görmek istiyorsanız radyo düğmesini seçin. Çıkış aralığı ve görüntülenen istatistiklerin sol üst köşesinin yerleştirileceği hücreyi belirtin (örneğimizde $C$1). Verileri yeni bir sayfaya çıkarmak istiyorsanız veya yeni kitap, sadece uygun anahtarı seçin. yanındaki kutuyu işaretleyin Özet istatistikler. İstenirse siz de seçebilirsiniz Zorluk seviyesien küçük veen büyük k..

Eğer depozito varsa Veri bölgede Analiz simgeyi görmüyorsun Veri Analizi, önce eklentiyi yüklemeniz gerekiyor Analiz paketi(örneğin bkz.).

Pirinç. 11. Çok yüksek risk seviyesine sahip fonların eklenti kullanılarak hesaplanan beş yıllık ortalama yıllık getirilerine ilişkin tanımlayıcı istatistikler Veri Analizi Excel programları

Excel yukarıda tartışılan bir dizi istatistiği hesaplar: ortalama, medyan, mod, standart sapma, varyans, aralık ( aralık), minimum, maksimum ve örneklem büyüklüğü ( kontrol etmek). Excel ayrıca bizim için yeni olan bazı istatistikleri de hesaplar: standart hata, basıklık ve çarpıklık. Standart hata standart sapmanın örneklem büyüklüğünün kareköküne bölünmesine eşittir. Asimetri dağılımın simetrisinden sapmayı karakterize eder ve örnek öğeler ile ortalama değer arasındaki farkların küpüne bağlı bir fonksiyondur. Basıklık, dağılımın kuyruklarına kıyasla ortalama etrafındaki göreceli veri konsantrasyonunun bir ölçüsüdür ve örnek öğeler ile dördüncü kuvvete yükseltilen ortalama arasındaki farklara bağlıdır.

Bir popülasyon için tanımlayıcı istatistiklerin hesaplanması

Yukarıda tartışılan dağılımın ortalaması, yayılımı ve şekli örneklemden belirlenen özelliklerdir. Ancak veri seti tüm popülasyonun sayısal ölçümlerini içeriyorsa parametreleri hesaplanabilir. Bu parametreler popülasyonun beklenen değerini, dağılımını ve standart sapmasını içerir.

Beklenti popülasyondaki tüm değerlerin toplamının popülasyon büyüklüğüne bölünmesine eşittir:

Nerede µ - matematiksel beklenti, XBen- Ben değişkenin gözlemlenmesi X, N- genel nüfusun hacmi. Excel'de matematiksel beklentiyi hesaplamak için aritmetik ortalamayla aynı işlev kullanılır: =ORTALAMA().

Nüfus varyansı genel popülasyonun unsurları ile mat arasındaki farkların karelerinin toplamına eşittir. beklentinin nüfus büyüklüğüne bölümü:

Nerede σ2– genel nüfusun dağılımı. Sürüm 2007'den önceki Excel'de, =VARP() işlevi, sürüm 2010 =VARP()'dan başlayarak bir popülasyonun varyansını hesaplamak için kullanılıyordu.

Nüfus standart sapması popülasyon varyansının kareköküne eşittir:

2007 sürümünden önceki Excel'de, bir popülasyonun standart sapmasını hesaplamak için =STDEV() işlevi kullanılıyordu; 2010 sürümünden bu yana =STDEV.Y(). Popülasyon varyansı ve standart sapmaya ilişkin formüllerin, örneklem varyansı ve standart sapmayı hesaplamaya yönelik formüllerden farklı olduğunu unutmayın. Örnek istatistikleri hesaplarken S2 Ve S kesrin paydası n – 1 ve parametreleri hesaplarken σ2 Ve σ - genel nüfusun hacmi N.

Temel kural

Çoğu durumda, gözlemlerin büyük bir kısmı medyan çevresinde yoğunlaşarak bir küme oluşturur. Pozitif çarpıklık içeren veri setlerinde bu küme matematiksel beklentinin solunda (yani altında), negatif çarpıklık bulunan kümelerde ise bu küme matematiksel beklentinin sağında (yani üstünde) yer alır. Simetrik veriler için ortalama ve medyan aynıdır ve gözlemler ortalamanın etrafında toplanarak çan şeklinde bir dağılım oluşturur. Dağılım açıkça çarpık değilse ve veriler bir ağırlık merkezi etrafında yoğunlaşmışsa, değişkenliği tahmin etmek için kullanılabilecek genel kural şudur: Veriler çan şeklinde bir dağılıma sahipse, gözlemlerin yaklaşık %68'i bu aralıktadır. beklenen değerin bir standart sapması, gözlemlerin yaklaşık %95'i matematiksel beklentiden iki standart sapmadan fazla uzakta değildir ve gözlemlerin %99,7'si matematiksel beklentiden en fazla üç standart sapma uzaktadır.

Böylece, beklenen değer etrafındaki ortalama değişimin bir tahmini olan standart sapma, gözlemlerin nasıl dağıldığını anlamaya ve aykırı değerleri belirlemeye yardımcı olur. Temel kural, çan şeklindeki dağılımlarda yalnızca yirmi değerden birinin matematiksel beklentiden iki standart sapmadan fazla farklı olduğudur. Bu nedenle aralığın dışındaki değerler u ± 2σ, aykırı değerler olarak kabul edilebilir. Ayrıca 1000 gözlemden yalnızca üçü matematiksel beklentiden üç standart sapmadan fazla farklılık göstermektedir. Böylece aralığın dışındaki değerler u ± 3σ neredeyse her zaman aykırıdır. Oldukça çarpık veya çan şeklinde olmayan dağılımlar için Bienamay-Chebyshev temel kuralı uygulanabilir.

Yüz yıldan fazla bir süre önce matematikçiler Bienamay ve Chebyshev birbirlerinden bağımsız olarak şunu keşfettiler: kullanışlı özellik standart sapma. Herhangi bir veri seti için, dağılımın şekline bakılmaksızın, belirli bir mesafede bulunan gözlemlerin yüzdesinin, k matematiksel beklentiden standart sapmalar, daha az değil (1 – 1/ k 2)*100%.

Örneğin, eğer k= 2, Bienmay-Chebyshev kuralı, gözlemlerin en az (1 – (1/2) 2) x %100 = %75'inin aralıkta yer alması gerektiğini belirtir u ± 2σ. Bu kural her şey için geçerlidir k, birini aşıyor. Bienamay-Chebyshev kuralı çok genel karakter ve her türlü dağıtım için geçerlidir. Minimum gözlem sayısını, matematiksel beklentiye olan mesafenin belirli bir değeri aşmadığını belirtir. Bununla birlikte, eğer dağılım çan şeklindeyse, temel kural, verilerin beklenen değer etrafındaki konsantrasyonunu daha doğru bir şekilde tahmin eder.

Frekans Tabanlı Bir Dağılım için Tanımlayıcı İstatistiklerin Hesaplanması

Kaynak veri mevcut değilse frekans dağılımı tek bilgi kaynağı haline gelir. Bu gibi durumlarda, aritmetik ortalama, standart sapma ve çeyrekler gibi dağılımın niceliksel göstergelerinin yaklaşık değerlerini hesaplamak mümkündür.

Örnek veriler bir frekans dağılımı olarak temsil edilirse, her sınıftaki tüm değerlerin sınıf orta noktasında yoğunlaştığı varsayılarak aritmetik ortalamanın yaklaşık değeri hesaplanabilir:

Nerede - örnek ortalaması, N- gözlem sayısı veya örneklem büyüklüğü, İle- frekans dağılımındaki sınıf sayısı, mj- orta nokta J sınıf, FJ- karşılık gelen frekans J-inci sınıf.

Bir frekans dağılımından standart sapmayı hesaplamak için, her sınıftaki tüm değerlerin sınıfın orta noktasında yoğunlaştığı da varsayılır.

Bir serinin çeyreklerinin frekanslara göre nasıl belirlendiğini anlamak için, Rus nüfusunun kişi başına düşen ortalama parasal gelire göre dağılımına ilişkin 2013 verilerine dayanarak alt çeyreğin hesaplanmasını düşünün (Şekil 12).

Pirinç. 12. Kişi başına aylık ortalama nakit geliri olan Rus nüfusunun payı, ruble

Bir aralık varyasyon serisinin ilk çeyreğini hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanabilirsiniz:

burada Q1, birinci çeyreğin değeridir, xQ1, birinci çeyreği içeren aralığın alt sınırıdır (aralık, ilk olarak %25'i aşan birikmiş frekans tarafından belirlenir); i – aralık değeri; Σf – tüm numunenin frekanslarının toplamı; muhtemelen her zaman %100'e eşittir; SQ1–1 – alt çeyreği içeren aralıktan önceki aralığın birikmiş frekansı; fQ1 – alt çeyreği içeren aralığın frekansı. Üçüncü çeyreğin formülü, her yerde Q1 yerine Q3 kullanmanız ve ¼ yerine ¾ kullanmanız gerektiği açısından farklılık gösterir.

Örneğimizde (Şekil 12), alt çeyrek 7000,1 – 10.000 aralığındadır ve bunun toplam frekansı %26,4'tür. Bu aralığın alt sınırı 7000 ruble, aralığın değeri 3000 ruble, alt çeyreği içeren aralıktan önceki aralığın toplam frekansı %13,4, alt çeyreği içeren aralığın frekansı %13,0'dır. Böylece: Q1 = 7000 + 3000 * (¼ * 100 – 13,4) / 13 = 9677 ovma.

Tanımlayıcı İstatistiklerle İlişkili Tuzaklar

Bu yazıda, bir veri kümesinin ortalamasını, yayılmasını ve dağılımını değerlendiren çeşitli istatistikleri kullanarak nasıl tanımlanabileceğine baktık. Bir sonraki adım veri analizi ve yorumlamadır. Şimdiye kadar verilerin nesnel özelliklerini inceledik ve şimdi onların öznel yorumlarına geçiyoruz. Araştırmacı iki hatayla karşı karşıyadır: yanlış seçilmiş bir analiz konusu ve sonuçların yanlış yorumlanması.

Çok yüksek riskli 15 yatırım fonunun getirilerinin analizi oldukça tarafsızdır. Tamamen nesnel sonuçlara varmıştır: tüm yatırım fonlarının farklı getirileri vardır, fon getirilerinin dağılımı -6,1 ile 18,5 arasında değişmektedir ve ortalama getiri 6,08'dir. Veri analizinin nesnelliği, özet niceliksel dağıtım göstergelerinin doğru seçimiyle sağlanır. Verilerin ortalamasını ve dağılımını tahmin etmek için çeşitli yöntemler dikkate alındı ​​ve bunların avantajları ve dezavantajları belirtildi. Objektif ve tarafsız bir analiz sağlamak için doğru istatistikleri nasıl seçersiniz? Veri dağılımı biraz çarpıksa ortalama yerine medyanı mı seçmelisiniz? Hangi gösterge verinin yayılmasını daha doğru şekilde karakterize eder: standart sapma mı yoksa aralık mı? Dağılımın pozitif çarpık olduğunu belirtmeli miyiz?

Öte yandan veri yorumlama subjektif bir süreçtir. Farklı insanlar Aynı sonuçları yorumlarken farklı sonuçlara varmak. Herkesin kendi bakış açısı vardır. Birisi çok yüksek risk seviyesine sahip 15 fonun toplam ortalama yıllık getirisinin iyi olduğunu düşünüyor ve elde edilen gelirden oldukça memnun. Diğerleri bu fonların getirisinin çok düşük olduğunu düşünebilir. Bu nedenle öznellik, dürüstlük, tarafsızlık ve sonuçların netliği ile telafi edilmelidir.

Etik konular

Veri analizi ayrılmaz bir şekilde etik konularla bağlantılıdır. Gazeteler, radyo, televizyon ve internet aracılığıyla yayılan bilgileri eleştirmelisiniz. Zamanla yalnızca sonuçlara değil, aynı zamanda araştırmanın hedeflerine, konusuna ve nesnelliğine de şüpheyle yaklaşmayı öğreneceksiniz. Ünlü İngiliz siyasetçi Benjamin Disraeli bunu en iyi şekilde ifade etmiştir: "Üç tür yalan vardır: yalanlar, kahrolası yalanlar ve istatistikler."

Notta belirtildiği gibi, raporda sunulması gereken sonuçların seçiminde etik sorunlar ortaya çıkmaktadır. Hem olumlu hem de olumsuz sonuçlar yayınlanmalıdır. Ayrıca bir rapor veya yazılı rapor hazırlarken sonuçların dürüst, tarafsız ve objektif bir şekilde sunulması gerekir. Başarısız ve dürüst olmayan sunumlar arasında yapılması gereken bir ayrım vardır. Bunu yapmak için konuşmacının niyetinin ne olduğunu belirlemek gerekir. Bazen konuşmacı önemli bilgileri bilgisizliğinden dolayı atlar ve bazen de bunu kasıtlı olarak yapar (örneğin, istenen sonucu elde etmek amacıyla açıkça çarpık verilerin ortalamasını tahmin etmek için aritmetik ortalamayı kullanırsa). Araştırmacının bakış açısına uymayan sonuçların gizlenmesi de dürüstlüktür.

Levin ve diğerleri İstatistikleri kitabından materyaller kullanılmıştır. – M.: Williams, 2004. – s. 178–209

DÖRTTEBİRLİK işlevi, Excel'in önceki sürümleriyle uyumluluk amacıyla korunmuştur.

Ortalamalar hakkında konuşmaya başladığımızda insanlar çoğunlukla okuldan nasıl mezun olduklarını ve bir eğitim kurumuna nasıl girdiklerini hatırlıyorlar. Daha sonra sertifikaya göre ortalama puan hesaplandı: tüm notlar (hem iyi hem de çok iyi değil) toplandı, elde edilen miktar sayılarına bölündü. Basit aritmetik ortalama olarak adlandırılan en basit ortalama türü bu şekilde hesaplanır. Uygulamada istatistiklerde çeşitli ortalama türleri kullanılır: aritmetik, harmonik, geometrik, ikinci dereceden, yapısal ortalamalar. Verilerin niteliğine ve çalışmanın amaçlarına bağlı olarak şu veya bu tür kullanılır.

Ortalama değer Bir dizi benzer olgunun genel karakteristiğinin, değişen özelliklerden birine göre verildiği en yaygın istatistiksel göstergedir. Birim nüfus başına bir özelliğin düzeyini gösterir. Ortalama değerlerin yardımıyla çeşitli popülasyonlar değişen özelliklere göre karşılaştırılır ve olayların ve süreçlerin gelişim kalıpları incelenir. kamusal yaşam.

İstatistikte iki ortalama sınıfı kullanılır: güç (analitik) ve yapısal. İkincisi, varyasyon serisinin yapısını karakterize etmek için kullanılır ve Bölüm'de daha ayrıntılı olarak ele alınacaktır. 8.

Güç ortalamaları grubu aritmetik, harmonik, geometrik ve ikinci dereceden ortalamaları içerir. Hesaplamalarına yönelik bireysel formüller, tüm güç ortalamaları için ortak bir forma indirgenebilir;

burada m, güç ortalamasının üssüdür: m = 1 ile aritmetik ortalamayı hesaplamak için formülü elde ederiz, m = 0 - geometrik ortalama, m = -1 - harmonik ortalama, m = 2 - ikinci dereceden ortalama ;

x i - seçenekler (özelliğin aldığı değerler);

f i - frekanslar.

İstatistiksel analizde güç ortalamalarının kullanılabileceği ana koşul, niceliksel değerlerinde keskin bir şekilde farklılık gösteren başlangıç ​​​​verilerini içermemesi gereken popülasyonun homojenliğidir (literatürde bunlara anormal gözlemler denir).

Bu durumun önemini aşağıdaki örnekle gösterelim.

Örnek 6.1. Küçük bir işletme çalışanlarının ortalama maaşını hesaplayalım.

Tablo 6.1.

Çalışanların ücretleri	HAYIR.	Çalışanların ücretleri	HAYIR.
1	5 950	11	7 000
2	6 790	12	5 950
3	6 790	13	6 790
4	5 950	14	5 950
5	7 000	5	6 790
6	6 790	16	7 000
7	5 950	17	6 790
8	7 000	18	7 000
9	6 790	19	7 000
10	6 790	20	5 950

Maaş, ovmak.

Ortalama ücreti hesaplamak için, işletmenin tüm çalışanlarına tahakkuk eden ücretleri toplamak (yani ücret fonunu bulmak) ve çalışan sayısına bölmek gerekir:

Şimdi toplamımıza sadece bir kişiyi (bu işletmenin yöneticisi) ekleyelim, ancak maaşı 50.000 ruble olsun. Bu durumda hesaplanan ortalama tamamen farklı olacaktır:

Bu tür durumların pratikte ortaya çıkmamasını ve ortalamanın anlamını kaybetmemesini sağlamak için (örnek 6.1'de artık olması gereken nüfusun genelleştirici bir özelliği rolünü oynamıyor), ortalama hesaplanırken anormal, keskin öne çıkan gözlemler analizin dışında bırakılmalı ve konular popülasyonu homojen hale getirmeli veya popülasyonu homojen gruplara ayırıp her grup için ortalama değerleri hesaplayıp genel ortalamayı değil grup ortalama değerlerini analiz etmelidir.

6.1. Aritmetik ortalama ve özellikleri

Aritmetik ortalama basit veya ağırlıklı bir değer olarak hesaplanır.

Tablo örneği 6.1'deki verilere göre ortalama maaşı hesaplarken, özelliğin tüm değerlerini topladık ve sayılarına böldük. Hesaplamalarımızın ilerlemesini basit aritmetik ortalama formülü şeklinde yazacağız.

nerede x i - seçenekler (karakteristiğin bireysel değerleri);

n, toplamdaki birim sayısıdır.

Örnek 6.2. Şimdi örnek 6.1'deki tablodaki verilerimizi gruplayalım, vb. İşçilerin ücret düzeyine göre dağılımının ayrık bir varyasyon serisini oluşturalım. Gruplandırma sonuçları tabloda sunulmaktadır.

Ortalama ücret düzeyinin hesaplanmasına ilişkin ifadeyi daha kompakt biçimde yazalım:

Örnek 6.2'de ağırlıklı aritmetik ortalama formülü uygulandı

burada f i, popülasyon birimlerinde x i y özelliğinin değerinin kaç katı oluştuğunu gösteren frekanslardır.

Aritmetik ağırlıklı ortalamanın aşağıda gösterildiği gibi bir tabloda hesaplanması uygundur (Tablo 6.3):

Tablo 6.3.

Ayrık bir seride aritmetik ortalamanın hesaplanması	İlk veriler
Tahmini gösterge	maaş, ovmak.	çalışan sayısı, kişi
ücret fonu, ovmak.	x ben	ben
5 950	6	35 760
6 790	8	54 320
7 000	6	42 000
x ben f ben	20	132 080

Toplam

Verilerin gruplandırılmadığı veya gruplandırılmadığı ancak tüm frekansların eşit olduğu durumlarda basit aritmetik ortalamanın kullanıldığı unutulmamalıdır.

Çoğu zaman, gözlem sonuçları bir aralık dağılım serisi biçiminde sunulur (örnek 6.4'teki tabloya bakınız). Daha sonra ortalama hesaplanırken aralıkların orta noktaları x i olarak alınır. İlk ve son aralıklar açıksa (sınırlardan birine sahip değilse), o zaman koşullu olarak "kapalı" olurlar, bitişik aralığın değeri bu aralığın değeri olarak alınır, vb. birincisi ikincinin değerine göre, sonuncusu ise sondan bir öncekinin değerine göre kapatılır.

Yukarıdaki tabloda birinci aralığın ortası 500'dür. Nitekim ikinci aralığın değeri 1000'dir (2000-1000); o zaman ilkinin alt sınırı 0 (1000-1000), ortası ise 500. Son aralıkta da aynısını yapıyoruz. Ortası olarak 25.000'i alıyoruz: sondan bir önceki aralığın değeri 10.000 (20.000-10.000), ardından üst sınırı 30.000 (20.000 + 10.000) ve buna göre orta 25.000'dir.

Tablo 6.4.

Bir aralık serisinde aritmetik ortalamanın hesaplanması	Kişi başına ortalama nakit geliri, ovmak. aylık	Toplam nüfus, % f i	ben
Aralıkların orta noktaları x i	4,1	500	2 050
1 000-2 000	8,6	1 500	12 900
2 000-4 000	12,9	3 000	38 700
4 000-6 000	13,0	5 000	65 000
6 000-8 000	10,5	7 000	73 500
8 000-10 000	27,8	9 000	250 200
10 000-20 000	12,7	15 000	190 500
1.000'e kadar	10,4	25 000	260 000
x ben f ben	100,0	-	892 850

20.000 ve üzeri

O zaman kişi başına düşen ortalama aylık gelir İçerideki her kişi modern dünya

Kış için kredi almayı veya sebze stoklamayı planlarken, periyodik olarak "ortalama değer" gibi bir kavramla karşılaşırsınız. Hadi öğrenelim: Nedir, hangi türler ve sınıflar vardır ve neden istatistik ve diğer disiplinlerde kullanılır?

Ortalama değer - nedir bu?

Benzer bir ad (SV), herhangi bir niceliksel değişken özelliği tarafından belirlenen bir dizi homojen olgunun genelleştirilmiş bir özelliğidir.

Ancak bu kadar muğlak tanımlardan uzak insanlar bu kavramı bir şeyin ortalama miktarı olarak anlıyorlar. Örneğin, bir kredi almadan önce, bir banka çalışanı kesinlikle potansiyel bir müşteriden yıl için ortalama gelir, yani bir kişinin kazandığı toplam para miktarı hakkında veri sağlamasını isteyecektir. Tüm yılın kazançlarının toplanıp ay sayısına bölünmesiyle hesaplanır. Böylece banka, müşterisinin borcunu zamanında ödeyip ödeyemeyeceğini tespit edebilecek.

Neden kullanılıyor?

Kural olarak, ortalama değerler, kitlesel nitelikteki belirli sosyal olayların özet bir tanımını vermek için yaygın olarak kullanılır. Yukarıdaki örnekte kredi durumunda olduğu gibi daha küçük ölçekli hesaplamalar için de kullanılabilirler.

Ayrıca ortalama değerler kullanılarak belirli ev aletlerinin, arabaların, binaların vb. garanti hizmet ömrü geliştirildi. Bu şekilde toplanan verilere dayanarak modern çalışma ve dinlenme standartları geliştirildi.

Aslında, modern yaşamın kitlesel nitelikteki herhangi bir olgusu, şu ya da bu şekilde zorunlu olarak söz konusu kavramla bağlantılıdır.

Uygulama alanları

Bu fenomen hemen hemen tüm kesin bilimlerde, özellikle de deneysel nitelikte olanlarda yaygın olarak kullanılmaktadır.

Ortalamayı bulmak tıp, mühendislik, aşçılık, ekonomi, politika vb. alanlarda büyük önem taşımaktadır.

Bu tür genellemelerden elde edilen verilere dayanarak tedavi edici ilaçlar, eğitim programları geliştiriyor, asgari geçim ücreti ve maaşlarını belirliyor, eğitim programları oluşturuyor, mobilya, giyim ve ayakkabı, hijyen malzemeleri ve çok daha fazlasını üretiyorlar.

Matematikte bu terim“ortalama değer” olarak adlandırılır ve çeşitli örnek ve problemlere çözüm uygulamak için kullanılır. Bunlardan en basiti toplama ve çıkarmadır. sıradan kesirler. Sonuçta bilindiği gibi çözmek benzer örnekler Her iki kesri de ortak bir paydaya indirgemek gerekir.

Ayrıca kesin bilimlerin kraliçesinde, anlam olarak benzer olan “rastgele değişkenin ortalama değeri” terimi sıklıkla kullanılır. Çoğu kişi için daha çok olasılık teorisinde ele alınan "matematiksel beklenti" olarak bilinir. İstatistiksel hesaplamalar yapılırken de benzer bir olgunun geçerli olduğunu belirtmekte fayda var.

İstatistiklerdeki ortalama değer

Ancak üzerinde çalışılan kavram en çok istatistikte kullanılmaktadır. Bilindiği gibi, bu bilimin kendisi kitlesel toplumsal olayların niceliksel özelliklerinin hesaplanması ve analizinde uzmanlaşmıştır. Bu nedenle istatistiklerdeki ortalama değer, ana hedeflerine (bilgi toplama ve analiz etme) ulaşmak için özel bir yöntem olarak kullanılır.

Bu istatistiksel yöntemin özü, bireysel benzersiz değerler Söz konusu özelliğin belirli bir dengeli ortalama değere göre belirlenmesi.

Bir örnek ünlü yemek şakasıdır. Bu nedenle, Salı günleri belirli bir fabrikada öğle yemeğinde patronlar genellikle etli güveç yer, sıradan işçiler ise lahana kompostosu yerler. Bu verilere dayanarak, tesis personelinin ortalama olarak Salı günleri lahana rulolarında yemek yediği sonucuna varabiliriz.

Bu örnek biraz abartılı olmasına rağmen, ortalama bir değer arama yönteminin temel dezavantajını, yani nesnelerin veya kişiliklerin bireysel özelliklerinin eşitlenmesini göstermektedir.

Ortalama değerlerde, yalnızca toplanan bilgileri analiz etmek için değil, aynı zamanda sonraki eylemleri planlamak ve tahmin etmek için de kullanılırlar.

Ayrıca elde edilen sonuçların değerlendirilmesi için de kullanılır (örneğin, ilkbahar-yaz sezonu için buğday yetiştirme ve hasat planının uygulanması).

Doğru hesaplama nasıl yapılır

SV'nin türüne bağlı olarak hesaplanması için farklı formüller olmasına rağmen, genel teori istatistiklerde kural olarak bir özelliğin ortalama değerini hesaplamak için yalnızca bir yöntem kullanılır. Bunu yapmak için önce tüm fenomenlerin değerlerini bir araya getirmeniz ve ardından ortaya çıkan toplamı sayılarına bölmeniz gerekir.

Bu tür hesaplamalar yaparken, ortalama değerin her zaman popülasyonun bireysel birimiyle aynı boyuta (veya birimlere) sahip olduğunu hatırlamakta fayda var.

Doğru hesaplama koşulları

Yukarıda tartışılan formül çok basit ve evrenseldir, dolayısıyla onunla hata yapmak neredeyse imkansızdır. Ancak her zaman iki hususu dikkate almakta fayda var, aksi takdirde elde edilen veriler gerçek durumu yansıtmayacaktır.

SV sınıfları

Temel soruların cevaplarını bulduktan sonra: “Ortalama değer nedir?”, “Nerede kullanılır?” ve "Bunu nasıl hesaplayabilirsiniz?", hangi sınıfların ve SV türlerinin mevcut olduğunu bulmaya değer.

Öncelikle bu fenomen 2 sınıfa ayrılıyor. Bunlar yapısal ve güç ortalamalarıdır.

Güç SV'lerinin türleri

Yukarıdaki sınıfların her biri sırayla türlere ayrılmıştır. Sakinleştirici sınıfında dört kişi var.

• Aritmetik ortalama SV'nin en yaygın türüdür. Bir veri kümesinde incelenen özelliğin toplam hacminin bu kümenin tüm birimleri arasında eşit olarak dağıldığının belirlenmesinde kullanılan ortalama terimdir.

  Bu tür alt türlere ayrılmıştır: basit ve ağırlıklı aritmetik SV.

• Harmonik ortalama, söz konusu özelliğin karşılıklı değerlerinden hesaplanan basit aritmetik ortalamanın tersi olan bir göstergedir.

  Karakteristiğin ve ürünün bireysel değerlerinin bilindiği ancak frekans verilerinin bilinmediği durumlarda kullanılır.

• Geometrik ortalama, ekonomik olayların büyüme oranlarını analiz ederken sıklıkla kullanılır. Toplamın değil, belirli bir miktarın bireysel değerlerinin ürününün değişmeden korunmasını mümkün kılar.

  Aynı zamanda basit ve dengeli de olabilir.

• Ortalama kare değeri, varyasyon katsayısı, ürün çıktısının ritmini karakterize eden vb. gibi bireysel göstergelerin hesaplanmasında kullanılır.

  Ayrıca boruların, tekerleklerin, bir karenin ortalama kenarlarının ve benzeri şekillerin ortalama çaplarını hesaplamak için de kullanılır.

  Diğer tüm ortalama türleri gibi, ortalamanın karekökü de basit ve ağırlıklı olabilir.

Yapısal büyüklük türleri

İstatistiklerde ortalama SV'lerin yanı sıra yapısal türler de sıklıkla kullanılır. Değişen bir özelliğin değerlerinin göreceli özelliklerini hesaplamak için daha uygundurlar ve iç yapı dağıtım satırları.

Böyle iki tür var.

Özet ve gruplama sonuçlarına dayanarak analiz yapmak ve istatistiksel sonuçlar elde etmek amacıyla, genelleştirme göstergeleri hesaplanır - ortalama ve göreceli değerler.

Ortalama sorunu – istatistiksel bir popülasyonun tüm birimlerini tek bir karakteristik değerle karakterize edin.

Ortalama değerler kalite göstergelerini karakterize eder girişimcilik faaliyeti: dağıtım maliyetleri, kar, karlılık vb.

Ortalama değer- Bu, bazı değişen özelliklere göre nüfus birimlerinin genelleştirici bir özelliğidir.

Ortalama değerler, aynı özelliğin farklı popülasyonlardaki düzeylerini karşılaştırmanıza ve bu farklılıkların nedenlerini bulmanıza olanak tanır.

İncelenen olayların analizinde ortalama değerlerin rolü çok büyüktür. İngiliz iktisatçı W. Petty (1623-1687) ortalama değerleri yaygın olarak kullandı. V. Petty, bir işçinin ortalama günlük yemeği için yapılan harcamaların maliyetinin bir ölçüsü olarak ortalama değerleri kullanmak istedi. Ortalama değerin kararlılığı, incelenen süreçlerin düzenliliğinin bir yansımasıdır. Yeterli orijinal veri olmasa bile bilginin dönüştürülebileceğine inanıyordu.

İngiliz bilim adamı G. King (1648-1712), İngiltere nüfusuna ilişkin verileri analiz ederken ortalama ve göreceli değerleri kullandı.

Belçikalı istatistikçi A. Quetelet'in (1796-1874) teorik gelişmeleri, sosyal fenomenlerin çelişkili doğasına dayanmaktadır - kitleler arasında oldukça istikrarlı, ancak tamamen bireysel.

A. Quetelet'e göre sabit nedenler, incelenen her olgu üzerinde eşit şekilde etki eder ve bu olguların oluşmasını sağlar. benzer arkadaş hepsi için ortak desenler oluşturun.

A. Quetelet'in öğretilerinin bir sonucu, istatistiksel analizin ana tekniği olarak ortalama değerlerin tanımlanmasıydı. İstatistiksel ortalamaların nesnel bir gerçeklik kategorisini temsil etmediğini söyledi.

A. Quetelet, ortalama insan teorisinde ortalamaya ilişkin görüşlerini dile getirdi. Ortalama bir insan, ortalama büyüklükteki tüm niteliklere sahip olan kişidir (ortalama ölüm veya doğum oranı, ortalama yükseklik ve kilosu, ortalama koşma hızı, ortalama evlilik ve intihar eğilimi, iyi işler vesaire.). A. Quetelet'e göre ortalama insan ideal insandır. A. Quetelet'in ortalama insan teorisinin tutarsızlığı, 19.-20. yüzyılların sonunda Rus istatistik literatüründe kanıtlandı.

Ünlü Rus istatistikçi Yu. E. Yanson (1835-1893), A. Quetelet'in, yaşamın belirli bir toplumdaki ve belirli bir zamandaki ortalama insanları saptırdığı, doğadaki bir tür ortalama insanın varlığını varsaydığını yazdı. ve bu onu tamamen mekanik bir görüşe ve hareket yasalarına götürür. sosyal hayat: hareket, bir kişinin ortalama özelliklerinde kademeli bir artış, tipin kademeli olarak restorasyonudur; sonuç olarak, sosyal bedenin yaşamının tüm tezahürlerinin böyle bir eşitlenmesi, bunun ötesinde herhangi bir ileri hareketin durması.

Bu teorinin özü, daha da gelişmesini, bir dizi istatistiksel teorisyenin çalışmalarında, gerçek miktarlar teorisi olarak buldu. A. Quetelet'in takipçileri vardı - gerçek değerler teorisini sosyal yaşamın ekonomik fenomenine aktaran Alman ekonomist ve istatistikçi V. Lexis (1837-1914). Onun teorisi stabilite teorisi olarak bilinir. İdealist ortalamalar teorisinin bir başka versiyonu felsefeye dayanmaktadır.

Kurucusu, ortalamalar teorisi alanında son zamanların en önde gelen teorisyenlerinden biri olan İngiliz istatistikçi A. Bowley'dir (1869–1957). Ortalama kavramı, İstatistiğin Öğeleri adlı kitabında özetlenmiştir.

A. Boley, ortalama değerleri yalnızca niceliksel açıdan ele alır, böylece niceliği nitelikten ayırır. Ortalama değerlerin (veya "işlevlerinin") anlamını belirleyen A. Boley, Mach'ın düşünme ilkesini ortaya koyuyor. A. Boley, ortalama değerlerin fonksiyonunun karmaşık bir grubu ifade etmesi gerektiğini yazdı

birkaç kişinin yardımıyla asal sayılar. İstatistiksel veriler basitleştirilmeli, gruplandırılmalı ve ortalamalara indirilmelidir. Bu görüşler: R. Fisher (1890-1968), J. Yule (1871 - 1951), Frederick S. Mills (1892), vb. tarafından paylaşılmıştır.

30'lu yıllarda XX yüzyıl ve sonraki yıllarda ortalama değer, bilgi içeriği verilerin homojenliğine bağlı olan sosyal açıdan önemli bir özellik olarak kabul edilir.

İtalyan okulunun en önde gelen temsilcileri R. Benini (1862-1956) ve C. Gini (1884-1965), istatistiği mantığın bir dalı olarak ele alarak istatistiksel tümevarımın uygulama kapsamını genişletmişler, ancak istatistiksel tümevarımın bilişsel ilkelerini birbirine bağlamışlardır. İstatistiklerin sosyolojik yorumlanması geleneklerini takip ederek, incelenen olgunun doğası ile mantık ve istatistik.

K. Marx ve V. I. Lenin'in eserlerinde ortalama değerlere özel bir rol verilmektedir.

K. Marx, ortalamanın genel seviyeden bireysel sapmaları telafi ettiğini ve orta seviye ortalama değer, ancak önemli sayıda birimlerin alınması ve bu birimlerin niteliksel olarak homojen olması durumunda bir kütle olgusunun böyle bir özelliği haline gelir. Marx, bulunan ortalama değerin "...aynı türden birçok farklı bireysel değerin" ortalaması olması gerektiğini yazdı.

Ortalama değer, piyasa ekonomisinde özel bir önem kazanır. Desenin gerekli ve genel eğilimini belirlemeye yardımcı olur. ekonomik kalkınma doğrudan tekil ve rastgele yoluyla.

Ortalama değerler genel koşulların etkisinin ve incelenen olgunun modelinin ifade edildiği genel göstergelerdir.

İstatistiksel ortalamalar, istatistiksel olarak doğru organize edilmiş kütle gözlemlerinden elde edilen kütle verilerine dayanarak hesaplanır. İstatistiksel ortalama, niteliksel olarak homojen bir nüfus (kitle olgusu) için kitle verilerinden hesaplanırsa, o zaman objektif olacaktır.

Ortalama değer, soyut bir birimin değerini karakterize ettiği için soyuttur.

Ortalama, bireysel nesnelerdeki özelliğin çeşitliliğinden soyutlanır. Soyutlama bilimsel araştırmanın aşamasıdır. Ortalama değerde bireyin ve genelin diyalektik birliği gerçekleşir.

Ortalama değerler, bireysel ve genel, bireysel ve kitle kategorilerinin diyalektik anlayışına dayalı olarak uygulanmalıdır.

Ortadaki, belirli bir tek nesnede bulunan ortak bir şeyi görüntüler.

Kitlesel sosyal süreçlerdeki kalıpları belirlemek için ortalama değer büyük önem taşımaktadır.

Bireyin genelden sapması, gelişim sürecinin bir tezahürüdür.

Ortalama değer, incelenen olgunun karakteristik, tipik, gerçek düzeyini yansıtır. Ortalama değerlerin görevi bu seviyeleri ve bunların zaman ve mekandaki değişimlerini karakterize etmektir.

Ortalama gösterge ortak bir değerdir, çünkü bir bütün olarak ele alındığında belirli bir kitle olgusunun normal, doğal, genel varoluş koşullarında oluşur.

İstatistiksel bir sürecin veya olgunun nesnel özelliği, ortalama değerle yansıtılır.

İncelenen istatistiksel özelliğin bireysel değerleri, popülasyonun her birimi için farklıdır. Bir türdeki bireysel değerlerin ortalama değeri, nüfusun tüm birimlerinin birleşik eyleminin sonucu olan ve tekrarlanan kazalar kütlesinde ortaya çıkan zorunluluğun bir ürünüdür.

Bazı bireysel fenomenler, tüm fenomenlerde var olan, ancak farklı miktarlarda var olan özelliklere sahiptir - bu, bir kişinin boyu veya yaşıdır. Bireysel bir olgunun diğer işaretleri, farklı olgularda niteliksel olarak farklıdır, yani bazılarında bulunur ve diğerlerinde gözlemlenmez (bir erkek kadın olmayacaktır). Ortalama değer, belirli bir kümedeki tüm olayların doğasında bulunan, niteliksel olarak homojen ve yalnızca niceliksel olarak farklı olan özellikler için hesaplanır.

Ortalama değer, çalışılan özelliğin değerlerinin bir yansımasıdır ve bu özellik ile aynı boyutta ölçülür.

Diyalektik materyalizm teorisi, dünyadaki her şeyin değiştiğini ve geliştiğini öğretir. Ayrıca ortalama değerlerle karakterize edilen özellikler ve buna bağlı olarak ortalamaların kendisi de değişir.

Hayatta yeni bir şey yaratmanın sürekli bir süreci vardır. Yeni bir niteliğin taşıyıcısı tekil nesnelerdir, sonra bu nesnelerin sayısı artar ve yeni olan kitlesel hale gelir, tipiktir.

Ortalama değer, incelenen popülasyonu yalnızca bir özelliğe göre karakterize eder. Bir dizi spesifik özelliğe göre incelenen popülasyonun tam ve kapsamlı bir temsili için, olayı farklı açılardan tanımlayabilen bir ortalama değerler sistemine sahip olmak gerekir.

2. Ortalama türleri

Materyalin istatistiksel işlenmesinde çözülmesi gereken çeşitli problemler ortaya çıkar ve bu nedenle istatistiksel uygulamada çeşitli ortalama değerler kullanılır. Matematiksel istatistikler çeşitli ortalamalar kullanır, örneğin: aritmetik ortalama; geometrik ortalama; harmonik ortalama; kare demek.

Yukarıdaki ortalama türlerinden birini uygulamak için, incelenen popülasyonun analiz edilmesi, incelenen olgunun maddi içeriğinin belirlenmesi gerekir; tüm bunlar, sonuçların anlamlılık ilkesinden çıkarılan sonuçlara dayanarak yapılır. tartma veya toplama.

Ortalamaların incelenmesinde aşağıdaki göstergeler ve notasyonlar kullanılır.

Ortalamanın bulunduğu işarete ne ad verilir? ortalama karakteristik ve x ile gösterilir; istatistiksel popülasyonun herhangi bir birimi için ortalama karakteristik değerine denir bireysel anlamı, veya seçenekler, ve olarak belirtildi X 1 , X 2 , X 3 ,… X N ; frekans, harfle gösterilen bir özelliğin bireysel değerlerinin tekrarlanabilirliğidir F.

Aritmetik ortalama

En yaygın ortam türlerinden biri aritmetik ortalama, ortalama karakteristik hacmi, incelenen istatistiksel popülasyonun bireysel birimlerindeki değerlerinin toplamı olarak oluşturulduğunda hesaplanır.

Aritmetik ortalamayı hesaplamak için özelliğin tüm düzeylerinin toplamı, sayılarına bölünür.

Bazı seçenekler birkaç kez ortaya çıkarsa, o zaman özelliğin düzeylerinin toplamı, her düzeyin popülasyondaki karşılık gelen birim sayısıyla çarpılması ve ardından elde edilen sonuçların eklenmesiyle elde edilebilir; bu şekilde hesaplanan aritmetik ortalamaya ağırlıklı ortalama denir. aritmetik ortalama.

Ağırlıklı aritmetik ortalamanın formülü aşağıdaki gibidir:

х ben seçeneklerim nerede,

f i – frekanslar veya ağırlıklar.

Seçeneklerin farklı sayılara sahip olduğu tüm durumlarda ağırlıklı ortalama kullanılmalıdır.

Aritmetik ortalama, gerçekte her biri için değişen niteliğin toplam değerini bireysel nesneler arasında eşit olarak dağıtır.

Ortalama değerlerin hesaplanması, ortalamanın hesaplandığı özelliğin değişkenleri aralıklar (- ila) şeklinde sunulduğunda, aralık dağılım serisi şeklinde gruplandırılmış veriler kullanılarak gerçekleştirilir.

Aritmetik ortalamanın özellikleri:

1) ortalama aritmetik toplam değişen miktarlar ortalamaların toplamına eşittir aritmetik büyüklükler: Eğer x i = y i +z i ise, o zaman

Bu özellik hangi durumlarda ortalama değerleri özetlemenin mümkün olduğunu gösterir.

2) değişen bir karakteristiğin bireysel değerlerinin ortalamadan sapmalarının cebirsel toplamı sıfıra eşittir, çünkü bir yöndeki sapmaların toplamı diğer yöndeki sapmaların toplamı ile telafi edilir:

Bu kural ortalamanın sonuç olduğunu gösterir.

3) Bir serideki tüm seçenekler aynı sayıda artırılır veya azaltılırsa ortalama aynı sayıda artar mı yoksa azalır mı?:

4) Serinin tüm değişkenleri A katı kadar artırılır veya azaltılırsa, ortalama değişken de A katı kadar artacak veya azalacaktır:

5) Ortalamanın beşinci özelliği bize bunun ölçeklerin büyüklüğüne değil, aralarındaki ilişkiye bağlı olduğunu gösterir. Ağırlık olarak sadece göreceli değil mutlak değerler de alınabilir.

Serinin tüm frekansları aynı d sayısına bölünür veya çarpılırsa ortalama değişmeyecektir.

Harmonik ortalama. Aritmetik ortalamayı belirlemek için bir takım seçeneklere ve frekanslara yani değerlere sahip olmak gerekir. X Ve F.

Karakteristiğin bireysel değerlerinin bilindiğini varsayalım. X ve çalışıyor X/, ve frekanslar F bilinmiyorsa, ortalamayı hesaplamak için çarpımı = belirtiriz X/; Neresi:

Bu formdaki ortalamaya harmonik ağırlıklı ortalama denir ve şu şekilde gösterilir: x zarar. yukarı

Buna göre harmonik ortalama aritmetik ortalamayla aynıdır. Gerçek ağırlıkların bilinmediği durumlarda geçerlidir F ve iş biliniyor döviz = z

Çalışmalar ne zaman döviz aynı veya eşit birimler (m = 1), aşağıdaki formülle hesaplanan harmonik basit ortalama kullanılır:

Nerede X– ayrı seçenekler;

N- sayı.

Sayı1, sayı2, ... ortalamanın hesaplandığı 1 ile 30 arasında bağımsız değişkendir. Noktalı virgülle ayrılmış bağımsız değişkenler yerine bir dizi veya dizi başvurusu kullanabilirsiniz.

Eğer n tane büyüme katsayısı varsa, ortalama katsayı formülü şu şekildedir:

Bu geometrik ortalama formülüdür.

Geometrik ortalama kuvvetin köküne eşittir N sonraki her dönemin değerinin bir öncekinin değerine oranını karakterize eden büyüme katsayılarının çarpımından.

İkinci dereceden fonksiyonlar şeklinde ifade edilen değerlerin ortalaması alınırsa ortalama kare kullanılır. Örneğin karekök ortalamasını kullanarak boruların, tekerleklerin vb. çaplarını belirleyebilirsiniz.

Kök ortalama karesi çıkarılarak belirlenir. kareköközelliğin bireysel değerlerinin karelerinin toplamının sayılarına bölünmesi bölümünden.

Ağırlıklı ortalama kare şuna eşittir:

3. Yapısal ortalamalar. Mod ve medyan

İstatistiksel bir popülasyonun yapısını karakterize etmek için göstergeler kullanılır. yapısal ortalamalar. Bunlar mod ve medyanı içerir.

Moda (E O ) - en yaygın seçenek. Moda teorik dağılım eğrisinin maksimum noktasına karşılık gelen özelliğin değeridir.

Moda en sık ortaya çıkan veya tipik anlamı temsil eder.

Moda, ticari uygulamalarda tüketici talebini ve rekor fiyatları incelemek için kullanılır.

Ayrık bir seride mod, en yüksek frekansa sahip değişkendir. Bir aralık varyasyon serisinde mod, aralığın en yüksek frekansa (özelliğe) sahip olan merkezi değişkeni olarak kabul edilir.

Aralık içinde mod olan özelliğin değerini bulmanız gerekir.

Nerede X O– modal aralığın alt sınırı;

H– modal aralığın değeri;

fm– modal aralığın frekansı;

f t-1 – modal olandan önceki aralığın frekansı;

fm+1 – modal olanı takip eden aralığın frekansı.

Mod, grupların büyüklüğüne ve grup sınırlarının tam konumuna bağlıdır.

Moda– gerçekte en sık görülen sayı (kesin bir değerdir), pratikte en geniş uygulamaya sahiptir (en yaygın alıcı türü).

Medyan (M e sıralı bir varyasyon serisinin sayısını iki eşit parçaya bölen bir miktardır: bir parça, ortalama değişkenden daha küçük değişen karakteristik değerlere, diğeri ise daha büyük değerlere sahiptir.

Medyan dağılım serisinin geri kalan elemanlarının yarısından büyük veya eşit ve aynı zamanda yarısından küçük veya eşit olan bir elemandır.

Medyanın özelliği, nitelik değerlerinin medyandan mutlak sapmalarının toplamının diğer herhangi bir değerden daha az olmasıdır.

Medyanı kullanmak, diğer ortalama türlerini kullanmaktan daha doğru sonuçlar elde etmenizi sağlar.

Bir aralık varyasyon serisinde medyanı bulma sırası şu şekildedir: özelliğin bireysel değerlerini sıralamaya göre düzenleriz; belirli bir sıralanmış seri için birikmiş frekansları belirleriz; Birikmiş frekans verilerini kullanarak medyan aralığını buluyoruz:

Nerede x ben– medyan aralığın alt sınırı;

Ben Ben– ortanca aralığın değeri;

f/2– serinin frekanslarının yarısı toplamı;

S Ben-1 – medyan aralıktan önceki birikmiş frekansların toplamı;

F Ben– medyan aralığın frekansı.

Medyan bir serinin sayısını ikiye böler; bu nedenle, birikmiş frekansın toplam frekans toplamının yarısı veya yarısından fazlası olduğu ve önceki (birikmiş) frekansın popülasyon sayısının yarısından az olduğu yerdir.