Bir reel sayının n'inci kökü kavramı. N'inci derecenin kökü: tanımlar, gösterim, örnekler Negatif olmayan bir sayının n'inci kökünün tanımı

Slayt 1

Kaliningrad bölgesi, Sovetsk şehrinin 10 numaralı belediye eğitim kurumu lisesi, matematik öğretmeni Tatyana Nikolaevna Razygraeva Gerçek sayının n'inci kökü kavramı.

Slayt 2

y = x² fonksiyonunun grafiği hangi eğridir? y = x⁴ fonksiyonunun grafiği hangi eğridir? x⁴ = 1 denklemini düşünün. y = x⁴ ve y = 1 fonksiyonlarını çizelim. Cevap: x = 1, x = -1. Benzer şekilde: x⁴ = 16. Cevap: x = 2, x = -2. Benzer şekilde: x⁴ = 5. y = 5 Cevap:

Slayt 3

x⁵ = 1 denklemini düşünün. y = x⁵ ve y = 1 fonksiyonlarını çizelim. Benzer şekilde: x⁵ = 7. Cevap: x = 1. Cevap: Denklemi düşünün: burada a > 0, n N, n >1. Eğer n çift ise denklemin iki kökü vardır: Eğer n tek ise, o zaman bir kök vardır:

Slayt 4

Tanım 1: Negatif olmayan bir sayının (n = 2,3,4,5,...) n'inci kökü, n üssüne yükseltildiğinde a sayısını veren, negatif olmayan bir sayıdır. Bu sayı şu şekilde gösterilir: a n - radikal ifade - kök üssü Negatif olmayan bir sayının kökünü bulma işlemine kök çıkarma adı verilir. Eğer a 0, n = 2,3,4,5,… ise, o zaman

Slayt 5

Bir kökü çıkarma işlemi, karşılık gelen güce yükseltme işleminin tersidir. 5² = 25 10³ = 1000 0,3⁴ = 0,0081 25 = 5 3 4 Bazen a ifadesine Latince radix - “kök” kelimesinden bir radikal denir. n Sembol stilize edilmiş bir r harfidir. Üs alma Kökün çıkarılması

Slayt 6

Örnek 1: Hesaplayın: a) 49; b) 0,125; c) 0; d) 17 3 7 4 Çözüm: a) 49 = 7, çünkü 7 > 0 ve 7² = 49; 3 b) 0,125 = 0,5, çünkü 0,5 > 0 ve 0,5³ = 0,125; c) 0; d) 17 ≈ 2,03 4 Tanım 2: Negatif bir a sayısının (n = 3,5,...) tek üssü n'nin kökü, n üssüne yükseltildiğinde a sayısını veren negatif bir sayıdır.

Slayt 7

Dolayısıyla Sonuç: Çift derecenin kökü yalnızca negatif olmayan bir radikal ifade için anlamlıdır (yani tanımlanır); tek bir kök herhangi bir radikal ifade için anlamlıdır. Örnek 2: Denklemleri çözün: Eğer a< 0, n = 3,5,7,…, то

Tebrikler: Bugün 8. sınıfın en akıllara durgunluk veren konularından biri olan köklere bakacağız :)

Pek çok insanın kökler konusunda kafası karışır, çünkü bunlar karmaşıktır (bunun nesi bu kadar karmaşıktır - birkaç tanım ve birkaç özellik daha), fakat çoğu okul ders kitabında kökler öyle bir orman yoluyla tanımlanır ki, yalnızca ders kitaplarının yazarları kendilerinin bu yazıyı anlayabilir. Ve o zaman bile sadece bir şişe iyi viskiyle :)

Bu nedenle, şimdi kökün en doğru ve en yetkin tanımını vereceğim - gerçekten hatırlamanız gereken tek tanım. Sonra açıklayacağım: tüm bunlara neden ihtiyaç duyulduğunu ve pratikte nasıl uygulanacağını.

Ancak öncelikle, birçok ders kitabı derleyicisinin bazı nedenlerden dolayı “unuttuğu” önemli bir noktayı hatırlayın:

Kökler çift dereceli (en sevdiğimiz $\sqrt(a)$, ayrıca her türlü $\sqrt(a)$ ve hatta $\sqrt(a)$) ve tek dereceli (her türlü $\sqrt) olabilir (a)$, $\ sqrt(a)$, vb.). Ve tek dereceli bir kökün tanımı çift olandan biraz farklıdır.

Muhtemelen köklerle ilgili tüm hataların ve yanlış anlamaların% 95'i bu kahrolası "biraz farklı" da gizlidir. O halde terminolojiyi kesin olarak açıklığa kavuşturalım:

Tanım. Hatta kök N$a$ sayısından herhangi biri negatif olmayan$b$ sayısı öyledir ki $((b)^(n))=a$. Ve aynı $a$ sayısının tek kökü genellikle aynı eşitliğin geçerli olduğu herhangi bir $b$ sayısıdır: $((b)^(n))=a$.

Her durumda kök şu şekilde gösterilir:

\(A)\]

Böyle bir gösterimdeki $n$ sayısına kök üssü denir ve $a$ sayısına da köklü ifade denir. Özellikle, $n=2$ için "favori" karekökümüzü alıyoruz (bu arada, bu çift dereceli bir kök) ve $n=3$ için kübik kökü (tek dereceli) alıyoruz; problemlerde ve denklemlerde de sıklıkla bulunur.

Örnekler. Klasik karekök örnekleri:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(hizala)\]

Bu arada, $\sqrt(0)=0$ ve $\sqrt(1)=1$. $((0)^(2))=0$ ve $((1)^(2))=1$ olduğundan bu oldukça mantıklıdır.

Küp kökleri de yaygındır - onlardan korkmanıza gerek yok:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(hizala)\]

Birkaç “egzotik örnek”:

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(hizala)\]

Çift derece ile tek derece arasındaki farkın ne olduğunu anlamıyorsanız tanımı tekrar okuyun. Bu çok önemli!

Bu arada köklerin hoş olmayan bir özelliğini ele alacağız, bu nedenle çift ve tek üslü sayılar için ayrı bir tanım yapmamız gerekti.

Neden köklere ihtiyaç var?

Tanımı okuduktan sonra birçok öğrenci şu soruyu soracaktır: "Matematikçiler bunu bulduklarında ne içiyordu?" Ve gerçekten: neden tüm bu köklere ihtiyaç var?

Bu soruyu cevaplamak için bir anlığına ilkokula dönelim. Unutmayın: Ağaçların daha yeşil, köftelerin daha lezzetli olduğu o uzak zamanlarda asıl derdimiz sayıları doğru çarpmaktı. Yani “beşe beş – yirmi beş” gibi bir şey, hepsi bu. Ancak sayıları çiftler halinde değil, üçüzler, dörtlüler ve genel olarak tam kümeler halinde çarpabilirsiniz:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Ancak konu bu değil. İşin püf noktası farklı: Matematikçiler tembel insanlardır, bu yüzden on beşin çarpımını şu şekilde yazmakta zorlanırlar:

Bu yüzden dereceler buldular. Neden faktör sayısını uzun bir dize yerine üst simge olarak yazmıyorsunuz? Bunun gibi bir şey:

Çok uygun! Tüm hesaplamalar önemli ölçüde azaltıldı ve 5.183 kadarını yazmak için bir sürü parşömen ve defter yaprağı harcamanıza gerek yok. Bu kayıt, bir sayının kuvvetleri olarak adlandırıldı; içinde bir dizi özellik bulundu, ancak mutluluğun kısa ömürlü olduğu ortaya çıktı.

Sadece derecelerin "keşfi" için düzenlenen görkemli bir içki partisinden sonra, özellikle inatçı bir matematikçi aniden şunu sordu: "Ya bir sayının derecesini biliyorsak ama sayının kendisi bilinmiyorsa?" Şimdi, gerçekten de, eğer $b$ sayısının diyelim ki 5'inci kuvvetinin 243 olduğunu biliyorsak, o zaman $b$ sayısının kendisinin neye eşit olduğunu nasıl tahmin edebiliriz?

Bu sorunun ilk bakışta göründüğünden çok daha küresel olduğu ortaya çıktı. Çünkü çoğu "hazır" güç için böyle bir "başlangıç" rakamının olmadığı ortaya çıktı. Kendiniz karar verin:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(hizala)\]

Ya $((b)^(3))=$50 ise? Kendiyle üç kez çarpıldığında bize 50 verecek belli bir sayı bulmamız gerektiği ortaya çıktı. Peki bu sayı nedir? 3 3 = 27 olduğundan açıkça 3'ten büyüktür.< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Yani bu sayı üç ile dört arasında bir yerde ama neye eşit olduğunu anlayamazsınız.

Matematikçilerin $n$'ıncı kökleri bulmalarının nedeni tam olarak budur. $\sqrt(*)$ radikal simgesinin tanıtılmasının nedeni tam olarak budur. Belirtilen dereceye kadar bize önceden bilinen bir değeri verecek olan $b$ sayısını belirtmek için

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

Tartışmıyorum: çoğu zaman bu kökler kolayca hesaplanır - yukarıda bu tür birkaç örnek gördük. Ancak yine de çoğu durumda, eğer rastgele bir sayı düşünürseniz ve ondan rastgele bir derecenin kökünü çıkarmaya çalışırsanız, korkunç bir serseri ile karşı karşıya kalırsınız.

Orada ne var! En basit ve en tanıdık $\sqrt(2)$ bile her zamanki biçimimizle (tamsayı veya kesir olarak) temsil edilemez. Ve bu sayıyı hesap makinesine girerseniz şunu göreceksiniz:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

Gördüğünüz gibi virgülden sonra hiçbir mantığa uymayan sonsuz bir sayı dizisi var. Elbette diğer sayılarla hızlı bir şekilde karşılaştırmak için bu sayıyı yuvarlayabilirsiniz. Örneğin:

\[\sqrt(2)=1,4142...\yaklaşık 1,4 \lt 1,5\]

Veya işte başka bir örnek:

\[\sqrt(3)=1,73205...\yaklaşık 1,7 \gt 1,5\]

Ancak tüm bu yuvarlamalar öncelikle oldukça kaba; ve ikincisi, yaklaşık değerlerle de çalışabilmeniz gerekir, aksi takdirde bir dizi bariz olmayan hata yakalayabilirsiniz (bu arada, Birleşik Devlet Sınavı profilinde karşılaştırma ve yuvarlama becerisinin kontrol edilmesi gerekir).

Bu nedenle, ciddi matematikte kökler olmadan yapamazsınız - bunlar, bize uzun zamandır aşina olduğumuz kesirler ve tamsayılar gibi, $\mathbb(R)$ tüm gerçek sayılar kümesinin aynı eşit temsilcileridir.

Bir kökü $\frac(p)(q)$ biçiminde kesir olarak temsil edememek, bu kökün rasyonel bir sayı olmadığı anlamına gelir. Bu tür sayılara irrasyonel denir ve bir radikalin veya bunun için özel olarak tasarlanmış diğer yapıların (logaritmalar, güçler, sınırlar vb.) yardımı olmadan doğru bir şekilde temsil edilemezler. Ama bunun hakkında daha fazlasını başka zaman anlatacağım.

Tüm hesaplamalardan sonra irrasyonel sayıların hala cevapta kalacağı birkaç örneği ele alalım.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\yaklaşık -1,2599... \\ \end(align)\]

Doğal olarak kökün görünümünden virgülden sonra hangi sayıların geleceğini tahmin etmek neredeyse imkansızdır. Ancak bir hesap makinesine güvenebilirsiniz, ancak en gelişmiş tarih hesaplayıcı bile bize irrasyonel bir sayının yalnızca ilk birkaç rakamını verir. Bu nedenle cevapları $\sqrt(5)$ ve $\sqrt(-2)$ şeklinde yazmak çok daha doğrudur.

İşte tam da bu yüzden icat edildiler. Cevapları rahatça kaydetmek için.

Neden iki tanıma ihtiyaç var?

Dikkatli okuyucu muhtemelen örneklerde verilen tüm kareköklerin pozitif sayılardan alındığını fark etmiştir. En azından sıfırdan. Ancak küp kökler, ister pozitif ister negatif olsun, kesinlikle herhangi bir sayıdan sakin bir şekilde çıkarılabilir.

Bu neden oluyor? $y=((x)^(2))$ fonksiyonunun grafiğine bir göz atın:

İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği iki kök verir: pozitif ve negatif

Bu grafiği kullanarak $\sqrt(4)$ değerini hesaplamaya çalışalım. Bunu yapmak için, grafik üzerinde parabol ile iki noktada kesişen yatay bir $y=4$ çizgisi çizilir (kırmızıyla işaretlenmiştir): $((x)_(1))=2$ ve $((x) )_(2)) =-2$. Bu oldukça mantıklı çünkü

İlk sayıyla ilgili her şey açık - pozitif, yani kök:

Peki o zaman ikinci noktayla ne yapmalı? Sanki dördünün aynı anda iki kökü var mı? Sonuçta, eğer −2 sayısının karesini alırsak, aynı zamanda 4 elde ederiz. O halde neden $\sqrt(4)=-2$ yazmıyorsunuz? Peki öğretmenler neden bu tür paylaşımlara sizi yemek istiyormuş gibi bakıyorlar :)

Sorun şu ki, eğer herhangi bir ek koşul dayatmazsanız, o zaman dörtlünün pozitif ve negatif olmak üzere iki karekökü olacaktır. Ve herhangi bir pozitif sayıda da bunlardan iki tane olacaktır. Ancak negatif sayıların hiçbir kökü olmayacaktır; bu aynı grafikten de görülebilir, çünkü parabol hiçbir zaman eksenin altına düşmez. sen, yani negatif değerleri kabul etmez.

Çift üslü tüm kökler için benzer bir sorun ortaya çıkar:

1. Açıkça konuşursak, her pozitif sayının $n$ üssü çift olan iki kökü olacaktır;
2. Negatif sayılardan $n$ çift olan kök hiçbir şekilde çıkarılmaz.

Bu nedenle $n$'ın çift kökü tanımı, cevabın negatif olmayan bir sayı olması gerektiğini özellikle şart koşar. Belirsizlikten bu şekilde kurtuluruz.

Ancak tek $n$ için böyle bir sorun yoktur. Bunu görmek için $y=((x)^(3))$ fonksiyonunun grafiğine bakalım:

Bir küp parabol herhangi bir değeri alabilir, dolayısıyla küp kökü herhangi bir sayıdan alınabilir

Bu grafikten iki sonuç çıkarılabilir:

1. Kübik bir parabolün dalları, normal olanın aksine, hem yukarı hem de aşağı olmak üzere her iki yönde de sonsuza gider. Dolayısıyla hangi yükseklikte yatay bir çizgi çizersek çizelim, bu çizgi mutlaka grafiğimizle kesişecektir. Sonuç olarak, küp kökü her zaman kesinlikle herhangi bir sayıdan alınabilir;
2. Ek olarak, böyle bir kesişim her zaman benzersiz olacaktır, bu nedenle hangi sayının "doğru" kök olarak kabul edildiğini ve hangisini göz ardı edeceğinizi düşünmenize gerek yoktur. Bu nedenle tek derece için kökleri belirlemek çift derece için olduğundan daha basittir (negatif olmama şartı yoktur).

Bu basit şeylerin çoğu ders kitabında anlatılmaması üzücü. Bunun yerine beynimiz her türlü aritmetik kök ve özellikleriyle uçmaya başlar.

Evet, tartışmıyorum: aritmetik kökün ne olduğunu da bilmeniz gerekiyor. Ve bundan ayrı bir derste detaylı olarak bahsedeceğim. Bugün bunun hakkında da konuşacağız, çünkü o olmasaydı $n$'ıncı çokluğun kökleri hakkındaki düşünceler eksik olurdu.

Ama önce yukarıda verdiğim tanımı net bir şekilde anlamalısınız. Aksi takdirde terimlerin çokluğundan dolayı kafanızda öyle bir karmaşa başlayacak ki sonunda hiçbir şey anlayamayacaksınız.

Tek yapmanız gereken çift ve tek göstergeler arasındaki farkı anlamaktır. Bu nedenle kökler hakkında gerçekten bilmeniz gereken her şeyi bir kez daha toplayalım:

1. Çift dereceli bir kök yalnızca negatif olmayan bir sayıdan oluşur ve kendisi de her zaman negatif olmayan bir sayıdır. Negatif sayılar için böyle bir kök tanımsızdır.
2. Ancak tek derecenin kökü herhangi bir sayıdan oluşur ve kendisi herhangi bir sayı olabilir: pozitif sayılar için pozitiftir ve negatif sayılar için, başlığın ima ettiği gibi, negatiftir.

Zor mu? Hayır, zor değil. Apaçık? Evet, tamamen açık! Şimdi hesaplamalarla biraz pratik yapacağız.

Temel özellikler ve sınırlamalar

Köklerin birçok garip özelliği ve sınırlaması vardır; bu ayrı bir derste tartışılacaktır. Bu nedenle, şimdi yalnızca çift indeksli kökler için geçerli olan en önemli "numara" yı ele alacağız. Bu özelliği formül olarak yazalım:

\[\sqrt(((x)^(2n))))=\left| x\sağ|\]

Yani bir sayıyı çift kuvvete yükseltip sonra aynı kuvvetin kökünü alırsak orijinal sayıyı değil modülünü elde ederiz. Bu, kolayca kanıtlanabilecek basit bir teoremdir (negatif olmayan $x$'yi ayrı ayrı, ardından negatif olanları ayrı ayrı dikkate almak yeterlidir). Öğretmenler sürekli bunun hakkında konuşuyor, her okul ders kitabında veriliyor. Ancak sıra irrasyonel denklemleri (yani kök işareti içeren denklemleri) çözmeye gelince, öğrenciler oybirliğiyle bu formülü unutuyorlar.

Konuyu detaylı olarak anlamak için bir dakikalığına tüm formülleri unutalım ve doğrudan iki sayıyı hesaplamaya çalışalım:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4))))=?\]

Bunlar çok basit örnekler. Çoğu kişi ilk örneği çözecektir ancak birçok kişi ikincide takılıp kalacaktır. Bu tür saçmalıkları sorunsuz bir şekilde çözmek için her zaman aşağıdaki prosedürü göz önünde bulundurun:

1. İlk olarak sayının dördüncü kuvvetine yükseltilir. Aslında bu biraz kolay. Çarpım tablosunda bile bulunabilecek yeni bir sayı elde edeceksiniz;
2. Ve şimdi bu yeni sayıdan dördüncü kökü çıkarmak gerekiyor. Onlar. Köklerde ve güçlerde "azalma" meydana gelmez - bunlar sıralı eylemlerdir.

İlk ifadeye bakalım: $\sqrt(((3)^(4)))$. Açıkçası, öncelikle kökün altındaki ifadeyi hesaplamanız gerekir:

\[(((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Daha sonra 81 sayısının dördüncü kökünü çıkarıyoruz:

Şimdi aynı işlemi ikinci ifade için de yapalım. İlk olarak, −3 sayısını dördüncü kuvvetine yükseltiriz, bu da sayının 4 kez kendisiyle çarpılmasını gerektirir:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ left(-3 \right)=81\]

Pozitif bir sayı elde ettik, çünkü çarpımdaki toplam eksi sayısı 4 ve hepsi birbirini götürecek (sonuçta eksiye eksi artı verir). Sonra kökü tekrar çıkarıyoruz:

Prensipte bu satır yazılamazdı çünkü cevabın aynı olması hiç de akıllıca değil. Onlar. aynı eşit gücün eşit kökü eksileri “yakar” ve bu anlamda sonuç normal bir modülden ayırt edilemez:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4))))=\left| 3 \sağ|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \sağ|=3. \\ \end(hizala)\]

Bu hesaplamalar, çift dereceli bir kökün tanımıyla iyi bir uyum içindedir: sonuç her zaman negatif değildir ve kök işareti de her zaman negatif olmayan bir sayı içerir. Aksi takdirde kök tanımsızdır.

Prosedürle ilgili not

1. $\sqrt(((a)^(2))))$ gösterimi, önce $a$ sayısının karesini aldığımız ve ardından elde edilen değerin karekökünü aldığımız anlamına gelir. Bu nedenle, her durumda $((a)^(2))\ge 0$ olduğundan, kök işaretinin altında her zaman negatif olmayan bir sayı olduğundan emin olabiliriz;
2. Ancak $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ gösterimi, tam tersine, önce belirli bir $a$ sayısının kökünü aldığımız ve ancak ondan sonra sonucun karesini aldığımız anlamına gelir. Bu nedenle, $a$ sayısı hiçbir durumda negatif olamaz; bu, tanımda yer alan zorunlu bir gerekliliktir.

Bu nedenle, hiçbir durumda kökler ve dereceler düşüncesizce azaltılmamalı, böylece orijinal ifadenin "basitleştirildiği" iddia edilmemelidir. Çünkü eğer kök negatif bir sayıya sahipse ve üssü çift ise bir sürü problemle karşı karşıya kalırız.

Ancak tüm bu sorunlar yalnızca çift göstergelerle ilgilidir.

Kök işaretinin altındaki eksi işaretini kaldırma

Doğal olarak, tek üslü köklerin de kendi özellikleri vardır ve bu, prensipte çift üslerde mevcut değildir. Yani:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Kısacası tek dereceli köklerin işaretinin altındaki eksiyi kaldırabilirsiniz. Bu, tüm dezavantajları "ortadan kaldırmanıza" olanak tanıyan çok kullanışlı bir özelliktir:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(hizala)\]

Bu basit özellik birçok hesaplamayı büyük ölçüde basitleştirir. Artık endişelenmenize gerek yok: Ya olumsuz bir ifade kökün altında gizlenmişse, ancak kökteki derecenin eşit olduğu ortaya çıkarsa? Köklerin dışındaki tüm eksileri "atmak" yeterlidir, daha sonra birbirleriyle çarpılabilir, bölünebilir ve genel olarak pek çok şüpheli şey yapılabilir, bu da "klasik" kökler durumunda bizi garanti altına alır. bir hata.

Ve burada başka bir tanım sahneye çıkıyor; çoğu okulda irrasyonel ifadeler üzerinde çalışmaya başlarken kullanılan tanımın aynısı. Ve bu olmadan akıl yürütmemiz eksik olurdu. Tanışmak!

Aritmetik kök

Bir an için kök işaretinin altında yalnızca pozitif sayıların veya aşırı durumlarda sıfırın olabileceğini varsayalım. Çift/tek göstergeleri unutalım, yukarıda verilen tüm tanımları unutalım; yalnızca negatif olmayan sayılarla çalışacağız. Peki ne olacak?

Ve sonra bir aritmetik kök elde edeceğiz - bu, "standart" tanımlarımızla kısmen örtüşüyor, ancak yine de onlardan farklı.

Tanım. Negatif olmayan bir sayı olan $a$'ın $n$'ıncı derecesinin aritmetik kökü, $((b)^(n))=a$ olacak şekilde negatif olmayan bir $b$ sayısıdır.

Gördüğümüz gibi artık pariteyle ilgilenmiyoruz. Bunun yerine yeni bir kısıtlama ortaya çıktı: Radikal ifade artık her zaman negatif değildir ve kökün kendisi de negatif değildir.

Aritmetik kökün normalden ne kadar farklı olduğunu daha iyi anlamak için, zaten aşina olduğumuz kare ve kübik parabol grafiklerine bir göz atın:

Aritmetik kök arama alanı - negatif olmayan sayılar

Gördüğünüz gibi, bundan sonra yalnızca ilk koordinat çeyreğinde yer alan grafik parçalarıyla ilgileniyoruz - burada $x$ ve $y$ koordinatları pozitif (veya en azından sıfır). Kökün altına negatif bir sayı koyma hakkımız olup olmadığını anlamak için artık göstergeye bakmanıza gerek yok. Çünkü negatif sayılar artık prensipte dikkate alınmıyor.

Şunu sorabilirsiniz: “Peki, neden bu kadar kısırlaştırılmış bir tanıma ihtiyacımız var?” Veya: "Yukarıda verilen standart tanımı neden yapamıyoruz?"

Yeni tanımın uygun olmasını sağlayacak tek bir özellik vereceğim. Örneğin, üs alma kuralı:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k))))\]

Lütfen unutmayın: Radikal ifadeyi herhangi bir kuvvete yükseltebilir ve aynı zamanda kök üssü aynı kuvvetle çarpabiliriz - sonuç aynı sayı olacaktır! İşte örnekler:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^) (4))))=\sqrt(16)\\ \end(align)\]

Peki önemli olan ne? Bunu neden daha önce yapamadık? İşte nedeni. Basit bir ifadeyi ele alalım: $\sqrt(-2)$ - bu sayı klasik anlayışımıza göre oldukça normaldir, ancak aritmetik kök açısından kesinlikle kabul edilemez. Bunu dönüştürmeye çalışalım:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Gördüğünüz gibi, ilk durumda radikalin altındaki eksiyi kaldırdık (üs tek olduğu için her hakkımız var) ve ikinci durumda yukarıdaki formülü kullandık. Onlar. Matematiksel açıdan bakıldığında her şey kurallara göre yapılır.

Ne oldu? Aynı sayı nasıl hem pozitif hem de negatif olabilir? Mümkün değil. Pozitif sayılar ve sıfır için harika çalışan üs alma formülü, negatif sayılar söz konusu olduğunda tam bir sapkınlık üretmeye başlıyor.

Aritmetik kökler bu tür belirsizliklerden kurtulmak için icat edildi. Tüm özelliklerini ayrıntılı olarak ele aldığımız ayrı bir büyük ders onlara ayrılmıştır. Bu yüzden şimdi bunların üzerinde durmayacağız - ders zaten çok uzun oldu.

Cebirsel kök: daha fazlasını öğrenmek isteyenler için

Uzun süre bu konuyu ayrı bir paragrafa koysam mı, koymasam mı diye düşündüm. En sonunda onu burada bırakmaya karar verdim. Bu materyal, kökleri daha da iyi anlamak isteyenler için tasarlanmıştır - artık ortalama "okul" seviyesinde değil, Olimpiyat seviyesine yakın bir seviyede.

Yani: bir sayının $n$th kökünün "klasik" tanımına ve bununla ilişkili çift ve tek üslere bölünmeye ek olarak, pariteye ve diğer inceliklere hiç bağlı olmayan daha "yetişkinlere uygun" bir tanım vardır. Buna cebirsel kök denir.

Tanım. Herhangi bir $a$'ın cebirsel $n$'inci kökü, $((b)^(n))=a$ olacak şekilde tüm $b$ sayıları kümesidir. Bu tür kökler için yerleşik bir tanım yoktur, bu nedenle en üste bir çizgi koyacağız:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

Dersin başında verilen standart tanımdan temel farkı, cebirsel kökün belirli bir sayı değil, bir küme olmasıdır. Gerçek sayılarla çalıştığımız için bu küme yalnızca üç türde gelir:

1. Boş küme. Negatif bir sayıdan çift dereceli cebirsel bir kök bulmanız gerektiğinde ortaya çıkar;
2. Tek bir elemandan oluşan küme. Tek kuvvetlerin tüm kökleri ve sıfırın çift kuvvetlerinin kökleri bu kategoriye girer;
3. Son olarak, küme iki sayı içerebilir - yukarıda gördüğümüz $((x)_(1))$ ve $((x)_(2))=-((x)_(1))$ ile aynı ikinci dereceden grafik fonksiyonu. Buna göre böyle bir düzenleme ancak pozitif bir sayıdan çift dereceli kökün çıkarılmasıyla mümkündür.

Son durum daha ayrıntılı bir değerlendirmeyi hak ediyor. Farkı anlamak için birkaç örnek sayalım.

Örnek. İfadeleri değerlendirin:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Çözüm. İlk ifade basittir:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Kümenin parçası olan iki sayıdır. Çünkü her birinin karesi dört verir.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Burada tek sayıdan oluşan bir küme görüyoruz. Kök üssü tek olduğundan bu oldukça mantıklıdır.

Son olarak son ifade:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Boş bir set aldık. Çünkü dördüncü (yani çift!) üssüne yükseltildiğinde bize -16 negatif sayısını verecek tek bir gerçek sayı yoktur.

Son not. Lütfen unutmayın: Gerçek sayılarla çalıştığımızı her yerde belirtmem tesadüf değildi. Çünkü karmaşık sayılar da var - orada $\sqrt(-16)$ ve diğer birçok tuhaf şeyi hesaplamak oldukça mümkün.

Ancak karmaşık sayılara modern okul matematik derslerinde neredeyse hiç yer verilmez. Yetkililerimiz konunun "anlaşılmasının çok zor" olduğunu düşündüğü için çoğu ders kitabından çıkarıldılar.

Hepsi bu. Bir sonraki derste köklerin tüm temel özelliklerine bakacağız ve son olarak irrasyonel ifadeleri nasıl basitleştireceğimizi öğreneceğiz :)

Denklemi grafiksel olarak çözelim (x üzeri altıncı kuvvet bire eşittir), bunun için bir koordinat sisteminde aşağıdaki fonksiyon grafiklerini oluşturacağız: (y eşittir x üzeri altıncı kuvvet)

Gördüğümüz gibi A ve C noktalarında kesişiyorlar, burada kesişme noktalarının apsisleri denklemin kökleridir, yani. .(Şek.2)

İki denklemin çözümünden her birinin iki kökü olduğunu ve bu sayıların birbirine zıt olduğunu görüyoruz.

Bu iki denklemde kökler oldukça kolay bulunur.

Denklem 7'yi düşünün (x'in altıncı kuvveti yediye eşittir) ( Şekil 3)

Fonksiyonun grafiklerini ve y=7'yi tek bir koordinat sisteminde oluşturuyoruz

Çizim, denklemin iki kökü x bir ve x iki olduğunu göstermektedir, ancak bunların kesin değerleri gösterilemez, yalnızca yaklaşık değerler gösterilebilir: x ekseninde bulunurlar, bir kök -1 noktasının biraz solundadır ve ikincisi 1. noktanın biraz sağındadır.

Benzer durumları çözmek için matematikçiler yeni bir sembol olan altıncı kökü tanıttılar. Ve bu sembol yardımıyla bu denklemin kökleri şu şekilde yazılabilir: (x bir eşittir yedinin altıncı kökü ve x iki eşittir eksi yedinin altıncı kökü).

Derecesi tek olan denklemleri çözmeyi düşünelim

Ve (Şek.4)

Çizimlerden görülebileceği gibi, denklemlerin her birinin bir kökü vardır, ancak ilk denklemde kök iki tam sayıdır ve ikincisinde değeri doğru bir şekilde belirtmek imkansızdır, bu nedenle bunun için bir gösterim sunacağız. (altının beşinci kökü).

Ele alınan örneklere dayanarak bir sonuç çıkaracağız ve bir tanım vereceğiz:

1. Denklem (x'in en kuvveti eşittir a'ya eşittir), burada n(en) herhangi bir doğal çift sayıdır ve iki kökü vardır:

(a'nın n'inci kökü ve eksi a'nın n'inci kökü)

2. Denklem (x'in en'inci kuvveti a'ya eşittir), burada n(en) herhangi bir doğal tek sayıdır ve (a sıfırdan büyüktür) bir köke sahiptir: (a sayısının n'inci kökü)

3. Denklemin (x'in en kuvveti sıfıra eşittir) tek bir kökü vardır x = 0 (x sıfıra eşittir).

Tanım: Negatif olmayan bir sayının (n=2,3,34,5...) n'inci (n'inci) kökü, negatif olmayan bir sayıdır ve n'inci kuvvetine yükseltildiğinde a sayısıyla sonuçlanır.

Bu sayı şu anlama gelir: (a) sayısının n'inci kökü. A sayısına radikal sayı denir ve n (en) sayısı kökün indeksidir.

(8. sınıf cebirde n=2 olduğunda özel bir durumu incelediniz: (a'nın karekökü) yazıyorlar).

Şunu hatırlamak gerekir:

(eğer a negatif olmayan bir sayıysa, n birden büyük bir doğal sayıysa, o zaman a sayısının n'inci kökü negatif olmayan bir sayıdır ve a sayısının n'inci kökü n'inci kuvvete yükseltilirse, o zaman a sayısını, yani radikal sayıyı) elde ederiz.

Başka bir deyişle tanım şu şekilde yeniden ifade edilebilir:

(bir sayının n'inci kuvvetinin kökü, n'inci kuvveti a'ya eşit olan be sayısıdır).

Terim kapsamında kök çıkarma Negatif olmayan bir sayının kökünü bulmayı anlayın. Yani uygun güce yükseltmek için ters işlemi yapmanız gerekir. Tabloya bakalım:

Dikkatli olun, n'inci kuvvetin kökü tanımına göre tabloda yalnızca pozitif sayılar dikkate alınır.

Örnek 1'i düşünün: Hesaplama

a) (altmışdördün altıncı kökü ikiye eşittir, çünkü iki pozitif bir sayıdır ve ikinin altıncı kuvveti altmışdörde eşittir).

(Bulunan sayı pozitif olduğundan ve üçüncünün üssü bir radikal sayı verdiğinden, sıfır noktası iki yüz on altının binde üçüncü kökü sıfır virgül altıya eşittir)

=

d) N'inci derecenin kökünün tanımına göre iki eşitlik yazıyoruz: ve

Bu nedenle dördüncü üssü 55 olan, ancak iki üssü dördüncü kuvveti on altı olan, yani 55'ten küçük bir sayı bulmamız gerekiyor.

Ve üçün dördüncü kuvveti seksen bire eşittir, yani 55'ten büyüktür. Bu, kesin değeri belirtmenin imkansız olduğu anlamına gelir, bu nedenle yaklaşık eşitlik işaretini yüzde birlik bir doğrulukla kullanacağız.

Negatif bir sayının kökünü çıkarmak için ikinci tanımı kullanın:

Tanım: Negatif bir a sayısının (n=3,5,7,...) tek kökü n, negatif bir m sayısıdır ve n üssüne yükseltildiğinde a sayısıyla sonuçlanır.

a sayısına radikal sayı denir ve n (en) sayısı kökün indeksidir.

Tek dereceli bir kök için iki özellik doğrudur:

(a negatif bir sayıysa, n birden büyük tek bir doğal sayıysa, o zaman a sayısının n'inci kökü negatif bir sayıdır ve a sayısının n'inci kökü n'inci kuvvete yükseltilirse, o zaman şunu elde ederiz: a sayısı, yani radikal sayı) .

Bir sayının n'inci derecesinin kökünün tanımlarını ve özelliklerini analiz ettikten sonra şu sonuca varıyoruz:

Çift kökün yalnızca negatif olmayan bir radikal ifade için anlamı vardır (yani tanımlanır);

Tek kök herhangi bir radikal ifade için anlamlıdır

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Gerçek sayının n'inci kökü"

Ek malzemeler
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

11. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler
Parametrelerle cebirsel problemler, 9-11. Sınıflar
"10 ve 11. sınıflar için uzayda inşa etmeye yönelik etkileşimli görevler"

N'inci derecenin kökü. İşlenen konunun tekrarı.

Arkadaşlar bugünün dersinin konusu "Gerçek bir sayının N'inci kökü".
8. sınıfta bir reel sayının karekökünü çalışmıştık. Karekök $y=x^2$ biçimindeki bir fonksiyonla ilişkilidir. Arkadaşlar, karekökleri nasıl hesapladığımızı ve bunun hangi özelliklere sahip olduğunu hatırlıyor musunuz? Bu konuyu kendiniz tekrarlayın.
$y=x^4$ formundaki bir fonksiyona bakalım ve grafiğini çizelim.

Şimdi denklemi grafiksel olarak çözelim: $x^4=16$.
Fonksiyon grafiğimiz üzerine $y=16$ düz bir çizgi çizelim ve iki grafiğimizin hangi noktalarda kesiştiğini görelim.
Fonksiyonun grafiği açıkça iki çözümümüz olduğunu gösteriyor. Fonksiyonlar (-2;16) ve (2;16) koordinatlarıyla iki noktada kesişir. Noktalarımızın apsisleri denklemimizin çözümleridir: $x_1=-2$ ve $x_2=2$. $x^4=1$; $x_1=-1$ ve $x_2=1$ denkleminin köklerini bulmak da kolaydır.
$x^4=7$ denklemi varsa ne yapılmalı?
Fonksiyonlarımızı çizelim:
Grafiğimiz denklemin de iki kökü olduğunu açıkça gösteriyor. Ordinat eksenine göre simetriktirler, yani zıttırlar. Fonksiyonların grafiğinden kesin çözüm bulmak mümkün değildir. Sadece çözümlerimizin modülo 2'den küçük, 1'den büyük olduğunu söyleyebiliriz. Köklerimizin irrasyonel sayılar olduğunu da söyleyebiliriz.
Böyle bir problemle karşı karşıya kalan matematikçilerin bunu tanımlaması gerekiyordu. Yeni bir gösterim geliştirdiler: $\sqrt()$, buna dördüncü kök adını verdiler. O zaman $x^4=7$ denklemimizin kökleri şu şekilde yazılacaktır: $x_1=-\sqrt(7)$ ve $x_2=\sqrt(7)$. Yedinin dördüncü kökü olarak okuyun.
$x^4=a$ biçiminde bir denklemden bahsetmiştik, burada $a>0$ $(a=1,7,16)$. Şu formdaki denklemleri düşünebiliriz: $x^n=a$, burada $a>0$, n herhangi bir doğal sayıdır.
Derecenin çift ya da tek olmasına, x'teki dereceye dikkat etmeliyiz - çözüm sayısı değişir. Belirli bir örneğe bakalım. $x^5=8$ denklemini çözelim. Fonksiyonun grafiğini çizelim:
Fonksiyonların grafiği açıkça göstermektedir ki bizim durumumuzda tek bir çözümümüz vardır. Çözüm genellikle $\sqrt(8)$ olarak gösterilir. $x^5=a$ biçimindeki bir denklemi çözdüğümüzde ve tüm koordinat ekseni boyunca ilerlediğimizde, bu denklemin her zaman tek bir çözüme sahip olacağını anlamak zor değil. Bu durumda a'nın değeri sıfırdan küçük olabilir.

N'inci derecenin kökü. Tanım

Tanım. Negatif olmayan bir a sayısının n'inci kökü ($n=2,3,4...$), negatif olmayan bir sayıdır, öyle ki n üssüne yükseltildiğinde a sayısı elde edilir.

Bu sayı $\sqrt[n](a)$ olarak gösterilir. A sayısına radikal sayı denir, n ise kök üssüdür.

İkinci ve üçüncü derecenin köklerine genellikle sırasıyla kare ve kübik kökler denir. Bunları sekizinci ve dokuzuncu sınıfta okuduk.
Eğer $а≥0$, $n=2,3,4,5…$ ise:
1) $\sqrt[n](a)≥0,$
2) $(\sqrt[n](a))^n=a.$
Negatif olmayan bir sayının kökünü bulma işlemine ne ad verilir? "kök çıkarma".
Üs alma ve kök çıkarma aynı bağımlılıktır:

Arkadaşlar lütfen tablonun sadece pozitif sayılar içerdiğini unutmayın. Tanımda kökün yalnızca negatif olmayan bir a sayısından alınacağını şart koşmuştuk. Daha sonra negatif bir a sayısının kökünü çıkarmanın ne zaman mümkün olduğunu açıklığa kavuşturacağız.

N'inci derecenin kökü. Çözüm örnekleri

Hesaplamak:
a) $\sqrt(64)$.
Çözüm: $\sqrt(64)=8$, çünkü $8>0$ ve $8^2=64$.

B) $\sqrt(0.064)$.
Çözüm: $\sqrt(0.064)=0.4$, çünkü $0.4>0$ ve $0.4^3=0.064$.

B) $\sqrt(0)$.
Çözüm: $\sqrt(0)=0$.

D) $\sqrt(34)$.
Çözüm: Bu örnekte tam değeri bulamıyoruz, sayımız irrasyonel. Ancak 2 üssü 5'inci kuvveti 32'ye, 3 üssü 5'i ise 243'e eşit olduğundan 2'den büyük, 3'ten küçüktür diyebiliriz. Bu sayıların arasında 34 yer alır. $\sqrt(34)≈2.02$ ifadesinin köklerini binde bir doğrulukla hesaplayabilen bir hesap makinesi kullanarak yaklaşık bir değer bulabiliriz.
Tanımımızda n'inci köklerin yalnızca pozitif sayılardan hesaplanması konusunda anlaştık. Dersin başında negatif sayılardan n'inci kökü çıkarmanın mümkün olduğuna dair bir örnek gördük. Fonksiyonun tek üssüne baktık ve şimdi bazı açıklamalar yapalım.

Tanım. Negatif bir a sayısından tek kuvvet n'nin (n=3,5,7,9...) kökü negatif bir sayıdır, öyle ki n kuvvetine yükseltildiğinde sonuç a olur.

Aynı isimlerin kullanılması gelenekseldir.
If $a 1) $\sqrt[n](a) 2) $(\sqrt[n](a))^n=a$.
Çift bir kök yalnızca pozitif bir radikal sayı için anlamlıdır; tek bir kök herhangi bir radikal sayı için anlamlıdır.

Örnekler.
a) Denklemleri çözün: $\sqrt(3x+3)=-3$.
Çözüm: Eğer $\sqrt(y)=-3$ ise $y=-27$. Yani denklemimizin her iki tarafının da küpü alınmalıdır.
3$x+3=-27$.
3$x=-30$.
$x=-10$.

B) Denklemleri çözün: $\sqrt(2x-1)=1$.
Her iki tarafı da dördüncü kuvvete çıkaralım:
$2x-1=1$.
$2х=2$.
$x=1$.

C) Denklemleri çözün: $\sqrt(4x-1)=-5$.
Çözüm: Tanımımıza göre çift dereceli bir kök ancak pozitif bir sayıdan alınabilir, ancak bize negatif bir sayı verilirse o zaman kök kalmaz.

D) Denklemleri çözün: $\sqrt(x^2-7x+44)=2$.
Çözüm: Denklemin her iki tarafını da beşinci kuvvete yükseltin:
$x^2-7x+44=32$.
$x^2-7x+12=0$.
$x_1=4$ ve $x_2=3$.

Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar

1. Hesaplayın:
a) $\sqrt(81)$.
b) $\sqrt(0.0016)$.
c) $\sqrt(1)$.
d) $\sqrt(70)$.
2. Denklemleri çözün:
a) $\sqrt(2x+6)=2$.
b) $\sqrt(3x-5)=-1$.
c) $\sqrt(4x-8)=-4$.
d) $\sqrt(x^2-8x+49)=2$.

Kök derecesi N gerçek bir sayıdan A, Nerede N- doğal sayı, böyle bir gerçek sayıya denir X, N derecesi şuna eşit olan A.

Kök derecesi N arasından A sembolüyle gösterilir. Bu tanıma göre.

Kök bulma N arasından üçüncü derece A kök çıkarma denir. Sayı A radikal sayı (ifade) olarak adlandırılır, N- kök göstergesi. Tek için N bir kök var N Herhangi bir gerçek sayının -inci kuvveti A. Ne zaman bile N bir kök var N-th kuvveti yalnızca negatif olmayan sayılar için A. Kökü netleştirmek için N arasından üçüncü derece A aritmetik kök kavramı tanıtıldı N arasından üçüncü derece A.

N derecesinin aritmetik kökü kavramı

Eğer ve N- doğal sayı, daha büyük 1 , o zaman negatif olmayan yalnızca bir sayı vardır X eşitlik sağlanacak şekilde. Bu numara X aritmetik kök denir N Negatif olmayan bir sayının kuvveti A ve belirlenir. Sayı A radikal sayı denir N- kök göstergesi.

Yani, tanıma göre, burada , ilk olarak şunu ve ikinci olarak şunu ifade eder, yani. .

Rasyonel üssü olan derece kavramı

Doğal üslü derece: let A gerçek bir sayıdır ve N- birden büyük bir doğal sayı, N sayının -inci kuvveti A işi aramak N her biri eşit olan faktörler A, yani . Sayı A- derecenin temeli, N- üs. Sıfır üssü olan bir kuvvet: tanım gereği, if ,then . Bir sayının sıfır kuvveti 0 mantıklı değil. Negatif tamsayı üssü olan bir derece: tanım gereği varsayılırsa ve N o halde bir doğal sayıdır. Kesirli üslü bir derece: tanım gereği varsayılırsa ve N- doğal sayı, M o halde bir tam sayıdır.

Köklerle işlemler.

Aşağıdaki tüm formüllerde sembol, bir aritmetik kök anlamına gelir (kök ifadesi pozitiftir).

1. Birkaç faktörün çarpımının kökü, bu faktörlerin köklerinin çarpımına eşittir:

2. Bir oranın kökü, bölünenin ve bölenin köklerinin oranına eşittir:

3. Bir kökü bir kuvvete yükseltirken, radikal sayıyı bu kuvvete yükseltmek yeterlidir:

4. Kökün derecesini n kat artırırsanız ve aynı zamanda radikal sayıyı n'inci kuvvete yükseltirseniz, kökün değeri değişmeyecektir:

5. Kökün derecesini n kat azaltırsanız ve aynı anda radikal sayının n'inci kökünü çıkarırsanız, kökün değeri değişmeyecektir:

Derece kavramının genişletilmesi. Şu ana kadar dereceleri yalnızca doğal üstellerle ele aldık; ancak kuvvetleri ve kökleri olan işlemler aynı zamanda negatif, sıfır ve kesirli üslere de yol açabilir. Tüm bu üsler ek tanım gerektirir.

Negatif üslü bir derece. Negatif (tamsayı) üssü olan belirli bir sayının kuvveti, üssü negatif üssün mutlak değerine eşit olan aynı sayının kuvvetine bölünerek tanımlanır:

Şimdi a m: a n = a m - n formülü yalnızca n'den büyük m için değil, n'den küçük m için de kullanılabilir.

ÖRNEK a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Eğer a m: a n = a m - n formülünün m = n için geçerli olmasını istiyorsak, sıfır derece tanımına ihtiyacımız var.

Sıfır endeksli bir derece. Sıfır üssü sıfır olan herhangi bir sayının kuvveti 1'dir.

ÖRNEKLER. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3/5) 0 = 1.

Kesirli üslü derece. Bir a gerçek sayısını m/n üssüne çıkarmak için, bu a sayısının m'inci kuvvetinin n'inci kökünü çıkarmanız gerekir:

Anlamı olmayan ifadeler hakkında. Bunun gibi birkaç ifade var.

Durum 1.

a ≠ 0'ın bulunmadığı yer.

Aslında x'in belirli bir sayı olduğunu varsayarsak, bölme işleminin tanımına uygun olarak elimizde: a = 0 x, yani. a = 0, şu koşulla çelişiyor: a ≠ 0

Durum 2.

Herhangi bir sayı.

Aslında bu ifadenin belirli bir x sayısına eşit olduğunu varsayarsak bölme işleminin tanımına göre elimizde: 0 = 0 x olur. Ancak bu eşitlik herhangi bir x sayısı için geçerlidir ve bunun kanıtlanması gerekir.

Gerçekten mi,

Çözüm Üç ana durumu ele alalım:

1) x = 0 – bu değer bu denklemi karşılamıyor

2) x > 0 için şunu elde ederiz: x / x = 1, yani. 1 = 1, bu da x'in herhangi bir sayı olduğu anlamına gelir; ancak bizim durumumuzda x > 0 olduğunu hesaba katarsak cevap x > 0 olur;

3) x'te< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

bu durumda çözüm yok. Böylece x > 0 olur.