Gauss kuralları. Gauss yöntemi. Bilinmeyenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılması yöntemi. Uyumsuz sayıda denklem ve bilinmeyene veya dejenere matris sistemine sahip çatlakları çözmek için Gauss yöntemini kullanmaya yönelik algoritmanın açıklaması

Tüm çözümlerinin kümesi çakışıyorsa, iki doğrusal denklem sistemine eşdeğer denir.

Bir denklem sisteminin temel dönüşümleri:

1. Önemsiz denklemlerin sistemden silinmesi, ör. tüm katsayıların sıfıra eşit olduğu durumlar;
2. Herhangi bir denklemin sıfırdan farklı bir sayıyla çarpılması;
3. Herhangi bir i'inci denkleme herhangi bir j'inci denklemin herhangi bir sayıyla çarpılmasıyla ekleme.

Bir x i değişkenine, eğer bu değişkene izin verilmiyorsa ancak denklem sisteminin tamamına izin veriliyorsa, serbest denir.

Teorem. Temel dönüşümler bir denklem sistemini eşdeğer bir sisteme dönüştürür.

Gauss yönteminin anlamı, orijinal denklem sistemini dönüştürerek eşdeğer çözümlü veya eşdeğer tutarsız bir sistem elde etmektir.

Yani Gauss yöntemi aşağıdaki adımlardan oluşur:

1. İlk denkleme bakalım. Sıfır olmayan ilk katsayıyı seçelim ve denklemin tamamını ona bölelim. Bazı x i değişkenlerinin 1 katsayısıyla girdiği bir denklem elde ediyoruz;
2. Bu denklemi diğerlerinden çıkaralım, öyle sayılarla çarpalım ki, geri kalan denklemlerdeki x i değişkeninin katsayıları sıfırlansın. Xi değişkenine göre çözümlenmiş ve orijinaline eşdeğer bir sistem elde ediyoruz;
3. Önemsiz denklemler ortaya çıkarsa (nadiren ama olur; örneğin 0 = 0), onları sistemden çıkarırız. Sonuç olarak, bir tane daha az denklem var;
4. Önceki adımları en fazla n kez tekrarlıyoruz; burada n, sistemdeki denklemlerin sayısıdır. Her seferinde “işleme” için yeni bir değişken seçiyoruz. Tutarsız denklemler ortaya çıkarsa (örneğin, 0 = 8), sistem tutarsızdır.

Sonuç olarak, birkaç adımdan sonra ya çözümlenmiş bir sistem (muhtemelen serbest değişkenlerle) ya da tutarsız bir sistem elde edeceğiz. İzin verilen sistemler iki duruma ayrılır:

1. Değişken sayısı denklem sayısına eşittir. Bu, sistemin tanımlandığı anlamına gelir;
2. Değişken sayısı denklem sayısından fazladır. Tüm serbest değişkenleri sağ tarafta topluyoruz - izin verilen değişkenler için formüller alıyoruz. Bu formüller cevapta yazılmıştır.

İşte bu! Doğrusal denklem sistemi çözüldü! Bu oldukça basit bir algoritmadır ve bu konuda uzmanlaşmak için daha yüksek bir matematik öğretmeniyle iletişime geçmenize gerek yoktur. Bir örneğe bakalım:

Görev. Denklem sistemini çözün:

Adımların açıklaması:

1. İlk denklemi ikinci ve üçüncüden çıkarın - izin verilen x 1 değişkenini elde ederiz;
2. İkinci denklemi (−1) ile çarpıyoruz ve üçüncü denklemi (−3)'e bölüyoruz - x 2 değişkeninin 1 katsayısıyla girdiği iki denklem elde ediyoruz;
3. İkinci denklemi birinciye ekleriz ve üçüncüden çıkarırız. İzin verilen x 2 değişkenini elde ederiz;
4. Son olarak üçüncü denklemi birinciden çıkarırız - izin verilen x 3 değişkenini elde ederiz;
5. Onaylı bir sistem aldık, yanıtı yazın.

Eşzamanlı bir doğrusal denklem sisteminin genel çözümü, izin verilen tüm değişkenlerin serbest değişkenler cinsinden ifade edildiği, orijinaline eşdeğer yeni bir sistemdir.

Genel bir çözüme ne zaman ihtiyaç duyulabilir? Eğer k'den daha az adım atmanız gerekiyorsa (k kaç denklemin olduğudur). Ancak sürecin herhangi bir adımda bitmesinin nedenleri< k , может быть две:

1. I. adımdan sonra (l+1) numaralı denklem içermeyen bir sistem elde ettik. Aslında bu iyi bir şey çünkü... Yetkili sistem, birkaç adım önceden bile olsa hâlâ elde ediliyor.
2. I. adımdan sonra değişkenlerin tüm katsayılarının sıfıra eşit olduğu, serbest katsayının ise sıfırdan farklı olduğu bir denklem elde ettik. Bu çelişkili bir denklemdir ve dolayısıyla sistem tutarsızdır.

Gauss yöntemi kullanılarak tutarsız bir denklemin ortaya çıkmasının tutarsızlık için yeterli bir temel olduğunun anlaşılması önemlidir. Aynı zamanda, 1. adımın sonucunda hiçbir önemsiz denklemin kalamayacağını, süreç içinde hepsinin üzerinin çizildiğini not ediyoruz.

Adımların açıklaması:

1. İlk denklemi 4 ile çarparak ikinciden çıkarın. Ayrıca ilk denklemi üçüncüye ekliyoruz - izin verilen x 1 değişkenini elde ediyoruz;
2. 2 ile çarpılan üçüncü denklemi ikinciden çıkarın - çelişkili denklem 0 = −5'i elde ederiz.

Yani sistem tutarsızdır çünkü tutarsız bir denklem keşfedilmiştir.

Görev. Uyumluluğu keşfedin ve sisteme genel bir çözüm bulun:

Adımların açıklaması:

1. İlk denklemi ikinciden (iki ile çarptıktan sonra) ve üçüncüsünden çıkarırız - izin verilen x 1 değişkenini elde ederiz;
2. İkinci denklemi üçüncüden çıkarın. Bu denklemlerdeki katsayıların tümü aynı olduğundan üçüncü denklem önemsiz hale gelecektir. Aynı zamanda ikinci denklemi (−1) ile çarpın;
3. İkinciyi ilk denklemden çıkarın - izin verilen x 2 değişkenini elde ederiz. Artık tüm denklem sistemi de çözülmüştür;
4. x 3 ve x 4 değişkenleri serbest olduğundan izin verilen değişkenleri ifade etmek için onları sağa kaydırıyoruz. Cevap bu.

Dolayısıyla, izin verilen iki değişken (x 1 ve x 2) ve iki serbest değişken (x 3 ve x 4) olduğundan sistem tutarlı ve belirsizdir.

Gauss yönteminin tanımı ve açıklaması

Doğrusal denklem sistemlerini çözmek için Gauss dönüşüm yöntemi (bir denklem veya matristen bilinmeyen değişkenlerin sıralı olarak elimine edilmesi yöntemi olarak da bilinir), cebirsel denklem sistemlerini (SLAE) çözmek için klasik bir yöntemdir. Bu klasik yöntem aynı zamanda ters matrislerin elde edilmesi, bir matrisin rütbesinin belirlenmesi gibi problemlerin çözümünde de kullanılmaktadır.

Gauss yöntemini kullanan dönüşüm, doğrusal cebirsel denklemler sisteminde küçük (temel) sıralı değişiklikler yapmaktan oluşur; bu, orijinaline eşdeğer yeni bir üçgen denklem sisteminin oluşturulmasıyla değişkenlerin yukarıdan aşağıya doğru ortadan kaldırılmasına yol açar. bir.

Tanım 1

Çözümün bu kısmına ileri Gauss çözümü denir, çünkü tüm süreç yukarıdan aşağıya doğru yürütülür.

Orijinal denklem sistemini üçgen bir sisteme indirgedikten sonra, sistemin tüm değişkenleri aşağıdan yukarıya doğru bulunur (yani, bulunan ilk değişkenler tam olarak sistemin veya matrisin son satırlarında bulunur). Çözümün bu kısmı Gauss çözümünün tersi olarak da bilinir. Algoritması şu şekildedir: önce denklem sisteminin veya matrisin tabanına en yakın değişkenler hesaplanır, ardından ortaya çıkan değerler daha yüksek bir değerle ikame edilir ve böylece başka bir değişken bulunur ve bu şekilde devam eder.

Gauss yöntemi algoritmasının açıklaması

Gauss yöntemini kullanan bir denklem sisteminin genel çözümüne yönelik eylem sırası, SLAE'ye dayalı olarak matrise ileri ve geri vuruşların dönüşümlü olarak uygulanmasından oluşur. Başlangıç ​​denklem sisteminin aşağıdaki forma sahip olmasına izin verin:

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(case)$

Gauss yöntemini kullanarak SLAE'leri çözmek için orijinal denklem sistemini bir matris biçiminde yazmak gerekir:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

$A$ matrisi ana matris olarak adlandırılır ve sırayla yazılan değişkenlerin katsayılarını temsil eder ve $b$ onun serbest terimlerinin sütunu olarak adlandırılır. Serbest terimlerden oluşan bir sütun içeren bir çubuk aracılığıyla yazılan $A$ matrisine genişletilmiş matris denir:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

Şimdi denklem sistemindeki (veya bu daha uygun olduğu için matristeki) temel dönüşümleri kullanarak onu aşağıdaki forma getirmek gerekir:

$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(durum)$ (1)

Dönüştürülen denklem (1) sisteminin katsayılarından elde edilen matrise adım matrisi denir; adım matrisleri genellikle şu şekilde görünür:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(array)$

Bu matrisler aşağıdaki özellikler kümesiyle karakterize edilir:

1. Tüm sıfır satırları sıfır olmayan satırlardan sonra gelir
2. Eğer $k$ numaralı bir matrisin bazı satırları sıfır değilse, aynı matrisin önceki satırında $k$ numaralı bu satırdan daha az sıfır bulunur.

Adım matrisi elde edildikten sonra elde edilen değişkenleri kalan denklemlerde (sondan başlayarak) yerine koymak ve değişkenlerin kalan değerlerini elde etmek gerekir.

Gauss yöntemini kullanırken temel kurallar ve izin verilen dönüşümler

Bu yöntemi kullanarak bir matrisi veya denklem sistemini basitleştirirken yalnızca temel dönüşümleri kullanmanız gerekir.

Bu tür dönüşümler, bir matrise veya denklem sistemine anlamını değiştirmeden uygulanabilecek işlemler olarak kabul edilir:

• birkaç satırın yeniden düzenlenmesi,
• Bir matrisin bir satırından başka bir satırın eklenmesi veya çıkarılması,
• bir dizeyi sıfıra eşit olmayan bir sabitle çarpmak veya bölmek,
• Sistemin hesaplanması ve basitleştirilmesi sürecinde elde edilen yalnızca sıfırlardan oluşan bir satırın silinmesi gerekir,
• Ayrıca sistem için daha fazla hesaplama için daha uygun ve kullanışlı katsayılara sahip tek olanı seçerek gereksiz orantı çizgilerini kaldırmanız gerekir.

Tüm temel dönüşümler geri dönüşümlüdür.

Basit Gauss dönüşümleri yöntemini kullanarak doğrusal denklemleri çözerken ortaya çıkan üç ana durumun analizi

Sistemleri çözmek için Gauss yöntemini kullanırken ortaya çıkan üç durum vardır:

1. Bir sistem tutarsız olduğunda, yani herhangi bir çözümü olmadığında
2. Denklem sisteminin bir çözümü ve benzersiz bir çözümü vardır ve matristeki sıfır olmayan satır ve sütunların sayısı birbirine eşittir.
3. Sistem belirli sayıda veya olası çözüm kümesine sahiptir ve içindeki satır sayısı sütun sayısından azdır.

Tutarsız bir sistemle çözümün sonucu

Bu seçenek için, Gauss yöntemini kullanarak bir matris denklemini çözerken, eşitliğin sağlanmasının imkansız olduğu bir doğrunun elde edilmesi tipiktir. Dolayısıyla en az bir hatalı eşitlik meydana gelirse, ortaya çıkan ve orijinal sistemlerin içerdikleri diğer denklemler ne olursa olsun çözümleri yoktur. Tutarsız bir matris örneği:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

Son satırda imkansız bir eşitlik var: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Tek çözümü olan denklem sistemi

Bu sistemler, adım matrisine indirgeme ve sıfırlı satırların çıkarılmasından sonra, ana matriste aynı sayıda satır ve sütuna sahiptir. İşte böyle bir sistemin en basit örneği:

$\begin(case) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(case)$

Bunu matris şeklinde yazalım:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

İkinci satırın ilk hücresini sıfıra getirmek için üst satırı $-2$ ile çarpıp matrisin alt satırından çıkarıyoruz ve üst satırı orijinal biçiminde bırakıyoruz, sonuç olarak aşağıdakileri elde ediyoruz: :

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

Bu örnek bir sistem olarak yazılabilir:

$\begin(case) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(case)$

Alttaki denklem $x$ için şu değeri verir: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Bu değeri üstteki denklemde yerine koyarsak: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, $x_1 = 1 \frac(2)(3)$ elde ederiz.

Birçok olası çözümü olan bir sistem

Bu sistem, içindeki sütun sayısından daha az sayıda önemli satırla karakterize edilir (ana matrisin satırları dikkate alınır).

Böyle bir sistemdeki değişkenler iki türe ayrılır: temel ve ücretsiz. Böyle bir sistemi dönüştürürken, içerdiği ana değişkenler “=” işaretine kadar sol alanda bırakılmalı, geri kalan değişkenler ise eşitliğin sağ tarafına taşınmalıdır.

Böyle bir sistemin yalnızca belirli bir genel çözümü vardır.

Aşağıdaki denklem sistemini analiz edelim:

$\begin(cases) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(cases)$

Bunu matris şeklinde yazalım:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$

Görevimiz sisteme genel bir çözüm bulmaktır. Bu matris için temel değişkenler $y_1$ ve $y_3$ olacaktır ($y_1$ için - ilk sırada olduğundan ve $y_3$ durumunda - sıfırlardan sonra yer alır).

Temel değişkenler olarak tam olarak satırda ilk sırada yer alan ve sıfıra eşit olmayanları seçiyoruz.

Geriye kalan değişkenlere serbest denir; temel olanları bunlar üzerinden ifade etmemiz gerekir.

Ters vuruş olarak adlandırılan yöntemi kullanarak sistemi aşağıdan yukarıya doğru analiz ederiz; bunu yapmak için öncelikle sistemin alt satırından $y_3$ ifadesini ifade ederiz:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Şimdi ifade edilen $y_3$'ı sistemin üst denkleminde yerine koyarız $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

$y_1$'ı $y_2$ ve $y_4$ serbest değişkenleri cinsinden ifade ederiz:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6$

Çözüm hazır.

Örnek 1

Gauss yöntemini kullanarak çamuru çözün. Örnekler. Gauss yöntemini kullanarak 3'e 3'lük bir matris tarafından verilen bir doğrusal denklem sistemini çözme örneği

$\begin(case) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(case)$

Sistemimizi genişletilmiş matris şeklinde yazalım:

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

Şimdi, kolaylık ve pratiklik açısından, matrisi $1$ en dıştaki sütunun üst köşesinde olacak şekilde dönüştürmeniz gerekir.

Bunu yapmak için, 1. satıra ortadaki satırı $-1$ ile çarpmanız ve orta satırı olduğu gibi yazmanız gerekir, ortaya çıkıyor:

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(array) $

Üst ve son satırları $-1$ ile çarpın ve ayrıca son ve orta satırları değiştirin:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$

Ve son satırı $3$'a bölün:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$

Orijinaline eşdeğer aşağıdaki denklem sistemini elde ederiz:

$\begin(case) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(case)$

Üstteki denklemden $x_1$'ı ifade ediyoruz:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

Örnek 2

Gauss yöntemini kullanarak 4'e 4'lük bir matris kullanılarak tanımlanan bir sistemi çözme örneği

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.

Başlangıçta, sol üst köşede $1$ elde etmek için onu takip eden üst satırları değiştiriyoruz:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(array)$.

Şimdi üst satırı $-2$ ile çarpın ve 2. ve 3. satıra ekleyin. 4. satıra 1. satırı $-3$ ile çarparak ekliyoruz:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(array)$

Şimdi 3 numaralı satıra 2. satırı 4$ ile çarparak ekliyoruz ve 4. satıra 2. satırı $-1$ ile çarparak ekliyoruz.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(array)$

2. satırı $-1$ ile çarpıyoruz ve 4. satırı $3$'a bölüp 3. satırı değiştiriyoruz.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \end(array)$

Şimdi son satıra sondan bir önceki satırı $-5$ ile çarparak ekliyoruz.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end(array)$

Ortaya çıkan denklem sistemini çözüyoruz:

$\begin(case) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(case)$

Hesap makinemizde ücretsiz olarak bulacaksınız Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çevrimiçi çözme ayrıntılı çözümler ve hatta karmaşık sayılarla. Bizimle, sonsuz sayıda çözümü olan hem sıradan belirli hem de belirsiz denklem sistemini çözebilirsiniz. Bu durumda, cevapta bazı değişkenlerin bağımlılığını diğerlerinden bağımsız olarak alacaksınız. Aynı Gauss yöntemini kullanarak sistemin tutarlılığını da kontrol edebilirsiniz.

Talimatlarda çevrimiçi hesap makinemizi nasıl kullanacağınız hakkında daha fazla bilgi edinebilirsiniz.

Yöntem hakkında

Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözerken aşağıdaki adımlar gerçekleştirilir.

1. Genişletilmiş matrisi yazıyoruz.
2. Aslında algoritma ileri ve geri olarak bölünmüştür. Doğrudan hareket, bir matrisin kademeli bir forma indirgenmesidir. Tersine hareket, matrisin özel bir adım adım forma indirgenmesidir. Ancak pratikte, söz konusu öğenin hem üstünde hem de altında bulunanları hemen sıfırlamak daha uygundur. Hesap makinemiz tam olarak bu yaklaşımı kullanıyor.
3. Gauss yöntemini kullanarak çözerken, matriste sıfır olmayan sağ tarafa sahip en az bir sıfır satırın (serbest terimler sütunu) varlığının sistemin uyumsuzluğunu gösterdiğine dikkat etmek önemlidir. Bu durumda herhangi bir çözüm bulunmamaktadır.

Algoritmanın nasıl çalıştığını en iyi şekilde anlamak için herhangi bir örnek girin, "çok ayrıntılı çözüm"ü seçin ve cevabı inceleyin.

Gauss yöntemi kolaydır! Neden? Ünlü Alman matematikçi Johann Carl Friedrich Gauss, yaşamı boyunca tüm zamanların en büyük matematikçisi, bir dahi olarak tanındı ve hatta “Matematiğin Kralı” lakabını aldı. Ve bildiğiniz gibi ustaca olan her şey basit! Bu arada, sadece enayiler değil, dahiler de para alıyor - Gauss'un portresi 10 Alman Markı banknotun üzerindeydi (euro'nun piyasaya sürülmesinden önce) ve Gauss hala sıradan posta pullarından Almanlara gizemli bir şekilde gülümsüyor.

Gauss yöntemi basittir, çünkü BEŞİNCİ SINIF ÖĞRENCİSİNİN BİLGİSİ bu konuda uzmanlaşmak için YETERLİDİR. Toplama ve çarpmayı bilmelisiniz!Öğretmenlerin okul matematik seçmeli derslerinde bilinmeyenlerin sıralı olarak hariç tutulması yöntemini sıklıkla düşünmeleri tesadüf değildir. Bu bir paradoks ama öğrenciler Gauss yöntemini en zor buluyorlar. Şaşırtıcı bir şey yok - her şey metodolojiyle ilgili ve yöntemin algoritması hakkında erişilebilir bir biçimde konuşmaya çalışacağım.

Öncelikle doğrusal denklem sistemleri hakkında biraz bilgi verelim. Bir doğrusal denklem sistemi şunları yapabilir:

1) Benzersiz bir çözüme sahip olun.
2) Sonsuz sayıda çözümü var.
3) Çözümünüz yok (olun) ortak olmayan).

Gauss yöntemi çözüm bulmak için en güçlü ve evrensel araçtır herhangi Doğrusal denklem sistemleri. Hatırladığımız kadarıyla, Cramer kuralı ve matris yöntemi Sistemin sonsuz sayıda çözümü olduğu veya tutarsız olduğu durumlarda uygun değildir. Ve bilinmeyenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılması yöntemi Her neyse bizi cevaba götürecek! Bu dersimizde yine 1 numaralı durum (sistemin tek çözümü) için Gauss yöntemini ele alacağız, makale 2-3 numaralı noktaların durumlarına ayrılmıştır. Yöntemin algoritmasının her üç durumda da aynı şekilde çalıştığını not ediyorum.

Dersten en basit sisteme dönelim Doğrusal denklem sistemi nasıl çözülür?
Gauss metodunu kullanarak çözelim.

İlk adım yazmaktır genişletilmiş sistem matrisi:
. Katsayıların hangi prensibe göre yazıldığını sanırım herkes görebilir. Matrisin içindeki dikey çizginin herhangi bir matematiksel anlamı yoktur; bu sadece tasarım kolaylığı için üstü çizili bir çizgidir.

Referans :hatırlamanı tavsiye ederim şartlar doğrusal cebir. Sistem Matrisi yalnızca bilinmeyenlerin katsayılarından oluşan bir matristir; bu örnekte sistemin matrisi: . Genişletilmiş Sistem Matrisi– bu, sistemin aynı matrisi artı serbest terimlerin bir sütunudur, bu durumda: . Kısaca belirtmek gerekirse, matrislerden herhangi birine basitçe matris adı verilebilir.

Genişletilmiş sistem matrisi yazıldıktan sonra onunla bazı eylemlerin gerçekleştirilmesi gerekir. temel dönüşümler.

Aşağıdaki temel dönüşümler mevcuttur:

1) Dizeler matrisler Olabilmek yeniden düzenlemek bazı yerlerde. Örneğin, söz konusu matriste birinci ve ikinci satırları ağrısız bir şekilde yeniden düzenleyebilirsiniz:

2) Matriste orantılı (özel bir durum olarak - aynı) satırlar varsa (veya ortaya çıkmışsa), o zaman şunları yapmalısınız: silmek Bu satırların biri hariç tümü matristendir. Örneğin matrisi düşünün . Bu matriste son üç satır orantılı olduğundan yalnızca birini bırakmak yeterlidir: .

3) Dönüşümler sırasında matriste sıfır satır görünüyorsa, o zaman aynı zamanda silmek. Tabii ki çizmeyeceğim, sıfır çizgisi hangi çizgidir? hepsi sıfır.

4) Matris satırı şu şekilde olabilir: çarpmak (bölmek) herhangi bir numaraya sıfır olmayan. Örneğin matrisi düşünün. Burada ilk satırı –3'e bölmeniz ve ikinci satırı 2 ile çarpmanız önerilir: . Bu eylem çok faydalıdır çünkü matrisin daha sonraki dönüşümlerini basitleştirir.

5) Bu dönüşüm en çok zorluğa neden olur, ancak aslında karmaşık bir şey de yoktur. Bir matrisin bir satırına şunları yapabilirsiniz: bir sayıyla çarpılan başka bir dize ekle, sıfırdan farklı. Pratik bir örnekten matrisimize bakalım: . İlk önce dönüşümü çok detaylı bir şekilde anlatacağım. İlk satırı –2 ile çarpın: , Ve ikinci satıra ilk satırı -2 ile çarparak ekliyoruz: . Artık ilk satır “geriye” –2 ile bölünebilir: . Gördüğünüz gibi ADD satırı LI – değişmedi. Her zaman EKLENEN satır değişir UT.

Pratikte elbette bu kadar ayrıntılı yazmıyorlar, kısaca yazıyorlar:

Bir kez daha: ikinci satıra ilk satırı –2 ile çarparak ekledim. Bir satır genellikle sözlü olarak veya taslak üzerinde çarpılır ve zihinsel hesaplama süreci şöyle olur:

“Matrisi yeniden yazıyorum ve ilk satırı yeniden yazıyorum: »

“İlk sütun. En altta sıfır almam gerekiyor. Bu nedenle üsttekini -2: ile çarpıyorum ve ilkini ikinci satıra ekliyorum: 2 + (–2) = 0. Sonucu ikinci satıra yazıyorum: »

“Şimdi ikinci sütun. En üstte -1 ile -2'yi çarpıyorum: . İlkini ikinci satıra ekliyorum: 1 + 2 = 3. Sonucu ikinci satıra yazıyorum: »

“Ve üçüncü sütun. En üstte -5 ile -2'yi çarpıyorum: . İlkini ikinci satıra ekliyorum: –7 + 10 = 3. Sonucu ikinci satıra yazıyorum: »

Lütfen bu örneği dikkatlice anlayın ve sıralı hesaplama algoritmasını anlayın, bunu anlarsanız Gauss yöntemi pratik olarak cebinizde. Ama elbette bu dönüşüm üzerinde çalışmaya devam edeceğiz.

Temel dönüşümler denklem sisteminin çözümünü değiştirmez

! DİKKAT: dikkate alınan manipülasyonlar kullanılamaz, matrislerin "kendi başlarına" verildiği bir görev teklif edilirse. Örneğin “klasik” matrislerle işlemler Hiçbir durumda matrislerin içindeki hiçbir şeyi yeniden düzenlememelisiniz!

Sistemimize dönelim. Pratik olarak parçalara ayrılır.

Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu şuna indirelim: kademeli görünüm:

(1) Birinci satır ikinci satıra –2 ile çarpılarak eklendi. Ve yine: neden ilk satırı –2 ile çarpıyoruz? Altta sıfır elde etmek için bu, ikinci satırda bir değişkenden kurtulmak anlamına gelir.

(2) İkinci satırı 3'e bölün.

Temel dönüşümlerin amacı – matrisi aşamalı forma indirgeyin: . Görevin tasarımında, sadece "merdivenleri" basit bir kalemle işaretliyorlar ve ayrıca "basamaklarda" bulunan sayıları da daire içine alıyorlar. "Adımlı görünüm" terimi bilimsel ve eğitimsel literatürde tamamen teorik değildir; yamuk görünüm veya üçgen görünüm.

Temel dönüşümler sonucunda elde ettik eş değer orijinal denklem sistemi:

Şimdi sistemin ters yönde "çözülmesi" gerekiyor - aşağıdan yukarıya doğru bu işleme denir Gauss yönteminin tersi.

Alt denklemde zaten hazır bir sonucumuz var: .

Sistemin ilk denklemini ele alalım ve zaten bilinen “y” değerini onun içine koyalım:

Gauss yönteminin üç bilinmeyenli üç doğrusal denklemden oluşan bir sistemin çözülmesini gerektirdiği en yaygın durumu ele alalım.

Örnek 1

Denklem sistemini Gauss yöntemini kullanarak çözün:

Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım:

Şimdi çözüm sırasında ulaşacağımız sonucu hemen çizeceğim:

Tekrar ediyorum, amacımız temel dönüşümleri kullanarak matrisi adım adım forma getirmektir. Nereden başlamalı?

İlk önce sol üstteki numaraya bakın:

Neredeyse her zaman burada olmalı birim. Genel olarak konuşursak, -1 (ve bazen diğer sayılar) işe yarar, ancak bir şekilde geleneksel olarak bir genellikle oraya yerleştirilir. Bir birim nasıl organize edilir? İlk sütuna bakıyoruz - bitmiş bir birimimiz var! Birinci dönüşüm: birinci ve üçüncü satırları değiştirin:

Artık ilk satır çözümün sonuna kadar değişmeden kalacak. Zaten daha kolay.

Sol üst köşedeki ünite düzenlenmiştir. Şimdi bu yerlerde sıfır almanız gerekiyor:

Sıfırları “zor” bir dönüşüm kullanarak elde ederiz. İlk önce ikinci satırla ilgileniyoruz (2, –1, 3, 13). İlk pozisyonda sıfır almak için ne yapılması gerekiyor? Gerekiyor ikinci satıra ilk satırı –2 ile çarparak ekleyin. Zihinsel olarak veya taslakta ilk satırı –2 ile çarpın: (–2, –4, 2, –18). Ve sürekli olarak (yine zihinsel olarak veya taslak üzerinde) ekleme yapıyoruz, ikinci satıra zaten –2 ile çarpılmış olan ilk satırı ekliyoruz:

Sonucu ikinci satıra yazıyoruz:

Üçüncü satırı da aynı şekilde ele alıyoruz (3, 2, –5, –1). İlk pozisyonda sıfır almak için ihtiyacınız olan üçüncü satıra ilk satırı –3 ile çarparak ekleyin. Zihinsel olarak veya taslakta ilk satırı –3 ile çarpın: (–3, –6, 3, –27). VE üçüncü satıra ilk satırı –3 ile çarparak ekliyoruz:

Sonucu üçüncü satıra yazıyoruz:

Uygulamada bu eylemler genellikle sözlü olarak gerçekleştirilir ve tek adımda yazılır:

Her şeyi aynı anda ve aynı anda saymaya gerek yok. Hesaplamaların sırası ve sonuçların “yazılması” tutarlı ve genellikle şu şekildedir: önce ilk satırı yeniden yazarız ve yavaş yavaş kendimizi şişiririz - SÜREKLİ ve DİKKATLİCE:


Yukarıda hesaplamaların zihinsel sürecini zaten tartışmıştım.

Bu örnekte bunu yapmak kolaydır; ikinci satırı -5'e böleriz (çünkü oradaki tüm sayılar 5'e kalansız bölünebilir). Aynı zamanda üçüncü satırı -2'ye bölüyoruz çünkü sayılar ne kadar küçük olursa çözüm o kadar basit olur:

Temel dönüşümlerin son aşamasında, burada bir sıfır daha almanız gerekir:

Bunun için üçüncü satıra ikinci satırı –2 ile çarparak ekliyoruz:


Bu eylemi kendiniz anlamaya çalışın - ikinci satırı zihinsel olarak –2 ile çarpın ve ekleme işlemini gerçekleştirin.

Gerçekleştirilen son eylem, sonucun saç modelidir, üçüncü satırı 3'e bölün.

Temel dönüşümlerin bir sonucu olarak eşdeğer bir doğrusal denklem sistemi elde edildi:

Serin.

Şimdi Gauss yönteminin tersi devreye giriyor. Denklemler aşağıdan yukarıya doğru “gevşemektedir”.

Üçüncü denklemde zaten hazır bir sonucumuz var:

İkinci denkleme bakalım: . "Zet"in anlamı zaten bilinmektedir, dolayısıyla:

Ve son olarak ilk denklem: . "Igrek" ve "zet" biliniyor, bu sadece küçük şeyler meselesi:

Cevap:

Tekrar tekrar belirtildiği gibi, herhangi bir denklem sistemi için bulunan çözümü kontrol etmek mümkün ve gereklidir, neyse ki bu kolay ve hızlıdır.

Örnek 2

Bu, bağımsız bir çözüm örneği, nihai tasarımın bir örneği ve dersin sonunda bir cevaptır.

Şunu belirtmek gerekir ki kararın ilerlemesi karar sürecimle örtüşmeyebilir, ve bu Gauss yönteminin bir özelliğidir. Ama cevaplar aynı olmalı!

Örnek 3

Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözme

Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu adım adım forma getirelim:

Sol üstteki “adıma” bakıyoruz. Orada bir tane olmalı. Sorun şu ki, ilk sütunda hiç birim yok, dolayısıyla satırları yeniden düzenlemek hiçbir şeyi çözmeyecek. Bu gibi durumlarda ünitenin temel bir dönüşüm kullanılarak düzenlenmesi gerekir. Bu genellikle birkaç yolla yapılabilir. Bunu yaptım:
(1) İlk satıra ikinci satırı -1 ile çarparak ekliyoruz. Yani ikinci satırı zihinsel olarak -1 ile çarpıp birinci ve ikinci satırları ekledik, ikinci satır değişmedi.

Şimdi sol üstte “eksi bir” var ki bu da bize çok yakışıyor. +1 almak isteyen herkes ek bir hareket yapabilir: İlk satırı –1 ile çarpın (işaretini değiştirin).

(2) Birinci satırın 5 ile çarpılması ikinci satıra eklendi. İlk satırın 3 ile çarpılması üçüncü satıra eklendi.

(3) İlk satır -1 ile çarpılmıştır, prensip olarak bu güzellik içindir. Üçüncü satırın işareti de değiştirilerek ikinci sıraya taşındı, böylece ikinci “adım”da gerekli üniteye sahip olduk.

(4) İkinci satır üçüncü satıra 2 ile çarpılarak eklendi.

(5) Üçüncü satır 3'e bölündü.

Hesaplamalarda bir hata olduğunu (daha nadiren bir yazım hatası) gösteren kötü bir işaret, "kötü" bir sonuçtur. Yani, eğer aşağıda , gibi bir şey varsa ve buna göre, , o zaman yüksek bir olasılıkla temel dönüşümler sırasında bir hata yapıldığını söyleyebiliriz.

Biz bunun tersini uyguluyoruz, örneklerin tasarımında genellikle sistemin kendisini yeniden yazmıyorlar, ancak denklemler "doğrudan verilen matristen alınıyor." Size hatırlatırım, ters vuruş aşağıdan yukarıya doğru çalışır. Evet, işte bir hediye:

Cevap: .

Örnek 4

Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözme

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir, biraz daha karmaşıktır. Birisinin kafası karışırsa sorun olmaz. Dersin sonunda tam çözüm ve örnek tasarım. Sizin çözümünüz benim çözümümden farklı olabilir.

Son bölümde Gauss algoritmasının bazı özelliklerine bakacağız.
İlk özellik bazen sistem denklemlerinde bazı değişkenlerin eksik olmasıdır, örneğin:

Genişletilmiş sistem matrisi nasıl doğru şekilde yazılır? Derste bu noktadan zaten bahsetmiştim. Cramer kuralı. Matris yöntemi. Sistemin genişletilmiş matrisinde eksik değişkenlerin yerine sıfırları koyarız:

Bu arada, bu oldukça kolay bir örnek, çünkü ilk sütunda zaten bir sıfır var ve gerçekleştirilecek daha az temel dönüşüm var.

İkinci özellik şudur. Ele alınan tüm örneklerde “adımlara” –1 veya +1 yerleştirdik. Orada başka numaralar olabilir mi? Bazı durumlarda bunu yapabilirler. Sistemi düşünün: .

Burada sol üst “adım”da iki tane var. Ancak ilk sütundaki tüm sayıların 2'ye kalansız bölünebildiğini, diğerinin ise iki ve altı olduğunu fark ediyoruz. Ve sol üstteki ikisi bize yakışacak! İlk adımda aşağıdaki dönüşümleri yapmanız gerekir: ilk satırı –1 ile çarparak ikinci satıra ekleyin; üçüncü satıra ilk satırı –3 ile çarparak ekleyin. Bu şekilde ilk sütunda gerekli sıfırları alacağız.

Veya başka bir geleneksel örnek: . Burada ikinci “adım”daki üç de bize uyar, çünkü 12 (sıfır almamız gereken yer) 3'e kalansız bölünebilir. Aşağıdaki dönüşümü gerçekleştirmek gerekir: ikinci satırı üçüncü satıra -4 ile çarparak ekleyin, bunun sonucunda ihtiyacımız olan sıfır elde edilecektir.

Gauss'un yöntemi evrenseldir ancak bir özelliği vardır. Sistemleri tam anlamıyla ilk seferde diğer yöntemleri (Cramer yöntemi, matris yöntemi) kullanarak çözmeyi güvenle öğrenebilirsiniz - çok katı bir algoritmaları vardır. Ancak Gauss yöntemine güvenebilmek için bu konuda iyi olmanız ve en az 5-10 sistemi çözmeniz gerekiyor. Bu nedenle ilk başta hesaplamalarda karışıklıklar ve hatalar olabilir ve bunda olağandışı veya trajik bir şey yoktur.

Pencerenin dışında yağmurlu bir sonbahar havası... Bu nedenle, kendi başına çözmek için daha karmaşık bir örnek isteyen herkes için:

Örnek 5

Dört bilinmeyenli dört doğrusal denklem sistemini Gauss yöntemini kullanarak çözün.

Böyle bir görev pratikte o kadar da nadir değildir. Bu sayfayı iyice inceleyen bir çaydanlığın bile böyle bir sistemi sezgisel olarak çözme algoritmasını anlayacağını düşünüyorum. Temelde her şey aynı; yalnızca daha fazla eylem var.

Sistemin çözümünün olmadığı (tutarsız) veya sonsuz sayıda çözümün olduğu durumlar Uyumsuz sistemler ve genel çözümü olan sistemler dersinde tartışılmaktadır. Burada Gauss yönteminin dikkate alınan algoritmasını düzeltebilirsiniz.

Size başarılar diliyorum!

Çözümler ve cevaplar:

Örnek 2: Çözüm : Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu adım adım forma getirelim.


Gerçekleştirilen temel dönüşümler:
(1) Birinci satır ikinci satıra –2 ile çarpılarak eklendi. Birinci satır üçüncü satıra -1 ile çarpılarak eklendi. Dikkat! Burada birinciyi üçüncü satırdan çıkarmak isteyebilirsiniz; bunu çıkarmamanızı şiddetle tavsiye ederim - hata riski büyük ölçüde artar. Sadece katlayın!
(2) İkinci satırın işareti değiştirildi (-1 ile çarpıldı). İkinci ve üçüncü satırlar değiştirildi. lütfen aklınızda bulundurun, "adımlarda" sadece bir tanesinden değil, aynı zamanda -1'den de memnunuz ki bu daha da uygun.
(3) İkinci satır üçüncü satıra 5 ile çarpılarak eklendi.
(4) İkinci satırın işareti değiştirildi (-1 ile çarpıldı). Üçüncü satır 14'e bölündü.

Tersi:

Cevap: .

Örnek 4: Çözüm : Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu adım adım forma getirelim:

Gerçekleştirilen dönüşümler:
(1) Birinci satıra ikinci satır eklendi. Böylece sol üstteki “basamak”ta istenilen ünite düzenlenmiştir.
(2) İlk satırın 7 ile çarpılması ikinci satıra eklendi. İlk satırın 6 ile çarpılması üçüncü satıra eklendi.

İkinci “adım”la her şey daha da kötüye gidiyor , bunun için "adaylar" 17 ve 23 sayılarıdır ve bizim ya bir ya da -1'e ihtiyacımız var. Dönüşümler (3) ve (4) istenen birimin elde edilmesini amaçlayacaktır.

(3) İkinci satır üçüncü satıra –1 ile çarpılarak eklendi.
(4) Üçüncü satır, ikinci satıra -3 ile çarpılarak eklendi.
(3) İkinci satır üçüncü satıra 4 ile çarpılarak eklenir. İkinci satır ise –1 ile çarpılarak dördüncü satıra eklenir.
(4) İkinci satırın işareti değiştirildi. Dördüncü satır 3'e bölünerek üçüncü satırın yerine yerleştirildi.
(5) Üçüncü satır dördüncü satıra –5 ile çarpılarak eklenir.

Tersi:

Gauss yöntemi, ünlü Alman matematikçi Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855) tarafından önerilmiştir ve SLAE'leri çözmek için en evrensel yöntemlerden biridir. Bu yöntemin özü, bilinmeyenlerin ardışık olarak ortadan kaldırılması yoluyla, belirli bir sistemin, verilen sisteme eşdeğer adım adım (özellikle üçgen) bir sisteme dönüştürülmesidir. Sorunun pratik çözümünde sistemin genişletilmiş matrisi, satırları üzerinde temel dönüşümler kullanılarak adımlı bir forma indirgenir. Daha sonra tüm bilinmeyenler aşağıdan yukarıya doğru sırayla bulunur.

Gauss yönteminin prensibi

Gauss yöntemi ileri (genişletilmiş matrisi adım biçimine indirgemek, yani ana köşegenin altında sıfırlar elde etmek) ve geri (genişletilmiş matrisin ana köşegeninin üstünde sıfırlar elde etmek) hareketleri içerir. İleriye doğru harekete Gauss yöntemi denir, geriye doğru harekete ise Gauss-Jordan yöntemi denir; bu, ilkinden yalnızca değişkenleri ortadan kaldırma sırası açısından farklılık gösterir.

Gauss yöntemi, üçten fazla doğrusal denklem içeren sistemlerin çözümü ve ikinci dereceden olmayan denklem sistemlerinin çözümü için idealdir (bu, Cramer yöntemi ve matris yöntemi için söylenemez). Yani Gauss yöntemi, herhangi bir doğrusal denklem sistemine çözüm bulmak için en evrensel yöntemdir; sistemin sonsuz sayıda çözümü olduğu veya tutarsız olduğu durumlarda işe yarar.

Denklem sistemlerini çözme örnekleri

Örnek

Egzersiz yapmak. SLAE'yi Gauss yöntemini kullanarak çözün.

Çözüm. Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve satırlarındaki temel dönüşümleri kullanarak bu matrisi kademeli bir forma getirelim (ileri hareket) ve ardından Gauss yönteminin ters hareketini gerçekleştirelim (sıfırları ana köşegenin üzerine koyalım). Öncelikle birinci ve ikinci satırları eleman 1 olacak şekilde değiştirelim (bunu hesaplamaları basitleştirmek için yapıyoruz):

Üçüncü satırın tüm elemanlarını ikiye böleriz (veya aynı olanla çarparız):

Üçüncü satırdan ikinciyi 3 ile çarparak çıkarıyoruz:

Üçüncü satırı ile çarparsak şunu elde ederiz:

Şimdi Gauss yönteminin (Gassou-Jordan yöntemi) tersini gerçekleştirelim, yani ana köşegenin üzerine sıfırlar koyalım.