Düzenli dikdörtgenler prizması. Bölüm III Soruları

Tanım. Prizma tüm köşeleri iki paralel düzlemde bulunan bir çokyüzlüdür ve bu aynı iki düzlemde prizmanın iki yüzü bulunur, bunlar karşılık gelen paralel kenarlara sahip eşit çokgenlerdir ve bu düzlemlerde yer almayan tüm kenarlar paraleldir.

İki eşit yüze denir prizma üsleri(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Prizmanın diğer tüm yüzlerine denir yan yüzler(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Tüm yan yüzler oluşur prizmanın yan yüzeyi .

Prizmanın tüm yan yüzleri paralelkenardır .

Tabanlarda yer almayan kenarlara prizmanın yan kenarları denir ( AA 1, BB 1, CC 1, GG 1, EE 1).

Prizma diyagonal uçları bir prizmanın aynı yüzünde yer almayan iki köşesi olan bir segmenttir (MS 1).

Prizmanın tabanlarını birleştiren ve her iki tabana aynı anda dik olan doğru parçasının uzunluğuna ne ad verilir? prizma yüksekliği .

Tanım:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Önce çaprazlama sırasına göre bir tabanın köşeleri gösterilir ve ardından aynı sırayla diğerinin köşeleri gösterilir; her bir yan kenarın uçları aynı harflerle gösterilir, yalnızca bir tabanda yer alan köşeler indekssiz harflerle ve diğerinde - indeksli)

Prizmanın adı, tabanındaki şekildeki açıların sayısıyla ilişkilidir, örneğin Şekil 1'de tabanda bir beşgen vardır, dolayısıyla prizmaya denir beşgen prizma. Ama çünkü böyle bir prizmanın 7 yüzü vardır, o zaman yediyüzlü(2 yüz - prizmanın tabanları, 5 yüz - paralelkenarlar, - yan yüzleri)

Düz prizmalar arasında göze çarpıyor özel görünüm: doğru prizmalar.

Düz prizmaya denir doğru, tabanları düzgün çokgenler ise.

Paralel borulu

Dikdörtgen paralel yüzlü - tabanı dikdörtgen olan sağ paralel yüzlü.

Özellikler ve teoremler:

,

burada d karenin köşegenidir;
a karenin kenarıdır.

Bir prizma fikri şu şekilde verilir:

• çeşitli mimari yapılar;
• çocuk oyuncakları;
• ambalaj kutuları;
• tasarımcı öğeleri vb.

Prizmanın toplam ve yan yüzeyinin alanı

S dolu = S tarafı + 2S ana,

Nerede S dolu- toplam yüzey alanı, S tarafı-yan yüzey alanı, S tabanı- üs alanı

Düz bir prizmanın yan yüzey alanı, tabanın çevresi ile prizmanın yüksekliğinin çarpımına eşittir..

S tarafı= P temel * h,

Nerede S tarafı-düz bir prizmanın yan yüzeyinin alanı,

P ana - düz bir prizmanın tabanının çevresi,

h, düz prizmanın yan kenara eşit yüksekliğidir.

Prizma hacmi

Prizmanın hacmi taban alanı ile yüksekliğin çarpımına eşittir.

“A Alın” video kursu matematikte Birleşik Devlet Sınavını 60-65 puanla başarıyla geçmek için gerekli tüm konuları içerir. Tamamen tüm problemler 1-13 Profil Birleşik Devlet Sınavı matematikte. Ayrıca matematikte Temel Birleşik Devlet Sınavını geçmek için de uygundur. Birleşik Devlet Sınavını 90-100 puanla geçmek istiyorsanız 1. bölümü 30 dakikada ve hatasız çözmeniz gerekiyor!

10-11. Sınıflar ve öğretmenler için Birleşik Devlet Sınavına hazırlık kursu. Matematikte Birleşik Devlet Sınavının 1. Bölümünü (ilk 12 problem) ve Problem 13'ü (trigonometri) çözmek için ihtiyacınız olan her şey. Ve bu, Birleşik Devlet Sınavında 70 puandan fazla ve ne 100 puanlık bir öğrenci ne de beşeri bilimler öğrencisi onlarsız yapamaz.

Gerekli tüm teori. Hızlı yollar Birleşik Devlet Sınavının çözümleri, tuzakları ve sırları. FIPI Görev Bankası'nın 1. bölümünün tüm mevcut görevleri analiz edildi. Kurs, Birleşik Devlet Sınavı 2018'in gerekliliklerine tamamen uygundur.

Kurs, her biri 2,5 saat olmak üzere 5 büyük konu içermektedir. Her konu sıfırdan, basit ve net bir şekilde verilmektedir.

Yüzlerce Birleşik Devlet Sınavı görevi. Sözlü problemler ve olasılık teorisi. Sorunları çözmek için basit ve hatırlanması kolay algoritmalar. Geometri. Teori, referans materyali, her türlü Birleşik Devlet Sınavı görevinin analizi. Stereometri. Zor çözümler, faydalı kopyalar, mekansal hayal gücünün gelişimi. Sıfırdan probleme trigonometri 13. Sıkıştırmak yerine anlamak. Görsel açıklama karmaşık kavramlar. Cebir. Kökler, kuvvetler ve logaritmalar, fonksiyon ve türev. Çözümün temeli karmaşık görevler Birleşik Devlet Sınavının 2 bölümü.

Düz prizma hakkında genel bilgi

Bir prizmanın yan yüzeyine (daha kesin olarak yan yüzey alanına) denir. toplam yan yüzlerin alanları. Prizmanın toplam yüzeyi, yan yüzey ve taban alanlarının toplamına eşittir.

Teorem 19.1. Yan yüzey prizmanın düz çizgisi, tabanın çevresi ile prizmanın yüksekliğinin, yani yan kenarın uzunluğunun çarpımına eşittir.

Kanıt. Düz prizmanın yan yüzleri dikdörtgendir. Bu dikdörtgenlerin tabanları prizmanın tabanında yer alan çokgenin kenarları olup, yükseklikleri de yan kenarların uzunluğuna eşittir. Prizmanın yan yüzeyinin şuna eşit olduğu sonucu çıkar:

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

burada a 1 ve n taban kenarlarının uzunluklarıdır, p prizmanın tabanının çevresidir ve I yan kenarların uzunluğudur. Teorem kanıtlandı.

Pratik görev

Sorun (22) . Eğik bir prizmada gerçekleştirilir bölüm, yan kaburgalara dik ve tüm yan kaburgaları kesen. Kesitin çevresi p'ye ve yan kenarları l'ye eşitse prizmanın yan yüzeyini bulun.

Çözüm. Çizilen bölümün düzlemi prizmayı iki parçaya böler (Şekil 411). Bunlardan birini prizmanın tabanlarını birleştirerek paralel çeviriye tabi tutalım. Bu durumda tabanı orijinal prizmanın kesiti olan ve yan kenarları l'ye eşit olan düz bir prizma elde ederiz. Bu prizma orijinaliyle aynı yan yüzeye sahiptir. Böylece orijinal prizmanın yan yüzeyi pl'ye eşittir.

İşlenen konunun özeti

Şimdi prizmalarla ilgili ele aldığımız konuyu özetlemeye çalışalım ve prizmanın hangi özelliklere sahip olduğunu hatırlayalım.

Prizma özellikleri

İlk olarak, bir prizmanın tüm tabanları eşit çokgenlerden oluşur;
İkincisi, bir prizmanın tüm yan yüzleri paralelkenardır;
Üçüncüsü, prizma gibi çok yönlü bir figürde tüm yan kenarlar eşittir;

Ayrıca prizma gibi çokyüzlülerin düz veya eğimli olabileceği de unutulmamalıdır.

Hangi prizmaya düz prizma denir?

Bir prizmanın yan kenarı tabanının düzlemine dik olarak yerleştirilmişse, böyle bir prizmaya düz prizma denir.

Düz bir prizmanın yan yüzlerinin dikdörtgen olduğunu hatırlamak gereksiz olmayacaktır.

Hangi tür prizmaya eğik denir?

Ancak bir prizmanın yan kenarı taban düzlemine dik değilse, bunun eğimli bir prizma olduğunu rahatlıkla söyleyebiliriz.

Hangi prizmaya doğru denir?

Düz bir prizmanın tabanında düzgün bir çokgen bulunuyorsa, o zaman böyle bir prizma düzenlidir.

Şimdi normal prizmanın sahip olduğu özellikleri hatırlayalım.

Düzenli bir prizmanın özellikleri

İlk olarak, düzenli çokgenler her zaman düzenli bir prizmanın tabanları olarak hizmet eder;
İkincisi, düzgün bir prizmanın yan yüzlerini düşünürsek, bunlar her zaman eşit dikdörtgenlerdir;
Üçüncüsü, yan kaburgaların boyutlarını karşılaştırırsanız, normal bir prizmada bunlar her zaman eşittir.
Dördüncüsü, doğru bir prizma her zaman düzdür;
Beşinci olarak, eğer normal bir prizmada yan yüzler kare şeklindeyse, böyle bir şekle genellikle yarı düzenli çokgen denir.

Prizma kesiti

Şimdi prizmanın kesitine bakalım:

Ev ödevi

Şimdi öğrendiğimiz konuyu problem çözerek pekiştirmeye çalışalım.

Eğik bir üçgen prizma çizelim, kenarları arasındaki mesafe 3 cm, 4 cm ve 5 cm olacak ve bu prizmanın yan yüzeyi 60 cm2 olacaktır. Bu parametrelere sahip olarak bu prizmanın yan kenarını bulun.

bunu biliyor musun geometrik şekiller Sadece geometri derslerinde değil, aynı zamanda sürekli olarak bizi çevreliyor günlük yaşam Bir veya başka bir geometrik şekle benzeyen nesneler var.

Evde, okulda, iş yerinde herkesin sistem birimi düz prizma şeklinde olan bir bilgisayarı vardır.

Basit bir kalem alırsanız kalemin ana kısmının prizma olduğunu göreceksiniz.

Şehrin merkezi caddesinde yürürken ayaklarımızın altında altıgen prizma şeklindeki bir kiremitin yattığını görüyoruz.

A. V. Pogorelov, 7-11. Sınıflar için Geometri, Eğitim kurumları için ders kitabı

Çokyüzlüler

Stereometri çalışmasının ana amacı mekansal cisimlerdir. Vücut belirli bir yüzeyle sınırlı uzayın bir bölümünü temsil eder.

Çokyüzlü yüzeyi sonlu sayıda düz çokgenden oluşan bir cisimdir. Bir çokyüzlü, yüzeyindeki her düzlem çokgenin düzleminin bir tarafında yer alıyorsa dışbükey olarak adlandırılır. Böyle bir düzlemin ve bir çokyüzlünün yüzeyinin ortak kısmına denir. kenar. Dışbükey bir çokyüzlünün yüzleri düz dışbükey çokgenlerdir. Yüzlerin kenarlarına denir çokyüzlünün kenarları ve köşeler çokyüzlünün köşeleri.

Örneğin bir küp, yüzleri olan altı kareden oluşur. 12 kenar (karelerin kenarları) ve 8 köşe (karelerin üst kısımları) içerir.

En basit çokyüzlüler, daha fazla inceleyeceğimiz prizmalar ve piramitlerdir.

Prizma

Prizmanın tanımı ve özellikleri

Prizma paralel öteleme ile birleştirilen paralel düzlemlerde uzanan iki düz çokgenden ve bu çokgenlerin karşılık gelen noktalarını birleştiren tüm bölümlerden oluşan bir çokyüzlüdür. Çokgenlere denir prizma üsleri ve çokgenlerin karşılık gelen köşelerini birleştiren bölümler prizmanın yan kenarları.

Prizma yüksekliği tabanlarının düzlemleri arasındaki mesafeye denir (). Bir prizmanın aynı yüze ait olmayan iki köşesini birleştiren doğru parçasına ne ad verilir? prizma diyagonal(). Prizma denir n-karbon, eğer tabanı bir n-gon içeriyorsa.

Herhangi bir prizma, prizmanın tabanlarının paralel öteleme ile birleştirilmesinden kaynaklanan aşağıdaki özelliklere sahiptir:

1. Prizmanın tabanları eşittir.

2. Prizmanın yan kenarları paralel ve eşittir.

Prizmanın yüzeyi tabanlardan oluşur ve yan yüzey. Prizmanın yan yüzeyi paralelkenarlardan oluşur (bu prizmanın özelliklerinden kaynaklanır). Bir prizmanın yan yüzeyinin alanı, yan yüzlerin alanlarının toplamıdır.

Düz prizma

Prizma denir doğrudan yan kenarları tabanlara dik ise. Aksi takdirde prizma denir eğimli.

Dik prizmanın yüzleri dikdörtgendir. Düz prizmanın yüksekliği yan yüzlerine eşittir.

Tam prizma yüzeyi yan yüzey alanı ile taban alanlarının toplamına denir.

Doğru prizma ile tabanında düzgün bir çokgen bulunan dik prizma denir.

Teorem 13.1. Düz bir prizmanın yan yüzeyinin alanı, çevrenin çarpımına ve prizmanın yüksekliğine (veya aynı olan yan kenara) eşittir.

Kanıt. Sağ prizmanın yan yüzleri dikdörtgenlerdir; tabanları prizmanın tabanlarındaki çokgenlerin kenarlarıdır ve yükseklikleri prizmanın yan kenarlarıdır. O halde tanım gereği yan yüzey alanı şöyledir:

,

düz prizmanın tabanının çevresi nerede?

Paralel borulu

Paralelkenarlar prizmanın tabanlarında bulunuyorsa buna denir. paralel yüzlü. Paralelkenarın tüm yüzleri paralelkenardır. Bu durumda paralel yüzün karşıt yüzleri paralel ve eşittir.

Teorem 13.2. Paralel borunun köşegenleri bir noktada kesişir ve kesişme noktasıyla ikiye bölünür.

Kanıt. Örneğin iki keyfi köşegen düşünün ve . Çünkü bir paralelyüzün yüzleri paralelkenardır, o zaman ve , bu da To'ya göre üçüncüye paralel iki düz çizgi olduğu anlamına gelir. Ayrıca bu, düz doğruların ve aynı düzlemde (düzlem) yer aldığı anlamına gelir. Bu düzlem paralel düzlemlerle ve paralel doğrular boyunca kesişir ve . Dolayısıyla, bir dörtgen bir paralelkenardır ve paralelkenarın özelliği gereği köşegenleri kesişir ve kesişme noktası tarafından ikiye bölünür ki bunun kanıtlanması gerekiyordu.

Tabanı dikdörtgen olan dik paralelyüzlüye denir dikdörtgen paralel yüzlü. Dikdörtgen paralel borunun tüm yüzleri dikdörtgendir. Dikdörtgen bir paralel borunun paralel olmayan kenarlarının uzunluklarına doğrusal boyutları (boyutları) denir. Bu tür üç boyut vardır (genişlik, yükseklik, uzunluk).

Teorem 13.3. Dikdörtgen bir paralel boruda herhangi bir köşegenin karesi, üç boyutunun karelerinin toplamına eşittir. (Pisagor T'nin iki kez uygulanmasıyla kanıtlanmıştır).

Tüm kenarları eşit olan dikdörtgen paralelyüzlüye ne ad verilir? küp.

Görevler

13.1 Kaç tane köşegeni var? N-karbon prizması

13.2 Eğik bir üçgen prizmada yan kenarlar arasındaki mesafeler 37, 13 ve 40'tır. Büyük kenar ile karşı kenar arasındaki mesafeyi bulun.

13.3 Doğru tabanın alt tabanının yanından üçgen prizma Aralarındaki açı 0 olan bölümler boyunca yan yüzleri kesen bir düzlem çizilir. Bu düzlemin prizmanın tabanına olan eğim açısını bulun.

Farklı prizmalar birbirinden farklıdır. Aynı zamanda pek çok ortak noktaları var. Prizmanın tabanının alanını bulmak için ne tür olduğunu anlamanız gerekir.

Genel teori

Prizma, kenarları paralelkenar şeklinde olan herhangi bir çokyüzlüdür. Dahası, tabanı üçgenden n-gon'a kadar herhangi bir çokyüzlü olabilir. Üstelik prizmanın tabanları her zaman birbirine eşittir. Yan yüzler için geçerli olmayan şey, boyutlarının önemli ölçüde değişebilmesidir.

Problemleri çözerken sadece prizmanın taban alanıyla karşılaşılmaz. Yan yüzeyin yani taban olmayan tüm yüzlerin bilinmesini gerektirebilir. Tam yüzey, prizmayı oluşturan tüm yüzlerin birleşimi olacaktır.

Bazen sorunlar yükseklikle ilgilidir. Tabanlara diktir. Bir çokyüzlünün köşegeni, aynı yüze ait olmayan herhangi iki köşeyi çiftler halinde birleştiren bir segmenttir.

Düz veya eğimli bir prizmanın taban alanının, yan yüzler ile aralarındaki açıya bağlı olmadığı unutulmamalıdır. Üst ve alt yüzleri aynı rakamlara sahipse alanları eşit olacaktır.

Üçgen prizma

Tabanında üç köşeli bir şekil, yani bir üçgen vardır. Bildiğiniz gibi farklı olabilir. Eğer öyleyse, alanının bacakların çarpımının yarısı kadar belirlendiğini hatırlamak yeterlidir.

Matematiksel gösterim şuna benzer: S = ½ av.

Tabanın alanını bulmak için genel görünüm formüller işinize yarayacaktır: Balıkçıl ve kenarın yarısının kendisine çizilen yüksekliğe alındığı formül.

İlk formül şu şekilde yazılmalıdır: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Bu gösterim bir yarı-çevre (p), yani üç kenarın toplamının ikiye bölünmesiyle elde edilir.

İkincisi: S = ½ n a * a.

Düzenli olan bir üçgen prizmanın tabanının alanını bulmak istiyorsanız, üçgenin eşkenar olduğu ortaya çıkar. Bunun bir formülü var: S = ¼ a 2 * √3.

Dörtgen prizma

Tabanı bilinen dörtgenlerden herhangi biridir. Dikdörtgen veya kare, paralel yüzlü veya eşkenar dörtgen olabilir. Her durumda prizmanın tabanının alanını hesaplamak için kendi formülünüze ihtiyacınız olacak.

Taban bir dikdörtgen ise alanı şu şekilde belirlenir: S = ab, burada a, b dikdörtgenin kenarlarıdır.

Ne zaman hakkında konuşuyoruz dörtgen bir prizma hakkında, daha sonra normal bir prizmanın tabanının alanı, kare formülü kullanılarak hesaplanır. Çünkü temelde yatan odur. S = a 2.

Tabanın paralel boru olması durumunda aşağıdaki eşitliğe ihtiyaç duyulacaktır: S = a * n a. Paralel yüzün tarafı ve açılardan biri verilir. Daha sonra yüksekliği hesaplamak için ek bir formül kullanmanız gerekecektir: n a = b * sin A. Üstelik A açısı “b” kenarına bitişiktir ve n yüksekliği bu açının karşısındadır.

Prizmanın tabanında bir eşkenar dörtgen varsa, o zaman alanını belirlemek için paralelkenarla aynı formüle ihtiyacınız olacaktır (çünkü bu onun özel bir durumudur). Ancak şunu da kullanabilirsiniz: S = ½ d 1 d 2. Burada d 1 ve d 2 eşkenar dörtgenin iki köşegenidir.

Düzenli beşgen prizma

Bu durum, çokgeni, alanlarını bulmanın daha kolay olduğu üçgenlere bölmeyi içerir. Her ne kadar rakamlar farklı sayıda köşeye sahip olsa da.

Prizmanın tabanı düzgün bir beşgen olduğundan beş eşkenar üçgene bölünebilir. Daha sonra prizmanın tabanının alanı, böyle bir üçgenin alanına eşittir (formül yukarıda görülebilir), beş ile çarpılır.

Düzenli altıgen prizma

Beşgen prizma için anlatılan prensibe göre tabandaki altıgeni 6 eşkenar üçgene bölmek mümkündür. Böyle bir prizmanın taban alanı formülü öncekine benzer. Sadece altıyla çarpılmalıdır.

Formül şu şekilde görünecektir: S = 3/2 a 2 * √3.

Görevler

No. 1. Düzenli bir düz çizgi verildiğinde, köşegeni 22 cm, çokyüzlünün yüksekliği 14 cm'dir. Prizmanın tabanının ve tüm yüzeyin alanını hesaplayın.

Çözüm. Prizmanın tabanı karedir ancak kenarı bilinmemektedir. Değerini prizmanın köşegeni (d) ve yüksekliği (h) ile ilişkili olan karenin köşegeninden (x) bulabilirsiniz. x2 = d2 - n2. Öte yandan bu “x” parçası, kenarları karenin kenarına eşit olan bir üçgenin hipotenüsüdür. Yani x 2 = a 2 + a 2. Böylece a 2 = (d 2 - n 2)/2 olduğu ortaya çıkar.

D yerine 22 sayısını değiştirin ve "n" değerini - 14 ile değiştirin, karenin kenarının 12 cm olduğu ortaya çıkıyor. Şimdi sadece tabanın alanını bulun: 12 * 12 = 144 cm. 2.

Tüm yüzeyin alanını bulmak için taban alanının iki katını ve yan alanın dört katını eklemeniz gerekir. İkincisi, bir dikdörtgen formülü kullanılarak kolayca bulunabilir: çokyüzlünün yüksekliğini ve tabanın yan tarafını çarpın. Yani 14 ve 12, bu sayı 168 cm2'ye eşit olacaktır. Prizmanın toplam yüzey alanı 960 cm2 olarak ortaya çıkıyor.

Cevap. Prizmanın tabanının alanı 144 cm2'dir. Tüm yüzey 960 cm2'dir.

No. 2. Verilen Tabanda kenarı 6 cm olan bir üçgen vardır. Bu durumda yan yüzün köşegeni 10 cm'dir. Taban ve yan yüzey.

Çözüm. Prizma düzgün olduğundan tabanı eşkenar üçgendir. Bu nedenle alanı 6'nın karesine eşit, ¼ ile ve 3'ün karekökü ile çarpılır. Basit bir hesaplama şu sonuca yol açar: 9√3 cm2. Bu prizmanın bir tabanının alanıdır.

Tüm yan yüzler aynıdır ve kenarları 6 ve 10 cm olan dikdörtgenlerdir. Alanlarını hesaplamak için bu sayıları çarpmanız yeterlidir. Sonra bunları üçle çarpın çünkü prizmanın tam olarak bu kadar çok yan yüzü var. Daha sonra yaranın yan yüzeyinin alanı 180 cm2 olur.

Cevap. Alanlar: taban - 9√3 cm2, prizmanın yan yüzeyi - 180 cm2.