Rasyonel fonksiyonların (kesirler) entegrasyon örnekleri. Kesirli-rasyonel bir fonksiyonun integrali. Belirsiz katsayı yöntemi

“Tıpkı bir sanatçı veya şair gibi bir matematikçi de modeller yaratır. Ve eğer kalıpları daha istikrarlıysa, bu sadece fikirlerden oluştuğu içindir... Bir matematikçinin desenleri, tıpkı bir sanatçının veya bir şairin desenleri gibi, güzel olmalı; Renkler veya kelimeler gibi fikirlerin de birbiriyle uyumlu olması gerekir. Güzellik ilk şart: Dünyada çirkin matematiğe yer yok».

G.H.Hardy

Birinci bölümde, oldukça basit fonksiyonların artık ifade edilemeyen ters türevlerinin olduğu belirtilmişti. temel işlevler. Bu bağlamda, antitürevlerinin temel fonksiyonlar olduğunu doğru bir şekilde söyleyebileceğimiz fonksiyon sınıfları çok büyük pratik önem kazanır. Bu fonksiyon sınıfı şunları içerir: rasyonel fonksiyonlar, iki cebirsel polinomun oranını temsil eder. Birçok problem rasyonel kesirlerin entegrasyonuna yol açmaktadır. Bu nedenle bu tür fonksiyonları entegre edebilmek çok önemlidir.

2.1.1. Kesirli rasyonel fonksiyonlar

Rasyonel kesir(veya kesirli rasyonel fonksiyon) iki cebirsel polinomun ilişkisi olarak adlandırılır:

nerede ve polinomlardır.

Bunu hatırlayalım polinom (polinom, tüm rasyonel fonksiyon) Nderece formun bir fonksiyonu denir

Nerede - gerçek sayılar. Örneğin,

– birinci dereceden polinom;

– dördüncü dereceden polinom vb.

Rasyonel kesir (2.1.1) denir doğru, eğer derece, dereceden düşükse, yani. N<M aksi halde kesir denir yanlış.

Herhangi bir uygunsuz kesir, bir polinomun (tam kısım) ve uygun bir kesirin (kesirli kısım) toplamı olarak temsil edilebilir. Uygunsuz bir kesrin tam ve kesirli kısımlarının ayrılması, polinomları bir "köşe" ile bölme kuralına göre yapılabilir.

Örnek 2.1.1. Aşağıdaki uygunsuz rasyonel kesirlerin tam ve kesirli kısımlarını tanımlayın:

A) , B) .

Çözüm . a) “Köşe” bölme algoritmasını kullanarak şunu elde ederiz:

Böylece elde ederiz

.

b) Burada ayrıca “köşe” bölme algoritmasını kullanıyoruz:

Sonuç olarak şunu elde ederiz:

.

Özetleyelim. Genel durumda, rasyonel bir kesirin belirsiz integrali, polinomun ve uygun rasyonel kesrin integrallerinin toplamı olarak temsil edilebilir. Polinomların ters türevlerini bulmak zor değildir. Bu nedenle, aşağıda esas olarak uygun rasyonel kesirleri ele alacağız.

2.1.2. En basit rasyonel kesirler ve bunların entegrasyonu

Uygun rasyonel kesirler arasında dört tür vardır ve bunlar şu şekilde sınıflandırılır: en basit (temel) rasyonel kesirler:

bir tam sayı nerede, , yani ikinci dereceden üç terimli gerçek kökleri yoktur.

1. ve 2. türdeki basit kesirlerin entegrasyonu büyük zorluklar yaratmaz:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Şimdi 3. türdeki basit kesirlerin integralini ele alalım, ancak 4. türdeki kesirleri dikkate almayacağız.

Formun integralleriyle başlayalım

.

Bu integral genellikle paydanın tam karesinin ayrılmasıyla hesaplanır. Sonuç, aşağıdaki formun bir tablo integralidir

veya .

Örnek 2.1.2.İntegralleri bulun:

A) , B) .

Çözüm . a) İkinci dereceden bir üç terimliden tam bir kare seçin:

Buradan buluyoruz

b) İkinci dereceden bir üç terimliden tam bir kareyi izole ederek şunu elde ederiz:

Böylece,

.

İntegrali bulmak için

paydanın türevini payda izole edebilir ve integrali iki integralin toplamına genişletebilirsiniz: bunlardan ilki yerine koyma yoluyla görünüşe geliyor

,

ve ikincisi - yukarıda tartışılana.

Örnek 2.1.3.İntegralleri bulun:

.

Çözüm . dikkat et ki . Paydanın türevini payda izole edelim:

İlk integral ikame kullanılarak hesaplanır :

İkinci integralde paydadaki tam kareyi seçiyoruz

Sonunda elde ettik

2.1.3. Uygun rasyonel kesir açılımı
basit kesirlerin toplamı için

Herhangi bir uygun rasyonel kesir basit kesirlerin toplamı olarak benzersiz bir şekilde temsil edilebilir. Bunu yapmak için paydanın çarpanlara ayrılması gerekir. Yüksek cebirden, gerçek katsayılı her polinomun

Rasyonel fonksiyonların entegrasyonu Kesirli - rasyonel fonksiyon En basit rasyonel kesirler Rasyonel bir kesirin basit kesirlere ayrıştırılması Basit kesirlerin entegrasyonu Rasyonel kesirlerin entegrasyonu için genel kural

derece polinomu Kesirli - rasyonel fonksiyon Kesirli - rasyonel fonksiyon, iki polinomun oranına eşit bir fonksiyondur: Payın derecesi paydanın derecesinden küçükse, yani m rasyonel kesir olarak adlandırılır.< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Kesirli - rasyonel fonksiyon Uygunsuz bir kesri doğru forma indirgeyin: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

En basit rasyonel kesirler Formun uygun rasyonel kesirleri: Bunlara türlerin en basit rasyonel kesirleri denir. balta A); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Rasyonel bir kesirin basit kesirlere ayrıştırılması Teorem: Paydası çarpanlara ayrılmış herhangi bir uygun rasyonel kesir, ayrıca basit kesirlerin toplamı şeklinde benzersiz bir şekilde temsil edilebilir: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx)

Rasyonel bir kesirin basit kesirlere ayrıştırılması Teoremin formülasyonunu aşağıdaki örnekleri kullanarak açıklayalım: A, B, C, D... belirsiz katsayılarını bulmak için iki yöntem kullanılır: katsayıları karşılaştırma yöntemi ve yöntem. bir değişkenin kısmi değerleri. Bir örnek kullanarak ilk yönteme bakalım. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x

Rasyonel bir kesrin basit kesirlere ayrıştırılması Kesri basit kesirlerin toplamı olarak gösterin: En basit kesirleri ortak bir paydaya getirelim Ortaya çıkan kesirlerin paylarını orijinal kesirlere eşitleyin Katsayıları aynı kuvvetlere eşitleyin x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x.CBxxx.A 33252 222 xx.CBx.Cx.Bx.AAx.Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

En basit kesirlerin integrali En basit rasyonel kesirlerin integrallerini bulalım: Bir örnek kullanarak tip 3 kesirlerin integraline bakalım. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Basit kesirlerin integralidx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 322 t dtt 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arktgt 33 2 9 ln 2 32 C x arktgxx 3 1 3 2 102 ln

Basit kesirlerin integrali Yer değiştirme kullanılarak bu tür bir integral: iki integralin toplamına indirgenir: İlk integral, diferansiyel işaretinin altına t getirilerek hesaplanır. İkinci integral şu ​​yineleme formülü kullanılarak hesaplanır: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk dt'de N dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Basit kesirlerin integrali a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t t C t t tarctg 222)1 (4)1(

Rasyonel kesirlerin integrali için genel kural Kesir uygunsuzsa, bunu bir polinom ve uygun kesirin toplamı olarak gösterin. Uygun bir rasyonel kesirin paydasını çarpanlara ayırdıktan sonra, onu belirsiz katsayılı basit kesirlerin toplamı olarak temsil edin. Katsayıları karşılaştırma yöntemiyle veya bir değişkenin kısmi değerleri yöntemiyle belirsiz katsayıları bulun. Polinomu ve elde edilen basit kesirlerin toplamını entegre edin.

Örnek Kesri doğru forma koyalım. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 2 2 2 48 52 5 xxx 5105 23 48 2 x

Örnek Uygun bir kesrin paydasını çarpanlara ayıralım Kesri basit kesirlerin toplamı olarak gösterelim xxx xx değişkeninin kısmi değerleri yöntemini kullanarak belirlenmemiş katsayıları bulalım 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2) )1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

Örnek dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

KONU: Rasyonel kesirlerin integrali.

Dikkat! Temel entegrasyon yöntemlerinden biri olan rasyonel kesirlerin integralini incelerken, kesin kanıtları gerçekleştirmek için karmaşık alandaki polinomları dikkate almak gerekir. Bu nedenle gerekli önceden çalış Karmaşık sayıların bazı özellikleri ve bunlarla ilgili işlemler.

Basit rasyonel kesirlerin integrali.

Eğer P(z) Ve Q(z) karmaşık alandaki polinomlar ise rasyonel kesirlerdir. denir doğru, eğer derece P(z) daha az derece Q(z) , Ve yanlış, eğer derece R bir dereceden az değil Q.

Herhangi bir uygunsuz kesir şu şekilde temsil edilebilir: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

A R(z) – derecesi dereceden küçük olan polinom Q(z).

Dolayısıyla rasyonel kesirlerin entegrasyonu, polinomların, yani kuvvet fonksiyonlarının ve uygun kesirlerin entegrasyonuna iner, çünkü bu bir uygun kesirdir.

Tanım 5. En basit (veya temel) kesirler aşağıdaki kesir türleridir:

1) , 2) , 3) , 4) .

Nasıl entegre olduklarını öğrenelim.

3) (daha önce okuduk).

Teorem 5. Her uygun kesir, basit kesirlerin toplamı olarak temsil edilebilir (kanıt olmadan).

Sonuç 1. Eğer uygun bir rasyonel kesir ise ve polinomun kökleri arasında yalnızca basit gerçek kökler varsa, o zaman kesirin basit kesirlerin toplamına ayrıştırılmasında yalnızca 1. türden basit kesirler olacaktır:

Örnek 1.

Sonuç 2. Eğer uygun bir rasyonel kesir ise ve polinomun kökleri arasında yalnızca birden fazla gerçek kök varsa, o zaman kesirin basit kesirlerin toplamına ayrıştırılmasında yalnızca 1. ve 2. türlerin basit kesirleri olacaktır. :

Örnek 2.

Sonuç 3. Eğer uygun bir rasyonel kesir ise ve polinomun kökleri arasında yalnızca basit karmaşık eşlenik kökler varsa, o zaman kesirin basit kesirlerin toplamına ayrıştırılmasında yalnızca 3. türden basit kesirler olacaktır:

Örnek 3.

Sonuç 4. Eğer uygun bir rasyonel kesir ise ve polinomun kökleri arasında yalnızca birden fazla karmaşık eşlenik kök varsa, o zaman kesirin basit kesirlerin toplamına ayrıştırılmasında yalnızca 3. ve 4.'nün basit kesirleri olacaktır. türleri:

Verilen açılımlardaki bilinmeyen katsayıları belirlemek için aşağıdaki şekilde ilerleyin. Bilinmeyen katsayılar içeren açılımın sol ve sağ tarafları çarpılır. İki polinomun eşitliği elde edilir. Buradan, gerekli katsayılar için denklemler aşağıdakiler kullanılarak elde edilir:

1. Eşitlik X'in herhangi bir değeri için doğrudur (kısmi değer yöntemi). Bu durumda, herhangi bir m'nin bilinmeyen katsayıları bulmasına izin veren herhangi bir sayıda denklem elde edilir.

2. Katsayılar X'in aynı dereceleri için çakışır (belirsiz katsayılar yöntemi). Bu durumda, bilinmeyen katsayıların bulunduğu m - bilinmeyenli bir m - denklem sistemi elde edilir.

3. kombine yöntem.

Örnek 5. Bir kesri genişletin en basitine.

Çözüm:

A ve B katsayılarını bulalım.

Yöntem 1 - özel değer yöntemi:

Yöntem 2 – belirlenmemiş katsayılar yöntemi:

Cevap:

Rasyonel kesirlerin integrali.

Teorem 6. Herhangi bir rasyonel kesirin, paydasının sıfıra eşit olmadığı herhangi bir aralıktaki belirsiz integrali mevcuttur ve temel işlevler, yani rasyonel kesirler, logaritmalar ve arktanjantlar aracılığıyla ifade edilir.

Kanıt.

Şu formda rasyonel bir kesir hayal edelim: . Bu durumda son terim bir öz kesirdir ve Teorem 5'e göre basit kesirlerin doğrusal bir kombinasyonu olarak gösterilebilir. Böylece rasyonel bir kesrin entegrasyonu bir polinomun entegrasyonuna indirgenir. S(X) ve ters türevleri gösterildiği gibi teoremde belirtilen forma sahip olan basit kesirler.

Yorum. Bu durumda asıl zorluk, paydanın faktörlere ayrıştırılması, yani tüm köklerinin aranmasıdır.

Örnek 1. İntegrali bulun

Burada aşağıdaki rasyonel kesirlerin integralinin alınmasına ilişkin üç örnek için ayrıntılı çözümler sunuyoruz:
, , .

örnek 1

İntegrali hesaplayın:
.

Çözüm

Burada integral işaretinin altında rasyonel bir fonksiyon vardır, çünkü integral polinomların bir kesridir. Payda polinom derecesi ( 3 ) pay polinomunun derecesinden küçüktür ( 4 ). Bu nedenle öncelikle kesrin tamamını seçmeniz gerekir.

1. Kesrin tamamını seçelim. x'i böl 4 x tarafından 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:

Buradan
.

2. Kesrin paydasını çarpanlarına ayıralım. Bunu yapmak için kübik denklemi çözmeniz gerekir:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
x = yerine koyalım 1 :
.

1 . x'e böl - 1 :

Buradan
.
İkinci dereceden bir denklemin çözümü.
.
Denklemin kökleri: , .
Daha sonra
.

3. Kesri en basit haline ayıralım.

.

Böylece şunu bulduk:
.
Haydi entegre olalım.

Cevap

Örnek 2

İntegrali hesaplayın:
.

Çözüm

Burada kesrin payı sıfır dereceli bir polinomdur ( 1 =x0). Payda üçüncü dereceden bir polinomdur. Çünkü 0 < 3 ise kesir doğrudur. Bunu basit kesirlere ayıralım.

1. Kesrin paydasını çarpanlarına ayıralım. Bunu yapmak için üçüncü derece denklemi çözmeniz gerekir:
.
En az bir tane olduğunu varsayalım bütün kök. O halde bu sayının böleni 3 (x'siz üye). Yani kökün tamamı şu sayılardan biri olabilir:
1, 3, -1, -3 .
x = yerine koyalım 1 :
.

Böylece bir kök x = bulduk 1 . x'i böl 3 + 2 x - 3 x'te - 1 :

Bu yüzden,
.

İkinci dereceden denklemin çözümü:
X 2 + x + 3 = 0.
Diskriminantı bulun: D = 1 2 - 4 3 = -11. D'den beri< 0 ise denklemin gerçek kökleri yoktur. Böylece paydanın çarpanlara ayrılmasını elde ettik:
.

2.
.
(x - 1)(x 2 + x + 3):
(2.1) .
x = yerine koyalım 1 . O zaman x- 1 = 0 ,
.

yerine koyalım (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C;
.

hadi eşitleyelim (2.1) x için katsayılar 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. Haydi entegre olalım.
(2.2) .
İkinci integrali hesaplamak için paydaki paydanın türevini seçip paydayı kareler toplamına indirgeriz.

;
;
.

I'i hesapla 2 .


.
Denklemden beri x 2 + x + 3 = 0 gerçek kökleri yoktur, bu durumda x 2 + x + 3 > 0. Bu nedenle modül işareti ihmal edilebilir.

teslim ediyoruz (2.2) :
.

Cevap

Örnek 3

İntegrali hesaplayın:
.

Çözüm

Burada integral işaretinin altında polinomların bir kısmı var. Bu nedenle integral rasyonel bir fonksiyondur. Paydaki polinomun derecesi eşittir 3 . Kesirin paydasının polinomunun derecesi şuna eşittir: 4 . Çünkü 3 < 4 ise kesir doğrudur. Bu nedenle basit kesirlere ayrıştırılabilir. Ancak bunu yapmak için paydayı çarpanlara ayırmanız gerekir.

1. Kesrin paydasını çarpanlarına ayıralım. Bunu yapmak için dördüncü derece denklemi çözmeniz gerekir:
.
En az bir tam kökü olduğunu varsayalım. O halde bu sayının böleni 2 (x'siz üye). Yani kökün tamamı şu sayılardan biri olabilir:
1, 2, -1, -2 .
x = yerine koyalım -1 :
.

Böylece bir kök x = bulduk -1 . x'e böl - (-1) = x + 1:


Bu yüzden,
.

Şimdi üçüncü derece denklemi çözmemiz gerekiyor:
.
Bu denklemin bir tamsayı köküne sahip olduğunu varsayarsak, o zaman bu sayının böleni olur 2 (x'siz üye). Yani kökün tamamı şu sayılardan biri olabilir:
1, 2, -1, -2 .
x = yerine koyalım -1 :
.

Böylece başka bir kök x = bulduk -1 . Önceki durumda olduğu gibi polinomu ile bölmek mümkün olabilir, ancak terimleri gruplandıracağız:
.

Denklemden beri x 2 + 2 = 0 gerçek kökleri olmadığında paydanın çarpanlara ayrılmasını elde ederiz:
.

2. Kesri en basit haline ayıralım. Formda bir genişletme arıyoruz:
.
Kesrin paydasından kurtuluruz, ile çarparız (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
x = yerine koyalım -1 . Sonra x + 1 = 0 ,
.

Haydi farklılaşalım (3.1) :

;

.
x = yerine koyalım -1 ve şunu hesaba katın: x + 1 = 0 :
;
; .

yerine koyalım (3.1) x = 0 :
0 = 2 Bir + 2 B + D;
.

hadi eşitleyelim (3.1) x için katsayılar 3 :
;
1 =B+C;
.

Böylece basit kesirlere ayrıştırmayı bulduk:
.

3. Haydi entegre olalım.


.

1. ve 2. sınıf öğrencilerine rasyonel kesirleri de içeren fonksiyonların integralini konu alan bir test verilmektedir. İntegral örnekleri esas olarak matematikçilerin, ekonomistlerin ve istatistikçilerin ilgisini çekecektir. Bu örnekler soruldu deneme çalışması LNU'da onun adıyla anılıyor. Ben Frank. Aşağıdaki örneklerin koşulları “İntegral bulun” veya “İntegral hesaplayın” şeklinde olduğundan yerden ve zamandan tasarruf etmek için bunlar yazılmamıştır.

Örnek 15. Kesirli-rasyonel fonksiyonların integraline geldik. İntegraller arasında özel bir yere sahiptirler çünkü hesaplamak için çok zaman gerektirirler ve öğretmenlerin sadece integralle ilgili değil bilginizi test etmelerine yardımcı olurlar. İntegralin altındaki fonksiyonu basitleştirmek için payda, integralin altındaki fonksiyonu iki basit ifadeye bölmemizi sağlayacak bir ifade ekleyip çıkarıyoruz.

Sonuç olarak, oldukça hızlı bir şekilde bir integral buluyoruz, ikincisinde kesri temel kesirlerin toplamına genişletmemiz gerekiyor

Ortak bir paydaya indirgendiğinde aşağıdaki sayıları elde ederiz

Daha sonra parantezleri açın ve gruplayın

Sağdaki ve soldaki “x”in aynı kuvvetleri için değeri eşitliyoruz. Sonuç olarak üçlü bir sisteme ulaşıyoruz. doğrusal denklemler(SLAU) üç bilinmeyenli.

Denklem sistemlerinin nasıl çözüleceği sitedeki diğer makalelerde anlatılmaktadır. Son versiyonda aşağıdaki SLAE çözümünü alacaksınız
bir=4; B=-9/2; C=-7/2.
Kesirlerin basit olanlara genişletilmesinde sabitleri değiştiririz ve entegrasyonu gerçekleştiririz


Bu, örneği sonlandırıyor.

Örnek 16. Yine kesirli bir rasyonel fonksiyonun integralini bulmamız gerekiyor. Başlangıç ​​olarak, kesirin paydasında yer alan kübik denklemi basit faktörlere ayırıyoruz.

Daha sonra kesri en basit formlarına ayırıyoruz.

Hadi bir araya getirelim Sağ Taraf ortak paydaya gidin ve paydaki parantezleri açın.


Değişkenin aynı dereceleri için katsayıları eşitliyoruz. Üç bilinmeyenle tekrar SLAE'ye gelelim

Hadi değiştirelim A, B, C değerleri genişlemeye girin ve integrali hesaplayın

İlk iki terim logaritmayı verir, sonuncusunu bulmak da kolaydır.

Örnek 17. Kesirli rasyonel fonksiyonun paydasında küp farkı var. Kısaltılmış çarpma formüllerini kullanarak bunu iki basit faktöre ayırıyoruz

Daha fazla alınan kesirli fonksiyon tutarı yaz basit kesirler ve onları ortak bir paydada buluşturalım

Payda aşağıdaki ifadeyi elde ederiz.

Buradan 3 bilinmeyeni hesaplamak için bir doğrusal denklem sistemi oluşturuyoruz

bir=1/3; B=-1/3; C=1/3.
A, B, C'yi formülde yerine koyuyoruz ve integral alıyoruz. Sonuç olarak şu cevaba ulaşıyoruz:


Burada ikinci integralin payı logaritmaya dönüştürülür ve integralin altındaki geri kalan arktanjantı verir.
Benzer örneklerİnternette rasyonel kesirlerin integrali hakkında çok şey var. Benzer örnekleri aşağıdaki malzemelerden bulabilirsiniz.