Standart sapma şu şekilde hesaplanır. Ortalama doğrusal ve standart sapma

Wikipedia'dan materyal - özgür ansiklopedi

Standart sapma(eş anlamlılar: standart sapma, standart sapma, kare sapma; ilgili terimler: standart sapma, standart yayılma) - olasılık teorisi ve istatistikte, rastgele bir değişkenin değerlerinin matematiksel beklentisine göre dağılımının en yaygın göstergesi. Değer örneklerinin sınırlı dizileri ile matematiksel beklenti yerine örnek kümesinin aritmetik ortalaması kullanılır.

Temel bilgiler

Ortalama standart sapma bizzat ölçü birimleriyle ölçülür rastgele değişken ve aritmetik ortalamanın standart hatasını hesaplarken, güven aralıkları oluştururken, hipotezleri istatistiksel olarak test ederken, rastgele değişkenler arasındaki doğrusal bir ilişkiyi ölçerken kullanılır. Bir rastgele değişkenin varyansının karekökü olarak tanımlanır.

Standart sapma:

$\backslash sigma=\backslash sqrt(\backslash frac(1)(n)\backslash sum\_(i=1)^n\backslash left(x\_i-\backslash bar(x)\backslash right)^2).$

Standart Sapma(rastgele bir değişkenin standart sapmasının tahmini X varyansının tarafsız bir tahminine dayanan matematiksel beklentisine göre) $S$:

$s=\backslash sqrt(\backslash frac(n)(n-1)\backslash sigma^2)=\backslash sqrt(\backslash frac(1)(n-1)\backslash sum\_(i=1)^n\backslash left(x\_i-\backslash bar\; (x)\backslash sağ)^2);$

Üç sigma kuralı

Üç sigma kuralı ($3\backslash sigma$) - normal olarak dağıtılan bir rastgele değişkenin neredeyse tüm değerleri aralıkta yer alır $\backslash left(\backslash bar(x)-3\backslash sigma;\backslash bar(x)+3\backslash sigma\backslash right)$. Daha kesin olarak - yaklaşık 0,9973 olasılıkla, normal olarak dağıtılan bir rastgele değişkenin değeri belirtilen aralıkta yer alır (değerin $\backslash bar(x)$ doğrudur ve numune işleme sonucunda elde edilmemiştir).

Gerçek değer ise $\backslash bar(x)$ bilinmiyorsa kullanmamalısınız $\backslash sigma$, A S. Böylece, üç kuralı sigma üç kuralına dönüştürülür S .

Standart sapma değerinin yorumlanması

Daha büyük bir standart sapma değeri, sunulan setteki değerlerin, setin ortalama değeri ile daha büyük bir yayılımını gösterir; buna göre daha küçük bir değer, kümedeki değerlerin ortalama değer etrafında gruplandığını gösterir.

Örneğin üç sayı kümemiz var: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) ve (6, 6, 8, 8). Her üç set için de ortalama değerler 7'ye, standart sapmalar ise sırasıyla 7, 5 ve 1'e eşittir. son set setteki değerler ortalama değer etrafında gruplandırıldığı için standart sapma küçüktür; ilk set en fazlasına sahip büyük değer standart sapma - küme içindeki değerler ortalama değerden büyük ölçüde farklıdır.

Genel anlamda standart sapma bir belirsizlik ölçüsü olarak düşünülebilir. Örneğin fizikte standart sapma, bir niceliğin ardışık ölçümlerinin hatasını belirlemek için kullanılır. Bu değer, teori tarafından tahmin edilen değerle karşılaştırıldığında incelenen olgunun makullüğünü belirlemek için çok önemlidir: ölçümlerin ortalama değeri teorinin tahmin ettiği değerlerden büyük ölçüde farklıysa (büyük standart sapma), daha sonra elde edilen değerler veya bunları elde etme yöntemi yeniden kontrol edilmelidir.

Pratik Uygulama

Uygulamada standart sapma, bir kümedeki değerlerin ortalama değerden ne kadar farklı olabileceğini tahmin etmenize olanak tanır.

Ekonomi ve finans

Portföy getirisinin standart sapması $\backslash sigma\; =\backslash sqrt(D[X])$ portföy riski ile tanımlanır.

İklim

Diyelim ki aynı ortalama maksimum günlük sıcaklığa sahip iki şehir var, ancak biri sahilde, diğeri ise ovada bulunuyor. Kıyıda yer alan şehirlerin birçok farklı maksimum gündüz sıcaklığına sahip olduğu ve iç kesimlerde bulunan şehirlerden daha düşük olduğu bilinmektedir. Bu nedenle, bu değerin ortalama değeri aynı olmasına rağmen, bir kıyı kenti için maksimum günlük sıcaklıkların standart sapması, ikinci şehre göre daha az olacaktır; bu, pratikte maksimum hava sıcaklığının aynı bölgede olma ihtimali anlamına gelir. yılın herhangi bir gününde ortalama değerden farklı olarak iç kesimlerde bulunan bir şehir için daha yüksek olacaktır.

Spor

Atılan ve yenen gol sayısı, gol şansı vb. gibi bazı parametrelere göre değerlendirilen birkaç futbol takımının olduğunu varsayalım. Bu gruptaki en iyi takımın, büyük olasılıkla, en iyi değerlerİle Daha parametreler. Sunulan parametrelerin her biri için takımın standart sapması ne kadar küçük olursa, bu tür takımların sonucu o kadar öngörülebilir olur; Öte yandan, standart sapması büyük olan bir takım için sonucu tahmin etmek zordur ve bu da dengesizlikle açıklanır; güçlü savunma, ancak zayıf bir saldırıyla.

Takım parametrelerinin standart sapmasını kullanmak, iki takım arasındaki bir maçın sonucunu bir dereceye kadar tahmin etmeyi, güçlü yönleri değerlendirmeyi ve zayıflıklar emirler ve dolayısıyla seçilen mücadele yöntemleri.

Ayrıca bakınız

"Kök Ortalama Kare Sapması" makalesi hakkında yorum yazın

Edebiyat

• Borovikov V.İSTATİSTİK. Bilgisayarda veri analizi sanatı: Profesyoneller için / V. Borovikov. - St.Petersburg. : Peter, 2003. - 688 s. - ISBN 5-272-00078-1..

İstatistiksel göstergeler Tanımlayıcı istatistikler İstatistiksel çıktı ve muayene hipotezler Genel derecelendirme Korelasyon ve gerileme Grafik yöntemler

Standart Sapmayı karakterize eden bir alıntı

Ve kapıyı hızla açarak kararlı adımlarla balkona çıktı. Konuşma aniden kesildi, şapkalar ve kepler çıkarıldı ve tüm gözler dışarı çıkan konta çevrildi.
- Merhaba arkadaşlar! - sayı hızlı ve yüksek sesle söyledi. - Geldiğiniz için teşekkür ederim. Şimdi size geleceğim ama öncelikle kötü adamla ilgilenmemiz gerekiyor. Moskova'yı öldüren haini cezalandırmamız gerekiyor. Beni bekle! “Ve kont kapıyı sertçe çarparak aynı hızla odasına döndü.
Kalabalıktan bir zevk mırıltısı yayıldı. “Bu onun tüm kötüleri kontrol edeceği anlamına geliyor! Ve sen Fransızca dersin... o sana tüm mesafeyi verir!” - insanlar sanki inanç eksikliğinden dolayı birbirlerini suçluyormuş gibi dediler.
Birkaç dakika sonra bir subay aceleyle ön kapıdan çıktı, bir şeyler sipariş etti ve ejderhalar ayağa kalktı. Balkondaki kalabalık heyecanla verandaya doğru ilerledi. Öfkeli, hızlı adımlarla verandaya çıkan Rostopchin, sanki birini arıyormuş gibi aceleyle etrafına baktı.
-Nerede o? - dedi kont ve bunu söylediği anda evin köşesinden iki ejderhanın arasından çıktığını gördü. genç adam uzun ince boyunlu, yarı tıraşlı ve aşırı büyümüş kafalı. Bu genç adam, bir zamanlar şık, mavi kumaş kaplı, eski püskü tilki koyun derisi bir ceket ve kirli mahkum harem pantolonu giymiş, temizlenmemiş, yıpranmış ince çizmelerin içine tıkılmıştı. İnce, zayıf bacaklarına ağır bir şekilde asılı olan prangalar, genç adamın tereddütlü yürüyüşünü zorlaştırıyordu.
- A! - dedi Rastopchin, bakışlarını aceleyle tilki koyun derisi paltolu genç adamdan çevirerek ve verandanın alt basamağını işaret ederek. - Buraya koy! “Prangalarını şakırdatan genç adam, koyun derisi paltosunun ütülü yakasını parmağıyla tutarak belirtilen basamağa ağır bir şekilde adım attı, uzun boynunu iki kez çevirdi ve içini çekerek ince, çalışmayan ellerini karnının önünde kavuşturdu. teslimiyetçi bir jestle.
Genç adam basamakta yerini alırken sessizlik birkaç saniye devam etti. Sadece arka sıralarda tek bir yere sıkışan insanlardan inlemeler, inlemeler, sarsıntılar ve hareket eden ayak sesleri duyuldu.
Belirtilen yerde durmasını bekleyen Rastopchin kaşlarını çattı ve eliyle yüzünü ovuşturdu.
- Çocuklar! - dedi Rastopchin metalik çınlayan bir sesle, - bu adam, Vereshchagin, Moskova'nın yok olduğu aynı alçaktır.
Tilki koyun derisi paltolu genç bir adam itaatkar bir pozda duruyordu, ellerini karnının önünde birleştirip hafifçe eğilmişti. Bir deri bir kemik kalmış genç yüzü, umutsuz bir ifadeyle, traşlı bir kafa yüzünden şekilsizleşmişti. Sayımın ilk kelimelerini söylerken yavaşça başını kaldırdı ve sanki ona bir şey söylemek istiyormuş ya da en azından onunla göz göze gelmek istiyormuş gibi sayıma baktı. Ama Rastopchin ona bakmadı. Genç adamın ip gibi uzun ince boynunda kulağın arkasındaki damar gerginleşerek maviye döndü ve bir anda yüzü kırmızıya döndü.
Bütün gözler ona odaklanmıştı. Kalabalığa baktı ve sanki insanların yüzlerinde okuduğu ifadeden cesaret almış gibi üzgün ve çekingen bir şekilde gülümsedi ve tekrar başını eğerek ayaklarını basamakta düzeltti.
Rastopchin eşit ve keskin bir sesle, "Çarına ve anavatanına ihanet etti, kendisini Bonaparte'a teslim etti, tüm Ruslar arasında Rusların adını lekeleyen tek kişi o ve Moskova onun yüzünden yok oluyor" dedi; ama aniden aynı itaatkâr pozda durmaya devam eden Vereshchagin'e hızla baktı. Sanki bu bakış onu patlatmış gibi, elini kaldırarak neredeyse bağırarak halka dönerek: "Onunla yargını hallet!" Onu sana veriyorum!
İnsanlar sessizdi ve yalnızca birbirlerine daha da yakınlaştılar. Birbirimize sarılmak, bu enfeksiyonlu havasızlığı solumak, hareket edecek gücü bulamamak ve bilinmeyen, anlaşılmaz ve korkunç bir şeyi beklemek dayanılmaz hale geldi. Ön sıralarda duran, önlerinde olup biteni gören, duyan, gözleri fal taşı gibi açılmış, ağızları açık insanlar, tüm güçlerini kullanarak, arkalarındakilerin sırtlarındaki baskıyı bastırdılar.
-Dövün onu!.. Hain ölsün, Rus'un adını lekelemesin! - diye bağırdı Rastopchin. - Yakut! Ben emrediyorum! “Sözleri değil, Rastopchin'in sesinin öfkeli sesini duyan kalabalık inledi ve ileri doğru ilerledi, ancak tekrar durdu.
Tekrar oluşan anlık sessizliğin ortasında Vereshchagin'in ürkek ve aynı zamanda teatral sesi, "Say!.." dedi. "Kont, üstümüzde bir tanrı var..." dedi Vereshchagin başını kaldırarak ve ince boynundaki kalın damar yine kanla doldu ve renk hızla belirip yüzünden kaçtı. Söylemek istediğini bitirmedi.
- Doğrayın onu! Emrediyorum!.. - diye bağırdı Rastopchin, aniden Vereshchagin gibi solgunlaştı.
- Kılıçlar dışarı! - memur, kılıcını kendisi çekerek ejderhalara bağırdı.
Daha da güçlü bir dalga insanların arasından geçti ve ön sıralara ulaşan bu dalga, ön sıraları sarsarak hareket ettirdi ve onları verandanın merdivenlerine kadar getirdi. Vereshchagin'in yanında, yüzünde taşlaşmış bir ifade olan ve elini kaldırmış uzun boylu bir adam duruyordu.
- Yakut! - Neredeyse bir subay ejderhalara fısıldadı ve askerlerden biri aniden öfkeyle çarpık bir yüzle Vereshchagin'in kafasına kör bir kılıçla vurdu.
"A!" - Vereshchagin kısaca ve şaşkınlıkla bağırdı, korkuyla etrafına baktı ve sanki bunun ona neden yapıldığını anlamıyormuş gibi. Kalabalıkta aynı şaşkınlık ve dehşet iniltisi dolaştı.
"Aman Tanrım!" – birinin üzücü ünlemi duyuldu.
Ancak Vereshchagin'in kaçtığı şaşkınlık çığlığının ardından acı içinde acınası bir çığlık attı ve bu çığlık onu mahvetti. Bu bariyer en yüksek dereceye kadar uzanıyordu insani duygu Hala kalabalığı tutan kişi anında içeri girdi. Suç başlamıştı, tamamlanması gerekiyordu. Acınası sitem iniltisi, kalabalığın tehditkar ve öfkeli kükremesi tarafından bastırıldı. Gemileri parçalayan son yedinci dalga gibi, bu durdurulamayan son dalga da arka saflardan yükseldi, ön saflara ulaştı, onları devirdi ve her şeyi yuttu. Saldıran ejderha, darbesini tekrarlamak istedi. Vereshchagin bir korku çığlığı atarak elleriyle kendini koruyarak insanlara doğru koştu. Çarptığı uzun boylu adam, elleriyle Vereshchagin'in ince boynunu yakaladı ve çılgın bir çığlık atarak kükreyen insan kalabalığının ayaklarının altına düştü.
Bazıları Vereshchagin'i dövüp parçaladı, diğerleri uzun ve küçüktü. Ezilen insanların ve uzun boylu adamı kurtarmaya çalışanların çığlıkları kalabalığın öfkesini uyandırmaktan başka işe yaramadı. Ejderhalar uzun bir süre boyunca kanlar içinde, yarı ölünceye kadar dövülmüş fabrika işçisini serbest bırakamadı. Ve Vereshchagin'i döven, boğan ve parçalayan insanlar, kalabalığın bir kez başladıktan sonra işi tamamlamaya çalıştığı tüm hummalı aceleye rağmen uzun bir süre onu öldüremedi; ama kalabalık, ortada tek bir kütle gibi, bir yandan diğer yana sallanarak onları her taraftan bastırdı ve onlara onu bitirme veya fırlatma fırsatı vermedi.

Basit geometrik ortalamayı hesaplamak için formül kullanılır:

Geometrik ağırlıklı

Ağırlıklı geometrik ortalamayı belirlemek için aşağıdaki formül kullanılır:

Tekerleklerin, boruların ortalama çapları ve karelerin ortalama kenarları, ortalama kare kullanılarak belirlenir.

Kök-ortalama-kare değerleri, örneğin üretim ritmini karakterize eden varyasyon katsayısı gibi bazı göstergeleri hesaplamak için kullanılır. Burada belirli bir süre için planlanan üretim çıktısından standart sapma aşağıdaki formül kullanılarak belirlenir:

Bu değerler, ortalama değerinde alınan baz değerlerine kıyasla ekonomik göstergelerdeki değişimi doğru bir şekilde karakterize eder.

İkinci dereceden basit

Kök ortalama kare şu formül kullanılarak hesaplanır:

İkinci dereceden ağırlıklı

Ağırlıklı ortalama kare şuna eşittir:

22. Mutlak değişkenlik göstergeleri şunları içerir:

çeşitlilik aralığı

ortalama doğrusal sapma

dağılım

standart sapma

Değişim aralığı (r)

Varyasyon aralığıözelliğin maksimum ve minimum değerleri arasındaki farktır

İncelenen popülasyonda bir özelliğin değerinin değiştiği sınırları gösterir.

Beş başvuranın önceki işlerindeki iş tecrübeleri: 2,3,4,7 ve 9 yıldır. Çözüm: Değişim aralığı = 9 - 2 = 7 yıl.

Nitelik değerlerindeki farklılıkların genelleştirilmiş bir açıklaması için, ortalama değişim göstergeleri, aritmetik ortalamadan sapmalar dikkate alınarak hesaplanır. Fark ortalamadan sapma olarak alınır.

Bu durumda, bir özelliğin değişkenlerinin ortalamadan sıfıra dönüşünün (ortalamanın sıfır özelliği) sapmalarının toplamından kaçınmak için, ya sapmanın işaretleri göz ardı edilmeli, yani bu toplam modülo alınmalıdır, veya sapma değerlerinin karesini alın

Ortalama doğrusal ve kare sapma

Ortalama doğrusal sapma bir özelliğin bireysel değerlerinin ortalamadan mutlak sapmalarının aritmetik ortalamasıdır.

Ortalama doğrusal sapma basittir:

Beş başvuranın önceki işlerindeki iş tecrübeleri: 2,3,4,7 ve 9 yıldır.

Örneğimizde: yıllar;

Cevap: 2,4 yıl.

Ortalama doğrusal sapma ağırlıklı gruplandırılmış veriler için geçerlidir:

Konvansiyonu nedeniyle, ortalama doğrusal sapma pratikte nispeten nadiren kullanılır (özellikle, teslimatın tekdüzeliğine ilişkin sözleşme yükümlülüklerinin yerine getirilmesini karakterize etmek için; üretimin teknolojik özellikleri dikkate alınarak ürün kalitesinin analizinde).

Standart sapma

Değişimin en mükemmel özelliği, standart (veya standart sapma) olarak adlandırılan ortalama kare sapmadır. Standart sapma() eşittir kareköközelliğin bireysel değerlerinin ortalama sapma karesinden aritmetik ortalamaya:

Standart sapma basittir:

Gruplandırılmış verilere ağırlıklı standart sapma uygulanır:

Normal dağılım koşullarında ortalama kare ve ortalama doğrusal sapmalar arasında şu oran oluşur: ~ 1,25.

Değişimin ana mutlak ölçüsü olan standart sapma, normal dağılım eğrisinin ordinat değerlerinin belirlenmesinde, numune gözleminin organizasyonu ile ilgili hesaplamalarda ve numune özelliklerinin doğruluğunun belirlenmesinde ve ayrıca numune özelliklerinin değerlendirilmesinde kullanılır. Homojen bir popülasyonda bir özelliğin varyasyonunun sınırları.

Bu varyans hesaplamasının bir dezavantajı olduğunu belirtmekte fayda var - önyargılı olduğu ortaya çıkıyor, yani. matematiksel beklentisi varyansın gerçek değerine eşit değildir. Bu konuda daha fazlasını okuyun. Aynı zamanda her şey o kadar da kötü değil. Örneklem büyüklüğü arttıkça hala teorik analoguna yaklaşmaktadır. asimptotik olarak tarafsızdır. Bu nedenle, birlikte çalışırken büyük boyutlarörnekler için yukarıdaki formülü kullanabilirsiniz.

İşaret dilini sözcük diline çevirmek faydalıdır. Varyansın sapmaların ortalama karesi olduğu ortaya çıktı. Yani önce ortalama değer hesaplanır, ardından her orijinal değer ile ortalama değer arasındaki fark alınır, karesi alınır, eklenir ve ardından popülasyondaki değer sayısına bölünür. Bireysel değer ile ortalama arasındaki fark, sapmanın ölçüsünü yansıtır. Tüm sapmaların yalnızca pozitif sayılar haline gelmesi ve toplanırken pozitif ve negatif sapmaların karşılıklı olarak yok edilmesini önlemek için kareleri alınır. Daha sonra, sapmaların kareleri verildiğinde, basitçe aritmetik ortalamayı hesaplarız. Ortalama - kare - sapmalar. Sapmaların karesi alınır ve ortalaması hesaplanır. Çözüm sadece üç kelimede yatıyor.

Ancak, saf biçim Aritmetik ortalama veya indeks gibi varyans kullanılmaz. Daha ziyade diğer istatistiksel analiz türleri için gerekli olan yardımcı ve ara bir göstergedir. Normal bir ölçü birimi bile yok. Formüle bakılırsa, bu orijinal verilerin ölçü biriminin karesidir. Dedikleri gibi, şişe olmadan çözemezsiniz.

(modül 111)

Varyansı gerçeğe döndürmek, yani onu daha sıradan amaçlar için kullanmak için, bundan karekök çıkarılır. Sözde olduğu ortaya çıktı standart sapma (RMS). “Standart sapma” veya “sigma” (Yunanca harfin adından) isimleri vardır. Formül standart sapmaşu forma sahiptir:

Numune için bu göstergeyi elde etmek için aşağıdaki formülü kullanın:

Varyansta olduğu gibi, biraz farklı bir hesaplama seçeneği vardır. Ancak örneklem büyüdükçe fark ortadan kalkıyor.

Standart sapma, elbette, veri dağılımının ölçüsünü de karakterize eder, ancak artık (dağılımın aksine) aynı ölçüm birimlerine sahip oldukları için orijinal verilerle karşılaştırılabilir (bu, hesaplama formülünden açıktır). Ancak saf haliyle bu gösterge, kafa karıştırıcı çok fazla ara hesaplama (sapma, kare, toplam, ortalama, kök) içerdiğinden pek bilgilendirici değildir. Ancak standart sapmayla doğrudan çalışmak zaten mümkündür çünkü özellikler bu gösterge iyi araştırılmış ve tanınmıştır. Mesela şu var üç sigma kuralı, verilerin aritmetik ortalamanın ±3 sigma dahilinde 1000 üzerinden 997 değerine sahip olduğunu belirtir. Belirsizliğin bir ölçüsü olarak standart sapma birçok istatistiksel hesaplamada da yer almaktadır. Yardımı ile çeşitli tahmin ve tahminlerin doğruluk derecesi belirlenir. Eğer varyasyon çok büyükse, standart sapma da büyük olacaktır ve dolayısıyla tahmin hatalı olacaktır; bu da örneğin çok geniş güven aralıklarında ifade edilecektir.

Değişim katsayısı

Standart sapma, dağılım ölçüsünün mutlak bir tahminini verir. Bu nedenle, yayılımın değerlerin kendisine göre ne kadar büyük olduğunu anlamak için (yani ölçeklerine bakılmaksızın) göreceli bir gösterge gereklidir. Bu gösterge denir varyasyon katsayısı ve aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Değişim katsayısı yüzde olarak ölçülür (%100 ile çarpılırsa). Bu göstergeyi kullanarak, ölçekleri ve ölçü birimleri ne olursa olsun çeşitli olayları karşılaştırabilirsiniz. Bu gerçek ve varyasyon katsayısını bu kadar popüler hale getiriyor.

İstatistiklerde, varyasyon katsayısının değeri %33'ün altında ise popülasyonun homojen olduğu, %33'ün üzerinde ise heterojen olduğu kabul edilmektedir. Burada herhangi bir şey hakkında yorum yapmak benim için zor. Bunu kimin ve neden tanımladığını bilmiyorum ama bu bir aksiyom olarak kabul ediliyor.

Kuru teoriye kapıldığımı ve görsel ve mecazi bir şeyler getirmem gerektiğini hissediyorum. Öte yandan, tüm varyasyon göstergeleri yaklaşık olarak aynı şeyi açıklar, ancak farklı hesaplanırlar. Bu nedenle çeşitli örnekler göstermek zordur, ancak göstergelerin yalnızca değerleri farklılık gösterebilir, ancak özleri farklılık gösteremez. Öyleyse aynı veri seti için farklı varyasyon göstergelerinin değerlerinin nasıl farklılaştığını karşılaştıralım. Ortalama doğrusal sapmanın ('dan) hesaplanması örneğini ele alalım. İşte kaynak veriler:

Ve sana hatırlatacak bir program.

Bu verileri kullanarak çeşitli varyasyon göstergelerini hesaplıyoruz.

Ortalama değer olağan aritmetik ortalamadır.

Değişim aralığı maksimum ve minimum arasındaki farktır:

Ortalama doğrusal sapma aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Standart Sapma:

Hesaplamayı bir tabloda özetleyelim.

Görüldüğü gibi doğrusal ortalama ve standart sapma şunu verir: benzer anlamlar Veri varyasyonunun derecesi. Varyans sigma karedir, dolayısıyla her zaman nispeten büyük bir sayı olacaktır, bu da aslında hiçbir şey ifade etmez. Değişim aralığı, aşırı değerler arasındaki farktır ve çok şey konuşabilir.

Bazı sonuçları özetleyelim.

Bir göstergenin değişmesi, bir sürecin veya olgunun değişkenliğini yansıtır. Derecesi çeşitli göstergeler kullanılarak ölçülebilir.

1. Değişim aralığı - maksimum ve minimum arasındaki fark. Olası değerlerin aralığını yansıtır.
2. Ortalama doğrusal sapma – analiz edilen popülasyonun tüm değerlerinin mutlak (modülo) sapmalarının ortalamasını yansıtır. ortalama boyut.
3. Dağılım - sapmaların ortalama karesi.
4. Standart sapma, dağılımın köküdür (sapmaların ortalama karesi).
5. Değişim katsayısı, ölçek ve ölçü birimlerine bakılmaksızın değerlerin dağılma derecesini yansıtan en evrensel göstergedir. Değişim katsayısı yüzde olarak ölçülür ve farklı süreç ve olayların değişimini karşılaştırmak için kullanılabilir.

Dolayısıyla istatistiksel analizde, olayların homojenliğini ve süreçlerin istikrarını yansıtan bir göstergeler sistemi vardır. Genellikle varyasyon göstergelerinin bağımsız bir anlamı yoktur ve ileri analiz veriler (güven aralıklarının hesaplanması

Standart sapma, kurumsal dünyada bir konuşma veya sunumda bunu iyi bir şekilde başarabilen insanlara güvenilirlik kazandıran, bunun ne olduğunu bilmeyen ama söylemekten utananlar arasında ise belirsiz bir yanlış anlama bırakan istatistiksel terimlerden biridir. sormak. Aslında yöneticilerin çoğu standart sapma kavramını anlamıyor ve eğer siz de onlardan biriyseniz, yalanla yaşamayı bırakmanın zamanı geldi. Bugünkü makalemde, bu yeterince takdir edilmeyen istatistiksel ölçümün, üzerinde çalıştığınız verileri daha iyi anlamanıza nasıl yardımcı olabileceğini anlatacağım.

Standart sapma neyi ölçer?

İki mağazanın sahibi olduğunuzu düşünün. Kayıpları önlemek için stok bakiyelerini net bir şekilde kontrol etmek önemlidir. Hangi yöneticinin envanteri daha iyi yönettiğini bulmak amacıyla son altı haftalık envanteri analiz etmeye karar veriyorsunuz. Her iki mağazanın ortalama haftalık stok maliyeti yaklaşık olarak aynıdır ve yaklaşık 32 geleneksel birime denk gelmektedir. İlk bakışta ortalama ikinci tur, her iki yöneticinin de benzer performans gösterdiğini gösteriyor.

Ancak ikinci mağazanın faaliyetlerine daha yakından bakarsanız, ortalama değer doğru olmasına rağmen stok değişkenliğinin çok yüksek olduğunu (10'dan 58 USD'ye kadar) göreceksiniz. Dolayısıyla ortalamanın verileri her zaman doğru değerlendirmediği sonucuna varabiliriz. Standart sapmanın devreye girdiği yer burasıdır.

Standart sapma, değerlerin ortalamaya göre nasıl dağıldığını gösterir. Yani ikinci turdaki yayılmanın haftadan haftaya ne kadar büyük olduğunu anlayabilirsiniz.

Örneğimizde kullandık Excel işlevi STANDART SAPMA, ortalamayla birlikte standart sapmayı hesaplamak için kullanılır.

İlk yönetici durumunda standart sapma 2 idi. Bu bize örneklemdeki her değerin ortalamadan 2 saptığını gösteriyor. Bu iyi mi? Soruya farklı bir açıdan bakalım; 0'lık standart sapma bize örnekteki her değerin ortalamasına eşit olduğunu söyler (bizim durumumuzda 32,2). Dolayısıyla standart sapmanın 2 olması 0'dan pek farklı değildir, bu da çoğu değerin ortalamaya yakın olduğunu gösterir. Standart sapma 0'a ne kadar yakınsa ortalama o kadar güvenilirdir. Ayrıca, 0'a yakın bir standart sapma, verilerdeki değişkenliğin az olduğunu gösterir. Yani, standart sapması 2 olan bir ikinci tur değeri, ilk yöneticinin inanılmaz tutarlılığını gösterir.

İkinci mağazada ise standart sapma 18,9 oldu. Yani ikinci akışın maliyeti ortalama olarak haftadan haftaya ortalama değerden 18,9 oranında sapıyor. Çılgın yayılma! Standart sapma 0'dan ne kadar uzak olursa ortalamanın doğruluğu o kadar az olur. Bizim durumumuzda 18,9 rakamı ortalama değere (haftada 32,8 USD) güvenilemeyeceğini gösteriyor. Bu aynı zamanda bize haftalık ikinci akışın oldukça değişken olduğunu da söylüyor.

Kısaca standart sapma kavramı budur. Diğer önemli istatistiksel ölçümler (Mod, Medyan...) hakkında fikir vermese de aslında standart sapma çoğu istatistiksel hesaplamada çok önemli bir rol oynar. Standart sapma ilkelerini anlamak birçok iş sürecinize ışık tutacaktır.

Standart sapma nasıl hesaplanır?

Artık standart sapma sayısının ne söylediğini biliyoruz. Nasıl hesaplandığını bulalım.

10'dan 70'e kadar olan veri setine 10'luk adımlarla bakalım. Gördüğünüz gibi zaten H2 hücresindeki (turuncu) STANDARDEV fonksiyonunu kullanarak standart sapma değerini hesapladım.

Excel'in 21.6'ya ulaşmak için attığı adımlar aşağıdadır.

Daha iyi anlaşılması için tüm hesaplamaların görselleştirildiğini lütfen unutmayın. Aslında Excel'de hesaplama anında gerçekleşir ve tüm adımlar perde arkasında bırakılır.

İlk olarak Excel örnek ortalamayı bulur. Bizim durumumuzda ortalama 40 olarak ortaya çıktı ve bir sonraki adımda bu değer her numune değerinden çıkarıldı. Elde edilen her farkın karesi alınır ve toplanır. Elimizde 2800'e eşit bir toplam var ve bu rakamın örnek eleman sayısı eksi 1'e bölünmesi gerekiyor. 7 elemana sahip olduğumuz için 2800'ü 6'ya bölmemiz gerektiği ortaya çıkıyor. Elde edilen sonuçtan karekökü buluyoruz, bu rakam standart sapma olacaktır.

Görselleştirmeyi kullanarak standart sapmayı hesaplama ilkesini tam olarak bilmeyenler için, bu değeri bulmanın matematiksel bir yorumunu vereceğim.

Excel'de standart sapmayı hesaplamak için işlevler

Excel'in çeşitli standart sapma formülleri vardır. Tek yapmanız gereken =STDEV yazmanız ve kendiniz göreceksiniz.

STDEV.V ve STDEV.G işlevlerinin (listedeki birinci ve ikinci işlevler), daha önceki sürümlerle uyumluluk amacıyla tutulan STDSAPMA ve STDSAPMA işlevlerini (listedeki beşinci ve altıncı işlevler) sırasıyla kopyaladığını belirtmek gerekir. Excel'in sürümleri.

Genel olarak .B ve .G fonksiyonlarının uçlarındaki fark, numunenin standart sapmasını hesaplama ilkesini belirtir veya nüfus. Bu iki dizi arasındaki farkı daha önceki yazımda anlatmıştım.

STANDARDEV ve STANDDREV işlevlerinin (listedeki üçüncü ve dördüncü işlevler) özel bir özelliği, bir dizinin standart sapmasını hesaplarken mantıksal ve metin değerlerinin dikkate alınmasıdır. Metin ve gerçek boolean değerleri 1, false boolean değerleri ise 0'dır. Bu iki fonksiyona ihtiyaç duyacağım bir durumu hayal edemiyorum, bu yüzden bunların göz ardı edilebileceğini düşünüyorum.

Beklenti ve varyans

Rasgele bir değişkeni ölçelim N kez örneğin rüzgar hızını on kez ölçüyoruz ve ortalama değeri bulmak istiyoruz. Ortalama değerin dağılım fonksiyonuyla ilişkisi nedir?

Haydi zar atalım büyük sayı bir kere. Her atışta zar üzerinde görünecek puanların sayısı rastgele bir değişkendir ve 1'den 6'ya kadar herhangi bir doğal değeri alabilir. Tüm zar atışları için hesaplanan düşen puanların aritmetik ortalaması da bir rastgele değişkendir, ancak büyükler için Nçok spesifik bir sayıya yönelir - matematiksel beklenti Mx. İÇİNDE bu durumda Mx = 3,5.

Bu değeri nasıl elde ettiniz? içeri gir N Testler, 1 puan aldığınızda, 2 puan aldığınızda vb. Sonra ne zaman N→ ∞ Bir puanın atıldığı sonuçların sayısı, Benzer şekilde, Dolayısıyla

Modeli 4.5. Zar

Şimdi rastgele değişkenin dağılım yasasını bildiğimizi varsayalım. X yani rastgele değişkenin olduğunu biliyoruz. X değer alabilir X 1 , X 2 , ..., x k olasılıklarla P 1 , P 2 , ..., pk.

Beklenti Mx rastgele değişken X eşittir:

Cevap. 2,8.

Matematiksel beklenti her zaman bazı rastgele değişkenlerin makul bir tahmini değildir. Yani ortalamayı tahmin etmek için ücretler Medyan kavramını, yani maaş alan kişi sayısının medyandan daha düşük ve daha büyük olmasını sağlayacak bir değeri kullanmak daha mantıklıdır.

Medyan rastgele değişkene sayı denir X 1/2 öyle ki P (X < X 1/2) = 1/2.

Başka bir deyişle olasılık P 1 rastgele değişken X daha küçük olacak X 1/2 ve olasılık P 2 rastgele değişken X daha büyük olacak X 1/2 özdeştir ve 1/2'ye eşittir. Medyan tüm dağılımlar için benzersiz bir şekilde belirlenmemiştir.

Rastgele değişkene dönelim X değer alabilen X 1 , X 2 , ..., x k olasılıklarla P 1 , P 2 , ..., pk.

Varyans rastgele değişken X Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden karesel sapmasının ortalama değerine denir:

Örnek 2

Önceki örneğin koşulları altında rastgele değişkenin varyansını ve standart sapmasını hesaplayın X.

Cevap. 0,16, 0,4.

Modeli 4.6. Bir hedefe ateş etmek

Örnek 3

İlk atışta zarın üzerinde beliren puan sayısı, medyan, matematiksel beklenti, varyans ve standart sapmanın olasılık dağılımını bulun.

Herhangi bir kenarın düşme olasılığı eşit olduğundan dağılım şöyle görünecektir:

Standart sapma Değerin ortalama değerden sapmasının çok büyük olduğu görülmektedir.

Matematiksel beklentinin özellikleri:

• Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının matematiksel beklentisi toplamlarına eşittir matematiksel beklentiler:

Örnek 4

İki zarda atılan puanların toplamı ve çarpımının matematiksel beklentisini bulun.

Örnek 3'te bir küp için şunu bulduk: M (X) = 3,5. Yani iki küp için

Dispersiyon özellikleri:

• Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının varyansı, varyansların toplamına eşittir:

Dx + sen = Dx + Dy.

izin ver N atılan zarların üzerinde yuvarlanır sen puan. Daha sonra

Bu sonuç yalnızca zar atışları için geçerli değildir. Çoğu durumda matematiksel beklentinin ampirik olarak ölçülmesinin doğruluğunu belirler. Artan ölçüm sayısıyla birlikte görüleceği üzere N değerlerin ortalama etrafında yayılması yani standart sapma orantılı olarak azalır

Bir rastgele değişkenin varyansı, bu rastgele değişkenin karesinin matematiksel beklentisiyle aşağıdaki ilişkiyle ilişkilidir:

Bu eşitliğin her iki tarafının matematiksel beklentilerini bulalım. Tanım gereği,

Matematiksel beklentilerin özelliğine göre eşitliğin sağ tarafının matematiksel beklentisi şuna eşittir:

Standart sapma

Standart sapma varyansın kareköküne eşittir:
İncelenen popülasyonun yeterince büyük bir hacmi için (n > 30) standart sapmayı belirlerken aşağıdaki formüller kullanılır:

İlgili bilgiler.