Кінетична енергія твердого тіла, що обертається. Кінетична енергія тіла, що обертається

« Фізика – 10 клас»

Чому збільшення кутової швидкості обертання фігурист витягується вздовж осі обертання.
Чи повинен обертатися гелікоптер при обертанні його гвинта?

Задані питання наводять на думку про те, що якщо на тіло не діють зовнішні сили або дія їх скомпенсована і одна частина тіла починає обертання в один бік, то інша частина повинна обертатися в інший бік, подібно до того, як при викиді пального з ракети сама ракета рухається у протилежний бік.

Момент імпульсу.

Якщо розглянути диск, що обертається, то стає очевидним, що сумарний імпульс диска дорівнює нулю, так як будь-якій частинці тіла відповідає частка, що рухається з рівною по модулю швидкістю, але в протилежному напрямку(Рис. 6.9).

Але диск рухається, кутова швидкість обертання всіх частинок однакова. Однак ясно, що чим далі знаходиться частка від осі обертання, тим більший її імпульс. Отже, для обертального руху треба запровадити ще одну характеристику, подібну до імпульсу, - момент імпульсу.

Моментом імпульсу частинки, що рухається по колу, називають добуток імпульсу частинки на відстань від неї до осі обертання (рис. 6.10):

Лінійна та кутова швидкості пов'язані співвідношенням v = ωr, тоді

Усі точки твердої справи рухаються щодо нерухомої осі обертання з однаковою кутовий швидкістю. Тверде тіло можна як сукупність матеріальних точок.

Момент імпульсу твердого тіла дорівнює добутку моменту інерції на кутову швидкість обертання:

Момент імпульсу - векторна величина, згідно з формулою (6.3) момент імпульсу спрямований так само, як і кутова швидкість.

Основне рівняння динаміки обертального руху у імпульсній формі.

Кутове прискорення тіла дорівнює зміні кутової швидкості, поділеному на проміжок часу, протягом якого ця зміна відбулася: Підставимо цей вираз в основне рівняння динаміки обертального руху звідси I(ω 2 - ω 1) = MΔt, або IΔω = MΔt.

Таким чином,

ΔL = MΔt. (6.4)

Зміна моменту імпульсу дорівнює добутку сумарного моменту сил, які діють тіло чи систему, тимчасово дії цих сил.

Закон збереження моменту імпульсу:

Якщо сумарний момент сил, що діють на тіло або систему тіл, що мають нерухому вісь обертання, дорівнює нулю, зміна моменту імпульсу також дорівнює нулю, тобто момент імпульсу системи залишається постійним.

ΔL = 0, L = const.

Зміна імпульсу системи дорівнює сумарному імпульсу сил, які діють систему.

Фігурист, що обертається, розводить у сторони руки, тим самим збільшує момент інерції, щоб зменшити кутову швидкість обертання.

Закон збереження моменту імпульсу можна продемонструвати з допомогою наступного досвіду, званого «досвід із лавкою Жуковського». На лаву, що має вертикальну вісь обертання, що проходить її центр, встає людина. Чоловік тримає в руках гантелі. Якщо лаву змусити обертатися, людина може змінювати швидкість обертання, притискаючи гантелі до грудей чи опускаючи руки, та був розводячи їх. Розводячи руки, він збільшує момент інерції, і кутова швидкість обертання зменшується (рис. 6.11 а), опускаючи руки, він зменшує момент інерції, і кутова швидкість обертання лави збільшується (рис. 6.11, б).

Людина може змусити обертатися лаву якщо піде вздовж її краю. При цьому лава обертатиметься у протилежному напрямку, оскільки сумарний момент імпульсу повинен залишитися рівним нулю.

На законі збереження моменту імпульсу заснований принцип дії приладів, які називають гіроскопами. Основна властивість гіроскопа – це збереження напрямку осі обертання, якщо на цю вісь не діють зовнішні сили. У ХІХ ст. гіроскопи використовувалися мореплавцями для орієнтації у морі.

Кінетична енергіятвердого тіла, що обертається.

Кінетична енергія твердого тіла, що обертається, дорівнює сумі кінетичних енергій окремих його частинок. Розділимо тіло на малі елементи, кожен із яких вважатимуться матеріальної точкою. Тоді кінетична енергія тіла дорівнює сумі кінетичних енергій матеріальних точок, у тому числі воно складається:

Кутова швидкість обертання всіх точок тіла однакова, отже,

Розмір у дужках, як ми знаємо, це момент інерції твердого тіла. Остаточно формула для кінетичної енергії твердого тіла, що має нерухому вісь обертання, має вигляд

У випадку руху твердого тіла, коли вісь обертання вільна, його кінетична енергія дорівнює сумі енергій поступального і обертального рухів. Так, кінетична енергія колеса, маса якого зосереджена в обіді, що котиться дорогою з постійною швидкістю, дорівнює

У таблиці зіставлені формули механіки поступального руху матеріальної точки з аналогічними формулами обертального руху твердого тіла.

Оскільки тверде тіло є окремий випадоксистеми матеріальних точок, то кінетична енергія тіла при обертанні навколо нерухомої осі Z дорівнюватиме сумі кінетичних енергій всіх його матеріальних точок, тобто

Усі матеріальні точки твердого тілаобертаються в цьому випадку по колам з радіусами та з однаковими кутовими швидкостями. Лінійна швидкість кожної матеріальної точки твердого тіла дорівнює. Кінетична енергія твердого тіла набуде вигляду

Сума у ​​правій частині цього виразу відповідно до (4.4) є моментом інерції цього тіла щодо даної осі обертання. Тому формула для розрахунку кінетичної енергії твердого тіла, що обертається відносно нерухомої осі, набуде остаточного вигляду:

. (4.21)

Тут враховано, що

Обчислення кінетичної енергії твердого тіла у разі довільного руху значно ускладнюється. Розглянемо плоский рух, коли траєкторії всіх матеріальних точок тіла лежать у паралельних площинах. Швидкість кожної матеріальної точки твердого тіла, згідно (1.44), подаємо у вигляді

,

де в якості миттєвої осі обертання виберемо вісь, що проходить через центр інерції тіла перпендикулярно площині траєкторії будь-якої точки тіла. В цьому випадку в останньому виразі є швидкість центру інерції тіла, - радіуси кіл, по яких обертаються точки тіла з кутовою швидкістю навколо осі, що проходить через центр його інерції. Так як за такого руху ^, то вектор, рівний , лежить у площині траєкторії точки.

На підставі сказаного вище кінетична енергія тіла при його плоскому русі дорівнює

.

Зводячи вираз, що стоїть у круглих дужках, у квадрат і виносячи за знак суми постійні для всіх точок тіла величини, отримаємо

Тут враховано, що.

Розглянемо кожне доданок у правій частині останнього виразу окремо. Перше доданок з очевидної рівності одно

Другий доданок дорівнює нулю, тому що сума визначає радіус-вектор центру інерції (3.5), який в даному випадкулежить на осі обертання. Останнє доданок з урахуванням (4.4) набуде вигляду . Тепер, остаточно, кінетична енергія при довільному, але плоскому русі твердого тіла може бути представлена ​​у вигляді суми двох доданків:

, (4.23)

де перший доданок являє собою кінетичну енергію матеріальної точки з масою, рівної масітіла та рухомої зі швидкістю, яку має центр мас тіла;

другий доданок є кінетичною енергією тіла, що обертається навколо осі (що рухається зі швидкістю ), що проходить через його центр інерції.

Висновки: Отже, кінетична енергія твердого тіла при його обертанні навколо нерухомої осі може бути обчислена за допомогою одного із співвідношень (4.21), а у разі плоского руху за допомогою (4.23).

Контрольні запитання.

4.4. У яких випадках (4.23) перетворюється на (4.21)?

4.5. Як виглядатиме формула для кінетичної енергії тіла за його плоского руху, якщо миттєва вісь обертання не проходить через центр інерції? Який при цьому зміст величин, що входять у формулу?

4.6. Покажіть, що робота внутрішніх сил при обертанні твердого тіла дорівнює нулю.

Завдання

1. Визначити, у скільки разів ефективна масабільше тяжіння маси поїзда масою 4000 т, якщо маса коліс становить 15% від маси поїзда. Колеса вважати дисками діаметром 1,02 м. Як зміниться відповідь, якщо діаметр коліс буде вдвічі меншим?

2. Визначити прискорення, з яким скочується колісна пара масою 1200 кг із гірки з ухилом 0,08. Колеса вважати дисками. Коефіцієнт опору коченню 0,004. Визначити силу зчеплення коліс із рейками.

3. Визначити, з яким прискоренням закочується колісна пара масою 1400 кг на гірку з нахилом 0,05. Коефіцієнт опору 0,002. Яким має бути коефіцієнт зчеплення, щоб колеса не буксували. Колеса вважати дисками.

4. Визначити, з яким прискоренням скочується вагон масою 40 т, з гірки з ухилом 0,020, якщо він має вісім коліс масою 1200 кг і діаметром 1,02 м. Визначити силу зчеплення коліс з рейками. Коефіцієнт опору 0,003.

5. Визначити силу тиску гальмівних колодок на бандажі, якщо поїзд масою 4000 т гальмує із прискоренням 0,3 м/с2. Момент інерції однієї колісної пари 600 кг·м 2 кількість осей 400, коефіцієнт тертя ковзання колодки 0,18, коефіцієнт опору коченню 0,004.

6. Визначити силу гальмування, що діє на чотиривісний вагон масою 60 т на гальмівному майданчику сортувальної гірки, якщо швидкість шляху 30 м зменшилася від 2 м/с до 1,5 м/с. Момент інерції однієї колісної пари 500 кг·м2.

7. Скоростемер локомотива показав збільшення швидкості поїзда протягом однієї хвилини від 10 до 60 м/с. Ймовірно, відбулося буксування провідної колісної пари. Визначити момент сил, які діють якір електродвигуна. Момент інерції колісної пари 600 кг·м 2 якоря 120 кг·м 2 . Передатне відношення зубчастої передачі 4,2. Сила тиску на рейки 200 кН, коефіцієнт тертя ковзання коліс по рейці 0,10.

11. КІНЕТИЧНА ЕНЕРГІЯ ВОРОЧНОГО

РУХУ

Виведемо формулу кінетичної енергії обертального руху. Нехай тіло обертається з кутовою швидкістю ω щодо нерухомої осі. Будь-яка невелика частка тіла здійснює поступальний рух по колу зі швидкістю, де r i -відстань до осі обертання, радіус орбіти. Кінетична енергія частки маси m iдорівнює . Повна кінетична енергія системи частинок дорівнює сумі їх кінетичних енергій. Підсумуємо формули кінетичної енергії частинок тіла та винесемо за знак суми половину квадрата кутової швидкості, яка однакова для всіх частинок, . Сума творів мас частинок на квадрати їх відстаней до осі обертання є моментом інерції тіла щодо осі обертання . Отже, кінетична енергія тіла, що обертається щодо нерухомої осі, дорівнює половині добутку моменту інерції тіла щодо осі на квадрат кутової швидкості обертання:

За допомогою тіл, що обертаються, можна запасати механічну енергію. Такі тіла називаються маховиками. Зазвичай це тіла обертання. Відомо з давніх-давен застосування маховиків у гончарному колі. У двигунах внутрішнього згоряння під час робочого ходу поршень повідомляє механічну енергію маховику, який потім три наступні такти здійснює роботу з обертання валу двигуна. У штампах і пресах маховик приводиться в обертання порівняно малопотужним електродвигуном, накопичує механічну енергію майже протягом повного обороту і короткочасний момент удару віддає її на роботу штампування.

Відомі численні спроби застосування маховиків, що обертаються, для приводу в рух транспортних засобів: легкові автомобілі, автобуси. Їх називають махомобілі, гіровози. Таких експериментальних машин було зроблено чимало. Було б перспективно використовувати маховики для акумулювання енергії при гальмуванні електропоїздів з метою використання накопиченої енергії при подальшому розгоні. Відомо, що маховичний накопичувач енергії використовується потягами метрополітену Нью-Йорка.

Механіка.

Питання №1

Система відліку. Інерційні системи відліку. Принцип відносності Галілея – Ейнштейна.

Система відліку- це сукупність тіл стосовно яких описується рух даного тілата пов'язана з ним система координат.

Інерційна система відліку (ІСО)- це система, в якій тіло, що вільно рухається, знаходиться в стані спокою або рівномірного прямолінійного руху.

Принцип відносності Галілея-Ейнштейна- Усі явища природи у будь-якій інерційній системі відліку відбуваються однаково і мають однаковий математичний вигляд. Тобто всі ІСО рівноправні.

Питання №2

Рівняння руху. Види руху твердого тіла. Основне завдання кінематики.

Рівняння руху матеріальної точки:

- кінематичне рівняння руху

Види руху твердого тіла:

1) Поступальний рух - будь-яка пряма проведена в тілі переміщається паралельно до самої себе.

2) Обертальний рух - будь-яка точка тіла рухається по колу.

φ = φ(t)

Основне завдання кінематики- це отримання залежностей від часу швидкості V = V (t) і координат (або радіуса-вектора) r = r (t) матеріальної точки від відомої залежності від часу її прискорення a = a (t) і відомих початкових умов V 0 і r 0 .

Питання №7

Імпульс (Кількість руху) - векторна фізична величина, Що характеризує міру механічного рухутіла. У класичній механіці імпульс тіла дорівнює добутку маси mцієї точки на її швидкість v, напрям імпульсу збігається з напрямом вектора швидкості:

У теоретичної механіки узагальненим імпульсомназивається приватна похідна лагранжіана системи за узагальненою швидкістю

У випадку, якщо лагранжіан системи не залежить від деякої узагальненої координати, то в силу рівнянь Лагранжа .

Для вільної частки функція Лагранжа має вигляд: , звідси:

Незалежність лагранжіана замкнутої системивід її положення у просторі випливає з якості однорідності простору: Для добре ізольованої системи її поведінка залежить від цього, у місце простору ми її помістимо. за теоремі Нетерз цієї однорідності випливає збереження деякої фізичної величини. Цю величину і називають імпульсом (звичайним, не узагальненим).

У класичній механіці повним імпульсомсистеми матеріальних точок називається векторна величина, що дорівнює сумі творів мас матеріальних точок на їх швидкості:

відповідно величина називається імпульсом однієї матеріальної точки. Це векторна величина, спрямована у той бік, як і швидкість частки. Одиницею вимірювання імпульсу Міжнародній системіодиниць (СІ) є кілограм-метр за секунду(кг·м/с)

Якщо ми маємо справу з тілом кінцевого розміру, для визначення його імпульсу необхідно розбити тіло на малі частини, які можна вважати матеріальними точками та підсумувати за ними, в результаті отримаємо:

Імпульс системи, на яку не діють жодні зовнішні сили (або вони компенсовані), зберігаєтьсяу часі:

Збереження імпульсу в цьому випадку випливає з другого та третього закону Ньютона: написавши другий закон Ньютона для кожної зі складових систему матеріальних точок і просумувавши по всіх матеріальних точках, що становлять систему, в силу третього закону Ньютона отримаємо рівність (*).

У релятивістській механіці тривимірним імпульсом системи невзаємодіючих матеріальних точок називається величина

,

де m i- Маса i-ї матеріальної точки.

Для замкнутої системи не взаємодіючих матеріальних точок ця величина зберігається. Однак тривимірний імпульс не є релятивістською інваріантною величиною, оскільки він залежить від системи відліку. Більш осмисленою величиною буде чотиривимірний імпульс, який для однієї матеріальної точки визначається як

Насправді часто застосовуються такі співвідношення між масою, імпульсом і енергією частки:

У принципі, для системи невзаємодіючих матеріальних точок їх чотири імпульси підсумовуються. Однак для взаємодіючих частинок в релятивістській механіці слід враховувати імпульси не тільки складових частинок, але й імпульс поля взаємодії між ними. Тому набагато осмисленішою величиною в релятивістській механіці є тензор енергії-імпульсу, який повною мірою задовольняє закони збереження.

Питання №8

Момент інерції- скалярна фізична величина, міра інерції тіла в обертальний рухнавколо осі, подібно до того, як маса тіла є мірою його інертності в поступальному русі. Характеризується розподілом мас у тілі: момент інерції дорівнює сумі творів елементарних мас на квадрат їх відстаней до базової множини

Осьовий момент інерції

Осьові моменти інерції деяких тіл.

Моментом інерції механічної системищодо нерухомої осі («осьовий момент інерції») називається величина J a, що дорівнює сумі творів мас усіх nматеріальних точок системи на квадрати їх відстаней до осі:

,

• m i- Маса i-ї точки,
• r i- відстань від i-ї точки до осі.

Осьовий момент інерціїтіла J aє мірою інертності тіла у обертальному русі навколо осі подібно до того, як маса тіла є мірою його інертності в поступальному русі.

,

• dm = ρ dV- маса малого елемента об'єму тіла dV,
• ρ - щільність,
• r- відстань від елемента dVдо осі a.

Якщо тіло однорідне, тобто його густина скрізь однакова, то

Висновок формули

dmта моментами інерції dJ i. Тоді

Тонкостінний циліндр (кільце, обруч)

Висновок формули

Момент інерції тіла дорівнює сумі моментів інерції складових його частин. Розіб'ємо тонкостінний циліндр на елементи з масою dmта моментами інерції dJ i. Тоді

Оскільки всі елементи тонкостінного циліндра знаходяться на однаковій відстані від осі обертання, формула (1) перетворюється на вигляд

Теорема Штейнера

Момент інерціїтвердого тіла щодо будь-якої осі залежить не тільки від маси, форми та розмірів тіла, але також від положення тіла по відношенню до цієї осі. Відповідно до теореми Штейнера (теореми Гюйгенса-Штейнера), момент інерціїтіла Jщодо довільної осі дорівнює сумі моменту інерціїцього тіла J cщодо осі, що проходить через центр мас тіла паралельно розглянутої осі, і добутку маси тіла mна квадрат відстані dміж осями:

Якщо момент інерції тіла щодо осі, що проходить через центр мас тіла, то момент інерції відносно паралельної осі, розташованої на відстані від неї, дорівнює

,

де – повна маса тіла.

Наприклад, момент інерції стрижня щодо осі, що проходить через його кінець, дорівнює:

Енергія обертального руху

Кінетична енергія обертального руху- Енергія тіла, пов'язана з його обертанням.

Основні кінематичні характеристики обертального руху тіла – його кутова швидкість (ω) та кутове прискорення. Основні динамічні характеристики обертального руху – момент імпульсу щодо осі обертання z:

K z = I zω

та кінетична енергія

де I z – момент інерції тіла щодо осі обертання.

Схожий приклад можна знайти при розгляді молекули, що обертається, з головними осями інерції I 1, I 2і I 3. Обертальна енергія такої молекули задана виразом

де ω 1, ω 2, і ω 3- Основні компоненти кутової швидкості.

Загалом, енергія при обертанні з кутовою швидкістю знаходиться за формулою:

, де I- тензор інерції.

Питання №9

Момент імпульсу (кінетичний момент, кутовий момент, орбітальний момент, момент кількості руху) характеризує кількість обертального руху. Величина, що залежить від того, скільки маси обертається, як вона розподілена щодо осі обертання і з якою швидкістю відбувається обертання.

Слід врахувати, що обертання тут розуміється у сенсі, як як регулярне обертання навколо осі. Наприклад, навіть при прямолінійному русітіла повз довільну уявну точку, що не лежить на лінії руху, воно також має момент імпульсу. Найбільшу, мабуть, роль момент імпульсу грає в описі власне обертального руху. Однак дуже важливий і для набагато ширшого класу завдань (особливо - якщо в задачі є центральна або осьова симетрія, але не лише у цих випадках).

Закон збереження моменту імпульсу(Закон збереження кутового моменту) - Векторна сума всіх моментів імпульсу щодо будь-якої осі для замкнутої системи залишається постійною у разі рівноваги системи. Відповідно до цього, момент імпульсу замкнутої системи відносно будь-якої невиробної моменту імпульсу за часом є момент сили:

Таким чином, вимога замкнутості системи може бути ослаблена до вимоги рівності нулю головного (сумарного) моменту зовнішніх сил:

де - момент однієї з сил, що додаються до системи частинок. (Але звичайно, якщо зовнішні сили взагалі відсутні, ця вимога також виконується).

Математично закон збереження моменту імпульсу випливає із ізотропії простору, тобто з інваріантності простору по відношенню до повороту на довільний кут. При повороті на довільний нескінченно малий кут радіус-вектор частки з номером зміняться на , а швидкості - . Функція Лагранжа системи за такого повороту не зміниться, внаслідок ізотропії простору. Тому

1. Розглянемо обертання тіла навколо нерухомийосі Z. Розіб'ємо все тіло на безліч елементарних мас m i. Лінійна швидкість елементарної маси m i– v i = w R i, де R i- Відстань маси m iвід осі обертання. Отже, кінетична енергія i-ой елементарної маси дорівнюватиме . Повна кінетична енергія тіла: , тут - момент інерції тіла щодо осі обертання.

Таким чином, кінетична енергія тіла, що обертається відносно нерухомої осі, дорівнює:

2. Нехай тепер тіло обертаєтьсящодо деякої осі, а сама вісь переміщаєтьсяпоступально, залишаючись паралельною до самої себе.

ПРИКЛАД: Шар, що котиться без ковзання, здійснює обертальний рух, а центр тяжкості його, через який проходить вісь обертання (точка «О») переміщається поступально (рис.4.17).

Швидкість iтієї елементарної маси тіла дорівнює , де - Швидкість деякої точки «О» тіла; - Радіус-вектор, що визначає положення елементарної маси по відношенню до точки «О».

Кінетична енергія елементарної маси дорівнює:

ЗАУВАЖЕННЯ: векторний твірзбігається у напрямку з вектором і має модуль, що дорівнює (рис.4.18).

Врахувавши це зауваження, можна записати, що , де - Відстань маси від осі обертання. У другому доданку зробимо циклічну перестановку співмножників, після цього отримаємо

Щоб отримати повну кінетичну енергію тіла, підсумуємо цей вираз за всіма елементарними масами, виносячи постійні множники за знак суми. Отримаємо

Сума елементарних мас є масою тіла «m». Вираз дорівнює добутку маси тіла на радіус-вектор центру інерції тіла (за визначенням центру інерції). Нарешті, момент інерції тіла щодо осі, що проходить через точку «О». Тому можна записати

.

Якщо в якості точки «O» взяти центр інерції тіла «С», радіус-вектор дорівнюватиме нулю і другий доданок зникне. Тоді, позначивши через швидкість центру інерції, а через момент інерції тіла щодо осі, що проходить через точку «С», отримаємо:

(4.6)

Таким чином, кінетична енергія тіла при плоскому русі складається з енергії поступального руху зі швидкістю, що дорівнює швидкості центру інерції, та енергії обертання навколо осі, що проходить через центр інерції тіла.

Робота зовнішніх сил під час обертального руху твердого тіла.

Знайдемо роботу, яку виконують сили під час обертання тіла навколо нерухомої осі Z.

Нехай на масу діють внутрішня сила та зовнішня сила (результуюча сила лежить у площині перпендикулярної осі обертання) (рис. 4.19). Ці сили здійснюють за час dtроботу:

Здійснивши в змішаних творахвекторів циклічну перестановку співмножників, знаходимо:

де , - відповідно, моменти внутрішньої та зовнішньої сил щодо точки «О».

Підсумувавши за всіма елементарними масами, отримаємо елементарну роботу, що здійснюється над тілом за час dt:

Сума моментів внутрішніх сил дорівнює нулю. Тоді, позначивши сумарний момент зовнішніх сил через , прийдемо до виразу:

.

Відомо, що скалярним творомдвох векторів називається скаляр, рівний добутку модуля одного з векторів, що перемножуються, на проекцію другого на напрям першого, врахувавши, що , (напрями осі Z і збігаються), отримаємо

,

але w · dt=d j, тобто. кут, на який повертається тіло за час dt. Тому

.

p align="justify"> Знак роботи залежить від знака M z, тобто. від знака проекції вектора на напрямок вектора.

Отже, при обертанні тіла внутрішні силироботи не здійснюють, а робота зовнішніх сил визначається формулою .

Робота за кінцевий проміжок часу перебуває шляхом інтегрування

.

Якщо проекція результуючого моменту зовнішніх сил на напрямок залишається постійною, то її можна винести за знак інтеграла:

, тобто. .

Тобто. робота зовнішньої сили при обертальному русі тіла дорівнює добутку проекції моменту зовнішньої сили на напрямок та кут повороту.

З іншого боку робота зовнішньої сили, що діє на тіло йде на збільшення кінетичної енергії тіла (або дорівнює зміні кінетичної енергії тіла, що обертається). Покажемо це:

;

Отже,

. (4.7)

Самостійно:

Пружні сили;

Закон Гука.

ЛЕКЦІЯ 7

Гідродинаміка

Лінії та трубки струму.

Гідродинаміка вивчає рух рідин, проте її закони застосовуються і до руху газів. При стаціонарному перебігу рідини швидкість її частинок у кожній точці простору є величина, незалежна від часу і функція координат. При стаціонарному перебігу траєкторії частинок рідини утворюють лінію струму. Сукупність ліній струму утворює трубку струму (рис. 5.1). Вважатимемо рідину несжимаемой, тоді обсяг рідини, що протікає через перерізи S 1 та S 2 буде однаковий. За секунду через ці перерізи пройде об'єм рідини, що дорівнює

, (5.1)

де і - швидкості рідини в перерізах S 1 та S 2 а вектора і визначаються як і , де і - нормалі до перерізів S 1 та S 2 . Рівняння (5.1) називають рівнянням нерозривності струменя. З нього випливає, що швидкість рідини обернено пропорційна перерізу трубки струму.

Рівняння Бернуллі.

Розглянемо ідеальну стисливу рідину, в якій внутрішнє тертя (в'язкість) відсутнє. Виділимо в стаціонарно поточній рідині тонку трубку струму (рис. 5.2) з перерізами S 1і S 2, перпендикулярними до ліній струму. У перерізі 1 за короткий час tчастинки змістяться на відстань l 1, а в перерізі 2 - на відстань l 2. Через обидва перерізи за час tпройдуть однакові малі обсяги рідини V= V 1 = V 2і перенесуть масу рідини m=rV, де r- Щільність рідини. Загалом зміна механічної енергії всієї рідини у трубці струму між перерізами S 1і S 2, що сталося за час t, можна замінити зміною енергії об'єму V, що відбулося при його переміщенні від перерізу 1 до перерізу 2 . При такому русі зміниться кінетична та потенційна енергія цього обсягу та повна зміна його енергії

, (5.2)

де v 1 і v 2 - швидкості частинок рідини у перерізах S 1і S 2відповідно; g- прискорення земного тяжіння; h 1і h 2- Висоти центру перерізів.

В ідеальній рідині втрати на тертя відсутні, тому збільшення енергії DEмає дорівнювати роботі, що здійснюється силами тиску над виділеним обсягом. За відсутності сил тертя ця робота:

Прирівнюючи праві частини рівностей (5.2) та (5.3) та переносячи члени з однаковими індексами в одну частину рівності, отримаємо

. (5.4)

Переріз трубки S 1і S 2були взяті довільно, тому можна стверджувати, що в будь-якому перерізі трубки струму справедливий вираз

. (5.5)

Рівняння (5.5) називається рівнянням Бернуллі. Для горизонтальної лінії струму h = constі рівність (5.4) набуває вигляду

r /2 + p 1 = r · /2 + p 2 , (5.6)

тобто. тиск виявляється меншим у тих точках, де швидкість більша.

Сили внутрішнього тертя.

Реальній рідині притаманна в'язкість, яка проявляється в тому, що будь-який рух рідини та газу мимоволі припиняється за відсутності причин, що його викликали. Розглянемо досвід, у якому шар рідини розташований над нерухомою поверхнею, а зверху його переміщається зі швидкістю плаваюча на ній пластина з поверхнею S(Рис. 5.3). Досвід свідчить, що з переміщення пластини з постійною швидкістю необхідно діяти її у силою . Так як пластина не отримує прискорення, значить, дія цієї сили врівноважується іншою, яка дорівнює їй за величиною і протилежно спрямованою силою, яка є силою тертя. . Ньютон показав, що сила тертя

, (5.7)

де d- товщина шару рідини, h - коефіцієнт в'язкості або коефіцієнт тертя рідини, знак мінус враховує різний напрямок векторів F трі v o. Якщо досліджувати швидкість частинок рідини у різних місцях шару, то виявляється, що вона змінюється за лінійним законом (рис. 5.3):

v(z) = = (v 0 /d) · z.

Диференціюючи цю рівність, отримаємо dv/dz= v 0 /d. З урахуванням цього

формула (5.7) набуде вигляду

F тр=- h(dv/dz)S , (5.8)

де h - коефіцієнт динамічної в'язкості. Величина dv/dzназивається градієнтом швидкості. Вона показує, як швидко змінюється швидкість у напрямку осі z. При dv/dz= const градієнт швидкості чисельно дорівнює зміні швидкості vпри зміні zна одиницю. Покладемо чисельно у формулі (5.8) dv/dz =-1 та S= 1, отримаємо h = F. Звідси випливає фізичний сенс h: коефіцієнт в'язкості чисельно дорівнює силі, що діє на шар рідини одиничної площі при градієнті швидкості, що дорівнює одиниці. Одиниця в'язкості в СІ називається паскаль-секундою (позначається Па с). У системі СГС одиницею в'язкості є 1 пуаз (П), причому 1 Па = 10П.