Математичне очікування m. Середнє значення випадкової величини

Нехай для випадкової величини xможливі значення:

X1, x2, …, xk.

Вимірювання проводяться Nраз, результат x iспостерігається N iраз, тоді

Середнє значення

(сума результатів вимірів)/(число всіх вимірів) =
.

При
з урахуванням (1.1)

отримуємо

. (1.5)

Для функції випадкової величини

. (1.5а)

Середнє значення величини дорівнює сумі творів її значень на ймовірності цих значень .

При
отримуємо
та (1.5а) дає нормування ймовірностей

. (1.6)

Властивості середнього

Для постійної
та незалежних випадкових величин xі yвиконується:

1)

- Постійний множник виноситься з-під знака усереднення;

- Середнє від суми / різниці дорівнює сумі / різниці середніх;

3)

- Середнє від добутку незалежних величин дорівнює добутку їх середніх.

Доказ якості 1

З визначення середнього (1.5а)

отримуємо

Доказ якості 2

Функція
, що описує розподіл ймовірності длявипадкової величини x, однакова для функцій
і
тоді з визначення середнього (1.5а)

;

Доказвластивості 3

Використовуємо визначення середнього та функцію розподілу
незалежних випадкових величин xі y. Відповідно до теореми про незалежні події їх ймовірності перемножуються

Тоді отримуємо

.

Основні визначення

Відхилення від середньоговипадкової величини

.

Середнє відхилення від середньоговипадкової величини дорівнює нулю

Середня квадратична величина

. (1.7)

Для середніх значень випадкових величин xі yвиконується нерівність Коші-Буняковського-Шварця

. (1.7а)

З (1.7а) при
знаходимо

. (1.7б)

Середнє квадратичне більше або дорівнює квадрату середнього.

Дисперсія- Середнє квадратичне відхилення від середнього

З (1.7б) отримуємо
.

Флуктуація- Корінь квадратний з дисперсії

Відносна флуктуація

. (1.10)

Якщо xвипадковим чином змінюється з плином часу, то відносна флуктуація показує частку часу, протягом якої система перебуває в стані
.

Теорема:Відносна флуктуація адитивної величини, що характеризує систему, зменшується обернено пропорційно до кореня квадратного з числа незалежних підсистем і для макроскопічної системи вона мала. Прикладом адитивної величини (від латів. additivus - «додається») є енергія. Флуктуація енергії для макросистеми дуже мала, для мікросистеми вона істотна.

Доказ

Адитивна величина Xдля системи дорівнює сумі значень x kдля Nнезалежних підсистем

.

За якістю 2 усереднення – середнє від суми дорівнює сумі середніх

- Пропорційна числу підсистем.

Відхилення від середнього

,

дисперсія

.

При зведенні у квадрат
і усереднення результату для перехресних творів враховано властивість 3 усереднення –середнє від твору незалежних величин і твору їх середніх

,
,

і використано, що середнє відхилення від середнього дорівнює нулю

.

Не рівними нулю залишаються квадрати величин. В результаті флуктуація

.

Відносна флуктуація

(П.1.11)

зменшується обернено пропорційно до кореня квадратного з числа незалежних підсистем.

Виробнича функція. Є випадкова величина n, яка набуває дискретних значень в інтервалі
. Ймовірність отримання результату nдорівнює
. Визначаємо функцію, що виробляє

. (П.1.14)

Якщо відома функція, що виробляє, то розподіл ймовірності отримуємо з (П.1.14)

, (П.1.15)

де використано

Умови нормування (1.6)

вимагає виконання

. (П.1.16)

Для отримання середніх значень випадкової величини диференціюємо (П.1.14)

,

і знаходимо

. (П.1.17)

Дворазове диференціювання (П.1.14)

. (П.1.18)

Теорема про виконання функцій. Якщо відбуваються два незалежні види подій, які описуються розподілами ймовірностей з функціями, що виробляють
і
, то розподіл суми подій виражається добутком їх функцій

Теорія ймовірності – особливий розділ математики, який вивчають лише студенти вищих навчальних закладів. Ви любите розрахунки та формули? Вас не лякають перспективи знайомства з нормальним розподілом, ентропією ансамблю, математичним очікуванням та дисперсією дискретної випадкової величини? Тоді цей предмет вам буде дуже цікавим. Давайте познайомимося з кількома найважливішими базовими поняттямицього розділу науки.

Згадаймо основи

Навіть якщо ви пам'ятаєте самі прості поняттятеорії ймовірності, не нехтуйте першими абзацами статті. Справа в тому, що без чіткого розуміння основ ви не зможете працювати з формулами, що розглядаються далі.

Отже, відбувається деяка випадкова подія, якийсь експеримент. Через війну вироблених дій ми можемо отримати кілька результатів - одні зустрічаються частіше, інші - рідше. Імовірність події - це відношення кількості реально отриманих наслідків одного типу до загального числа можливих. Тільки знаючи класичне визначення даного поняття, ви зможете приступити до вивчення математичного очікуваннята дисперсії безперервних випадкових величин.

Середнє арифметичне

Ще в школі на уроках математики ви починали працювати із середнім арифметичним. Це поняття широко використовується в теорії ймовірності, і тому його не можна обминути. Головним для нас на даний моментє те, що ми зіткнемося з ним у формулах математичного очікування та дисперсії випадкової величини.

Ми маємо послідовність чисел і хочемо знайти середнє арифметичне. Все, що від нас вимагається - підсумувати все існуюче та розділити на кількість елементів у послідовності. Нехай ми маємо числа від 1 до 9. Сума елементів дорівнюватиме 45, і це значення ми розділимо на 9. Відповідь: - 5.

Дисперсія

Говорячи науковою мовоюдисперсія - це середній квадрат відхилень отриманих значень ознаки від середнього арифметичного. Позначається одна заголовною латинською літерою D. Що потрібно, щоб її розрахувати? Для кожного елемента послідовності порахуємо різницю між наявним числом та середнім арифметичним і зведемо у квадрат. Значень вийде рівно стільки, скільки може бути результатів у події, що ми розглядаємо. Далі ми підсумовуємо все отримане та ділимо на кількість елементів у послідовності. Якщо у нас можливі п'ять наслідків, то ділимо на п'ять.

У дисперсії є й властивості, які потрібно запам'ятати, щоб застосовувати під час вирішення завдань. Наприклад, зі збільшенням випадкової величини у X разів, дисперсія збільшується у X у квадраті разів (т. е. X*X). Вона ніколи не буває менше нуля і не залежить від зсуву значень на рівне значення у більшу чи меншу сторону. Крім того, для незалежних випробувань дисперсія суми дорівнює сумі дисперсій.

Тепер нам обов'язково слід розглянути приклади дисперсії дискретної випадкової величини та математичного очікування.

Припустимо, що ми провели 21 експеримент та отримали 7 різних результатів. Кожен із них ми спостерігали, відповідно, 1,2,2,3,4,4 та 5 разів. Чому дорівнюватиме дисперсія?

Спочатку порахуємо середнє арифметичне: сума елементів, зрозуміло, дорівнює 21. Ділимо її на 7, отримуючи 3. Тепер із кожного числа вихідної послідовності віднімемо 3, кожне значення зведемо в квадрат, а результати складемо разом. Вийде 12. Тепер нам залишається розділити число на кількість елементів, і, начебто, все. Але є проблема! Давайте її обговоримо.

Залежність кількості експериментів

Виявляється, при розрахунку дисперсії у знаменнику може стояти одне з двох чисел: або N або N-1. Тут N - це число проведених експериментів або число елементів у послідовності (що, по суті, те саме). Від чого залежить?

Якщо кількість випробувань вимірюється сотнями, ми повинні ставити в знаменник N. Якщо одиницями, то N-1. Кордон вчені вирішили провести досить символічно: на сьогоднішній день вона проходить за цифрою 30. Якщо експериментів ми провели менше 30, то ділити суму будемо на N-1, а якщо більше – то на N.

Завдання

Давайте повернемося до нашого прикладу розв'язання задачі на дисперсію та математичне очікування. Ми отримали проміжне число 12, яке потрібно було поділити на N чи N-1. Оскільки експериментів ми провели 21, що менше 30 виберемо другий варіант. Отже, відповідь: дисперсія дорівнює 12/2 = 2.

Математичне очікування

Перейдемо до другого поняття, яке ми обов'язково маємо розглянути цій статті. Математичне очікування - це результат складання всіх можливих наслідків, помножених на відповідні ймовірності. Важливо розуміти, що отримане значення, як і результат розрахунку дисперсії, виходить лише один раз для цілого завдання, скільки результатів у ній не розглядалося.

Формула математичного очікування досить проста: беремо результат, множимо з його ймовірність, додаємо те саме для другого, третього результату тощо. буд. Усе, що з цим поняттям, розраховується нескладно. Наприклад, сума матожиданий дорівнює маточку суми. Для твору актуально те саме. Такі прості операції дозволяє із собою виконувати далеко не кожна величина теорії ймовірності. Давайте візьмемо завдання і порахуємо значення одразу двох вивчених понять. Крім того, ми відволікалися на теорію - настав час попрактикуватися.

Ще один приклад

Ми провели 50 випробувань і отримали 10 видів результатів – цифри від 0 до 9 – які з'являються у різному відсотковому відношенні. Це відповідно: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Нагадаємо, що для отримання ймовірностей потрібно розділити значення у відсотках на 100. Таким чином отримаємо 0,02; 0,1 і т.д. Представимо для дисперсії випадкової величини та математичного очікування приклад розв'язання задачі.

Середнє арифметичне розрахуємо за такою формулою, яку пам'ятаємо з молодшої школи: 50/10 = 5.

Тепер переведемо ймовірність у кількість наслідків «в штуках», щоб було зручніше рахувати. Отримаємо 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 і 9. З кожного отриманого значення віднімемо середнє арифметичне, після чого кожен із отриманих результатів зведемо в квадрат. Подивіться, як це зробити, з прикладу першого елемента: 1 - 5 = (-4). Далі: (-4) * (-4) = 16. Для решти значень проробіть ці операції самостійно. Якщо ви все зробили правильно, то після додавання всіх ви отримаєте 90.

Продовжимо розрахунок дисперсії та математичного очікування, розділивши 90 на N. Чому ми вибираємо N, а не N-1? Правильно тому, що кількість проведених експериментів перевищує 30. Отже: 90/10 = 9. Дисперсію ми отримали. Якщо у вас вийшло інше число, не засмучуйтесь. Швидше за все, ви припустилися банальної помилки при розрахунках. Перевірте ще раз написане, і напевно все встане на свої місця.

Зрештою, згадаємо формулу математичного очікування. Не будемо наводити всіх розрахунків, напишемо лише відповідь, з якою ви зможете звіритися, закінчивши всі необхідні процедури. Матоожидання дорівнюватиме 5,48. Нагадаємо лише, як здійснювати операції, з прикладу перших елементів: 0*0,02 + 1*0,1… тощо. Як бачите, ми просто множимо значення результату з його ймовірність.

Відхилення

Ще одне поняття, тісно пов'язане з дисперсією та математичним очікуванням – середнє квадратичне відхилення. Позначається воно або латинськими літерами sd, або грецькою малої «сигмою». Це поняттяпоказує, наскільки в середньому відхиляються значення від центральної ознаки. Щоб знайти її значення, потрібно розрахувати квадратний коріньіз дисперсії.

Якщо ви збудуєте графік нормального розподілуі захочете побачити безпосередньо на ньому квадратичного відхилення, це можна зробити за кілька етапів. Візьміть половину зображення зліва або праворуч від моди (центрального значення), проведіть перпендикуляр до горизонтальної осі так, щоб площі фігур були рівні. Величина відрізка між серединою розподілу і проекцією, що вийшла, на горизонтальну вісь і буде середнім квадратичним відхиленням.

Програмне забезпечення

Як видно з описів формул і наведених прикладів, розрахунки дисперсії та математичного очікування - не найпростіша процедура з арифметичної точки зору. Щоб не витрачати час, має сенс скористатися програмою, яка використовується у вищих навчальних закладах- вона називається "R". У ній є функції, що дозволяють розраховувати значення для багатьох понять із статистики та теорії ймовірності.

Наприклад, ви задаєте вектор значень. Робиться це так: vector<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

На закінчення

Дисперсія та математичне очікування - це без яких складно надалі щось розрахувати. В основному курсі лекцій у вишах вони розглядаються вже у перші місяці вивчення предмета. Саме через нерозуміння цих найпростіших понять та невміння їх розрахувати багато студентів відразу починають відставати за програмою і пізніше отримують погані позначки за результатами сесії, що позбавляє їх стипендії.

Потренуйтесь хоча б один тиждень по півгодини на день, вирішуючи завдання, схожі на представлені в цій статті. Тоді на будь-якій контрольній теорії ймовірності ви впораєтеся з прикладами без сторонніх підказок і шпаргалок.

Кожна окремо взята величина повністю визначається своєю функцією розподілу. Також, для вирішення практичних завдань вистачає знати кілька числових характеристик, завдяки яким з'являється можливість уявити основні особливості випадкової величини в короткій формі.

До таких величин відносять насамперед математичне очікуванняі дисперсія .

Математичне очікування- Середнє значення випадкової величини в теорії ймовірностей. Позначається як .

Найпростішим способом математичне очікування випадкової величини Х(w), знаходять як інтегралЛебегастосовно ймовірнісної міри Р вихідному імовірнісному просторі

Ще знайти математичне очікування величини можна як інтеграл Лебегавід хщодо розподілу ймовірностей Р Хвеличини X:

де - безліч усіх можливих значень X.

Математичне очікування функцій від випадкової величини Xзнаходиться через розподіл Р Х. Наприклад, якщо X- випадкова величина зі значеннями і f(x)- однозначна борелівськафункція Х , то:

Якщо F(x)- функція розподілу X, то математичне очікування представимо інтеграломЛебега - Стілтьєса (або Рімана - Стілтьєса):

при цьому інтегрованість Xу сенсі ( * ) відповідає кінцівки інтегралу

У конкретних випадках, якщо Xмає дискретний розподіл із ймовірними значеннями х k, k=1, 2, . і ймовірностями , то

якщо Xмає абсолютно безперервний розподіл із щільністю ймовірності р(х), то

при цьому існування математичного очікування рівносильне абсолютній збіжності відповідного ряду або інтеграла.

Властивості математичного очікування випадкової величини.

• Математичне очікування постійної величини дорівнює цій величині:

C- Постійна;

• M=C.M[X]

• Математичне очікування суми випадково взятих величин дорівнює сумі їх математичних очікувань:

• Математичне очікування твору незалежних випадково взятих величин = твору їх математичних очікувань:

M=M[X]+M[Y]

якщо Xі Yнезалежні.

якщо сходиться ряд:

Алгоритм обчислення математичного очікування.

Властивості дискретних випадкових величин: їх значення можна перенумерувати натуральними числами; кожному значення прирівняти відмінну від нуля ймовірність.

1. По черзі перемножуємо пари: x iна p i.

2. Складаємо твір кожної пари x i p i.

Наприклад, для n = 4 :

Функція розподілу дискретної випадкової величиниступінчаста, вона зростає стрибком у тих точках, ймовірності яких мають позитивний знак.

Приклад:Знайти математичне очікування за формулою.

Поняття математичного очікування можна розглянути з прикладу з киданням грального кубика. При кожному кидку фіксуються окуляри, що випали. Для їхнього вираження використовуються натуральні значення в діапазоні 1 – 6.

Після певної кількості кидків за допомогою нескладних розрахунків можна знайти середнє арифметичне значення очок, що випали.

Так само, як і випадання будь-якого з значень діапазону, ця величина буде випадковою.

А якщо збільшити кількість кидків у кілька разів? При великих кількостях кидків середнє арифметичне значення очок буде наближатися до конкретного числа, що отримало теоретично ймовірностей назву математичного очікування.

Отже, під математичним очікуванням розуміється середнє значення випадкової величини. Даний показник може представлятися і як виважена сума значень ймовірної величини.

Це поняття має кілька синонімів:

• середнє значення;
• середня величина;
• показник центральної тенденції;
• перший момент.

Іншими словами, воно є нічим іншим як числом, навколо якого розподіляються значення випадкової величини.

У різних сферах людської діяльності підходи до розуміння математичного очікування дещо відрізнятимуться.

Воно може розглядатися як:

• середня вигода, отримана від ухвалення якогось рішення, у тому випадку, коли таке рішення розглядається з точки зору теорії великих чисел;
• Можлива сума виграшу чи програшу (теорія азартних ігор), розрахована загалом кожної зі ставок. На сленгу вони звучать як "перевага гравця" (позитивно для гравця) або "перевага казино" (негативно для гравця);
• відсоток прибутку, отриманого від виграшу.

Матеріювання не є обов'язковим для всіх випадкових величин. Воно відсутнє для тих, у яких спостерігається розбіжність відповідної суми або інтеграла.

Властивості математичного очікування

Як і будь-якого статистичного параметра, математичному очікуванню притаманні властивості:

Основні формули для математичного очікування

Обчислення математичного очікування може виконуватися як випадкових величин, що характеризуються як безперервністю (формула А), і дискретністю (формула Б):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, де xi – значення випадкової величини, pi – ймовірності:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, де f(x) – задана щільність ймовірностей.

Приклади обчислення математичного очікування

Приклад А.

Чи можна дізнатися середнє зростання гномів у казці про Білосніжку. Відомо, що кожен із 7 гномів мав певне зростання: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 та 0,81 м.

Алгоритм обчислень досить простий:

• знаходимо суму всіх значень показника зростання (випадкова величина):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• отриману суму ділимо на кількість гномів:
  6,31:7=0,90.

Таким чином, середнє зростання гномів у казці дорівнює 90 см. Іншими словами таке математичне очікування зростання гномів.

Робоча формула - М (х) = 4 0,2 +6 0,3 +10 0,5 = 6

Практична реалізація математичного очікування

До обчислення статистичного показника математичного очікування вдаються у різних галузях практичної діяльності. Насамперед йдеться про комерційну сферу. Адже введення Гюйгенсом цього показника пов'язане з визначенням шансів, які можуть бути сприятливими або навпаки несприятливими для якоїсь події.

Цей параметр широко застосовується для оцінки ризиків, особливо якщо йдеться про фінансові вкладення.
Так, у підприємництві розрахунок математичного очікування виступає як метод для оцінювання ризику при розрахунку цін.

Також цей показник може використовуватися для розрахунку ефективності проведення тих чи інших заходів, наприклад, з охорони праці. Завдяки йому можна визначити ймовірність настання події.

Ще одна сфера застосування цього параметра – менеджмент. Також він може розраховуватися під час контролю якості продукції. Наприклад, з допомогою мат. очікування можна розрахувати можливу кількість виготовлення бракованих деталей.

Незамінним мат.ожидание виявляється і під час проведення статистичної обробки отриманих під час наукових досліджень результатів. Він дозволяє розрахувати і можливість прояву бажаного чи небажаного результату експерименту чи дослідження залежно від рівня досягнення поставленої мети. Адже її досягнення може асоціюватися з виграшем і вигодою, а її не досягнення - як програш або збиток.

Використання математичного очікування на Форекс

Практичне застосування даного статистичного параметра можливе під час операцій на валютному ринку. З його допомогою можна здійснювати аналіз успішності торгових угод. При чому збільшення значення очікування свідчить про збільшення їхньої успішності.

Також важливо пам'ятати, що математичне очікування не повинно розглядатися як єдиний статистичний параметр, який використовується для аналізу роботи трейдера. Використання кількох статистичних параметрів поряд із середнім значенням підвищує точність аналізованого в рази.

Цей параметр добре зарекомендував себе під час моніторингових спостережень за торговими рахунками. Завдяки йому виконується швидка оцінка робіт, які здійснюються на депозитному рахунку. У випадках, коли діяльність трейдера вдала і він уникає збитків, користуватися виключно розрахунком математичного очікування не рекомендується. У таких випадках не враховуються ризики, що знижує ефективність аналізу.

Проведені дослідження тактик трейдерів свідчать, що:

• найбільш ефективними виявляються тактики, що базуються на випадковому вході;
• Найменш ефективні – тактики, що базуються на структурованих входах.

У досягненні позитивних результатів не менш важливі:

• тактика управління капіталом;
• стратегії виходів

Використовуючи такий показник як математичне очікування, можна припустити яким буде прибуток або збиток при вкладенні 1 долара. Відомо, що цей показник, розрахований для всіх ігор, які практикуються у казино, на користь закладу. Саме це дає змогу заробляти гроші. У разі довгої серії ігор, ймовірність втрати грошей клієнтом істотно зростає.

Ігри професійних гравців обмежені невеликими проміжками часу, що збільшує ймовірність виграшу і знижує ризик програшу. Така сама закономірність спостерігається і під час виконання інвестиційних операцій.

Інвестор може заробити значну суму при позитивному очікуванні та вчиненні великої кількості угод за невеликий часовий проміжок.

Очікування може розглядатися як різниця між добутком відсотка прибутку (PW) на середній прибуток (AW) та ймовірність збитку (PL) на середній збиток (AL).

Як приклад, можна розглянути наступний: позиція – 12,5 тис. доларів, портфель – 100 тис. доларів, ризик на депозит – 1%. Прибутковість угод становить 40% випадків за середньої прибутку 20%. У разі збитку середні втрати становлять 5%. Розрахунок математичного очікування для угоди дає значення 625 доларів.

Виявляється, що ціла низка практичних завдань можна вирішити за допомогою небагатьох характеристик розподілу, а знання точної функції розподілу випадкової величини виявляється необов'язковим. До таких визначальних характеристик випадкової величини відносяться, наприклад, її середнє та середнє квадратичне значення, а також середнє відхилення квадратичне.

Знаходити середні значення випадкових величин можна з досвіду, і навіть знаючи функції розподілу випадкових величин. Розглянемо, як знаходити ці середні значення у різних випадках.

Нехай випадкова величина може набувати: значення з ймовірністю або це значення випадає раз з

значення з ймовірністю або це значення випадає раз нарешті,

значення з ймовірністю або це значення випадає раз з

Тоді сума значень випадкової величини під час випробувань буде:

Щоб знайти середнє значення випадкової величини, тобто значення, що припадає на одне випробування, потрібно суму розділити на повну кількість випробувань:

Якщо ми маємо деяку середню величину знайдену за формулою (2.11), то, взагалі кажучи, при різних значеннях повного числа випробувань значення середньої величини також будуть різними, оскільки розміри, що розглядаються, носять випадковий характер. Однак зі збільшенням числа середнє значення цієї величини прагнутиме до певної межі а. І що більше буде кількість випробувань, то ближче визначене за формулою (2.11), наближатися до цього граничного значення:

Остання рівність є так званий закон великих чисел або теорему Чебишева: середнє значення випадкової величини буде прагнути до постійного числа при дуже великій кількості вимірів.

Отже, середнє значення випадкової величини дорівнює сумі добутків випадкової величини на ймовірність її появи.

Якщо випадкова величина змінюється безперервно, її середнє значення можна знайти з допомогою інтегрування:

Середні величини мають ряд важливих властивостей:

1) середнє значення постійної величини дорівнює самій постійній величині, тобто.

2) середнє значення деякої випадкової величини є постійна величина, тобто.

3) середнє значення суми кількох випадкових величин дорівнює сумі середніх значень цих величин, тобто.

4) середнє значення твору двох взаємно незалежних випадкових величин дорівнює добутку середніх значень кожної їх, тобто.

Поширюючи це правило на більшу кількість незалежних величин, маємо:

Іноді з тих чи інших причин знання середнього значення випадкової величини виявляється недостатнім. У разі шукається непросто середнє значення випадкової величини, а середнє значення квадрата цієї величини (квадратичне). При цьому мають місце аналогічні формули:

для дискретних значень та

у разі безперервної зміни випадкової величини.

Середнє квадратичне значення випадкової величини виявляється завжди позитивним і не перетворюється на нуль.

Часто доводиться цікавитися як середніми значеннями самої випадкової величини, а й з середніми значеннями деяких функцій від випадкової величини.

Наприклад, маючи розподіл молекул за швидкостями, ми можемо знайти середню швидкість. Але нас також може цікавити середня кінетична енергія теплового руху, що є квадратичною функцією швидкості. У таких випадках можна скористатися такими загальними формулами, що визначають середнє значення довільної функції випадкової величини для дискретного розподілу

для випадку безперервного розподілу

Для знаходження середніх значень випадкової величини або функції випадкової величини за допомогою ненормованої функції розподілу користуються формулами:

Тут всюди інтегрування проводиться у всій області можливих значень випадкової величини

Відхилення від середніх.У ряді випадків знання середнього та середнього квадратичного значення випадкової величини виявляється недостатнім для характеристики випадкової величини. Інтерес є також розподілом випадкової величини біля свого середнього значення. І тому досліджується відхилення випадкової величини від середнього значення.

Однак, якщо ми візьмемо середнє відхилення випадкової величини від її середнього значення, тобто середнє значення чисел:

то отримаємо, як у разі дискретного, і у разі безперервного розподілу, нуль. Справді,

Іноді можна знаходити середнє значення модулів відхилень випадкової величини від середнього значення, тобто величину:

Проте обчислення з абсолютними значеннями часто складні, інколи ж і неможливі.

Тому набагато частіше для характеристики розподілу випадкової величини біля свого середнього значення використовують так зване середнє відхилення квадратичне або середній квадрат відхилення. Середній квадрат відхилення інакше називають дисперсією випадкової величини. Дисперсія визначається за формулами:

які перетворюються на один вид (див. задачі 5, 9).

де величина є квадратом відхилення випадкової величини від її середнього значення.

Квадратний корінь з дисперсії випадкової величини називається середнім квадратичним відхиленням випадкової величини, а для фізичних величин флуктуацією:

Іноді вводиться відносна флуктуація, яка визначається за формулою

Таким чином, знаючи закон розподілу випадкової величини, можна визначити всі цікаві для нас характеристики випадкової величини: середнє значення, середнє квадратичне, середнє значення довільної функції від випадкової величини, середній квадрат відхилення або дисперсію і флуктуацію випадкової величини.

Тому однією з основних завдань статистичної фізики є віднайдення законів і функцій розподілу тих чи інших випадкових фізичних величин і параметрів у різних фізичних системах.