Неможливий трикутник. Що потрібно знати про трикутник Пенроуза? Як зробити неможливий трикутник з паперу схема

Неможливе все-таки можливе. І яскраве підтвердження цього – неможливий трикутник Пенроуза. Відкритий ще в минулому столітті він дотепер часто зустрічається в науковій літературі. І хоч як це дивно не звучало, але його можна виготовити навіть самостійно. І зробити це дуже просто. Багато любителів малювати чи збирати орігамі вже давно змогли це зробити.

Значення трикутника Пенроуза

Існує кілька назв цієї фігури. Одні називають її неможливим трикутником, інші просто трибаром. Але найчастіше можна зустріти визначення саме «трикутник Пенроуза».

Розуміють під цими визначеннями одну з основних неможливих фігур. Якщо судити за назвою, то отримати подібну фігуру насправді неможливо. Але на практиці було доведено, що зробити це можна. Ось тільки форму трикутника фігура прийматиме, якщо дивитися на неї з певної точки під потрібним кутом. З решти сторін фігура цілком реальна. Вона є три ребра куба. І зробити таку конструкцію просто.

Історія відкриття

Трикутник Пенроуза було відкрито далекого 1934 року художником зі Швеції Оскаром Реутерсвардом. Фігура була представлена ​​у вигляді зібраних кубиків. Надалі художника почали називати «батьком неможливих постатей».

Можливо, малюнок Реутерсварда так і залишився маловідомим. Але 1954 року шведський математик Роджер Пенроуз написав статтю про неможливі постаті. Це стало другим народженням трикутника. Щоправда, вчений представив його у більш звичному вигляді. Він використав не кубики, а балки. Три балки з'єднувалися між собою під кутом 90 градусів. Відмінність також була в тому, що Реутерсвард використав паралельну перспективу під час малювання. А Пенроуз застосував перспективу лінійного характеру, що надало малюнку ще більшої неможливості. Такий трикутник було опубліковано 1958 року в одному з британських журналів про психологію.

В 1961 художник Мауріц Ешер (Голландія) створив одну зі своїх найбільш популярних літографій «Водоспад». Створено її було під враженням, яке було викликано статтею про неможливі постаті.

У вісімдесятих роках минулого століття трибар та інші неможливі постаті зображалися на державних поштових марках Швеції. Тривало це протягом кількох років.

Наприкінці минулого століття (а точніше 1999 року) в Австралії було створено скульптуру з алюмінію, що зображувала неможливий трикутник Пенроуза. Вона сягала заввишки 13 метрів. Подібні скульптури, менші за розмірами, зустрічаються і в інших країнах.

Неможливе насправді

Як можна вже здогадатися, трикутник Пенроуза насправді не є трикутником у звичайному розумінні. Він є три грані куба. Але якщо дивитися з певного кута, виходить ілюзія трикутника за рахунок того, що на площині повністю збігаються 2 кути. Зорово поєднується ближній від дивлячого і дальній кути.

Якщо бути уважним, то можна здогадатися, що трибар є не чим іншим, як ілюзією. Реальний вигляд фігури може видати тінь від неї. Нею видно, що насправді кути не з'єднуються. Ну і, звичайно, все стає зрозуміло, якщо фігуру взяти в руки.

Виготовлення фігури своїми руками

Трикутник Пенроуза можна зібрати самостійно. Наприклад, з паперу чи картону. І допоможуть у цьому схеми. Їх потрібно лише роздрукувати і склеїти. В Інтернеті представлено дві схеми. Одна з них трохи легша, інша - складніша, але популярніша. Обидві представлені на малюнках.

Трикутник Пенроуза стане цікавим виробом, який обов'язково сподобається гостям. Він точно не залишиться непоміченим. Першим етапом щодо його створення є підготовка схеми. Вона переноситься на папір (картон) за допомогою принтера. А далі все ще простіше. Її потрібно просто вирізати на периметрі. На схемі є всі необхідні лінії. Зручніше працюватиме з більш щільним папером. Якщо схема роздрукована на тонкому папері, а хочеться щось щільніше, заготовка просто прикладається на вибраний матеріал і вирізається по контуру. Щоб схема не зрушувалась, її можна прикріпити скріпками.

Далі потрібно визначити ті лінії, якими заготівля буде згинатися. Як правило, на схемі вона представлена ​​пунктирною лінією. Згинаємо деталь. Далі визначаємо місця, що підлягають склеюванню. Вони промазуються клеєм ПВА. Деталь поєднується в єдину фігуру.

Деталь можна розфарбувати. А можна спочатку використати кольоровий картон.

Вітаю вас, шановні читачі блогу сайт. На зв'язку Рустам Закіров і в мене для вас чергова стаття, тема якої намалювати трикутник Пенроуза. Сьогодні я хочу вам показати, як легко і просто можна намалювати неможливий трикутник. Ми з вами намалюємо два малюнки цього трикутника, один буде звичайний, а другий справжнісінький 3д малюнок. І все це буде напрочуд просто. Справжній 3д малюнок цього трикутника ви зможете. Маю сумнів, що таке вам покажуть десь ще, тому читайте статтю до кінця і дуже уважно.

Для наших малюнків нам як завжди знадобляться: аркуш паперу прості олівці (бажано один «середній», «інший м'який») та кілька кольорових олівців чи фломастерів.

Як легко малювати будь-які 3д малюнки.

Цю неможливий трикутник я витягнув з цієї звичайної картинки, яку просто знайшов в інтернеті. Ось вона.

А потім за пару хвилин за допомогою перевів її у 3д . Так можна переводити в 3д майже будь-які зображення. Хто хоче навчитися так само, натисніть сюди.

А ми переходимо до нашого малюнку.

Малюємо звичайний рисунок трикутник.

КРОК №1. Перекладаємо з екрана монітора.

Для того щоб намалювати трикутник, вам потрібно буде зробити наступне. Ви берете ваш аркуш паперу і притуляєте його до трикутника на екрані монітора, і просто перекладайте його.

Оскільки наш трикутник зовсім не складний, досить поставити тільки основні точки у всіх його кутах.

А потім дивимося на оригінал і з'єднуємо ці точки за допомогою лінійки. У мене вийшло так.

Усі наш трикутник готовий. Можна залишити так, але давайте ми його ще трошки прикрасимо. Я це зробив за допомогою кольорових олівців. Після того, як ми повністю прикрасили наш трикутник, знову обводимо його простим м'яким олівцем.

На цьому наш звичайний трикутник Пенроуза повністю готовий, і ми переходимо до цього трикутника.

Малюємо 3д малюнок трикутник.

КРОК №1. Перекладаємо.

Діємо за тією ж схемою, як і зі звичайним малюнком. Я даю вам готовий, переведений у 3д формат трикутник. Ось він.

А ви перекладаєте його. Робимо так само як зі звичайним малюнком. Ви берете свій листок, притуляєте його до екрану монітора, листок просвічує, і ви просто перекладаєте готовий 3д малюнок на свій листок.

Ось що вийшло у мене.

Розмір трикутника можна збільшити чи зменшити. Для цього потрібно просто змінити масштаб монітора. Затисніть клавішу Ctrl і покрутіть коліщатко мишки.

Можна сміливо сказати, що наш 3д малюнок вже готовий. Пішло на нього в мене приблизно 3 хвилини. На цьому, в принципі, можна сміливо закінчити, але давайте ще прикрасимо наш трикутник.

Дмитро Раков

Наші очі пізнавати не вміють
природу предметів.
А тому не нав'язуй їм
помилок розуму.

Тіт Лукрецій Кар

Поширений вираз "обман зору" по суті своїй неправильний. Очі не можуть обдурити нас, оскільки є лише проміжною ланкою між об'єктом та мозком людини. Обман зору зазвичай виникає не через те, що ми бачимо, а через те, що несвідомо міркуємо і мимоволі помиляємося: "за допомогою ока, а не оком дивитися на світ уміє розум".

Одним із найефектніших напрямів художнього перебігу оптичного мистецтва (op-art) є імп-арт (imp-art, impossible art), заснований на зображенні неможливих фігур. Неможливі об'єкти є малюнки на площині (будь-яка площина двовимірна), що зображають тривимірні структури, існування яких у реальному тривимірному світі неможливо. Класичною та однією з найпростіших фігур є неможливий трикутник.

У неможливому трикутнику кожен кут сам по собі є можливим, але парадокс виникає, коли ми розглядаємо його цілком. Сторони трикутника спрямовані одночасно і до глядача, і від нього, тому окремі частини не можуть утворити реальний тривимірний об'єкт.

Власне, наш мозок інтерпретує малюнок на площині як тривимірну модель. Свідомість ставить "глибину", на якій знаходиться кожна точка зображення. Наші уявлення про реальний світ стикаються з протиріччям, з якоюсь непослідовністю, і доводиться робити деякі припущення:

• прямі двовимірні лінії інтерпретуються як прямі тривимірні лінії;
• двовимірні паралельні лінії інтерпретуються як тривимірні паралельні лінії;
• гострі та тупі кути інтерпретуються як прямі кути в перспективі;
• Зовнішні лінії розглядаються як межа форми. Ця зовнішня межа є надзвичайно важливою для побудови повного зображення.

Людська свідомість спочатку створює загальне зображення предмета, та був розглядає окремі частини. Кожен кут сумісний із просторовою перспективою, але, возз'єднавшись, вони утворюють просторовий феномен. Якщо закрити будь-який із кутів трикутника, то неможливість пропадає.

Історія неможливих фігур

Помилки просторової побудови зустрічалися у художників і тисячу років тому. Але першим, хто побудував і проаналізував неможливі об'єкти по праву, вважається шведський художник Оскар Рейтерсверд (Oscar Reutersvärd), який намалював у 1934 р. перший неможливий трикутник, що складався з дев'яти кубиків.

		"Москва", графіка (туш, олівець), 50х70 см, 2003

Незалежно від Рейтерсверда англійський математик і фізик Роджер Пенроуз повторно відкриває неможливий трикутник і публікує його зображення в британському журналі психології в 1958 р. В ілюзії використана "хибна перспектива". Іноді таку перспективу називають китайською, оскільки подібний спосіб малювання, коли глибина малюнка "двозначна", часто зустрічався у роботах китайських художників.

На малюнку "Три равлики" маленький і великий куби орієнтовані над нормальної ізометричної проекції. Найменший за розмірами куб сполучається з більшим по переднім і заднім сторонам, а значить, слідуючи тривимірній логіці, він має такі ж розміри деяких сторін, що і великий. Спочатку малюнок видається реальним уявленням твердого тіла, але в міру аналізу виявляються логічні протиріччя цього об'єкта.

Малюнок "Три равлики" продовжує традиції другої знаменитої неможливої ​​фігури - неможливого куба (ящика).

"IQ", графіка (туш, олівець), 50х70 см, 2001		"Вгору і вниз", М. Ешер

Поєднання різних об'єктів можна знайти і в не зовсім серйозному малюнку "IQ" (intelligence quotient – ​​коефіцієнт інтелекту). Цікаво, що деякі люди не сприймають неможливі об'єкти через те, що їхня свідомість не здатна ототожнювати плоскі картини з тривимірними об'єктами.

Дональд Е. Сіманек висловив думку, що розуміння візуальних парадоксів є однією з ознак того виду творчого потенціалу, яким володіють кращі математики, вчені та художники. Багато робіт з парадоксальними об'єктами можна віднести до "інтелектуальних математичних ігор". Сучасна наука говорить про 7-мірну або 26-мірну модель світу. Моделювати подібний світ можна лише за допомогою математичних формул, людина уявити його просто не в змозі. І тут виявляються корисними неможливі постаті. З філософської точки зору вони служать нагадуванням про те, що будь-які явища (у системному аналізі, науці, політиці, економіці тощо) слід розглядати у всіх складних і неочевидних взаємозв'язках.

Різні неможливі (і можливі) об'єкти представлені на картині "Неможливий алфавіт".

Третьою популярною неможливою фігурою є неймовірні сходи, створені Пенроузом. Ви будете по ній безперервно або підніматись (проти годинникової стрілки) або спускатись (за годинниковою стрілкою). Модель Пенроуза лягла в основу знаменитої картини М. Ешера "Вгору і вниз" ("Ascending and Descending").

Існує ще одна група об'єктів, реалізувати які не вдасться. Класичною фігурою є неможливий тризуб, або "чортова вилка".

При уважному вивченні картинки можна помітити, що три зубці поступово переходять у два на єдиній підставі, що призводить до конфлікту. Ми порівнюємо кількість зубців зверху та знизу і приходимо до висновку про неможливість об'єкта.

Чи є якась істотніша користь від неможливих малюнків, ніж гра розуму? У деяких лікарнях спеціально розвішують зображення неможливих об'єктів, оскільки їхнє розглядання здатне надовго зайняти хворих. Логічно було б розвісити такі малюнки в касах, міліції та інших місцях, де очікування своєї черги триває часом цілу вічність. Малюнки могли б у ролі таких " хронофагів " , тобто. пожирачі часу.

Відома також під назвами неможливий трикутникі трибар.

Історія

Широку популярність ця фігура набула після опублікування статті про неможливі постаті в Британському журналі психології англійським математиком Роджером Пенроузом в 1958 році. У цій статті неможливий трикутник був зображений у найбільш спільній формі - у вигляді трьох балок, з'єднаних один з одним під прямими кутами. Під впливом цієї статті у голландський художник Мауріц Ешер створив одну зі своїх знаменитих літографій «Водоспад».

Скульптури

13-метрову скульптуру неможливого трикутника з алюмінію було споруджено в 1999 році в місті Перт (Австралія).

Deutsches Technikmuseum Berlin February 2008 0004.JPG

Та ж скульптура при зміні точки перегляду

Інші фігури

Хоча цілком можливо побудова аналогів трикутника Пенроуза на основі правильних багатокутників, візуальний ефект від них менш вражаючий. При збільшенні кількості сторін об'єкт здається просто викривленим чи скрученим.

Див. також

• Три зайці (англ. Three hares )

Напишіть відгук про статтю "Трикутник Пенроуза"

Уривок, що характеризує трикутник Пенроуза

Висловивши все, що йому було наказано, Балашев сказав, що імператор Олександр бажає миру, але не приступить до переговорів інакше, як із тією умовою, щоб… Тут Балашев зам'явся: він згадав ті слова, які імператор Олександр не написав у листі, але які неодмінно наказав вставити в рескрипт Салтикову і наказав Балашеву передати Наполеону. Балашев пам'ятав про ці слова: «поки що жоден озброєний ворог не залишиться землі російської», але якесь складне почуття втримало його. Він не міг сказати цих слів, хоч і хотів це зробити. Він зам'явся і сказав: за умови, щоб французькі війська відступили за Ньоман.
Наполеон помітив збентеження Балашева під час висловлювання останніх слів; обличчя його здригнулося, ліва ікра ноги почала мірно тремтіти. Не сходячи з місця, він голосом, вищим і поспішним, ніж раніше, почав говорити. Під час наступної промови Балашев, неодноразово опускаючи очі, мимоволі спостерігав тремтіння ікри в лівій нозі Наполеона, яке тим більше посилювалося, чим більше він підносив голос.
- Я бажаю миру не менше імператора Олександра, - почав він. – Чи не я вісімнадцять місяців роблю все, щоби отримати його? Я вісімнадцять місяців чекаю пояснень. Але для того, щоб розпочати переговори, чого вимагають від мене? – сказав він, насупившись і роблячи енергійно запитальний жест своєю маленькою білою та пухкою рукою.
- Відступ військ за Німан, пане, - сказав Балашев.
– За Нєман? – повторив Наполеон. – То тепер ви хочете, щоб відступили за Ньоман – тільки за Ньоман? - повторив Наполеон, глянувши на Балашева.
Балашев шанобливо нахилив голову.
Замість вимоги чотири місяці тому відступити з номера, тепер вимагали відступити тільки за Нєман. Наполеон швидко обернувся і почав ходити по кімнаті.
– Ви кажете, що від мене вимагають відступу за Німан для започаткування переговорів; але від мене вимагали так само два місяці тому відступи за Одер та Віслу, і, незважаючи на те, ви згодні вести переговори.
Він мовчки пройшов від одного кута кімнати до іншого і знову зупинився проти Балашева. Обличчя його ніби скам'яніло у своєму суворому виразі, і ліва нога тремтіла ще швидше, ніж раніше. Це тремтіння лівої ікри Наполеон знав за собою. La тремтіння моєї лівої ікри є великою ознакою, – говорив він згодом.