Нехай час ваших змін працює на вас! Повідомлення «Історія чисел: виникнення та розвиток позитивних, негативних чисел

Розглянемо, що таке негативні числа. Вони входять у безліч натуральних чисел і використовуються в математиці для того, щоб зробити віднімання такою ж повноцінною операцією, як і додавання. Тобто, завдяки введенню негативних чисел стало можливим не лише віднімати з більшого менше, а й навпаки. Усі негативні числа менше нуля та будь-якого позитивного числа. Вони знаходяться на звичній для всіх осі координат зліва від нуля. З негативними числами можна виконувати ті самі арифметичні дії, як і з позитивними.

Особливості дій із негативними числами:

• твори негативного числа негативне буде позитивним;
• добуток позитивного на негативне буде негативним;
• при розподілі із залишком негативних чисел (або негативного та позитивного числа) приватне може бути негативним або позитивним, залишок - завжди позитивний.

З історії негативних чисел

В античному світі (Стародавній Єгипет, Греція, Вавилон) негативні числа не використовувалися і відкидалися як неможливі. Вперше їх почали застосовувати в Індії та Китаї з 7 століття нашої ери для позначення боргів чи нестачі у торгівлі. Але події з негативними числами були упорядковані. Індійський математик Брахмагупта почав розглядати дії множення та поділ із ними трохи пізніше.

Приклад використання від'ємного числа:

У купця було 10 000 рублів. Він закупив товари на 8000. У залишку - 2000. Якщо ж він закупить товарів на 12000, то залишиться винен 2000. А в його бухгалтерських записах ця сума і позначиться як негативне число -2000.

У Європі їх почали застосовувати у 1202 році. Математики Леонард Пізанський, Бомбеллі, Жирар вважали їх придатними для позначення нестачі чогось боргів. А ось знаменитий Паскаль заперечував їх навіть у 17 столітті, і до кінця життя продовжував стверджувати: "Ніщо не може бути меншим, ніж ніщо (тобто нуль)". Остаточно теорія по негативним числам було сформовано 19 столітті Вільямом Гамільтоном.

Відомі негативні числа:

• − 273,15 °C Абсолютний нуль температури за шкалою Кельвіна;
• − 1,602 176 565.10 −19 Кл. Розмір заряду електрона;
• − 270,85 °C Температура космосу.

Запис негативних чисел

Досі математики немає окремого знака для позначення негативного числа. Традиційно використовуваний мінус одночасно є і знаком віднімання. А це алгебраїчно невірно і іноді вводить в оману. А як було раніше? Наприклад, у Китаї для негативних чисел були спеціальні рахункові палички чорного кольору та для позитивних – червоного. В Індії негативні числа відзначали червоною горизонтальною межею безпосередньо над самим числом.

Дуже давня та довга. Оскільки негативні числа є чимось ефемерним, несправжнім, люди тривалий час не визнавали їхнього існування.

Все почалося в Китаї, приблизно в II віці до н.е. Можливо, в Китаї їх знали і раніше, але перша згадка стосується саме того часу. Там стали застосовувати негативні числа та вважали їх «боргами», у своїй називали «майном». Того запису, який існує зараз, тоді не було, і негативні числа записували чорним кольором, а позитивні червоним.

Першу згадку про негативні числа ми знаходимо в книзі «Математика в дев'яти розділах» китайського вченого Чжан Цань.

Далі, у V-VI століттях негативні числа стали використовуватися досить широко у Китаї та Індії. Щоправда, у Китаї до них, все-таки ставилися обережно, намагалися їх застосування мінімізувати, а Індії, навпаки, вони використовувалися дуже широко. Там з ними проводилися обчислення та негативні числа не здавалися чимось незрозумілим.

Відомі індійські вчені Брахмагупта Бхаскара ( VII-VIII століття), які у своїх навчаннях залишили докладні пояснення щодо роботи з негативними числами.

А в Стародавні часи, наприклад, у Вавилоні і в Стародавньому Єгипті, негативні числа не використовували зовсім. Якщо ж при обчисленні виходило негативне число, вважалося, що рішення немає.

Так, і в Європі негативні числа не визнавали дуже довго. Їх вважали «уявними» та «абсурдними». Жодних дій з ними не робили, а просто відкидали, якщо відповідь виходила негативною. Вважали, що, якщо з 0 відняти будь-яке число, то відповіддю буде 0, тому що ніщо не може бути менше нуля - порожнечі.

Вперше у Європі свою увагу на негативні числа звернув Леонардо Пізанський (Фібоначчі). І описав їх у своєму творі «Книга Абака» у 1202 році.

Пізніше, 1544 року Михайло Штіфель у книзі «Повна арифметика» вперше запровадив поняття негативних чисел і докладно описав дії з ними. «Нуль знаходиться між абсурдними та істинними числами».

А в XVII віці математик Рене Декарт запропонував відкладати негативні числа на цифровій осі зліва від нуля.

З цього часу негативні числа почали використовувати і визнавати, хоча ще довгий час багато вчених заперечували їх.

У 1831 році Гаусс називав негативні числаабсолютно рівнозначними із позитивними. А те, що не всі дії з ними можна робити не вважав чимось страшним, з дробами, наприклад, теж не всі дії можна робити.

А в XIX столітті Вільман Гамільтон та Герман Грассман створили повну закінчену теорію негативних чисел. З цього часу негативні числа здобули свої права і зараз уже ніхто не сумнівається у їхній реальності.

Розділ II. Негативні числа інших наук

§1. Негативні числа у фізиці…………………………………………………...5
1.1 Звичайна гребінець і позитивні та негативні числа………………….6

1.2 З позитивними та негативними числами за температурною шкалою …7

§2. Негативні числа у географії
2.1 За позитивними та негативними числами на гірські вершини та в морські глибини……………………………………………………………………….8

2.2 Шкала глибин і висот у метрах…………………………………………………...9

2.3 Шкала висот у метрах……………………………………………………………..9
§3. Негативні числа в історії

3.1 Як у давнину вважали роки? ……………………………………………….....10

§ 4. Негативні числа в біології……………………………………………….11
Заключение…………………………………………………………………………….12

Додаток……………………………………………………………………………13

Список літератури………………...…………………………………………....................... ....14

Вступ

«Твій розум без числа нічого не уявляє». Цей вислів німецького філософа Н.Кузанського (1401 – 1464) показує яку роль, грають будь-які числа в нашому житті, тому тема «негативні числа» актуальна.

Мені доручили підготувати повідомлення "Історія виникнення негативних чисел". Вивчаючи літературу, зрозумів, що негативні числа виникли з практичних потреб людей. З їхньою появою стався великий поштовх розвитку науки. У моєму уявленні було найменше число 0, тобто. нічого, а виявляється, що є ще числа менше 0. Мені захотілося зрозуміти суть негативних чисел, навіщо вони потрібні людям і вирішив перегортати шкільні підручники, з'ясувати застосування негативних чисел різних уроках.

Моя теманазивається «Негативні числа на сторінках шкільних підручників».

Актуальність:будь-яке число у житті кожної людини відіграє важливу роль

Мета роботи:Вивчити історію виникнення негативних чисел і дослідити застосування негативних чисел на різних уроках.

Об'єктом дослідженняє число.

Методом дослідження- Читання та аналіз використовуваної літератури та спостереження.

Вибірка:Підручники з фізики, географії, біології, історії.

Завдання:

1. Вивчити літературу на цю тему.

2. Зрозуміти суть негативних чисел.

3. Дослідити застосування негативних чисел у фізиці, географії, історії та біології.

4. Зробити повідомлення учням класу.

Глава 1. Історія виникнення негативних чисел.

Перші уявлення про негативні числа виникли ще до нашої ери. Так, у ІІ ст. до н.е. китайський вчений Чжан Цань у книзі «Арифметика в дев'яти розділах» проводить правила дій з негативними числами, які він розуміє як обов'язок, а позитивні як майно Негативні числа він записував за допомогою чорнила іншого кольору на відміну від позитивних.

У ІІІ ст. н.е. давньогрецький математик Діофант фактично користувався негативними числами, розглядаючи їх як «віднімаються», а позитивні як «додаються». У давнину індійські вчені використовували негативні числа торгових розрахунках. Якщо ви маєте 4000 рублів і купуєте товар на 1000 рублів, то у вас залишається 4000 - 1000 = 3000 рублів. Але якщо ви маєте 4000 рублів і купуєте товар на 6000 рублів, то у вас утвориться борг 2000 рублів. Тому, у разі вважали, що відбувається віднімання 4000 – 6000, результатом є число 2000 зі знаком «мінус», що означає «дві тисячі боргу». Таким чином, - 2000 це негативне число і в даному випадку воно вказує на те, що у вас утворився борг 2000 рублів. Індійський математик Брахмагупта у VII ст. сформулював правила дій над позитивними та негативними числами. У Європі негативні числа починають використовуватися лише з XIII в. У цьому вони позначалися словами чи скороченими словами як назви у іменованих числах. Лише на початку XIX ст. негативні числа отримали загальне визнання та сучасну форму позначення.

Більш сучасний приклад можна навести за допомогою дій з телефонним балансом. Якщо на рахунку вашого телефону немає грошей, ви можете користуватися послугами зв'язку в борг, тоді на вашому телефоні може утворитися негативний баланс. Наприклад: -45 рублів (мінус 45 рублів).

Введення негативних чисел було з необхідністю розвитку математики як науки, що дає загальні способи вирішення арифметичних завдань, незалежно від конкретного змісту та вихідних числових даних. Необхідність введення в алгебру негативних чисел виникає при вирішенні завдань, що зводяться до лінійних рівнянь з одним невідомим. В Індії ще у 6-11 ст. негативні числа систематично застосовувалися під час вирішення завдань і тлумачилися переважно так само, як це робиться нині.

У європейській науці негативні числа остаточно увійшли у вжиток лише з часу Французького математика Р.Декарта (1596 – 1650), який дав геометричне тлумачення негативним числам як спрямованих відрізків. 1637 року він запровадив «координатну пряму».

Глава 2. Негативні числа інших наук.

§ 1 Негативні числа у фізиці

Кожен фізик має справу з числами: він завжди щось вимірює, обчислює, розраховує. Скрізь у його паперах – числа, числа та числа. Якщо придивитися до записів фізика, то виявиться, що з запису чисел він часто використовує знаки «+» і «-».

Як виникають позитивні, а тим паче негативні числа у фізиці?

Фізик має справу з різними фізичними величинами, що описують різноманітні властивості навколишніх предметів і явищ. Висота будівлі, відстань від школи до будинку, маса і температура людського тіла, швидкість автомобіля, об'єм банки, сила електричного струму, показник заломлення води, потужність ядерного вибуху, тривалість уроку чи зміни, електричний заряд металевої кульки – це приклади фізичних величин. Фізичну величину можна виміряти.

Наприклад, висоту будівлі та відстані від школи до будинку можна виміряти рулеткою (лінійкою), масу тіла – важільними вагами, температуру – термометром, швидкість автомобіля – спідометром, об'єм банки – мензуркою, силу струму – амперметром або гальванометром, показник заломлення води – рефрактометром, напруга між електродами – вольтметром, тривалість уроку – годинами, потужність ядерного вибуху – сейсмографом, електричний заряд кульки – електрометром або балістичним гальванометром.

Отже, числа у фізиці виникають в результаті виміру фізичних величин,а чисельне значення фізичної величини, одержуване результаті вимірювання, залежить: від цього, як визначено цю фізичну величину; від використовуваних одиниць виміру.
§ 1.1 Звичайна гребінець і позитивні та негативні числа

Виконаємо досвід.

Покладіть кілька маленьких шматочків тонкого паперу. Візьміть чисту суху пластмасову гребінець і 2-3 рази проведіть нею по своєму волоссю. Розчісуючи волосся, ви повинні почути легке потріскування. Потім повільно піднесіть гребінець до шматків паперу. Ви побачите, що вони спочатку притягуються до гребінця, а потім відштовхуються від неї.

Тепер згорніть з тонкого паперу (найкраще цигаркового) дві трубочки довжиною 2-3см. та діаметром 0,5см. Підвісьте їх поруч (так, щоб вони трохи торкалися один одного) на шовкових нитках. Розчесавши волосся, доторкніться гребінцем до паперових трубочок - вони відразу розійдуться в сторони і залишаться в такому положенні (тобто нитки будуть відхилені). Ми бачимо, що трубочки відштовхуються один від одного.

Якщо у вас є скляна паличка (або трубочка або пробірка) і шматочок шовкової тканини, то досліди можна продовжити.

Потріть паличку об шовк і піднесіть до уривків паперу – вони почнуть «стрибати» на паличку так само, як і на гребінець, а потім зісковзувати з неї. Струмінь води теж відхиляється скляною паличкою, а паперові трубочки, яких ви паличкою доторкнулися, відштовхуються друг від друга.

А тепер візьміть одну паличку, до якої ви торкалися гребінцем, і другу трубочку, - і піднесіть один до одного. Ви побачите, що вони притягуються один до одного. Отже, у цих дослідах проявляються сили тяжіння та сили відштовхування. У дослідах ми бачили, що заряджені предмети (фізики кажуть – заряджені тіла) можуть притягуватися один до одного, а можуть і відштовхуватись один від одного. Це тим, що є два виду, два сорти електричних зарядів, причому заряди однієї й тієї виду відштовхуються друг від друга, а заряди різних видів притягуються.

§1. 2 З позитивними та негативними числами за температурною шкалою

Подивимося на шкалу звичайного вуличного термометра.

Вона має вигляд, зображений на шкалі 1. На ній нанесені лише позитивні числа, і тому за вказівкою чисельного значення температури доводиться додатково пояснювати 20 градусів тепла (вище нуля). Це для фізиків незручно – слова ж у формулу не підставиш! Тому у фізиці застосовується шкала з негативними числами (шкала 2).

Температура льоду виражається негативним числом.

холодно тепло

(-) (+)

§2 . Негативні числа у географії

2.1 Позитивні та негативні числа в гірських вершинах та в морських глибинах

Подивимося на фізичну карту світу. Ділянки суші на ній розфарбовані різними відтінками зеленого та коричневого кольорів, а моря та океани розфарбовані блакитним та синім. Кожному кольору відповідає своя висота (для суші) або глибина (для морів та океанів). На карті намальована шкала глибин та висот, яка показує, яку висоту (глибину) означає той чи інший колір, наприклад, така:

2.2 Шкала глибин та висот у метрах

Глибше 5000 2000 200 0 200 1000 2000 4000 вище

На цій шкалі ми бачимо лише позитивні числа та нуль. За нуль приймається висота (і глибина теж), де знаходиться поверхня води в Світовому океані. Використання у цій шкалі лише невід'ємних чисел незручне для математика чи фізика. У фізика виходить така шкала.

2.3 Шкала висот у метрах

Менше -5000 -2000 -200 0 200 1000 2000 4000 більше

Використовуючи таку шкалу, достатньо вказати число без будь-яких додаткових слів: позитивні числа відповідають різним місцям на суші над поверхнею моря; негативні числа відповідають точкам, що знаходяться під поверхнею моря.

У розглянутій шкалі висот за нульову приймається висота поверхні води в Світовому океані. Ця шкала використовується в геодезії та картографії.

На відміну від цього, у побуті ми зазвичай за нульову висоту приймаємо висоту поверхні землі (у тому місці, де ми знаходимося).

§3 . Негативні числа в історії

3.1 Як у давнину вважали роки?

У різних країнах по-різному. Наприклад, у Стародавньому Єгипті щоразу, коли починав правити новий цар, рахунок років починався заново. Перший рік правління царя вважався першим роком, другий – другим тощо. Коли цей цар помирав і приходив до влади новий, знову наставав перший рік, потім другий, третій. Іншим був рахунок років, що застосовувався жителями одного з найдавніших міст світу-Рима. Рік заснування свого міста римляни вважали першим, наступний - другим і таке інше.

Рахунок років, яким ми користуємося, виник давно і пов'язаний із шануванням Ісуса Христа – засновника християнської релігії. Рахунок років від народження Ісуса Христа поступово був прийнятий у різних країнах. У нашій країні він запроваджений царем Петром Першим триста років тому. Час, який обчислюється від Різдва Христового, ми називаємо НАША ЕРА (а пишемо скорочено Н.Е.). Триває наша ера дві тисячі років. Розглянемо «лінію часу» малюнку.

"Лінія часу"

До н.е.

776 55 1380 1637 2013

Початок Будівництво Куликівська битва

Античний театр Помпея Р.Декарт ввів 100 років від дня

Олімпійських в Римі координатне народження

ігор у Греції пряму поета

С. В. Міхалкова

§4 . Негативні числа у біології

Негативні числа у біології виражають патологію ока. Близорукість (міопія) проявляється зниженням гостроти зору. Для того щоб при короткозорості очей міг ясно бачити віддалені предмети застосовують лінзи, що розсіюють (негативні).

Висновок

Зрозуміти суть негативних чисел без історії їх виникнення неможливо. Виконуючи цю роботу, значно розширив знання з математики. Підготував реферат та презентацію на тему «Негативні числа у шкільних підручниках», зробив повідомлення у своєму класі.

Працюючи з джерелами, я з'ясував, що позитивні та негативні числа є описом змін величин. Якщо величина зростає, то кажуть, що її зміна позитивна (+), а якщо вона зменшується, то зміну називають негативною (–).

Дізнався, що найбільше негативні числа зустрічаються в точних науках, математики та фізики.

У фізиці негативні числа виникають у результаті вимірів, обчислень фізичних величин. Негативне число – показує величину електричного заряду: позитивно заряджені атоми - протони, негативно заряджені атоми – електрони.

У географії висота гір вимірюється за допомогою позитивних чисел, а глибина води за допомогою негативних чисел (нижче за рівень моря, вище за рівень моря).

У біології негативні числа біології виражають патологію зору. Для того щоб при короткозорості очей міг ясно бачити віддалені предмети застосовують лінзи, що розсіюють (негативні).

В історії негативне число можна замінити словами, наприклад: 145 років до н.

Негативні числа з'явилися значно пізніше за позитивні. Негативними числами зазвичай означали борг. Напевно, тому людина сприймає позитивне – як щось хороше, а негативне як щось погане.

У своїй роботі в Додатку я зібрав правила дій з негативними та позитивними числами у віршованій формі та запропонував формулу для запам'ятовування знака при виконанні дій.

додаток

Вірш

«Складання негативних чисел і чисел із різними знаками»

Якщо вже захочеться вам скласти

Числа негативні, нема чого тужити:

Треба суму модулів швиденько дізнатися,

До неї потім знак «мінус» взяти та приписати.

Якщо числа з різними знаками дадуть,

Щоб визначити їхню суму, всі ми тут як тут.

Більший модуль швидко дуже вибираємо.

З нього ми менший віднімаємо.

Найголовніше ж – знак не забути!

- Ви який поставите? – ми хочемо спитати

- Вам секрет відкриємо, простіше немає справи,

Знак, де модуль більший, запиши у відповідь.
Правила складання позитивних та негативних чисел

Мінус з мінусом скласти,

Можна отримати мінус.

Якщо складеш мінус, плюс,

То вийде конфуз?!

Знак числа ти вибирай

Що сильніше, не позіхай!

Модулі їх забери,

Та всі числа помири!
- Правила множення можна витлумачити і таким чином:

«Друг мого друга - мій друг»: + ∙ + = + .

«Ворог мого ворога – мій друг»: ─ ∙ ─ = +.

«Друг мого ворога – мій ворог»: + ∙ ─ = ─.

«Ворог мого друга – мій ворог»: ─ ∙ + = ─.

Знак множення є крапка, у ній три знаки:

+
+

Прикрий із них два, третій дасть відповідь.

Наприклад.

Як визначити знак твору 2∙(-3)?

Закриємо руками знаки «плюс» та «мінус». Залишається знак "мінус"

Література

1. 
   Велика наукова енциклопедія, 2005.
2. 
   Вігасін А.А,.Годер Г.І., «Історія древнього світу», підручник 5 кл.,2001.
3. 
   Виговська В.В. "Поурочні розробки з Математики: 6 клас" - М.: Вако, 2008р.
4. 
   Газета "Математика" №4, 2010р.
5. 
   Гельфман Е.Г. "Позитивні та негативні числа", навчальний посібник з математики для 6-го класу, 2001.
6. 
   Глейзер Г.І. «Історія математики у шкільництві», Москва, «Освіта»,1981г
7. 
   Гусєв В.А., А.Г.Мордкович «Довідкові матеріали», «Освіта», 1986р.
8. 
   Дитяча наукова енциклопедія "Я пізнаю світ", Москва, "Освіта", 1995р.
9. 
   Малигін К.А. "Елементи історизму у викладанні математики в середній школі", Москва, "Освіта", 1982г
10. 
    Нурк Е.Р., Тельгмаа А.Е. "Математика 6 клас", Москва, "Освіта", 1989г
11. 
    Фрідман Л.М. «Вивчаємо математику», навчальне видання, 1994

Людина винайшла число для того, щоб якось позначати для себе та інші результати рахунку та вимірювання. Мабуть, перші поняття про кількість людей з'явилися ще в епоху палеоліту, але розвинулися вже в неоліті. Першою сходинкою у появі чисел, певне, стало усвідомлення поділу заходи на «один» і «багато».

У Стародавньому світі вперше почали застосовувати спеціальні знаки для позначення чисел: їх зображення збереглися на глиняних табличках Межиріччя, єгипетських папірусах тощо.

Математика розвивалася далі. І в різних країнах стали формуватися свої особливі, автентичні та помітно відмінні від інших системи числення. Навіть школяру зараз відомо, чим відрізнялося римське написання цифр та арабське. Цифри передавалися з країни в країну, з культури в культуру як важливий і цінний винахід і спадок. Сучасні цифри, у яких побудована як слов'янська, і західна цивілізація – це цифри арабські, але запозичені з Індії. Багато цифр, знайомих зараз кожному, були винайдені в Індії, наприклад, цифра «0».

Розподіл чисел на позитивні і негативні належить до розробок математиків Середньовіччя. Знову ж таки, негативні числа вперше стали застосовуватися в Індії. Так купцям простіше було розраховувати збитки та борги. На той час арифметика була вже дуже розробленою прикладною сферою, і в свій розвиток вступала алгебра. З введенням Декартової геометрії, його системи координат негативні числа міцно увійшли у вжиток. Звідси вони не виходять і сьогодні.

Комплексні числа - це сучасне поняття, такі числа звуться ще "уявними числами" і виведені з формального рішення кубічних і квадратних рівнянь. Їхнім «батьком» був середньовічний математик Джероламо Кардано. За часів Декарта комплексні числа, як і негативні, міцно увійшли до математичного ужитку.

Історія виникнення негативних чисел дуже давня та довга. Оскільки негативні числа є чимось ефемерним, несправжнім, люди тривалий час не визнавали їхнього існування.

Все почалося в Китаї, приблизно у II столітті до н. Можливо, в Китаї їх знали і раніше, але перша згадка стосується саме того часу. Там стали застосовувати негативні числа та вважали їх «боргами», причому позитивні називали «майном». Того запису, який існує зараз, тоді не було, і негативні числа записували чорним кольором, а позитивні червоним.

Першу згадку про негативні числа ми знаходимо в книзі «Математика в дев'яти розділах» китайського вченого Чжан Цань.

Далі, у V-VI століттях негативні числа почали використовувати досить широко у Китаї та Індії. Щоправда, у Китаї до них, все-таки ставилися обережно, намагалися їх застосування мінімізувати, а Індії, навпаки, вони використовувалися дуже широко. Там з ними проводилися обчислення та негативні числа не здавалися чимось незрозумілим.

Відомі індійські вчені Брахмагупта Бхаскара (VII-VIII століття), які у своїх навчаннях залишили докладні пояснення щодо роботи з негативними числами.

А в Стародавні часи, наприклад, у Вавилоні і в Стародавньому Єгипті, негативні числа не використовували зовсім. Якщо ж при обчисленні виходило негативне число, вважалося, що рішення немає.

Так, і в Європі негативні числа не визнавали дуже довго. Їх вважали «уявними» та «абсурдними». Жодних дій з ними не робили, а просто відкидали, якщо відповідь виходила негативною. Вважали, що, якщо від 0 відняти будь-яке число, то відповіддю буде 0, тому що ніщо не може бути менше нуля — порожнечі.

Вперше у Європі свою увагу на негативні числа звернув Леонардо Пізанський (Фібоначчі). І описав їх у своєму творі «Книга Абака» у 1202 році.

Леонардо Фібоначчі Леонардо Фібоначчі
Пізніше, 1544 року Михайло Штіфель у книзі «Повна арифметика» вперше запровадив поняття негативних чисел і докладно описав дії з ними. «Нуль знаходиться між абсурдними та істинними числами».

А в XVII столітті математик Рене Декарт запропонував відкладати негативні числа на цифровій осі зліва від нуля.

Рене Декарт Рене Декарт
З цього часу негативні числа почали використовувати і визнавати, хоча ще довгий час багато вчених заперечували їх.

У 1831 році Гаус називав негативні числа абсолютно рівнозначними з позитивними. А те, що не всі дії з ними можна робити не вважав чимось страшним, з дробами, наприклад, теж не всі дії можна робити.

На XIX столітті Вільман Гамільтон і Герман Грассман створили повну закінчену теорію негативних чисел. З цього часу негативні числа здобули свої права і зараз уже ніхто не сумнівається у їхній реальності.