Таблиця математичного очікування. Формула математичного очікування

Завдання 1.Імовірність схожості насіння пшениці дорівнює 0,9. Яка ймовірність того, що з чотирьох посіяних насіння зійдуть не менше трьох?

Рішення. Нехай подія А– із 4 насіння зійдуть не менше 3 насіння; подія У– із 4 насіння зійдуть 3 насіння; подія З– із 4 насіння зійдуть 4 насіння. За теоремою складання ймовірностей

Ймовірності
і
визначимо за формулою Бернуллі, яка застосовується в наступному випадку. Нехай проводиться серія пнезалежних випробувань, при кожному з яких ймовірність настання події постійна та рівна р, а ймовірність ненастання цієї події дорівнює
. Тоді ймовірність того, що подія Ав пвипробування з'явиться рівно раз, обчислюється за формулою Бернуллі

,

де
- Число поєднань з пелементів по . Тоді

Шукана ймовірність

Завдання 2.Імовірність схожості насіння пшениці дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що з 400 посіяних насіння зійдуть 350 насінин.

Рішення. Обчислити ймовірність
за формулою Бернуллі важко через громіздкість обчислень. Тому застосуємо наближену формулу, що виражає локальну теорему Лапласа:

,

де
і
.

З умови завдання. Тоді

.

З таблиці 1 додатків знаходимо. Шукана ймовірність дорівнює

Завдання 3.Серед насіння пшениці 0,02% бур'янів. Якою є ймовірність того, що при випадковому відборі 10000 насіння буде виявлено 6 насіння бур'янів?

Рішення. Застосування локальної теореми Лапласа через малу ймовірність
призводить до значного відхилення ймовірності від точного значення
. Тому при малих значеннях рдля обчислення
застосовують асимптотичну формулу Пуассона

де .

Ця формула використовується при
, причому чим менше рі більше птим результат точніше.

За умовою завдання
;
. Тоді

Завдання 4.Відсоток схожості насіння пшениці дорівнює 90%. Знайти ймовірність того, що з 500 посіяних насіння зійдуть від 400 до 440 насінин.

Рішення. Якщо ймовірність настання події Ау кожному з пвипробувань постійна і рівна р, то ймовірність
того, що подія Ау таких випробуваннях настане не менше раз і не більше раз визначається за інтегральною теореми Лапласа наступною формулою:

, де

,
.

Функція
називається функцією Лапласа. У додатках (табл. 2) дано значення цієї функції для
. При
функція
. при негативних значеннях хчерез непарність функції Лапласа
. Використовуючи функцію Лапласа, маємо:

За умовою завдання. За наведеними вище формулами знаходимо
і :

Завдання 5.Задано закон розподілу дискретної випадкової величини Х:

2. Знайти: 1) математичне очікування; 2) дисперсію; 3) середнє квадратичне відхилення.

Рішення. 1) Якщо закон розподілу дискретної випадкової величинизаданий таблицею

2. Де у першому рядку дано значення випадкової величини х, а у другому – ймовірності цих значень, то математичне очікування обчислюється за формулою

2) Дисперсія
дискретної випадкової величини Хназивається математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини її математичного очікування, тобто.

Ця величина характеризує середнє очікуване значення квадрата відхилення Хвід
. З останньої формули маємо

Дисперсію
можна знайти іншим способом, виходячи з наступної її властивості: дисперсія
дорівнює різниці між математичним очікуванням квадрата випадкової величини Хта квадратом її математичного очікування
, тобто

Для обчислення
складемо наступний закон розподілу величини
:

3) Для характеристики розсіювання можливих значень випадкової величини навколо її середнього значення запроваджується середнє квадратичне відхилення
випадкової величини Х, що дорівнює квадратному кореню з дисперсії
, тобто

.

З цієї формули маємо:

Завдання 6.Безперервна випадкова величина Хзадана інтегральною функцією розподілу

Знайти: 1) диференціальну функцію розподілу
; 2) математичне очікування
; 3) дисперсію
.

Рішення. 1) Диференціальною функцією розподілу
безперервної випадкової величини Хназивається похідна від інтегральної функції розподілу
, тобто

.

Шукана диференціальна функція має такий вигляд:

2) Якщо безперервна випадкова величина Хзадана функцією
, то її математичне очікування визначається формулою

Оскільки функція
при
і при
дорівнює нулю, то з останньої формули маємо

.

3) Дисперсію
визначимо за формулою

Завдання 7.Довжина деталі є нормально розподіленою випадковою величиною з математичним очікуванням 40 мм і середнім відхиленням квадратичним 3 мм. Знайти: 1) ймовірність того, що довжина довільно взятої деталі буде більшою за 34 мм і меншою за 43 мм; 2) ймовірність того, що довжина деталі відхилиться від її математичного очікування не більше ніж на 1,5 мм.

Рішення. 1) Нехай Х- Довжина деталі. Якщо випадкова величина Хзадана диференціальною функцією
, то ймовірність того, що Хприйме значення, що належать відрізку
, Визначається за формулою

.

Ймовірність виконання суворих нерівностей
визначається тією самою формулою. Якщо випадкова величина Хрозподілена за нормальним законом, то

, (1)

де
- функція Лапласа,
.

У завданні. Тоді

2) За умовою завдання , де
. Підставивши в (1) , маємо

. (2)

Із формули (2) маємо.

2. Основи теорії ймовірностей

Математичне очікування

Розглянемо випадкову величину із числовими значеннями. Часто виявляється корисним пов'язати з цією функцією число - її "середнє значення" або, як то кажуть, "середню величину", "показник центральної тенденції". З ряду причин, деякі з яких будуть зрозумілі з подальшого, як «середнє значення» зазвичай використовують математичне очікування.

Визначення 3.Математичним очікуванням випадкової величини Хназивається число

тобто. математичне очікування випадкової величини – це виважена сума значень випадкової величини з вагами, рівними ймовірностям відповідних елементарних подій.

Приклад 6.Обчислимо математичне очікування числа, що випав на верхній грані грального кубика. Безпосередньо з визначення 3 випливає, що

Твердження 2.Нехай випадкова величина Хприймає значення х 1, х 2, ..., хm. Тоді справедлива рівність

(5)

тобто. математичне очікування випадкової величини – це виважена сума значень випадкової величини з вагами, рівними ймовірностям, що випадкова величина набуває певних значень.

На відміну від (4), де підсумовування проводиться безпосередньо за елементарними подіями, випадкова подія може складатися з кількох елементарних подій.

Іноді співвідношення (5) приймають як визначення математичного очікування. Однак за допомогою визначення 3, як показано далі, легше встановити властивості математичного очікування, необхідні для побудови імовірнісних моделей реальних явищ, ніж за допомогою співвідношення (5).

Для доказу співвідношення (5) згрупуємо в (4) члени з однаковими значеннямивипадкової величини:

Оскільки постійний множник можна винести за знак суми, то

За визначенням ймовірності події

За допомогою двох останніх співвідношень отримуємо необхідне:

Поняття математичного очікування у вероятностно-статистической теорії відповідає поняттю центру важкості у механіці. Помістимо в крапки х 1, х 2, ..., хmна числовій осі маси P(X= x 1 ), P(X= x 2 ),…, P(X= x m) відповідно. Тоді рівність (5) показує, що центр тяжкості цієї системи матеріальних точок збігається з математичним очікуванням, що свідчить про природність визначення 3.

Твердження 3.Нехай Х- Випадкова величина, М(Х)– її математичне очікування, а- Деяке число. Тоді

1) М(а)=а; 2) М(Х-М(Х)) = 0; 3) М[(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 .

На підтвердження розглянемо спочатку випадкову величину, що є постійної, тобто. функція відображає простір елементарних подій у єдину точку а. Оскільки постійний множник можна виносити за знак суми, то

Якщо кожен член суми розбивається на два доданки, те й вся сума розбивається на дві суми, у тому числі перша складена з перших доданків, а друга – з других. Отже, математичне очікування суми двох випадкових величин Х+У, визначених на тому самому просторі елементарних подій, дорівнює сумі математичних очікувань М(Х)і М(У)цих випадкових величин:

М(Х+У) = М(Х)+М(У).

А тому М(Х-М(Х)) = М(Х) - М(М(Х)).Як показано вище, М(М(Х)) = М(Х).Отже, М(Х-М(Х)) = М(Х) - М(Х) = 0.

Оскільки (Х - а) 2 = ((X – M(X)) + (M(X) - a)} 2 = (X - M(X)) 2 + 2(X - M(X))(M(X) - a) + (M(X) – a) 2 , то M[(Х - а) 2] =M(X - M(X)) 2 + M{2(X - M(X))(M(X) - a)} + M[(M(X) – a) 2 ]. Спростимо останню рівність. Як показано на початку доказу твердження 3, математичне очікування константи – сама ця константа, а тому M[(M(X) – a) 2 ] = (M(X) – a) 2 . Оскільки постійний множник можна виносити за знак суми, то M{2(X - M(X))(M(X) - a)} = 2(M(X) - a)М(X - M(X)). Права частина останньої рівності дорівнює 0, оскільки, як показано вище, М(Х-М(Х)) = 0.Отже, М[(X- a) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(a- M(X)) 2 , Що й потрібно було довести.

Зі сказаного випливає, що М[(X- a) 2 ] досягає мінімуму за а, рівного M[(X- M(X)) 2 ], при а = М(Х),оскільки другий доданок у рівності 3) завжди невід'ємний і дорівнює 0 тільки при зазначеному значенні а.

Твердження 4.Нехай випадкова величина Хприймає значення х 1, х 2, ..., хm, а f - деяка функція числового аргументу. Тоді

Для доказу згрупуємо у правій частині рівності (4), що визначає математичне очікування, члени з однаковими значеннями:

Користуючись тим, що постійний множник можна виносити за знак суми та визначенням ймовірності випадкової події (2), отримуємо

що й потрібно було довести.

Твердження 5.Нехай Хі У- випадкові величини, визначені на тому самому просторі елементарних подій, аі b- Деякі числа. Тоді M(aX+ bY)= aM(X)+ bM(Y).

За допомогою визначення математичного очікування та властивостей символу підсумовування отримуємо ланцюжок рівностей:

Необхідне доведено.

Вище показано, як залежить математичне очікування від переходу до іншого початку відліку та до іншої одиниці виміру (перехід Y=aX+b), і навіть до функцій від випадкових величин. Отримані результати постійно використовуються в техніко-економічному аналізі, при оцінці фінансово-господарської діяльності підприємства, при переході від однієї валюти до іншої у зовнішньоекономічних розрахунках, у нормативно-технічній документації та ін. Результати, що розглядаються, дозволяють застосовувати одні і ті ж розрахункові формули при різних параметрах масштабу та зсуву.

Попередня

Математичне очікування - це визначення

Мат очікування - цеодне з найважливіших понять у математичній статистиці та теорії ймовірностей, що характеризує розподіл значень чи ймовірностейдовільної величини. Зазвичай виражається як середньозважене значенняможливих параметрів випадкової величини. Широко застосовується під час проведення технічного аналізу, дослідженні числових рядів, вивченні безперервних та тривалих процесів. Має важливе значення при оцінці ризиків, прогнозуванні цінових показників при торгівлі на фінансових ринках, використовується при розробці стратегій та методів ігрової тактики теорії азартних ігор.

Мат очікування- цесереднє значення випадкової величини, розподіл ймовірностейвипадкової величини у теорії ймовірностей.

Мат очікування - цеміра середнього значення випадкової величини теоретично ймовірності. Мат очікування випадкової величини xпозначається M(x).

Математичне очікування (Population mean) – це

Мат очікування - це

Мат очікування - цетеоретично ймовірності середньозважена величина всіх можливих значень, які може приймати ця випадкова величина.

Мат очікування - цесума творів всіх можливих значень випадкової величини на ймовірність цих значень.

Математичне очікування (Population mean) – це

Мат очікування - цесередня вигода від того чи іншого рішення за умови, що подібне рішення може бути розглянуте в рамках теорії великих чисел та тривалої дистанції.

Мат очікування - цев теорії азартних ігор сума виграшу, яку може заробити чи програти спекулянт, у середньому за кожною ставкою. Мовою азартних спекулянтівце іноді називається «перевагою спекулянта(якщо воно позитивне для спекулянта) або «перевагою казино» (якщо воно негативне для спекулянта).

Математичне очікування (Population mean) – це

Мат очікування - цепрофіту на виграш, помножений на середню прибуток, мінус збитку, помножена на середні збитки.

Математичне очікування випадкової величини у математичній теорії

Однією з важливих числових характеристик випадкової величини є очікування. Введемо поняття системи випадкових величин. Розглянемо сукупність випадкових величин, які є результатами одного й того самого випадкового експерименту. Якщо одне з можливих значень системи, то події відповідає певна ймовірність, що задовольняє аксіомам Колмогорова. Функція, визначена за будь-яких можливих значеннях випадкових величин, називається спільним законом розподілу. Ця функція дозволяє обчислювати ймовірності будь-яких подій. Зокрема, спільний законрозподілу випадкових величин і, які приймають значення з множини та, задається ймовірностями.

Термін «мат. очікування» введений П'єром Симоном маркізом де Лапласом (1795) і походить від поняття «очікуваного значення виграшу», що вперше з'явився в 17 столітті в теорії азартних ігор у працях Блеза Паскаля і Християна Гюйгенса. Однак перше повне теоретичне осмислення та оцінка цього поняття дано Пафнутієм Львовичем Чебишевим (середина 19 століття).

Законрозподіл випадкових числових величин (функція розподілу і ряд розподілу або щільність ймовірності) повністю описують поведінку випадкової величини. Але в ряді завдань достатньо знати деякі числові характеристики досліджуваної величини (наприклад, її середнє значення та можливе відхилення від нього), щоб відповісти на поставлене запитання. Основними числовими характеристиками випадкових величин є мат очікування, дисперсія, мода та медіана.

Мат очікуванням дискретної випадкової величини називається сума творів її можливих значень відповідні їм ймовірності. Іноді мат. очікування називають виваженим середнім, тому що воно приблизно дорівнює середньому арифметичному спостерігаються значень випадкової величини при великій кількості дослідів. З визначення мат очікування слід, що його значення не менше за найменше можливого значення випадкової величини і не більше за найбільше. Мат очікування випадкової величини є невипадковою (постійною) величиною.

Мат очікування має простий фізичний сенс: якщо на прямій розмістити одиничну масу, помістивши в деякі точки деяку масу (для дискретного розподілу), або «розмазавши» її з певною щільністю (для абсолютно безперервного розподілу), то точка, що відповідає мат очікування, буде координатою «центру тяжіння» прямий.

Середнє значення випадкової величини є деяке число, що є як би її «представником» і замінює її при грубо орієнтовних розрахунках. Коли ми говоримо: «середній час роботи лампи дорівнює 100 годин» або «середня точка влучення зміщена щодо мети на 2 м вправо», ми вказуємо певну числову характеристику випадкової величини, що описує її місце розташування на числовій осі, тобто. "Характеристику становища".

З характеристик становища теорії ймовірностей найважливішу роль грає мат очікування випадкової величини, яке іноді називають просто середнім значенням випадкової величини.

Розглянемо випадкову величину Х, що має можливі значення х1, х2, …, хnз ймовірностями p1, p2, …, pn. Нам потрібно охарактеризувати якимось числом положення значень випадкової величини на осі абсцис з облікомте, що ці значення мають різні ймовірності. Для цієї мети природно скористатися так званим «середнім виваженим» із значень xi, причому кожне значення xi при середовищі має враховуватися з «вагою», пропорційною ймовірності цього значення. Таким чином, ми обчислимо середню випадкову величину X, яке ми позначимо M | X |:

Це середнє зважене значення називається мат очікуванням випадкової величини. Отже, ми запровадили у розгляді одне з найважливіших понять теорії ймовірностей - поняття мат. очікування. Мат. очікуванням випадкової величини називається сума творів всіх можливих значень випадкової величини на ймовірності цих значень.

Мат. очікування випадкової величини Хпов'язано своєрідною залежністю із середнім арифметичним спостережених значень випадкової величини при великій кількості дослідів. Ця залежність того ж типу, як залежність між частотою і ймовірністю, а саме: при великій кількості дослідів середнє арифметичне спостереження значень випадкової величини наближається (збігається по ймовірності) до її мат. очікування. З наявності зв'язку між частотою та ймовірністю можна вивести як наслідок наявність подібного ж зв'язку між середнім арифметичним та математичним очікуванням. Справді, розглянемо випадкову величину Х, що характеризується рядом розподілу:

Нехай проводиться Nнезалежних дослідів, у кожному з яких величина Xнабуває певного значення. Припустимо, що значення x1з'явилося m1раз, значення x2з'явилося m2раз, взагалі значення xiз'явилося mi разів. Обчислимо середнє арифметичне спостерігання значень величини Х, яке, на відміну від мат очікування М | X |ми позначимо M*|X|:

При збільшенні дослідів Nчастоти piбудуть наближатися (збігатися ймовірно) до відповідних ймовірностей. Отже, і середнє арифметичне спостереження значень випадкової величини M | X |зі збільшенням кількості дослідів наближатися (збігається ймовірно) до її мат очікування. Сформульований вище зв'язок між середнім арифметичним та мат. очікуванням становить зміст однієї із форм закону великих чисел.

Ми вже знаємо, що всі форми закону великих чисел констатують факт стійкості деяких середніх за великої кількості дослідів. Тут йдетьсяпро стійкість середнього арифметичного із низки спостережень однієї й тієї величини. При невеликій кількості дослідів середнє арифметичне їх результатів випадково; при достатньому збільшенні числа дослідів воно стає «майже випадковим» і, стабілізуючись, наближається до постійної величині - мат. очікування.

Властивість стійкості середніх за великої кількості дослідів легко перевірити експериментально. Наприклад, зважуючи якесь тіло в лабораторії на точних терезах, ми в результаті зважування отримуємо щоразу нове значення; Щоб зменшити помилку спостереження, ми зважуємо тіло кілька разів і користуємося середнім арифметичним отриманим значенням. Легко переконатися, що при подальшому збільшенні числа дослідів (зважувань) середнє арифметичне реагує на це збільшення дедалі менше і при досить великій кількості дослідів практично перестає змінюватися.

Слід зауважити, що найважливіша характеристикаположення випадкової величини – мат. очікування – існує не для всіх випадкових величин. Можна скласти приклади таких випадкових величин, котрим мат. очікування немає, оскільки відповідна сума чи інтеграл розходяться. Однак для практики такі випадки суттєвого інтересу не становлять. Зазвичай випадкові величини, з якими ми маємо справу, мають обмежену область можливих значень і, безумовно, мають мат очікування.

Крім найважливішої з характеристик становища випадкової величини - мат очікування, - практично іноді застосовуються й інші характеристики становища, зокрема, мода і медіана випадкової величини.

Модою випадкової величини називається її найімовірніше значення. Термін «найбільш ймовірне значення», строго кажучи, застосовується тільки до перервних величин; для безперервної величини модою є значення, в якому щільність ймовірності максимальна. На малюнках показана мода відповідно для перервної та безперервної випадкових величин.

Якщо багатокутник розподілу (крива розподілу) має більше одного максимуму, розподіл називається полімодальним.

Іноді зустрічаються розподіли, що мають посередині не максимум, а мінімум. Такі розподіли називають «антимодальними».

У випадку мода і мат очікування випадкової величини не збігаються. В окремому випадку, коли розподіл є симетричним і модальним (тобто має моду) і існує мат. очікування, воно збігається з модою і центром симетрії розподілу.

Часто застосовується ще одна характеристика становища – так звана медіана випадкової величини. Цією характеристикою користуються зазвичай лише безперервних випадкових величин, хоча формально можна визначити й у перервної величини. Геометрично медіана - це абсцис точки, в якій площа, обмежена кривою розподілу, ділиться навпіл.

У разі симетричного модального розподілу медіана збігається із мат. очікуванням та модою.

Мат очікування є середнє значення, випадкової величини - числова характеристикарозподілу ймовірностей випадкової величини Самим загальним чиноммат очікування випадкової величини Х(w)визначається як інтеграл Лебега по відношенню до імовірнісної міри Ру вихідному імовірнісному просторі:

Мат. очікування може бути обчислено і як інтеграл Лебега від хщодо розподілу ймовірностей рхвеличини X:

Природно можна визначити поняття випадкової величини з нескінченним мат очікуванням. Типовим прикладом є часи репатріації в деяких випадкових блуканнях.

За допомогою мат. очікування визначаються багато чисельних і функціональних характеристик розподілу (як мат. очікування відповідних функцій від випадкової величини), наприклад, що виробляє функція, характеристична функція, моменти будь-якого порядку, зокрема дисперсія, коваріація.

Математичне очікування (Population mean) – це

Мат очікування є характеристикою розташування значень випадкової величини (середнє значення її розподілу). У цьому ролі математичне очікування служить деяким " типовим " параметром розподілу та її роль аналогічна ролі статичного моменту - координати центру тяжкості розподілу маси - у механіці. Від інших характеристик розташування, за допомогою яких розподіл описується в загальних рисах, - медіан, мод, мат очікування відрізняється тим більшим значенням, яке і відповідна йому характеристика розсіювання - дисперсія - мають у граничних теоремах теорії ймовірностей. З найбільшою повнотою сенс мат очікування розкривається законом великих чисел (нерівність Чебишева) і посиленим законом великих чисел.

Математичне очікування (Population mean) – це

Математичне очікування дискретної випадкової величини

Нехай є деяка випадкова величина, яка може набути одного з кількох числових значень (припустимо, кількість очок при кидку кістки може бути 1, 2, 3, 4, 5 або 6). Часто на практиці для такої величини виникає питання: а яке значення вона набуває "в середньому" при великій кількості тестів? Яким буде наш середній прибуток (або збиток) від кожної з ризикованих операцій?

Скажімо, є якась лотерея. Ми хочемо зрозуміти, вигідно чи ні в ній взяти участь (або навіть брати участь неодноразово, регулярно). Допустимо, виграшний кожен четвертий квиток, приз складе 300 руб., а будь-якого квитка – 100 руб. За нескінченно великої кількості участі виходить ось що. У трьох чвертях випадків ми програємо, кожні три програші коштуватимуть 300 руб. У кожному четвертому випадку ми виграємо 200 руб. (Приз мінус вартість), тобто за чотири участі ми в середньому втрачаємо 100 руб., За одну – у середньому 25 руб. Разом у середньому темпи нашого руйнування становитимуть 25 крб./квиток.

Кидаємо гральну кістку. Якщо вона не шахрайська (без усунення центру тяжкості тощо), то скільки ми в середньому матимемо очок за раз? Оскільки кожен варіант рівноймовірний, беремо тупо середнє арифметичне та отримуємо 3,5. Оскільки це СЕРЕДНІШЕ, то нема чого обурюватися, що 3,5 очок ніякий конкретний кидок не дасть - ну немає у цього куба грані з таким числом!

Тепер узагальним наші приклади:

Звернемося до щойно наведеної картинки. Зліва табличка розподілу випадкової величини. Величина X може набувати одного з n можливих значень (наведені у верхньому рядку). Жодних інших значень не може бути. Під кожним можливим значенням знизу підписано його можливість. Справа наведена формула, де M(X) і називається мат. очікуванням. Сенс цієї величини в тому, що при великій кількості випробувань (при великій вибірці) середнє значення буде прагнути цього самого мат очікування.

Повернемося знову до того ж грального куба. Мат. очікування кількості очок при кидку дорівнює 3,5 (вважайте самі за формулою, якщо не вірите). Скажімо, ви кинули його кілька разів. Випали 4 та 6. У середньому вийшло 5, тобто далеко від 3,5. Кинули ще раз, випало 3, тобто в середньому (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Якось далеко від мат. очікування. А тепер проведіть божевільний експеримент – киньте куб 1000 разів! І якщо в середньому не буде рівно 3,5, то буде близько до того.

Порахуємо мат. очікування для описаної вище лотереї. Табличка виглядатиме ось так:

Тоді мат очікування складе, як ми встановили вище.

Інша річ, що так само "на пальцях", без формули, було б важкувато, якби було більше варіантів. Ну скажімо, було б 75% програшних квитків, 20% виграшних квитківта 5% особливо виграшних.

Тепер деякі властивості мат очікування.

Мат. очікування є лінійним.Довести це просто:

Постійний множник дозволяється виносити за знак мат. очікування, тобто:

Це є окремим випадком якості лінійності мат очікування.

Інше наслідок лінійності мат. очікування:

тобто мат. очікування суми випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань випадкових величин.

Нехай X, Y – незалежні випадкові величинитоді:

Це теж нескладно довести) Твір XYсамо є випадковою величиною, при цьому якщо вихідні величини могли приймати nі mзначень відповідно, то XYможе набувати nm значень. кожного з значень обчислюється виходячи з того, що ймовірності незалежних подійперемножуються. У результаті отримуємо ось що:

Математичне очікування безперервної випадкової величини

Безперервні випадкові величини мають таку характеристику, як щільність розподілу (щільність ймовірності). Вона, по суті характеризує ситуацію, що деякі значення з множини дійсних чисел випадкова величина набуває частіше, деякі - рідше. Наприклад, розглянемо ось який графік:

Тут X- Власне випадкова величина, f(x)- Щільність розподілу. Судячи з даного графіку, при дослідах значення Xчасто буде числом, близьким до нуля. Шанси ж перевищити 3 або виявитися менше -3 скоріше чисто теоретичні.

Якщо відома щільність розподілу, то очікування мат шукається так:

Нехай, наприклад, є рівномірний розподіл:

Знайдемо мат. очікування:

Це цілком відповідає інтуїтивному розумінню. Скажімо, якщо ми отримуємо при рівномірному розподілі багато випадкових дійсних чисел, кожне із відрізків |0; 1| , то середнє арифметичне має бути близько 0,5.

Властивості мат очікування - лінійність і т.д., застосовні для дискретних випадкових величин, застосовні і тут.

Взаємозв'язок математичного очікування з іншими статистичними показниками

У статистичномуаналізі поряд з мат очікуванням існує система взаємозалежних показників, що відображають однорідність явищ та стійкість процесів. Часто показники варіації не мають самостійного сенсу та використовуються для подальшого аналізуданих. Винятком є ​​коефіцієнт варіації, що характеризує однорідність даних, що є цінною статистичноїхарактеристикою.

Ступінь мінливості чи стійкості процесіву статистичній науці може вимірюватися за допомогою кількох показників.

Найбільш важливим показником, що характеризує мінливістьвипадкової величини, є Дисперсія, яка найтіснішим і безпосереднім чином пов'язана з мат. очікуванням. Цей параметр активно використовують у інших видах статистичного аналізу (перевірка гіпотез, аналіз причинно-наслідкових зв'язків та інших.). Як і середнє лінійне відхилення, дисперсія також відображає міру розкиду данихнавколо середньої величини.

Мова знаків корисно перекласти мовою слів. Вийде, що дисперсія – це середній квадрат відхилень. Тобто спочатку розраховується середнє значення, потім береться різниця між кожним вихідним та середнім значенням, зводиться у квадрат, складається і потім ділиться на кількість значень у цій сукупності. Різницяміж окремим значенням та середньою відображає міру відхилення. У квадрат зводиться для того, щоб усі відхилення стали виключно позитивними числами і щоб уникнути взаємознищення позитивних та негативних відхилень при їхньому сумуванні. Потім, маючи квадрати відхилень, ми просто розраховуємо середню арифметичну. Середній – квадрат – відхилень. Відхилення зводяться у квадрат, і вважається середня. Розгадка магічного слова «дисперсія» полягає лише у трьох словах.

Однак у чистому вигляді, як, наприклад, середня арифметична, або дисперсія не використовується. Це скоріше допоміжний та проміжний показник, який використовується для інших видів статистичного аналізу. У неї навіть одиниці вимірювання нормальної немає. Судячи з формули, це квадрат одиниці виміру вихідних даних.

Математичне очікування (Population mean) – це

Нехай ми вимірюємо випадкову величину Nразів, наприклад, десять разів вимірюємо швидкість вітру та хочемо знайти середнє значення. Як пов'язане середнє значення з функцією розподілу?

Або кидатимемо гральний кубик велика кількістьразів. Кількість очок, що випаде на кубику при кожному кидку, є випадковою величиною і може набувати будь-яких натуральних значень від 1 до 6. Середнє арифметичне випалих очок, підрахованих за всі кидки кубика, теж є випадковою величиною, проте при великих Nвоно прагне цілком конкретного числа - мат. очікування Mx. У даному випадку Mx = 3,5.

Як вийшла ця величина? Нехай у Nвипробуваннях n1раз випало 1 очко, n2разів - 2 очки і так далі. Тоді кількість наслідків, у яких випало одне очко:

Аналогічно для наслідків, коли випало 2, 3, 4, 5 та 6 очок.

Припустимо тепер, що знаємо розподілу випадкової величини x, тобто знаємо, що випадкова величина x може набувати значення x1, x2,..., xk з ймовірностями p1, p2,..., pk.

Мат очікування Mx випадкової величини x дорівнює:

Мат очікування не завжди є розумною оцінкою якоїсь випадкової величини. Так, для оцінки середньої заробітної платирозумніше використовувати поняття медіани, тобто такої величини, що кількість людей, які отримують меншу, ніж медіана, зарплатуі більшу, збігаються.

Імовірність р1 того, що випадкова величина х виявиться меншою за х1/2, і ймовірність р2 того, що випадкова величина x виявиться більшою за х1/2, однакові й рівні 1/2. Медіана визначається однозначно задля всіх розподілів.

Стандартним або Середньоквадратичним відхиленняму статистиці називається ступінь відхилення даних спостережень чи множин від СЕРЕДНЬОГО значення. Позначається літерами s чи s. Невелике стандартне відхиленнявказує на те, що дані групуються навколо середнього значення, а значне – що початкові дані розташовуються далеко від нього. Стандартне відхилення дорівнює квадратному кореню величини, яка називається дисперсією. Вона є середня кількість суми зведених у квадрат різниць початкових даних, що відхиляються від середнього значення. Середньоквадратичним відхиленням випадкової величини називається квадратний корінь з дисперсії:

приклад. В умовах випробувань при стрільбі по мішені обчислити дисперсію та середньо квадратичне відхиленнявипадкової величини:

Варіація- коливання, змінність величини ознаки в одиниць сукупності. Окремі числові значенняознаки, які у досліджуваної сукупності, називають варіантами значень. Недостатність середньої величини для повної характеристикисукупності змушує доповнювати середні величини показниками, що дозволяють оцінити типовість цих середніх шляхом вимірювання коливання (варіації) ознаки, що вивчається. Коефіцієнт варіації обчислюють за такою формулою:

Розмах варіації(R) являє собою різницю між максимальним і мінімальним значеннями ознаки в досліджуваній сукупності. Цей показник дає саме загальне уявленняпро коливання досліджуваної ознаки, оскільки показує різницюлише між граничними значеннями варіантів. Залежність крайніх значень ознаки надає розмаху варіації нестійкий, випадковий характер.

Середнє лінійне відхиленняявляє собою середнє арифметичне з абсолютних (за модулем) відхилень всіх значень аналізованої сукупності від їхньої середньої величини:

Математичне очікування теорії азартних ігор

Мат очікування - цесередня кількість грошей, яку спекулянт у азартні ігриможе виграти чи програти на даній ставці. Це дуже суттєве поняття для спекулянта, тому що воно є основоположним для оцінки більшості ігрових ситуацій. Мат очікування – це також оптимальний інструмент для аналізу основних карткових розкладів та ігрових ситуацій.

Припустимо, ви граєте з другом у монетку, щоразу роблячи ставку порівну по $1 незалежно від того, що випаде. Решка – ви виграли, орел – програли. Шанси на те, що випаде решка один до одного, і ви робите $1 до $1. Таким чином, мат очікування у вас дорівнює нулю, т.к. з точки зору математики ви не можете знати ви будете вести або програвати після двох кидків або після 200.

Ваш годинний виграш дорівнює нулю. Часовий виграш - це та кількість грошей, яку ви очікуєте виграти за годину. Ви можете кидати монету 500 разів протягом години, але ви не виграєте та не програєте, т.к. Ваші шанси ні позитивні, ні негативні. Якщо дивитися, з погляду серйозного спекулянта, така система ставок непогана. Але це просто втрата часу.

Але припустимо, хтось хоче поставити $2 проти вашого $1 у цю гру. Тоді ви одразу ж маєте позитивне маточкування в 50 центів з кожної ставки. Чому 50 центів? У середньому одну ставку ви виграєте, другу програєте. Поставте перший – і втратите $1, ставите другий – виграєте $2. Ви двічі зробили ставку $1 і йдете попереду на $1. Таким чином, кожна з ваших однодоларових ставок дала вам 50 центів.

Якщо за одну годину монета випаде 500 разів, ваш вартовий виграш складе вже $250, т.к. в середньому ви втратили по одному долару 250 разів і виграли по два долара 250 разів. $500 мінус $250 і $250, що і становить сумарний виграш. Зверніть увагу, що матожидання є сумою, яку в середньому ви виграли на одній ставці, дорівнює 50 центам. Ви виграли $250, роблячи ставку по долару 500 разів, що дорівнює 50 центам зі ставки.

Математичне очікування (Population mean) – це

Мат. очікування немає нічого спільного з короткочасним результатом. Ваш опонент, який вирішив ставити проти вас $2 міг обіграти вас на перших десяти кидках поспіль, але ви, маючи перевагу ставок 2 до 1 за інших рівних, за будь-яких обставин заробляєте 50 центів з кожної ставки в $1. Немає різниці, ви виграєте або програєте одну ставку або кілька ставок, але тільки за умови, що у вас вистачить готівки, щоб спокійно компенсувати витрати. Якщо ви продовжуватимете ставити так само, то за тривалий час ваш виграш підійде до суми матожиданий в окремих кидках.

Щоразу, роблячи ставку з найкращим результатом (ставка, яка може виявитися вигідною на довгій дистанції), коли шанси на вашу користь, ви обов'язково щось виграєте на ній, і не важливо ви втрачаєте її чи ні в даній роздачі. І навпаки, якщо ви зробили ставку з найгіршим результатом (ставка, яка невигідна на довгій дистанції), коли шанси не на вашу користь, ви щось втрачаєте незалежно від того, ви виграли або програли в даній роздачі.

Математичне очікування (Population mean) – це

Ви робите ставку з найкращим результатом, якщо маточування у вас позитивне, а воно є позитивним, якщо шанси на вашому боці. Роблячи ставку з найгіршим наслідком, у вас негативне маточування, яке буває, коли шанси проти вас. Серйозні спекулянти роблять ставки тільки з найкращим результатом, за гіршого - вони пасують. Що означає шанси на вашу користь? Ви можете зрештою виграти більше, ніж приносять реальні шанси. Реальні шанси на те, що випаде решка 1:1, але у вас виходить 2:1 за рахунок співвідношення ставок. У цьому випадку шанси на вашу користь. Ви точно отримуєте найкращий результат із позитивним очікуванням у 50 центів за одну ставку.

Ось більше складний прикладмат. очікування. Приятель пише цифри від одного до п'яти і робить ставку $5 проти $1 на те, що ви не визначите загадану цифру. Чи погоджуватись вам на таке парі? Яке тут маточіння?

У середньому чотири рази ви помилитеся. Виходячи з цього, шанси проти того, що ви відгадаєте цифру, складуть 4 до 1. Шанси за те, що при одній спробі ви втратите долар. Тим не менш, ви виграє 5 до 1, при можливості програти 4 до 1. Тому шанси на вашу користь, ви можете приймати парі і сподіватися на найкращий результат. Якщо ви зробите таку ставку п'ять разів, в середньому ви програєте чотири рази $1 і один раз виграєте $5. Виходячи з цього, за всі п'ять спроб ви заробите $1 з позитивним математичним очікуванням 20 центів за одну ставку.

Спекулянт, який має намір виграти більше, ніж ставить, як у прикладі вище, – ловить шанси. І навпаки, він губить шанси, коли передбачає виграти менше, ніж ставить. Спекулянт, який робить ставку може мати або позитивне, або негативне маточування, яке залежить від того, ловить він чи губить шанси.

Якщо ви поставите $50 для того, щоб виграти $10 за ймовірності виграшу 4 до 1, то ви отримаєте негативне маточування $2, т.к. в середньому ви виграєте чотири рази $10 і один раз програєте $50, з чого видно, що втрата за одну ставку складе $10. Але якщо ви поставите $30 для того, щоб виграти $10, при тих же шансах виграшу 4 до 1, то в даному випадку ви маєте позитивне очікування $2, т.к. ви знову виграєте чотири рази по $10 і один раз програєте $30, що становитиме прибутоку $10. Дані приклади показують, перша ставка погана, а друга - хороша.

Мат. очікування є центром будь-якої ігрової ситуації. Коли букмекер закликає футбольних уболівальників ставити $11, щоб виграти $10, то він має позитивне чаклунство з кожних $10 у розмірі 50 центів. Якщо казино виплачує рівні гроші з пасової лінії в крепсі, то позитивне очікування казино становитиме приблизно $1.40 з $100, т.к. ця гра побудована так, що кожен, хто поставив на цю лінію, в середньому програє 50.7% та виграє 49.3% загального часу. Безперечно, саме це начебто мінімальне позитивне маточіння і приносить колосальні профіти власникам казино по всьому світу. Як зауважив господар казино Vegas World Боб Ступак, «одна тисячна відсотканегативної ймовірності на досить довгій дистанції розорить найбагатшу людину у світі».

Математичне очікування при грі в Покер

Гра в Покер є найбільш показовим і наочним прикладом з точки зору використання теорії та властивостей мат очікування.

Мат. очікування (англ. Expected Value) у Покері – середня вигода від того чи іншого рішення за умови, що подібне рішення може бути розглянуте в рамках теорії великих чисел та тривалої дистанції. Успішна гра в покер полягає в тому, щоб завжди приймати ходи лише з позитивним математичним очікуванням.

Математичне очікування (Population mean) – це

Математичне значення мат. очікування при грі в покер полягає в тому, що ми часто стикаємося з випадковими величинами при прийнятті рішення (ми не знаємо, які карти на руках у опонента, які карти прийдуть на наступних колах торгівлі). Ми повинні розглядати кожне з рішень з точки зору теорії великих чисел, яка свідчить, що при досить великій вибірці середнє значення випадкової величини буде прагнути її мат очікування.

Серед приватних формул для обчислення мат очікування, в покер найбільш застосовна наступна:

Під час гри в покер мат. очікування можна розраховувати як ставок, так коллов. У першому випадку до уваги слід брати фолд-еквіті, у другому – власні шанси банку. Оцінюючи мат. очікування того чи іншого ходу слід пам'ятати, що фолд завжди має нульове маточування. Таким чином, скидання карт буде завжди вигіднішим рішенням, ніж будь-який негативний хід.

Математичне очікування (Population mean) – це

Очікування говорить вам про те, що ви можете очікувати (або збиток) на кожен ризикований вами. Казино заробляють гроші, оскільки мат очікування від усіх ігор, які практикуються в них, на користь казино. При досить довгій серії гри можна очікувати, що клієнт втратить свої грошіоскільки «імовірність» на користь казино. Однак професійні спекулянти в казино обмежують свої ігри короткими проміжками часу, тим самим збільшуючи ймовірність своєї користі. Те саме стосується й інвестування. Якщо ваше очікування є позитивним, ви можете заробити більше грошей, здійснюючи багато угод у короткий періодчасу. Очікування це ваш відсоток профіту на виграш, помножений на середній прибуток, мінус ваша ймовірність збитку, помножена на середній збиток.

Покер також можна розглянути з погляду мат очікування. Ви можете припустити, що певний хід вигідний, але в деяких випадках він може виявитися далеко не кращим, тому що вигідніший інший хід. Допустимо, ви зібрали фул-хаус у п'ятикартковому покері з обміном. Ваш суперник робить ставку. Ви знаєте, що, якщо підвищите ставку, він відповість. Тому підвищення виглядає найкращою тактикою. Але якщо ви все ж таки підніміть ставку, що залишилися двоє спекулянтів, точно скинуть карти. Але якщо ви зрівняєте ставку, то повністю впевнені, що двоє інших спекулянтів після вас надійдуть також. При підвищенні ставки ви отримуєте одну одиницю, а просто зрівнюючи дві. Таким чином, вирівнювання дає вам більш високе позитивне математичне очікування, і буде найкращою тактикою.

Мат. очікування також може дати поняття про те, яка в покер тактика менш вигідна, а яка - більше. Наприклад, граючи на певній руці, ви вважаєте, що втрати в середньому складуть 75 центів, включаючи анте, то таку руку слід грати, т.к. це краще, ніж скинутися, коли анте дорівнює $1.

Іншою важливою причиною для розуміння суті є мат. очікування є те, що воно дає вам почуття спокою незалежно від того, ви виграли ставку чи ні: якщо ви зробили гарну ставкуабо вчасно рятували, ви знатимете, що ви заробили або зберегли певну кількість грошей, яку спекулянт слабше не зміг вберегти. Набагато складніше скинути карти, якщо ви засмучені тим, що суперник на обміні зібрав сильнішу комбінацію. При цьому, які ви заощадили, не граючи, замість того, щоб ставити, додаються до вашого виграшу за ніч або за місяць.

Просто пам'ятайте, що якщо поміняти ваші руки, ваш суперник відповів би вам, і як ви побачите у статті «фундаментальна покерна теорема» це лише одна з ваших переваг. Ви повинні радіти, коли це станеться. Вам навіть можна навчитися отримувати задоволення від програної роздачі, тому що ви знаєте, що інші спекулянти на вашому місці програли б набагато більше.

Як говорилося в прикладі з грою в монетку на початку, часовий коефіцієнт профіту взаємопов'язаний з мат очікуванням, і дане поняттяособливо важливо для професійних спекулянтів. Коли ви збираєтеся грати в покер, ви повинні подумки прикинути, скільки ви зможете виграти за годину гри. У більшості випадків вам необхідно буде ґрунтуватися на вашій інтуїції та досвіді, але ви також можете користуватись і деякими математичними викладками. Наприклад, ви граєте в лоуболл з обміном, і спостерігаєте, що три учасники роблять ставки по $10, а потім змінюють дві карти, що є дуже поганою тактикою, ви можете порахувати для себе, що кожного разу, коли вони ставлять $10, вони втрачають близько $2. Кожен з них робить це вісім разів на годину, а отже, всі троє втрачають за годину приблизно $48. Ви один із чотирьох спекулянтів, що залишилися, приблизно рівні, відповідно ці чотири спекулянти (і ви серед них) повинні розділити $48, і прибуток кожного складе $12 на годину. Ваш часовий коефіцієнт у цьому випадку просто дорівнює вашій долі від суми грошей, програної трьома поганими спекулянтами за годину.

Математичне очікування (Population mean) – це

За великий період сумарний виграш спекулянта становить суму його математичних очікувань в окремих роздачах. Чим більше ви граєте з позитивним очікуванням, тим більше виграєте, і навпаки, чим більше роздач з негативним очікуванням ви зіграєте, тим більше ви програєте. Внаслідок цього, слід віддавати перевагу грі, яка зможе максимально збільшити ваше позитивне очікування або зведе нанівець негативне, щоб ви змогли підняти до максимуму ваш годинний виграш.

Позитивне математичне очікування в ігровій стратегії

Якщо ви знаєте, як рахувати карти, у вас може бути перевага перед казино, якщо вони не помітять цього і не викинуть вас геть. Казино люблять п'яних спекулянтів і не переносять карти, що вважають карти. Перевага дозволить вам з часом виграти більше разів, ніж програти. Хороше управліннякапіталом при використанні розрахунків мат очікування може допомогти отримати більше профіту з вашої переваги і скоротити втрати. Без переваги вам найкраще віддати гроші на благодійність. У грі на біржі перевагу дає система гри, що створює більший прибуток, ніж втрати, різниця цінта комісійні. Жодне управління капіталомне врятує погану ігрову систему

Позитивне очікування визначається значенням, що перевищує нуль. Чим більше це число, тим більше статистичне очікування. Якщо значення менше від нуля, то мат. очікування також буде негативним. Чим більший модуль негативного значення, тим гірша ситуація. Якщо результат дорівнює нулю, то очікування є беззбитковим. Ви можете виграти тільки тоді, коли у вас є позитивне математичне очікування, розумна система гри. Гра інтуїції призводить до катастрофи.

Математичне очікування та

Мат очікування – досить широко затребуваний та популярний статистичний показник при здійсненні біржових торгів на фінансових ринках. Насамперед цей параметр використовують для аналізу успішності торгівлі. Не складно здогадатися, що чим більше дане значення, тим більше підстав вважати досліджувану торгівлю успішною. Звичайно, аналіз роботитрейдера не може здійснюватися тільки за допомогою цього параметра. Проте обчислюване значення в сукупності з іншими способами оцінки якості роботиможе істотно підвищити точність аналізу.

Мат очікування часто обчислюється в сервісах моніторингів торгових рахунків, що дозволяє швидко оцінювати роботу, що здійснюється на депозиті. Як винятки можна навести стратегії, у яких використовується “пересиджування” збиткових угод. Трейдеруможе деякий час супроводжувати успіх, а тому, в його роботі може не виявитися збитків взагалі. У такому разі, орієнтуватися тільки за мотаченням не вийде, адже не будуть враховані ризики, що використовуються в роботі.

У торгівлі на ринкумат очікування найчастіше застосовують при прогнозуванні прибутковості будь-якої торгової стратегіїабо при прогнозуванні доходів трейдерана основі статистичних даних його попередніх торгів.

Математичне очікування (Population mean) – це

Щодо управління капіталом дуже важливо розуміти, що при здійсненні угод з негативним очікуванням немає схеми управліннягрошима, яка може однозначно принести високий прибуток. Якщо ви продовжуєте грати на біржіу цих умовах, то незалежно від способу управліннягрошима ви втратите весь ваш рахунок, хоч би яким великим він був на початку.

Ця аксіома вірна не тільки для гри або операцій з негативним очікуванням, вона дійсна також для гри з рівними шансами. Тому єдиний випадок, коли ви маєте шанс отримати вигоду в довгостроковій перспективі, — це укладання угод з позитивним математичним очікуванням.

Відмінність між негативним очікуванням і позитивним очікуванням - це різницю між життям і смертю. Не має значення, наскільки позитивне чи наскільки негативне очікування; важливо лише те, позитивне воно чи негативне. Тому до розгляду питань управління капіталомви повинні знайти гру з позитивним очікуванням.

Якщо у вас такої гри немає, тоді жодне управління грошима у світі не врятує вас. З іншого боку, якщо у вас є позитивне очікування, то можна за допомогою правильного управління грошима перетворити його на функцію експоненційного зростання. Не має значення, як мало це позитивне очікування! Іншими словами, не має значення, наскільки прибутковою є торгова система на основі одного контракту. Якщо у вас є система, яка виграє 10 доларів на контракт в одній угоді (після відрахування комісійних та прослизання), можна використовувати методи управління капіталомтаким чином, щоб зробити її більш прибутковою, ніж систему, яка показує середній прибуток 1000 доларів за угоду (після відрахування комісійних та прослизання).

Має значення не те, наскільки прибуткова система була, а те, наскільки точно можна сказати, що система покаже, принаймні, мінімальний прибуток у майбутньому. Тому найбільш важливе приготування, яке може зробити, це переконатися в тому, що система покаже позитивне математичне очікування в майбутньому.

Щоб мати позитивне математичне очікування у майбутньому, дуже важливо не обмежувати ступеня свободи вашої системи. Це досягається не тільки скасуванням або зменшенням кількості параметрів, що підлягають оптимізації, але також шляхом скорочення як можна більшої кількостіправил системи Кожен параметр, який ви додаєте, кожне правило, яке ви вносите, кожна дрібна зміна, яку ви робите в системі, скорочує кількість ступенів свободи. В ідеалі, вам потрібно побудувати досить примітивну та просту систему, яка постійно приноситиме невеликий прибуток майже на будь-якому ринку. І знову важливо, щоб ви зрозуміли, — не має значення, наскільки прибутковою є система, поки вона прибуткова. , які ви заробите у торгівлі, будуть зароблені за допомогою ефективного управління грошима.

Математичне очікування (Population mean) – це

Торгова система - це просто засіб, який дає вам позитивне математичне очікування, щоб можна було керувати грошима. Системи, які працюють (показують принаймні мінімальний прибуток) тільки на одному або кількох ринках або мають різні правила або параметри для різних ринків, найімовірніше, не працюватимуть у режимі реального часу досить довго. Проблема більшості технічно орієнтованих трейдерів полягає в тому, що вони витрачають надто багато часу та зусиль на оптимізацію різних правил та значень параметрів торгової системи. Це дає цілком протилежні результати. Замість того, щоб витрачати сили та комп'ютерний час на збільшення профітів торгової системи, спрямуйте енергію на збільшення рівня надійності отримання мінімального профіту.

Знаючи, що управління капіталом- це лише цифрова граЩо вимагає використання позитивних очікувань, трейдер може припинити пошуки "священного Грааля" торгівлі на біржі. Натомість він може зайнятися перевіркою свого торговельного методу, з'ясувати, наскільки цей метод логічно обґрунтований, чи дає він позитивні очікування. Правильні методиуправління капіталом, що застосовуються стосовно будь-яких, навіть дуже посередніх методів ведення торгівлі, самі зроблять решту роботи.

Будь-якому трейдеру для успіху у своїй роботі необхідно вирішити три найважливіші завдання. Домогтися, щоб кількість вдалих угод перевищувала неминучі помилки та прорахунки; Налаштувати свою систему торгівлі так, щоб можливість заробітку була якнайчастіше; Досягти стабільності позитивного результату своїх операцій.

І тут нам, працюючим трейдерам, непогану допомогу може надати матюка. очікування. Цей термінтеоретично ймовірності одна із ключових. З його допомогою можна дати усереднену оцінку деякому випадковому значенню. Мат очікування випадкової величини подібно до центру тяжкості, якщо уявити всі можливі ймовірності точками з різною масою.

Що стосується торгової стратегії з метою оцінки її ефективності найчастіше використовують мат очікування профита (чи збитку). Цей параметр визначають, як суму творів заданих рівнів профіту та втрат та ймовірності їх появи. Наприклад, розроблена стратегія торгівлі передбачає, що 37% всіх операцій принесуть прибуток, а частина, що залишилася, - 63% - буде збитковою. При цьому середній дохідвід вдалої угоди складе 7 доларів, а середній програш дорівнюватиме 1,4 долара. Розрахуємо мат. очікування торгівлі за такою системою:

Що означає це число? Воно говорить про те, що, дотримуючись правил цієї системи, в середньому ми отримуватимемо 1,708 долара від кожної закритої угоди. Оскільки отримана оцінка ефективності більша за нуль, то таку систему цілком можна використовувати для реальної роботи. Якщо ж в результаті розрахунку мат очікування вийде негативним, то це вже говорить про середні збитки і така призведе до руйнування.

Розмір профіту однією угоду може бути виражений і відносної величиною як %. Наприклад:

Відсоток доходу на 1 угоду – 5%;

Відсоток успішних торгових операцій – 62%;

Відсоток збитку для 1 угоду - 3%;

Відсоток невдалих угод – 38%;

І тут мат. очікування складе:

Тобто середня угода принесе 1,96%.

Можна розробити систему, яка попри переважання збиткових угод даватиме позитивний результат, оскільки її МО>0.

Втім, одного очікування мало. Важко заробити, якщо система дає дуже мало торгових сигналів. У цьому випадку її можна порівняти з банківським відсотком. Нехай кожна операція дає в середньому лише 0,5 долара, але якщо система передбачає 1000 операцій на рік? Це буде дуже серйозна сума за порівняно короткий час. З цього логічно випливає, що ще однією відмітною ознакою хорошої торгової системи вважатимуться короткий термін утримання позицій.

Джерела та посилання

dic.academic.ru - академічний інтернет-словник

mathematics.ru - освітній сайт з математики

nsu.ru - освітній веб-сайт Новосибірського державного університету

webmath.ru - освітній порталдля студентів, абітурієнтів та школярів.

exponenta.ru освітній математичний сайт

ru.tradimo.com - безкоштовна онлайн школатрейдінга

crypto.hut2.ru - багатопрофільний інформаційний ресурс

poker-wiki.ru - вільна енциклопедія покеру

sernam.ru - Наукова бібліотекавибраних природничо-наукових видань

reshim.su - інтернет сайт РЕШИМО задачі контрольні курсові

unfx.ru - Forex на UNFX: навчання, торгові сигнали, довірче управління

- математичне очікування Одна з чисельних характеристик випадкової величини, яка часто називається її теоретичною середньою. Для дискретної випадкової величини X математичне… Довідник технічного перекладача

МАТЕМАТИЧНЕ ОЧЕКАННЯ- (expected value) Середнє значення розподілу економічної змінної, які вона може приймати. Якщо рt – ціна товару на момент часу t, її математичне очікування позначається – Ept. Для вказівки моменту часу, до якого належить … Економічний словник

Математичне очікування- Середнє значення випадкової величини. Математичне очікування є детермінованою величиною. Середнє арифметичне значення з реалізацій випадкової величини є оцінкою математичного очікування. Середнє арифметичне… Офіційна термінологія – (середнє значення) випадкової величини числова характеристика випадкової величини. Якщо випадкова величина, задана на вероятностном просторі (див. ймовірностей теорія), її M. о. MX (або EX) визначається як інтеграл Лебега: де … Фізична енциклопедія

МАТЕМАТИЧНЕ ОЧЕКАННЯ- Випадкової величини є її числова характеристика. Якщо випадкова величина X має функцію розподілу F(x), її М. о. буде: . Якщо розподіл X дискретно, то М.о.: де x1, х2, ... можливі значення дискретної випадкової величини X; p1 … Геологічна енциклопедія

МАТЕМАТИЧНЕ ОЧЕКАННЯ- англ. expected value; ньому. Erwartung mathematische. Стохастична середня або центр розсіювання випадкової величини. Антіназі. Енциклопедія соціології, 2009 … Енциклопедія соціології

Математичне очікування- Див. також: Умовне математичне очікування Математичне очікування середнє значення випадкової величини, розподіл ймовірностей випадкової величини, що розглядається в теорії ймовірностей. В англомовній літературі та в математичних ... Вікіпедія

Математичне очікування- 1.14 Математичне очікування Е(X) де xi значення дискретної випадкової величини; р = Р (Х = xi); f(x) щільність безперервної випадкової величини * Якщо цей вислів існує в сенсі абсолютної збіжності. Словник-довідник термінів нормативно-технічної документації

Книги

Wir verwenden Cookies für die beste Präsentation unserer Website. Wenn Sie diese Website weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. OK

Математичне очікування

Дисперсіябезперервної випадкової величини X, можливі значення якої належать всій осі Ох, визначається рівністю:

Призначення сервісу. Онлайн калькулятор призначений для розв'язання задач, у яких задані або щільність розподілу f(x) або функція розподілу F(x) (див. приклад). Зазвичай у таких завданнях потрібно знайти математичне очікування, середнє квадратичне відхилення, побудувати графіки функцій f(x) та F(x).

Інструкція. Виберіть тип вихідних даних: щільність розподілу f(x) або функцію розподілу F(x) .

Задано щільність розподілу f(x) Задано функцію розподілу F(x)

Задано щільність розподілу f(x):

Задано функцію розподілу F(x):

Безперервна випадкова величина задана щільністю ймовірностей
(Закон розподілу Релея – застосовується у радіотехніці). Знайти M(x), D(x).

Випадкову величину X називають безперервний якщо її функція розподілу F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
Функція розподілу безперервної випадкової величини застосовується для обчислення ймовірностей попадання випадкової величини заданий проміжок:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
причому для безперервної випадкової величини не має значення, включаються в цей проміжок його межі чи ні:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Щільністю розподілу безперервної випадкової величини називається функція
f(x)=F'(x) , похідна від функції розподілу.

Властивості щільності розподілу

1. Щільність розподілу випадкової величини невід'ємна (f(x) ≥ 0) за всіх значень x.
2. Умова нормування:

Геометричний зміст умови нормування: площа під кривою щільності розподілу дорівнює одиниці.
3. Імовірність потрапляння випадкової величини X у проміжок від α до β може бути обчислена за формулою

Геометрично ймовірність попадання безперервної випадкової величини X у проміжок (α, β) дорівнює площі криволінійної трапеції під кривою щільності розподілу, що спирається на цей проміжок.
4. Функція розподілу виражається через щільність так:

Значення щільності розподілу в точці x не дорівнює ймовірності прийняти це значення, для безперервної випадкової величини може йтися лише про ймовірність попадання в заданий інтервал. Нехай)