Висновок формули всесвітнього тяжіння. Сила всесвітнього тяжіння

У 1665-1666 роках у Лондоні лютувала чума, і Ньютон багато часу проводив на фермі у Вулсторпі. Йому було всього 24 роки, але історики вважають, що саме в цей час Ньютон задумався про причини тяжкості, а отже, і про рухи планет та їх супутників. Думки ці привели його до створення великого закону всесвітнього тяжіння.

Закон всесвітнього тяжіння сьогодні відомий кожному школяру. Знають усі й анекдот про яблуко, що впало, яке нібито стало причиною відкриття великого закону.

Але як пов'язати падіння яблука зі всесвітнім тяжінням?

Розповідь про яблуко має певний рівень достовірності. Сучасник Ньютона Стекелей писав наприкінці життя: «Після обіду погода була спекотна; ми перейшли в сад і пили чай під тінню кількох яблунь; були тільки ми вдвох. Між іншим, сер Ісаак сказав мені, що саме в такій же обстановці він перебував, коли вперше йому спало на думку тяжіння. Вона була викликана падінням яблука, коли він сидів, занурившись у думи. Чому яблуко завжди падає прямовисно, подумав він про себе, чому не вбік, а завжди до центру Землі? Повинна існувати приваблива сила в матерії, зосереджена у центрі Землі. Якщо матерія та тягне іншу матерію, то має існувати пропорційність її кількості. Повинна, отже, існувати сила, подібна до тієї, яку ми називаємо вагою, що тягнеться по всьому Всесвіту...»

«Ця розповідь мало кому була відома, - пише академік Вавілов, - але весь світ дізнався схожий на анекдот переказ Вольтера, який чув про цей випадок від племінниці Ньютона». Вольтерівський анекдот мав успіх. А невдовзі після смерті Ньютона заповзятливі спадкоємці почали показувати і яблуню, яка, як кажуть, першопричиною відкриття великого закону.

А тепер, перш ніж спробуємо одним оком зазирнути у творчу лабораторію великого вченого, давайте згадаємо сучасне формулювання закону всесвітнього тяжіння: «Усякі два тіла притягуються одне до одного з силою, прямо пропорційною добутку їх мас і обернено пропорційною квадрату відстані між ними». Мовою математики те ж саме можна записати значно коротше F ~ M 1 M 2 /r², де F- сила тяжіння, M 1 та M 2 - маси тіл, що притягуються, r² - квадрат відстані між масами, що тяжіють. Якщо ввести коефіцієнт пропорційності k, то формула набуде дуже звичного вигляду: F = k(M 1M 2 /r²). Такий ми її багато разів бачили у підручниках. Здається, все так просто, правда? Але це тільки тоді, коли закон уже відкритий, коли до нього всі звикли, якщо й у голові ні в кого не вміщується думка, що був час, коли люди не знали такого простого та чудового правила. Втім, жодна теорія не будується на порожньому місці. Після цієї фрази ми і опиняємось прямо на порозі творчої лабораторії. Про що знав Ньютон, розмірковуючи над взаємним зв'язком небесних тіл? І що у цьому напрямі було зроблено до нього?

Пам'ятаєте «законодавця небес» Йоганна Кеплера? Три його закони зробили переворот у поглядах на Всесвіт, змусили відмовитися від звичного уявлення про планетні орбіти як правильні кола, зруйнували уявлення про планетні сфери. Закони Кеплера просто і точно описували рухи небесних тіл, але... у цих законах автор жодним словом не сказав про причини такого руху. Тим часом думки вчених людей XVII століття все частіше і частіше зверталися до такого питання: яка це сила діє на планети, змушує їх згортати з вільного прямолінійного шляху і рухатися еліпсами навколо Сонця? У чому причина цієї сили? Яка природа її?

Сам Кеплер шукав першопричину у Сонці. Сили, що виходили з могутнього світила, мали, на його думку, підштовхувати планети. Про природу цієї «сонячної сили» астроном не думав. З часів стародавніх філософів небо вважалося чужим для Землі світом, і його закони не мали нічого спільного із земними. А тому не було чого й думати про їхню природу. У небі панував бог! Лише після того, як Галілей відкрив закон інерції, що об'єднав рух тіл у світовому просторі і на земній поверхні, давня думка виявилася неспроможною. Люди побачили, що земні та небесні явища підкоряються єдиним правилам. А чи не означало це, що й природа їхня була однією і тією ж? З цього припущення напрошується висновок ще сміливіший: чи так уже відрізняється світ неба від світу Землі? А це вже дуже схоже на опосередковане посягання на авторитет бога.

Щоб підтримати ідею про єдність світу, треба було вигадати механізм дії небесних сил, схожий з якимось явищем Землі. І ось французький дослідник і філософ Рене Декарт (1596-1650) висуває гіпотезу про існування вихорів у світовому ефірі. Подібно до того, як знайомі всім вихори на Землі захоплюють у своєму русі пил і сухе листя, могутні вихори ефіру залучають у свій рух небесні тіла. Гіпотеза Декарта давала дуже наочну картину і мала свого часу велику популярність. Але й у ній жодного слова не говорилося про те, яка це сила, - вихори, і все. Щоправда, багато хто здогадувався про те, що головну рольтут мають грати сили тяжіння. Існувала дуже цікава гіпотеза італійського натураліста Джованні Бореллі (1608-1679). У свій час він вивчав рух супутників Юпітера і дійшов висновку, що рух небесних тіл пояснюється взаємодією двох сил: однієї - спрямованої до центру обертання, і іншої - від центру. Припустимо, міркував Бореллі, що планета знаходиться на такій відстані від Сонця і рухається з такою швидкістю, що прагнення від центру (сьогодні ми називаємо його «відцентровою силою») менше силитяжіння. Тоді планета почне наближатися до світила спіраллю, поки обидві сили не врівноважаться. Але ось за інерцією, відкритою Галілеєм, планета проскочила нейтральну орбіту і підійшла до Сонця ближче, ніж належить. Тоді швидкість руху змусить відцентрову силу подолати тяжіння. І планета знову почне віддалятися від світила по спіралі.

У гіпотезі Бореллі немає жодного рядка математичних доказів. Він просто передбачає існування сили тяжіння та з неї логічно виводить криволінійний рухпланети.

Ньютон знав про цю гіпотезу. Але відсутність математики, відсутність кількісного аналізу його задовольняло. "Гіпотез не винаходжу", - любив повторювати англійський вчений. Він лише коротко формулював результати дії, що спостерігається. І ці формулювання, виведені за допомогою логіки та математичних розрахунків, ставали законами.

Працюючи над питаннями тяжіння, Ньютон багато уваги приділяв теорії руху Місяця. Це дуже складна математична задача, вирішити яку спочатку потрібно було важливо. «Що утримує Місяць від падіння на Землю і яка сила рухає нею орбітою?» Вчений думав наполегливо і зрештою зрозумів, що ніякої сили для руху тіла в порожнечі не треба прикладати. Адже саме це випливає з першого закону руху Галілея. Якщо на тіло не діє жодна сила, воно продовжує рухатися по прямій з постійною швидкістю. Щоправда, у законі мова йдепро прямолінійному русі. А Місяць та планети рухаються криволінійно. Значить, сила потрібна не для того, щоб планети рухалися взагалі, а лише для того, щоб викривити траєкторію їхнього руху! Що це за сила? Звідки вона взялася і чому дорівнює? Чи не спробувати застосувати до польоту орбітою другий закон руху: сила пропорційна добутку маси на прискорення? Орбіта Місяця та інших планет - майже коло. Прискорення рівномірного руху по колу завжди спрямоване до центру по радіусу і дорівнює квадрату швидкості, розділеному на цей радіус ( v²/ R). Тоді й сила повинна мати напрямок по радіусу до центру орбіти. Тобто Місяць у своєму русі навколо Землі повинен постійно відчувати прискорення у бік нашої планети. Інакше висловлюючись, рухаючись вільно, прямолінійно у просторі, Місяць постійно під впливом якоїсь сили падає Землю. Падає, але не може впасти. Тому що кожен наступний момент вона, падаючи з прямолінійного шляху, пролітає таку відстань, що знову і знову опиняється на орбіті. Так, як це показано малюнку. А звідки береться ця сила? Ось тут і настала черга яблука.

Якщо Земля притягує яблуко, змушуючи його падати на поверхню планети, то чим Місяць гірший за яблуко? І Ньютон припустив, що саме вага або - більш звично - вага Місяця утримує її на орбіті, не дає полетіти в простір. Далі перебіг його міркувань йшов приблизно в такому напрямку: якби Місяць знаходився, як яблуко, зовсім близько до поверхні Землі, прискорення вільного падіння в неї було б таке саме, як у яблука. Тобто приблизно 9,81 м/сек². Але Місяць – далі. Яке ж прискорення вона повинна мати на своїй орбіті?.. Тут треба було порахувати! Але для точних розрахунків були потрібні і точні відомості про орбіту Місяця, про період її звернення... А Ньютон спостереженнями не займався. Доводилося звертатися з проханнями до королівського астронома Флемстіда, який якраз у цей час скрупульозно спостерігав рух нашого супутника. Однак упертий і жовчний королівський астроном зовсім не мав наміру потурати «чудай містера Ньютона», як він неодноразово висловлювався. Це призводило до ускладнень та неприємних суперечок. Ньютон суперечок не любив. Проте буквально жоден його самостійний науковий крок не обходився без дискусії.

Питання зв'язку сили тяжіння із законами Кеплера стояли у центрі уваги всього вченого суспільства на той час і викликали себе дуже ревниве ставлення із боку багатьох джентльменів.

Одного разу астроном Галлей зустрівся в лондонській кав'ярні з архітектором Реном - будівельником знаменитого собору святого Павла в Лондоні - і Робертом Гуком, фізиком, математиком, експериментатором і теоретиком, якого вічно охоплювали тисячі ідей і жодну з них він не доводив до кінця. Розмова зайшла про науку, наукові проблеми. Виявилося, що всі троє віддали чимало часу і сил одному й тому самому завданню - доказу, що під дією сили тяжіння, що зменшується пропорційно квадрату відстаней, рух небесних тіл повинен здійснюватися по еліптичних орбітах. Але ніхто успіхом похвалитися не міг. Тоді Рен, найбагатший із усіх трьох, суто в англійському смаку, запропонував на парі виплатити премію тому, хто вирішить проблему.

Якось, зайшовши до Ньютона, Галлей розповів про суперечку і про парі, укладену в кав'ярні. А коли через деякий час випадок знову привів молодого астронома до Кембриджу, Ньютон повідомив йому, що вирішення завдання у нього в руках. І через місяць Галлей отримав від Ньютона рукопис короткого мемуару з поясненням рішення. На прохання Ньютона цей мемуар не був надрукований у журналі Королівського товариства, але його зареєстрували на випадок суперечок про пріоритет.

Звісно, ​​ми можемо відновити всі деталі складного логічного шляху, яким Ньютон дійшов закону всесвітнього тяжіння. Але якщо ви любите математику, можете спробувати самостійно розібратися в ході кінцевих міркувань великого фізика. Для цього підіб'ємо короткий підсумокте, що було відомо.

1. Ньютон знав приблизну відстань від Землі до Місяця – шістдесят земних радіусів.

2. Відомо йому було і прискорення вільного падіння тіла біля поверхні Землі - 9,81 м/сек².

3. Знав він і чудові закони Кеплера та Галілея.

4. Нарешті, ідея того, що тяжіння між двома небесними тілами має бути обернено пропорційно квадрату відстані між ними, витала в повітрі.

Навряд чи можна простежити точно той шлях, яким думка генія прагне поставленої собі мети. Але спробуємо вивести закон всесвітнього тяжіння, використовуючи лише дані, відомі Ньютону.

Отже, передусім деяке припущення для спрощення розрахунків. Ви пам'ятаєте, що Кеплер довів: орбіти планет – еліпси. Але еліпси з дуже незначними ексцентриситетами. Тому, заради простоти, приймемо їх за коло із Сонцем, розташованим точно в центрі. І розглянемо рух якоїсь планети, що робить один оберт по круговій орбіті.

Насамперед згадаємо кілька формул з курсу фізики: швидкість руху Vпрямо пропорційна шляху і назад пропорційна часу руху: V = S/T. Тут шлях планети S(її орбіта) дорівнює довжинікола S= 2π R. А час руху Tє час одного обороту (чи період звернення). R- радіус-відстань від планети до Сонця. Підставивши введені позначення, ми отримаємо швидкість руху планети по орбіті у вигляді формули: V= 2π R/T.

Тепер знайдемо прискорення, яке відчуває наша планета, рухаючись круговою орбітою: a= 2π V/T.

Поєднавши два останні рівняння, отримаємо формулу для прискорення у вигляді: a= 4π² R/T².

Ось коли можна переходити до головне завдання- Шукати вираз для сили F, що створює знайдене нами прискорення a.

Згідно із законом, виведеним самим Ньютоном, сила дорівнює добутку прискорення тіла на його масу m 1 ; F = a· m 1 . Підставивши в цю формулу вираз для отриманого нами прискорення, ми отримаємо: F= (4π² R/T²) · m 1 . Щоб виключити з рівняння період і виразити силу тільки через масу і відстань, Ньютон використовував третій закон Кеплера, який каже, що квадрати часів обігу планет навколо Сонця ставляться, як куби середніх відстаней від Сонця. Що мовою математики має вигляд: R 1 3 /R 2 3 = T 1 2 /T 2 2 . З цього закону легко зрозуміти, що відношення куба відстані до квадрату періоду обігу – величина постійна. Позначимо її kтоді: R 1 3 /T 1 2 = k, або T² = R 1 3 /k. Вираз T² підставимо в рівняння для сили тяжіння: F= 4π² k(m 1 /R 1 2)). Ми отримали математичний вираззакону обернених квадратів. Але це ще не закон всесвітнього тяжіння. Ще потрібно вирішити, що є множником k.

З третього закону Кеплера видно, що величина цього множника одна й та сама для будь-якої планети, що обертається навколо Сонця. Отже, і цей коефіцієнт може залежати тільки від Сонця як центрального тіла системи. Тоді силу тяжіння між Сонцем та нашою планетою з масою m 1 можна виразити тим самим рівнянням, але із сонячним коефіцієнтом k⊙:F = (4π² k⊙/R 1 2) · m 1 .

Ньютон першим припустив, що величина 4? k⊙ пропорційна масі Сонця, скажімо, так: 4π² k⊙ = Gm⊙, де m⊙ - маса Сонця, а G- Коефіцієнт пропорційності.

Таким чином, рівняння взаємного тяжіння між Сонцем та обраною нами планетою матиме вигляд: F 1 = G((m⊙· m 1)/R 1 2). Так само для Сонця і Землі: F 2 = G((m⊙· m⊕)/R ⊕ 2).

Але чим відрізняється, наприклад, система Сонце – Земля від системи Земля – Місяць? У принципі, нічим. Те ж саме центральне тіло, навколо якого звертається інше небесне тіло. Отже, для системи Земля - ​​Місяць теж має бути справедливим рівняння, виведене раніше.

Тільки маси та відстані потрібно підставити в нього інші...

Нарешті настав час перейти до закону всесвітнього тяжіння і написати його в загальному виглядідля будь-яких двох тіл у Всесвіті: F = G((m 1 · m 2)/R 2).

Ось який приблизно шлях треба було пройти тільки формально, щоб, маючи під рукою готові формули і знаючи напрямок, сформулювати найбільший фундаментальний закон природи.

Знаючи відстань від Землі до Місяця та прискорення сили тяжіння на поверхні нашої планети, Ньютон знайшов прискорення Місяця. Порівнявши його з точними спостереженнями Флемстіда, він переконався, що його результат дуже близький до істини.

Через рік після появи мемуару «Про рух», великою мірою завдяки переконанням і вмовлянням Галлея, з'явився спочатку рукопис, а потім і перша книга манускрипта, названого Ньютоном «Математичні засади натуральної філософії».

Сер Ісаак розробив руду, яку я відкопав, - отруйно, хоч і не без гіркоти помітив Флемстід.

Якщо він відкопав руду, то я змайстрував із неї Золоте кільце, - відпарував Ньютон, який, незважаючи на нелюбов до суперечок, ще менше любив, коли про його роботу відгукувалися без належної поваги та останнє словоу дискусії залишалося за супротивником.

Ньютонівські "Початки" були дивовижною книгою. «За переконливістю аргументації, підкріпленої фізичними доказами, ця книга не має собі рівних у всій історії науки, - пише Джон Бернал. - У математичному відношенні її можна порівняти тільки з «Елементами» Евкліда, а за глибиною фізичного аналізу та впливу на ідеї того часу – лише з «Походженням видів» Дарвіна».

Вирішальний висновок про те, що сила, що змушує тіла падати на Землю, і сила, що змушує Місяць звертатися навколо нашої планети, одна й та сама, мала велике філософське значення.

Три основні закони механіки та закон всесвітнього тяжіння виявилися універсальними для Землі та для неба. Це ще раз підкреслювало єдність світу, який колись ділився філософами на дві несумісні частини – земну та небесну.

Принципи Ньютона без додаткових умов, гіпотез та припущень пояснювали рухи тіл у космосі та на Землі. І все-таки теорія всесвітнього тяжіння не відразу завоювала загальне визнання. У Франції, та й у самій Англії, ще довгий часкористувалися підручниками, побудованими з поглядів Декарта.

На закінчення можна сказати, що швидше за Місяць, а не знамените яблуко, підштовхнула думку Ньютона до створення теорії тяжіння. Але тільки «підштовхнула», бо сама лише теорія руху Місяця дати закон СВІТОВОГО тяжіння не могла. Вона була б недостатньо переконливою. Слід було поширити виведений закон і інші небесні тіла. Але для цього треба було довести, що планети тримає на орбітах та сама сила. Виходячи з гіпотези про всесвітнє тяжіння Ньютон математично суворо вивів закони Кеплера і підтвердив струнку кеплерівську картину світобудови. Відтепер одним і тим самим законам підпорядковувалися і планети, та його супутники, навіть рідкісні гості - «вісники жаху» - комети. Відтепер усі небесні тіла рухалися за єдиною раціональною схемою.

Погодьтеся, дорогий читачу, що більшого вимагати від людини, навіть такої, як Ньютон, неможливо.

Досліджуючи рух Місяця, він дійшов висновку, що її діє як земне тяжіння. Багато сил відхиляли її зі шляху рівномірного кругового руху. Так, при молодому місяці наш супутник на відстань діаметра орбіти ближче до Сонця, ніж при повні. Отже, сила сонячного тяжіння змінюється, і це веде до уповільнення та прискорення руху Місяця протягом місяця. Крім того, взимку Земля ближча до Сонця, ніж влітку. Це також впливає на швидкість руху Місяця, але вже з річним періодом.

Зміна сонячного тяжіння змінює еліптичність місячної орбітивідхиляє її площину, змушуючи її повільно обертатися.

Розробити теорію руху Місяця повністю, у всіх деталях, тобто розрахувати траєкторію нашого супутника з урахуванням тяжіння як Землі, а й Сонця, надзвичайно важко. Це знаменита в історії астрономії «проблема трьох тіл»... Завдання, яке відіграло величезну роль у розвитку та становленні теоретичної «астрономії тяжіння», що перетворилося на широку галузь науки, яку називають «небесною механікою».

Відкрити свої чудові закони руху планет вдалося Кеплеру лише тому, що маса Сонця в багато разів більша за масу всіх планет (приблизно в 750 разів). Тому вплив планет одна на одну незрівнянно менший, ніж вплив центрального світила. Фактично, у першому наближенні, розглядати рух кожної планети можна взагалі зважаючи на існування інших членів сонячного сімейства. Тільки планета та Сонце, і тоді це – «завдання двох тіл», вирішення якої відносно нескладне.

Слово «щодо» тут не випадкове, тому що ви, напевно, пам'ятаєте, що Кеплер, вирішивши завдання практично, так і не зміг пояснити, чому небесні тіла рухаються еліптичними орбітами. Ньютон наново чітко сформулював умови «завдання двох тіл» і дуже витончено вирішив її. Він довів, що «під дією сили взаємного тяжіння, що змінюється обернено пропорційно квадрату відстані, одне тіло описуватиме навколо іншого конічні перерізи - еліпс, параболу або гіперболу, залежно від початкової швидкості».

Рішення Ньютона наближене. Варто додати до умов впливу третього тіла, як завдання неймовірно ускладниться. Ньютон першим зрозумів це і саме йому належить честь формулювання «завдання трьох тіл». Однак вирішити її не зміг навіть він.

Чимало людей бралося за неї надалі, але лише в 1912 році фінському математику Сундман вдалося отримати вперше рішення «завдання трьох тіл» у вигляді так званих нескінченних рядів. На жаль, це складне теоретичне рішення майже нічого не дає на практиці. Тим часом сьогодні, у вік розвитку космонавтики, «завдання трьох тіл» набуває особливого значення. І, судячи з успіхів польотів радянських автоматичних міжпланетних станцій, ви розумієте, що вона вирішується і вирішується непогано. Але досягається це великою працеюі лише за допомогою таких чудових помічників людини, як електронні лічильні машини.

Вирішив Ньютон та інше, надзвичайно цікаве завдання. Він порівняв силу тяжіння одних тіл іншими із силою тяжіння Місяця Землею і дізнався, наприклад, у скільки разів Сонце чи Юпітер важчий за Землю. Він оцінив маси Сонця та всіх відомих йому планет та їх супутників у одиницях маси нашої планети! Це було чудовим досягненням геніального вченого.

Не всі ідеї Ньютона отримували беззастережне зізнання. Цікава суперечка, яка виникла між англійськими та французькими астрономами з приводу форми Землі. Почався він з того, що в 1671 французька астрономічна експедиція вирушила до екватора, щоб в умовах темного безхмарного неба спостерігати зірки. Але славу експедиції принесло інше, абсолютно випадкове відкриття. Для вимірювань часу при спостереженнях астроном Ріше - один із членів експедиції - захопив із собою з Франції маятниковий годинник. Прибувши в Кайєнну, Ріше помітив, що годинник почав відставати на добу на дві хвилини. Довелося вкоротити маятник. Однак після повернення до Парижа годинник «побіг», випереджаючи справжній час знову на дві хвилини. Ріше задумався і дійшов висновку, що на екваторі відцентрова сила зменшує тяжіння.

Ньютон не міг погодитись з таким твердженням. Знаючи радіус Землі та швидкість її обертання, відцентрову силу важко обчислити. Вона виходила значно меншою, ніж потрібно для пояснення досвіду з маятником.

Обмірковуючи це питання, Ньютон зробив уявний експеримент. «Припустимо, - казав він собі, - що ми маємо дві шахти. Одна – від полюса до центру Землі, інша – від екватора до центру. Заповнимо обидві шахти водою. Однак, оскільки Земля обертається, на екваторі діє ще й доцентрова сила. Значить, вага води в екваторіальній шахті має бути більшою, ніж у полярній. А це означає, що й води там має бути більше. Але якщо обидві шахти - від поверхні до центру, отже, радіус Землі за екватором має бути більшим за радіус полярного». Ньютон підрахував різницю і отримав приблизно 24 кілометри. Це навело його на думку, що колись, на зорі виникнення, Земля була пластичною. Внаслідок обертання її тіло сплюснулося...

Приблизно водночас французькі астрономи зробили вимір дуги меридіана. Експедиції вели роботи на різних широтах і в результаті дійшли висновку, що Земля не сплюснута біля полюсів, а навпаки витягнута. Французи взагалі досить довго не визнавали поглядів Ньютона, віддаючи перевагу філософії свого співвітчизника Декарта. Зрештою, розбіжності точок зору зайшли так далеко, що викликали насмішку дотепного Вольтера. Ось що писав він у 1730 році у своїх «Листах з Лондона про англійську»:

«Француз, який потрапить до Лондона, виявляє, що все зовсім змінилося у філософії - так само, як і в усьому іншому. Там він залишив заповнений світ, тут – знайшов його порожнім. У Парижі ви бачили Всесвіт, наповнений круговими вихорами з найтоншої матерії, у Лондоні ви нічого цього не бачите. У французів тиск Місяця викликає припливи на море, у англійців море притягується до Місяця...

Крім того, ви можете помітити, що Сонце, яке у Франції в цю справу не втручається, тут вносить до нього четверту частину. У картезіанців все відбувається завдяки тиску, який, щоправда, незрозуміло. У мосьє Ньютона все відбувається завдяки тяжінню, причина якого відома нітрохи не краще. У Парижі Землі надають форму дині, у Лондоні вона сплюснута біля полюсів».

Втім, цей сарказм не завадив Вольтеру у спеціальному творі «Елементи філософії Ньютона» блискуче розповісти про суть ньютонівської теорії та стати гарячим пропагандистом ідей Ньютона у себе на батьківщині.

Для вирішення суперечок про форму нашої планети знадобилися нові ретельні дослідження та вимірювання Землі. Французька академія спорядила дві нові експедиції. Одну – до Перу, іншу – до Лапландії. Результати їхніх робіт підтвердили правоту Ньютона.

За допомогою таких самих міркувань довів Ньютон і сплюснутість Юпітера. Більше того, оскільки гігантська планета обертається швидше за Землю, то і стиснута вона біля полюсів має бути сильнішою.

Минуло лише чотири роки після виходу «Початок» - і це твердження Ньютона було підтверджено шляхом спостережень.

Ньютон займався і питанням про «маленькі місяці».

Зробимо ще один уявний експеримент. На вершині гори встановимо гармату і почнемо з неї стріляти, посилаючи снаряди паралельно до земної поверхні. Якщо заряд малий, снаряд летить повільно і падає, як нам здається, на поверхню параболою, фокус якої знаходиться близько до вершини гори. Насправді траєкторія падіння снаряда - еліпс, другий фокус якого в центрі Землі. Розрізнити параболу та еліпс на малій ділянці траєкторії дуже важко.

Якщо збільшити заряд і надати снаряду велику швидкість, він полетить навколо Землі круговою орбітою, на зразок Місяця, ставши супутником нашої планети. Якщо початкову швидкість польоту ще й ще збільшувати, траєкторія снаряда буде послідовно спочатку еліпс, з найближчим фокусом у центрі Землі, потім гігантську параболу і нарешті гіперболу. В останньому випадку снаряд назавжди покине Землю і піде в космічний простір. Швидкість «втікання» неважко розрахувати. І ви, звичайно, самі розумієте, наскільки такі розрахунки є важливими в наш час.

Примітки

За сучасними даними різниця між екваторіальним та полярним радіусами Землі становить трохи більше 21 кілометра.

Свою працю Декарт підписував на латинський манер ім'ям Картезій, тому й називали прихильників його вчення - картезіанцями.

Ньютон перший встановив, що падіння каменю Землю, рух планет навколо Сонця, рух Місяця навколо Землі викликано силою чи гравітаційним взаємодією.

Між тілами з відривом здійснюється взаємодія у вигляді створюваного ними гравітаційного поля. Завдяки цілій низці досвідчених фактів, Ньютон вдалося встановити залежність сили тяжіння двох тіл від відстані між ними. Ньютонівський закон, названий законом всесвітнього тяжіння, говорить, що два будь-які тіла притягуються один до одного з силою, пропорційною добутку їх мас і обернено пропорційною квадрату відстані між ними. Закон називається всесвітнім або універсальним, оскільки описує гравітаційну взаємодію між парою будь-яких тіл у Всесвіті, які мають масу. Ці сили дуже слабкі, але для них не існує жодних перешкод.

Закон у буквеному вираженні має вигляд:

Сила тяжіння

Земна куля всім тілам, що падає на Землю, повідомляє однакове прискорення g = 9,8 м/с2, що називається прискоренням вільного падіння. А це означає, що Земля діє, притягує всі тіла з силою, званої силою тяжіння. Це приватний виглядсил всесвітнього тяжіння. Сила тяжіння дорівнює залежить від маси тіла m, що вимірюється в кілограмах (кг). Значення g = 9,8м/с2 береться приблизним, на різних широтах та на різній довготі його значення трохи змінюється внаслідок того, що:

• радіус Землі змінюється від полюса до екватора (що призводить до зменшення значення g на екваторі на 0,18%);
• викликаний обертанням відцентровий ефект залежить від географічної широти(Зменшує значення на 0,34%).

Невагомість

Припустимо, що тіло падає під впливом сили тяжкості. Інші сили на нього не діють. Цей рух називається вільним падінням. У той проміжок часу, коли на тіло діятиме лише Fтяж, тіло перебуватиме в невагомості. При вільному падінні вага людини зникає.

Вага це сила, з якою тіло розтягує підвіс чи діє горизонтальну опору.

Стан невагомості відчуває парашутист під час стрибка, людина під час стрибка з трампліну, пасажир літака, що падає в повітряну яму. Невагомість ми відчуваємо лише протягом дуже малого часу, лише кілька секунд. А ось космонавти, які перебувають у космічному кораблі, що летить по орбіті з вимкненими двигунами, відчувають невагомість довгий час. Космічний корабель перебуватиме у стані вільного падіння, і тіла перестають діяти на опору чи підвіс – перебувають у невагомості.

Штучні супутники землі

Подолати тяжіння Землі можливо, якщо тіло матиме певну швидкість. Використовуючи закон тяжіння можна визначити швидкість, коли тіло масою m, звертаючись по круговій орбіті навколо планети, не впаде на неї і буде її супутником. Розглянемо рух тіла коло навколо Землі. На тіло діє сила тяжіння з боку Землі. З другого закону Ньютона маємо:

Так як тіло рухається по колу з доцентровим прискоренням:

Де r - радіус кругової орбіти, R = 6400 км - це радіус Землі, а висота над поверхнею Землі, на якій рухається супутник. Силу F, що діє на тіло масою m дорівнює , де Мз = 5,98 * 1024кг - маса Землі.
Маємо: . Виражаємо швидкість, вона і називатиметься Першою космічною - це найменша швидкість, при повідомленні якої тілу, воно стає штучним супутником Землі (ІСЗ).

Її також називають круговою. Приймаємо висоту, що дорівнює 0 і знаходимо цю швидкість, вона приблизно дорівнює:
Вона дорівнює швидкості ШСЗ, що обертається навколо Землі по круговій орбіті за відсутності опору атмосфери.
З формули можна побачити, що швидкість супутника не залежить від його маси, а це означає, що штучним супутником може стати будь-яке тіло.
Якщо надати тілу велику швидкість, воно подолає Земне тяжіння.

Другою космічною швидкістю називається найменша швидкість, що дає можливість тілу без впливу будь-яких додаткових сил подолати земне тяжіння та стати ШСЗ Сонця.

Цю швидкість назвали параболічною, вона відповідає параболічній траєкторії тілі у полі тяжіння Землі (якщо відсутня опір атмосфери). Її можна вирахувати з формули:

Тут r відстань від центру Землі до місця запуску.
Біля поверхні Землі . Є ще одна швидкість, маючи яку тіло може залишити сонячну системуі борознити простори космосу.

Третя космічна швидкість, найменша швидкість, що дозволяє космічному кораблю, подолати Сонячне тяжіння та залишити Сонячну систему.

Ця швидкість

Згідно з законами Ньютона, рух тіла з прискоренням можливий лише під дією сили. Т.к. падаючі тіла рухаються з прискоренням, спрямованим униз, то них діє сила тяжіння до Землі. Але не тільки Земля має властивість діяти на всі тіла силою тяжіння. Ісаак Ньютон припустив, що між усіма тілами діють сили тяжіння. Ці сили називаються силами всесвітнього тяжінняабо гравітаційнимисилами.

Поширивши встановлені закономірності – залежність сили тяжіння тіл до Землі від відстаней між тілами і зажадав від мас взаємодіючих тіл, отримані результаті спостережень,– Ньютон відкрив 1682 р. закон всесвітнього тяготіння:Всі тіла притягуються один до одного, сила всесвітнього тяжіння прямо пропорційна добутку мас тіл і обернено пропорційна квадрату відстані між ними:

Вектори сил всесвітнього тяжіння спрямовані вздовж прямої тіла, що з'єднує. Коефіцієнт пропорційності G називається гравітаційної постійної (постійної всесвітнього тяжіння)і дорівнює

.

Силої тяжкостіназивається сила тяжіння, що діє з боку Землі на всі тіла:

.

Нехай
- Маса Землі, а
- Радіус Землі. Розглянемо залежність прискорення вільного падіння від висоти підйому над поверхнею Землі:

Вага тіла. Невагомість

Вага тіла -сила, з якою тіло тисне на опору чи підвіс унаслідок тяжіння цього тіла до землі. Вага тіла прикладена до опори (підвісу). Розмір ваги тіла залежить від цього, як рухається тіло з опорою (підвісом).

Вага тіла, тобто. сила, з якою тіло діє опору, і сила пружності, з якою опора діє тіло, відповідно до третім законом Ньютона рівні за абсолютним значенням і протилежні за напрямом.

Якщо тіло перебуває в спокої на горизонтальній опорі або рівномірно рухається, на нього діють тільки сила тяжкості і сила пружності з боку опори, отже вага тіла дорівнює силі тяжіння (але ці сили прикладені до різних тіл):

.

При прискореному русі вага тіла не буде дорівнює силі тяжкості. Розглянемо рух тіла масою m під дією сил тяжкості та пружності з прискоренням. За 2-м законом Ньютона:

Якщо прискорення тіла спрямоване вниз, то вага тіла менша за силу тяжіння; якщо прискорення тіла спрямоване вгору, всі тіла більше сили тяжкості.

Збільшення ваги тіла, викликане прискореним рухом опори чи підвісу, називають перевантаженням.

Якщо тіло вільно падає, то з формули слід, що вага тіла дорівнює нулю. Зникнення ваги під час руху опори з прискоренням вільного падіння називається невагомістю.

Стан невагомості спостерігається в літаку чи космічному кораблі під час руху їх із прискоренням вільного падіння незалежно від швидкості їхнього руху. За межами земної атмосфери при виключенні реактивних двигунів на космічний корабель діє лише сила всесвітнього тяжіння. Під впливом цієї сили космічний корабель і всі тіла, що у ньому, рухаються з однаковим прискоренням; у кораблі спостерігається явище невагомості.

Рух тіла під впливом сил тяжіння. Рух штучних супутників. Перша космічна швидкість

Якщо модуль переміщення тіла набагато менше відстані до центру Землі, можна вважати силу всесвітнього тяжіння під час руху постійної, а рух тіла рівноприскореним. Найпростіший випадок руху тіла під дією сили тяжіння - вільне падіння з початковою нульовою швидкістю. І тут тіло рухається з прискоренням вільного падіння до центру Землі. Якщо є початкова швидкість, спрямована не по вертикалі, то тіло рухається по криволінійній траєкторії (параболі, якщо не враховувати опір повітря).

При деякій початковій швидкості тіло, кинуте по дотичній до Землі, під впливом сили тяжкості за відсутності атмосфери може рухатися коло навколо Землі, не падаючи її у неї і віддаляючись від неї. Така швидкість називається першою космічною швидкістю, а тіло, що рухається таким чином - штучним супутником Землі (ІСЗ).

Визначимо першу космічну швидкість Землі. Якщо тіло під дією сили тяжіння рухається навколо Землі рівномірно по колу, то прискорення вільного падіння є його доцентровим прискоренням:

.

Звідси перша космічна швидкість дорівнює

.

Перша космічна швидкість для будь-якого небесного тіла визначається так само. Прискорення вільного падіння на відстані R від центру небесного тіла можна знайти, скориставшись другим законом Ньютона та законом всесвітнього тяжіння:

.

Отже, перша космічна швидкість з відривом R від центру небесного тіла масоюM дорівнює

.

Для запуску на навколоземну орбіту ШСЗ потрібно спочатку вивести межі атмосфери. Тому космічні кораблі стартують вертикально. На висоті 200 – 300 км від Землі, де атмосфера розріджена і майже впливає рух ШСЗ, ракета робить поворот і повідомляє ШСЗ першу космічну швидкість у бік, перпендикулярному вертикалі.

Обі-Ван Кенобі сказав, що сила скріплює галактику. Те саме можна сказати і про гравітацію. Факт – гравітація дозволяє нам ходити Землею, Землі обертатися навколо Сонця, а Сонцю рухатися навколо надмасивної чорної дірки у центрі нашої галактики. Як зрозуміти гравітацію? Про це – у нашій статті.

Відразу скажемо, що ви не знайдете тут однозначно правильної відповіді на запитання "Що таке гравітація". Тому що його просто нема! Гравітація – одне з найбільш таємничих явищ, над яким вчені ламають голову і досі не можуть пояснити його природу.

Є безліч гіпотез та думок. Налічується понад десяток теорій гравітації, альтернативних та класичних. Ми розглянемо найцікавіші, актуальні та сучасні.

Хочете більше корисної інформаціїта свіжих новин кожен день? Приєднуйтесь до нас у телеграм.

Гравітація – фізична фундаментальна взаємодія

Усього у фізиці 4 фундаментальні взаємодії. Завдяки їм світ є саме таким, яким він є. Гравітація – одна з цих взаємодій.

Фундаментальні взаємодії:

• гравітація;
• електромагнетизм;
• сильна взаємодія;
• слабка взаємодія.

На даний момент чинною теорією, що описує гравітацію, є ВТО ( загальна теоріявідносності). Вона була запропонована Альбертом Ейнштейном у 1915-1916 роках.

Однак ми знаємо, що про істину в останній інстанції говорити зарано. Адже кілька століть до появи ОТО у фізиці для опису гравітації панувала Ньютонівська теорія, яка була суттєво розширена.

В рамках ОТО на Наразіне можна пояснити та описати всі питання, пов'язані з гравітацією.

До Ньютона була поширена думка, що гравітація землі і небесна гравітація – різні речі. Вважалося, що планети рухаються за своїми, відмінними від земних, ідеальними законами.

Ньютон відкрив закон всесвітнього тяжіння у 1667 році. Звичайно, цей закон існував ще за динозаврів і набагато раніше.

Античні філософи замислювалися над існуванням сили тяжіння. Галілей експериментально розрахував прискорення вільного падіння Землі, відкривши, що його однаково для тіл будь-якої маси. Кеплер вивчав закони руху небесних тіл.

Ньютону вдалося сформулювати та узагальнити результати спостережень. Ось що в нього вийшло:

Два тіла притягуються один до одного з силою, яка називається гравітаційною силою або силою тяжіння.

Формула сили тяжіння між тілами:

G – гравітаційна стала, m – маси тіл, r – відстань між центрами мас тіл.

Який фізичний сенсгравітаційної постійної? Вона дорівнює силі, з якою діють один на одного тіла з масами в 1 кілограм кожне, перебуваючи на відстані 1 метр один від одного.

За теорією Ньютона, кожен об'єкт створює гравітаційне поле. Точність закону Ньютона була перевірена на відстані менше одного сантиметра. Звичайно, для малих мас ці сили незначні, і їх можна знехтувати.

Формула Ньютона застосовна як розрахунку сили тяжіння планет до сонця, так маленьких об'єктів. Ми просто не помічаємо, із якою силою притягуються, скажімо, кулі на більярдному столі. Тим не менш, ця сила є і її можна розрахувати.

Сила тяжіння діє між будь-якими тілами у Всесвіті. Її дія поширюється будь-які відстані.

Закон всесвітнього тяжіння Ньютона не пояснює природи сили тяжіння, але встановлює кількісні закономірності. Теорія Ньютона не суперечить ВТО. Її цілком достатньо для вирішення практичних завданьу масштабах Землі та для розрахунку руху небесних тіл.

Гравітація у ВТО

Незважаючи на те, що теорія Ньютона цілком застосовна на практиці, вона має низку недоліків. Закон всесвітнього тяжіння є математичним описом, але не дає уявлення про фундаментальну фізичну природу речей.

Згідно з Ньютоном, сила тяжіння діє на будь-яких відстанях. Причому діє миттєво. З огляду на те, що найбільша швидкість у світі – швидкість світла, виходить невідповідність. Як гравітація може миттєво діяти на будь-які відстані, коли для їх подолання світла потрібна не мить, а кілька секунд чи навіть років?

У рамках ВТО гравітація розглядається не як сила, що діє на тіла, але як викривлення простору та часу під дією маси. Таким чином, гравітація – не силова взаємодія.

Яка дія гравітації? Спробуємо описати його за допомогою аналогії.

Уявімо простір у вигляді пружного листа. Якщо покласти на нього легкий тенісний м'ячик, то поверхня залишиться рівною. Але якщо поруч із м'ячиком покласти важку гирю, вона продавить на поверхні ямку, і м'ячик почне скочуватися до великої та важкої гири. Це і є гравітація.

До речі!

Для наших читачів зараз діє знижка 10% на

Відкриття гравітаційних хвиль

Що таке гравітаційні хвилі? Знову проведемо аналогію. Якщо кинути камінь у спокійну воду, від місця його падіння поверхнею води підуть кола. Гравітаційні хвилі - така ж брижі, обурення. Тільки не на воді, а у світовому просторі-часі.

Замість води – простір-час, а замість каменю, скажімо, чорна дірка. Будь-яке прискорене пересування маси породжує гравітаційну хвилю. Якщо тіла перебувають у стані вільного падіння, при проходженні гравітаційної хвилі відстань між ними зміниться.

Так як гравітація - дуже слабка взаємодія, виявлення гравітаційних хвильбуло з великими технічними труднощами. Сучасні технологіїдозволили виявити сплеск гравітаційних хвиль лише від надмасивних джерел.

Підходяща подія для реєстрації гравітаційної хвилі - злиття чорних дірок. На жаль чи на щастя, це відбувається досить рідко. Проте вченим вдалося зареєструвати хвилю, яка буквально розкотилася простором Всесвіту.

Для реєстрації гравітаційних хвиль було збудовано детектор діаметром 4 кілометри. Під час проходження хвилі реєструвалися коливання дзеркал на підвісах у вакуумі та інтерференція світла, відбитого від них.

Гравітаційні хвилі підтвердили справедливість ВТО.

Гравітація та елементарні частинки

У стандартній моделі за кожну взаємодію відповідають певні елементарні частки. Можна сміливо сказати, що частки є переносниками взаємодій.

За гравітацію відповідає гравітон – гіпотетична безмасова частка, що має енергію. До речі, в нашому окремому матеріалі читайте докладніше про бозон Хіггса, що наробив багато шуму, та інших елементарних частинках.

Насамкінець наведемо кілька цікавих фактів про гравітацію.

10 фактів про гравітацію

1. Щоб подолати силу гравітації Землі, тіло повинне мати швидкість рівну 7,91 км/с. Це перша космічна швидкість. Її достатньо, щоб тіло (наприклад, космічний зонд) рухалося орбітою навколо планети.
2. Щоб вирватися з гравітаційного поля Землі, космічний корабель повинен мати швидкість щонайменше 11,2 км/сек. Це друга космічна швидкість.
3. Об'єкти з найсильнішою гравітацією – чорні дірки. Їхня гравітація настільки велика, що вони притягують навіть світло (фотони).
4. У жодному рівнянні квантової механіки ви знайдете сили гравітації. Справа в тому, що при спробі включення гравітації до рівнянь вони втрачають свою актуальність. Це одна з найважливіших проблем сучасної фізики.
5. Слово гравітація походить від латинського “gravis”, що означає “важкий”.
6. Чим масивніший об'єкт, тим сильніша гравітація. Якщо людина, яка на Землі важить 60 кілограм, зважиться на Юпітері, ваги покажуть 142 кілограми.
7. Вчені NASA намагаються розробити гравітаційний промінь, який дозволить переміщати предмети безконтактно, долаючи силу тяжіння.
8. Астронавти на орбіті також зазнають гравітації. Точніше, мікрогравітацію. Вони ніби нескінченно падають разом із кораблем, у якому перебувають.
9. Гравітація завжди притягує та ніколи не відштовхує.
10. Чорна діра, розміром із тенісний м'яч, притягує об'єкти з тією самою силою, що й наша планета.

Тепер ви знаєте визначення гравітації та можете сказати, за якою формулою розраховується сила тяжіння. Якщо граніт науки придушує вас до землі сильніше, ніж гравітація, звертайтесь до нашого студентського сервісу. Ми допоможемо легко навчатися при найбільших навантаженнях!

У природі існують різні сили, що характеризують взаємодію тіл. Розглянемо ті сили, що зустрічаються у механіці.

Гравітаційні сили.Ймовірно, найпершою силою, існування якої усвідомила людина, була сила тяжіння, що діє тіла з боку Землі.

І знадобилося багато століть для того, щоб люди зрозуміли, що сила тяжіння діє між будь-якими тілами. І знадобилося багато століть для того, щоб люди зрозуміли, що сила тяжіння діє між будь-якими тілами. Першим цей факт зрозумів англійський фізик Ньютон. Аналізуючи закони, яким підпорядковується рух планет (закони Кеплера), він дійшов висновку, що закони руху планет можуть виконуватися тільки в тому випадку, якщо між ними діє сила тяжіння, прямо пропорційна їх масам і назад пропорційна квадрату відстані між ними.

Ньютон сформулював закон всесвітнього тяготіння. Будь-які два тіла притягуються одне до одного. Сила тяжіння між точковими тілами спрямована по прямій, що їх з'єднує, прямо пропорційна масам обох і обернено пропорційна квадрату відстані між ними:

Під точковими тілами в даному випадкурозуміють тіла, розміри яких у багато разів менші за відстань між ними.

Сили всесвітнього тяжіння називають гравітаційними силами. Коефіцієнт пропорційності G називають гравітаційною постійною. Його значення було визначено експериментально: G = 6,7 10?¹¹ Н м² / кг².

Сила тяжіннядіюча поблизу поверхні Землі, спрямована до її центру та обчислюється за формулою:

де g – прискорення вільного падіння (g = 9,8 м/с?).

Роль сили тяжіння у живої природі дуже значна, оскільки від її величини багато в чому залежать розміри, форми та пропорції живих істот.

Вага тіла.Розглянемо, що відбувається, коли вантаж кладуть на горизонтальну площину (опору). У перший момент після того, як вантаж опустили, він починає рухатися вниз під дією сили тяжіння (рис. 8).

Площина прогинається і з'являється сила пружності (реакція опори), спрямовану вгору. Після того, як сила пружності (Fу) врівноважує силу тяжкості, опускання тіла та прогин опори припиняться.

Прогин опори виник під дією тіла, отже з боку тіла на опору діє деяка сила (Р), яку називають вагою тіла (рис. 8, б). За третім законом Ньютона вага тіла дорівнює за величиною силою реакції опори і спрямований у протилежний бік.

Р = - Fу = Fваж.

Вага тіла називають силу Р, з якою тіло діє на нерухому щодо нього горизонтальну опору.

Оскільки сила тяжіння (вага) прикладені до опори, вона деформується і рахунок пружності надає протидію силі тяжкості. Сили, що розвиваються у своїй із боку опори називаються силами реакції опори, саме явище розвитку протидії - реакцією опори. За третім законом Ньютона сила реакції опори дорівнює за величиною силі тяжкості тіла і протилежна йому за напрямом.

Якщо людина на опорі рухається з прискоренням ланок її тіла, спрямованих від опори, то сила реакції опори зростає на величину ma, де m – маса людини, а – прискорення, з якими рухаються ланки його тіла. Ці динамічні дії можна фіксувати за допомогою тензометричних пристроїв (динамограми).

Вагу не слід плутати із масою тіла. Маса тіла характеризує його інертні властивості і залежить ні від сили тяжіння, ні від прискорення, з яким воно рухається.

Вага тіла характеризує силу, з якою воно діє опору і залежить як від сили тяжіння, і від прискорення руху.

Наприклад, на Місяці вага тіла приблизно в 6 разів менша, ніж вага тіла на Землі, Маса в обох випадках однакова і визначається кількістю речовини в тілі.

У побуті, техніці, спорті вага часто вказують над ньютонах (Н), а кілограмах сили (кгс). Перехід від однієї одиниці до іншої здійснюється за такою формулою: 1 кгс = 9,8 Н.

Коли опора і тіло нерухомі, маса тіла дорівнює силі тяжкості цього тіла. Коли ж опора і тіло рухаються з деяким прискоренням, то залежно від його напрямку тіло може відчувати або невагомість або навантаження. Коли прискорення збігається у напрямку і дорівнює прискоренню вільного падіння, вага тіла дорівнюватиме нулю, тому виникає стан невагомості (МКС, швидкісний ліфт при опусканні вниз). Коли ж прискорення руху опори протилежне прискоренню вільного падіння, людина зазнає перевантаження (старт із поверхні Землі пілотованого) космічного корабля, Швидкісний ліфт, що піднімається вгору).