Закон звуку математичний запис. Закон Гука. Формули. Опис досвіду

Чи багато хто з нас замислювався, яким дивним чином поводяться предмети при впливі на них?

Наприклад, чому тканина, якщо ми розтягуємо її в різні боки, може довго тягнутися, а раптом порватись? І чому той же експеримент куди складніше провести з олівцем? Від чого залежить опір матеріалу? Як можна визначити, наскільки він піддається деформації чи розтягуванню?

Всі ці та багато інших питань понад 300 років тому ставив собі англійський дослідник І знайшов відповіді, нині об'єднані під загальною назвою"Закон Гука".

Згідно з його дослідженнями, кожен матеріал має так званий коефіцієнт пружності. Це властивість, що дозволяє матеріалу розтягуватись у певних межах. Коефіцієнт пружності – величина стала. Це означає, що кожен матеріал може витримати лише певний рівень опору, після чого досягає рівня незворотної деформації.

Загалом Закон Гука можна висловити формулою:

де F – сила пружності, k – вже згаданий коефіцієнт пружності, а / x/ – зміна довжини матеріалу. Що мається на увазі під зміною цього показника? Під впливом сили якийсь предмет, що вивчається, чи це струна, гума або будь-який інший, змінюються, витягуючись або стискаючись. Зміною довжини в даному випадкувважається різниця між початковою і кінцевою довжиною предмета, що вивчається. Тобто те, на скільки витягнулася/стиснулася пружина (гума, струна тощо)

Звідси, знаючи довжину та постійний коефіцієнт пружності для даного матеріалу, можна знайти силу, з якою матеріал натягується, або силу пружності,як ще часто називають Закон Гука.

Існують також особливі випадки, за яких цей закон у своїй стандартній формі використаний не може. Йдетьсяпро вимір сили деформації за умов зсуву, тобто у ситуаціях, коли деформацію виробляє якась сила, що впливає матеріал під кутом. Закон Гука при зрушенні може бути виражений таким чином:

де τ - сила, що шукається, G- постійний коефіцієнт, відомий як модуль пружності при зсуві, y - кут зсуву, та величина, на яку змінився кут нахилу предмета.

Продовжуємо огляд деяких тем з розділу «Механіка». Наша сьогоднішня зустріч присвячена силі пружності.

Саме ця сила лежить в основі роботи механічного годинника, її впливу піддаються буксирні канати та троси підйомних кранів, амортизатори автомобілів та залізничних складів. Її відчуває м'яч і тенісна кулька, ракетка та інший спортивний інвентар. Як виникає ця сила і яким закономірностям підкоряється?

Як народжується сила пружності

Метеорит під впливом земного тяжіння падає землі і… завмирає. Чому? Хіба земне тяжіння зникає? Ні. Сила не може зникнути просто так. У момент зіткнення із землею врівноважується іншою силою, що дорівнює їй за величиною і протилежною за напрямом.І метеорит, як і інші тіла на поверхні землі, залишається у спокої.

Цією силою, що врівноважує, є сила пружності.

Такі ж пружні сили з'являються в тілі за всіх видів деформації:

• розтягування;
• стискування;
• зсуву;
• вигину;
• кручення.

Сили, що у результаті деформації, називаються пружними.

Природа сили пружності

Механізм виникнення сил пружності вдалося пояснити лише у XX столітті, коли було встановлено природу сил міжмолекулярної взаємодії. Фізики назвали їх «гігантом з короткими руками». Який сенс цього дотепного порівняння?

Між молекулами та атомами речовини діють сили тяжіння та відштовхування. Така взаємодія зумовлена, що входять до їх складу найдрібніших частинок, що несуть позитивні та негативні заряди. Сили ці досить великі(звідси слово гігант), але виявляються лише на дуже малих відстанях(З короткими руками). При відстанях, рівних потрійному діаметру молекули, ці частинки притягуються, «радісно» прагнучи один до одного.

Але, зіткнувшись, починають активно відштовхуватися один від одного.

При деформації розтягу відстань між молекулами зростає. Міжмолекулярні сили прагнуть його скоротити. При стисканні молекули зближуються, що породжує відштовхування молекул.

А оскільки всі види деформацій можна звести до стиснення і розтягування, то поява пружних сил при будь-яких деформаціях зрозуміла цими міркуваннями.

Закон, встановлений Гуком

Вивченням сил пружності та їх взаємозв'язком з іншими фізичними величинамизаймався співвітчизник і сучасник. Його вважають основоположником експериментальної фізики.

Вчений продовжував свої експерименти близько 20 років.Він проводив досліди щодо деформації розтягування пружин, підвішуючи до них різні вантажі. Підвісний вантаж викликав розтяг пружини до тих пір, поки сила пружності, що виникла в ній, не врівноважувала вагу вантажу.

В результаті численних експериментів вчений робить висновок: прикладена зовнішня сила викликає виникнення рівної їй за величиною силою пружності, що діє у протилежному напрямку.

Сформульований ним закон (закон Гука) звучить так:

Сила пружності, що виникає при деформації тіла, прямо пропорційна величині деформації та спрямована у бік, протилежний переміщенню частинок.

Форма закону Гука має вигляд:

• F – модуль, тобто чисельне значення сили пружності;
• х – зміна довжини тіла;
• k - коефіцієнт жорсткості, що залежить від форми, розмірів та матеріалу тіла.

Знак мінус вказує на те, що сила пружності спрямована в бік протилежну зсуву частинок.

Кожен фізичний закон має межі застосування. Закон, встановлений Гуком, можна застосовувати лише до пружних деформацій, коли після зняття навантаження форма і розміри тіла повністю відновлюються.

У пластичних тіл (пластилін, волога глина) такого відновлення немає.

Пружністю в тій чи іншій мірі мають усі тверді тіла.Перше місце по пружності займає гума, друге - . Навіть дуже пружні матеріали за певних навантажень можуть проявляти пластичні властивості. Це використовують із виготовлення дроту, вирізування спеціальними штампами деталей складної форми.

Якщо у вас є ручні кухонні ваги (безмін), то на них напевно написана максимальна вага, на яку вони розраховані. Скажімо 2 кг. При підвішуванні більш важкого вантажу сталева пружина, що знаходиться в них, вже ніколи не відновить свою форму.

Робота сили пружності

Як будь-яка сила, сила пружності, здатна виконувати роботу.Причому дуже корисну. Вона оберігає тіло, що деформується, від руйнування.Якщо вона із цим не справляється, настає руйнація тіла. Наприклад, розривається трос підйомного крана, струна на гітарі, гумка на рогатці, пружина на терезах. Ця робота має знак мінус, оскільки сама сила пружності теж негативна.

Замість післямови

Озброївшись деякими відомостями про сили пружності та деформації, ми легко відповімо на деякі питання. Скажімо, чому великі кістки у людини мають трубчасту будову?

Вигніть металеву або дерев'яну лінійку. Її опукла частина зазнає деформації розтягування, а увігнута - стискування. Середня частина навантаження не несе. Природа і скористалася цією обставиною, забезпечивши людину та тварин трубчастими кістками. У процесі руху кістки, м'язи та сухожилля відчувають усі види деформацій. Трубчаста будова кісток значно полегшує їхню вагу, абсолютно не впливаючи на їхню міцність.

Стебла злакових культурмають таку ж будову. Пориви вітру пригинають їх до землі, а сили пружності допомагають випрямитись. До речі, рама біля велосипеда теж виготовляється з трубок, а не зі стрижнів: вага набагато менша і метал економиться.

Закон, встановлений Робертом Гуком, послужив основою створення теорії пружності. Розрахунки, виконані за формулами цієї теорії, дозволяють забезпечити довговічність висотних споруд та інших конструкцій.

Якщо це повідомлення тобі стало в нагоді, буду рада бачити тебе

Закон Гука формулюється так: сила пружності, що виникає при деформації тіла, внаслідок застосування сторонніх сил, пропорційно до його подовження. Деформація у свою чергу це зміна міжатомних або міжмолекулярних відстаней речовини під дією зовнішніх сил. Сила пружності це сила, яка прагне повернути ці атоми чи молекули у стан рівноваги.

Формула 1 – Закон Гука.

F – Сила пружності.

k - жорсткість тіла (Коефіцієнт пропорційності, який залежить від матеріалу тіла та його форми).

x - Деформація тіла (подовження або стиснення тіла).

Цей закон було відкрито Робертом Гуком 1660г. Він провів досвід, який полягав у тому, що. Тонка сталева струнабула закріплена одним кінцем, а на другий кінець прикладалося різне зусилля. Простіше кажучи, струна була підвішена до стелі, і до неї прикладався вантаж різної маси.

Рисунок 1 – Розтягування струни під дією сили тяжіння.

В результаті досвіду Гук з'ясував, що в невеликих межах залежність розтягування тіла лінійна щодо сили пружність. Тобто при додатку одиниці сили тіло подовжується на одиницю довжини.

Малюнок 2 – Графік залежності сили пружності від подовження тіла.

Нуль на графіку це вихідна довжина тіла. Все, що праворуч це збільшення довжини тіла. Сила пружності має негативне значення. Тобто вона прагне повернути тіло у вихідний стан. Відповідно спрямована зустрічно деформуючою силою. Все, що зліва стиснення тіла. Сила пружності позитивна.

Розтягнення струни заздрості не лише від зовнішньої сили, а й від перерізу струни. Тонка струна ще якось розтягнеться від невеликої ваги. А от якщо взяти струну, тієї ж довжини, але діаметром скажемо в 1 м. То складно собі уявити яку вагу буде потрібно для її розтягування.

Для оцінки того, як сила діє на тіло певного перерізу, вводиться поняття нормальної механічної напруги.

Формула 2 - нормальна механічна напруга.

S-площа поперечного перерізу.

Ця напруга, зрештою, пропорційна відносному подовженню тіла. Відносне подовження це відношення збільшення довжини тіла до його загальної довжини. А коефіцієнт пропорційності називається модулем Юнга. Модуль тому що значення подовження тіла береться за модулем, без урахування знака. Не береться до уваги, коротшає тіло або подовжується. Важлива зміна його довжини.

Формула 3 – Модуль Юнга.

|e|- Відносне подовження тіла.

s- нормальна напруга тіла.

Сила протидії пружної речовини лінійному розтягуванню або стиску прямо пропорційна відносного збільшення або скорочення довжини.

Уявіть, що ви взялися за один кінець пружної пружини, інший кінець якої закріплений нерухомо, і почали її розтягувати або стискати. Чим більше ви стискаєте пружину або розтягуєте її, тим сильніше вона цьому чинить опір. Саме за таким принципом влаштовані будь-які пружинні ваги - чи то безмін (у ньому пружина розтягується) або платформні пружинні ваги (пружина стискається). У будь-якому випадку пружина протидіє деформації під впливом ваги вантажу, і сила гравітаційного тяжіння маси, що зважується, до Землі врівноважується силою пружності пружини. Завдяки цьому ми можемо вимірювати масу об'єкта, що зважується, по відхиленню кінця пружини від її нормального положення.

Перше по-справжньому наукове дослідженняпроцесу пружного розтягування та стиснення речовини зробив Роберт Гук. Спочатку у своєму досвіді він використовував навіть не пружину, а струну, вимірюючи, наскільки вона подовжується під впливом різних сил, прикладених до одного її кінця, тоді як інший кінець жорстко закріплений. Йому вдалося з'ясувати, що до певної межі струна розтягується строго пропорційно величині прикладеної сили, доки не досягає межі пружного розтягування (еластичності) і не починає піддаватися незворотній нелінійній деформації ( див.нижче). У вигляді рівняння закон Гука записується у такій формі:

де F -сила пружного опору струни, x- Лінійне розтягування або стиск, а k- так званий коефіцієнт пружності. Чим вище kтим жорсткіше струна і тим важче вона піддається розтягуванню або стиску. Знак мінус у формулі вказує на те, що струна протидіє деформації: при розтягуванні прагне укоротитися, а при стисканні розпрямитися.

Закон Гука ліг в основу розділу механіки, який називається теорією пружності.З'ясувалося, що він має набагато ширші застосування, оскільки атоми в твердому тілі поводяться так, ніби з'єднані між собою струнами, тобто пружно закріплені в об'ємних кристалічних ґратах. Таким чином, при незначній пружній деформації еластичного матеріалу діючі силитакож описуються законом Гука, але в дещо більше складній формі. Теоретично пружності закон Гука приймає такий вид:

σ /η = E

де σ — механічна напруга(Питома сила, прикладена до поперечної площі перерізу тіла), η - Відносне подовження або стиснення струни, а Е -так званий модуль Юнга, або модуль пружності,що грає ту ж роль, що коефіцієнт пружності k.Він залежить від властивостей матеріалу та визначає, наскільки розтягнеться або стиснеться тіло при пружній деформації під впливом одиничної механічної напруги.

Взагалі-то, Томас Юнг набагато більш відомий у науці як один із прихильників теорії хвильової природи світла, який розробив переконливий досвід із розщепленням світлового променя на два пучки для її підтвердження. див.Принцип додатковості та інтерференція), після чого сумнівів у вірності хвильової теоріїсвітла ні в кого не залишилося (хоча до кінця вдягнути свої ідеї в сувору математичну форму Юнг так і не зумів). Взагалі, модуль Юнга є однією з трьох величин, що дозволяють описати реакцію твердого матеріалу на прикладену до нього зовнішню силу. Друга – це модуль зміщення(описує, наскільки речовина зміщується під впливом сили, прикладеної по дотичній до поверхні), а третя - співвідношення Пуассона(Описує, наскільки тверде тіло стоншується при розтягуванні). Останнє названо на честь французького математика Сімеона Дені Пуассона (Siméon-Denis Poisson, 1781-1840).

Звичайно, закон Гука навіть у вдосконаленій Юнгом формі не описує всього, що відбувається з твердою речовиною під впливом зовнішніх сил. Уявіть собі гумову стрічку. Якщо розтягнути її не дуже сильно, з боку гумової стрічки виникне зворотна сила пружного натягу, і як тільки ви її відпустите, вона відразу збереться і набуде попередньої форми. Якщо розтягувати гумову стрічку й надалі, то рано чи пізно вона втратить свою еластичність, і ви відчуєте, що сила опору розтягненню ослабла. Отже, ви перейшли так званий межа еластичностіматеріалу. Якщо тягнути гуму і далі, через якийсь час вона взагалі порветься, і опір зникне повністю - це ви перейшли через так звану точку розриву.

Інакше кажучи, закон Гука діє лише за відносно невеликих стисканнях чи розтягненнях. Поки речовина зберігає свої пружні властивості, сили деформації прямо пропорційні її величині, і ви маєте справу з лінійною системою— кожному рівному збільшенню прикладеної сили відповідає рівне збільшення деформації. Варто перетягнути гуму за межа еластичності, і міжатомні зв'язки-пружини всередині речовини спочатку слабшають, а потім рвуться - і просте лінійне рівнянняГука перестає описувати те, що відбувається. У такому разі прийнято говорити, що система стала нелінійною.Сьогодні дослідження нелінійних систем та процесів є одним з основних напрямків розвитку фізики.

Robert Hooke, 1635-1703

Англійська фізика. Народився у Фрешуотері (Freshwater) на острові Уайт у сім'ї священика, закінчив Оксфордський університет. Ще навчаючись в університеті, працював асистентом у лабораторії Роберта Бойля, допомагаючи останньому будувати вакуумний насос для встановлення, на якому було відкрито закон Бойля-Маріотта. Будучи сучасником Ісаака Ньютона, разом із ним брав активну участь у роботі Королівського суспільства, а 1677 року зайняв там посаду вченого секретаря. Як і багато інших вчених того часу, Роберт Гук цікавився різними областями природничих наукі зробив внесок у розвиток багатьох з них. У своїй монографії "Мікрографія" ( Micrographia) він опублікував безліч замальовок мікроскопічної будови живих тканин та інших біологічних зразків і вперше ввів сучасна концепція « жива клітка». У геології він першим усвідомив важливість геологічних пластів і першим в історії зайнявся науковим вивченням природних катаклізмів. див.уніформізм). Він же одним із перших висловив гіпотезу, що сила гравітаційного тяжіння між тілами зменшується пропорційно квадрату відстані між ними, а це ключовий компонент Закону всесвітнього тяжіння Ньютона, і двоє співвітчизників і сучасників так до кінця життя і заперечували одне в одного право називатися його першовідкривачем. Нарешті, Гук розробив і власноруч побудував цілу низку важливих науково-вимірювальних приладів — і багато хто схильний бачити в цьому його головний внесок у розвиток науки. Він, зокрема, першим додумався поміщати перехрестя з двох тонких ниток в окуляр мікроскопа, першим запропонував прийняти температуру замерзання води за нуль температурної шкали, а також винайшов універсальний шарнір (карданне зчленування).

Види деформацій

деформаціяназивають зміну форми, розмірів чи об'єму тіла. Деформація може бути викликана дією на тіло доданих щодо нього зовнішніх сил. Деформації, що повністю зникають після припинення дії на тіло зовнішніх сил, називають пружними, а деформації, що зберігаються і після того, як зовнішні сили перестали діяти на тіло, - пластичними. Розрізняють деформації розтягуванняабо стиснення(одностороннього або всебічного), вигину, крученняі зсуву.

Сили пружності

При деформаціях твердиййого частинки (атоми, молекули, іони), що у вузлах кристалічної решітки, зміщуються зі своїх положень рівноваги. Цьому зміщенню протидіють сили взаємодії між частинками твердого тіла, що утримують ці частинки на певній відстані один від одного. Тому за будь-якого виду пружної деформації в тілі виникають внутрішні силиперешкоджають його деформації.

Сили, що виникають у тілі при його пружній деформації та спрямовані проти спрямування зміщення частинок тіла, що викликається деформацією, називають силами пружності. Сили пружності діють у будь-якому перерізі деформованого тіла, а також у місці його контакту з тілом, що викликає деформацію. У разі одностороннього розтягування або стиснення сила пружності спрямована вздовж прямої, за якою діє зовнішня сила, що викликає деформацію тіла, протилежно напрямку цієї сили і перпендикулярно поверхні тіла. Природа пружних сил є електричною.

Ми розглянемо випадок виникнення сил пружності при односторонньому розтягуванні та стисканні твердого тіла.

Закон Гука

Зв'язок між силою пружності та пружною деформацією тіла (при малих деформаціях) був експериментально встановлений сучасником Ньютона англійським фізиком Гуком. Математичний вираззакону Гука для деформації одностороннього розтягування (стиснення) має вигляд:

де f – сила пружності; х – подовження (деформація) тіла; k - коефіцієнт пропорційності, що залежить від розмірів та матеріалу тіла, званий жорсткістю. Одиниця жорсткості в СІ – ньютон на метр (Н/м).

Закон Гукадля одностороннього розтягування (стиснення) формулюють так: сила пружності, що виникає під час деформації тіла, пропорційна подовженню цього тіла.

Розглянемо дослід, що ілюструє закон Гука. Нехай вісь симетрії циліндричної пружини збігається із прямою Ах (рис. 20, а). Один кінець пружини закріплений в опорі в точці А, а другий вільний і до нього прикріплено тіло М. Коли пружина не деформована, її вільний кінець знаходиться в точці С. Цю точку прийме початок відліку координати х, що визначає положення вільного кінця пружини.

Розтягнемо пружину так, щоб її вільний кінець знаходився в точці D, координата якої х > 0: У цій точці пружина діє на тіло М пружною силою

Стиснем тепер пружину так, щоб її вільний кінець знаходився в точці В, координата якої х

З малюнка видно, що проекція сили пружності пружини на вісь Ах має знак, протилежний знаку координати х, оскільки сила пружності спрямовано завжди до положення рівноваги З. На рис. 20 б зображений графік закону Гука. На осі абсцис відкладають значення подовження пружини, але в осі ординат - значення сили пружності. Залежність fх від х лінійна, тому графік є пряму, що проходить через початок координат.

Розглянемо ще один досвід.

Нехай один кінець тонкого сталевого дроту закріплений на кронштейні, а до іншого кінця підвішений вантаж, вага якого є зовнішньою силою F, що розтягує, що діє на дріт перпендикулярно її поперечному перерізу (рис. 21).

Дія цієї сили на дріт залежить як від модуля сили F, а й від площі поперечного перерізу дроту S.

Під дією доданої до неї зовнішньої сили дріт деформується, розтягується. При невеликому розтягуванні ця деформація є пружною. У пружно деформованому дроті виникає сила пружності f уп. Згідно з третім законом Ньютона, сила пружності дорівнює по модулю і протилежна за напрямом зовнішньої сили, що діє тіло, тобто.

f уп = -F (2.10)

Стан пружно деформованого тіла характеризують величиною s, званої нормальною механічною напругою(або, для стислості, просто нормальною напругою). Нормальна напруга s дорівнює відношенню модуля сили пружності до площі поперечного перерізу тіла:

s = f уп /S (2.11)

Нехай початкова довжина нерозтягнутого дроту становила L0. Після застосування сили F дріт розтягнувся і його довжина стала рівною L. Величину DL = L - L 0 називають абсолютним подовженням дроту. Величину e = DL/L 0 (2.12) називають відносним подовженням тіла. Для деформації розтягування e>0, для деформації стиснення e< 0.

Спостереження показують, що при невеликих деформаціях нормальна напруга s пропорційно до відносного подовження e:

s = E | e |. (2.13)

Формула (2.13) є одним із видів запису закону Гука для одностороннього розтягування (стиснення). У цій формулі відносне подовження взято по модулю, оскільки воно може бути позитивним і негативним. Коефіцієнт пропорційності Е у законі Гука називається модулем поздовжньої пружності (модулем Юнга).

Встановимо фізичний сенсмодуля Юнга. Як видно з формули (2.12), e = 1 та L = 2L 0 при DL = L 0 . З формули (2.13) випливає, що в цьому випадку s = Е. Отже, модуль Юнга чисельно дорівнює такій нормальній напрузі, яка мала б виникнути в тілі зі збільшенням його довжини в 2 рази. (якби для такої великої деформації виконувався закон Гука). З формули (2.13) видно також, що СІ модуль Юнга виражають у паскалях (1 Па = 1 Н/м 2).