Уравнение частных производных с зависимыми переменными. Дифференциальное уравнение в частных производных

Рассмотрим сравнительно простое уравнение в частных производных:

Классификация

Размерность

Равна количеству независимых переменных. Должна быть не меньше 2 (при 1 получается обыкновенное дифференциальное уравнение).

Линейность

Есть линейные и нелинейные уравнения. Линейное уравнение представимо в виде линейной комбинации производных от неизвестных функций. Коэффициенты при этом могут быть либо постоянными , либо известными функциями.

Линейные уравнения хорошо исследованы, за решение отдельных видов нелинейных уравнений назначены миллионные премии (задачи тысячелетия).

Однородность

Уравнение является неоднородным, если есть слагаемое, не зависящее от неизвестных функций.

Порядок

Порядок уравнения определяется максимальным порядком производной. Имеют значение порядки по всем переменным.

Классификация уравнений второго порядка

Линейные уравнения второго порядка в частных производных подразделяют на параболические , эллиптические и гиперболические .

Линейное уравнение второго порядка, содержащее две независимые переменные, имеет вид:

где A , B , C - коэффициенты, зависящие от переменных x и y , а многоточие означает члены, зависящие от x , y , u и частных производных первого порядка: и . Это уравнение похоже на уравнение конического сечения :

Так же, как конические сечения разделяются на эллипсы , параболы и гиперболы , в зависимости от знака дискриминанта , классифицируются уравнения второго порядка в заданной точке:

В случае, когда все коэффициенты A , B , C - постоянные, уравнение имеет один и тот же тип во всех точках плоскости переменных x и y . В случае, если коэффициенты A , B , C непрерывно зависят от x и y , множество точек, в которых данное уравнение относится к гиперболическому (эллиптическому), типу образует на плоскости открытую область, называемую гиперболической (эллиптической), а множество точек, в которых уравнение относится к параболическому типу, замкнуто. Уравнение называется смешанным (смешанного типа ), если в некоторых точках плоскости оно гиперболическое, а в некоторых - эллиптическое. В этом случае параболические точки, как правило, образуют линию, называемую линией смены типа или линией вырождения .

В общем случае, когда уравнение второго порядка зависит от многих независимых переменных:

Невырожденным линейным преобразованием

квадратичная форма всегда может быть приведена к каноническому виду:

При этом согласно теореме инерции число положительных, отрицательных и равных нулю коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы является инвариантом и не зависит от линейного преобразования. На основе этого и производится классификация (в точке ) рассматриваемого уравнения:

В случае многих независимых переменных может быть проведена и более подробная классификация (необходимость которой в случае двух независимых переменных не возникает):

1. Гиперболический тип
   1. Нормальный гиперболический тип , если один коэффициент одного знака, а остальные другого.
   2. Ультрагиперболический тип , если коэффициентов как одного знака так и другого более чем один.
2. Параболический тип может быть дополнительно классифицирован на:
   1. Эллиптически-параболический тип , если только один коэффициент равен нулю, а остальные имеют один знак.
   2. Гиперболически-параболический тип , если только один коэффициент равен нулю, а остальные имеют различные знаки. Аналогично гиперболическому типу он может быть разделён на:
      1. Нормальный гиперболически-параболический тип
      2. Ультрагиперболически-параболический тип
   3. Ультрапараболический тип , если более чем один коэффициент равен нулю. Здесь также возможна дальнейшая классификация в зависимости от знаков не равных нулю коэффициентов.

Существование и единственность решения

Хотя ответ на вопрос о существовании и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения имеет вполне исчерпывающий ответ (теорема Пикара-Линделёфа), для уравнения в частных производных однозначного ответа на этот вопрос нет. Существует общая теорема (теорема Коши-Ковалевской), которая утверждает, что задача Коши для любого уравнения в частных производных, аналитического относительно неизвестных функций и их производных имеет единственное аналитическое решение . Тем не менее, существуют примеры линейных уравнений в частных производных, коэффициенты которых имеют производные всех порядков и не имеющих решения (Леви (1957)). Даже если решение существует и единственно, оно может иметь нежелательные свойства.

Рассмотрим последовательность задач Коши (зависящую от n ) для уравнения Лапласа :

где n - целое. Производная от функции u по переменной y равномерно стремится к 0 по x при возрастании n , однако решением уравнения является

Решение стремится к бесконечности, если nx не кратно для любого ненулевого значения y . Задача Коши для уравнения Лапласа называется плохо поставленной или некорректной, так как нет непрерывной зависимости решения от начальных данных.

Почти-решение дифференциального уравнения с частными производными - понятие, введенное В. М. Миклюковым в связи с исследованиями решений с неустранимыми особенностями.

Подборку статей, касающихся описания свойств почти-решений (принцип максимума, неравенство Гарнака и др.) см. на http://www.uchimsya.info .

Примеры

Одномерное уравнение теплопроводности

Уравнение, описывающее распространение тепла в однородном стержне имеет вид

где u (t ,x ) - температура, и α - положительная константа, описывающая скорость распространения тепла. Задача Коши ставится следующим образом:

где f (x ) - произвольная функция.

Уравнение колебания струны

Здесь u (t ,x ) - смещение струны из положения равновесия, или избыточное давление воздуха в трубе, или магнитуда электромагнитного поля в трубе, а c - скорость распространения волны. Для того, чтобы сформулировать задачу Коши в начальный момент времени, следует задать смещение и скорость струны в начальный момент времени:

Двумерное уравнение Лапласа

Связь с аналитическими функциями

Вещественная и мнимая части любой голоморфной функции комплексной переменной являются сопряжённо гармоническими функциями: они обе удовлетворяют уравнению Лапласа и их градиенты ортогональны. Если f =u +iv , то условия Коши-Римана утверждают следующее:

Складывая и вычитая уравнения друг из друга, получаем:

Также можно показать, что любая гармоническая функция является вещественной частью некоторой аналитической функции.

Граничные задачи

Граничные задачи ставятся следующим образом: найти функцию u , которая удовлетворяет уравнению Лапласа во всех внутренних точках области S , а на границе области - некоторому условию. В зависимости от вида условия различают следующие кравевые задачи:

Решение уравнений математической физики

Существует два вида методов решения данного типа уравнений:

• аналитический, при котором результат выводится различными математическими преобразованиями;
• численный, при котором полученный результат соответствует действительному с заданной точностью, но который требует много рутинных вычислений и поэтому выполним только при помощи вычислительной техники (ЭВМ).

Аналитическое решение

Уравнение колебаний

Рассмотрим задачу о колебаниях струны длины . Будем считать, что на концах струны функция обращается в ноль:

В начальный момент времени зададим начальные условия:

Представим решение в виде:

После подстановки в исходное уравнение колебаний, разделим на произведение получаем:

Правая часть этого уравнения зависит от , левая - от , следовательно это уравнение может выполняться лишь тогда, когда обе его части равны постоянной величине, которую обозначим через :

Отсюда находим уравнение для :

Нетривиальные решения этого уравнения при однородных краевых условиях возможны только при и имеют вид:

Рассмотрим уравнение для отыскания :

Его решение:

Следовательно, каждая функция вида

является решением волнового уравнения.

Чтобы удовлетворить решение начальным условиям, составим ряд:

Подстановка в начальные условия даёт:

Последние формулы представляют собой разложение функций и в ряд Фурье на отрезке . Коэффициенты разложений вычисляются по формулам:

Численное решение

Уравнение колебаний струны

Данный способ решения называется методом конечных дифференциалов. Он достаточно просто реализуем при помощи программирования.

Этот метод основан на определении производной функции :

Если имеется функция , то частичная производная будет следующая:

Так как мы используем достаточно маленький, знаки пределов можно отбросить. Тогда получим следующие выражения:

Для удобства в дальнейшем примем следующие обозначения:

Тогда предыдущие выражения можно записать так: ,

Эти выражения называют правыми дифференциалами. Их можно записать и по-другому: , - это левые дифференциалы.

Просуммировав оба выражения получим следующее:

из которых следует:

Оба выражения называют дифференциалом в центральной точке . Они приближают производную с большей точностью.

Аналогично можно получить и дифференциалы второго порядка:

Уравнение колебаний струны записывается в такой форме: .

Дополнительные условия задаются в виде: , , , ,

Где и - позиции концов (креплений) струны во времени, а и - начальное состояние и скорость струны из которой мы можем получить состояние струны в следующий момент времени используя формулу (см. Метод Эйлера):

Рассмотрим функцию нескольких независимых переменных .

Частные производные 1-го порядка данной функции по переменной вычисляются по обычным правилам и формулам дифференцирования, при этом все переменные, кроме , рассматриваются как постоянные.

Обозначение: .

Частными производными 2-го порядка функции называются частные производные от ее частных производных 1-го порядка.

Обозначение: .

Пример. Найти частные производные 1-го и 2-го порядков функции .

Решение.Считая y постоянной переменной, получим:

Считая x постоянной, получим: .

Соответственно: , , .

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным . Если независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных .

Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения . Например:

1. – обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка;

2. – обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка;

3. – обыкновенное дифференциальное уравнение 3-го порядка;

4. – общий вид обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка;

5. – уравнение в частных производных 1-го порядка;

6. – уравнение в частных производных 2-го порядка.

Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

1.1.1. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка

Многие задачи механики и физики приводят к исследованию дифференциальных уравнений с частными производными 2-го порядка.

Например:

1) при изучении различных видов волн − упругих, звуковых, электромагнитных, а также других колебательных явлений мы приходим к волновому уравнению:

− уравнение распространения волн в стержне;

− уравнение распространения волн в плоской пластине;

− уравнение распространения волн в пространстве,

где а − скорость распространения волн в данной среде;

2) процессы распространения тепла в однородном изотропном теле, так же как и явления диффузии, описываются уравнением теплопроводности:

− уравнение распространения тепла в стержне;

− уравнение распространения тепла в плоской пластине;

− уравнение распространения тепла в пространстве,

3) при рассмотрении установившегося теплового состояния в однородном изотропном теле мы приходим к уравнению Пуассона

.

При отсутствии источников тепла внутри тела данное уравнение переходит в уравнение Лапласа

.

Приведенные уравнения называют основными уравнениями математической физики . Их подробное изучение дает возможность построить теорию широкого круга физических явлений и решить ряд физических и технических задач.

Функция , удовлетворяющая какому-либо из приведенных уравнений, называется его решением.

1.1.2. Понятие об общем решении уравнения в частных производных

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение n -го порядка: . Его общий интеграл представляет собой некоторое семейство функций, зависящее от n произвольных постоянных . Любое частное решение получается из него, если параметрам придать определенные значения.

Рассмотрим решения некоторых дифференциальных уравнений в частных производных.

Пример 1. Пусть дано уравнение , где .

Решение. Найдем его общий интеграл, т.е. функцию ,удовлетворяющую данному уравнению. Сначала запишем это уравнение в виде: .Поскольку производная по переменной х от величины, стоящей в скобках, равна нулю, то последняя является некоторой произвольной функцией от у : . Поэтому

Интегрируя произвольную функцию ,получили функцию плюс произвольная функция . Таким образом, общий интеграл уравнения 2-го порядка содержит две произвольные функции.

Пример 2. Решить уравнение , где .

х :

,

где – произвольная функция.

Пример 3. Решить уравнение , где .

Решение. Проинтегрируем обе части уравнения по у :

,

где – произвольная функция.

Интегрируем повторно по у полученное равенство:

где – произвольные функции.

Пример 4. Решить уравнение , где .

Решение. Проинтегрируем обе части уравнения сначала по х , а затем по у :

,

где – произвольные функции.

Замечание. В отличие от общего решения обыкновенного дифференциального уравнения, зависящего от произвольных постоянных, общее решение уравнения с частными производными зависит от произвольных функций, количество которых равно порядку уравнения.

Задачи механики сплошной среды описываются системами дифференциальных уравнении с частными производными, для которых ставятся граничные и начальные условия - формулируются краевые задачи. Даже для уравнений, весьма схожих по форме записи, свойства решения могут существенно различаться. Поэтому особое внимание в теории уравнений с частными производными уделяется классификации - объединению их в типы или классы, внутри которых свойства решения и особенности постановки краевых задач являются сходными.

Рассмотрим классификацию на примере уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными. Уравнения такого вида стали изучаться при математическом описании ряда физических задач, и этот раздел математики стал называться математической физикой, а линейные уравнения второго порядка с частными производными - уравнениями математической физики. Отметим, что лишь в частных случаях задачи движения газа или жидкости или задачи теплопроводности приводятся к уравнению подобного вида. Однако даже на этом простейшем примере проявляются практически все особенности, присущие и более сложным задачам.

Итак, рассмотрим дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка (порядок дифференциального уравнения определяется порядком входящей в него старшей производной) с двумя независимыми переменными:

Если А, В, С - функции только х и у, а / - линейная функция своих аргументов и, ди/дх , ди/ду , то уравнение (1.1) является линейным. Для линейных уравнений развиты математические теории, позволяющие как делать общие качественные заключения о решении, так и строить методы решения. Во многих практических случаях оправданная система предположений и допущений позволяет привести математическую модель процесса к линейной системе или линейном}" уравнению. В частности, линейным уравнением вида (1.1) описываются потенциальное течение жидкости, стационарное двумерное температурное поле, распространение волны в упругой среде и многие другие физические задачи, и оно изучено наиболее подробно. Но в большинстве случаев практические задачи описываются нелинейными уравнениями, общая теория которых еще не создана.

Если нелинейность уравнения состоит лишь в том, что коэффициенты А, В, С зависят от неизвестного решения и и (или) его младших производных (в данном случае - первых производных), то такая нелинейность локально не слишком сильно сказывается на решении по сравнению с линейным случаем. Уравнения с нелинейностями такого вида называются квазилинейными. Часто для анализа квазилинейных уравнений применяют метод «замораживания» коэффициентов, сводящий задачу к линейному случаю. Такой подход используется как для качественного анализа решения, так и для построения численных алгоритмов решения. Заметим, что задачи аэрогазодинамики описываются системой квазилинейных уравнений.

Уравнение (1.1) можно привести к эквивалентной системе дифференциальных уравнений первого порядка. Для этого введем обозначения для первых производных от искомой функции по независимым переменным р = ди/дх и q = ди/ду и запишем рассматриваемое уравнение, используя эти обозначения. В результате придем к системе трех уравнений первого порядка для трех неизвестных функций ц, р и q :

Заметим, что обратное действие (приведение системы уравнений первого порядка к одному уравнению) выполнимо нс всегда.

Одним из важнейших понятий в теории дифференциальных уравнений с частными производными является понятие о характеристиках. Впервые оно появилось в работах Г. Монжа при изучении уравнений, описывающих форму поверхностей.

Рис. 1.1.

Для упрощения последующих выкладок введем следующие обозначения для вторых производных функции и :

Определим теперь задачу Коши для уравнения второго порядка. Пусть на линии у = у(х) заданы значения искомой функции и ее первых производных:

где а - естественная координата кривой. Поставим теперь следующую задачу: можно ли, зная значения функции и ее первых производных на кривой у(х), установить значения функции в точках, соседних с этой кривой? Поставленная задача называется задачей Коши для уравнения (1.1).

Для получения решения в точке Л/, соседней с кривой, можно воспользоваться разложением решения в ряд около некоторой точки О, лежащей на кривой задания начальных данных у(х). Такое разложение имеет вид

Заметим, что в этом разложении нельзя ограничиваться только линейными членами - обязательно присутствие вторых производных. Это связано с тем, что исходное дифференциальное уравнение накладывает связи именно на вторые производные. Если мы опустим их в разложении (1.2), то будет потеряно все физическое содержание рассматриваемого явления, в котором именно взаимосвязь вторых производных (своего рода «кривизн») определяет сущность описываемого процесса.

Использование данного выражения для получения решения в точке М связано с возможностью определения производных, в него входящих. Первые производные известны из начальных условий, заданных на кривой начальных данных. Вторые же необходимо каким- либо способом определить, после чего выражение (1.2) может быть использовано для получения решения в точке М. Можно показать, что после определения вторых производных высшие производные также могут быть вычислены, и таким образом будет решен вопрос о повышении точности выражения (1.2) за счет увеличения количества членов разложения.

Для определения вторых производных мы можем использовать данные, заданные на кривой. Приращения первых производных вдоль кривой запишутся следующим образом:

Заметим, что в этих выражениях dx и dy являются взаимосвязанными и их отношение определяется угловым коэффициентом кривой dy/dx = у"(х).

К этим двум выражениям, связывающим три неизвестные вторые производные, необходимо добавить исходное дифференциальное уравнение, что позволит получить линейную систему для значений вторых производных в точке М кривой у(х ):

Вопрос об определении вторых производных и, тем самым, о восстановлении решения в точках, прилежащих к кривой начальных данных, связан с возможностью решения линейной системы (1.3). Если определитель этой системы не равен нулю, то она имеет единственное решение, производные г, s, t и выражение (1.2) может использоваться для прогноза решения в точках области, лежащих вне линии начальных данных у = у(х).

В том же случае, когда определитель системы (1.3) обращается в ноль:

система линейных уравнений становится вырожденной, не допускающей определения вторых производных. Если решение найти не удастся, то принципиально нельзя будет сместиться от кривой начальных данных в соседние точки области.

Раскрывая определитель (1.4), получим условие обращения его в ноль:

которое можно записать в виде дифференциального уравнения в разрешенном относительно производной dy/dx виде:

Из этого соотношения видно, что исходная задача становится неразрешимой, если угловой коэффициент кривой принимает некоторое особое значение, выражаемое через коэффициенты исходного дифференциального уравнения. Это особое направление называется характеристическим , а кривая, касательная к которой в каждой точке принимает характеристическое направление, - характеристикой дифференциального уравнения с частными производными. Как видим, обыкновенное дифференциальное уравнение (1.5) определяет поле характеристических направлений, а его интеграл определяет характеристические линии.

Если эти кривые используются как линии задания начальных данных, то решение не может быть продолжено в соседние точки области, поэтому такие кривые имеют огромное значение при анализе свойств дифференциальных уравнений и при построении расчетных алгоритмов их решения.

В основу классификации уравнения (1.1) положено наличие у него характеристик. Как видно из (1.5), исходное уравнение в каждой точке области своего определения может иметь либо два характеристических направления, либо одно, либо вообще не иметь характеристик. Определяющим в этом вопросе является знак дискриминанта уравнения - подкоренного выражения В 2 - АС.

Если В 2 - АС эллиптическим, или принадлежит к эллиптическому типу.

Если В 2 - АС = О, то имеется одно семейство характеристик. В этом случае говорят, что уравнение (1.1) является параболическим. или принадлежит к параболическому типу.

Если В 2 - АС > 0, то имеются два различных семейства характеристик и уравнение (1.1) является гиперболическим или принадлежит к гиперболическому типу.

Так как тип уравнения связан со значениями коэффициентов дифференциального уравнения, то уравнение с переменными коэффициентами в разных частях области определения может принадлежать к различным типам. Такие уравнения называют уравнениями смешанного типа.

На первый взгляд представляется странным, почему для определения типа дифференциального уравнения используется терминология, относящаяся к коническим сечениям - алгебраическим кривым второго порядка: эллипсу, параболе и гиперболе. Связь состоит в том, что фундаментальную роль в теории уравнений вида (1.1) играет особым образом построенное алгебраическое выражение квадратичная форма, коэффициентами которой являются коэффициенты исходного уравнения. Для уравнения (1.1) она имеет вид Ах 2 +2Вху+Су 2 и может быть приведена к канонической форме, которая будет, в зависимости от значений коэффициентов, принимать вид эллипса, параболы или гиперболы, что и объясняет используемую терминологию.

Заметим, что для классификации мы использовали линейное уравнение второго порядка, однако характеристический анализ применяется и к другим уравнениям и системам.

Аналогичные соображения закладываются в основу классификации систем дифференциальных уравнений, которая строится на основе характеристических свойств - начПичия полного набора характеристик (гиперболические системы) или отсутствия действительных характеристик (эллиптические системы). Тип уравнения определяет общий характер его решения, зависимость решения от входных данных и, как следствие этого, методы получения численных решений краевых задач. В нашем курсе мы неоднократно будем возвращаться к анализу характеристических свойств изучаемых математических моделей механики сплошной среды.

Сделаем несколько замечаний, на которые мы не обращали внимание ранее.

Замечание 1. Инвариантность характеристических направлений. Можно доказать, что характеристики остаются инвариантными при преобразованиях независимых переменных. То есть характеристические направления не зависят от выбора системы координат, в которой мы записываем исходное уравнение, и от различных преобразований независимых переменных. Эти направления определяются только свойствами самого изучаемого явления, которое описывается своей математической моделью дифференциальным уравнением. В этом смысле характеристики определяют некоторые особые направления в пространстве - «собственные» направления данной задачи. Особо отметим, что определить характеристические направления удалось из анализа дифференциального уравнения. Поэтому получение характеристических направлений связано с записью математической модели в форме дифференциального уравнения (в дальнейшем мы увидим, что существуют и другие формы записи математических моделей, например в форме интегральных соотношений).

Замечание 2. Определение старших производных. В построенном нами примере для продолжения решения в точки, соседние с линией задания начальных данных, использовались производные до второго порядка включительно. Покажем, что если в качестве линии начальных данных используется нехарактеристическая кривая, го точность соотношения можно сколь угодно повышать, вычисляя старшие производные решения и таким образом продолжая ряд.

Для начала рассмотрим вопрос об определении третьих производных, которые обозначим соответственно Q = u xxx , R = u xxy , S = = и хуу, Т = и у уу . Так как, по условию, кривая не является характеристикой, то на основе предыдущего анализа на кривой начальных данных у(х) в дополнение к заданным из начальных условий значениям м, р, q вычислены и вторые производные г, .s, t. Поэтому для третьих производных можно выписать систему соотношений, определяющих их из дифференциалов вторых производных вдоль линии у(х) :

Добавив к этой системе исходное уравнение (1.1), продифференцированное по х , получим линейную систему

Легко убедиться, что она имеет то же условие невырожденности, что и система линейных уравнений при анализе характеристик.

Для этого при вычислении определителя матрицы проведем его разложение но элементам последнего столбца. Определитель третьего порядка, стоящий при единственном ненулевом элементе, будет совпадать с определителем матрицы в задаче анализа характеристик.

Таким образом, для любой нехарактеристической кривой третьи производные решения находятся из данных, заданных на этой кривой. Продолжая таким образом, можно находить следующие старшие члены разложения и тем самым повышать порядок точности представления решения.

Замечание 3. Условия совместности на характеристиках. В

том случае если для уравнения (1.1) определена характеристика, то на приращения производных от решения р, q вдоль кривой накладываются дополнительные условия. Действительно, равенство нулю определителя (1.4) означает линейную зависимость уравнений, входящих в (1.3). Из линейной алгебры известно, что для разрешимости вырожденной системы необходимо, чтобы ранг системы был равен рангу ее расширенной матрицы. Другими словами, требуется, чтобы все определители третьего порядка расширенной матрицы

были равны нулю. Нетрудно показать, что эго условие, совместно с полученным ранее соотношением для характеристик (1-5), приводит к следующим двум условиям, которые должны выполняться вдоль характеристик:

Эти условия называются условиями на характеристиках или условиями coeAiecmnocmu. Они играют большую роль как при изучении качественных свойств решения, так и при построении алгоритмов численного решения задач.

1 1асто гиперболическую задачу удобно формулировать через набор ее характеристик и дифференциальные соотношения совместности, справедливые на этих характеристиках. Заметим, что в случае двух независимых переменных задача трансформируется в систему обыкновенных уравнений, определяющих характеристические кривые, и обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующих условиям совместности.

Замечание 4. Физический смысл характеристик. В уравнениях, в которых в качестве независимых выступают пространственные переменные, характеристики определяют область влияния точек. Известные из газодинамики сверхзвуковых стационарных течений конус Маха и линия Маха относятся к такому кругу понятий.

Если в качестве одной из независимых переменных - переменной гиперболичности - выступает время, характеристики выражают конечность скорости распространения сигнала и управляют таким образом причинно-следственными отношениями в рассматриваемой системе. С характеристиками в этом случае тесно связана возможность распространения волн с конечной скоростью.

Приведем примеры дифференциальных уравнений различных типов.

Пр и м е р 1. Уравнение Пуассона }:

Если / = 0, то это уравнение называют уравнением Лапласа. Здесь А = С = 1, В = О, В 2 - АС = -1, т.е. это уравнение эллиптического типа, часто встречающееся в физических приложениях. Им описываются задачи потенциального движения жидкости, фильтрации в пористых телах, задачи магнито- и электростатики, стационарное распределение температур в теле, распределение напряжений в некоторых задачах линейной теории упругости и т. д.

Уравнению Лапласа эквивалентна следующая простейшая эллиптическая система Даламбера Эйлера (иногда эти уравнения называют уравнениями Коши Римана):

Уравнение Лапласа может быть распространено на случай трех (или более) независимых переменных:

1 Пуассон Симеон Дени (Poisson S.D., 1781-1840) - французский математик, физик и механик. Его работы сыграли важную роль в становлении современной науки: в теории вероятностей, математической физике, теории упругости и гидромеханике. Упомянутое уравнение было выведено Пуассоном при исследовании ряда задач теории гравитационного притяжения (мемуар «О притяжении сфероидов», 1835).

Дифференциальный оператор Д = д 2 /дх 2 + д 2 /ду 2 + д 2 /дг 2 называют оператором Лапласа.

Пример 2. Уравнение теплопроводности. Одномерное нестационарное температурное поле в среде с постоянными теплофизическими характеристиками описывается уравнением

в котором коэффициент температуропроводности а должен удовлетворять условию а > 0.

Здесь вместо переменной у введена переменная t - время, соответствующая физическому содержанию описываемых уравнением задач. Коэффициенты, входящие в уравнение, равны: А = 1, В = 0, С = 0, В 2 - АС = 0, т.е. эго уравнение параболического типа. Такими уравнениями описываются нестационарное распределение температур в задачах теплопроводности, диффузия инертной примеси, распространение электромагнитных волн в проводящих средах, движение вязкой жидкости в пограничном слое тела и т. д.

II р и м е р 3. Волновое уравнение. Распространение плоской волны с постоянной скоростью со в изотропной среде описывается линейным одномерным волновым уравнением

в котором ось х соответствует направлению распространения волны.

Здесь А = Cq, С = 1, В = 0, это уравнение гиперболического типа. Примером простейшей гиперболической системы является эквивалентная (1.11) система

Уравнения такого типа описывают распространение колебаний в сплошных средах, электромагнитные колебания, сверхзвуковое течение идеального газа.

Приведенные выше примеры демонстрируют три основных типа уравнений математической физики. Различие в них связано с различием описываемых ими физических процессов. Уравнения параболического и гиперболического типов описывают неустановившийся процесс. Это означает, что на решение в момент времени t влияет состояние в предыдущие моменты времени, но никак не могут влиять последующие события. Уравнения гиперболического типа могут описывать и установившиеся процессы, в этом случае краевое условие влияет па решение только в одну сторону (по отношению к переменной, являющейся аналогом времени), а одна из пространственных координат является аналогом времени. Примером такой гиперболической задачи может служить сверхзвуковое, установившееся движение газа. Таким образом, параболические и гиперболические уравнения связаны с областями, «открытыми»в одном направлении, а соответствующая этому направлению независимая переменная является аналогом времени.

В случае же эллиптических задач на решение в некоторой точке области влияют краевые условия, заданные на всей замкнутой границе области.

Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение дифуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?

Однако мы постараемся вам показать, что дифуры – это не так сложно, как кажется.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х) , которая обратит уравнение в тождество.

Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.

Дифференциальное уравнение (ДУ ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.

Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.

Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество. Существуют общие и частные решения ДУ.

Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.

Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.

Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:

Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.

Примеры таких уравнений:

Уравнения с разделяющимися переменными

В общем виде этот тип уравнений выглядит так:

Приведем пример:

Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:

После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Такие уравнения имеют вид:

Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:

Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).

Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и взять их “с наскока” будет довольно сложно.

Пример решения ДУ с разделяющимися переменными

Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.

Сначала перепишем производную в более привычном виде:

Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все "игреки", а в другой – "иксы":

Теперь осталось проинтегрировать обе части:

Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:

Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему "Как решать дифференциальные уравнения":