Khái niệm căn bậc n của số thực. Căn bậc n: định nghĩa, ký hiệu, ví dụ Định nghĩa căn bậc n của một số không âm

Trang trình bày 1

Cơ sở giáo dục thành phố lyceum số 10 của thành phố Sovetsk, vùng Kaliningrad, giáo viên toán Tatyana Nikolaevna Razygraeva Khái niệm về căn bậc n của một số thực.

Trang trình bày 2

Đồ thị của hàm số y = x2 là đường cong nào? Đồ thị của hàm số y = x⁴ là đường cong nào? Xét phương trình x⁴ = 1. Vẽ đồ thị các hàm y = x⁴ và y = 1. Trả lời: x = 1, x = -1. Tương tự: x⁴ = 16. Đáp án: x = 2, x = -2. Tương tự: x⁴ = 5. y = 5 Đáp án:

Trang trình bày 3

Xét phương trình x⁵ = 1. Vẽ đồ thị các hàm y = x⁵ và y = 1. Tương tự: x⁵ = 7. Trả lời: x = 1. Trả lời: Xét phương trình: trong đó a > 0, n N, n >1. Nếu n chẵn thì phương trình có hai nghiệm: Nếu n lẻ thì một nghiệm:

Trang trình bày 4

Định nghĩa 1: Căn bậc n của số không âm a (n = 2,3,4,5,...) là số không âm mà khi lũy thừa n sẽ thu được số a. Số này được ký hiệu là: a n - biểu thức căn - số mũ gốc Phép toán tìm căn của một số không âm được gọi là trích rút căn. Nếu a 0, n = 2,3,4,5,… thì

Trang trình bày 5

Thao tác rút gốc là đảo ngược của việc nâng lên lũy thừa tương ứng. 5² = 25 10³ = 1000 0,3⁴ = 0,0081 25 = 5 3 4 Đôi khi biểu thức a được gọi là căn từ từ cơ số trong tiếng Latin - "gốc". n Ký hiệu là chữ r cách điệu. Phép lũy thừa Trích xuất căn nguyên

Trang trình bày 6

Ví dụ 1: Tính: a) 49; b) 0,125; c) 0 ; d) 17 3 7 4 Giải: a) 49 = 7, vì 7 > 0 và 7² = 49; 3 b) 0,125 = 0,5, vì 0,5 > 0 và 0,5³ = 0,125; c) 0; d) 17 ≈ 2,03 4 Định nghĩa 2: Căn lũy thừa lẻ n của số âm a (n = 3,5,...) là số âm mà khi nâng lên lũy thừa n sẽ thu được số a.

Trang trình bày 7

Vì vậy, Kết luận: Căn nguyên của bậc chẵn chỉ có ý nghĩa (tức là được xác định) đối với biểu thức căn thức không âm; một gốc lẻ có ý nghĩa đối với bất kỳ biểu thức căn thức nào. Ví dụ 2: Giải phương trình: Nếu a< 0, n = 3,5,7,…, то

Xin chúc mừng: hôm nay chúng ta sẽ tìm hiểu về cội nguồn - một trong những chủ đề gây ấn tượng nhất ở lớp 8 :)

Nhiều người nhầm lẫn về căn thức không phải vì chúng phức tạp (điều phức tạp về nó - một vài định nghĩa và một vài tính chất nữa), mà bởi vì trong hầu hết các sách giáo khoa phổ thông, căn thức được định nghĩa thông qua một khu rừng mà chỉ có chính các tác giả của sách giáo khoa mới xác định được. có thể hiểu được bài viết này. Và thậm chí chỉ với một chai rượu whisky ngon :)

Vì vậy, bây giờ tôi sẽ đưa ra định nghĩa chính xác nhất và hợp lý nhất về gốc - định nghĩa duy nhất mà bạn thực sự nên nhớ. Và sau đó tôi sẽ giải thích: tại sao tất cả những điều này lại cần thiết và cách áp dụng nó vào thực tế.

Nhưng trước tiên, hãy nhớ một điểm quan trọng mà nhiều người biên soạn sách giáo khoa vì lý do nào đó mà “quên”:

Các nghiệm có thể có mức độ chẵn ($\sqrt(a)$ yêu thích của chúng tôi, cũng như tất cả các loại $\sqrt(a)$ và thậm chí $\sqrt(a)$) và mức độ lẻ (tất cả các loại $\sqrt (a)$, $\sqrt(a)$, v.v.). Và định nghĩa của nghiệm bậc lẻ có phần khác với định nghĩa của bậc chẵn.

Có lẽ 95% tất cả các lỗi và hiểu lầm liên quan đến nguồn gốc đều được ẩn giấu trong cái "hơi khác" chết tiệt này. Vì vậy, hãy làm rõ thuật ngữ này một lần và mãi mãi:

Sự định nghĩa. Ngay cả gốc N từ số $a$ là bất kỳ không tiêu cực số $b$ sao cho $((b)^(n))=a$. Và căn lẻ của cùng một số $a$ nói chung là bất kỳ số $b$ nào có cùng đẳng thức: $((b)^(n))=a$.

Trong mọi trường hợp, gốc được biểu thị như sau:

\(Một)\]

Số $n$ trong ký hiệu như vậy được gọi là số mũ gốc và số $a$ được gọi là biểu thức căn thức. Cụ thể, với $n=2$, chúng ta nhận được căn bậc hai “yêu thích” (nhân tiện, đây là căn bậc hai) và với $n=3$, chúng ta nhận được căn bậc ba (bậc lẻ), tức là cũng thường thấy trong các bài toán và phương trình.

Ví dụ. Ví dụ cổ điển về căn bậc hai:

\[\begin(căn chỉnh) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(căn chỉnh)\]

Nhân tiện, $\sqrt(0)=0$ và $\sqrt(1)=1$. Điều này khá logic, vì $((0)^(2))=0$ và $((1)^(2))=1$.

Rễ hình khối cũng rất phổ biến - không cần phải sợ chúng:

\[\begin(căn chỉnh) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(căn chỉnh)\]

Chà, một vài “ví dụ kỳ lạ”:

\[\begin(căn chỉnh) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(căn chỉnh)\]

Nếu bạn không hiểu sự khác biệt giữa mức chẵn và mức lẻ là gì, hãy đọc lại định nghĩa. Điều này rất quan trọng!

Trong khi chờ đợi, chúng ta sẽ xem xét một đặc điểm khó chịu của nghiệm, do đó chúng ta cần đưa ra một định nghĩa riêng cho số mũ chẵn và số lẻ.

Tại sao lại cần đến rễ?

Sau khi đọc định nghĩa, nhiều học sinh sẽ hỏi: “Các nhà toán học đã hút gì khi họ nghĩ ra định nghĩa này?” Và thực sự: tại sao tất cả những gốc rễ này lại cần thiết?

Để trả lời câu hỏi này, chúng ta hãy quay lại trường tiểu học một lát. Hãy nhớ rằng: vào thời xa xưa, khi cây cối xanh tươi hơn và bánh bao ngon hơn, mối quan tâm chính của chúng ta là nhân các số một cách chính xác. Chà, đại loại như “năm giờ năm – hai mươi lăm”, thế thôi. Nhưng bạn có thể nhân các số không phải theo cặp mà theo bộ ba, bộ bốn và nói chung là cả bộ:

\[\begin(căn chỉnh) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(căn chỉnh)\]

Tuy nhiên, đây không phải là vấn đề. Thủ thuật lại khác: các nhà toán học là những người lười biếng, nên họ gặp khó khăn khi viết ra phép nhân của mười số năm như thế này:

Đó là lý do tại sao họ nghĩ ra bằng cấp. Tại sao không viết số thừa số dưới dạng chỉ số trên thay vì một chuỗi dài? Một cái gì đó như thế này:

Nó rất thuận tiện! Tất cả các phép tính được giảm đi đáng kể và bạn không cần phải lãng phí một đống giấy da và sổ ghi chép để viết ra khoảng 5.183. Kỷ lục này được gọi là sức mạnh của một con số; một loạt tài sản được tìm thấy trong đó, nhưng niềm hạnh phúc hóa ra chỉ tồn tại trong thời gian ngắn.

Sau một bữa tiệc rượu hoành tráng được tổ chức chỉ để “khám phá” độ, một nhà toán học đặc biệt bướng bỉnh nào đó đột nhiên hỏi: “Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta biết độ của một số, nhưng bản thân số đó lại chưa biết?” Bây giờ, thực sự, nếu chúng ta biết rằng một số $b$ nhất định, chẳng hạn, lũy thừa 5 cho 243, thì làm sao chúng ta có thể đoán chính số $b$ đó bằng bao nhiêu?

Vấn đề này hóa ra mang tính toàn cầu hơn nhiều so với cái nhìn đầu tiên. Bởi vì hóa ra đối với hầu hết các quyền hạn “làm sẵn” đều không có những con số “ban đầu” như vậy. Thẩm phán cho chính mình:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Rightarrow b=4\cdot 4\cdot 4\Rightarrow b=4. \\ \end(căn chỉnh)\]

Điều gì sẽ xảy ra nếu $((b)^(3))=$50? Hóa ra chúng ta cần tìm một số nhất định mà khi nhân với chính nó ba lần sẽ cho ta kết quả 50. Nhưng con số này là gì? Rõ ràng nó lớn hơn 3, vì 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Đó là con số này nằm ở khoảng từ ba đến bốn, nhưng bạn sẽ không hiểu nó bằng bao nhiêu.

Đây chính xác là lý do tại sao các nhà toán học nghĩ ra căn bậc $n$. Đây chính xác là lý do tại sao ký hiệu căn $\sqrt(*)$ được giới thiệu. Để chỉ định chính số $b$, ở mức độ được chỉ định sẽ cho chúng ta một giá trị đã biết trước đó

\[\sqrt[n](a)=b\Rightarrow ((b)^(n))=a\]

Tôi không tranh luận: thường những gốc này được tính toán dễ dàng - chúng ta đã thấy một số ví dụ như vậy ở trên. Tuy nhiên, trong hầu hết các trường hợp, nếu bạn nghĩ về một số tùy ý và sau đó cố gắng rút ra nghiệm của một bậc tùy ý từ nó, thì bạn sẽ gặp một sai lầm khủng khiếp.

Có gì ở đó! Ngay cả $\sqrt(2)$ đơn giản và quen thuộc nhất cũng không thể được biểu diễn ở dạng thông thường của chúng ta - dưới dạng số nguyên hoặc phân số. Và nếu bạn nhập số này vào máy tính, bạn sẽ thấy điều này:

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

Như bạn có thể thấy, sau dấu thập phân có một dãy số vô tận không tuân theo bất kỳ logic nào. Tất nhiên, bạn có thể làm tròn số này để so sánh nhanh với các số khác. Ví dụ:

\[\sqrt(2)=1.4142...\khoảng 1,4 \lt 1,5\]

Hoặc đây là một ví dụ khác:

\[\sqrt(3)=1.73205...\khoảng 1,7 \gt 1,5\]

Nhưng tất cả những vòng tròn này, trước hết, khá thô; và thứ hai, bạn cũng cần có khả năng làm việc với các giá trị gần đúng, nếu không bạn có thể mắc một loạt lỗi không rõ ràng (nhân tiện, kỹ năng so sánh và làm tròn là bắt buộc phải được kiểm tra trong hồ sơ Kỳ thi Thống nhất).

Do đó, trong toán học nghiêm túc, bạn không thể làm gì nếu không có gốc - chúng là đại diện bằng nhau của tập hợp tất cả các số thực $\mathbb(R)$, giống như các phân số và số nguyên đã quen thuộc với chúng ta từ lâu.

Việc không thể biểu diễn một nghiệm dưới dạng một phân số của dạng $\frac(p)(q)$ có nghĩa là nghiệm này không phải là một số hữu tỉ. Những con số như vậy được gọi là số vô tỷ và chúng không thể được biểu diễn chính xác trừ khi có sự trợ giúp của căn thức hoặc các công trình khác được thiết kế đặc biệt cho việc này (logarit, lũy thừa, giới hạn, v.v.). Nhưng sẽ nói nhiều hơn vào lúc khác.

Hãy xem xét một số ví dụ trong đó, sau tất cả các phép tính, các số vô tỷ sẽ vẫn còn trong câu trả lời.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\approx -1.2599... \\ \end(căn chỉnh)\]

Đương nhiên, từ sự xuất hiện của gốc, gần như không thể đoán được số nào sẽ xuất hiện sau dấu thập phân. Tuy nhiên, bạn có thể tin tưởng vào máy tính, nhưng ngay cả máy tính ngày tiên tiến nhất cũng chỉ cung cấp cho chúng ta một vài chữ số đầu tiên của một số vô tỷ. Vì vậy, sẽ đúng hơn nhiều nếu viết câu trả lời dưới dạng $\sqrt(5)$ và $\sqrt(-2)$.

Đây chính xác là lý do tại sao chúng được phát minh. Để thuận tiện ghi lại câu trả lời.

Tại sao cần có hai định nghĩa?

Người đọc chú ý có lẽ đã nhận thấy rằng tất cả các căn bậc hai trong các ví dụ đều được lấy từ số dương. Vâng, ít nhất là từ đầu. Nhưng căn bậc ba có thể được rút ra một cách dễ dàng từ bất kỳ số nào - dù là số dương hay số âm.

Tại sao điều này lại xảy ra? Hãy nhìn vào đồ thị của hàm $y=((x)^(2))$:

Đồ thị của hàm bậc hai cho hai nghiệm: dương và âm

Hãy thử tính $\sqrt(4)$ bằng biểu đồ này. Để làm điều này, một đường ngang $y=4$ được vẽ trên biểu đồ (được đánh dấu màu đỏ), đường này cắt với parabol tại hai điểm: $((x)_(1))=2$ và $((x )_(2)) =-2$. Điều này khá logic, vì

Mọi thứ đều rõ ràng với số đầu tiên - nó dương, vì vậy nó là gốc:

Nhưng sau đó phải làm gì với điểm thứ hai? Giống như bốn có hai gốc cùng một lúc? Rốt cuộc, nếu chúng ta bình phương số −2, chúng ta cũng nhận được 4. Vậy tại sao không viết $\sqrt(4)=-2$? Và tại sao thầy cô lại nhìn những bài viết như vậy như muốn ăn thịt bạn vậy :)

Vấn đề là nếu bạn không áp đặt thêm bất kỳ điều kiện nào thì tứ giác sẽ có hai căn bậc hai - dương và âm. Và bất kỳ số dương nào cũng sẽ có hai trong số đó. Nhưng các số âm sẽ không có gốc nào cả - điều này có thể được nhìn thấy từ cùng một biểu đồ, vì parabol không bao giờ nằm ​​dưới trục y, tức là không chấp nhận giá trị âm.

Một vấn đề tương tự xảy ra với tất cả các nghiệm có số mũ chẵn:

1. Nói đúng ra, mỗi số dương sẽ có hai nghiệm với số mũ chẵn $n$;
2. Từ các số âm, gốc có $n$ chẵn không được trích xuất.

Đó là lý do tại sao định nghĩa nghiệm chẵn của $n$ quy định cụ thể rằng đáp án phải là một số không âm. Đây là cách chúng ta thoát khỏi sự mơ hồ.

Nhưng đối với $n$ lẻ thì không có vấn đề như vậy. Để thấy điều này, chúng ta hãy nhìn vào biểu đồ của hàm $y=((x)^(3))$:

Một parabol lập phương có thể nhận bất kỳ giá trị nào, do đó căn bậc ba có thể được lấy từ bất kỳ số nào

Hai kết luận có thể được rút ra từ biểu đồ này:

1. Các nhánh của parabol hình khối, không giống như parabol thông thường, đi đến vô cực theo cả hai hướng - cả hướng lên và hướng xuống. Do đó, dù chúng ta vẽ đường ngang ở độ cao nào thì đường này chắc chắn sẽ giao nhau với đồ thị của chúng ta. Do đó, căn bậc ba luôn có thể được lấy từ bất kỳ số nào;
2. Ngoài ra, giao điểm như vậy sẽ luôn là duy nhất, vì vậy bạn không cần phải suy nghĩ xem số nào được coi là gốc “đúng” và số nào cần bỏ qua. Đó là lý do tại sao việc xác định nghiệm của bậc lẻ lại đơn giản hơn so với bậc chẵn (không có yêu cầu về tính không âm).

Thật đáng tiếc là những điều đơn giản này không được giải thích trong hầu hết các sách giáo khoa. Thay vào đó, bộ não của chúng ta bắt đầu bay bổng với đủ loại nghiệm số học và tính chất của chúng.

Vâng, tôi không tranh luận: bạn cũng cần biết căn số học là gì. Và tôi sẽ nói chi tiết về điều này trong một bài học riêng. Hôm nay chúng ta cũng sẽ nói về nó, bởi vì nếu không có nó thì mọi suy nghĩ về nghiệm của bội số thứ $n$ sẽ không đầy đủ.

Nhưng trước tiên bạn cần hiểu rõ định nghĩa mà tôi đưa ra ở trên. Nếu không, do có quá nhiều thuật ngữ, một mớ hỗn độn như vậy sẽ bắt đầu trong đầu bạn đến mức cuối cùng bạn sẽ không hiểu gì cả.

Tất cả những gì bạn cần làm là hiểu sự khác biệt giữa các chỉ báo chẵn và lẻ. Do đó, một lần nữa chúng ta hãy thu thập mọi thứ bạn thực sự cần biết về rễ:

1. Căn bậc chẵn chỉ tồn tại từ một số không âm và bản thân nó luôn là một số không âm. Đối với số âm, gốc như vậy không được xác định.
2. Nhưng căn bậc lẻ tồn tại từ bất kỳ số nào và bản thân nó có thể là số bất kỳ: đối với số dương thì nó là dương, và đối với số âm, như gợi ý ở đầu, nó là âm.

Có khó không? Không, nó không khó. Rõ ràng chứ? Vâng, điều đó hoàn toàn rõ ràng! Vì vậy bây giờ chúng ta sẽ thực hành một chút về tính toán.

Thuộc tính cơ bản và hạn chế

Rễ có nhiều đặc tính và hạn chế kỳ lạ - điều này sẽ được thảo luận trong một bài học riêng. Do đó, bây giờ chúng ta sẽ chỉ xem xét "thủ thuật" quan trọng nhất, chỉ áp dụng cho các nghiệm có chỉ số chẵn. Hãy viết thuộc tính này dưới dạng công thức:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\phải|\]

Nói cách khác, nếu chúng ta nâng một số lên lũy thừa chẵn và sau đó lấy căn bậc hai của lũy thừa đó, chúng ta sẽ không nhận được số ban đầu mà là mô đun của nó. Đây là một định lý đơn giản có thể được chứng minh dễ dàng (chỉ cần xem xét $x$ không âm một cách riêng biệt và sau đó là các giá trị âm riêng biệt). Các giáo viên liên tục nói về nó, nó được đưa ra trong mọi sách giáo khoa của trường. Nhưng ngay khi phải giải phương trình vô tỉ (tức là phương trình chứa dấu căn), học sinh nhất trí quên công thức này.

Để hiểu vấn đề một cách chi tiết, chúng ta hãy quên tất cả các công thức trong một phút và thử tính thẳng hai số:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Đây là những ví dụ rất đơn giản. Hầu hết mọi người sẽ giải quyết được ví dụ đầu tiên, nhưng nhiều người lại mắc kẹt ở ví dụ thứ hai. Để giải quyết mọi chuyện tào lao như vậy mà không gặp vấn đề gì, hãy luôn xem xét quy trình:

1. Đầu tiên, con số được nâng lên lũy thừa thứ tư. Vâng, nó khá dễ dàng. Bạn sẽ nhận được một số mới có thể tìm thấy ngay cả trong bảng cửu chương;
2. Và bây giờ từ số mới này cần phải rút ra căn bậc 4. Những thứ kia. không xảy ra hiện tượng “giảm” rễ và sức mạnh - đây là những hành động tuần tự.

Hãy xem biểu thức đầu tiên: $\sqrt(((3)^(4)))$. Rõ ràng, trước tiên bạn cần tính biểu thức dưới gốc:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Sau đó chúng ta trích ra căn bậc 4 của số 81:

Bây giờ hãy làm tương tự với biểu thức thứ hai. Đầu tiên, chúng ta nâng số −3 lên lũy thừa bốn, đòi hỏi phải nhân nó với chính nó 4 lần:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ trái(-3 \right)=81\]

Chúng tôi nhận được một số dương, vì tổng số điểm trừ trong sản phẩm là 4 và tất cả chúng sẽ triệt tiêu lẫn nhau (xét cho cùng, điểm trừ cho điểm trừ sẽ là điểm cộng). Sau đó chúng ta giải nén lại root:

Về nguyên tắc, dòng này không thể được viết ra, vì chắc chắn câu trả lời sẽ giống nhau. Những thứ kia. một gốc chẵn có cùng công suất chẵn sẽ “đốt cháy” các điểm trừ và theo nghĩa này, kết quả không thể phân biệt được với một mô-đun thông thường:

\[\begin(căn chỉnh) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3 \right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \right|=3. \\ \end(căn chỉnh)\]

Những phép tính này phù hợp tốt với định nghĩa nghiệm của bậc chẵn: kết quả luôn không âm và dấu căn cũng luôn chứa một số không âm. Nếu không thì gốc không được xác định.

Lưu ý về thủ tục

1. Ký hiệu $\sqrt(((a)^(2)))$ có nghĩa là trước tiên chúng ta bình phương số $a$ và sau đó lấy căn bậc hai của giá trị kết quả. Do đó, chúng ta có thể chắc chắn rằng luôn có một số không âm dưới dấu gốc, vì $((a)^(2))\ge 0$ trong mọi trường hợp;
2. Nhưng ngược lại, ký hiệu $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ có nghĩa là trước tiên chúng ta lấy căn của một số nhất định $a$ và chỉ sau đó bình phương kết quả. Do đó, số $a$ trong mọi trường hợp không thể âm - đây là yêu cầu bắt buộc có trong định nghĩa.

Vì vậy, trong mọi trường hợp, người ta không nên giảm bớt gốc và mức độ một cách thiếu suy nghĩ, từ đó được cho là “đơn giản hóa” cách diễn đạt ban đầu. Bởi vì nếu căn nguyên có số âm và số mũ của nó là số chẵn thì chúng ta sẽ gặp rất nhiều vấn đề.

Tuy nhiên, tất cả những vấn đề này chỉ liên quan đến các chỉ số chẵn.

Xóa dấu trừ ở dưới dấu gốc

Đương nhiên, các nghiệm có số mũ lẻ cũng có đặc điểm riêng, về nguyên tắc, không tồn tại với các số chẵn. Cụ thể là:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Nói tóm lại, bạn có thể loại bỏ dấu trừ dưới dấu của nghiệm bậc lẻ. Đây là một thuộc tính rất hữu ích cho phép bạn loại bỏ tất cả những nhược điểm:

\[\begin(căn chỉnh) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(căn chỉnh)\]

Thuộc tính đơn giản này giúp đơn giản hóa rất nhiều phép tính. Bây giờ bạn không cần phải lo lắng: điều gì sẽ xảy ra nếu một biểu thức phủ định bị ẩn dưới gốc, nhưng mức độ ở gốc lại là chẵn? Chỉ cần “vứt bỏ” tất cả các điểm trừ bên ngoài các gốc là đủ, sau đó chúng có thể được nhân với nhau, chia nhỏ và nói chung là làm nhiều điều đáng ngờ, mà trong trường hợp các gốc “cổ điển” chắc chắn sẽ dẫn chúng ta đến một lỗi.

Và ở đây, một định nghĩa khác xuất hiện - cùng một định nghĩa mà ở hầu hết các trường học người ta bắt đầu nghiên cứu về các biểu thức vô tỉ. Và nếu không có nó thì cuộc thảo luận của chúng ta sẽ không đầy đủ. Gặp!

Căn bậc số học

Hãy giả sử trong giây lát rằng dưới dấu căn chỉ có thể là số dương hoặc trong trường hợp cực đoan là bằng 0. Hãy quên đi các chỉ số chẵn/lẻ, hãy quên tất cả các định nghĩa được đưa ra ở trên - chúng ta sẽ chỉ làm việc với các số không âm. Vậy thì sao?

Và sau đó chúng ta sẽ có được một gốc số học - nó trùng lặp một phần với các định nghĩa “tiêu chuẩn” của chúng ta, nhưng vẫn khác với chúng.

Sự định nghĩa. Căn số học $n$th của một số không âm $a$ là một số không âm $b$ sao cho $((b)^(n))=a$.

Như chúng ta có thể thấy, chúng ta không còn quan tâm đến tính chẵn lẻ nữa. Thay vào đó, một hạn chế mới xuất hiện: biểu thức căn thức lúc này luôn không âm và bản thân nghiệm cũng không âm.

Để hiểu rõ hơn căn thức số học khác với căn thức thông thường như thế nào, hãy xem biểu đồ của parabol bình phương và parabol bậc ba mà chúng ta đã quen thuộc:

Vùng tìm kiếm gốc số học - số không âm

Như bạn có thể thấy, từ bây giờ chúng ta chỉ quan tâm đến những phần đồ thị nằm trong phần tư tọa độ đầu tiên - trong đó tọa độ $x$ và $y$ là dương (hoặc ít nhất là bằng 0). Bạn không cần phải nhìn vào chỉ báo để hiểu liệu chúng ta có quyền đặt số âm dưới gốc hay không. Bởi vì về nguyên tắc số âm không còn được xem xét nữa.

Bạn có thể hỏi: “Ồ, tại sao chúng ta lại cần một định nghĩa trung tính như vậy?” Hoặc: “Tại sao chúng ta không thể thực hiện được với định nghĩa tiêu chuẩn nêu trên?”

Vâng, tôi sẽ chỉ đưa ra một tính chất mà định nghĩa mới trở nên phù hợp. Ví dụ: quy tắc lũy thừa:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Xin lưu ý: chúng ta có thể nâng biểu thức căn thức lên bất kỳ lũy thừa nào, đồng thời nhân số mũ gốc với cùng lũy ​​thừa - và kết quả sẽ là cùng một số! Dưới đây là ví dụ:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \end(căn chỉnh)\]

Vậy vấn đề lớn là gì? Tại sao chúng ta không thể làm điều này trước đây? Đây là lý do tại sao. Hãy xem xét một biểu thức đơn giản: $\sqrt(-2)$ - con số này khá bình thường theo cách hiểu cổ điển của chúng ta, nhưng hoàn toàn không thể chấp nhận được từ quan điểm của căn số học. Hãy thử chuyển đổi nó:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Như bạn có thể thấy, trong trường hợp đầu tiên, chúng tôi đã loại bỏ dấu trừ khỏi căn thức (chúng tôi có mọi quyền vì số mũ là số lẻ) và trong trường hợp thứ hai, chúng tôi đã sử dụng công thức trên. Những thứ kia. Từ quan điểm toán học, mọi thứ đều được thực hiện theo các quy tắc.

Cái quái gì vậy?! Làm sao cùng một số có thể vừa dương vừa âm? Không đời nào. Chỉ là công thức lũy thừa, vốn hoạt động tốt với số dương và số 0, bắt đầu tạo ra sự sai lầm hoàn toàn trong trường hợp số âm.

Để thoát khỏi sự mơ hồ như vậy, các căn bậc số học đã được phát minh. Một bài học lớn riêng biệt được dành cho chúng, nơi chúng tôi xem xét chi tiết tất cả các thuộc tính của chúng. Vì vậy, bây giờ chúng ta sẽ không tập trung vào chúng - bài học hóa ra đã quá dài.

Căn bậc đại số: dành cho những ai muốn biết thêm

Tôi đã suy nghĩ rất lâu có nên đặt chủ đề này thành một đoạn riêng hay không. Cuối cùng tôi quyết định để nó ở đây. Tài liệu này dành cho những ai muốn hiểu rõ hơn về nguồn gốc - không còn ở cấp độ “trường học” trung bình nữa mà ở cấp độ gần với cấp độ Olympic.

Vì vậy: ngoài định nghĩa “cổ điển” về căn bậc $n$ của một số và cách chia liên quan thành số mũ chẵn và số lẻ, còn có một định nghĩa “người lớn” hơn không phụ thuộc chút nào vào tính chẵn lẻ và các yếu tố tinh tế khác. Đây được gọi là nghiệm đại số.

Sự định nghĩa. Căn bậc đại số $n$th của bất kỳ $a$ nào là tập hợp tất cả các số $b$ sao cho $((b)^(n))=a$. Không có chỉ định nào được thiết lập cho các gốc như vậy, vì vậy chúng tôi sẽ chỉ đặt một dấu gạch ngang lên trên:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

Sự khác biệt cơ bản so với định nghĩa tiêu chuẩn được đưa ra ở đầu bài học là căn đại số không phải là một số cụ thể mà là một tập hợp. Và vì chúng ta làm việc với số thực nên tập hợp này chỉ có ba loại:

1. Bộ trống. Xảy ra khi bạn cần tìm căn bậc đại số chẵn từ một số âm;
2. Một tập hợp bao gồm một phần tử duy nhất. Tất cả các nghiệm của lũy thừa lẻ, cũng như nghiệm của lũy thừa chẵn bằng 0, đều thuộc loại này;
3. Cuối cùng, tập hợp có thể bao gồm hai số - giống $((x)_(1))$ và $((x)_(2))=-((x)_(1))$ mà chúng ta đã thấy trên đồ thị hàm số bậc hai. Theo đó, sự sắp xếp như vậy chỉ có thể thực hiện được khi trích rút căn bậc chẵn từ một số dương.

Trường hợp cuối cùng xứng đáng được xem xét chi tiết hơn. Hãy đếm một vài ví dụ để hiểu sự khác biệt.

Ví dụ. Đánh giá các biểu thức:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Giải pháp. Biểu thức đầu tiên rất đơn giản:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Đó là hai số là một phần của tập hợp. Bởi vì mỗi người bình phương sẽ được bốn.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Ở đây chúng ta thấy một tập hợp chỉ bao gồm một số. Điều này khá hợp lý vì số mũ gốc là số lẻ.

Cuối cùng, biểu thức cuối cùng:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Chúng tôi đã nhận được một bộ trống. Bởi vì không có một số thực nào mà khi nâng lên lũy thừa thứ tư (tức là số chẵn!), sẽ cho chúng ta số âm −16.

Lưu ý cuối cùng. Xin lưu ý: không phải ngẫu nhiên mà tôi nhận thấy ở mọi nơi chúng ta làm việc với số thực. Bởi vì cũng có những số phức - hoàn toàn có thể tính được $\sqrt(-16)$ ở đó, và nhiều điều kỳ lạ khác.

Tuy nhiên, số phức hầu như không bao giờ xuất hiện trong các môn toán phổ thông hiện đại. Chúng đã bị xóa khỏi hầu hết sách giáo khoa vì các quan chức của chúng tôi cho rằng chủ đề này “quá khó hiểu”.

Thế thôi. Trong bài học tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét tất cả các thuộc tính chính của nghiệm và cuối cùng là học cách đơn giản hóa các biểu thức vô tỷ :)

Hãy giải phương trình bằng đồ thị (x lũy thừa sáu bằng một), để làm được điều này, chúng ta sẽ xây dựng các đồ thị hàm số sau trong một hệ tọa độ: (y bằng x lũy thừa sáu)

Như chúng ta thấy, chúng giao nhau tại hai điểm A và C, trong đó hoành độ của các điểm giao nhau là nghiệm của phương trình, tức là .(Hình 2)

Từ việc giải hai phương trình, chúng ta thấy rằng mỗi phương trình đều có hai nghiệm và các số này đối nhau.

Trong hai phương trình này, nghiệm được tìm thấy khá dễ dàng.

Xét phương trình 7 (x lũy thừa sáu bằng bảy) ( hình.3)

Chúng tôi xây dựng đồ thị của hàm số và y=7 trong một hệ tọa độ

Hình vẽ cho thấy phương trình có hai nghiệm x một và x hai nhưng không thể chỉ ra giá trị chính xác của chúng mà chỉ gần đúng: chúng nằm trên trục x, một nghiệm hơi lệch về bên trái điểm -1, và thứ hai hơi ở bên phải điểm 1.

Để giải quyết những tình huống tương tự, các nhà toán học đã đưa ra một ký hiệu mới, căn bậc sáu. Và với sự trợ giúp của ký hiệu này, các nghiệm của phương trình này có thể được viết như sau: (x một bằng căn bậc sáu của bảy và x hai bằng trừ căn bậc sáu của bảy).

Ta xét việc giải phương trình bậc lẻ

Và (Hình 4)

Như có thể thấy từ hình vẽ, mỗi phương trình có một nghiệm, nhưng trong phương trình đầu tiên, gốc là số nguyên hai, và trong phương trình thứ hai không thể chỉ ra chính xác giá trị, do đó, chúng tôi sẽ giới thiệu một ký hiệu cho nó (căn bậc năm của sáu).

Dựa trên các ví dụ được xem xét, chúng tôi sẽ rút ra kết luận và đưa ra định nghĩa:

1. Phương trình (x lũy thừa en bằng a), trong đó n(en) là số chẵn tự nhiên bất kỳ và có hai nghiệm:

(căn bậc n của a và trừ căn bậc n của a)

2. Phương trình (x mũ thứ en bằng a), trong đó n(en) là số lẻ tự nhiên bất kỳ và (a lớn hơn 0) có một nghiệm: (căn bậc n của số a)

3. Phương trình (x lũy thừa en bằng 0) có một nghiệm duy nhất x = 0 (x bằng 0).

Sự định nghĩa: Căn bậc n (thứ n) của số không âm a (n=2,3,34,5...) là một số không âm mà khi nâng lên lũy thừa thứ n sẽ tạo ra số a.

Con số này tượng trưng cho (căn bậc n của số a). Số a được gọi là số căn và số n (en) là chỉ số của nghiệm.

(Bạn đã học một trường hợp đặc biệt trong đại số lớp 8, khi n=2: người ta viết (căn bậc hai của a)).

Cần phải nhớ nếu

(nếu a là số không âm, n là số tự nhiên lớn hơn 1 thì căn bậc n của số a là số không âm, và nếu căn bậc n của số a được nâng lên lũy thừa thứ n, thì ta được số a, tức là số căn).

Nói cách khác, định nghĩa có thể được diễn đạt lại như sau:

(gốc bậc n của một số là số be, lũy thừa thứ n của số này bằng a).

Theo thời hạn chiết xuất rễ hiểu cách tìm căn nguyên của một số không âm. Nói cách khác, bạn cần thực hiện thao tác ngược lại để nâng lên mức công suất phù hợp. Chúng ta hãy nhìn vào bảng:

Hãy cẩn thận, theo định nghĩa căn bậc n, chỉ những số dương mới được xét trong bảng.

Xét ví dụ 1: Tính

a) (căn bậc sáu của sáu mươi bốn bằng hai, vì hai là số dương và hai lũy thừa thứ sáu bằng sáu mươi bốn).

(căn bậc ba của điểm 0 hai trăm mười sáu phần nghìn bằng 0 điểm sáu, vì số tìm được là dương và lũy thừa thứ ba là một số căn)

Vì =

d) Theo định nghĩa nghiệm bậc n, ta viết hai đẳng thức: và

Do đó, ta cần tìm một số có lũy thừa bốn là 55 nhưng hai lũy thừa bốn thì bằng mười sáu, tức là nhỏ hơn 55,

Và ba lũy thừa bốn bằng tám mươi mốt, lớn hơn 55, . Điều này có nghĩa là không thể chỉ ra giá trị chính xác nên chúng ta sẽ sử dụng dấu đẳng thức gần đúng với độ chính xác đến phần trăm.

Để trích xuất căn nguyên của số âm, hãy sử dụng định nghĩa thứ hai:

Định nghĩa: Căn bậc lẻ n của số âm a (n=3,5,7,...) là số âm m mà khi lũy thừa n sẽ thu được số a.

số a được gọi là số căn và số n (en) là chỉ số của nghiệm.

Đối với nghiệm bậc lẻ, có hai tính chất đúng:

(nếu a là số âm, n là số tự nhiên lẻ lớn hơn 1 thì căn bậc n của số a là số âm, và nếu căn bậc n của số a nâng lên lũy thừa thứ n thì ta có số a, tức là số căn).

Sau khi phân tích các định nghĩa và tính chất của căn bậc n của một số, chúng ta kết luận:

Căn chẵn chỉ có ý nghĩa (nghĩa là được xác định) đối với biểu thức căn thức không âm;

Căn số lẻ có ý nghĩa đối với mọi biểu thức căn thức

Bài học và trình bày chủ đề: Căn bậc n của số thực

Tài liệu bổ sung
Kính gửi người dùng, đừng quên để lại nhận xét, đánh giá, lời chúc của bạn! Tất cả các tài liệu đã được kiểm tra bằng chương trình chống vi-rút.

Máy trợ giảng và mô phỏng trong cửa hàng trực tuyến Integral lớp 11
Bài toán đại số có tham số, lớp 9–11
“Nhiệm vụ tương tác xây dựng trong không gian lớp 10, 11”

Căn bậc thứ n. Sự lặp lại của những gì đã được đề cập.

Các bạn ơi, chủ đề của bài học hôm nay có tên là "Căn bậc thứ N của một số thực".
Chúng ta đã học căn bậc hai của một số thực ở lớp 8. Căn bậc hai có liên quan đến một hàm có dạng $y=x^2$. Các bạn, các bạn có nhớ cách chúng ta tính căn bậc hai và nó có những tính chất gì không? Hãy tự lặp lại chủ đề này.
Chúng ta hãy xem một hàm có dạng $y=x^4$ và vẽ đồ thị.

Bây giờ hãy giải phương trình bằng đồ thị: $x^4=16$.
Hãy vẽ một đường thẳng $y=16$ trên đồ thị của hàm số và xem hai đồ thị của chúng ta giao nhau tại điểm nào.
Đồ thị của hàm số cho thấy rõ rằng chúng ta có hai nghiệm. Các hàm giao nhau tại hai điểm có tọa độ (-2;16) và (2;16). Trục hoành của các điểm là nghiệm của phương trình: $x_1=-2$ và $x_2=2$. Cũng dễ dàng tìm ra nghiệm của phương trình $x^4=1$; rõ ràng là $x_1=-1$ và $x_2=1$.
Phải làm gì nếu có một phương trình $x^4=7$.
Hãy vẽ đồ thị hàm của chúng ta:
Biểu đồ của chúng tôi cho thấy rõ ràng rằng phương trình cũng có hai nghiệm. Chúng đối xứng qua trục tọa độ, nghĩa là chúng đối diện nhau. Không thể tìm được nghiệm chính xác từ đồ thị hàm số. Chúng ta chỉ có thể nói rằng nghiệm của chúng ta có modulo nhỏ hơn 2 nhưng lớn hơn 1. Chúng ta cũng có thể nói rằng nghiệm của chúng ta là các số vô tỷ.
Đối mặt với một vấn đề như vậy, các nhà toán học cần phải mô tả nó. Họ đã giới thiệu một ký hiệu mới: $\sqrt()$, mà họ gọi là căn bậc bốn. Khi đó, nghiệm của phương trình $x^4=7$ sẽ được viết dưới dạng này: $x_1=-\sqrt(7)$ và $x_2=\sqrt(7)$. Nó đọc giống như căn bậc bốn của số bảy.
Chúng ta đã nói về một phương trình có dạng $x^4=a$, trong đó $a>0$ $(a=1,7,16)$. Chúng ta có thể xem xét các phương trình có dạng: $x^n=a$, trong đó $a>0$, n là số tự nhiên bất kỳ.
Chúng ta nên chú ý đến bậc của x, bậc chẵn hay lẻ - số nghiệm thay đổi. Hãy xem xét một ví dụ cụ thể. Hãy giải phương trình $x^5=8$. Hãy vẽ đồ thị hàm số:
Đồ thị của hàm số cho thấy rõ ràng rằng trong trường hợp của chúng ta, chúng ta chỉ có một nghiệm. Giải pháp thường được ký hiệu là $\sqrt(8)$. Giải phương trình dạng $x^5=a$ và chạy dọc theo toàn bộ trục tọa độ, không khó hiểu khi phương trình này luôn có một nghiệm. Trong trường hợp này, giá trị của a có thể nhỏ hơn 0.

Căn bậc thứ n. Sự định nghĩa

Sự định nghĩa. Căn bậc n ($n=2,3,4...$) của số không âm a là số không âm sao cho khi lũy thừa n sẽ thu được số a.

Số này được ký hiệu là $\sqrt[n](a)$. Số a gọi là số căn, n là số mũ gốc.

Căn bậc hai và bậc ba thường được gọi lần lượt là căn bậc hai và căn bậc ba. Chúng tôi đã nghiên cứu chúng ở lớp tám và lớp chín.
Nếu $а ≥0$, $n=2,3,4,5…$, thì:
1) $\sqrt[n](a) ≥0,$
2) $(\sqrt[n](a))^n=a.$
Phép toán tìm căn của một số không âm được gọi là "rút rễ".
Phép lũy thừa và trích rút gốc đều phụ thuộc như nhau:

Các bạn lưu ý rằng bảng chỉ chứa số dương. Trong định nghĩa, chúng ta đã quy định rằng căn nguyên chỉ được lấy từ số không âm a. Tiếp theo chúng ta sẽ làm rõ khi nào có thể trích ra căn nguyên của số âm a.

Căn bậc thứ n. Ví dụ về giải pháp

Tính toán:
a) $\sqrt(64)$.
Lời giải: $\sqrt(64)=8$, vì $8>0$ và $8^2=64$.

B) $\sqrt(0,064)$.
Giải pháp: $\sqrt(0,064)=0,4$, vì $0,4>0$ và $0,4^3=0,064$.

B) $\sqrt(0)$.
Lời giải: $\sqrt(0)=0$.

D) $\sqrt(34)$.
Giải: Trong ví dụ này, chúng ta không thể tìm ra giá trị chính xác, số của chúng ta là số vô tỷ. Nhưng chúng ta có thể nói rằng nó lớn hơn 2 và nhỏ hơn 3, vì 2 mũ 5 bằng 32 và 3 mũ 5 bằng 243. 34 nằm giữa các số này. Chúng ta có thể tìm thấy giá trị gần đúng bằng cách sử dụng máy tính có thể tính toán gốc của $\sqrt(34)≈2,02$ với độ chính xác đến hàng nghìn.
Trong định nghĩa của chúng tôi, chúng tôi đã đồng ý chỉ tính căn bậc n từ số dương. Ở đầu bài học, chúng ta đã thấy một ví dụ có thể trích xuất căn bậc n từ số âm. Chúng ta đã xem xét số mũ lẻ của hàm số và bây giờ hãy làm rõ một số vấn đề.

Sự định nghĩa. Căn của lũy thừa lẻ n (n=3,5,7,9...) từ số âm a là một số âm sao cho khi nâng lên lũy thừa n thì kết quả là a.

Đó là thông lệ để sử dụng các chỉ định tương tự.
Nếu $a 1) $\sqrt[n](a) 2) $(\sqrt[n](a))^n=a$.
Căn chẵn chỉ có ý nghĩa đối với số căn dương; căn lẻ có ý nghĩa đối với bất kỳ số căn nào.

Ví dụ.
a) Giải các phương trình: $\sqrt(3x+3)=-3$.
Giải: Nếu $\sqrt(y)=-3$, thì $y=-27$. Nghĩa là, cả hai vế của phương trình của chúng ta phải được lập phương.
$3x+3=-27$.
$3x=-30$.
$x=-10$.

B) Giải các phương trình: $\sqrt(2x-1)=1$.
Hãy nâng cả hai vế lên lũy thừa thứ tư:
$2x-1=1$.
$2х=2$.
$x=1$.

C) Giải các phương trình: $\sqrt(4x-1)=-5$.
Giải: Theo định nghĩa của ta, căn bậc chẵn chỉ có thể lấy từ số dương, còn ta cho số âm thì không có nghiệm.

D) Giải các phương trình: $\sqrt(x^2-7x+44)=2$.
Giải: Nâng cả hai vế của phương trình lên lũy thừa thứ năm:
$x^2-7x+44=32$.
$x^2-7x+12=0$.
$x_1=4$ và $x_2=3$.

Vấn đề cần giải quyết độc lập

1. Tính toán:
a) $\sqrt(81)$.
b) $\sqrt(0,0016)$.
c) $\sqrt(1)$.
d) $\sqrt(70)$.
2. Giải các phương trình:
a) $\sqrt(2x+6)=2$.
b) $\sqrt(3x-5)=-1$.
c) $\sqrt(4x-8)=-4$.
d) $\sqrt(x^2-8x+49)=2$.

Bằng cấp gốc N từ một số thực Một, Ở đâu N- số tự nhiên gọi là số thực x, N bậc thứ của nó bằng Một.

Bằng cấp gốc N từ trong số Mộtđược biểu thị bằng ký hiệu. Theo định nghĩa này.

Đi tìm gốc rễ N mức độ thứ trong số Một gọi là chiết xuất gốc. Con số MỘTđược gọi là số căn (biểu thức), N- chỉ số gốc. Đối với số lẻ N có một cái gốc N- lũy thừa thứ của số thực bất kỳ Một. Khi thậm chí N có một cái gốc N-chỉ sức mạnh thứ cho các số không âm Một. Để phân biệt gốc N mức độ thứ trong số Một, khái niệm căn số học được giới thiệu N mức độ thứ trong số Một.

Khái niệm nghiệm số học bậc N

Nếu và N- số tự nhiên lớn hơn 1 thì tồn tại và chỉ một số không âm X, sao cho đẳng thức được thỏa mãn. Số này X gọi là căn số học N lũy thừa của một số không âm MỘT và được chỉ định. Con số MỘTđược gọi là số căn, N- chỉ số gốc.

Vì vậy, theo định nghĩa, ký hiệu , ở đâu , có nghĩa là, thứ nhất, cái đó và thứ hai, cái đó, tức là. .

Khái niệm về mức độ với số mũ hợp lý

Bằng cấp với số mũ tự nhiên: let MỘT là số thực và N- số tự nhiên lớn hơn 1 N- sức mạnh thứ của số MỘT gọi công việc N các yếu tố, mỗi yếu tố đều bằng nhau MỘT, tức là . Con số MỘT- cơ sở của bằng cấp, N- số mũ. Một lũy thừa có số mũ bằng 0: theo định nghĩa, nếu , thì . Sức mạnh bằng 0 của một số 0 không có ý nghĩa Bậc có số mũ là số nguyên âm: được giả định theo định nghĩa nếu và N thì . Một mức độ có số mũ phân số: theo định nghĩa, nó được giả định nếu và N- số tự nhiên, tôi thì .

Hoạt động với rễ.

Trong tất cả các công thức dưới đây, ký hiệu này có nghĩa là căn số học (biểu thức căn thức là dương).

1. Căn tích của một số thừa số bằng tích của các nghiệm của các thừa số đó:

2. Căn của một tỉ số bằng tỉ số của các nghiệm của số bị chia và số chia:

3. Khi nâng căn số lên lũy thừa, chỉ cần nâng số căn lên lũy thừa này là đủ:

4. Nếu bạn tăng bậc căn n lần, đồng thời nâng số căn lên lũy thừa thứ n thì giá trị của căn sẽ không thay đổi:

5. Nếu giảm bậc căn bậc n lần và đồng thời rút căn bậc n của số căn thì giá trị của căn căn sẽ không thay đổi:

Mở rộng khái niệm về mức độ. Cho đến nay chúng ta chỉ xét độ với số mũ tự nhiên; nhưng các phép toán với lũy thừa và nghiệm cũng có thể dẫn đến số mũ âm, số 0 và phân số. Tất cả những số mũ này yêu cầu định nghĩa bổ sung.

Một mức độ với số mũ âm. Mũ của một số nhất định có số mũ âm (số nguyên) được định nghĩa bằng số chia cho lũy thừa của số đó có số mũ bằng giá trị tuyệt đối của số mũ âm:

Bây giờ công thức a m: a n = a m - n có thể được sử dụng không chỉ cho m lớn hơn n mà còn cho m nhỏ hơn n.

VÍ DỤ a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Nếu chúng ta muốn công thức a m: a n = a m - n có giá trị với m = n, chúng ta cần định nghĩa độ 0.

Một mức độ có chỉ số bằng 0. Sức mạnh của bất kỳ số nào khác 0 có số mũ bằng 0 là 1.

VÍ DỤ. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3/5) 0 = 1.

Bằng cấp với số mũ phân số. Để nâng số thực a lên lũy thừa m / n, bạn cần trích căn bậc n của lũy thừa thứ m của số a này:

Về những biểu hiện không có ý nghĩa. Có một số biểu hiện như vậy.

Trường hợp 1.

Trường hợp ≠ 0 không tồn tại.

Trong thực tế, nếu chúng ta giả sử rằng x là một số nhất định thì theo định nghĩa của phép chia, chúng ta có: a = 0 x, tức là. a = 0, mâu thuẫn với điều kiện: a ≠ 0

Trường hợp 2.

Bất kỳ số nào.

Thật ra, nếu ta giả sử biểu thức này bằng một số x nào đó thì theo định nghĩa của phép chia ta có: 0 = 0 · x. Nhưng đẳng thức này đúng với mọi số x, đó là điều cần phải chứng minh.

Thật sự,

Giải pháp Hãy xem xét ba trường hợp chính:

1) x = 0 – giá trị này không thỏa mãn phương trình này

2) với x > 0 ta có: x / x = 1, tức là 1 = 1, nghĩa là x là số bất kỳ; nhưng xét rằng trong trường hợp của chúng ta x > 0, câu trả lời là x > 0;

3) tại x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

trong trường hợp này không có giải pháp. Do đó x > 0.