Невозможный треугольник. Что нужно знать про треугольник Пенроуза? Как сделать невозможный треугольник из бумаги схема

Невозможное все-таки возможно. И яркое подтверждение тому - невозможный треугольник Пенроуза. Открытый еще в прошлом веке, он до настоящего время часто встречается в научной литературе. И как бы это удивительно ни звучало, но его можно изготовить даже самостоятельно. И сделать это совсем несложно. Многие любители рисовать или собирать оригами уже давно смогли это сделать.

Значение треугольника Пенроуза

Существует несколько названий данной фигуры. Одни называют ее невозможным треугольником, другие - просто трибаром. Но чаще всего можно встретить определение именно «треугольник Пенроуза».

Понимают под данными определениями одну из основных невозможных фигур. Если судить по названию, то получить подобную фигуру в реальности невозможно. Но на практике было доказано, что сделать это все-таки можно. Вот только форму треугольника фигура будет принимать, если смотреть на нее с определенной точки под нужным углом. Со всех остальных сторон фигура вполне реальная. Она представляет собой три ребра куба. И изготовить подобную конструкцию легко.

История открытия

Треугольник Пенроуза был открыт в далеком 1934 году художником из Швеции Оскаром Реутерсвардом. Фигура была представлена в виде собранных вместе кубиков. В дальнейшем художника стали называть «отцом невозможных фигур».

Возможно, рисунок Реутерсварда так и остался бы малоизвестным. Но в 1954 году шведский математик Роджер Пенроуз написал статью о невозможных фигурах. Это стало вторым рождением треугольника. Правда, ученый представил его в более привычном виде. Он использовал не кубики, а балки. Три балки соединялись между собой под углом в 90 градусов. Отличие также было в том, что Реутерсвард использовал параллельную перспективу во время рисования. А Пенроуз применил перспективу линейного характера, что придало рисунку еще больше невозможности. Такой треугольник был опубликован в 1958 году в одном из британских журналов о психологии.

В 1961 году художник Мауриц Эшер (Голландия) создал одну из своих наиболее популярных литографий «Водопад». Создана она была под впечатлением, которое было вызвано статьей о невозможных фигурах.

В восьмидесятых годах прошлого столетия трибар и другие невозможные фигуры изображались на государственных почтовых марках Швеции. Продолжалось это на протяжении нескольких лет.

В конце прошлого века (а точнее в 1999 году) в Австралии была создана скульптура из алюминия, изображавшая невозможный треугольник Пенроуза. Она достигала в высоту 13 метров. Подобные скульптуры, только меньшие по размерам, встречаются и в других странах.

Невозможное в реальности

Как можно было уже догадаться, треугольник Пенроуза на самом деле не является треугольником в обычном понимании. Он представляет собой три грани куба. Но если смотреть с определенного угла, получается иллюзия треугольника за счет того, что на плоскости полностью совпадают 2 угла. Зрительно совмещается ближний от смотрящего и дальний углы.

Если быть внимательным, то можно догадаться, что трибар является не чем иным, как иллюзией. Реальный вид фигуры может выдать тень от нее. По ней видно, что на самом деле углы не соединяются. Ну и, конечно же, все становится понятно, если фигуру взять в руки.

Изготовление фигуры своими руками

Треугольник Пенроуза можно собрать самостоятельно. К примеру, из бумаги или картона. И помогут в этом схемы. Их нужно всего лишь распечатать и склеить. В Интернете представлено две схемы. Одна из них немного легче, другая - посложнее, но более популярная. Обе представлены на рисунках.

Треугольник Пенроуза станет интересным изделием, которое обязательно понравится гостям. Он точно не останется незамеченным. Первым этапом для его создания является подготовка схемы. Она переносится на бумагу (картон) с помощью принтера. А далее все еще проще. Ее нужно просто вырезать по периметру. На схеме уже имеются все необходимые линии. Удобнее будет работать с более плотной бумагой. Если схема распечатана на тонкой бумаге, а хочется чего-то поплотнее, заготовка просто прикладывается на выбранный материал и вырезается по контуру. Чтобы схема не сдвигалась, ее можно прикрепить скрепками.

Далее нужно определить те линии, по которым заготовка будет сгибаться. Как правило, на схеме она представлена пунктирной линией. Сгибаем деталь. Далее определяем места, которые подлежат склеиванию. Они промазываются клеем ПВА. Деталь соединяется в единую фигуру.

Деталь можно раскрасить. А можно изначально использовать цветной картон.

Приветствую вас уважаемые читатели блога сайт. На связи Рустам Закиров и у меня для вас очередная статья, тема которой как нарисовать треугольник Пенроуза. Сегодня я хочу вам показать как легко и просто можно нарисовать невозможный треугольник. Мы с вами нарисуем два рисунка этого треугольника, один будет обычный, а второй самый настоящий 3д рисунок. И все это будет на удивление просто. Настоящий 3д рисунок этого треугольника вы сможете . Сомневаюсь, что такое вам покажут где-то еще, поэтому читайте статью до конца и очень внимательно.

Для наших рисунков нам как всегда понадобятся: листок бумаги простые карандаши (желательно один «средний», «другой мягкий») и несколько цветных карандашей или фломастеров.

Как легко рисовать любые 3д рисунки.

Эту невозможный треугольник я вытащил вот из этой обычной картинки, которую просто нашел в интернете. Вот она.

А затем за пару минут с помощью перевел ее в 3д. Так можно переводить в 3д почти любые изображения. Кто хочет научиться так же, жмите сюда .

А мы переходим к нашему рисунку.

Рисуем обычный рисунок треугольник.

ШАГ №1. Переводим c экрана монитора.

Для того чтобы вам нарисовать треугольник, вам нужно будет сделать следующее. Вы берете ваш листок бумаги и прислоняете ее к треугольнику на экране монитора, и просто переводите его.

А так как наш треугольник совсем не сложный, достаточно поставить только основные точки во всех его углах.

А затем смотрим на оригинал и по соединяем эти точки при помощи линейки. У меня получилось вот так.

Все наш треугольник готов. Можно оставить так, но давайте мы его еще немножечко разукрасим. Я это сделал с помощью цветных карандашей. После того как мы полностью разукрасили наш треугольник, еще раз полностью обводим его простым мягким карандашом.

На этом наш обычный треугольник Пенроуза полностью готов, и мы переходим к этого же треугольника.

Рисуем 3д рисунок треугольник.

ШАГ №1. Переводим.

Действуем по той же самой схеме, как и с обычным рисунком. Я даю вам готовый, уже переведенный в 3д формат треугольник. Вот он.

А вы переводите его. Делаем все так же как с обычным рисунком. Вы берете свой листок, прислоняете его к на экране монитора, листок просвечивает, и вы просто переводите готовый 3д рисунок на свой листок.

Вот что вышло у меня.

Размер треугольника можно увеличить или уменьшить. Для этого нужно просто изменить масштаб вашего монитора. Зажмите клавишу Ctrl и покрутите колесико мышки.

Можно смело сказать, что наш 3д рисунок уже готов. Ушло на него у меня примерно 3 минуты. На этом в принципе можно смело закончить, но давайте еще разукрасим наш треугольник.

Дмитрий Раков

Наши глаза познавать не умеют
природу предметов.
А потому не навязывай им
заблуждений рассудка.

Тит Лукреций Кар

Расхожее выражение "обман зрения" по сути своей неверно. Глаза не могут обмануть нас, поскольку являются только промежуточным звеном между объектом и мозгом человека. Обман зрения обычно возникает не из-за того, что мы видим, а из-за того, что бессознательно рассуждаем и невольно заблуждаемся: "посредством глаза, а не глазом смотреть на мир умеет разум".

Одним из наиболее эффектных направлений художественного течения оптического искусства (op-art) является имп-арт (imp-art, impossible art) , основанный на изображении невозможных фигур. Невозможные объекты представляют собой рисунки на плоскости (любая плоскость двухмерна), изображающие трехмерные структуры, существование которых в реальном трехмерном мире невозможно. Классической и одной из самых простых фигур является невозможный треугольник.

В невозможном треугольнике каждый угол сам по себе является возможным, но парадокс возникает, когда мы рассматриваем его целиком. Стороны треугольника направлены одновременно и к зрителю, и от него, поэтому отдельные его части не могут образовать реальный трехмерный объект.

Собственно говоря, наш мозг интерпретирует рисунок на плоскости как трехмерную модель. Сознание задает "глубину", на которой находится каждая точка изображения. Наши представления о реальном мире сталкиваются с противоречием, с некоей непоследовательностью, и приходится делать некоторые допущения:

• прямые двухмерные линии интерпретируются как прямые трехмерные линии;
• двухмерные параллельные линии интерпретируются как трехмерные параллельные линии;
• острые и тупые углы интерпретируются как прямые углы в перспективе;
• внешние линии рассматриваются как граница формы. Эта внешняя граница чрезвычайно важна для построения полного изображения.

Человеческое сознание сначала создает общее изображение предмета, а затем рассматривает отдельные части. Каждый угол совместим с пространственной перспективой, но, воссоединившись, они образуют пространственный парадокс. Если закрыть любой из углов треугольника, то невозможность пропадает.

История невозможных фигур

Ошибки пространственного построения встречались у художников и тысячу лет тому назад. Но первым построившим и проанализировавшим невозможные объекты по праву считается шведский художник Оскар Рейтерсвэрд (Oscar Reutersvärd) , нарисовавший в 1934 г. первый невозможный треугольник, состоявший из девяти кубиков.

		"Москва", графика (тушь, карандаш), 50х70 см, 2003 г.

Независимо от Рейтерсвэрда английский математик и физик Роджер Пенроуз повторно открывает невозможный треугольник и публикует его изображение в британском журнале по психологии в 1958 г. В иллюзии использована "ложная перспектива". Иногда такую перспективу называют китайской, так как подобный способ рисования, когда глубина рисунка "двусмысленна", часто встречался в работах китайских художников.

На рисунке "Три улитки" маленький и большой кубы ориентированы не в нормальной изометрической проекции. Меньший по размерам куб сопрягается с большим по передним и задним сторонам, а значит, следуя трехмерной логике, он имеет такие же размеры некоторых сторон, что и большой. Сначала рисунок кажется реальным представлением твердого тела, но по мере анализа выявляются логические противоречия этого объекта.

Рисунок "Три улитки" продолжает традиции второй знаменитой невозможной фигуры - невозможного куба (ящика).

"IQ", графика (тушь, карандаш), 50х70 см, 2001 г.		"Вверх и вниз", М. Эшер

Сочетание различных объектов можно найти и в не совсем серьезном рисунке "IQ" (intelligence quotient - коэффициент интеллекта). Интересно, что некоторые люди не воспринимают невозможные объекты из-за того, что их сознание не способно отождествлять плоские картины с трехмерными объектами.

Дональд Е. Симанек высказал мнение, что понимание визуальных парадоксов является одним из признаков того вида творческого потенциала, которым обладают лучшие математики, ученые и художники. Многие работы с парадоксальными объектами можно отнести к "интеллектуальным математическим играм". Современная наука говорит о 7-мерной или 26-мерной модели мира. Моделировать подобный мир можно только с помощью математических формул, человек представить его просто не в состоянии. И здесь оказываются полезными невозможные фигуры. С философской точки зрения они служат напоминанием о том, что любые явления (в системном анализе, науке, политике, экономике и т. д.) следует рассматривать во всех сложных и неочевидных взаимосвязях.

Разнообразные невозможные (и возможные) объекты представлены на картине "Невозможный алфавит".

Третьей популярной невозможной фигурой является невероятная лестница, созданная Пенроузом. Вы будете по ней непрерывно или подниматься (против часовой стрелки) или спускаться (по часовой стрелке). Модель Пенроуза легла в основу знаменитой картины М. Эшера "Вверх и вниз" ("Ascending and Descending") .

Существует еще одна группа объектов, реализовать которые не получится. Классической фигурой является невозможный трезубец, или "чертова вилка" .

При внимательном изучении картинки можно заметить, что три зубца постепенно переходят в два на едином основании, что приводит к конфликту. Мы сравниваем количество зубцов сверху и снизу и приходим к выводу о невозможности объекта.

Есть ли какая-либо более существенная польза от невозможных рисунков, чем игра ума? В некоторых больницах специально развешивают изображения невозможных объектов, поскольку их рассматривание способно надолго занять больных. Логично было бы развесить такие рисунки в кассах, в милиции и прочих местах, где ожидание своей очереди длится порой целую вечность. Рисунки могли бы выступить в роли этаких "хронофагов", т.е. пожирателей времени.

Известная также под названиями невозможный треугольник и трибар .

История

Широкую известность эта фигура обрела после опубликования статьи о невозможных фигурах в Британском журнале психологии английским математиком Роджером Пенроузом в 1958 году . В этой статье невозможный треугольник был изображен в наиболее общей форме - в виде трёх балок, соединённых друг с другом под прямыми углами. Под влиянием этой статьи в голландский художник Мауриц Эшер создал одну из своих знаменитых литографий «Водопад ».

Скульптуры

13-метровая скульптура невозможного треугольника из алюминия была воздвигнута в 1999 году в городе Перт (Австралия)

Deutsches Technikmuseum Berlin February 2008 0004.JPG

Та же скульптура при изменении точки просмотра

Другие фигуры

Хотя вполне возможно построение аналогов треугольника Пенроуза на основе правильных многоугольников, визуальный эффект от них не столь впечатляющий. При увеличении количества сторон объект кажется просто искривлённым или скрученным.

См. также

• Три зайца (англ. Three hares )

Напишите отзыв о статье "Треугольник Пенроуза"

Отрывок, характеризующий Треугольник Пенроуза

Высказав все, что ему было приказано, Балашев сказал, что император Александр желает мира, но не приступит к переговорам иначе, как с тем условием, чтобы… Тут Балашев замялся: он вспомнил те слова, которые император Александр не написал в письме, но которые непременно приказал вставить в рескрипт Салтыкову и которые приказал Балашеву передать Наполеону. Балашев помнил про эти слова: «пока ни один вооруженный неприятель не останется на земле русской», но какое то сложное чувство удержало его. Он не мог сказать этих слов, хотя и хотел это сделать. Он замялся и сказал: с условием, чтобы французские войска отступили за Неман.
Наполеон заметил смущение Балашева при высказывании последних слов; лицо его дрогнуло, левая икра ноги начала мерно дрожать. Не сходя с места, он голосом, более высоким и поспешным, чем прежде, начал говорить. Во время последующей речи Балашев, не раз опуская глаза, невольно наблюдал дрожанье икры в левой ноге Наполеона, которое тем более усиливалось, чем более он возвышал голос.
– Я желаю мира не менее императора Александра, – начал он. – Не я ли осьмнадцать месяцев делаю все, чтобы получить его? Я осьмнадцать месяцев жду объяснений. Но для того, чтобы начать переговоры, чего же требуют от меня? – сказал он, нахмурившись и делая энергически вопросительный жест своей маленькой белой и пухлой рукой.
– Отступления войск за Неман, государь, – сказал Балашев.
– За Неман? – повторил Наполеон. – Так теперь вы хотите, чтобы отступили за Неман – только за Неман? – повторил Наполеон, прямо взглянув на Балашева.
Балашев почтительно наклонил голову.
Вместо требования четыре месяца тому назад отступить из Номерании, теперь требовали отступить только за Неман. Наполеон быстро повернулся и стал ходить по комнате.
– Вы говорите, что от меня требуют отступления за Неман для начатия переговоров; но от меня требовали точно так же два месяца тому назад отступления за Одер и Вислу, и, несмотря на то, вы согласны вести переговоры.
Он молча прошел от одного угла комнаты до другого и опять остановился против Балашева. Лицо его как будто окаменело в своем строгом выражении, и левая нога дрожала еще быстрее, чем прежде. Это дрожанье левой икры Наполеон знал за собой. La vibration de mon mollet gauche est un grand signe chez moi, [Дрожание моей левой икры есть великий признак,] – говорил он впоследствии.