1 ringjoone kesknurga definitsioonikaar. Sissekirjutatud ja piiritletud ringid. Teoreem lõikuvate akordide segmentide korrutisest

Ring- geomeetriline kujund, mis koosneb kõigist tasandi punktidest, mis asuvad antud punktist etteantud kaugusel.

Seda punkti (O) nimetatakse ringi keskpunkt.
Ringi raadius- see on segment, mis ühendab keskpunkti ringi mis tahes punktiga. Kõik raadiused on sama pikkusega (definitsiooni järgi).
Akord- segment, mis ühendab kahte ringi punkti. Ringjoone keskpunkti läbivat akordi nimetatakse läbimõõt. Ringi keskpunkt on mis tahes läbimõõdu keskpunkt.
Ringi kaks punkti jagavad selle kaheks osaks. Kõiki neid osi nimetatakse ringi kaar. Kaart nimetatakse poolring, kui selle otsa ühendav segment on läbimõõduga.
Ühiku poolringi pikkust tähistatakse π .
Kahe ühiste otstega ringikaare astmemõõtude summa on võrdne 360º.
Ringjoonega piiratud tasandi osa nimetatakse ümberringi.
Ringikujuline sektor- ringjoone osa, mis on piiratud kaare ja kahe raadiusega, mis ühendavad kaare otsad ringi keskpunktiga. Kaart, mis piirab sektorit, nimetatakse sektori kaar.
Nimetatakse kahte ringi, millel on ühine keskpunkt kontsentriline.
Nimetatakse kahte täisnurga all ristuvat ringi ortogonaalne.

Sirge ja ringi suhteline asend

1. Kui kaugus ringi keskpunktist sirgjooneni on väiksem kui ringi raadius ( d), siis on sirgel ja ringil kaks ühist punkti. Sel juhul kutsutakse rida sekant ringi suhtes.
2. Kui kaugus ringi keskpunktist sirgjooneni on võrdne ringi raadiusega, siis on sirgel ja ringil ainult üks ühine punkt. Seda rida nimetatakse puutuja ringiga, ja nende ühispunkti nimetatakse sirge ja ringi vaheline puutepunkt.
3. Kui kaugus ringi keskpunktist sirgjooneni on suurem kui ringi raadius, siis sirgjoon ja ringjoon puuduvad ühised punktid
.

Kesk- ja sissekirjutatud nurgad

Kesknurk on nurk, mille tipp on ringi keskel.
Sissekirjutatud nurk- nurk, mille tipp asub ringil ja mille küljed lõikuvad ringiga.

Sissekirjutatud nurga teoreem

Sissekirjutatud nurka mõõdetakse poole kaarega, millele see langeb.

• Järeldus 1.
  Sama kaare all olevad sisse kirjutatud nurgad on võrdsed.


• Järeldus 2.
  Poolringiga ümbritsetud sisse kirjutatud nurk on täisnurk.

Teoreem lõikuvate akordide segmentide korrutisest.

Kui ringjoone kaks kõõlu lõikuvad, siis on ühe kõõlu lõikude korrutis võrdne teise kõõlu lõikude korrutisega.

Põhivalemid

• Ümbermõõt:

• Ringkaare pikkus:

• Läbimõõt:

• Ringkaare pikkus:

• Ringi pindala:

• Ringikujulise sektori pindala:

Ringjoone võrrand

• Ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis on raadiusega ringi võrrand r tsentreeritud punkti C(x o;y o) on kujul:

• Raadiusega r ringi võrrand, mille keskpunkt on alguspunktis, on järgmine:

See artikkel sisaldab minimaalset teavet ringi kohta, mis on vajalik matemaatika ühtse riigieksami edukaks sooritamiseks.

Ümbermõõt on punktide kogum, mis asuvad antud punktist samal kaugusel ja mida nimetatakse ringi keskpunktiks.

Mis tahes punktis, mis asub ringil, on võrdsus täidetud (lõigu pikkus võrdub ringi raadiusega.

Nimetatakse sirglõiku, mis ühendab kahte ringi punkti akord.

Ringjoone keskpunkti läbivat akordi nimetatakse läbimõõt ring() .

Ümbermõõt:

Ringi pindala:

Ringi kaar:

Kahe punkti vahele jäävat ringi osa nimetatakse kaar ringid. Ringjoone kaks punkti määravad kaks kaare. Akord allub kahele kaarele: ja . Võrdsed akordid moodustavad võrdsed kaared.

Nurka kahe raadiuse vahel nimetatakse kesknurk :

Kaare pikkuse leidmiseks teeme proportsiooni:

a) nurk on antud kraadides:

b) nurk on antud radiaanides:

Diameeter risti kõõluga , jagab selle akordi ja kaared, mida see jagab, pooleks:

Kui akordid Ja ringid ristuvad punktis , siis nende akordilõikude korrutised, milleks need punktiga on jagatud, on üksteisega võrdsed:

Ringi puutuja.

Nimetatakse sirget, millel on ringjoonega üks ühine punkt puutuja ringile. Nimetatakse sirget, millel on ringjoonega kaks ühist punkti sekant

Ringjoone puutuja on puutepunktini tõmmatud raadiusega risti.

Kui antud punktist ringjoonele tõmmata kaks puutujat, siis puutuja segmendid on üksteisega võrdsed ja ringi keskpunkt asub selle punkti tipuga nurga poolitajal:

Kui etteantud punktist ringile tõmmata puutuja ja sekant, siis puutuja lõigu pikkuse ruut on võrdne kogu lõikelõigu ja selle välimise osa korrutisega :

Tagajärg: ühe sekandi kogu segmendi ja selle välisosa korrutis on võrdne teise sekandi kogu segmendi ja selle välisosa korrutisega:

Nurgad ringis.

Kesknurga kraadimõõt on võrdne kaare kraadiga, millel see toetub:

Nimetatakse nurka, mille tipp asub ringil ja mille küljed sisaldavad kõõlu sisse kirjutatud nurk . Sisse kirjutatud nurka mõõdetakse poole kaarega, millel see toetub:

∠∠

Läbimõõduga sisse kirjutatud nurk on õige:

∠∠∠

Ühe kaarega sisse kirjutatud nurgad on võrdsed :

Ühe kõõlu sisse kirjutatud nurgad on võrdsed või nende summa on võrdne

∠∠

Antud alusega kolmnurkade tipud, mille tipus on võrdsed nurgad, asuvad samal ringil:

Nurk kahe akordi vahel (nurk, mille tipp on ringi sees) võrdub poolega antud nurga sees ja vertikaalnurga sees olevate ringikaarede nurkväärtuste summast.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Nurk kahe sektsiooni vahel (nurk, mille tipp on ringist väljaspool) on võrdne nurga sees olevate ringikaarede nurkväärtuste poole erinevusega.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Sisse kirjutatud ring.

Ringi kutsutakse kirjutatud hulknurka , kui see puudutab selle külgi. Sissekirjutatud ringi keskpunkt asub hulknurga nurkade poolitajate lõikepunktis.

Iga hulknurk ei mahu ringiga.

Hulknurga pindala, kuhu on kantud ring saab leida valemi abil

siin on hulknurga poolperimeeter ja sisse kirjutatud ringi raadius.

Siit sisse kirjutatud ringi raadius võrdub

Kui ringjoon on kantud kumerasse nelinurka, siis on vastaskülgede pikkuste summad võrdsed . Ja vastupidi: kui kumeras nelinurgas on vastaskülgede pikkuste summad võrdsed, siis saab nelinurka kirjutada ringi:

Saate kirjutada ringi igasse kolmnurka ja ainult ühte. Siseringjoone keskpunkt asub kolmnurga sisenurkade poolitajate lõikepunktis.

Sisse kirjutatud ringi raadius võrdne . Siin

Piiratud ring.

Ringi kutsutakse kirjeldatud hulknurga kohta , kui see läbib kõik hulknurga tipud. Ümberringjoone keskpunkt asub hulknurga külgede risti poolitajate lõikepunktis. Raadius arvutatakse ringi raadiusena, mis on ümbritsetud antud hulknurga mis tahes kolme tipuga määratletud kolmnurgaga:

Ringjoont saab kirjeldada ümber nelinurga siis ja ainult siis, kui selle vastasnurkade summa on võrdne .

Mis tahes kolmnurga ümber saate kirjeldada ringi ja ainult ühte. Selle keskpunkt asub kolmnurga külgede risti poolitajate lõikepunktis:

Circumradius arvutatakse valemite abil:

Kus on kolmnurga külgede pikkused ja selle pindala.

Ptolemaiose teoreem

Tsüklilise nelinurga korral võrdub diagonaalide korrutis selle vastaskülgede korrutistega:

2. definitsioon

Hulknurka, mis vastab definitsiooni 1 tingimusele, nimetatakse ringi ümber piiratuks.

Joonis 1. Sisse kirjutatud ring

Teoreem 1 (kolmnurka kirjutatud ringi kohta)

1. teoreem

Saate kirjutada ringi igasse kolmnurka ja ainult ühte.

Tõestus.

Vaatleme kolmnurka $ABC$. Joonestame sellesse poolitajad, mis lõikuvad punktis $O$ ja tõmbame sellest kolmnurga külgedele risti (joonis 2)

Joonis 2. 1. teoreemi illustratsioon

Olemasolu: Joonistame ringi keskpunktiga $O$ ja raadiusega $OK.\ $Kuna punkt $O$ asub kolmel poolitajal, on see kolmnurga $ABC$ külgedest võrdsel kaugusel. See tähendab, $OM=OK=OL$. Järelikult läbib konstrueeritud ringjoon ka punkte $M\ ja\ L$. Kuna $OM,OK\ ja\OL$ on risti kolmnurga külgedega, siis ringjoone puutuja teoreemi järgi puudutab konstrueeritud ring kolmnurga kõiki kolme külge. Seetõttu saab kolmnurga meelevaldsuse tõttu ringjoone kirjutada igasse kolmnurka.

Unikaalsus: oletame, et kolmnurka $ABC$ saab kirjutada teise ringi, mille keskpunkt on punktis $O"$. Selle kese on kolmnurga külgedest võrdsel kaugusel ja langeb kokku punktiga $O$ ja selle raadius on võrdne pikkus $OK$ Aga siis see ring langeb kokku esimesega.

Teoreem on tõestatud.

Järeldus 1: Kolmnurga sisse kirjutatud ringi keskpunkt asub selle poolitajate lõikepunktis.

Siin on veel mõned faktid, mis on seotud sisse kirjutatud ringi kontseptsiooniga:

Iga nelinurk ei mahu ringiga.

Igas piiratud nelinurgas on vastaskülgede summad võrdsed.

Kui kumera nelinurga vastaskülgede summad on võrdsed, saab sellesse kirjutada ringjoone.

3. määratlus

Kui hulknurga kõik tipud asuvad ringil, siis nimetatakse ringi ümber hulknurga ümberpiiratuks (joonis 3).

4. definitsioon

Hulknurk, mis vastab 2. definitsioonile, on kirjutatud ringi sisse.

Joonis 3. Piiratud ring

Teoreem 2 (kolmnurga ümbermõõdu kohta)

2. teoreem

Mis tahes kolmnurga ümber saate kirjeldada ringi ja ainult ühte.

Tõestus.

Vaatleme kolmnurka $ABC$. Joonestame sellesse risti poolitajad, mis ristuvad punktis $O$ ja ühendame selle kolmnurga tippudega (joonis 4)

Joonis 4. 2. teoreemi illustratsioon

Olemasolu: Ehitame ringi, mille keskpunkt on punktis $O$ ja raadius $OC$. Punkt $O$ on kolmnurga tippudest võrdsel kaugusel, st $OA=OB=OC$. Järelikult läbib konstrueeritud ringjoon antud kolmnurga kõiki tippe, mis tähendab, et see on selle kolmnurga ümber piiratud.

Unikaalsus: oletame, et ümber kolmnurga $ABC$ saab kirjeldada teist ringi, mille keskpunkt on punktis $O"$. Selle kese on kolmnurga tippudest võrdsel kaugusel ja langeb kokku punktiga $O$ ja on raadius, mis on võrdne pikkusega $OC. $ Aga siis see ring langeb kokku esimesega.

Teoreem on tõestatud.

Järeldus 1: Kolmnurga ümber piiritletud ringi keskpunkt langeb kokku selle pooliste ristide lõikepunktiga.

Siin on veel mõned faktid, mis on seotud ümberümbruse kontseptsiooniga:

Alati ei ole võimalik kirjeldada ringjoont ümber nelinurga.

Igas tsüklilises nelinurgas on vastasnurkade summa $(180)^0$.

Kui nelinurga vastasnurkade summa on $(180)^0$, siis saab selle ümber tõmmata ringi.

Näide sissekirjutatud ja piiritletud ringide mõistete probleemist

Näide 1

Võrdhaarse kolmnurga alus on 8 cm ja külg 5 cm Leia sisse kirjutatud ringi raadius.

Lahendus.

Vaatleme kolmnurka $ABC$. Järeldus 1 järgi teame, et siseringjoone keskpunkt asub poolitajate ristumiskohas. Joonistame poolitajad $AK$ ja $BM$, mis lõikuvad punktis $O$. Joonistame punktist $O$ külje $BC$ külge risti $OH$. Joonistame pildi:

Joonis 5.

Kuna kolmnurk on võrdhaarne, siis $BM$ on nii mediaan kui ka kõrgus. Pythagorase teoreemi järgi $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\ sqrt (25-16)=\sqrt(9)=3 $. $OM=OH=r$ -- sisse kirjutatud ringjoone nõutav raadius. Kuna $MC$ ja $CH$ on lõikuvate puutujate segmendid, siis lõikuvate puutujate teoreemi järgi on $CH=MC=4\ cm$. Seetõttu $BH=5-4=1\ cm$. $BO=3-r$. Kolmnurgast $OHB$ saame Pythagorase teoreemi kohaselt:

\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \

Vastus:$\frac(4)(3)$.

Selles artiklis analüüsime üksikasjalikult arvuringi määratlust, selgitame välja selle peamise omaduse ja korraldame arvud 1,2,3 jne. Teave selle kohta, kuidas ringile teisi numbreid märkida (näiteks \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) ( 6)\)) mõistab .

Numbriring nimetatakse ühiku raadiusega ringiks, mille punktid vastavad , mis on korraldatud vastavalt järgmistele reeglitele:

1) alguspunkt on ringjoone äärmises parempoolses punktis;

2) vastupäeva - positiivne suund; päripäeva – negatiivne;

3) Kui joonistame ringile kauguse \(t\) positiivses suunas, siis jõuame punkti, mille väärtus on \(t\);

4) Kui joonistame ringile kauguse \(t\) negatiivses suunas, siis jõuame punkti, mille väärtus on \(–t\).

Miks nimetatakse ringi numbriringiks?
Sest sellel on numbrid peal. Sel moel on ring sarnane arvteljega - ringil, nagu teljel, on iga numbri jaoks kindel punkt.

Miks teada, mis on arvuring?
Numbriringi abil määratakse siinuste, koosinuste, puutujate ja kotangentide väärtused. Seetõttu peate trigonomeetria tundmiseks ja ühtse riigieksami sooritamiseks 60+ punktiga mõistma, mis on arvuring ja kuidas sellele punkte panna.

Mida tähendavad definitsioonis sõnad “...raadiuse ühiku...”?
See tähendab, et selle ringi raadius on võrdne \(1\). Ja kui konstrueerida selline ring, mille keskpunkt on lähtepunktis, siis lõikub see telgedega punktides \(1\) ja \(-1\).

See ei pea olema väikeseks joonistatud, jaotuste “suurust” saab muuta mööda telge, siis on pilt suurem (vt allpool).

Miks on raadius täpselt üks? See on mugavam, kuna sel juhul valemiga \(l=2πR\) ümbermõõdu arvutamisel saame:

Arvringi pikkus on \(2π\) või ligikaudu \(6,28\).

Mida tähendab “...mille punktid vastavad reaalarvudele”?
Nagu me eespool ütlesime, on iga reaalarvu numbriringil kindlasti selle "koht" - punkt, mis vastab sellele numbrile.

Miks määrata arvuringi alguspunkt ja suund?
Numbriringi põhieesmärk on määrata iga numbri jaoks üheselt selle punkt. Kuid kuidas saate määrata, kuhu punkti panna, kui te ei tea, kust lugeda ja kuhu liikuda?

Siinkohal on oluline mitte segi ajada koordinaatsirge ja arvuringi alguspunkti - need on kaks erinevat võrdlussüsteemi! Ja ärge ajage segamini \(1\) teljel \(x\) ja \(0\) ringil - need on punktid erinevatel objektidel.

Millised punktid vastavad numbritele \(1\), \(2\) jne?

Pea meeles, me eeldasime, et arvuringi raadius on \(1\)? See on meie ühikuline segment (analoogiliselt numbriteljega), mille joonistame ringile.

Numbrile 1 vastava numbriringi punkti märkimiseks peate minema 0-st raadiusega võrdsele kaugusele positiivses suunas.

Ringjoonel arvule \(2\) vastava punkti märkimiseks peate läbima lähtepunktist kahe raadiusega võrdse vahemaa, nii et \(3\) on vahemaa, mis võrdub kolme raadiusega jne.

Seda pilti vaadates võib teil tekkida 2 küsimust:
1. Mis juhtub, kui ring "lõpeb" (st teeme täispöörde)?
Vastus: lähme teisele ringile! Ja kui teine ​​on läbi, läheme kolmanda juurde ja nii edasi. Seetõttu saab ringile joonistada lõpmatu arvu arve.

2. Kuhu jäävad negatiivsed arvud?
Vastus: just seal! Neid saab ka järjestada, lugedes nullist vajaliku arvu raadiusi, kuid nüüd negatiivses suunas.

Kahjuks on täisarvude tähistamine arvuringil keeruline. Selle põhjuseks on asjaolu, et arvuringi pikkus ei võrdu täisarvuga: \(2π\). Ja kõige mugavamates kohtades (telgede ristumispunktides) on ka murded, mitte täisarvud

Loeng: Ring ja ring

Ring on suletud kõver, mille kõik punktid on keskpunktist samal kaugusel.

Igapäevaelus olete ringi näinud rohkem kui korra. Täpselt seda kirjeldab tunni- ja sekundiosuti ning see on võimlemisrõngas ringikujuline.

Kujutage nüüd ette, et joonistasite paberile ringi ja tahtsite seda värvida.

Niisiis, kogu kaunistatud ruum, mis on piiratud ringiga, on ring.

Keskpunkt on punkt, mis on võrdsel kaugusel kõigist ringi punktidest. Ringi ja ringi keskpunkt on tähistatud tähega O.

Raadius on kaugus tsentrist ringini (R).

Diameeter on keskpunkti läbiv sirglõik, mis ühendab kõiki ringi punkte (d). Lisaks on läbimõõt võrdne kahe raadiusega: d = 2R.

Kõõl on segment, mis ühendab mis tahes kahte punkti ringil. Diameeter on akordi erijuhtum.

Ümbermõõdu leidmiseks peate kasutama valemit:

l=2 πR

Pange tähele, et ümbermõõt ja pindala sõltuvad ainult ringi raadiusest.

Ringi pindala saab leida järgmise valemi abil:

S=πR2.

Tahaksin juhtida teie tähelepanu numbrile "Pi". See väärtus leiti ringi abil. Selleks jagati selle pikkus kaheks raadiuseks ja nii saadi arv “Pi”.

Kui ring on jagatud kahe raadiusega osadeks, nimetatakse selliseid osi sektoriteks. Igal sektoril on oma kraadimõõt – kaare kraadimõõt, millele see toetub.

Kaare pikkuse leidmiseks peate kasutama valemit:

2. Radiaani mõõtmise kasutamine:

Kui teatud nurga tipp toetub ringi keskpunktile ja selle kiired lõikavad ringi, siis nimetatakse sellist nurka keskpunktiks.

Kui mingid kaks akordi mingil hetkel lõikuvad, on nende lõigud võrdelised: