Aritmeetilise juure näited. Ruutjuur. Põhjalik juhend (2019)

Aritmeetiline juur teine ​​aste

Definitsioon 1

$a$ teine ​​juur (või ruutjuur). helistada numbrile, mis ruudus võrdub $a$-ga.

Näide 1

$7^2=7 \cdot 7=49$, mis tähendab, et arv $7$ on arvu $49$ 2. juur;

$0.9^2=0.9 \cdot 0.9=0.81$, mis tähendab, et arv $0.9$ on arvu $0.81$ 2. juur;

$1^2=1 \cdot 1=1$, mis tähendab, et arv $1$ on arvu $1$ 2. juur.

Märkus 2

Lihtsamalt öeldes suvalise numbri $a korral

$a=b^2$ negatiivse $a$ puhul on vale, sest $a=b^2$ ei saa olla negatiivne ühegi väärtuse $b$ väärtuse puhul.

Sellest võib järeldada, et reaalarvude puhul ei saa olla negatiivse arvu 2. juur.

Märkus 3

Sest $0^2=0 \cdot 0=0$, siis definitsioonist järeldub, et null on nulli 2. juur.

2. definitsioon

Arvu $a$ 2. astme aritmeetiline juur($a \ge 0$) on mittenegatiivne arv, mis ruudus võrdub $a$.

Nimetatakse ka 2. astme juuri ruutjuured.

Arvu $a$ 2. astme aritmeetiline juur on tähistatud kui $\sqrt(a)$ või näete märge $\sqrt(a)$. Kuid enamasti on ruutjuure arv $2$ juureksponent– täpsustamata. Märk “$\sqrt( )$” on 2. astme aritmeetilise juure märk, mida nimetatakse ka “ radikaalne märk" Mõisted "juur" ja "radikaal" on sama objekti nimed.

Kui aritmeetilise juuremärgi all on arv, siis seda kutsutakse radikaalne arv ja kui väljend, siis – radikaalne väljendus.

Kirje $\sqrt(8)$ loetakse kui "kaheksa teise astme aritmeetiline juur" ja sõna "aritmeetiline" sageli ei kasutata.

3. määratlus

Vastavalt määratlusele 2. astme aritmeetiline juur võib kirjutada:

Iga $a \ge 0$ puhul:

$(\sqrt(a))^2=a$,

$\sqrt(a)\ge 0$.

Näitasime erinevust teise juure ja aritmeetilise teise juure vahel. Edasi käsitleme ainult mittenegatiivsete arvude ja avaldiste juuri, st. ainult aritmeetika.

Kolmanda astme aritmeetiline juur

4. määratlus

Arvu $a$ 3. astme (ehk kuupjuure) aritmeetiline juur($a \ge 0$) on mittenegatiivne arv, mis kuubitatuna võrdub väärtusega $a$.

Sageli jäetakse sõna aritmeetika välja ja öeldakse "numbri $a$ 3. juur".

$a$ 3. astme aritmeetiline juur on tähistatud kui $\sqrt(a)$, märk "$\sqrt( )$" on 3. astme aritmeetilise juure märk ja number $3$ seda tähistust nimetatakse juurindeks. Kutsutakse numbrit või avaldist, mis ilmub juurmärgi all radikaalne.

Näide 2

$\sqrt(3,5)$ – $3.5$ 3. astme aritmeetiline juur või $3.5$ kuupjuur;

$\sqrt(x+5)$ – $x+5$ 3. astme aritmeetiline juur või $x+5$ kuupjuur.

Aritmeetiline n-s juur

Definitsioon 5

Aritmeetiline juur n aste arvust $a \ge 0$ kutsutakse mittenegatiivne arv, mis $n$-nda astmeni tõstes võrdub $a$-ga.

$a \ge 0$ kraadi $n$ aritmeetilise juure märge:

kus $a$ on radikaalarv või avaldis,

Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

• Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi Meil jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

• Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsed pakkumised, tutvustusi ja muid üritusi ning eelseisvaid sündmusi.
• Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
• Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, nagu auditeerimine, andmete analüüs ja erinevaid uuringuid et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
• Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Teabe avaldamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

• Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, sisse kohtuprotsess ja/või avalike taotluste või taotluste alusel valitsusagentuurid Vene Föderatsiooni territooriumil - avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
• Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.

Isikuandmete kaitse

Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.

Juureaste n reaalarvust a, Kus n- naturaalarv, sellist reaalarvu nimetatakse x, n mille aste on võrdne a.

Juureaste n numbrist a on tähistatud sümboliga. Selle määratluse järgi.

Juure leidmine n-th kraad hulgast a nimetatakse juure ekstraheerimiseks. Number A nimetatakse radikaalarvuks (avaldis), n- juurnäitaja. Imelikuks n on juur n-th aste mis tahes reaalarvu jaoks a. Kui isegi n on juur n-th aste ainult mittenegatiivsete arvude puhul a. Juure ühemõtteliseks muutmiseks n-th kraad hulgast a, võetakse kasutusele aritmeetilise juure mõiste n-th kraad hulgast a.

N-astme aritmeetilise juure mõiste

Kui n- naturaalarv, suurem 1 , siis on ja ainult üks mittenegatiivne arv X, nii et võrdsus on täidetud. See number X nimetatakse aritmeetiliseks juureks n mittenegatiivse arvu aste A ja on määratud . Number A nimetatakse radikaalarvuks, n- juurnäitaja.

Seega definitsiooni järgi tähendab märge , kus , esiteks seda ja teiseks seda, s.o. .

Ratsionaalse astendajaga kraadi mõiste

Kraad naturaalse astendajaga: las A on reaalarv ja n- naturaalarv, mis on suurem kui üks, n-arvu aste A helista tööle n tegurid, millest igaüks on võrdne A, st. . Number A- kraadi alus, n- eksponent. Nullastendajaga aste: definitsiooni järgi, kui , siis . Arvu nullvõimsus 0 pole mõtet. Negatiivse täisarvu eksponendiga aste: definitsiooni järgi eeldatakse, kui ja n on naturaalarv, siis . Murdastmelise astendajaga aste: definitsiooni järgi eeldatakse, kui ja n- naturaalarv, m on täisarv, siis .

Operatsioonid juurtega.

Kõigis alltoodud valemites tähendab sümbol aritmeetilist juurt (radikaalavaldis on positiivne).

1. Mitme teguri korrutis on võrdne nende tegurite juurte korrutisega:

2. Suhtarvu juur võrdub dividendi ja jagaja juurte suhtega:

3. Juure tõstmisel astmele piisab radikaalarvu tõstmisest selle astmeni:

4. Kui tõsta juure astet n korda ja samal ajal tõsta radikaalarvu n-nda astmeni, siis juure väärtus ei muutu:

5. Kui vähendate juure astet n korda ja eraldate samaaegselt radikaalarvu n-nda juure, siis juure väärtus ei muutu:

Kraadi mõiste laiendamine. Seni oleme kraade vaadelnud ainult naturaalastendajatega; kuid tehted astmete ja juurtega võivad viia ka negatiivsete, null- ja murdastendajateni. Kõik need eksponendid nõuavad täiendavat määratlust.

Negatiivse astendajaga kraad. Teatud negatiivse (täisarvulise) astendajaga arvu võimsus on defineeritud kui see, mis on jagatud sama arvu astmega, mille astendaja on võrdne negatiivse astendaja absoluutväärtusega:

Nüüd saab valemit a m: a n = a m - n kasutada mitte ainult m puhul, mis on suurem kui n, vaid ka juhul, kui m on väiksem kui n.

NÄIDE a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Kui tahame, et valem a m: a n = a m - n kehtiks m = n korral, vajame nullkraadi definitsiooni.

Kraad nullindeksiga. Iga nullist erineva arvu aste, mille astendaja on null, on 1.

NÄITED. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3/5) 0 = 1.

Kraad murdarvulise astendajaga. Reaalarvu a tõstmiseks astmeni m / n peate eraldama selle arvu a m-nda astme n-nda juure:

Väljenditest, millel pole tähendust. Selliseid väljendeid on mitu.

Juhtum 1.

Kus a ≠ 0 ei eksisteeri.

Tegelikult, kui eeldada, et x on teatud arv, siis vastavalt jagamistehte definitsioonile saame: a = 0 x, s.o. a = 0, mis on vastuolus tingimusega: a ≠ 0

Juhtum 2.

Suvaline number.

Tegelikult, kui eeldada, et see avaldis on võrdne teatud arvuga x, siis vastavalt jagamistehte definitsioonile saame: 0 = 0 · x. Kuid see võrdsus kehtib mis tahes arvu x kohta, mida oli vaja tõestada.

Tõesti,

Lahendus. Vaatleme kolme peamist juhtumit:

1) x = 0 – see väärtus ei rahulda seda võrrandit

2) x > 0 korral saame: x / x = 1, s.o. 1 = 1, mis tähendab, et x on suvaline arv; kuid võttes arvesse, et meie puhul x > 0 on vastuseks x > 0;

3) x juures< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

sel juhul pole lahendust. Seega x > 0.

Mittenegatiivse arvu n-nda astme aritmeetiline juur on mittenegatiivne arv n aste mis on võrdne:

Juure aste on naturaalarv, mis on suurem kui 1.

3.

4.

Erijuhtumid:

1. Kui juureksponent on paaritu täisarv(), siis võib radikaalavaldis olla negatiivne.

Paaritu astendaja puhul võrrand mis tahes reaalväärtuse ja täisarvu jaoks ALATI on üks juur:

Paaritu astme juure puhul kehtib järgmine identiteet:

,

2. Kui juureksponent on paarisarv (), siis ei saa radikaalne avaldis olla negatiivne.

Paarisaste astendajate korral võrnd. Sellel on

juures üks juur

ja kui ja

Paarisastme juure korral kehtib järgmine identiteet:

Paarisastme juure korral kehtivad järgmised võrdsused::

Toitefunktsioon, selle omadused ja graafik.

Võimsusfunktsioon ja selle omadused.

Naturaalastendajaga võimsusfunktsioon. Funktsiooni y = x n, kus n on naturaalarv, nimetatakse naturaalastendajaga astmefunktsiooniks. Kui n = 1, saame funktsiooni y = x, selle omadused:

Otsene proportsionaalsus. Otsene proportsionaalsus on funktsioon, mis on defineeritud valemiga y = kx n, kus arvu k nimetatakse proportsionaalsuse kordajaks.

Loetleme funktsiooni y = kx omadused.

Funktsiooni domeen on kõigi reaalarvude hulk.

y = kx - mitte ühtlane funktsioon(f(- x) = k (- x)= - kx = -k(x)).

3) Kui k > 0 funktsioon suureneb ja k puhul< 0 убывает на всей числовой прямой.

Graafik (sirge) on näidatud joonisel II.1.

Riis. II.1.

Kui n=2 saame funktsiooni y = x 2, selle omadused:

Funktsioon y -x 2. Loetleme funktsiooni y = x 2 omadused.

y = x 2 – paarisfunktsioon (f(- x) = (- x) 2 = x 2 = f (x)).

Funktsioon väheneb intervalli jooksul.

Tegelikult, kui , siis - x 1 > - x 2 > 0 ja seetõttu

(-x 1) 2 > (- x 2) 2, st ja see tähendab, et funktsioon väheneb.

Funktsiooni y=x2 graafik on parabool. See graafik on näidatud joonisel II.2.

Riis. II.2.

Kui n = 3, saame funktsiooni y = x 3, selle omadused:

Funktsiooni määratluspiirkond on terve arvurida.

y = x 3 - paaritu funktsioon (f (- x) = (- x) 2 = - x 3 = - f (x)).

3) Funktsioon y = x 3 kasvab piki tervet arvjoont. Funktsiooni y = x 3 graafik on näidatud joonisel. Seda nimetatakse kuupparabooliks.

Graafik (kuupparabool) on näidatud joonisel II.3.

Riis. II.3.

Olgu n suvaline paaris naturaalarv, mis on suurem kui kaks:

n = 4, 6, 8,.... Sel juhul on funktsioonil y = x n samad omadused kui funktsioonil y = x 2. Sellise funktsiooni graafik meenutab parabooli y = x 2, ainult graafiku harud |n| >1 mida järsemaks nad ülespoole lähevad, seda suurem n ja mida rohkem on x-teljele “vajutatud”, seda suurem n.

Olgu n suvaline paaritu arv, mis on suurem kui kolm: n = = 5, 7, 9, ... . Sel juhul on funktsioonil y = x n samad omadused kui funktsioonil y = x 3. Sellise funktsiooni graafik meenutab kuupparabooli (ainult graafiku harud lähevad seda järsemalt üles-alla, seda suurem on n. Pange tähele ka seda, et intervallil (0; 1) liigub astmefunktsiooni y = x n graafik x-teljest eemaldub seda aeglasemalt, kui x suureneb, seda rohkem kui n.

Negatiivse täisarvu eksponendiga võimsusfunktsioon. Vaatleme funktsiooni y = x - n, kus n on naturaalarv. Kui n = 1, saame y = x - n või y = selle funktsiooni omadused:

Graafik (hüperbool) on näidatud joonisel II.4.

me otsustame lihtne ülesanne leides ruudu külje, mille pindala on 9 cm 2. Kui eeldame, et ruudu külg A cm, siis koostame võrrandi vastavalt ülesande tingimustele:

A X A =9

A 2 =9

A 2-9 =0

(A-3) (A+3) = 0

A=3 või A=-3

Ruudu külje pikkus ei saa olla negatiivne arv, seega on ruudu nõutav külg 3 cm.

Võrrandi lahendamisel leidsime arvud 3 ja -3, mille ruudud on 9. Kõiki neid arve nimetatakse ruutjuureks arvust 9. Nende juurte mittenegatiivne ehk arv 3 nimetatakse arvu aritmeetiliseks juureks.

On üsna loogiline nõustuda tõsiasjaga, et juure võib leida arvudest kolmanda astmeni (kuupjuur), neljanda astmeni jne. Ja põhimõtteliselt on juureks astendamise pöördtehte.

Juurn aste numbrist α on selline number b, Kus b n = α .

Siin n- tavaliselt nimetatakse naturaalarvu juurindeks(või juureaste); reeglina on see suurem kui 2 või sellega võrdne, sest juhtum n = 1 kornjas.

Tähel tähistatud sümbolina (juurmärk) paremal pool kutsutakse radikaalne. Number α - radikaalne väljendus. Meie näite puhul võiks lahendus välja näha selline: sest (± 3) 2 = 9 .

Saime juure positiivsed ja negatiivsed väärtused. See funktsioon muudab arvutused keerulisemaks. Ühemõttelisuse saavutamiseks võeti kontseptsioon kasutusele aritmeetiline juur, mille väärtus on alati plussmärgiga ehk ainult positiivne.

Juur helistas aritmeetika, kui see eraldatakse positiivsest arvust ja on ise positiivne arv.

Näiteks,

Antud arvust on ainult üks antud astme aritmeetiline juur.

Arvutustoimingut nimetatakse tavaliselt " juure ekstraheerimine n aste" hulgast α . Sisuliselt sooritame astmele tõstmise toimingu vastupidiselt, nimelt leiame astme aluse b teadaoleva näitaja järgi n ja võimule tõstmise tulemus

α = miljardit.

Teise ja kolmanda astme juuri kasutatakse praktikas teistest sagedamini ja seetõttu anti neile erinimetused.

Ruutjuur: Sel juhul on tavaks astendajat 2 mitte kirjutada ja termin “juur” ilma kraadi märkimata tähendab enamasti ruutjuurt. Geomeetriliselt tõlgendatuna on ruudu külje pikkus, mille pindala on võrdne α .

Kuubijuur: geomeetriliselt tõlgendatud kuubi serva pikkus, mille ruumala on võrdne α .

Aritmeetiliste juurte omadused.

1) Arvutamisel korrutise aritmeetiline juur, on vaja see igast faktorist eraldi välja võtta

Näiteks,

2) Arvutamiseks murdosa juur, on vaja see eraldada selle murdosa lugejast ja nimetajast

Näiteks,

3) Arvutamisel kraadi juur, peate astendaja jagama juureksponentiga

Näiteks,

Esimesed ruutjuure eraldamisega seotud arvutused leiti matemaatikute töödest iidne Babülon ja Hiina, India, Kreeka (saavutuste kohta iidne Egiptus allikates selle kohta info puudub).

Vana-Babüloni (2. aastatuhandel eKr) matemaatikud kasutasid ruutjuure eraldamiseks spetsiaalset numbrilist meetodit. Ruutjuure esialgne lähendus leiti juurele lähima naturaalarvu põhjal (väiksemas suunas) n. Radikaalse avaldise esitamine kujul: α=n2 +r, saame: x 0 = n+r/2n, siis rakendati iteratiivset täpsustamisprotsessi:

Selle meetodi iteratsioonid lähenevad väga kiiresti. jaoks ,

Näiteks, a = 5; n = 2; r = 1; x 0 = 9/4 = 2,25 ja saame ligikaudsete jada:

Lõppväärtuses on kõik numbrid õiged, välja arvatud viimane.

Kreeklased sõnastasid kuubi kahekordistamise probleemi, mis taandus kuupjuure konstrueerimisele kompassi ja joonlaua abil. Täisarvu mis tahes astme arvutamise reegleid on uurinud India ja Araabia osariikide matemaatikud. Seejärel arendati neid keskaegses Euroopas laialdaselt.

Tänapäeval kasutatakse ruut- ja kuupjuurte arvutamise mugavuse huvides laialdaselt kalkulaatoreid.