Sektsiooni on väga lihtne kasutada. Lihtsalt sisestage soovitud sõna vastavale väljale ja me anname teile selle tähenduste loendi. Tahaksin märkida, et meie sait pakub andmeid erinevatest allikatest - entsüklopeedilistest, selgitavatest, sõnamoodustussõnastikest. Siin näete ka näiteid sisestatud sõna kasutamisest.

Sõna alamhulga tähendus

ristsõnasõnastiku alamhulk

Entsüklopeediline sõnaraamat, 1998

alamhulk

hulgateooria kontseptsioon. Hulga A alamhulk on hulk B (tähistatakse B? A), mille iga element kuulub A-sse. Näiteks kõigi paarisarvude hulk on kõigi täisarvude hulga alamhulk.

Alamhulk

hulk A (matemaatika), mis tahes hulk, mille iga element kuulub A-sse. Näiteks kõigi paarisarvude hulk on kõigi täisarvude hulk P.. Kui hulkade hulka kuulub "tühi" kogum, mis ei sisalda üldse elemente, siis tuleks seda definitsiooni järgi lugeda mis tahes muu hulga hulka. Hulka A ennast ja tühja hulka nimetatakse mõnikord sobimatuteks tühikuteks, ülejäänud tühikuid aga õigeteks. Vaata ka Hulgateooria.

Vikipeedia

Alamhulk

Alamhulk hulgateoorias on see hulga osa mõiste.

Näiteid sõna alamhulga kasutamisest kirjanduses.

Võite sisestada ka järgmise tähe, kuhu minna alamhulk kõik võimalikud lõpud.

Esitatav dokument VÕIB olla nagu alamhulk algversiooni ja sisaldama teavet, mida selles ei esitatud.

Kharmsi null kui teatud hulk, mis sisaldab lõpmatut nullide jada alamhulgad, on lõpmatuse maailm.

Prinditav alamhulgad lehtede jaoks on vaja filtrit, mis selle olukorraga hakkama saab.

Indeksi loomine killustatuse reegliga, mis ei ühti tabeli killustatuse reegliga, on kasulik juhtudel, kui erinevad rakendused teevad tabelist valikuid erinevatel alustel. alamhulgad selle atribuudid.

Tuletagem lihtsa näite abil meelde, mida nimetatakse alamhulgaks, millised alamhulgad on olemas (õiged ja ebaõiged), kõigi alamhulkade arvu leidmise valemit, samuti kalkulaatorit, mis annab kõigi alamhulkade hulga.

Näide 1. Antud hulk A = (a, c, p, o). Kirjutage üles kõik alamhulgad
sellest komplektist.
Lahendus:

Enda alamhulgad:(a) , (c) , (p) , (o) , (a, c) , (a, p), (a, o), (c, p) , (c, o ) ∈, (p, o), (a, c, p) , (a, c, o), (c, p, o).

Ei oma:(a, c, p, o), Ø.

Kokku: 16 alamhulka.

Selgitus. Hulk A on B alamhulk, kui iga A element sisaldub ka B-s.

Tühi hulk ∅ on mis tahes hulga alamhulk ja seda nimetatakse ebaõigeks;
. iga hulk on iseenda alamhulk, mida nimetatakse ka sobimatuks;
. Igal n-elemendilisel hulgal on täpselt 2 n alamhulka.

Viimane väide on valem kõigi alamhulkade arvu leidmiseks igaüht loetlemata.

Valemi tuletamine: Oletame, et meil on hulk n-elemente. Alamhulkade koostamisel võib esimene element alamhulka kuuluda, aga ei pruugi, s.t. esimese elemendi saame valida kahel viisil, sarnaselt kõigi teiste elementide jaoks (n-elemendid kokku), saame valida kumbagi kahel viisil ja vastavalt korrutusreeglile saame: 2∙2∙2∙ ...∙2 =2 n

Matemaatikute jaoks sõnastame teoreemi ja esitame range tõestuse.

Teoreem. N-st elemendist koosneva lõpliku hulga alamhulkade arv on 2 n.

Tõestus.Ühest elemendist a koosneval hulgal on kaks (st 2 1) alamhulka: ∅ ja (a). Kahest elemendist a ja b koosneval hulgal on neli (st 2 2) alamhulka: ∅, (a), (b), (a; b).
Kolmest elemendist a, b, c koosneval hulgal on kaheksa (st 2 3) alamhulka:
∅, (a), (b), (b; a), (c), (c; a), (c; b), (c; b; a).
Võib eeldada, et uue elemendi lisamine kahekordistab alamhulkade arvu.
Tõestuse lõpetame matemaatilise induktsiooni meetodil. Selle meetodi olemus seisneb selles, et kui väide (omadus) on tõene mõne algse naturaalarvu n 0 korral ja kui eeldusel, et see on tõene suvalise naturaalarvu n = k ≥ n 0 korral, saab tõestada selle kehtivust arv k + 1, siis see omadus kehtib kõigi naturaalarvude puhul.

1. Kui n = 1 (induktsioonibaas) (ja isegi n = 2, 3) on teoreem tõestatud.

2. Oletame, et teoreem on tõestatud n = k korral, s.t. k elemendist koosneva hulga alamhulkade arv on 2k.

3. Tõestame, et n = k + 1 elemendist koosneva hulga B alamhulkade arv on võrdne 2 k+1.
Valime hulga B mõne elemendi b. Vaatleme hulka A = B \ (b). See sisaldab k elementi. Kõik hulga A alamhulgad on hulga B alamhulgad, mis ei sisalda elementi b ja eeldusel, et neid on 2 k. Elementi b sisaldava hulga B alamhulka on sama palju, s.t. 2k
asju.

Seetõttu on kõik hulga B alamhulgad: 2 k + 2 k = 2 ⋅ 2 k = 2 k+1 tükki.
Teoreem on tõestatud.

Näites 1 on komplekt A = (a, c, p, o) koosneb neljast elemendist, n=4, seega on kõigi alamhulkade arv 2 4 =16.

Kui teil on vaja kõik alamhulgad üles kirjutada või kirjutada programm kõigi alamhulkade hulga kirjutamiseks, siis on selle lahendamiseks algoritm: esitage võimalikud kombinatsioonid kahendarvude kujul. Selgitame näitega.

Näide 2. Seal on komplekt (a b c), järgmised numbrid pannakse vastavusse:
000 = (0) (tühi komplekt)
001 = (c)
010 = (b)
011 = (b c)
100 = (a)
101 = (a c)
110 = (a b)
111 = (a b c)

Kõigi alamhulkade kalkulaator.

Kalkulaator sisaldab juba komplekti elemente A = (a, c, p, o), klõpsake lihtsalt nuppu Esita. Kui vajate oma probleemile lahendust, tippige komplekti elemendid ladina keeles, eraldades need komadega, nagu on näidatud näites.

Tund ja esitlus teemal: "Hulgad ja alamhulgad, näited"

Lisamaterjalid
Kallid kasutajad, ärge unustage jätta oma kommentaare, ülevaateid, soove! Kõik materjalid on viirusetõrjeprogrammiga kontrollitud.

Õppevahendid ja simulaatorid Integrali veebipoes 9. klassile
Multimeedia õpik 9. klassile "Algebra 10 minutiga"
Elektrooniline õpik 7-9 klassi õpilastele "Arusaadav algebra"

Hulgad ja alamhulgad

Poisid, me liigume edasi väga olulise teema "Mitmed" uurimise juurde. Kogumeid kohtame kogu aeg, kõrgemate klasside matemaatikakursustel ja 9. klassis on peaaegu kõik teemad selle mõistega tihedalt seotud. Seetõttu proovige seda teemat hästi mõista.

Mis on siis komplekt?
Hulkadega tegeleb matemaatika eriharu, hulgateooria. Komplekt on üks peamisi ja põhimõisteid. Sellel pole definitsiooni, kuid proovime mõista, mis komplekt on? Komplekt on erinevate elementide kogum, mida saab kokku lugeda ja rühmitada. Hulkade näideteks on tähestiku tähed – komplekt, mis koosneb 33 elemendist. Palju õunu puu otsas – õunte arv puu otsas muidugi ja seda saab kokku lugeda ja nummerdada. Saate tuua palju näiteid komplektidest. Proovige ise näide tuua.
Matemaatikas tähistatakse hulka lokkis sulgudes (,). Näiteks ingliskeelse tähestiku viie esimese tähe komplekt on tähistatud järgmiselt: (A,B,C,D,E). Kui kirjutate selle komplekti teises järjekorras, siis see ei muutu.
Matemaatika on nii huvitav aine, et meil on tühja hulga ja lõpmatu hulga mõiste. Tühi hulk on hulk, millel pole ühtki elementi, see on tähistatud ilma sulgudeta ja kasutab sümbolit Ø. Lõpmatu hulk, nagu nimest ilmselt selgub, on hulk, milles on lõpmatu arv elemente, näiteks kõigi arvude hulk.
Hulke saab kirjeldada erinevate sõnadega, näiteks (10, 12, 16, 18, ..., 96,98) on paaris kahekohaliste arvude hulk. Ellipsit kasutatakse siis, kui elemente on palju ja neid on keeruline kirjutada, kuid samas peaks hulga kirje olema selge ja selle abil saab määrata, millise hulgaga on tegemist .
$\(x| -2

Komplektide jaoks on spetsiaalsed märgid. Näiteks naturaalarvude hulga jaoks. Poisid, kas mäletate, kuidas seda komplekti tähistatakse?
Et näidata, et element kuulub hulka, kasutatakse erimärki $ϵ$. Märkus $2 ϵ \(2,4,6,8... \)$. See kõlab järgmiselt: "Kaks kuulub paarisarvude hulka."

Näide.
Teatud hulk koosneb võrrandi $x^3+3x^2+2x=0$ juurtest. Otsige üles selle komplekti elemendid ja loetlege kõik elementide võimalikud paigutused.

Lahendus.
Lahendame võrrandi, võtame sulgudest x välja:
$x(x^2+3x+2)=0$
$x(x+2)(x+1)=0$

Siis on meie võrrandi lahendid: $x=0;-2;-1$ soovitud hulga elemendid.
Paneme kirja elementide paigutuse võimalikud võimalused:
{-2, -1, 0}; {-2, 0, -1}; {-1, 0, 2}; {-1, 2, 0}; {0, -2, -1}; {0, -1, -2}.

Näide.
Kirjeldage seatud andmeid.

$a) \(1,2,3,4,...,9,10\) \\ b) \(1,8,27,64...\)$
Lahendus.
a) Naturaalarvude hulk 1 kuni 10.
b) Naturaalarvude kuubikute kõigi väärtuste kogum.

Näide.
Pärast ebavõrdsuse lahendamist kirjutage selle lahendused numbrilise intervalli kujul:

A) $\(x^2 | x^2+1>0\)$
b) $\(x| 1/x c) $\(x |x^2+7x+12
Lahendus.
a) $x^2+1>0$ on kõigi x-ide korral suurem kui null. Seejärel kirjutatakse numbriline intervall kujul: $(-∞;+∞)$.
b) 1/x c) $x^2+7x+12

Alamhulk

Kui valime oma komplektist mitu elementi ja rühmitame need eraldi, on see meie komplekti alamhulk. Kombinatsioone, millest saab alamhulga saada, on palju, kombinatsioonide arv sõltub ainult algse komplekti elementide arvust.
Olgu meil kaks hulka A ja B. Kui hulga B iga element on hulga A element, siis hulka B nimetatakse A alamhulgaks. Tähistatakse: B ⊂ A. Näide.
Mitu alamhulka on hulgal A = (1, 2, 3)?
Lahendus.
Alamhulgad, mis koosnevad meie hulga elementidest. Siis on meil alamhulga elementide arvu jaoks 4 võimalust:
Alamhulk võib koosneda 1 elemendist, 2, 3 elemendist ja võib olla tühi. Kirjutame oma elemendid järjest üles.
1 elemendi alamhulk: (1), (2), (3).
2 elemendi alamhulk: (1, 2); (13); (2, 3).
3 elemendi alamhulk: (1, 2, 3).

Ärgem unustagem, et tühi hulk on ka meie hulga alamhulk. Siis leiame, et meil on 3+3+1+1=8 alamhulka.

Iseseisvalt lahendatavad probleemid

1. Leidke võrrandi lahendite hulk: $2x^3+8x^2+6x=0$. Loetlege kõik võimalikud elementide paigutuse võimalused.
2. Kirjeldage komplekti:
$a) \(1, 3, 5, 7...99\) \\b) \(1, 4, 7, 10, 13, 16\) \\ c) \(5, 10, 15, 20 ... 995\)$
3. Mitu alamhulka on hulgal A = (3, 4, 5, 6)?

Kuulumine $A$, kuulub ka $B$. Ametlik määratlus:

$(A\; \backslash alamhulk\; B)\; \backslash Vasakparemnool\; \backslash Kõigi\; x\; jaoks.\; (x\; \backslash in\; A\; \backslash paremnool\; x\; \backslash in\; B).$

Trobikond $B$ helistas superkomplekt komplektid $A$, Kui $A$- alamhulk $B$.

Alamhulkade jaoks on kaks sümboolset tähistust:

Mõlemad tähistussüsteemid kasutavad sümbolit $\backslash alamhulk$ erinevates tähendustes, mis võib põhjustada segadust. Käesolevas artiklis kasutame viimast tähistust.

Mida $B$ nimetatakse superkomplektiks $A$, sageli üles kirjutatud $B\backslash nördinud\; A$.

Hulgi kõigi alamhulkade hulk $A$ tähistatud $\backslash mathcal(P)(A)$ ja seda nimetatakse tõeväärtuseks.

Oma alamhulk

Iga komplekt $B$ on oma alamhulk. Kui tahame välistada $B$ kaalutlusest lähtudes kasutame mõistet oma

Trobikond $A$ on komplekti õige alamhulk $B$, Kui $A\backslash \; alamhulk\; B$ Ja $A\backslash neB$.

Tühi hulk on mis tahes hulga alamhulk. Kui tahame ka tühja hulga kaalumisest välja jätta, kasutame mõistet mittetriviaalne alamhulk, mis on määratletud järgmiselt:

Trobikond $A$ on hulga mittetriviaalne alamhulk $B$, Kui $A$ on oma alamhulk $B$ Ja $A\backslash ne\backslash varnothing$.

Näited

• Komplektid $\backslash varnothing,\; \backslash (0\backslash ),\; \backslash (1,3,4\backslash ).$ $\backslash \{\; 0,1,2,3,4,5\backslash \}$
• Komplektid $\backslash (\; \backslash varnothing,\; \backslash uparrow,\; moose\; \backslash ),\; \backslash (\; \$,\%,*,\backslash uparrow\; \backslash ),\; \backslash (\backslash varnothing\backslash ),\; \backslash varnothing$ on komplekti alamhulgad $\backslash (\$,\; \%,\; \backslash varnothing,\; \backslash uparrow,\; *,\; põder\; \backslash )$
• Lase $A\; =\; \backslash (a,b\backslash )$, Siis $\backslash mathcal(P)(A)\; =\; \backslash (\backslash varnothing,\; \backslash (a\backslash ),\; \backslash (b\backslash ),\; \backslash (a,b\backslash )\; \backslash )$.
• Lase $A\; =\; \backslash (1,2,3,4,5\backslash ),\backslash ;\; B\; =\; \backslash (1,2,3\backslash ),\backslash ;\; C\; =\; \backslash (4,5,6,7\backslash )$. Siis $B\backslash alamhulk\; A,\backslash ;\; C\backslash not\backslash alamhulk\; A$.

Omadused

Alamhulga seosel on mitmeid omadusi.

• Alamhulga seos on osalise järjekorra seos:
  • Alamhulga seos on refleksiivne: $B\; alamhulk\; B$
  • Alamhulga seos on antisümmeetriline: $(A\; \backslash alamhulk\; B\backslash ;\; \backslash ja\; \backslash ;\; B\; \backslash alamhulk\; A)\; \backslash Vasakparemnool\; (A\; =\; B)$
  • Alamhulga seos on transitiivne: $(A\; \backslash alamhulk\; B\; \backslash ;\backslash \; ja\; \backslash ;\; B\; \backslash alamhulk\; C)\; \backslash Paremnool\; (A\; \backslash alamhulk\; C)$
• Tühi hulk on iga teise hulga alamhulk, seega on see alamhulga seose suhtes väikseim hulk: $\backslash varnothing\; \backslash alamhulk\; B$
• Iga kahe komplekti jaoks $A$ Ja $B$ järgmised avaldused on samaväärsed:
  • $A\backslash \; alamhulk\; B.$
  • $A\backslash kork\; B\; =\; A.$
  • $A\backslash tass\; B\; =\; B.$
  • $B^(\backslash komplement)\; \backslash alamhulk\; A^(\backslash komplement).$

Lõplike hulkade alamhulgad

Kui alghulk on lõplik, siis on sellel lõplik arv alamhulka. Nimelt kl $n$-elementide komplekt on olemas $2^n$ alamhulgad (ka tühjad). Selle kontrollimiseks piisab, kui märkida, et iga elementi saab alamhulka kaasata või mitte, mis tähendab, et alamhulkade koguarv $n$- kahe korrutis. Kui arvestada ainult alamhulka $n$-elementide komplekt $k\backslash le\; n$ elemente, siis väljendatakse nende arvu binoomkoefitsiendiga $\backslash textstyle\backslash binom(n)(k)$. Selle fakti kontrollimiseks saate valida alamhulga elemendid järjestikku. Esimese elemendi saab valida $n$ viise, teiseks $n-1$ viis ja nii edasi, ja lõpuks, $k$- elementi saab valida $n-k+1$ tee. Nii saame jada $k$ elemendid ja täpselt $k!$ sellised järjestused vastavad ühele alamhulgale. Nii et kõike saab olema $\backslash textstyle\backslash frac(n(n-1)\backslash dots(n-k+1))(k=\backslash binom\{n\}\{k\}!\}$ sellised alamhulgad.

Kirjutage arvustus artikli "Alamhulk" kohta

Märkmed

Kirjandus

• Vereshchagin N.K., Shen A. Loengud matemaatilisest loogikast ja algoritmide teooriast. 1. osa. Hulgateooria algus.. - 3. trükk, stereotüüp. - M.: MTsNMO, 2008. - 128 lk. - ISBN 978-5-94057-321-0.

Ametlik Matemaatiline (teoreetiline, sümboolne) 2 konstanti: 0 1 Vaata ka

Alamhulka iseloomustav väljavõte

"See pole minu süü, et vestlus algas teiste ohvitseride silme all." Võib-olla poleks ma pidanud nende ees rääkima, aga ma pole diplomaat. Siis liitusin husaaridega, arvasin, et peensusi pole vaja, aga ta ütles mulle, et ma valetan... las ta siis annab mulle rahulduse...
- See on kõik hea, keegi ei arva, et sa oled argpüks, kuid see pole mõte. Küsige Denisovilt, kas see näeb välja selline, et kadett nõuab rügemendiülemalt rahuldust?
Vuntse hammustanud Denisov kuulas vestlust sünge ilmega, ilmselt ei tahtnud sellega tegeleda. Kapteni personali küsimuse peale raputas ta eitavalt pead.
"Te räägite sellest räpasest trikist ohvitseride ees rügemendiülemale," jätkas kapten. - Bogdanych (rügemendi ülemat kutsuti Bogdanychiks) piiras teid.
- Ta ei piiranud teda, vaid ütles, et ma valetan.
- Noh, jah, ja sa ütlesid talle midagi rumalat ja sa pead vabandama.
- Mitte kunagi! - hüüdis Rostov.
"Ma ei arvanud seda sinult," ütles kapten tõsiselt ja karmilt. "Sa ei taha vabandada, aga sina, isa, mitte ainult tema ees, vaid kogu rügemendi ees, meie kõigi ees, oled sa täielikult süüdi." Tee nii: kui sa vaid oleksid mõelnud ja nõu pidanud, kuidas selles asjas käituda, muidu oleksid joonud otse ametnike silme all. Mida peaks rügemendiülem nüüd tegema? Kas ohvitser tuleb kohtu alla anda ja kogu rügement ära määrida? Ühe kaaba pärast on kogu rügement häbisse sattunud? Nii et mida sa arvad? Kuid meie arvates mitte. Ja Bogdanich on suurepärane, ta ütles teile, et te valetate. See on ebameeldiv, aga mis sa teha saad, isa, nad ründasid sind ise. Ja nüüd, kuna nad tahavad asja vaigistada, ei taha te mingisuguse fanatismi tõttu vabandada, vaid tahate kõik ära rääkida. Olete solvunud, et olete ametis, aga miks peaksite vabandama vana ja ausa ohvitseri ees! Ükskõik milline Bogdanich on, ta on ikka aus ja vapper vana polkovnik, see on sinust nii kahju; Kas sa rügementi ära määrid? – kapteni hääl hakkas värisema. - Sina, isa, oled olnud rügemendis nädal aega; täna siin, homme kuhugi adjutantidele üle viidud; sind ei huvita, mida nad ütlevad: "Pavlogradi ohvitseride seas on vargaid!" Aga me hoolime. Mis siis, Denisov? Mitte kõik sama?
Denisov vaikis ega liigutanud end, heites aeg-ajalt oma säravate mustade silmadega Rostovi poole.
"Te hindate oma fanaatriat, te ei taha vabandada," jätkas peakorteri kapten, "aga meie, vanade meeste jaoks, kuidas me üles kasvasime ja isegi kui me sureme, kui jumal tahab, tuuakse meid rügementi, nii et rügemendi au on meile kallis ja Bogdanich teab seda. Oh, milline tee, isa! Ja see pole hea, mitte hea! Olge solvunud või mitte, ma räägin alati tõtt. Pole hea!
Ja peakorteri kapten tõusis püsti ja pöördus Rostovist ära.
- Lk "avda, chog" võta kinni! - hüüdis Denisov püsti hüpates. - Noh, G'skeleton!
Punastades ja kahvatuks muutudes vaatas Rostov esmalt ühele, seejärel teisele ohvitserile.
- Ei, härrased, ei... ärge mõelge... ma saan tõesti aru, te eksite, kui minust niimoodi arvate... ma... minu jaoks... ma olen kodaniku au poolt. rügement.Mis siis? Näitan seda praktikas ja minu jaoks on bänneri au... noh, see on kõik sama, tõesti, mina olen süüdi!.. - Tema silmis tulid pisarad. - Ma olen süüdi, ma olen süüdi kõikjal!... Noh, mida sa veel vajad?...
"See on kõik, krahv," hüüdis staabikapten, pöördus ümber ja lõi teda suure käega õlale.
"Ma ütlen teile," hüüdis Denisov, "ta on kena poiss."
"Nii on parem, krahv," kordas peakorteri kapten, justkui hakati tema tunnustuse pärast teda tiitliks kutsuma. - Tulge ja vabandage, teie Ekstsellents, jah, härra.
"Härrased, ma teen kõik, keegi ei kuule minust sõnagi," ütles Rostov anuval häälel, "aga ma ei saa vabandada, jumal, ma ei saa, mida iganes te tahate!" Kuidas ma vabandan, nagu väike, paludes andestust?
Denisov naeris.
- See on sinu jaoks hullem. Bogdanich on kättemaksuhimuline, maksate oma kangekaelsuse eest,” ütles Kirsten.
- Jumal, mitte kangekaelsus! Ma ei suuda teile kirjeldada, mis tunne on, ma ei suuda...
"Noh, see on teie valik," ütles peakorteri kapten. - Noh, kuhu see lurjus kadus? – küsis ta Denisovilt.
"Ta ütles, et on haige, ja juhataja käskis ta välja saata," rääkis Denisov.
"See on haigus, seda ei saa kuidagi teisiti seletada," ütles peakorteri kapten.
"See pole haigus, aga kui ta mulle silma ei jää, tapan ta!" – hüüdis Denisov verejanuliselt.
Žerkov astus tuppa.
- Kuidas sul läheb? - pöördusid ohvitserid ootamatult uustulnuka poole.
- Lähme, härrased. Mak alistus vangina ja koos sõjaväega täielikult.
- Sa valetad!
- Ma nägin seda ise.
- Kuidas? Kas olete Macki elus näinud? kätega, jalgadega?
- Matkata! Matkata! Andke talle pudel selliste uudiste eest. Kuidas sa siia said?
"Nad saatsid mind kuradi pärast Macki pärast uuesti rügementi tagasi." Austria kindral kaebas. Õnnitlesin teda Maki saabumise puhul... Kas sa oled saunast, Rostov?
- Siin, vend, meil on teist päeva selline segadus.
Rügemendi adjutant tuli sisse ja kinnitas Žerkovi toodud uudist. Meile kästi homme esineda.
- Lähme, härrased!
- Jumal tänatud, me jäime liiga kauaks.

Kutuzov taganes Viini, hävitades enda selja taga sillad Inni (Braunaus) ja Trauni (Linzis) jõgedel. 23. oktoobril ületasid Vene väed Ennsi jõe. Vene kolonnid, suurtükivägi ja vägede kolonnid keset päeva laiusid läbi Ennsi linna nii siinpool kui ka teisel pool silda.