Kuidas näevad õiged murded välja? Tavalised ja ebaõiged, sega- ja liitmurrud

Murd matemaatikas arv, mis koosneb ühiku ühest või mitmest osast (murdust). Murrud on osa ratsionaalarvude väljast. Sõltuvalt nende kirjutamisviisist jagatakse murded kahte vormingusse: tavaline tüüp ja kümnend .

Murru lugeja- arv, mis näitab võetud aktsiate arvu (asub murdosa ülaosas - rea kohal). Murru nimetaja- arv, mis näitab, mitmeks aktsiaks osak on jagatud (asub joone all – allosas). jagunevad omakorda: õige Ja vale, segatud Ja komposiit on tihedalt seotud mõõtühikutega. 1 meeter sisaldab 100 cm, mis tähendab, et 1 m on jagatud 100 võrdseks osaks. Seega 1 cm = 1/100 m (üks sentimeeter võrdub ühe sajandiku meetriga).

või 3/5 (kolm viiendikku), siin 3 on lugeja, 5 on nimetaja. Kui lugeja on nimetajast väiksem, on murd väiksem kui üks ja seda nimetatakse õige:

Kui lugeja on võrdne nimetajaga, on murd võrdne ühega. Kui lugeja on nimetajast suurem, on murd suurem kui üks. Mõlemal viimasel juhul nimetatakse murdosa vale:

Vales murrus sisalduva suurima täisarvu eraldamiseks jagate lugeja nimetajaga. Kui jagamine toimub ilma jäägita, võrdub vale murd jagatis:

Kui jagamine toimub jäägiga, siis (mittetäielik) jagatis annab soovitud täisarvu ja jäägist saab murdosa lugeja; murdosa nimetaja jääb samaks.

Nimetatakse arvu, mis sisaldab täisarvu ja murdosa segatud. Murd seganumber võib olla vale murd. Seejärel saab murdosast valida suurima täisarvu ja kujutada segaarvu nii, et murdosast saab korralik murd (või kaob üldse).

Kõigi teaduste kuninganna õppimine - matemaatika, in teatud hetk kõik kohtavad murde. Kuigi see kontseptsioon (nagu murdude tüübid ise või nendega tehtavad matemaatilised tehted) pole sugugi keeruline, tuleb sellesse suhtuda ettevaatlikult, sest päris elu See on väga kasulik väljaspool kooli. Niisiis, värskendame oma teadmisi murdude kohta: mis need on, milleks need on, mis tüübid need on ja kuidas nendega erinevaid aritmeetilisi tehteid teha.

Tema Majesteedi murdosa: mis see on

Matemaatikas on murrud arvud, millest igaüks koosneb ühest või mitmest ühiku osast. Selliseid murde nimetatakse ka tavalisteks või lihtsateks. Reeglina kirjutatakse need kahe numbri kujul, mis on eraldatud horisontaalse või kaldkriipsuga, seda nimetatakse murdjooneks. Näiteks: ½, ¾.

Ülemine ehk esimene neist numbritest on lugeja (näitab, mitu osa numbrist on võetud) ja alumine ehk teine ​​on nimetaja (näitab, mitmeks osaks ühik on jagatud).

Murruriba toimib tegelikult jagamismärgina. Näiteks 7:9=7/9

Traditsiooniliselt on harilikud murrud väiksemad kui üks. Kuigi kümnendkohad võivad olla sellest suuremad.

Mille jaoks on murrud mõeldud? Jah kõige jaoks, sest sisse päris maailm Kõik arvud ei ole täisarvud. Näiteks kaks koolitüdrukut kohvikus ostsid koos ühe maitsva šokolaaditahvli. Kui nad hakkasid magustoitu jagama, kohtusid nad sõbraga ja otsustasid ka teda kostitada. Kuid nüüd on vaja šokolaaditahvlit õigesti jagada, arvestades, et see koosneb 12 ruudust.

Algul tahtsid tüdrukud kõik võrdselt ära jagada ja siis sai igaüks neli tükki. Kuid pärast selle üle järelemõtlemist otsustasid nad oma sõpra ravida mitte 1/3, vaid 1/4 šokolaadiga. Ja kuna koolitüdrukud ei õppinud hästi murde, siis ei arvestanud nad sellega, et sellises olukorras tuleb 9 tükki, mida on väga raske kaheks jagada. See üsna lihtne näide näitab, kui oluline on osa numbrist õigesti leida. Aga elus on selliseid juhtumeid palju rohkem.

Murdude tüübid: tavaline ja kümnendmurd

Kõik matemaatilised murrud jagunevad kahte suurde kategooriasse: tavalised ja kümnendkohad. Neist esimese omadusi kirjeldati eelmises lõigus, nii et nüüd tasub pöörata tähelepanu teisele.

Kümnend on arvu murdosa asukohamärge, mis kirjutatakse kirjalikult komaga eraldatuna, ilma sidekriipsu ja kaldkriipsuta. Näiteks: 0,75, 0,5.

Tegelikult kümnend on identne tavalisega, kuid selle nimetajaks on alati üks, millele järgnevad nullid – siit tuleb selle nimi.

Komale eelnev arv on terve osa, ja kõik pärast seda on murdosa. ma armastan seda lihtmurd saab teisendada kümnendkohaks. Seega saab eelmises näites näidatud kümnendmurrud kirjutada nagu tavaliselt: ¾ ja ½.

Väärib märkimist, et nii kümnend- kui ka tavalised murrud võivad olla positiivsed või negatiivsed. Kui nende ees on märk “-”, on see murd negatiivne, kui “+” on positiivne murd.

Harilike murdude alamliigid

Seda tüüpi lihtmurrud on olemas.

Kümnendmurru alamtüübid

Erinevalt lihtmurdust jaguneb kümnendmurd ainult kahte tüüpi.

• Lõplik - sai selle nime tänu sellele, et pärast koma on sellel piiratud (lõplik) arv numbreid: 19.25.
• Lõpmatu murd on arv, mille pärast koma on lõpmatu arv numbreid. Näiteks jagades 10 kolmega, on tulemuseks lõpmatu murd 3,333...

Murdude lisamine

Erinevate aritmeetiliste manipulatsioonide läbiviimine murdudega on pisut keerulisem kui tavaliste numbritega. Kui aga põhireeglitest aru saad, ei ole nendega ühegi näite lahendamine keeruline.

Näiteks: 2/3+3/4. Nende vähim ühiskordne on 12, seetõttu on vajalik, et see arv oleks igas nimetajas. Selleks korrutame esimese murru lugeja ja nimetaja 4-ga, selgub 8/12, teeme sama teise liikmega, kuid korrutame ainult 3-ga - 9/12. Nüüd saate näite lihtsalt lahendada: 8/12+9/12= 17/12. Saadud murdosa on vale ühik, kuna lugeja on nimetajast suurem. Seda saab ja tuleks muuta õigeks segatüüpiks, jagades 17:12 = 1 ja 5/12.

Segamurdude lisamisel tehakse esmalt tehted täisarvudega ja seejärel murdudega.

Kui näide sisaldab kümnendmurdu ja tavalist murru, tuleb mõlemad lihtsaks teha, seejärel viia need samasse nimetajasse ja liita. Näiteks 3,1+1/2. Arvu 3.1 saab kirjutada segamurruna 3 ja 1/10 või valemurruna - 31/10. Tingimuste ühine nimetaja on 10, seega peate korrutama 1/2 lugeja ja nimetaja vaheldumisi 5-ga, saad 5/10. Siis saab kõike lihtsalt välja arvutada: 31/10+5/10=35/10. Saadud tulemus on vale taandatav murd, viime selle tavavormi, vähendades seda 5 võrra: 7/2 = 3 ja 1/2 või kümnendkohaga - 3,5.

2 kümnendmurdu liitmisel on oluline, et pärast koma oleks sama palju numbreid. Kui see nii ei ole, tuleb lihtsalt lisada vajalik arv nulle, sest kümnendmurrus saab seda teha valutult. Näiteks 3,5+3,005. Selle ülesande lahendamiseks tuleb esimesele numbrile lisada 2 nulli ja seejärel ükshaaval lisada: 3,500+3,005=3,505.

Murdude lahutamine

Murdude lahutamisel tuleks teha sama, mis liitmisel: taandada ühisele nimetajale, lahutada üks lugeja teisest ja vajadusel teisendada tulemus segamurruks.

Näiteks: 16/20-5/10. Ühine nimetaja on 20. Peate selle nimetaja teise murdosa viima, korrutades selle mõlemad osad 2-ga, saate 10/20. Nüüd saate lahendada näite: 16/20-10/20= 6/20. See tulemus kehtib aga taandatavate murdude kohta, seega tasub mõlemad pooled 2-ga jagada ja tulemuseks on 3/10.

Murdude korrutamine

Murdude jagamine ja korrutamine on palju lihtsamad toimingud kui liitmine ja lahutamine. Fakt on see, et nende ülesannete täitmisel pole vaja otsida ühist nimetajat.

Murdude korrutamiseks peate lihtsalt korrutama mõlemad lugejad ükshaaval ja seejärel mõlemad nimetajad. Vähendage saadud tulemust, kui murdosa on taandatav kogus.

Näiteks: 4/9x5/8. Pärast alternatiivset korrutamist on tulemuseks 4x5/9x8=20/72. Seda murdosa saab vähendada 4 võrra, seega on näite lõplik vastus 5/18.

Kuidas jagada murde

Murdude jagamine on samuti lihtne toiming; tegelikult taandub see ikkagi nende korrutamisele. Ühe murdosa teisega jagamiseks peate teise ümber pöörama ja korrutama esimesega.

Näiteks murdude 5/19 ja 5/7 jagamine. Näite lahendamiseks tuleb vahetada teise murru nimetaja ja lugeja ning korrutada: 5/19x7/5=35/95. Tulemust saab vähendada 5 võrra - selgub 7/19.

Kui teil on vaja jagada murdosa algarvuga, on tehnika pisut erinev. Esialgu peaksite selle numbri kirjutama valemurruna ja seejärel jagama sama skeemi järgi. Näiteks 2/13:5 tuleks kirjutada kujul 2/13: 5/1. Nüüd peate pöörama ümber 5/1 ja korrutama saadud fraktsioonid: 2/13x1/5= 2/65.

Mõnikord tuleb segamurrud jagada. Peate neid käsitlema nagu täisarvudega: muutke need valedeks murdudeks, pöörake jagaja ümber ja korrutage kõik. Näiteks 8 ½: 3. Muutke kõik mitte õiged murded: 17/2: 3/1. Sellele järgneb 3/1 klapp ja korrutamine: 17/2x1/3= 17/6. Nüüd peaksite valemurru teisendama õigeks - 2 tervet ja 5/6.

Niisiis, kui olete aru saanud, mis on murrud ja kuidas saate nendega erinevaid aritmeetilisi toiminguid teha, peate proovima seda mitte unustada. Lõppude lõpuks kipuvad inimesed alati rohkem midagi osadeks jagama kui lisama, nii et peate oskama seda õigesti teha.

Sõna "fraktsioonid" tekitab paljudele inimestele hanenaha. Sest ma mäletan kooli ja ülesandeid, mida matemaatikas lahendati. See oli kohustus, mis tuli täita. Mis siis, kui käsitleksite õigete ja valede murdudega seotud probleeme nagu pusle? Paljud täiskasvanud otsustavad ju digitaalse ja Jaapani ristsõnad. Saime reeglid selgeks ja kõik. Siin on sama. Tuleb vaid teooriasse süveneda – ja kõik loksub paika. Ja näited muutuvad teie aju treenimise viisiks.

Mis tüüpi murde on olemas?

Alustame sellest, mis see on. Murd on arv, millel on mingi osa ühest. Seda saab kirjutada kahes vormis. Esimest nimetatakse tavaliseks. See tähendab, et sellel on horisontaalne või kaldus joon. See on samaväärne jagunemismärgiga.

Selles tähistuses nimetatakse rea kohal olevat numbrit lugejaks ja selle all olevat numbrit nimetajaks.

Tavaliste murdude hulgas eristatakse õigeid ja ebaõigeid murde. Esimese puhul on lugeja absoluutväärtus alati nimetajast väiksem. Valed on nii kutsutud, sest neil on kõik vastupidi. Õige murru väärtus on alati väiksem kui üks. Kuigi vale on alati sellest numbrist suurem.

Samuti on segaarvud, st need, millel on täisarv ja murdosa.

Teist tüüpi tähistus on kümnendmurd. Temast on eraldi vestlus.

Kuidas erinevad valemurrud segaarvudest?

Sisuliselt mitte midagi. Need on lihtsalt sama numbri erinevad salvestised. Valed murrud muutuvad lihtsate sammude järel kergesti segaarvudeks. Ja vastupidi.

Kõik oleneb konkreetsest olukorrast. Mõnikord on ülesannetes mugavam kasutada sobimatut murdu. Ja vahel on vaja see segaarvuks teisendada ja siis laheneb näide väga lihtsalt. Seega, mida kasutada: valesid murde, segaarvusid, sõltub probleemi lahendaja vaatlusoskustest.

Segaarvu võrreldakse ka täisarvu ja murdosa summaga. Pealegi on teine ​​alati väiksem kui üks.

Kuidas esitada segaarvu valemurruna?

Kui peate sooritama mõne toimingu mitme sisse kirjutatud numbriga erinevad tüübid, siis peate need ühesuguseks muutma. Üks meetod on arvude esitamine valede murdudena.

Selleks peate täitma järgmise algoritmi:

• korrutage nimetaja kogu osaga;
• lisa tulemusele lugeja väärtus;
• kirjuta vastus rea kohale;
• jätke nimetaja samaks.

Siin on näited segaarvudest valede murdude kirjutamise kohta:

• 17 ¼ = (17 x 4 + 1): 4 = 69/4;
• 39 ½ = (39 x 2 + 1) : 2 = 79/2.

Kuidas kirjutada valemurdu segaarvuna?

Järgmine tehnika on vastupidine eespool käsitletule. See tähendab, et kui kõik segatud arvud asendatakse valede murdudega. Toimingute algoritm on järgmine:

• jäägi saamiseks jagage lugeja nimetajaga;
• kirjuta jagatis kogu segatud osa asemele;
• ülejäänud osa tuleks asetada joone kohale;
• jagaja on nimetaja.

Sellise teisenduse näited:

76/14; 76:14 = 5 ülejäänud 6; vastuseks on 5 tervet ja 6/14; selle näite murdosa tuleb vähendada 2 võrra, mille tulemuseks on 3/7; lõplik vastus on 5 punkti 3/7.

108/54; pärast jagamist saadakse jagatis 2 ilma jäägita; see tähendab, et kõiki valesid murde ei saa esitada segaarvuna; vastus on täisarv - 2.

Kuidas muuta täisarv valeks murruks?

On olukordi, kus selline tegevus on vajalik. Teadaoleva nimetajaga valede murdude saamiseks peate täitma järgmise algoritmi:

• korrutage täisarv soovitud nimetajaga;
• kirjuta see väärtus rea kohale;
• asetage nimetaja selle alla.

Lihtsaim variant on siis, kui nimetaja on võrdne ühega. Siis pole vaja midagi korrutada. Piisab, kui lihtsalt kirjutada näites toodud täisarv ja asetada üks rea alla.

Näide: Tehke 5 valeks murdeks, mille nimetaja on 3. 5 korrutamine 3-ga annab 15. See arv on nimetaja. Ülesande vastus on murdosa: 15/3.

Erinevate arvudega ülesannete lahendamise kaks lähenemisviisi

Näites on vaja arvutada summa ja vahe, samuti kahe arvu korrutis ja jagatis: 2 täisarvu 3/5 ja 14/11.

Esimesel lähenemisel segaarv esitatakse valemurruna.

Pärast ülalkirjeldatud toimingute sooritamist saate järgmise väärtuse: 13/5.

Summa teadasaamiseks tuleb murded taandada samale nimetajale. 13/5 pärast 11-ga korrutamist saab 143/55. Ja 14/11 näeb pärast 5-ga korrutamist välja selline: 70/55. Summa arvutamiseks tuleb liita vaid lugejad: 143 ja 70 ning seejärel kirjutada vastus ühe nimetajaga üles. 213/55 – see vale murd on vastus probleemile.

Erinevuse leidmisel lahutatakse samad arvud: 143 - 70 = 73. Vastuseks saab murdosa: 73/55.

13/5 ja 14/11 korrutamisel ei pea te neid ühiseks nimetajaks taandama. Piisab lugejate ja nimetajate paarikaupa korrutamisest. Vastus on: 182/55.

Sama kehtib ka jagamise kohta. Sest õige otsus jagamine tuleb asendada korrutisega ja jagaja ümber pöörata: 13/5: 14/11 = 13/5 x 11/14 = 143/70.

Teises lähenemises vale murd muutub segaarvuks.

Pärast algoritmi toimingute sooritamist muutub 14/11 segaarvuks täisarvuga 1 ja murdosaga 3/11.

Summa arvutamisel tuleb eraldi liita täis- ja murdosa. 2 + 1 = 3, 3/5 + 3/11 = 33/55 + 15/55 = 48/55. Lõplik vastus on 3 punkti 48/55. Esimesel lähenemisel oli murdosa 213/55. Selle õigsust saate kontrollida, teisendades selle segaarvuks. Pärast 213 jagamist 55-ga on jagatis 3 ja jääk 48. On lihtne näha, et vastus on õige.

Lahutamisel asendatakse "+" märk "-". 2 - 1 = 1, 33/55 - 15/55 = 18/55. Kontrollimiseks tuleb eelmise lähenemise vastus teisendada segaarvuks: 73 jagatud 55-ga ja jagatis on 1 ja jääk 18.

Korrutise ja jagatise leidmiseks on segaarvude kasutamine ebamugav. Siin on alati soovitatav liikuda edasi valede murdude juurde.

Harilikud murrud jagunevad \textit (õige) ja \textit (ebaõige) murdeks. See jaotus põhineb lugeja ja nimetaja võrdlusel.

Õiged murded

Õige murdosa Kutsutakse tavaline murd $\frac(m)(n)$, milles lugeja on nimetajast väiksem, s.t. m $

Näide 1

Näiteks murrud $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ on õiged , siis kuidas igaühes neist on lugeja nimetajast väiksem, mis vastab õige murru definitsioonile.

On olemas õige murdu definitsioon, mis põhineb murdarvu võrdlemisel ühega.

õige, kui see on väiksem kui üks:

Näide 2

Näiteks tavaline murd $\frac(6)(13)$ on õige, sest tingimus $\frac(6)(13) on täidetud

Valed murrud

Vale murdosa Kutsutakse tavaline murd $\frac(m)(n)$, milles lugeja on nimetajast suurem või sellega võrdne, s.t. $m\ge n$.

Näide 3

Näiteks murrud $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ on ebaregulaarsed , siis kuidas igaühes neist on lugeja nimetajast suurem või sellega võrdne, mis vastab valemurru määratlusele.

Anname valemurru definitsiooni, mis põhineb selle võrdlusel ühega.

Harilik murd $\frac(m)(n)$ on vale, kui see on võrdne ühega või suurem:

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

Näide 4

Näiteks harilik murd $\frac(21)(4)$ on vale, sest tingimus $\frac(21)(4) >1$ on täidetud;

harilik murd $\frac(8)(8)$ on vale, sest tingimus $\frac(8)(8)=1$ on täidetud.

Vaatame lähemalt valemurru mõistet.

Võtame näiteks valemurru $\frac(7)(7)$. Selle murdosa tähendus on võtta objektist seitse osa, mis on jagatud seitsmeks võrdseks osaks. Seega saab seitsmest saadaolevast aktsiast koostada kogu objekti. Need. vale murd $\frac(7)(7)$ kirjeldab kogu objekti ja $\frac(7)(7)=1$. Seega kirjeldavad ebaõiged murrud, milles lugeja on võrdne nimetajaga, ühte tervet objekti ja sellise murdosa saab asendada naturaalarvuga $1$.

$\frac(5)(2)$ -- on täiesti ilmne, et nendest viiest teisest osast saad moodustada $2$ terveid objekte (üks terve objekt koosneb $2$ osadest ja kahe terve objekti koostamiseks vaja $2+2=4$ aktsiat) ja üks sekund jääb alles. See tähendab, et vale murd $\frac(5)(2)$ kirjeldab $2$ objektist ja $\frac(1)(2)$ selle objekti osa.

$\frac(21)(7)$ -- kahekümne ühe seitsmendiku osadest saad teha $3$ terveid objekte ($3$ objektid, millest igaühel on $7$ osa). Need. murdosa $\frac(21)(7)$ kirjeldab $3$ terveid objekte.

Vaadatud näidete põhjal võib järeldada järgmine väljund: vale murdosa saab asendada naturaalarvuga, kui lugeja jagub nimetajaga (näiteks $\frac(7)(7)=1$ ja $\frac(21)(7)=3$, või summa naturaalarv ja korralik murd, kui lugeja ei jagu nimetajaga täielikult (näiteks $\ \frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$). Sellepärast nimetatakse selliseid murde vale.

Definitsioon 1

Vale murru esitamise protsessi naturaalarvu ja õige murru summana (näiteks $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) nimetatakse eraldades kogu osa valest murdosast.

Vale murdudega töötades on nende ja segaarvude vahel tihe seos.

Vale murd kirjutatakse sageli segaarvuna – arvuna, mis koosneb täisarvust ja murdosast.

Vale murru kirjutamiseks segaarvuna peate jagama lugeja nimetajaga jäägiga. Jagatis on segaarvu täisarv, jääk on murdosa lugeja ja jagaja on murdosa nimetaja.

Näide 5

Kirjutage vale murd $\frac(37)(12)$ segaarvuna.

Lahendus.

Jagage lugeja nimetajaga jäägiga:

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (ülejäänud\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

Vastus.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.

Segaarvu valemurruna kirjutamiseks peate korrutama nimetaja kogu arvu osaga, lisama saadud korrutisele murdosa lugeja ja kirjutama saadud summa murdosa lugejasse. Vale murru nimetaja on võrdne segaarvu murdosa nimetajaga.

Näide 6

Kirjutage segaarv $5\frac(3)(7)$ valemurruna.

Lahendus.

Vastus.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

Segaarvude ja õigete murdude lisamine

Seganumbri lisamine$a\frac(b)(c)$ ja õige murdosa$\frac(d)(e)$ lisatakse antud murdarvule antud segaarvu murdosa:

Näide 7

Lisage õige murd $\frac(4)(15)$ ja segaarv $3\frac(2)(5)$.

Lahendus.

Kasutame segaarvu ja õige murru liitmiseks valemit:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\left(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\right)=3+\ vasak(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\right)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]

Jagades arvuga \textit(5), saame kindlaks teha, et murdosa $\frac(10)(15)$ on taandatav. Teeme vähendamise ja leiame lisamise tulemuse:

Niisiis, õige murdosa $\frac(4)(15)$ ja segaarvu $3\frac(2)(5)$ liitmise tulemus on $3\frac(2)(3)$.

Vastus:$3\frac(2)(3)$

Segaarvude ja valede murdude lisamine

Sobimatute murdude ja segaarvude lisamine taandub kahe segaarvu lisamiseni, mille jaoks piisab, kui kogu osa valest murdosast eraldada.

Näide 8

Arvutage segaarvu $6\frac(2)(15)$ ja valemurru $\frac(13)(5)$ summa.

Lahendus.

Esmalt eraldame valest murdosast $\frac(13)(5)$ terve osa:

Vastus:$8\frac(11)(15)$.