Kuidas väljendada arvu logaritmi järgi. Võrrandid ja võrratused. Üleminek uuele vundamendile

Selle artikli keskmes on logaritm. Siin anname logaritmi definitsiooni, näitame aktsepteeritud tähistust, toome logaritmide näiteid ning räägime naturaal- ja kümnendlogaritmidest. Pärast seda käsitleme põhilogaritmilist identiteeti.

Leheküljel navigeerimine.

Logaritmi definitsioon

Logaritmi mõiste tekib ülesande lahendamisel aastal teatud mõttes pöördvõrdeline, kui peate leidma astendaja poolt teadaolev väärtus aste ja teadaolev alus.

Kuid piisavalt eessõna, on aeg vastata küsimusele "mis on logaritm"? Anname vastava määratluse.

Definitsioon.

Logaritm b alusesse a, kus a>0, a≠1 ja b>0 on eksponent, milleni peate arvu a suurendama, et saada b tulemuseks.

Selles etapis märgime, et väljaöeldud sõna "logaritm" peaks kohe tekitama kaks järelküsimust: "milline arv" ja "mille alusel". Teisisõnu, logaritmi lihtsalt pole, vaid on ainult arvu logaritm mingi aluse suhtes.

Lähme kohe sisse logaritmi tähistus: arvu b logaritmi alusele a tähistatakse tavaliselt kui log a b. Arvu b logaritmil aluse e ja 10 logaritmil on vastavalt oma eritähised lnb ja logb, see tähendab, et nad ei kirjuta mitte log e b, vaid lnb ja mitte log 10 b, vaid lgb.

Nüüd saame anda: .
Ja plaadid ei ole mõtet, kuna esimeses neist on negatiivne arv logaritmi märgi all, teises on negatiivne arv aluses ja kolmandas on negatiivne arv logaritmi märgi all ja ühik baas.

Nüüd räägime sellest logaritmide lugemise reeglid. Log a b loetakse "logaritmiks b aluse a kohta". Näiteks logaritm 2 3 on logaritm kolmest aluse 2 suhtes ja kahe punkti kahe kolmandiku logaritm aluse 2 suhtes Ruutjuur viiest. Nimetatakse logaritm aluse e juurde naturaallogaritm, ja märge lnb on "b loomulik logaritm". Näiteks ln7 on seitsme naturaalne logaritm ja me loeme seda pi naturaallogaritmiks. 10 baaslogaritmil on ka spetsiaalne nimi - kümnendlogaritm, ja lgb loetakse "b kümnendlogaritmiks". Näiteks lg1 on ühe kümnendlogaritm ja lg2.75 on kahe koma seitsme viie sajandiku kümnendlogaritm.

Eraldi tasub peatuda tingimustel a>0, a≠1 ja b>0, mille puhul on antud logaritmi definitsioon. Selgitame, kust need piirangud tulevad. Seda aitab meil teha võrdsus nimega , mis tuleneb otseselt ülaltoodud logaritmi definitsioonist.

Alustame a≠1-ga. Kuna üks mis tahes astmega on võrdne ühega, saab võrdus olla tõene ainult siis, kui b=1, kuid log 1 1 võib olla mis tahes reaalarv. Selle ebaselguse vältimiseks eeldatakse, et a≠1.

Põhjendagem tingimuse a>0 otstarbekust. Kui a=0, siis logaritmi definitsiooni järgi oleks meil võrdsus, mis on võimalik ainult siis, kui b=0. Kuid siis võib log 0 0 olla mis tahes nullist erinev reaalarv, kuna nullist mis tahes nullist erineva astmeni on null. Tingimus a≠0 võimaldab meil seda ebaselgust vältida. Ja kui a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Lõpuks tuleneb ebavõrdsusest a>0 tingimus b>0, kuna , ja positiivse alusega a astme väärtus on alati positiivne.

Selle punkti lõpetuseks oletame, et esitatud logaritmi definitsioon võimaldab teil kohe näidata logaritmi väärtust, kui logaritmi märgi all olev arv on aluse teatud võimsus. Tõepoolest, logaritmi definitsioon võimaldab väita, et kui b=a p, siis arvu b logaritm aluse a suhtes on võrdne p-ga. See tähendab, et võrduslogi a a p =p on tõene. Näiteks teame, et 2 3 = 8, siis log 2 8 = 3. Sellest räägime artiklis lähemalt.

Nagu teate, korrutades avaldisi astmetega, nende eksponendid liidetakse alati (a b *a c = a b+c). See matemaatiline seadus tuletas Archimedes ja hiljem, 8. sajandil, lõi matemaatik Virasen täisarvude eksponentide tabeli. Just nemad teenisid logaritmide edasist avastamist. Selle funktsiooni kasutamise näiteid võib leida peaaegu kõikjalt, kus on vaja tülikat korrutamist lihtsa liitmise abil lihtsustada. Kui kulutate selle artikli lugemisele 10 minutit, selgitame teile, mis on logaritmid ja kuidas nendega töötada. Lihtsas ja arusaadavas keeles.

Definitsioon matemaatikas

Logaritm on avaldis järgmisel kujul: log a b=c, st mis tahes logaritm negatiivne arv(st mis tahes positiivset) "b" selle baasi "a" järgi loetakse "c" astmeks, milleni tuleb baas "a" tõsta, et lõpuks saada väärtus "b". Analüüsime logaritmi näidete abil, oletame, et on olemas avaldis log 2 8. Kuidas vastust leida? See on väga lihtne, peate leidma sellise võimsuse, et 2-st kuni vajaliku võimsuseni saate 8. Kui olete oma peas arvutusi teinud, saame arvu 3! Ja see on tõsi, sest 2 astmel 3 annab vastuseks 8.

Logaritmide tüübid

Paljude õpilaste ja üliõpilaste jaoks tundub see teema keeruline ja arusaamatu, kuid tegelikult pole logaritmid nii hirmutavad, peamine on mõista nende üldist tähendust ja meeles pidada nende omadusi ja mõningaid reegleid. Seal on kolm üksikud liigid logaritmilised avaldised:

1. Naturaallogaritm ln a, kus aluseks on Euleri arv (e = 2,7).
2. Kümnend a, kus alus on 10.
3. Mis tahes arvu b logaritm aluse a>1 suhtes.

Igaüks neist on otsustatud standardsel viisil, mis sisaldab logaritmilisi teoreeme kasutades lihtsustamist, redutseerimist ja järgnevat taandada ühele logaritmile. Saamise eest õiged väärtused logaritme, peaksite nende lahendamisel meeles pidama nende omadusi ja toimingute jada.

Reeglid ja mõned piirangud

Matemaatikas on mitmeid reegleid-piiranguid, mida aktsepteeritakse aksioomina, st need ei kuulu arutlusele ja on tõde. Näiteks on võimatu jagada numbreid nulliga, samuti on võimatu eraldada negatiivsete arvude paarisjuurt. Logaritmidel on ka oma reeglid, mida järgides saate hõlpsalt õppida töötama isegi pikkade ja mahukate logaritmiliste avaldistega:

• Alus "a" peab alati olema suurem kui null ja mitte võrdne 1-ga, vastasel juhul kaotab avaldis oma tähenduse, kuna "1" ja "0" on mis tahes määral alati võrdsed nende väärtustega;
• kui a > 0, siis a b >0, selgub, et ka “c” peab olema suurem kui null.

Kuidas logaritme lahendada?

Näiteks on antud ülesanne leida vastus võrrandile 10 x = 100. See on väga lihtne, tuleb valida aste, tõstes arvu kümmet, milleni saame 100. See on loomulikult 10 2 = 100.

Nüüd esitame selle avaldise logaritmilisel kujul. Saame logaritmi 10 100 = 2. Logaritmide lahendamisel koonduvad kõik toimingud praktiliselt kokku, et leida aste, milleni on etteantud arvu saamiseks vaja sisestada logaritmi baas.

Tundmatu kraadi väärtuse täpseks määramiseks peate õppima kraaditabeliga töötamist. See näeb välja selline:

Nagu näete, saab mõningaid eksponente intuitiivselt ära arvata, kui teil on tehniline mõistus ja teadmised korrutustabelist. Suuremate väärtuste jaoks vajate aga toitetabelit. Seda saavad kasutada isegi need, kes ei tea keerulistest matemaatilistest teemadest midagi. Vasakpoolne veerg sisaldab numbreid (alus a), ülemine arvude rida on astme c väärtus, milleni arv a tõstetakse. Ristmikul sisaldavad lahtrid arvuväärtusi, mis on vastuseks (a c = b). Võtame näiteks kõige esimese lahtri numbriga 10 ja paneme selle ruudu ruutu, saame väärtuse 100, mis on näidatud meie kahe lahtri ristumiskohas. Kõik on nii lihtne ja kerge, et isegi kõige tõelisem humanist mõistab!

Võrrandid ja võrratused

Selgub, et teatud tingimustel on eksponendiks logaritm. Seetõttu saab logaritmilise võrdsusena kirjutada mis tahes matemaatilisi arvavaldisi. Näiteks 3 4 =81 saab kirjutada kui 81 baasi 3 logaritm, mis võrdub neljaga (log 3 81 = 4). Negatiivsete astmete puhul on reeglid samad: 2 -5 = 1/32 kirjutame selle logaritmina, saame log 2 (1/32) = -5. Matemaatika üks põnevamaid sektsioone on “logaritmide” teema. Allpool vaatleme võrrandite näiteid ja lahendusi, kohe pärast nende omaduste uurimist. Nüüd vaatame, kuidas ebavõrdsused välja näevad ja kuidas neid võrranditest eristada.

Antakse järgmine avaldis: log 2 (x-1) > 3 - see on logaritmiline võrratus, kuna tundmatu väärtus “x” on logaritmilise märgi all. Ja ka avaldises võrreldakse kahte suurust: soovitud arvu logaritm alus kahele on suurem kui arv kolm.

Kõige olulisem erinevus logaritmiliste võrrandite ja võrratuste vahel on see, et logaritmidega võrrandid (näiteks logaritm 2 x = √9) eeldavad ühte või mitut konkreetset vastust. arvväärtusi, samas kui ebavõrdsuse lahendamisel määratakse nii selle funktsiooni lubatud väärtuste vahemik kui ka murdepunktid. Selle tulemusena ei ole vastus lihtne üksikute arvude kogum, nagu võrrandi vastuses, vaid pidev arvude jada või komplekt.

Põhiteoreemid logaritmide kohta

Primitiivsete logaritmi väärtuste leidmise ülesannete lahendamisel ei pruugi selle omadused olla teada. Kui aga rääkida logaritmilistest võrranditest või võrratustest, siis ennekõike on vaja selgelt mõista ja praktikas rakendada logaritmide kõiki põhiomadusi. Vaatame võrrandite näiteid hiljem; kõigepealt vaatame iga omadust üksikasjalikumalt.

1. Põhiidentiteet näeb välja selline: a logaB =B. See kehtib ainult siis, kui a on suurem kui 0, mitte võrdne ühega ja B on suurem kui null.
2. Korrutise logaritmi saab esitada järgmise valemiga: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Sel juhul on kohustuslik tingimus: d, s 1 ja s 2 > 0; a≠1. Saate esitada selle logaritmilise valemi tõestuse koos näidete ja lahendusega. Olgu log a s 1 = f 1 ja log a s 2 = f 2, siis a f1 = s 1, a f2 = s 2. Saame, et s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (omadused kraadi ) ja siis definitsiooni järgi: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, mis vajas tõestamist.
3. Jagatise logaritm näeb välja selline: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Valemi kujul olev teoreem on järgmisel kujul: log a q b n = n/q log a b.

Seda valemit nimetatakse "logaritmi astme omaduseks". See meenutab tavaliste kraadide omadusi ja see pole üllatav, sest kogu matemaatika põhineb looduslikel postulaatidel. Vaatame tõestust.

Olgu logi a b = t, selgub a t =b. Kui tõstame mõlemad osad astmeni m: a tn = b n ;

aga kuna a tn = (a q) nt/q = b n, siis log a q b n = (n*t)/t, siis log a q b n = n/q log a b. Teoreem on tõestatud.

Näited probleemidest ja ebavõrdsusest

Kõige tavalisemad logaritmide probleemide tüübid on võrrandite ja võrratuste näited. Neid leidub peaaegu kõigis probleemraamatutes ja need on ka matemaatikaeksamite kohustuslik osa. Ülikooli sisseastumiseks või läbimiseks sisseastumiseksamid matemaatikas peate teadma, kuidas selliseid ülesandeid õigesti lahendada.

Kahjuks pole logaritmi tundmatu väärtuse lahendamiseks ja määramiseks ühtset plaani või skeemi, kuid iga matemaatilise võrratuse või logaritmilise võrrandi puhul saab rakendada teatud reegleid. Kõigepealt peaksite välja selgitama, kas väljendit saab lihtsustada või viia selleni üldine välimus. Kui kasutate nende omadusi õigesti, saate pikki logaritmilisi avaldisi lihtsustada. Saame nendega kiiresti tuttavaks.

Otsustades logaritmilised võrrandid, peaksime määrama, mis tüüpi logaritm meil on: näidisavaldis võib sisaldada naturaallogaritmi või kümnendlogaritmi.

Siin on näited ln100, ln1026. Nende lahendus taandub asjaolule, et nad peavad määrama võimsuse, mille baas 10 võrdub vastavalt 100 ja 1026. Lahenduste jaoks naturaallogaritmid peate rakendama logaritmilisi identiteete või nende omadusi. Vaatame näiteid erinevat tüüpi logaritmiliste ülesannete lahendamisest.

Logaritmi valemite kasutamine: näidete ja lahendustega

Niisiis, vaatame näiteid logaritmide põhiteoreemide kasutamisest.

1. Korrutise logaritmi omadust saab kasutada ülesannetes, kus on vaja laiendada suur tähtsus arvud b lihtsamateks teguriteks. Näiteks log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Vastus on 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - nagu näha, õnnestus meil logaritmi astme neljandat omadust kasutades lahendada pealtnäha keeruline ja lahendamatu avaldis. Peate lihtsalt arvutama aluse ja seejärel võtma eksponendi väärtused logaritmi märgist välja.

Ühtse riigieksami ülesanded

Logaritme leidub sageli sisseastumiseksamid, eriti palju logaritmilisi ülesandeid ühtsel riigieksamil (riigieksam kõigile koolilõpetajatele). Tavaliselt on need ülesanded olemas mitte ainult A osas (kõige lihtsam test osa eksam), aga ka C-osas (kõige keerulisemad ja mahukamad ülesanded). Eksam eeldab teema “Looduslikud logaritmid” täpset ja täiuslikku tundmist.

Näited ja probleemide lahendused on võetud ametlikult Ühtse riigieksami valikud. Vaatame, kuidas selliseid ülesandeid lahendatakse.

Antud log 2 (2x-1) = 4. Lahendus:
kirjutame avaldise ümber, lihtsustades seda veidi log 2 (2x-1) = 2 2, logaritmi definitsiooniga saame, et 2x-1 = 2 4, seega 2x = 17; x = 8,5.

• Parim on taandada kõik logaritmid samale alusele, et lahendus ei oleks tülikas ja segane.
• Kõik logaritmimärgi all olevad avaldised on näidatud positiivsetena, seega kui logaritmimärgi all oleva avaldise astendaja võetakse kordajaks välja, peab logaritmi alla jääv avaldis olema positiivne.

Arvu logaritm N põhineb A nimetatakse eksponendiks X , millele peate ehitama A numbri saamiseks N

Tingimusel, et
,
,

Logaritmi definitsioonist järeldub, et
, st.
- see võrdsus on logaritmiline põhiidentiteet.

Logaritme 10-ni nimetatakse kümnendlogaritmideks. Selle asemel
kirjutada
.

Logaritmid baasi e nimetatakse looduslikeks ja on määratud
.

Logaritmide põhiomadused.

Ühe logaritm mis tahes baasis võrdne nulliga

Korrutise logaritm võrdub tegurite logaritmide summaga.

3) Jagatise logaritm on võrdne logaritmide vahega

Faktor
nimetatakse üleminekumooduliks logaritmidelt baasile a logaritmidele baasis b .

Kasutades atribuute 2-5, on sageli võimalik taandada kompleksavaldise logaritm logaritmide lihtsate aritmeetiliste toimingute tulemuseks.

Näiteks,

Selliseid logaritmi teisendusi nimetatakse logaritmideks. Logaritmidele vastupidiseid teisendusi nimetatakse potentseerimiseks.

Peatükk 2. Kõrgema matemaatika elemendid.

1. Piirangud

Funktsiooni piirang
on lõplik arv A, kui, as xx 0 iga etteantud jaoks
, on selline number
et niipea kui
, See
.

Funktsioon, millel on piirang, erineb sellest lõpmata väikese summa võrra:
, kus- b.m.v., st.
.

Näide. Mõelge funktsioonile
.

Kui pingutada
, funktsioon y kipub nulli:

1.1. Põhiteoreemid piiride kohta.

Konstantse väärtuse piir on võrdne selle konstantse väärtusega

.

Lõpliku arvu funktsioonide summa (erinevuse) piir on võrdne nende funktsioonide piiride summaga (erinevus).

Lõpliku arvu funktsioonide korrutise piirväärtus on võrdne nende funktsioonide piiride korrutisega.

Kahe funktsiooni jagatise piir on võrdne nende funktsioonide piiride jagatisega, kui nimetaja piir ei ole null.

Imelised piirid

,
, Kus

1.2. Limiidi arvutamise näited

Kõiki limiite aga nii lihtsalt ei arvutata. Enamasti taandub limiidi arvutamine tüübi määramatuse paljastamisele: või .

.

2. Funktsiooni tuletis

Olgu meil funktsioon
, pidev segmendil
.

Argument sai veidi tõusu
. Seejärel saab funktsioon juurdekasvu
.

Argumendi väärtus vastab funktsiooni väärtusele
.

Argumendi väärtus
vastab funktsiooni väärtusele.

Seega,.

Leiame selle suhte piiri
. Kui see piir on olemas, siis nimetatakse seda antud funktsiooni tuletiseks.

Definitsioon 3 Antud funktsiooni tuletis
argumendiga nimetatakse funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piiriks, kui argumendi juurdekasv kipub meelevaldselt nulli.

Funktsiooni tuletis
saab tähistada järgmiselt:

; ; ; .

Definitsioon 4 Funktsiooni tuletise leidmise operatsiooni nimetatakse eristamist.

2.1. Tuletise mehaaniline tähendus.

Vaatleme mõne jäiga keha või materiaalse punkti sirgjoonelist liikumist.

Lase mingil ajahetkel liikuv punkt
oli eemal algasendist
.

Mõne aja pärast
ta liikus eemale
. Suhtumine =- materiaalse punkti keskmine kiirus
. Leiame selle suhte piiri, võttes seda arvesse
.

Järelikult taandatakse materiaalse punkti hetkelise liikumiskiiruse määramine tee tuletise leidmisele aja suhtes.

2.2. Tuletise geomeetriline väärtus

Olgu meil graafiliselt määratletud funktsioon
.

Riis. 1. Tuletise geomeetriline tähendus

Kui
, siis punkt
, liigub piki kõverat, lähenedes punktile
.

Seega
, st. tuletise väärtus argumendi antud väärtuse jaoks arvuliselt võrdne selle nurga puutujaga, mille puutuja moodustab antud punktis telje positiivse suunaga
.

2.3. Põhiliste diferentseerimisvalemite tabel.

Toitefunktsioon

Eksponentfunktsioon

Logaritmiline funktsioon

Trigonomeetriline funktsioon

Trigonomeetriline pöördfunktsioon

2.4. Eristamise reeglid.

Tuletis

Funktsioonide summa (erinevuse) tuletis

Kahe funktsiooni korrutise tuletis

Kahe funktsiooni jagatise tuletis

2.5. Tuletis keeruline funktsioon.

Olgu funktsioon antud
nii, et seda saab esitada kujul

Ja
, kus muutuja on siis vahepealne argument

Kompleksfunktsiooni tuletis on võrdne antud funktsiooni tuletise korrutisega vaheargumendi ja vaheargumendi tuletisega x suhtes.

Näide 1.

Näide 2.

3. Diferentsiaalfunktsioon.

Las olla
, mõnel intervallil diferentseeruv
lase sel minna juures sellel funktsioonil on tuletis

,

siis saame kirjutada

(1),

Kus - lõpmatult väike kogus,

mis ajast

Kõigi võrdsuse (1) tingimuste korrutamine
meil on:

Kus
- b.m.v. kõrgem järjekord.

Suurusjärk
nimetatakse funktsiooni diferentsiaaliks
ja on määratud

.

3.1. Diferentsiaali geomeetriline väärtus.

Olgu funktsioon antud
.

Joonis 2. Diferentsiaali geomeetriline tähendus.

.

Ilmselgelt funktsiooni erinevus
on võrdne puutuja ordinaadi juurdekasvuga antud punktis.

3.2. Erinevat järku tuletis- ja diferentsiaalid.

Kui seal
, Siis
nimetatakse esimeseks tuletiseks.

Esimese tuletise tuletist nimetatakse teist järku tuletiseks ja kirjutatakse
.

Funktsiooni n-ndat järku tuletis
nimetatakse (n-1)-ndat järku tuletiseks ja kirjutatakse:

.

Funktsiooni diferentsiaali diferentsiaali nimetatakse teist diferentsiaaliks või teist järku diferentsiaaliks.

.

.

3.3 Bioloogiliste probleemide lahendamine diferentseerimise abil.

Ülesanne 1. Uuringud on näidanud, et mikroorganismide koloonia kasv järgib seadusi
, Kus N – mikroorganismide arv (tuhandetes), t – aeg (päevad).

b) Kas koloonia populatsioon sel perioodil suureneb või väheneb?

Vastus. Koloonia suurus suureneb.

Ülesanne 2. Järve vett kontrollitakse perioodiliselt, et jälgida patogeensete bakterite sisaldust. Läbi t päeva pärast testimist määratakse bakterite kontsentratsioon suhtega

.

Millal on järves minimaalne bakterite kontsentratsioon ja kas seal saab ujuda?

Lahendus: Funktsioon saavutab max või min, kui selle tuletis on null.

,

Teeme kindlaks, et maksimum või miinimum on 6 päeva pärast. Selleks võtame teise tuletise.

Vastus: 6 päeva pärast on bakterite minimaalne kontsentratsioon.

\(a^(b)=c\) \(\Leftparemnool\) \(\log_(a)(c)=b\)

Selgitame seda lihtsamalt. Näiteks \(\log_(2)(8)\) on võrdne astmega, milleni \(2\) tuleb \(8\) saamiseks tõsta. Sellest on selge, et \(\log_(2)(8)=3\).

Argument ja logaritmi alus

Igal logaritmil on järgmine "anatoomia":

Logaritmi argument kirjutatakse tavaliselt selle tasemel ja alus kirjutatakse logaritmi märgile lähemal asuvas alaindeksis. Ja see sissekanne kõlab järgmiselt: "logaritm kahekümne viiest põhiviieni."

Kuidas arvutada logaritmi?

Logaritmi arvutamiseks peate vastama küsimusele: millisele astmele tuleks argumendi saamiseks baasi tõsta?

Näiteks, arvuta logaritm: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\) sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Millise astmeni tuleb \(4\) tõsta, et saada \(16\)? Ilmselgelt teine. Sellepärast:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Millise astmeni tuleb \(\sqrt(5)\) tõsta, et saada \(1\)? Milline jõud teeb ükskõik millisest esikoha? Null, muidugi!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Millise astmeni tuleb \(\sqrt(7)\) suurendada, et saada \(\sqrt(7)\)? Esiteks on suvaline arv esimese astmeni võrdne iseendaga.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Millise astmeni tuleb \(3\) tõsta, et saada \(\sqrt(3)\)? Me teame, et see on murdarvu aste, mis tähendab, et ruutjuur on astme \(\frac(1)(2)\) aste.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Näide : Arvutage logaritm \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Lahendus :

Vastus : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Miks leiutati logaritm?

Selle mõistmiseks lahendame võrrandi: \(3^(x)=9\). Võrdõiguslikkuse toimimiseks tehke lihtsalt vaste \(x\). Muidugi, \(x=2\).

Nüüd lahendage võrrand: \(3^(x)=8\). Millega x võrdub? See on asja mõte.

Targemad ütlevad: "X on natuke vähem kui kaks." Kuidas seda numbrit täpselt kirjutada? Sellele küsimusele vastamiseks leiutati logaritm. Tänu temale saab siin vastuse kirjutada kujul \(x=\log_(3)(8)\).

Tahan rõhutada, et \(\log_(3)(8)\), meeldib iga logaritm on vaid arv. Jah, see tundub ebatavaline, kuid on lühike. Sest kui me tahtsime seda vormis kirjutada kümnend, siis näeks see välja selline: \(1.892789260714.....\)

Näide : lahendage võrrand \(4^(5x-4)=10\)

Lahendus :

Vastus : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Kümnend- ja naturaallogaritmid

Nagu on öeldud logaritmi definitsioonis, võib selle alus olla mis tahes positiivne arv, välja arvatud üks \((a>0, a\neq1)\). Ja kõigi võimalike aluste hulgas on kaks, mis esinevad nii sageli, et nendega koos olevate logaritmide jaoks leiutati spetsiaalne lühike tähistus:

Naturaalne logaritm: logaritm, mille alus on Euleri arv \(e\) (võrdub ligikaudu \(2,7182818…\)) ja logaritm on kirjutatud kujul \(\ln(a)\).

See on, \(\ln(a)\) on sama mis \(\log_(e)(a)\)

Kümnendlogaritm: Logaritm, mille alus on 10, kirjutatakse \(\lg(a)\).

See on, \(\lg(a)\) on sama mis \(\log_(10)(a)\), kus \(a\) on mingi arv.

Põhiline logaritmiline identiteet

Logaritmidel on palju omadusi. Ühte neist nimetatakse "põhilogaritmiliseks identiteediks" ja see näeb välja järgmine:

See omadus tuleneb otseselt määratlusest. Vaatame täpselt, kuidas see valem tekkis.

Tuletagem meelde logaritmi määratluse lühikest tähistust:

kui \(a^(b)=c\), siis \(\log_(a)(c)=b\)

See tähendab, et \(b\) on sama mis \(\log_(a)(c)\). Siis saame valemis \(a^(b)=c\) kirjutada \(\log_(a)(c)\) asemel \(b\). Selgus \(a^(\log_(a)(c))=c\) - peamine logaritmiline identiteet.

Saate leida muid logaritmide omadusi. Nende abiga saate lihtsustada ja arvutada avaldiste väärtusi logaritmidega, mida on raske otse arvutada.

Näide : leidke avaldise \(36^(\log_(6)(5))\) väärtus

Lahendus :

Vastus : \(25\)

Kuidas kirjutada arv logaritmina?

Nagu eespool mainitud, on iga logaritm vaid arv. Tõsi on ka vastupidi: logaritmina saab kirjutada mis tahes arvu. Näiteks teame, et \(\log_(2)(4)\) on võrdne kahega. Siis saab kahe asemel kirjutada \(\log_(2)(4)\).

Kuid \(\log_(3)(9)\) võrdub ka \(2\), mis tähendab, et saame kirjutada ka \(2=\log_(3)(9)\) . Samamoodi \(\log_(5)(25)\) ja \(\log_(9)(81)\) jne. See tähendab, et selgub

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Seega võime vajaduse korral kirjutada kaks logaritmina suvalise alusega ükskõik kuhu (olgu see siis võrrandisse, avaldisesse või võrratusse) – me kirjutame aluse lihtsalt argumendina ruudus.

Sama on kolmikuga – selle saab kirjutada kui \(\log_(2)(8)\), või \(\log_(3)(27)\) või \(\log_(4)( 64) \)... Siin kirjutame argumendina kuubi aluse:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Ja neljaga:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Ja miinus ühega:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1) (7)\) \(...\)

Ja ühe kolmandikuga:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Mis tahes arvu \(a\) saab esitada logaritmina alusega \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Näide : Leia väljendi tähendus \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Lahendus :

Vastus : \(1\)

1. Kontrollige, kas logaritmimärgi all on negatiivsed arvud või üks. See meetod kohaldatav vormi väljenditele log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). Kuid see ei sobi teatud erijuhtudel:

   • Negatiivse arvu logaritm on määratlemata üheski aluses (näiteks log ⁡ (− 3) (\displaystyle \log(-3)) või log 4 ⁡ (− 5) (\displaystyle \log _(4) (-5))). Sel juhul kirjutage "lahendus puudub".
   • Samuti on määratlemata nulli logaritm mis tahes aluse suhtes. Kui vahele jääd ln ⁡ (0) (\displaystyle \ln(0)), kirjutage üles "lahendus puudub".
   • Logaritm ühest mis tahes baasi ( log ⁡ (1) (\displaystyle \log(1))) on alati null, sest x 0 = 1 (\displaystyle x^(0)=1) kõigi väärtuste jaoks x. Kirjuta selle logaritmi asemel 1 ja ära kasuta allolevat meetodit.
   • Kui logaritmidel on näiteks erinevad alused l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))), ja neid ei taandata täisarvudeks, ei saa avaldise väärtust käsitsi leida.

2. Teisenda avaldis üheks logaritmiks. Kui väljend ei ole üks ülaltoodutest erilistel puhkudel, saab seda esitada ühe logaritmina. Kasutage selleks järgmist valemit: log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) = log a ⁡ (x) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ log_(a)(x)).

   • Näide 1: kaaluge väljendit log ⁡ 16 log ⁡ 2 (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2))).
     Esmalt esitame avaldise ühe logaritmina, kasutades ülaltoodud valemit: log ⁡ 16 log ⁡ 2 = log 2 ⁡ (16) (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))=\log _(2) (16)).
   • See logaritmi "aluse asendamise" valem on tuletatud logaritmide põhiomadustest.

3. Võimalusel hinnake avaldise väärtust käsitsi. Leidma logi a ⁡ (x) (\displaystyle \log _(a)(x)), kujutage ette väljendit " a? = x (\displaystyle a^(?)=x)", see tähendab, esitage järgmine küsimus: "Millisele võimule peaksite tõstma a, Et saada x?. Sellele küsimusele vastamiseks võib olla vaja kalkulaatorit, kuid kui teil veab, võite selle võib-olla käsitsi leida.

   • Näide 1 (jätkub): Kirjuta ümber kui 2? = 16 (\displaystyle 2^(?)=16). Peate leidma, milline number peaks seisma märgi "?" asemel. Seda saab teha katse-eksituse meetodil:
     2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\displaystyle 2^(2)=2*2=4)
     2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=4*2=8)
     2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\displaystyle 2^ (4) = 8 * 2 = 16)
     Nii et number, mida otsime, on 4: log 2 ⁡ (16) (\displaystyle \log _(2) (16)) = 4 .

4. Kui te ei saa seda lihtsustada, jätke oma vastus logaritmilises vormis. Paljusid logaritme on käsitsi väga raske arvutada. Sel juhul vajate täpse vastuse saamiseks kalkulaatorit. Kui aga lahendad tunnis ülesannet, jääb õpetaja suure tõenäosusega logaritmilises vormis vastusega rahule. Allpool käsitletud meetodit kasutatakse keerukama näite lahendamiseks:

   • näide 2: mis on võrdne log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) (\displaystyle (\frac (\log _(3) (58))(\log _(3) (7))))?
   • Teisendame selle avaldise üheks logaritmiks: log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) = log 7 ⁡ (58) (\displaystyle (\frac (\log _(3) (58))(\log _(3)(7)))=\ log_(7)(58)). Pange tähele, et mõlema logaritmi jaoks ühine alus 3 kaob; see on igal põhjusel tõsi.
   • Kirjutame avaldise vormis ümber 7? = 58 (\displaystyle 7^(?)=58) ja proovime leida väärtust?:
     7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\displaystyle 7^(2)=7*7=49)
     7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^ (3) = 49 * 7 = 343)
     Kuna 58 on nende kahe numbri vahel, ei väljendata seda täisarvuna.
   • Jätame vastuse logaritmilises vormis: log 7 ⁡ (58) (\displaystyle \log _(7) (58)).