Milline algarv jagub 3-ga. Jagamine

Arvude jaguvuse märgid 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 ja muid numbreid on kasulik teada, et kiiresti lahendada ülesandeid numbrite digitaalsel märkimisel. Ühe arvu teisega jagamise asemel piisab mitme märkide kontrollimisest, mille alusel saab üheselt kindlaks teha, kas üks arv jagub teisega (kas on kordne) või mitte.

Jaguvuse põhimärgid

Anname arvude jaguvuse põhimärgid:

• Arvu jaguvuse test 2-ga Arv jagub 2-ga, kui arv on paaris (viimane number on 0, 2, 4, 6 või 8)
  Näide: Arv 1256 on 2-kordne, kuna see lõpeb numbriga 6. Kuid arv 49603 ei jagu võrdselt 2-ga, kuna see lõpeb 3-ga.
• Arvu jaguvuse test kolmega Arv jagub 3-ga, kui selle numbrite summa jagub 3-ga
  Näide: Arv 4761 jagub 3-ga, kuna selle numbrite summa on 18 ja see jagub 3-ga. Ja arv 143 ei ole 3-ga kordne, kuna selle numbrite summa on 8 ja see ei jagu arvuga 3.
• Arvu jaguvuse test 4-ga Arv jagub 4-ga, kui selle kaks viimast numbrit on null või kahest viimasest numbrist koosnev arv jagub 4-ga
  Näide: arv 2344 on 4 kordne, kuna 44 / 4 = 11. Ja arv 3951 ei jagu 4-ga, kuna 51 ei jagu 4-ga.
• Arvu jaguvuse test 5-ga Arv jagub 5-ga, kui arvu viimane number on 0 või 5
  Näide: Arv 5830 jagub 5-ga, kuna see lõpeb 0-ga. Kuid arv 4921 ei jagu 5-ga, kuna see lõpeb 1-ga.
• Arvu jaguvuse test numbriga "6" Arv jagub 6-ga, kui see jagub 2 ja 3-ga.
  Näide: Arv 3504 on 6-kordne, kuna see lõpeb 4-ga (jagub 2-ga) ja arvu numbrite summa on 12 ja see jagub 3-ga (jagub 3-ga). Ja arv 5432 ei jagu täielikult 6-ga, kuigi arv lõpeb 2-ga (täheldatakse 2-ga jaguvuse kriteeriumi), kuid numbrite summa on 14 ja see ei jagu täielikult 3-ga.
• Arvu jaguvuse test 8-ga Arv jagub 8-ga, kui arvu kolm viimast numbrit on null või numbri kolmest viimasest numbrist koosnev arv jagub 8-ga
  Näide: arv 93112 jagub 8-ga, kuna arv 112 / 8 = 14. Ja arv 9212 ei ole 8 kordne, kuna 212 ei jagu 8-ga.
• Arvu jaguvuse test 9-ga Arv jagub 9-ga, kui selle numbrite summa jagub 9-ga
  Näide: Arv 2916 on 9-kordne, kuna numbrite summa on 18 ja jagub 9-ga. Ja arv 831 ei jagu 9-ga, kuna arvu numbrite summa on 12 ja see on ei jagu 9-ga.
• Testige arvu jaguvust 10-ga Arv jagub 10-ga, kui see lõpeb 0-ga
  Näide: Arv 39590 jagub 10-ga, kuna see lõpeb 0-ga. Ja arv 5964 ei jagu 10-ga, kuna see ei lõpe 0-ga.
• Testige arvu jaguvust 11-ga Arv jagub 11-ga, kui paaritutes kohtades olevate numbrite summa on võrdne paariskohtade numbrite summaga või kui summad peavad erinema 11 võrra
  Näide: Arv 3762 jagub 11-ga, kuna 3 + 6 = 7 + 2 = 9. Kuid arv 2374 ei jagu 11-ga, kuna 2 + 7 = 9 ja 3 + 4 = 7.
• Arvu jaguvuse test 25-ga Arv jagub 25-ga, kui see lõpeb numbritega 00, 25, 50 või 75
  Näide: arv 4950 on 25 kordne, kuna see lõpeb 50-ga. Ja 4935 ei jagu 25-ga, kuna see lõpeb 35-ga.

Liitarvuga jaguvuse märgid

Et teada saada, kas antud arv jagub liitarvuga, peate selle liitarvu arvesse võtma kaastegurid, mille jaguvuse tunnused on teada. Kaasalgarvud on arvud, millel pole muid ühiseid tegureid peale 1. Näiteks arv jagub 15-ga, kui see jagub 3 ja 5-ga.

Vaatleme veel ühte liitjagaja näidet: arv jagub 18-ga, kui see jagub 2 ja 9-ga. sel juhul 18 ei saa laiendada 3-ks ja 6-ks, kuna need ei ole suhteliselt algarvud, kuna neil on ühine jagaja 3. Vaatame seda näitega.

Arv 456 jagub 3-ga, kuna selle numbrite summa on 15, ja jagub 6-ga, kuna see jagub nii 3 kui ka 2-ga. Aga kui jagate 456 käsitsi 18-ga, saate jäägi. Kui kontrollite arvu 456 jaguvuse märke 2 ja 9-ga, näete kohe, et see jagub 2-ga, kuid mitte 9-ga, kuna arvu numbrite summa on 15 ja see ei jagu arvuga 9.

On märke, mille abil on mõnikord lihtne ilma reaalselt jagamata teada saada, kas antud arv on jagatav või mitte jagatav mõne teise arvuga.

Nimetatakse numbreid, mis jaguvad 2-ga isegi. Arv null viitab ka paarisarvudele. Kõikidele teistele numbritele helistatakse kummaline:

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... - paaris,
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... - paaritu.

Jaguvuse märgid

Testi jagavust 2-ga. Arv jagub 2-ga, kui selle viimane number on paaris. Näiteks arv 4376 jagub 2-ga, kuna viimane number (6) on paaris.

Testi jaguvust 3-ga. Ainult need arvud, mille numbrite summa jagub 3-ga, jaguvad 3-ga. Näiteks arv 10815 jagub 3-ga, kuna selle numbrite summa 1 + 0 + 8 + 1 + 5 = 15 jagub 3-ga.

4-ga jaguvuse testid. Arv jagub 4-ga, kui selle kaks viimast numbrit on nullid või moodustavad arvu, mis jagub 4-ga. Näiteks arv 244500 jagub 4-ga, kuna see lõpeb kahe nulliga. Arvud 14708 ja 7524 jaguvad 4-ga, kuna nende arvude kaks viimast numbrit (08 ja 24) jaguvad 4-ga.

5-ga jaguvuse testid. Need arvud, mis lõpevad 0 või 5-ga, jaguvad 5-ga. Näiteks arv 320 jagub 5-ga, kuna viimane number on 0.

Testi jagavust 6-ga. Arv jagub 6-ga, kui ta jagub nii 2 kui ka 3-ga. Näiteks arv 912 jagub 6-ga, kuna jagub nii 2 kui 3-ga.

8-ga jaguvuse testid. 8-ga jagatakse need arvud, mille kolm viimast numbrit on nullid või moodustavad arvu, mis jagub 8-ga. Näiteks arv 27000 jagub 8-ga, kuna see lõpeb kolme nulliga. Arv 63128 jagub 8-ga, kuna kolm viimast numbrit moodustavad arvu (128), mis jagub 8-ga.

Jaguvuse test 9-ga. 9-ga jaguvad ainult need arvud, mille numbrite summa jagub 9-ga. Näiteks arv 2637 jagub 9-ga, kuna selle numbrite summa 2 + 6 + 3 + 7 = 18 jagub 9-ga.

10, 100, 1000 jne jaguvuse märgid. Need arvud, mis lõpevad ühe nulliga, kahe nulliga, kolme nulliga ja nii edasi, jagatakse 10, 100, 1000 jne. Näiteks arv 3800 jagub 10 ja 100-ga.

Artiklite sari jagamiskriteeriumitest jätkub 3-ga jaguvuse test. See artikkel annab kõigepealt 3-ga jaguvuse testi sõnastuse ja näiteid selle testi kasutamise kohta, et teada saada, millised antud täisarvudest jaguvad 3-ga ja millised mitte. Allpool on 3-ga jaguvuse testi tõend. Arvesse võetakse ka lähenemisviise, kuidas määrata mõne avaldise väärtusena antud arvude jaguvust kolmega.

Leheküljel navigeerimine.

3-ga jaguvuse katse, näited

Alustame sellest 3-ga jaguvuse testi sõnastused: täisarv jagub 3-ga, kui selle numbrite summa jagub 3-ga, kui numbrite summa antud number ei jagu 3-ga, siis arv ise ei jagu 3-ga.

Ülaltoodud sõnastusest on selge, et 3-ga jaguvuse testi ei saa kasutada ilma sooritamisoskuseta. Samuti on 3-ga jaguvuse testi edukaks rakendamiseks vaja teada, et kõigist arvudest 3, 6 ja 9 jaguvad 3-ga, kuid arvud 1, 2, 4, 5, 7 ja 8 ei jagu 3-ga. .

Nüüd võime kaaluda kõige lihtsamat näiteid 3-ga jaguvuse testi kasutamisest. Uurime, kas arv −42 jagub 3-ga. Selleks arvutame arvu −42 numbrite summa, see võrdub 4+2=6. Kuna 6 jagub 3-ga, siis jaguvustesti tõttu 3-ga võime öelda, et ka arv −42 jagub 3-ga. Kuid positiivne täisarv 71 ei jagu 3-ga, kuna selle numbrite summa on 7+1=8 ja 8 ei jagu 3-ga.

Kas 0 jagub 3-ga? Sellele küsimusele vastamiseks ei vaja te jaguvuse omadust 3-ga, siin peate meeles pidama vastavat jaguvuse omadust, mis ütleb, et null jagub mis tahes täisarvuga. Nii et 0 jagub 3-ga.

Mõningatel juhtudel, näitamaks, et antud arv jagub 3-ga või mitte, tuleb 3-ga jaguvuse testi kasutada mitu korda järjest. Toome näite.

Näide.

Näidake, et arv 907 444 812 jagub 3-ga.

Lahendus.

Arvu 907 444 812 numbrite summa on 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39. Et teada saada, kas 39 jagub 3-ga, arvutame selle numbrite summa: 3+9=12. Ja et teada saada, kas 12 jagub 3-ga, leiame arvu 12 numbrite summa, meil on 1+2=3. Kuna saime arvu 3, mis jagub 3-ga, siis jaguvustesti 3-ga jagub arv 12 3-ga. Seetõttu jagub 39 3-ga, kuna selle numbrite summa on 12 ja 12 jagub 3-ga. Lõpuks jagub 907 333 812 3-ga, kuna selle numbrite summa on 39 ja 39 jagub 3-ga.

Materjali koondamiseks analüüsime lahendust teise näite järgi.

Näide.

Kas −543 205 jagub 3-ga?

Lahendus.

Arvutame selle arvu numbrite summa: 5+4+3+2+0+5=19. Arvu 19 numbrite summa on omakorda 1+9=10 ja arvu 10 numbrite summa 1+0=1. Kuna saime arvu 1, mis ei jagu 3-ga, siis 3-ga jaguvuse testist järeldub, et 10 ei jagu 3-ga. Seetõttu ei jagu 19 3-ga, kuna selle numbrite summa on 10 ja 10 ei jagu 3-ga. Seetõttu ei jagu esialgne arv −543 205 3-ga, kuna selle numbrite summa, mis on võrdne 19-ga, ei jagu 3-ga.

Vastus:

Ei.

Väärib märkimist, et antud arvu otsene jagamine 3-ga võimaldab ka järeldada, kas antud arv jagub 3-ga või mitte. Sellega tahame öelda, et me ei tohiks jätta tähelepanuta jagamist 3-ga jagamise kriteeriumi kasuks. IN viimane näide, 543 205 3-ga, siis veenduksime, et 543 205 ei jagu 3-ga, mille põhjal võiks öelda, et −543 205 ei jagu 3-ga.

3-ga jaguvuse testi tõestus

Arvu a järgmine esitus aitab meil tõestada jaguvuse testi 3-ga. Ükskõik milline naturaalarv a saame, mille järel see võimaldab saada esituse vormist , kus a n, a n−1, ..., a 0 on arvu a tähistuses olevad numbrid vasakult paremale. Selguse huvides toome sellise esituse näite: 528=500+20+8=5·100+2·10+8.

Nüüd paneme kirja mitmed üsna ilmsed võrdsused: 10=9+1=3·3+1, 100=99+1=33·3+1, 1 000=999+1=333·3+1 ja nii edasi .

Asendumine võrdsusega a=a n ·10 n +a n−1 ·10 n−1 +…+a 2 ·10 2 +a 1 ·10+a 0 10, 100, 1000 ja nii edasi asemel saame avaldised 3·3+1, 33·3+1, 999+1=333·3+1 ja nii edasi
.

Ja need võimaldavad saadud võrdsuse ümber kirjutada järgmiselt:

Väljendus on arvu a numbrite summa. Lühiduse ja mugavuse huvides tähistame seda tähega A, st aktsepteerime . Seejärel saame vormi arvu a esituse, mida kasutame 3-ga jaguvuse testi tõestamiseks.

Samuti on 3-ga jaguvuse testi tõestamiseks vaja järgmisi jaguvuse omadusi:

• Täisarvu a jagumiseks täisarvuga b on vajalik ja piisav, et a jagub b mooduliga;
• kui võrdsuses a=s+t jaguvad kõik liikmed peale ühe mingi täisarvuga b, siis jagub ka see üks liige b-ga.

Nüüd oleme täielikult valmis ja saame teostada 3-ga jaguvuse tõend, sõnastame selle kriteeriumi mugavuse huvides vajaliku ja piisava tingimusena 3-ga jagamiseks.

Teoreem.

Täisarvu a jagumiseks 3-ga on vajalik ja piisav, et selle numbrite summa jagub 3-ga.

Tõestus.

Sest a=0 teoreem on ilmne.

Kui a erineb nullist, siis arvu a moodul on naturaalarv, siis on esitus võimalik, kus on arvu a numbrite summa.

Kuna täisarvude summa ja korrutis on täisarv, siis on see täisarv, siis jaguvuse definitsiooni järgi jagub korrutis 3-ga iga 0, a 1, ..., a n korral.

Kui arvu a numbrite summa jagub 3-ga, see tähendab, et A jagub 3-ga, siis on see teoreemi ees näidatud jagatavusomaduse tõttu jaguv 3-ga, seega jagub a 3-ga. Seega on piisavus tõestatud.

Kui a jagub 3-ga, siis jagub 3-ga, siis sama jaguvusomaduse tõttu jagub arv A 3-ga, see tähendab, et arvu a numbrite summa jagub 3-ga. Vajadus on tõestatud.

Muud 3-ga jagamise juhtumid

Mõnikord ei ole täisarvud selgesõnaliselt määratud, vaid mõne väärtusena antud väärtus muutuv. Näiteks mõne naturaalarvu n avaldise väärtus on naturaalarv. On selge, et arvude sellisel määramisel ei aita otsene 3-ga jagamine määrata nende jaguvust 3-ga ja 3-ga jaguvuse testi ei saa alati rakendada. Nüüd kaalume mitmeid lähenemisviise selliste probleemide lahendamiseks.

Nende lähenemisviiside olemus seisneb selles, et esialgne avaldis esitatakse mitme teguri korrutisena ja kui vähemalt üks teguritest jagub 3-ga, siis on vastava jaguvusomaduse tõttu võimalik järeldada, et kogu korrutis jagub 3-ga.

Mõnikord võimaldab see lähenemisviis seda rakendada. Vaatame näidislahendust.

Näide.

Kas mis tahes naturaalarvu n korral jagub avaldise väärtus 3-ga?

Lahendus.

Võrdsus on ilmne. Kasutame Newtoni binoomvalemit:

Viimases avaldises saame sulgudest välja võtta 3 ja saame . Saadud korrutis jagatakse 3-ga, kuna see sisaldab koefitsienti 3, ja loomuliku n sulgudes olev avaldise väärtus tähistab naturaalarvu. Seetõttu jagub see mis tahes naturaalarvu n korral 3-ga.

Vastus:

Jah.

Paljudel juhtudel on võimalik tõestada jaguvust 3-ga. Vaatame näite lahendamisel selle rakendust.

Näide.

Tõesta, et iga naturaalarvu n korral jagub avaldise väärtus 3-ga.

Lahendus.

Selle tõestamiseks kasutame matemaatilise induktsiooni meetodit.

Kell n=1 on avaldise väärtus ja 6 jagatakse 3-ga.

Oletame, et avaldise väärtus jagub 3-ga, kui n=k, st jagub 3-ga.

Arvestades, et see jagub 3-ga, näitame, et n=k+1 avaldise väärtus jagub 3-ga, st näitame, et jagub 3-ga.

Hakkame kaaluma teemat “Jaguvuse test 3-ga”. Alustame märgi formuleerimisega ja esitame teoreemi tõestuse. Seejärel käsitleme peamisi lähenemisviise arvude 3-ga jaguvuse määramiseks, mille väärtuse annab mõni avaldis. Jaotises analüüsitakse peamiste probleemide tüüpide lahendust 3-ga jaguvuse testi kasutamise põhjal.

3-ga jaguvuse katse, näited

3-ga jaguvuse test on sõnastatud lihtsalt: täisarv jagub 3-ga ilma jäägita, kui selle numbrite summa jagub 3-ga. Kui kõigi täisarvu moodustavate numbrite koguväärtus ei jagu 3-ga, siis algarv ise ei jagu 3-ga. Täisarvu kõigi numbrite summa saate naturaalarvude liitmisel.

Vaatame nüüd näiteid 3-ga jaguvuse testi kasutamisest.

Näide 1

Kas arv 42 jagub 3-ga?

Lahendus

Sellele küsimusele vastamiseks liidame kokku kõik arvud, mis moodustavad arvu - 42: 4 + 2 = 6.

Vastus: Jaguvustesti järgi, kuna algarvus sisalduvate numbrite summa jagub kolmega, siis algarv ise jagub 3-ga.

Selleks, et vastata küsimusele, kas arv 0 jagub 3-ga, vajame jaguvuse omadust, mille järgi null jagub mis tahes täisarvuga. Selgub, et null jagub kolmega.

On ülesandeid, mille puhul on vaja 3-ga jaguvuse testi mitu korda kasutada.

Näide 2

Näidake seda numbrit 907 444 812 jagub 3-ga.

Lahendus

Leiame kõigi esialgse numbri moodustavate numbrite summa: 9 + 0 + 7 + 4 + 4 + 4 + 8 + 1 + 2 = 39 . Nüüd peame kindlaks tegema, kas arv 39 jagub 3-ga. Veelkord liidame selle numbri moodustavad numbrid: 3 + 9 = 12 . Lõpliku vastuse saamiseks peame lihtsalt numbrid uuesti lisama: 1 + 2 = 3 . Arv 3 jagub 3-ga

Vastus: algne number 907 444 812 jagub ka 3-ga.

Näide 3

Kas arv jagub 3-ga? − 543 205 ?

Lahendus

Arvutame esialgse numbri moodustavate numbrite summa: 5 + 4 + 3 + 2 + 0 + 5 = 19 . Nüüd arvutame saadud arvu numbrite summa: 1 + 9 = 10 . Lõpliku vastuse saamiseks leiame veel ühe lisamise tulemuse: 1 + 0 = 1 .
Vastus: 1 ei jagu 3-ga, mis tähendab, et algne arv ei jagu 3-ga.

Et teha kindlaks, kas antud arv jagub 3-ga ilma jäägita, saame antud arvu jagada 3-ga. Kui jagate arvu − 543 205 ülalpool käsitletud näitest veeruga kolm, siis me vastuses täisarvu ei saa. See tähendab ka seda − 543 205 ei saa jagada 3-ga ilma jäägita.

3-ga jaguvuse testi tõestus

Siin me vajame järgmised oskused: arvu lagundamine numbriteks ja 10-ga, 100-ga jne korrutamise reegel. Tõestuse läbiviimiseks peame saama vormi numbri a esituse , Kus a n , a n - 1 , … , a 0- need on numbrid, mis paiknevad arvu tähistuses vasakult paremale.

Siin on näide konkreetse numbri kasutamisest: 528 = 500 + 20 + 8 = 5 100 + 2 10 + 8.

Kirjutame üles rea võrdusi: 10 = 9 + 1 = 3 3 + 1, 100 = 99 + 1 = 33 3 + 1, 1000 = 999 + 1 = 333 3 + 1 jne.

Nüüd asendame need võrdsused 10, 100 ja 1000 asemel varem antud võrdustega a = a n 10 n + a n - 1 10 n - 1 + … + a 2 10 2 + a 1 10 + a 0.

Nii jõudsime võrdsuseni:

a = a n 10 n + … + a 2 100 + a 1 10 + a 0 = = a n 33. . . . 3 3 + 1 + … + a 2 33 3 + 1 + a 1 3 3 + 1 + a 0

Nüüd rakendame naturaalarvude liitmise ja korrutamise omadusi, et kirjutada saadud võrdus järgmiselt:

a = a n · 33 . . . 3 · 3 + 1 + . . . + + a 2 · 33 · 3 + 1 + a 1 · 3 · 3 + 1 + a 0 = = 3 · 33 . . . 3 a n + a n + . . . + + 3 · 33 · a 2 + a 2 + 3 · 3 · a 1 + a 1 + a 0 = = 3 · 33 . . . 3 a n +. . . + + 3 · 33 · a 2 + 3 · 3 · a 1 + + a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 = = 3 33 . . . 3 · a n + … + 33 · a 2 + 3 · a 1 + + a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0

Avaldis a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 on algarvu a numbrite summa. Tutvustame selle jaoks uut lühikest tähistust A. Saame: A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 .

Sel juhul on arvu esitus a = 3 33. . . 3 a n +. . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A võtab vormi, mida on meile mugav kasutada 3-ga jaguvuse testi tõestamiseks.

Definitsioon 1

Tuletage nüüd meelde järgmisi jaguvuse omadusi:

• vajalik ja piisav tingimus, et täisarv a oleks jagatav täisarvuga
  ​​​ b , on tingimus, mille kohaselt arvu a moodul jagatakse arvu b mooduliga;
• kui võrdsuses a = s + t kõik liikmed peale ühe jaguvad mingi täisarvuga b, siis jagub ka see üks liige b-ga.

Oleme loonud aluse 3-ga jaguvuse testi tõestamiseks. Nüüd sõnastame selle tunnuse teoreemi kujul ja tõestame seda.

1. teoreem

Selleks, et väita, et täisarv a jagub 3-ga, on meie jaoks vajalik ja piisav, et arvu a märgistust moodustavate numbrite summa jagub 3-ga.

Tõendid 1

Kui me võtame väärtuse a = 0, siis on teoreem ilmne.

Kui võtame arvu a, mis erineb nullist, siis on arvu a moodul naturaalarv. See võimaldab meil kirjutada järgmise võrdsuse:

a = 3 · 33 . . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A , kus A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 - arvu a numbrite summa.

Kuna täisarvude summa ja korrutis on täisarv, siis
33. . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 on täisarv, siis jaguvuse definitsiooni järgi on korrutis 3 · 33. . . 3 a n + . . . + 33 a 2 + 3 a 1 jagub arvuga 3 iga a 0, a 1, …, a n.

Kui arvu numbrite summa a jagatuna 3 , see on, A jagatuna 3 , siis enne teoreemi näidatud jaguvusomaduse tõttu jagatakse a arvuga 3 , seega, a jagatuna 3 . Seega on piisavus tõestatud.

Kui a jagatuna 3 , siis a jagub samuti arvuga 3 , siis sama jaguvuse omaduse tõttu arv
A jagatuna 3 , see tähendab arvu numbrite summa a jagatuna 3 . Vajadus on tõestatud.

Muud arvuga jagamise juhtumid 3

Täisarvu saab määrata mõne muutujat sisaldava avaldise väärtusena, kui on antud muutuja teatud väärtus. Seega mõne naturaalarvu n puhul on avaldise 4 n + 3 n - 1 väärtus naturaalarv. Sel juhul otsene jagamine 3 ei saa anda vastust küsimusele, kas arv jagub arvuga 3 . Jaguvustesti rakendamine jaoks 3 võib ka raske olla. Vaatame selliste probleemide näiteid ja nende lahendamise meetodeid.

Selliste probleemide lahendamiseks saab kasutada mitmeid lähenemisviise. Neist ühe olemus on järgmine:

• esitleme algset väljendit mitme teguri korrutisena;
• uurige, kas vähemalt ühte teguritest saab jagada 3 ;
• Jaguvuse omaduse põhjal järeldame, et kogu korrutis on jagatav 3 .

Tihti tuleb lahendamisel kasutada Newtoni binoomvalemit.

Näide 4

Kas avaldise 4 n + 3 n - 1 väärtus jagub arvuga 3 mis tahes loomuliku all n?

Lahendus

Kirjutame üles võrrandi 4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 . Rakendame Newtoni binoomvalemit:

4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 = = (C n 0 3 n + C n 1 3 n - 1 1 + ... + + C n n - 2 3 2 · 1 n - 2 + C n n - 1 · 3 · 1 n - 1 + C n n · 1 n) + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 · 3 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 · 3 2 + n · 3 + 1 + + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 · 3 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 3 2 + 6 n - 3

Nüüd võtame selle välja 3 väljaspool sulgusid: 3 · 3 n - 1 + C n 1 · 3 n - 2 + . . . + C n n - 2 · 3 + 2 n - 1 . Saadud korrutis sisaldab kordajat 3 , ja loomuliku n sulgudes olev avaldise väärtus tähistab naturaalarvu. See võimaldab meil väita, et saadud korrutis ja algne avaldis 4 n + 3 n - 1 jagatakse 3 .

Vastus: Jah.

Võime kasutada ka matemaatilise induktsiooni meetodit.

Näide 5

Tõesta matemaatilise induktsiooni meetodil, et mis tahes naturaalarvu puhul
n avaldise n n 2 + 5 väärtus jagatakse 3 .

Lahendus

Leiame avaldise n · n 2 + 5 väärtuse kui n = 1: 1 · 1 2 + 5 = 6 . 6 jagub arvuga 3 .

Oletame nüüd, et avaldise väärtus n n 2 + 5 at n = k jagatuna 3 . Tegelikult peame töötama avaldisega k k 2 + 5, mis eeldatavasti on jagatav 3 .

Arvestades, et k k 2 + 5 jagub arvuga 3 , näitame, et avaldise väärtus n · n 2 + 5 at n = k + 1 jagatuna 3 , st näitame, et k + 1 k + 1 2 + 5 jagub arvuga 3 .

Teeme teisendusi:

k + 1 k + 1 2 + 5 = = (k + 1) (k 2 + 2 k + 6) = = k (k 2 + 2 k + 6) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5 + 2 k + 1) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + k 2 k + 1 + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + 3 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + k + 2

Avaldis k · (k 2 + 5) jagatakse arvuga 3 ja avaldis 3 k 2 + k + 2 jagatakse 3 , seega jagatakse nende summa arvuga 3 .

Seega tõestasime, et avaldise n · (n 2 + 5) väärtus jagub arvuga 3 mis tahes naturaalarvu n korral.

Vaatame nüüd lähenemist jagatavuse tõestamisele 3 , mis põhineb järgmisel toimingute algoritmil:

• näitame, et selle avaldise väärtus muutujaga n, kui n = 3 m, n = 3 m + 1 ja n = 3 m + 2, Kus m– suvaline täisarv, jagub arvuga 3 ;
• järeldame, et avaldis jagub arvuga 3 mis tahes täisarvu n korral.

Et mitte juhtida tähelepanu väiksematelt detailidelt, rakendame seda algoritmi eelmise näite lahendusele.

Näide 6

Näidake, et n · (n 2 + 5) jagub arvuga 3 mis tahes naturaalarvu n korral.

Lahendus

Teeskleme seda n = 3 m. Siis: n · n 2 + 5 = 3 m · 3 m 2 + 5 = 3 m · 9 m 2 + 5. Saadud toode sisaldab kordajat 3 , seetõttu on toode ise jagatud 3 .

Teeskleme seda n = 3 m + 1. Seejärel:

n · n 2 + 5 = 3 m · 3 m 2 + 5 = (3 m + 1) · 9 m 2 + 6 m + 6 = = 3 m + 1 · 3 · (2 ​​m 2 + 2 m + 2)

Saadud toode on jagatud 3 .

Oletame, et n = 3 m + 2. Seejärel:

n · n 2 + 5 = 3 m + 1 · 3 m + 2 2 + 5 = 3 m + 2 · 9 m 2 + 12 m + 9 = = 3 m + 2 · 3 · 3 m 2 + 4 m + 3

See töö jaguneb ka 3 .

Vastus: Seega tõestasime, et avaldis n n 2 + 5 jagub arvuga 3 mis tahes naturaalarvu n korral.

Näide 7

Kas see on jagatav 3 avaldise 10 3 n + 10 2 n + 1 väärtus mõne naturaalarvu n korral.

Lahendus

Teeskleme seda n = 1. Saame:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 3 + 10 2 + 1 = 1000 + 100 + 1 = 1104

Teeskleme seda n = 2. Saame:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 6 + 10 4 + 1 = 1000 000 + 10000 + 1 = 1010001

Seega võime järeldada, et iga loomuliku n korral saame arvud, mis jaguvad 3-ga. See tähendab, et 10 3 n + 10 2 n + 1 mis tahes naturaalarvu n korral jagub 3-ga.

Vastus: Jah

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter