Võimsusfunktsiooni eksponent. Võimsusfunktsioon, selle omadused ja graafik

Astumusfunktsiooni kaalumise hõlbustamiseks käsitleme nelja erinevat juhtumit: loomuliku astendajaga astmefunktsiooni, täisarvulise astendajaga astmefunktsiooni, ratsionaalse astendajaga astmefunktsiooni ja irratsionaalse astendajaga astmefunktsiooni.

Naturaalastendajaga võimsusfunktsioon

Kõigepealt tutvustame loomuliku astendajaga kraadi mõistet.

Definitsioon 1

Naturaalse astendajaga $n$ reaalarvu $a$ võimsus on arv, mis võrdub $n$ tegurite korrutisega, millest igaüks on võrdne arvuga $a$.

Pilt 1.

$a$ on kraadi alus.

$n$ on eksponent.

Vaatleme nüüd loomuliku astendajaga astmefunktsiooni, selle omadusi ja graafikut.

2. definitsioon

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ nimetatakse naturaalastendajaga astmefunktsiooniks.

Täiendava mugavuse huvides käsitleme eraldi astmefunktsiooni paarisastmega $f\left(x\right)=x^(2n)$ ja paaritu astendajaga astmefunktsiooni $f\left(x\right)=x^ (2n-1)$ ($n\in N)$.

Naturaalse paarisastendajaga astmefunktsiooni omadused

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ -- funktsioon on paaris.

Väärtuspiirkond -- $\

Funktsioon väheneb kui $x\in (-\infty ,0)$ ja suureneb kui $x\in (0,+\infty)$.

$f("")\left(x\right)=(\left(2n\cdot x^(2n-1)\right))"=2n(2n-1)\cdot x^(2(n-1) ))\ge 0 $

Funktsioon on kumer kogu määratluspiirkonna ulatuses.

Käitumine domeeni otstes:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^( 2n)\ )=+\infty \]

Graafik (joonis 2).

Joonis 2. Funktsiooni $f\left(x\right)=x^(2n)$ graafik

Naturaalse paaritu astendajaga astmefunktsiooni omadused

Määratluspiirkond on kõik reaalarvud.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- funktsioon on paaritu.

$f(x)$ on pidev kogu määratluspiirkonna ulatuses.

Vahemik on kõik reaalarvud.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Funktsioon suureneb kogu määratluspiirkonna ulatuses.

$f\left(x\right)0$, $x\in (0,+\infty)$ jaoks.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Funktsioon on $x\in (-\infty ,0)$ jaoks nõgus ja $x\in (0,+\infty)$ jaoks kumer.

Graafik (joonis 3).

Joonis 3. Funktsiooni $f\left(x\right)=x^(2n-1)$ graafik

Täisarvu astendajaga võimsusfunktsioon

Kõigepealt tutvustame täisarvulise astendajaga kraadi mõistet.

3. määratlus

Täisarvulise eksponendiga $n$ reaalarvu $a$ võimsus määratakse järgmise valemiga:

Joonis 4.

Vaatleme nüüd täisarvulise astendajaga astmefunktsiooni, selle omadusi ja graafikut.

4. definitsioon

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ nimetatakse täisarvulise astendajaga astmefunktsiooniks.

Kui aste on suurem kui null, siis jõuame naturaalastendajaga astmefunktsiooni juhtumini. Oleme seda juba eespool arutanud. $n=0$ eest saame lineaarne funktsioon$y=1$. Selle kaalumise jätame lugeja hooleks. Jääb üle arvestada negatiivse täisarvu eksponendiga astmefunktsiooni omadusi

Negatiivse täisarvu eksponendiga astmefunktsiooni omadused

Määratluse domeen on $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Kui astendaja on paaris, on funktsioon paaris, kui paaritu, siis on funktsioon paaritu.

$f(x)$ on pidev kogu määratluspiirkonna ulatuses.

Ulatus:

Kui astendaja on paaris, siis $(0,+\infty)$; kui see on paaritu, siis $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Paaritu astendaja puhul väheneb funktsioon väärtusega $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Kui astendaja on paaris, väheneb funktsioon $x\in (0,+\infty)$. ja suureneb kui $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ kogu määratluspiirkonna ulatuses

1. Toitefunktsioon, selle omadused ja graafik;

2. Teisendused:

Paralleelne ülekanne;

Sümmeetria koordinaattelgede kohta;

Sümmeetria päritolu kohta;

Sümmeetria sirge y = x suhtes;

Venitamine ja kokkusurumine piki koordinaattelge.

3. Eksponentfunktsioon, selle omadused ja graafik, sarnased teisendused;

4. Logaritmiline funktsioon, selle omadused ja graafik;

5. Trigonomeetriline funktsioon, selle omadused ja graafik, sarnased teisendused (y = sin x; y = cos x; y = tan x);

Funktsioon: y = x\n - selle omadused ja graafik.

Võimsusfunktsioon, selle omadused ja graafik

y = x, y = x 2, y = x 3, y = 1/x jne. Kõik need funktsioonid on võimsusfunktsiooni, st funktsiooni erijuhud y = x p, kus p on antud reaalarv.
Astmefunktsiooni omadused ja graafik sõltuvad oluliselt reaalse astendajaga astme omadustest ja eelkõige väärtustest, mille puhul x Ja lk kraadil on mõtet xp. Liigume edasi sarnase kaalutluse juurde erinevaid juhtumeid sõltuvalt
eksponent lk.

1. Indeks p = 2n- isegi naturaalarv.

y = x2n, Kus n- naturaalarv, millel on järgmised omadused:

• määratluspiirkond - kõik reaalarvud, st hulk R;
• väärtuste komplekt - mittenegatiivsed arvud, st y on suurem kui 0 või sellega võrdne;
• funktsiooni y = x2n isegi, sest x 2n = (-x) 2n
• funktsioon väheneb intervalliga x< 0 ja intervalli suurendamine x > 0.

Funktsiooni graafik y = x2n on sama kujuga nagu näiteks funktsiooni graafik y = x 4.

2. Näitaja p = 2n - 1- paaritu naturaalarv

Sel juhul toitefunktsioon y = x2n-1, kus on naturaalarv, on järgmised omadused:

• määratluspiirkond - hulk R;
• väärtuste komplekt - komplekt R;
• funktsiooni y = x2n-1 veider, sest (- x) 2n-1= x2n-1;
• funktsioon kasvab kogu reaalteljel.

Funktsiooni graafik y = x2n-1 y = x 3.

3. Näitaja p = -2n, Kus n- naturaalarv.

Sel juhul toitefunktsioon y = x -2n = 1/x 2n sellel on järgmised omadused:

• väärtuste komplekt - positiivsed arvud y>0;
• funktsioon y = 1/x2n isegi, sest 1/(-x)2n= 1/x 2n;
• funktsioon kasvab intervallil x0.

Funktsiooni y graafik = 1/x2n on sama kujuga kui näiteks funktsiooni y graafik = 1/x 2.

4. Näitaja p = -(2n-1), Kus n- naturaalarv.
Sel juhul toitefunktsioon y = x -(2n-1) sellel on järgmised omadused:

• määratluspiirkond - hulk R, välja arvatud x = 0;
• väärtuste komplekt - komplekt R, välja arvatud y = 0;
• funktsiooni y = x -(2n-1) veider, sest (- x) -(2n-1) = -x-(2n-1);
• funktsioon väheneb intervallidega x< 0 Ja x > 0.

Funktsiooni graafik y = x -(2n-1) on sama kujuga nagu näiteks funktsiooni graafik y = 1/x 3.

Peal see õppetund Jätkame ratsionaalse astendajaga astmefunktsioonide uurimist ja käsitleme negatiivse ratsionaalse astendajaga funktsioone.

1. Põhimõisted ja definitsioonid

Tuletame meelde negatiivse täisarvulise astendajaga astmefunktsioonide omadusi ja graafikuid.

Isegi n jaoks:

Funktsiooni näide:

Kõik selliste funktsioonide graafikud läbivad kahte fikseeritud punkti: (1;1), (-1;1). Seda tüüpi funktsioonide eripära on nende paarsus; graafikud on op-amp telje suhtes sümmeetrilised.

Riis. 1. Funktsiooni graafik

paaritu n puhul:

Funktsiooni näide:

Kõik selliste funktsioonide graafikud läbivad kahte fikseeritud punkti: (1;1), (-1;-1). Seda tüüpi funktsioonide eripära on see, et need on paaritud, graafikud on lähtekoha suhtes sümmeetrilised.

Riis. 2. Funktsiooni graafik

2. Funktsioon negatiivse ratsionaalse astendajaga, graafikud, omadused

Tuletagem meelde põhimääratlust.

Ratsionaalse positiivse eksponendiga mittenegatiivse arvu a võimsust nimetatakse arvuks.

Kraad positiivne arv ja ratsionaalse negatiivse eksponendiga nimetatakse arvuks.

Võrdsuse nimel:

Näiteks: ; - avaldis ei eksisteeri definitsiooni järgi negatiivse ratsionaalse astendajaga astmel; on olemas, kuna eksponent on täisarv,

Liigume edasi ratsionaalse negatiivse eksponendiga astmefunktsioonide käsitlemise juurde.

Näiteks:

Selle funktsiooni graafiku joonistamiseks saate luua tabeli. Teeme seda teisiti: kõigepealt koostame ja uurime nimetaja graafikut - see on meile teada (joonis 3).

Riis. 3. Funktsiooni graafik

Nimetaja funktsiooni graafik läbib fikseeritud punkti (1;1). Algfunktsiooni graafiku joonistamisel see punkt jääb alles, samas kui juur kipub samuti nulli, funktsioon lõpmatuseni. Ja vastupidi, kuna x kaldub lõpmatuseni, kipub funktsioon nulli (joonis 4).

Riis. 4. Funktsioonigraafik

Vaatleme veel üht funktsiooni uuritavate funktsioonide perekonnast.

On oluline, et määratluse järgi

Vaatleme nimetajas oleva funktsiooni graafikut: , selle funktsiooni graafik on meile teada, see kasvab oma definitsioonipiirkonnas ja läbib punkti (1;1) (joonis 5).

Riis. 5. Funktsiooni graafik

Algfunktsiooni graafiku joonistamisel jääb alles punkt (1;1), kusjuures juur kipub samuti nulli, funktsioon lõpmatuseni. Ja vastupidi, kuna x kaldub lõpmatuseni, kipub funktsioon nulli (joonis 6).

Riis. 6. Funktsiooni graafik

Vaadeldavad näited aitavad mõista, kuidas graafik voolab ja millised on uuritava funktsiooni - negatiivse ratsionaalse astendajaga funktsiooni - omadused.

Selle perekonna funktsioonide graafikud läbivad punkti (1;1), funktsioon väheneb kogu definitsioonipiirkonna ulatuses.

Funktsiooni ulatus:

Funktsioon ei ole piiratud ülalt, vaid on piiratud altpoolt. Funktsioonil pole ei suurimat ega madalaim väärtus.

Funktsioon on pidev ja võtab kõik positiivsed väärtused nullist pluss lõpmatuseni.

Funktsioon on allapoole kumer (joonis 15.7)

Punktid A ja B on võetud kõverale, läbi nende tõmmatakse segment, kogu kõver on lõigust allpool, see tingimus on täidetud suvalise kahe kõvera punkti korral, seetõttu on funktsioon allapoole kumer. Riis. 7.

Riis. 7. Funktsiooni kumerus

3. Tüüpiülesannete lahendamine

Oluline on mõista, et selle perekonna funktsioonid on altpoolt piiratud nulliga, kuid neil pole kõige väiksemat väärtust.

Näide 1 – funktsiooni maksimumi ja miinimumi leidmine intervallilt ning intervalli suurenemine)