ლექცია: ვექტორული კოორდინატები; ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი; კუთხე ვექტორებს შორის

ვექტორული კოორდინატები

ასე რომ, როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ვექტორი არის მიმართული სეგმენტი, რომელსაც აქვს საკუთარი დასაწყისი და დასასრული. თუ დასაწყისი და დასასრული წარმოდგენილია რამდენიმე წერტილით, მაშინ მათ აქვთ საკუთარი კოორდინატები სიბრტყეზე ან სივრცეში.

თუ თითოეულ წერტილს აქვს თავისი კოორდინატები, მაშინ შეგვიძლია მივიღოთ მთელი ვექტორის კოორდინატები.

დავუშვათ, გვაქვს ვექტორი, რომლის დასაწყისსა და დასასრულს აქვს შემდეგი აღნიშვნები და კოორდინატები: A(A x ; Ay) და B(B x ; By)

ამ ვექტორის კოორდინატების მისაღებად აუცილებელია ვექტორის ბოლო კოორდინატებს გამოვაკლოთ შესაბამისი საწყისი კოორდინატები:

სივრცეში ვექტორის კოორდინატის დასადგენად გამოიყენეთ შემდეგი ფორმულა:

ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი

წერტილოვანი პროდუქტის ცნების განსაზღვრის ორი გზა არსებობს:

• გეომეტრიული გზა. მისი თქმით, სკალარული პროდუქტი უდრის ამ მოდულების მნიშვნელობების ნამრავლს და მათ შორის კუთხის კოსინუსს.

• ალგებრული მნიშვნელობა. ალგებრის თვალსაზრისით, ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლი არის გარკვეული მნიშვნელობა, რომელიც გამომდინარეობს შესაბამისი ვექტორების ნამრავლების ჯამიდან.

თუ ვექტორები მოცემულია სივრცეში, მაშინ უნდა გამოიყენოთ მსგავსი ფორმულა:

Თვისებები:

• თუ ორ იდენტურ ვექტორს სკალარულად გაამრავლებთ, მაშინ მათი სკალარული ნამრავლი იქნება არაუარყოფითი:

• თუ ორი იდენტური ვექტორის სკალარული ნამრავლი აღმოჩნდა ნულის ტოლი, მაშინ ეს ვექტორები ითვლება ნულამდე:

• თუ გარკვეული ვექტორი თავისთავად მრავლდება, მაშინ სკალარული ნამრავლი უდრის მისი მოდულის კვადრატს:

• სკალარული პროდუქტი აქვს კომუნიკაციის თვისებას, ანუ სკალარული პროდუქტი არ შეიცვლება ვექტორების პერმუტაციისგან:

• არანულოვანი ვექტორების სკალარული ნამრავლი შეიძლება იყოს მხოლოდ ნული, თუ ვექტორები ერთმანეთის პერპენდიკულარულია:

• ვექტორების სკალარული ნამრავლისთვის, კომუტაციური კანონი მოქმედებს ერთ-ერთი ვექტორის რიცხვზე გამრავლების შემთხვევაში:

• წერტილოვანი პროდუქტით, ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ გამრავლების გამანაწილებელი თვისება:

კუთხე ვექტორებს შორის

განმარტება 1

ვექტორების სკალარული ნამრავლი ეწოდება რიცხვს, რომელიც ტოლია ამ ვექტორების დინების ნამრავლისა და მათ შორის კუთხის კოსინუსს.

a → და b → ვექტორების ნამრავლის აღნიშვნას აქვს ფორმა a → , b →. გადავიყვანოთ ფორმულაში:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ . a → და b → აღნიშნავენ ვექტორების სიგრძეებს, a → , b → ^ აღნიშნავენ კუთხეს მოცემულ ვექტორებს შორის. თუ ერთი ვექტორი მაინც არის ნული, ანუ მას აქვს მნიშვნელობა 0, მაშინ შედეგი იქნება ნული, a → , b → = 0

ვექტორის თავის თავზე გამრავლებისას მივიღებთ მისი დინის კვადრატს:

a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

განმარტება 2

ვექტორის სკალარული გამრავლებას თავისთავად სკალარული კვადრატი ეწოდება.

გამოითვლება ფორმულის მიხედვით:

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ .

a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = a → npa → b → = b → npb → a → წერით აჩვენებს, რომ npb → a → არის → რიცხვითი პროექცია → b → , npa → a → - b → პროექცია a →-ზე შესაბამისად.

ჩვენ ვაყალიბებთ პროდუქტის განმარტებას ორი ვექტორისთვის:

ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლი a → b → ეწოდება a → ვექტორის სიგრძის ნამრავლს b → პროექციით a → მიმართულებით ან b → სიგრძის ნამრავლი a → პროექციით, შესაბამისად.

წერტილოვანი პროდუქტი კოორდინატებში

სკალარული ნამრავლის გამოთვლა შეიძლება განხორციელდეს მოცემულ სიბრტყეში ან სივრცეში ვექტორების კოორდინატების მეშვეობით.

სიბრტყეზე ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლი, სამგანზომილებიან სივრცეში, ეწოდება a → და b → მოცემული ვექტორების კოორდინატების ჯამს.

მოცემული ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლის სიბრტყეზე გაანგარიშებისას a → = (a x, a y) , b → = (b x, b y) დეკარტის სისტემაში გამოიყენეთ:

a →, b → = a x b x + a y b y,

სამგანზომილებიანი სივრცისთვის გამოთქმა გამოიყენება:

a →, b → = a x b x + a y b y + a z b z.

სინამდვილეში, ეს არის წერტილის პროდუქტის მესამე განმარტება.

დავამტკიცოთ.

მტკიცებულება 1

ამის დასამტკიცებლად ვიყენებთ a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ = ax bx + ay by ვექტორებისთვის a → = (ax , ay) , b → = (bx , by) დეკარტიზე. სისტემა.

ვექტორები უნდა გადაიდოს

O A → = a → = a x, a y და O B → = b → = b x, b y.

მაშინ A B → ვექტორის სიგრძე იქნება A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x, b y - a y) .

განვიხილოთ სამკუთხედი O A B.

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 O A O B cos (∠ A O B) მართალია, კოსინუსების თეორემაზე დაყრდნობით.

პირობით ჩანს, რომ O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , ამიტომ ვწერთ ვექტორებს შორის კუთხის პოვნის ფორმულას განსხვავებულად.

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 a → b → cos (a → , b → ^) .

შემდეგ პირველი განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 (a → , b →) , ასე რომ (a → , b →) = 1 2 (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .

ვექტორების სიგრძის გამოთვლის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:
a → , b → = 1 2 ((a 2 x + ay 2) 2 + (b 2 x + 2-ით) 2 - ((bx - ax) 2 + (by - ay) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (bx - ax) 2 - (by - ay) 2) = = ax bx + ay by

მოდით დავამტკიცოთ თანასწორობა:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

– შესაბამისად სამგანზომილებიანი სივრცის ვექტორებისთვის.

კოორდინატებით ვექტორების სკალარული ნამრავლი ამბობს, რომ ვექტორის სკალარული კვადრატი უდრის მისი კოორდინატების კვადრატების ჯამს შესაბამისად სივრცეში და სიბრტყეზე. a → = (a x, a y, a z), b → = (b x, b y, b z) და (a →, a →) = a x 2 + a y 2.

Dot პროდუქტი და მისი თვისებები

არსებობს წერტილოვანი პროდუქტის თვისებები, რომლებიც გამოიყენება a → , b → და c → :

1. კომუტატიურობა (a → , b →) = (b → , a →) ;
2. განაწილება (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , გ →) ;
3. ასოციაციური თვისება (λ a → , b →) = λ (a → , b →) , (a → , λ b →) = λ (a → , b →) , λ - ნებისმიერი რიცხვი;
4. სკალარული კვადრატი ყოველთვის მეტია ნულზე (a → , a →) ≥ 0 , სადაც (a → , a →) = 0 როდესაც a → ნულოვანი.

მაგალითი 1

თვისებები აიხსნება სიბრტყეში წერტილოვანი ნამრავლის განმარტებით და რეალური რიცხვების შეკრებისა და გამრავლების თვისებებით.

დაამტკიცეთ ურთიერთშენაცვლების თვისება (a → , b →) = (b → , a →) . განმარტებიდან გვაქვს, რომ (a → , b →) = a y b y + a y b y და (b → , a →) = b x a x + b y a y.

კომუტატიურობის თვისებით, ტოლობები a x · b x = b x · a x და a y · b y = b y · a y ჭეშმარიტია, ამიტომ a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .

აქედან გამომდინარეობს, რომ (a → , b →) = (b → , a →) . ქ.ე.დ.

განაწილება მოქმედებს ნებისმიერი რიცხვისთვის:

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)

და (a → , b (1) → + b (2) → + . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)) ,

აქედან გამომდინარე გვაქვს

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)

წერტილოვანი პროდუქტი მაგალითებითა და გადაწყვეტილებებით

ასეთი გეგმის ნებისმიერი პრობლემა მოგვარებულია სკალარული პროდუქტის თვისებებისა და ფორმულების გამოყენებით:

1. (a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) ;
2. (a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
3. (a → , b →) = a x b x + a y b y ან (a → , b →) = a x b x + a y b y + a z b z ;
4. (a → , a →) = a → 2 .

მოდით შევხედოთ გადაწყვეტილებების რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი 2

a-ს სიგრძე არის 3, b-ის სიგრძე არის 7. იპოვეთ წერტილის ნამრავლი, თუ კუთხეს აქვს 60 გრადუსი.

გამოსავალი

პირობით, ჩვენ გვაქვს ყველა მონაცემი, ამიტომ ვიანგარიშებთ ფორმულით:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

პასუხი: (a → , b →) = 21 2 .

მაგალითი 3

მოცემული ვექტორები a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) . რა არის სკალარული პროდუქტი.

გამოსავალი

ამ მაგალითში განიხილება კოორდინატების გამოთვლის ფორმულა, რადგან ისინი მითითებულია პრობლემის განცხადებაში:

(a → , b →) = ax bx + ay by + az bz = = 1 0 + (- 1) 2 + (2 + 3) (2 + 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

პასუხი: (a → , b →) = - 9

მაგალითი 4

იპოვეთ A B → და A C → შიდა ნამრავლი. წერტილები A (1 , - 3) , B (5 , 4) , C (1 , 1) მოცემულია კოორდინატულ სიბრტყეზე.

გამოსავალი

დასაწყისისთვის, ვექტორების კოორდინატები გამოითვლება, რადგან წერტილების კოორდინატები მოცემულია პირობით:

A B → = (5 - 1 , 4 - (- 3)) = (4 , 7) A C → = (1 - 1 , 1 - (- 3)) = (0 , 4)

კოორდინატების გამოყენებით ფორმულაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ:

(A B → , A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28 .

პასუხი: (A B → , A C →) = 28 .

მაგალითი 5

მოცემული ვექტორები a → = 7 m → + 3 n → და b → = 5 m → + 8 n → , იპოვეთ მათი ნამრავლი. m → უდრის 3-ს და n → უდრის 2 ერთეულს, ისინი პერპენდიკულარულია.

გამოსავალი

(a → , b →) = (7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) . სადისტრიბუციო თვისების გამოყენებისას ვიღებთ:

(7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) = = (7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →)

ჩვენ ვიღებთ კოეფიციენტს პროდუქტის ნიშნის მიღმა და ვიღებთ:

(7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →) = = 7 5 (m → , m →) + 7 8 (m → , n →) + 3 5 (n → , m →) + 3 8 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →)

კომუტატიურობის თვისებით ჩვენ გარდაქმნით:

35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (n → , m →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 56 (m → , n →) + 15 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n → ) + 24 (n → , n →)

შედეგად, ჩვენ ვიღებთ:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) .

ახლა ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას სკალარული პროდუქტისთვის იმ კუთხით, რომელიც მითითებულია პირობით:

(a → , b →) = 35 (m → , m →) + 71 (m → , n →) + 24 (n → , n →) = = 35 მ → 2 + 71 მ → n → cos (m → , n → ^) + 24 n → 2 = = 35 3 2 + 71 3 2 cos π 2 + 24 2 2 = 411 .

პასუხი: (a → , b →) = 411

თუ არსებობს რიცხვითი პროექცია.

მაგალითი 6

იპოვეთ a → და b → შიდა ნამრავლი. ვექტორს a → აქვს კოორდინატები a → = (9 , 3 , - 3) , პროექცია b → აქვს კოორდინატები (- 3 , - 1 , 1) .

გამოსავალი

პირობით, ვექტორები a → და პროექცია b → საპირისპიროა მიმართული, რადგან a → = - 1 3 npa → b → → , ამიტომ b → პროექცია შეესაბამება npa → b → → სიგრძეს და „-“ ნიშანი:

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11,

ფორმულაში ჩანაცვლებით, ჩვენ ვიღებთ გამონათქვამს:

(a → , b →) = a → n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 (- 11) = - 33 .

პასუხი: (a → , b →) = - 33 .

ამოცანები ცნობილ სკალარული ნამრავლთან, სადაც საჭიროა ვექტორის სიგრძის ან რიცხვითი პროექციის პოვნა.

მაგალითი 7

რა მნიშვნელობა უნდა მიიღოს λ მოცემული სკალარული ნამრავლისთვის a → \u003d (1, 0, λ + 1) და b → \u003d (λ, 1, λ) იქნება -1-ის ტოლი.

გამოსავალი

ფორმულიდან ჩანს, რომ აუცილებელია კოორდინატების ნამრავლების ჯამის პოვნა:

(a → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ .

მოცემულში გვაქვს (a → , b →) = - 1 .

λ-ის საპოვნელად გამოვთვალოთ განტოლება:

λ 2 + 2 · λ = - 1 , აქედან გამომდინარე λ = - 1 .

პასუხი: λ = - 1 .

სკალარული პროდუქტის ფიზიკური მნიშვნელობა

მექანიკა განიხილავს წერტილოვანი პროდუქტის გამოყენებას.

როდესაც მუშაობთ A მუდმივი ძალით F → მოძრავ სხეულზე M წერტილიდან N-მდე, შეგიძლიათ იპოვოთ F → და MN → ვექტორების სიგრძის ნამრავლი მათ შორის კუთხის კოსინუსით, რაც ნიშნავს, რომ სამუშაო ტოლია. ძალისა და გადაადგილების ვექტორების ნამრავლზე:

A = (F → , M N →) .

მაგალითი 8

მატერიალური წერტილის გადაადგილება 3 მეტრით 5 ნტონის ტოლი ძალის მოქმედებით მიმართულია ღერძთან მიმართებაში 45 გრადუსიანი კუთხით. იპოვნეთ A.

გამოსავალი

ვინაიდან სამუშაო არის ძალის ვექტორისა და გადაადგილების ნამრავლი, მაშინ, F → = 5 , S → = 3 , (F → , S → ^) = 45 ° , პირობაზე დაყრდნობით, ვიღებთ A = (F → , S → ) = F → S → cos (F → , S → ^) = 5 3 cos (45 °) = 15 2 2 .

პასუხი: A = 15 2 2 .

მაგალითი 9

მატერიალური წერტილი, რომელიც მოძრაობს M-დან (2, - 1, - 3) N-მდე (5, 3 λ - 2, 4) F → = (3, 1, 2) ძალის ქვეშ, მუშაობდა 13 J-ის ტოლი. გამოთვალეთ მოძრაობის სიგრძე.

გამოსავალი

ვექტორის M N → მოცემული კოორდინატებისთვის გვაქვს M N → = (5 - 2 , 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3 , 3 λ - 1 , 7) .

ვექტორებთან მუშაობის პოვნის ფორმულით F → = (3 , 1 , 2) და MN → = (3 , 3 λ - 1 , 7) ვიღებთ A = (F ⇒ , MN →) = 3 3 + 1 (3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3λ.

პირობით, მოცემულია, რომ A \u003d 13 J, რაც ნიშნავს 22 + 3 λ \u003d 13. ეს გულისხმობს λ = - 3 , აქედან გამომდინარე M N → = (3 , 3 λ - 1 , 7) = (3 , - 10 , 7) .

მოგზაურობის სიგრძის M N → საპოვნელად, ვიყენებთ ფორმულას და ვცვლით მნიშვნელობებს:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158 .

პასუხი: 158.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ასევე იქნება ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის, რომლებზეც შეგიძლიათ ნახოთ პასუხები.

თუ ამოცანაში ვექტორების სიგრძეც და კუთხეც მათ შორისაა წარმოდგენილი "ვერცხლის ლანგარზე", მაშინ პრობლემის მდგომარეობა და მისი ამოხსნა ასე გამოიყურება:

მაგალითი 1მოცემულია ვექტორები. იპოვეთ ვექტორების სკალარული ნამრავლი, თუ მათი სიგრძე და მათ შორის კუთხე წარმოდგენილია შემდეგი მნიშვნელობებით:

ასევე მოქმედებს სხვა განმარტება, რომელიც სრულიად ექვივალენტურია განმარტება 1-ისა.

განმარტება 2. ვექტორების სკალარული ნამრავლი არის რიცხვი (სკალარული) ტოლი ამ ვექტორებიდან ერთ-ერთის სიგრძისა და მეორე ვექტორის პროექციის ღერძზე, რომელიც განსაზღვრულია ამ ვექტორებიდან პირველით. ფორმულა მე-2 განმარტების მიხედვით:

ამოცანას ამ ფორმულის გამოყენებით მოვაგვარებთ შემდეგი მნიშვნელოვანი თეორიული პუნქტის შემდეგ.

ვექტორების სკალარული ნამრავლის განმარტება კოორდინატების მიხედვით

იგივე რიცხვი შეიძლება მივიღოთ, თუ გამრავლებული ვექტორები მოცემულია მათი კოორდინატებით.

განმარტება 3.ვექტორების წერტილის ნამრავლი არის მათი შესაბამისი კოორდინატების წყვილი ნამრავლების ჯამის ტოლი რიცხვი.

ზედაპირზე

თუ ორი ვექტორი და სიბრტყეში განისაზღვრება მათი ორით დეკარტის კოორდინატები

მაშინ ამ ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი უდრის მათი შესაბამისი კოორდინატების წყვილთა ნამრავლის ჯამს:

.

მაგალითი 2იპოვეთ ვექტორის პროექციის რიცხვითი მნიშვნელობა ვექტორის პარალელურ ღერძზე.

გამოსავალი. ვექტორების სკალარული ნამრავლს ვპოულობთ მათი კოორდინატების წყვილი ნამრავლების დამატებით:

ახლა ჩვენ უნდა გავაიგივოთ მიღებული სკალარული ნამრავლი ვექტორის სიგრძის ნამრავლთან და ვექტორის პროექცია ვექტორის პარალელურ ღერძზე (ფორმულის შესაბამისად).

ვექტორის სიგრძეს ვპოულობთ, როგორც მისი კოორდინატების კვადრატების ჯამის კვადრატული ფესვი:

.

დაწერეთ განტოლება და ამოხსენით:

უპასუხე. სასურველი რიცხვითი მნიშვნელობა არის მინუს 8.

Კოსმოსში

თუ ორი ვექტორი და სივრცეში განისაზღვრება მათი სამი დეკარტის მართკუთხა კოორდინატებით

,

მაშინ ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლი ასევე უდრის მათი შესაბამისი კოორდინატების წყვილი ნამრავლების ჯამს, მხოლოდ იქ უკვე სამი კოორდინატია:

.

სკალარული პროდუქტის განხილული გზით პოვნის ამოცანაა სკალარული პროდუქტის თვისებების ანალიზი. რადგან ამოცანაში საჭირო იქნება იმის დადგენა, თუ რა კუთხეს ქმნიან გამრავლებული ვექტორები.

ვექტორების წერტილოვანი პროდუქტის თვისებები

ალგებრული თვისებები

1. (კომუტაციური თვისება: მათი სკალარული ნამრავლის მნიშვნელობა არ იცვლება გამრავლებული ვექტორების ადგილების შეცვლით).

2. (ასოციაციური თვისება რიცხვითი ფაქტორის მიმართ: ვექტორის სკალარული ნამრავლი გამრავლებული რომელიმე ფაქტორზე და სხვა ვექტორი ტოლია ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლის გამრავლებული იმავე კოეფიციენტზე).

3. (გამანაწილებელი თვისება ვექტორთა ჯამის მიმართ: მესამე ვექტორის მიერ ორი ვექტორის ჯამის სკალარული ნამრავლი უდრის პირველი ვექტორის სკალარული ნამრავლების ჯამს მესამე ვექტორზე და მეორე ვექტორის მესამე ვექტორზე).

4. (ნულზე მეტი ვექტორის სკალარული კვადრატი) თუ არის არანულოვანი ვექტორი და, თუ არის ნულოვანი ვექტორი.

გეომეტრიული თვისებები

შესწავლილი ოპერაციის განმარტებებში უკვე შევეხეთ ორ ვექტორს შორის კუთხის ცნებას. დროა ამ კონცეფციის გარკვევა.

ზემოთ მოცემულ ფიგურაში ჩანს ორი ვექტორი, რომლებიც მიყვანილია საერთო საწყისამდე. და პირველი, რასაც ყურადღება უნდა მიაქციოთ: ამ ვექტორებს შორის ორი კუთხეა - φ 1 და φ 2 . ამ კუთხიდან რომელი ჩნდება ვექტორების სკალარული ნამრავლის განმარტებებსა და თვისებებში? განხილული კუთხეების ჯამი არის 2 π და ამიტომ ამ კუთხეების კოსინუსები ტოლია. წერტილოვანი პროდუქტის განმარტება მოიცავს მხოლოდ კუთხის კოსინუსს და არა მისი გამოხატვის მნიშვნელობას. მაგრამ თვისებებში მხოლოდ ერთი კუთხეა გათვალისწინებული. და ეს არის ერთი ორი კუთხიდან, რომელიც არ აღემატება π ანუ 180 გრადუსი. ეს კუთხე ნაჩვენებია ფიგურაში, როგორც φ 1 .

1. ორი ვექტორი ეწოდება ორთოგონალური და ამ ვექტორებს შორის კუთხე არის მართი (90 გრადუსი ან π /2) თუ ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლი არის ნული :

.

ორთოგონალურობა ვექტორულ ალგებრაში არის ორი ვექტორის პერპენდიკულარულობა.

2. ორი არანულოვანი ვექტორი შედგება მკვეთრი კუთხე (0-დან 90 გრადუსამდე, ან, რაც იგივეა, ნაკლები π წერტილოვანი პროდუქტი დადებითია .

3. ორი არანულოვანი ვექტორი შედგება ბლაგვი კუთხე (90-დან 180 გრადუსამდე, ან, რაც იგივეა - მეტი π /2) თუ და მხოლოდ თუ წერტილოვანი პროდუქტი უარყოფითია .

მაგალითი 3ვექტორები მოცემულია კოორდინატებში:

.

გამოთვალეთ მოცემული ვექტორების ყველა წყვილის წერტილოვანი ნამრავლები. რა კუთხეს (მწვავე, მარჯვენა, ბლაგვი) ქმნიან ვექტორების ეს წყვილი?

გამოსავალი. გამოვთვლით შესაბამისი კოორდინატების ნამრავლების მიმატებით.

მივიღეთ უარყოფითი რიცხვი, ამიტომ ვექტორები ქმნიან ბლაგვ კუთხეს.

მივიღეთ დადებითი რიცხვი, ამიტომ ვექტორები ქმნიან მახვილ კუთხეს.

მივიღეთ ნული, ამიტომ ვექტორები ქმნიან მართ კუთხეს.

მივიღეთ დადებითი რიცხვი, ამიტომ ვექტორები ქმნიან მახვილ კუთხეს.

.

მივიღეთ დადებითი რიცხვი, ამიტომ ვექტორები ქმნიან მახვილ კუთხეს.

თვითშემოწმებისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ონლაინ კალკულატორი ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი და მათ შორის კუთხის კოსინუსი .

მაგალითი 4მოცემულია ორი ვექტორის სიგრძე და მათ შორის კუთხე:

.

დაადგინეთ რიცხვის რომელ მნიშვნელობზეა ვექტორები და არიან ორთოგონალური (პერპენდიკულარული).

გამოსავალი. ვექტორებს ვამრავლებთ მრავალწევრების გამრავლების წესის მიხედვით:

ახლა გამოვთვალოთ თითოეული ტერმინი:

.

მოდით შევადგინოთ განტოლება (ნამრავლის ტოლობა ნულამდე), მივცეთ მსგავსი ტერმინები და ამოხსნათ განტოლება:

პასუხი: ჩვენ მივიღეთ ღირებულება λ = 1.8, სადაც ვექტორები ორთოგონალურია.

მაგალითი 5დაამტკიცეთ რომ ვექტორი ორთოგონალური (პერპენდიკულარული) ვექტორზე

გამოსავალი. ორთოგონალურობის შესამოწმებლად ვამრავლებთ ვექტორებს და პოლინომებად, მის მაგივრად ვცვლით პრობლემურ მდგომარეობაში მოცემულ გამოსახულებას:

.

ამისათვის თქვენ უნდა გაამრავლოთ პირველი მრავალწევრის თითოეული წევრი (ტერმინი) მეორის თითოეულ წევრზე და დაამატოთ მიღებული პროდუქტები:

.

შედეგად, კუთვნილი ფრაქცია მცირდება. მიიღება შემდეგი შედეგი:

დასკვნა: გამრავლების შედეგად მივიღეთ ნული, შესაბამისად, დადასტურებულია ვექტორების ორთოგონალურობა (პერპენდიკულარულობა).

თავად მოაგვარეთ პრობლემა და შემდეგ იხილეთ გამოსავალი

მაგალითი 6მოცემული ვექტორების სიგრძეები და , და კუთხე ამ ვექტორებს შორის არის π /4. დაადგინეთ რა ღირებულებით μ ვექტორები და ერთმანეთის პერპენდიკულურია.

თვითშემოწმებისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ონლაინ კალკულატორი ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი და მათ შორის კუთხის კოსინუსი .

ვექტორების სკალარული ნამრავლის მატრიცული წარმოდგენა და n-განზომილებიანი ვექტორების ნამრავლი

ზოგჯერ, სიცხადისთვის, ხელსაყრელია ორი გამრავლებული ვექტორის წარმოდგენა მატრიცების სახით. შემდეგ პირველი ვექტორი წარმოდგენილია მწკრივის მატრიცის სახით, ხოლო მეორე - სვეტის მატრიცის სახით:

მაშინ ვექტორების სკალარული ნამრავლი იქნება ამ მატრიცების პროდუქტი :

შედეგი იგივეა, რაც ჩვენ მიერ უკვე განხილული მეთოდით მიღებული. ჩვენ მივიღეთ ერთი ცალ რიცხვი და მატრიცა-სტრიქონის ნამრავლი მატრიცა-სვეტით არის ასევე ერთი რიცხვი.

მატრიცის სახით მოსახერხებელია აბსტრაქტული n-განზომილებიანი ვექტორების ნამრავლის წარმოდგენა. ამრიგად, ორი ოთხგანზომილებიანი ვექტორის ნამრავლი იქნება მწკრივის მატრიცის ნამრავლი ოთხი ელემენტით სვეტის მატრიცით ასევე ოთხი ელემენტით, ორი ხუთგანზომილებიანი ვექტორის ნამრავლი იქნება მწკრივის მატრიცის ნამრავლი ხუთი ელემენტით. სვეტის მატრიცა ასევე ხუთი ელემენტით და ა.შ.

მაგალითი 7იპოვნეთ ვექტორთა წყვილთა წერტილოვანი პროდუქტები

,

მატრიცული წარმოდგენის გამოყენებით.

გამოსავალი. ვექტორების პირველი წყვილი. ჩვენ წარმოვადგენთ პირველ ვექტორს, როგორც მწკრივის მატრიცას, ხოლო მეორეს, როგორც სვეტის მატრიცას. ჩვენ ვპოულობთ ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლს, როგორც მწკრივის მატრიცის ნამრავლს სვეტის მატრიცით:

ანალოგიურად, ჩვენ წარმოვადგენთ მეორე წყვილს და ვპოულობთ:

როგორც ხედავთ, შედეგები იგივეა, რაც იგივე წყვილებისთვის მე-2 მაგალითიდან.

კუთხე ორ ვექტორს შორის

ორ ვექტორს შორის კუთხის კოსინუსის ფორმულის წარმოშობა ძალიან ლამაზი და ლაკონურია.

ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლის გამოხატვა

(1)

კოორდინატთა სახით, ჯერ ვპოულობთ ორტების სკალარული ნამრავლს. ვექტორის სკალარული ნამრავლი თავისთავად არის:

რაც წერია ზემოთ მოცემულ ფორმულაში ნიშნავს: ვექტორის სკალარული ნამრავლი თავისთან უდრის მისი სიგრძის კვადრატს. ნულის კოსინუსი უდრის ერთს, ამიტომ თითოეული ორთის კვადრატი იქნება ერთის ტოლი:

ვინაიდან ვექტორები

არის წყვილი პერპენდიკულარული, მაშინ ორტების წყვილი ნამრავლი იქნება ნულის ტოლი:

ახლა შევასრულოთ ვექტორული მრავალწევრების გამრავლება:

ჩვენ ვცვლით ტოლობის მარჯვენა მხარეს ორტების შესაბამისი სკალარული პროდუქტების მნიშვნელობებს:

ვიღებთ ორ ვექტორს შორის კუთხის კოსინუსების ფორმულას:

მაგალითი 8მოცემულია სამი ქულა ა(1;1;1), ბ(2;2;1), C(2;1;2).

იპოვეთ კუთხე.

გამოსავალი. ვპოულობთ ვექტორების კოორდინატებს:

,

.

კუთხის კოსინუსის ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:

აქედან გამომდინარე,.

თვითშემოწმებისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ ონლაინ კალკულატორი ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი და მათ შორის კუთხის კოსინუსი .

მაგალითი 9მოცემულია ორი ვექტორი

იპოვეთ ჯამი, განსხვავება, სიგრძე, წერტილოვანი ნამრავლი და მათ შორის კუთხე.

2.განსხვავება

ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი

ჩვენ ვაგრძელებთ ვექტორებთან ურთიერთობას. პირველ გაკვეთილზე ვექტორები დუმებისთვისგანვიხილეთ ვექტორის ცნება, ვექტორებთან მოქმედებები, ვექტორული კოორდინატები და ვექტორებთან უმარტივესი ამოცანები. თუ ამ გვერდზე პირველად მოხვედით საძიებო სისტემიდან, გირჩევთ წაიკითხოთ ზემოაღნიშნული შესავალი სტატია, რადგან მასალის ასიმილაციისთვის საჭიროა იხელმძღვანელოთ ჩემს მიერ გამოყენებული ტერმინებითა და აღნიშვნებით, გქონდეთ ვექტორების საბაზისო ცოდნა. და შეძლოს ელემენტარული პრობლემების გადაჭრა. ეს გაკვეთილი არის თემის ლოგიკური გაგრძელება და მასში დეტალურად გავაანალიზებ ტიპურ ამოცანებს, რომლებიც იყენებენ ვექტორების სკალარული ნამრავლს. ეს არის ძალიან მნიშვნელოვანი სამუშაო.. ეცადეთ არ გამოტოვოთ მაგალითები, მათ მოყვება სასარგებლო ბონუსი - პრაქტიკა დაგეხმარებათ გააერთიანოთ დაფარული მასალა და „ხელი ჩაგდოთ“ ანალიტიკური გეომეტრიის საერთო ამოცანების გადაჭრაზე.

ვექტორების დამატება, ვექტორის რიცხვზე გამრავლება... გულუბრყვილო იქნება ვიფიქროთ, რომ მათემატიკოსებს სხვა რამე არ მოუგონიათ. გარდა უკვე განხილული მოქმედებებისა, არსებობს მრავალი სხვა ოპერაციები ვექტორებით, კერძოდ: ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი, ვექტორების ჯვარედინი პროდუქტიდა ვექტორების შერეული პროდუქტი. ვექტორების სკალარული ნამრავლი ჩვენთვის სკოლიდან ნაცნობია, დანარჩენი ორი პროდუქტი ტრადიციულად უმაღლესი მათემატიკის კურსს უკავშირდება. თემები მარტივია, ბევრი პრობლემის გადაჭრის ალგორითმი სტერეოტიპული და გასაგები. ერთადერთი რამ. ინფორმაციის სოლიდური რაოდენობაა, ამიტომ არასასურველია ყველაფრის და ერთდროულად დაუფლების და ამოხსნის მცდელობა. ეს განსაკუთრებით ეხება დუმს, მერწმუნეთ, ავტორს აბსოლუტურად არ სურს თავი იგრძნოს მათემატიკიდან ჩიკატილოზე. რა თქმა უნდა, არც მათემატიკიდან =) უფრო მომზადებულ სტუდენტებს შეუძლიათ გამოიყენონ მასალები შერჩევით, გარკვეული გაგებით, დაკარგული ცოდნის "შეძენისთვის", შენთვის მე ვიქნები უწყინარი გრაფი დრაკულა =)

ბოლოს ცოტა გავაღოთ კარი და შევხედოთ რა ხდება, როცა ორი ვექტორი ერთმანეთს ხვდება...

ვექტორების სკალარული ნამრავლის განმარტება.
სკალარული პროდუქტის თვისებები. ტიპიური ამოცანები

წერტილი პროდუქტის კონცეფცია

ჯერ შესახებ კუთხე ვექტორებს შორის. ვფიქრობ, ყველას ინტუიციურად ესმის, რა არის კუთხე ვექტორებს შორის, მაგრამ ყოველი შემთხვევისთვის, ცოტა მეტი. განვიხილოთ თავისუფალი არანულოვანი ვექტორები და . თუ ჩვენ გადავდებთ ამ ვექტორებს თვითნებური წერტილიდან, მაშინ მივიღებთ სურათს, რომელიც ბევრმა უკვე წარმოადგინა გონებრივად:

ვაღიარებ, აქ მე აღვწერე სიტუაცია მხოლოდ გაგების დონეზე. თუ თქვენ გჭირდებათ ვექტორებს შორის კუთხის მკაცრი განსაზღვრა, გთხოვთ, მიმართოთ სახელმძღვანელოს, მაგრამ პრაქტიკული ამოცანების შემთხვევაში, ჩვენ, პრინციპში, ეს არ გვჭირდება. ასევე აქ და შემდგომ, მე ხანდახან უგულებელყოფ ნულოვან ვექტორებს მათი დაბალი პრაქტიკული მნიშვნელობის გამო. მე გავაკეთე დაჯავშნა სპეციალურად საიტის მოწინავე ვიზიტორებისთვის, რომლებსაც შეუძლიათ საყვედური მომცენ ზოგიერთი შემდეგი განცხადების თეორიული არასრულყოფილების გამო.

შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები 0-დან 180 გრადუსამდე (0-დან რადიანამდე) ჩათვლით. ანალიტიკურად, ეს ფაქტი იწერება ორმაგი უტოლობის სახით: ან (რადიანებში).

ლიტერატურაში კუთხის ხატი ხშირად გამოტოვებულია და უბრალოდ იწერება.

განმარტება:ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლი არის რიცხვი, რომელიც ტოლია ამ ვექტორების სიგრძისა და მათ შორის კუთხის კოსინუსების ნამრავლის:

ახლა ეს საკმაოდ მკაცრი განმარტებაა.

ჩვენ ყურადღებას ვამახვილებთ არსებით ინფორმაციას:

Დანიშნულება:სკალარული პროდუქტი აღინიშნება ან უბრალოდ.

ოპერაციის შედეგი არის NUMBER: გავამრავლოთ ვექტორი ვექტორზე, რომ მიიღოთ რიცხვი. მართლაც, თუ ვექტორების სიგრძე რიცხვებია, კუთხის კოსინუსი არის რიცხვი, მაშინ მათი ნამრავლი ასევე იქნება რიცხვი.

გახურების რამდენიმე მაგალითი:

მაგალითი 1

გამოსავალი:ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას . Ამ შემთხვევაში:

პასუხი:

კოსინუსების მნიშვნელობები შეგიძლიათ იხილოთ ტრიგონომეტრიული ცხრილი. მის დაბეჭდვას გირჩევთ - კოშკის თითქმის ყველა მონაკვეთზე იქნება საჭირო და არაერთხელ იქნება საჭირო.

წმინდა მათემატიკური თვალსაზრისით, სკალარული ნამრავლი განზომილებიანია, ანუ შედეგი ამ შემთხვევაში მხოლოდ რიცხვია და ეგაა. ფიზიკის პრობლემების თვალსაზრისით, სკალარული პროდუქტი ყოველთვის აქვს გარკვეული ფიზიკური მნიშვნელობა, ანუ შედეგის შემდეგ უნდა იყოს მითითებული ერთი ან სხვა ფიზიკური ერთეული. ძალის მუშაობის გამოთვლის კანონიკური მაგალითი შეგიძლიათ ნახოთ ნებისმიერ სახელმძღვანელოში (ფორმულა არის ზუსტად წერტილის ნამრავლი). ძალის მუშაობა იზომება ჯოულებში, შესაბამისად, პასუხი დაიწერება საკმაოდ კონკრეტულად, მაგალითად,.

მაგალითი 2

იპოვე თუ და ვექტორებს შორის კუთხე არის .

ეს არის მაგალითი თვითგამორკვევისთვის, პასუხი მოცემულია გაკვეთილის ბოლოს.

კუთხე ვექტორებსა და წერტილოვანი პროდუქტის მნიშვნელობას შორის

მაგალით 1-ში სკალარული ნამრავლი აღმოჩნდა დადებითი, ხოლო მაგალით 2-ში უარყოფითი. მოდით გავარკვიოთ, რაზეა დამოკიდებული სკალარული პროდუქტის ნიშანი. მოდით შევხედოთ ჩვენს ფორმულას: . ნულოვანი ვექტორების სიგრძე ყოველთვის დადებითია: , ასე რომ, ნიშანი შეიძლება დამოკიდებული იყოს მხოლოდ კოსინუსის მნიშვნელობაზე.

Შენიშვნა: ქვემოთ მოცემული ინფორმაციის უკეთ გასაგებად, უმჯობესია შეისწავლოთ სახელმძღვანელოში მოცემული კოსინუს გრაფიკი გრაფიკები და ფუნქციის თვისებები. ნახეთ, როგორ იქცევა კოსინუსი სეგმენტზე.

როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ვექტორებს შორის კუთხე შეიძლება განსხვავდებოდეს შიგნით და შესაძლებელია შემდეგი შემთხვევები:

1) თუ ინექციავექტორებს შორის ცხარე: (0-დან 90 გრადუსამდე), შემდეგ , და წერტილის პროდუქტი დადებითი იქნება თანარეჟისორი, მაშინ მათ შორის კუთხე ითვლება ნულად და სკალარული ნამრავლიც დადებითი იქნება. ვინაიდან , მაშინ ფორმულა გამარტივებულია: .

2) თუ ინექციავექტორებს შორის ბლაგვი: (90-დან 180 გრადუსამდე), შემდეგ და შესაბამისად, წერტილოვანი პროდუქტი უარყოფითია: . განსაკუთრებული შემთხვევა: თუ ვექტორები საპირისპიროდ მიმართული, მაშინ განიხილება მათ შორის კუთხე განლაგებული: (180 გრადუსი). სკალარული პროდუქტი ასევე უარყოფითია, ვინაიდან

საპირისპირო განცხადებები ასევე მართალია:

1) თუ , მაშინ ამ ვექტორებს შორის კუთხე მკვეთრია. ალტერნატიულად, ვექტორები არის თანამიმართულები.

2) თუ , მაშინ ამ ვექტორებს შორის კუთხე ბლაგვია. გარდა ამისა, ვექტორები მიმართულია საპირისპიროდ.

მაგრამ მესამე შემთხვევა განსაკუთრებით საინტერესოა:

3) თუ ინექციავექტორებს შორის სწორი: (90 გრადუსი) მერე და წერტილის პროდუქტი ნულის ტოლია: . პირიქითაც მართალია: თუ , მაშინ . კომპაქტური განცხადება ჩამოყალიბებულია შემდეგნაირად: ორი ვექტორის სკალარული ნამრავლი არის ნული, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მოცემული ვექტორები ორთოგონალურია. მოკლე მათემატიკური აღნიშვნა:

! შენიშვნა : გაიმეორე მათემატიკური ლოგიკის საფუძვლები: ორმხრივი ლოგიკური შედეგის ხატულა ჩვეულებრივ იკითხება "თუ და მხოლოდ მაშინ", "თუ და მხოლოდ თუ". როგორც ხედავთ, ისრები ორივე მიმართულებით არის მიმართული – „ამისგან მოჰყვება ამას და პირიქით – აქედან მოჰყვება ამას“. სხვათა შორის, რა განსხვავებაა ცალმხრივი თვალთვალის ხატულისგან? ხატი აცხადებს მხოლოდ ისრომ „აქედან გამომდინარეობს ეს“, და არა ის, რომ პირიქითაა. მაგალითად: , მაგრამ ყველა ცხოველი არ არის პანტერა, ამიტომ ხატის გამოყენება ამ შემთხვევაში შეუძლებელია. ამავე დროს, ხატის ნაცვლად შეუძლიაგამოიყენეთ ცალმხრივი ხატულა. მაგალითად, ამოცანის ამოხსნისას გავარკვიეთ, რომ დავასკვენით, რომ ვექტორები ორთოგონალურია: - ასეთი ჩანაწერი სწორი იქნება და უფრო მიზანშეწონილიც .

მესამე შემთხვევას დიდი პრაქტიკული მნიშვნელობა აქვს., რადგან ის საშუალებას გაძლევთ შეამოწმოთ ვექტორები ორთოგონალურია თუ არა. ამ პრობლემას გაკვეთილის მეორე ნაწილში მოვაგვარებთ.

წერტილოვანი პროდუქტის თვისებები

დავუბრუნდეთ სიტუაციას, როდესაც ორი ვექტორია თანარეჟისორი. ამ შემთხვევაში, მათ შორის კუთხე არის ნული, და სკალარული პროდუქტის ფორმულა იღებს ფორმას: .

რა მოხდება, თუ ვექტორი თავის თავზე მრავლდება? ნათელია, რომ ვექტორი თავის თავთან არის მიმართული, ამიტომ ვიყენებთ ზემოთ გამარტივებულ ფორმულას:

ნომერზე იწოდება სკალარული კვადრატივექტორი და აღინიშნება როგორც .

Ამგვარად, ვექტორის სკალარული კვადრატი უდრის მოცემული ვექტორის სიგრძის კვადრატს:

ამ თანასწორობიდან შეგიძლიათ მიიღოთ ფორმულა ვექტორის სიგრძის გამოსათვლელად:

მართალია გაურკვეველი ჩანს, მაგრამ გაკვეთილის ამოცანები ყველაფერს თავის ადგილზე დააყენებს. პრობლემების გადასაჭრელად ჩვენც გვჭირდება წერტილოვანი პროდუქტის თვისებები.

თვითნებური ვექტორებისთვის და ნებისმიერი რიცხვისთვის, შემდეგი თვისებები მართალია:

1) - გადაადგილებადი ან შემცვლელისკალარული პროდუქტის კანონი.

2) - განაწილება ან გამანაწილებელისკალარული პროდუქტის კანონი. მარტივად რომ ვთქვათ, შეგიძლიათ გახსნათ ფრჩხილები.

3) - კომბინაცია ან ასოციაციურისკალარული პროდუქტის კანონი. მუდმივი შეიძლება ამოღებულ იქნეს სკალარული პროდუქტიდან.

ხშირად, ყველა სახის თვისება (რომელიც ასევე საჭიროებს დამტკიცებას!) სტუდენტების მიერ აღიქმება, როგორც არასაჭირო ნაგავი, რომელიც მხოლოდ გამოცდის შემდეგ დაუყოვნებლივ უნდა დაიმახსოვროთ და უსაფრთხოდ დაივიწყოთ. როგორც ჩანს, რაც აქ მნიშვნელოვანია, ყველამ უკვე იცის პირველი კლასიდან, რომ პროდუქტი არ იცვლება ფაქტორების პერმუტაციისგან: უნდა გაგაფრთხილო, უმაღლეს მათემატიკაში ასეთი მიდგომით ადვილია საქმეების არევა. ასე რომ, მაგალითად, კომუტაციური თვისება არ არის მოქმედი ალგებრული მატრიცები. ეს არ შეესაბამება სიმართლეს ვექტორების ჯვარედინი პროდუქტი. ამიტომ, სულ მცირე, უმჯობესია ჩაუღრმავდეთ ნებისმიერ თვისებას, რომელსაც შეხვდებით უმაღლესი მათემატიკის კურსში, რათა გაიგოთ, რა შეიძლება და რა არ შეიძლება გაკეთდეს.

მაგალითი 3

.

გამოსავალი:ჯერ განვმარტოთ სიტუაცია ვექტორთან დაკავშირებით. რაზეა საუბარი? ვექტორების ჯამი და არის კარგად განსაზღვრული ვექტორი, რომელიც აღინიშნება . ვექტორებთან მოქმედებების გეომეტრიული ინტერპრეტაცია შეგიძლიათ იხილოთ სტატიაში ვექტორები დუმებისთვის. იგივე ოხრახუში ვექტორთან არის ვექტორების ჯამი და .

ასე რომ, პირობის მიხედვით, საჭიროა სკალარული პროდუქტის პოვნა. თეორიულად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ სამუშაო ფორმულა , მაგრამ უბედურება ის არის, რომ ჩვენ არ ვიცით ვექტორების სიგრძე და მათ შორის კუთხე. მაგრამ პირობით, მსგავსი პარამეტრები მოცემულია ვექტორებისთვის, ამიტომ ჩვენ სხვა გზით წავალთ:

(1) ჩვენ ვცვლით ვექტორების გამოსახულებებს.

(2) ფრჩხილებს ვხსნით მრავალწევრების გამრავლების წესით, ვულგარული ენის ტრიალი შეგიძლიათ ნახოთ სტატიაში. რთული რიცხვებიან წილად-რაციონალური ფუნქციის ინტეგრაცია. არ გავიმეორო =) სხვათა შორის, სკალარული პროდუქტის გამანაწილებელი თვისება გვაძლევს საშუალებას გავხსნათ ფრჩხილები. ჩვენ გვაქვს უფლება.

(3) პირველ და ბოლო ტერმინებში ჩვენ კომპაქტურად ვწერთ ვექტორების სკალარული კვადრატებს: . მეორე ტერმინში ვიყენებთ სკალარული პროდუქტის ცვალებადობას: .

(4) აქ არის მსგავსი ტერმინები: .

(5) პირველ ტერმინში ვიყენებთ სკალარული კვადრატის ფორმულას, რომელიც არც ისე დიდი ხნის წინ იყო ნახსენები. ბოლო ტერმინში, შესაბამისად, იგივე მუშაობს: . მეორე ტერმინი გაფართოებულია სტანდარტული ფორმულის მიხედვით .

(6) ჩაანაცვლეთ ეს პირობები და ფრთხილად განახორციელეთ საბოლოო გამოთვლები.

პასუხი:

წერტილოვანი პროდუქტის უარყოფითი მნიშვნელობა მიუთითებს იმაზე, რომ ვექტორებს შორის კუთხე ბლაგვია.

დავალება ტიპიურია, აქ არის მაგალითი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:

მაგალითი 4

იპოვეთ ვექტორების სკალარული ნამრავლი და თუ ცნობილია, რომ .

ახლა კიდევ ერთი საერთო დავალება, მხოლოდ ვექტორის სიგრძის ახალი ფორმულისთვის. აღნიშვნები აქ ოდნავ გადაფარავს, ასე რომ, სიცხადისთვის, მე სხვა ასოთი გადავწერ:

მაგალითი 5

იპოვეთ ვექტორის სიგრძე თუ .

გამოსავალიიქნება შემდეგი:

(1) ჩვენ ვაძლევთ ვექტორულ გამოსახულებას.

(2) ვიყენებთ სიგრძის ფორმულას: , ხოლო ვექტორად გვაქვს მთელი რიცხვი "ve".

(3) ვიყენებთ სკოლის ფორმულას ჯამის კვადრატისთვის. ყურადღება მიაქციეთ, თუ როგორ მუშაობს აქ საინტერესოდ: - სინამდვილეში, ეს არის განსხვავების კვადრატი და, ფაქტობრივად, ასეა. მსურველებს შეუძლიათ ადგილებზე გადააწყონ ვექტორები: - იგივე გამოვიდა ტერმინების გადალაგებამდე.

(4) რაც შემდეგშია უკვე ნაცნობი ორი წინა პრობლემისგან.

პასუხი:

ვინაიდან ჩვენ ვსაუბრობთ სიგრძეზე, არ დაგავიწყდეთ მიუთითოთ განზომილება - "ერთეულები".

მაგალითი 6

იპოვეთ ვექტორის სიგრძე თუ .

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

ჩვენ ვაგრძელებთ სასარგებლო ნივთების გამოდევნას სკალარული პროდუქტიდან. მოდით კიდევ ერთხელ გადავხედოთ ჩვენს ფორმულას . პროპორციის წესით, ჩვენ ვაბრუნებთ ვექტორების სიგრძეს მარცხენა მხარის მნიშვნელზე:

მოდით გავცვალოთ ნაწილები:

რა აზრი აქვს ამ ფორმულას? თუ ცნობილია ორი ვექტორის სიგრძე და მათი სკალარული ნამრავლი, მაშინ შეიძლება გამოითვალოს ამ ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსი და, შესაბამისად, თავად კუთხე.

არის თუ არა სკალარული ნამრავლი რიცხვი? ნომერი. არის თუ არა ვექტორული სიგრძე რიცხვები? ნომრები. ასე რომ, წილადიც არის რიცხვი. და თუ ცნობილია კუთხის კოსინუსი: , შემდეგ შებრუნებული ფუნქციის გამოყენებით ადვილია თავად კუთხის პოვნა: .

მაგალითი 7

იპოვეთ კუთხე ვექტორებს შორის და თუ ცნობილია, რომ .

გამოსავალი:ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას:

გამოთვლების დასკვნით ეტაპზე გამოიყენეს ტექნიკა - მნიშვნელში ირაციონალურობის აღმოფხვრა. ირაციონალურობის აღმოსაფხვრელად მრიცხველი და მნიშვნელი გავამრავლე.

ასე რომ, თუ , შემდეგ:

ინვერსიული ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობების პოვნა შესაძლებელია ტრიგონომეტრიული ცხრილი. მიუხედავად იმისა, რომ ეს იშვიათად ხდება. ანალიტიკური გეომეტრიის პრობლემებში რაღაც მოუხერხებელი დათვი უფრო ხშირად ჩნდება და კუთხის მნიშვნელობა დაახლოებით კალკულატორის გამოყენებით უნდა მოიძებნოს. ფაქტობრივად, ჩვენ ვიხილავთ ამ სურათს ისევ და ისევ.

პასუხი:

კიდევ ერთხელ, არ დაგავიწყდეთ განზომილების მითითება - რადიანები და გრადუსები. პირადად, იმისათვის, რომ მიზანმიმართულად "ამოიღოს ყველა კითხვა", მირჩევნია ორივე მივუთითო (თუ, რა თქმა უნდა, პირობით, არ არის საჭირო პასუხის წარმოდგენა მხოლოდ რადიანებით ან მხოლოდ გრადუსით).

ახლა თქვენ შეძლებთ დამოუკიდებლად გაუმკლავდეთ უფრო რთულ ამოცანას:

მაგალითი 7*

მოცემულია ვექტორების სიგრძე და მათ შორის კუთხე. იპოვეთ კუთხე ვექტორებს შორის , .

ამოცანა არც ისე რთულია, როგორც მრავალმხრივი.
მოდით გავაანალიზოთ ამოხსნის ალგორითმი:

1) პირობის მიხედვით, საჭიროა ვიპოვოთ კუთხე ვექტორებს შორის და, ასე რომ თქვენ უნდა გამოიყენოთ ფორმულა .

2) ჩვენ ვპოულობთ სკალარულ პროდუქტს (იხ. მაგალითები No3, 4).

3) იპოვეთ ვექტორის სიგრძე და ვექტორის სიგრძე (იხ. მაგალითები No5, 6).

4) ამონახსნის დასასრული ემთხვევა მაგალით 7-ს - ვიცით რიცხვი, რაც იმას ნიშნავს, რომ თავად კუთხის პოვნა ადვილია:

მოკლე ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

გაკვეთილის მეორე ნაწილი ეთმობა იმავე წერტილოვან პროდუქტს. კოორდინატები. ეს კიდევ უფრო ადვილი იქნება, ვიდრე პირველ ნაწილში.

ვექტორების წერტილოვანი ნამრავლი,
კოორდინატებით მოცემულია ორთონორმალურ საფუძველზე

პასუხი:

ზედმეტია იმის თქმა, რომ კოორდინატებთან ურთიერთობა გაცილებით სასიამოვნოა.

მაგალითი 14

იპოვეთ ვექტორების სკალარული ნამრავლი და თუ

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. აქ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ოპერაციის ასოციაციურობა, ანუ არ დათვალოთ, მაგრამ დაუყოვნებლივ ამოიღოთ სამმაგი სკალარული პროდუქტიდან და გაამრავლოთ მასზე ბოლოს. ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

აბზაცის ბოლოს, ვექტორის სიგრძის გამოთვლის პროვოკაციული მაგალითი:

მაგალითი 15

იპოვეთ ვექტორების სიგრძე , თუ

გამოსავალი:ისევ წინა ნაწილის მეთოდი გვთავაზობს თავის თავს: მაგრამ არის სხვა გზა:

ვიპოვოთ ვექტორი:

და მისი სიგრძე ტრივიალური ფორმულის მიხედვით :

სკალარული პროდუქტი აქ საერთოდ არ არის აქტუალური!

რამდენად გამოუსადეგარია ვექტორის სიგრძის გაანგარიშებისას:
გაჩერდი. რატომ არ ისარგებლოთ ვექტორის აშკარა სიგრძის თვისებით? რა შეიძლება ითქვას ვექტორის სიგრძეზე? ეს ვექტორი ვექტორზე 5-ჯერ გრძელია. მიმართულება საპირისპიროა, მაგრამ ამას მნიშვნელობა არ აქვს, რადგან სიგრძეზეა საუბარი. ცხადია, ვექტორის სიგრძე ნამრავლის ტოლია მოდულირიცხვები ვექტორის სიგრძეზე:
- მოდულის ნიშანი "ჭამს" რიცხვის შესაძლო მინუსს.

Ამგვარად:

პასუხი:

ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსის ფორმულა, რომლებიც მოცემულია კოორდინატებით

ახლა ჩვენ გვაქვს სრული ინფორმაცია, რათა გამოვხატოთ ადრე მიღებული ფორმულა ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსისთვის, ვექტორების კოორდინატების მიხედვით:

სიბრტყის ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსიდა ორთონორმალურ საფუძველზე, გამოიხატება ფორმულით:
.

სივრცის ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსიმოცემული ორთონორმალური საფუძველზე, გამოიხატება ფორმულით:

მაგალითი 16

მოცემულია სამკუთხედის სამი წვერო. იპოვეთ (ვერტექსის კუთხე).

გამოსავალი:პირობით, ნახაზი არ არის საჭირო, მაგრამ მაინც:

საჭირო კუთხე აღინიშნება მწვანე რკალით. ჩვენ დაუყოვნებლივ ვიხსენებთ კუთხის სკოლის აღნიშვნას: - განსაკუთრებული ყურადღება შუაასო - ეს არის ჩვენთვის საჭირო კუთხის წვერო. მოკლედ, ის ასევე შეიძლება დაიწეროს მარტივად.

ნახაზიდან აშკარად ჩანს, რომ სამკუთხედის კუთხე ემთხვევა ვექტორებს შორის კუთხეს და სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ: .

სასურველია ვისწავლოთ გონებრივად ჩატარებული ანალიზის ჩატარება.

მოდი ვიპოვოთ ვექტორები:

მოდით გამოვთვალოთ სკალარული პროდუქტი:

და ვექტორების სიგრძე:

კუთხის კოსინუსი:

სწორედ დავალების ამ თანმიმდევრობას ვურჩევ დუმს. უფრო მოწინავე მკითხველებს შეუძლიათ დაწერონ გამოთვლები "ერთ ხაზზე":

აქ არის "ცუდი" კოსინუსის მნიშვნელობის მაგალითი. მიღებული მნიშვნელობა არ არის საბოლოო, ასე რომ, მნიშვნელში ირაციონალურობის მოშორებას დიდი აზრი არ აქვს.

მოდი ვიპოვოთ კუთხე:

თუ ნახატს დააკვირდებით, შედეგი საკმაოდ დამაჯერებელია. კუთხის შესამოწმებლად ასევე შეიძლება გაიზომოს პროტრატორით. არ დააზიანოთ მონიტორის საფარი =)

პასუხი:

პასუხში ეს არ დაგავიწყდეთ იკითხა სამკუთხედის კუთხის შესახებ(და არა ვექტორებს შორის კუთხის შესახებ), არ დაგავიწყდეთ მიუთითოთ ზუსტი პასუხი: და კუთხის სავარაუდო მნიშვნელობა: ნაპოვნია კალკულატორით.

მათ, ვინც სარგებლობდა პროცესით, შეუძლია გამოთვალოს კუთხეები და დარწმუნდეს, რომ კანონიკური თანასწორობა მართალია

მაგალითი 17

სამკუთხედი მოცემულია სივრცეში მისი წვეროების კოორდინატებით. იპოვეთ კუთხე გვერდებს შორის და

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს

მცირე საბოლოო მონაკვეთი დაეთმობა პროგნოზებს, რომელშიც ასევე "ჩართულია" სკალარული პროდუქტი:

ვექტორის პროექცია ვექტორზე. ვექტორული პროექცია კოორდინატთა ღერძებზე.
ვექტორული მიმართულების კოსინუსები

განვიხილოთ ვექტორები და:

ვექტორს ვაპროექტებთ ვექტორზე, ამისთვის გამოვტოვებთ ვექტორის დასაწყისს და დასასრულს პერპენდიკულარებითითო ვექტორზე (მწვანე წერტილოვანი ხაზები). წარმოიდგინეთ, რომ სინათლის სხივები პერპენდიკულარულად ეცემა ვექტორზე. მაშინ სეგმენტი (წითელი ხაზი) ​​იქნება ვექტორის „ჩრდილი“. ამ შემთხვევაში, ვექტორის პროექცია ვექტორზე არის სეგმენტის სიგრძე. ანუ პროექცია არის რიცხვი.

ეს რიცხვი აღინიშნება შემდეგნაირად: , "დიდი ვექტორი" ნიშნავს ვექტორს ᲠᲝᲛᲔᲚᲘპროექტი, "მცირე ქვესკრიპტის ვექტორი" აღნიშნავს ვექტორს ᲖᲔრომელიც დაპროექტებულია.

თავად ჩანაწერი ასე იკითხება: „ა“ ვექტორის პროექცია ვექტორზე „იყოს“.

რა მოხდება, თუ ვექტორი "be" არის "ძალიან მოკლე"? ვხატავთ სწორ ხაზს, რომელიც შეიცავს ვექტორს "be". და ვექტორი "a" უკვე დაპროექტებული იქნება ვექტორის "იყოს" მიმართულებით, უბრალოდ - სწორ ხაზზე, რომელიც შეიცავს ვექტორს "be". იგივე მოხდება, თუ ვექტორი „a“ განზე იქნება ოცდამეათე სამეფოში - ის მაინც ადვილად იქნება პროექცია ვექტორის „be“-ს შემცველ ხაზზე.

თუ კუთხევექტორებს შორის ცხარე(როგორც სურათზე), მაშინ

თუ ვექტორები ორთოგონალური, მაშინ (პროექცია არის წერტილი, რომლის ზომები ნავარაუდევია ნულზე).

თუ კუთხევექტორებს შორის ბლაგვი(სურათზე, გონებრივად გადააკეთეთ ვექტორის ისარი), შემდეგ (იგივე სიგრძე, მაგრამ აღებული მინუს ნიშნით).

ერთი წერტილიდან გამოვყოთ ეს ვექტორები:

ცხადია, ვექტორის გადაადგილებისას მისი პროექცია არ იცვლება

ვექტორული და წერტილოვანი პროდუქტი აადვილებს ვექტორებს შორის კუთხის გამოთვლას. მოყვანილი იყოს ორი ვექტორი $\overline(a)$ და $\overline(b)$, მათ შორის ორიენტირებული კუთხე $\varphi$-ის ტოლია. მოდით გამოვთვალოთ მნიშვნელობები $x = (\overline(a),\overline(b))$ და $y = [\overline(a),\overline(b)]$. შემდეგ $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$, სადაც სასურველია $r=|\overline(a)|\cdot|\overline(b)|$ და $\varphi$ კუთხე, ანუ $(x, y)$ წერტილს აქვს პოლარული კუთხე $\varphi$-ის ტოლი და, შესაბამისად, $\varphi$ შეიძლება მოიძებნოს როგორც atan2(y, x).

სამკუთხედის ფართობი

ვინაიდან ვექტორული პროდუქტი შეიცავს ორი ვექტორის სიგრძის ნამრავლს და მათ შორის კუთხის კოსინუსს, ვექტორული ნამრავლი შეიძლება გამოყენებულ იქნას სამკუთხედის ABC ფართობის გამოსათვლელად:

$ S_(ABC) = \frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AC)]| $.

წერტილი, რომელიც ეკუთვნის ხაზს

მიეცით წერტილი $P$ და წრფე $AB$ (მოცემულია ორი წერტილით $A$ და $B$). აუცილებელია შეამოწმოთ, ეკუთვნის თუ არა წერტილი $AB$ ხაზს.

წერტილი ეკუთვნის $AB$ წრფეს, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ $AP$ და $AB$ ვექტორები თანამიმდევრულია, ანუ თუ $ [ \overline(AP), \overline(AB)]=0 $.

წერტილის მიკუთვნება სხივს

მიეცით წერტილი $P$ და სხივი $AB$ (მოცემულია ორი წერტილით - $A$ სხივის დასაწყისი და $B$ სხივის წერტილი). აუცილებელია შეამოწმოთ, ეკუთვნის თუ არა წერტილი $AB$ სხივს.

დამატებითი პირობა უნდა დაემატოს იმ პირობას, რომ წერტილი $P$ ეკუთვნის $AB$ ხაზს - ვექტორები $AP$ და $AB$ თანამიმართულები არიან, ანუ ისინი არიან კოლინარული და მათი სკალარული ნამრავლი არაუარყოფითი, ანუ $(\overline(AB), \overline(AP ))\ge $0.

წერტილი, რომელიც მიეკუთვნება სეგმენტს

მიეცით წერტილი $P$ და სეგმენტი $AB$. აუცილებელია შეამოწმოთ, ეკუთვნის თუ არა წერტილი $AB$ სეგმენტს.

ამ შემთხვევაში, წერტილი უნდა ეკუთვნოდეს როგორც $AB$, ასევე $BA$ სხივს, ამიტომ უნდა შემოწმდეს შემდეგი პირობები:

$[\overline(AP), \overline(AB)]=0$,

$(\overline(AB), \overline(AP))\ge 0$,

$(\overline(BA), \overline(BP))\ge 0$.

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე

მიეცით წერტილი $P$ და წრფე $AB$ (მოცემულია ორი წერტილით $A$ და $B$). აუცილებელია ვიპოვოთ მანძილი $AB$ სწორი ხაზის წერტილიდან.

განვიხილოთ სამკუთხედი ABP. ერთის მხრივ, მისი ფართობია $S_(ABP)=\frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AP) ]|$.

მეორეს მხრივ, მისი ფართობია $S_(ABP)= \frac(1)(2)h |AB|$, სადაც $h$ არის სიმაღლე $P$-დან, ანუ მანძილი $P$-დან $AB-მდე. $. საიდანაც $h=|[\overline(AB),\overline(AP)]|/|AB|$.

მანძილი წერტილიდან სხივამდე

მიეცით წერტილი $P$ და სხივი $AB$ (მოცემულია ორი წერტილით - $A$ სხივის დასაწყისი და $B$ სხივის წერტილი). აუცილებელია ვიპოვოთ მანძილი წერტილიდან სხივამდე, ანუ უმოკლეს სეგმენტის სიგრძე $P$ წერტილიდან სხივის ნებისმიერ წერტილამდე.

ეს მანძილი უდრის $AP$ სიგრძის ან $P$ წერტილიდან $AB$ წრფემდე მანძილს. თუ რომელი შემთხვევა ხდება, ადვილად შეიძლება განისაზღვროს სხივისა და წერტილის ფარდობითი პოზიციით. თუ კუთხე PAB მწვავეა, ანუ $(\overline(AB),\overline(AP)) > 0$, მაშინ პასუხი არის მანძილი $P$ წერტილიდან $AB$ წრფემდე, წინააღმდეგ შემთხვევაში პასუხი არის სიგრძე. სეგმენტის $AB$.

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე

მიეცით წერტილი $P$ და სეგმენტი $AB$. აუცილებელია ვიპოვოთ მანძილი $P$-დან $AB$ სეგმენტამდე.

თუ $P$-დან $AB$ წრფეზე ჩამოვარდნილი პერპენდიკულურის ფუძე მოდის $AB$ სეგმენტზე, რომელიც შეიძლება შემოწმდეს პირობებით.

$(\overline(AP), \overline(AB))\ge 0$,

$(\overline(BP), \overline(BA))\ge 0$,

მაშინ პასუხი არის მანძილი $P$ წერტილიდან $AB$ წრფემდე. წინააღმდეგ შემთხვევაში მანძილი $\min(AP, BP)$-ის ტოლი იქნება.